第4章线性方程组习题

第4章线性方程组

一、知识结构分析

（1）线性方程组求解和线性相关性，矩阵的秩和矩阵的变换之间的关系。

线性方程组一章的内容是线性代数发展的渊源，正是线性方程组的求解研究导致了向量线性相关性的研究，就是确定多余方程和保留方程，保留未知量和自由未知量的问题。这些问题可通过矩阵的秩和子式的计算来确定。第三章的内容，无论是线性相关性还是矩阵的秩，都是和方程组求解密切相关，要通过知识结构的联系，使学生整体掌握知识体系。

矩阵的初等行变换应是初等变换的重点，它对应与方程的恒等变换（保持同解）。行阶梯型矩阵对应的方程组可通过把自由未知量移到右边，再通过回代求解。而行最简形不用回代可直接写出解的表示式。如果仅求矩阵的秩或确定向量组的最大无关组，把矩阵化简到阶梯型即可。

（2）方程组的解结构和相应的行向量组或列向量组的相关性分析是该理论的难点，齐次方程组有非零解与对应的行向量组或列向量组线性相关性有对应关系，非齐次方程组有解和向量的表示有一种对应关系，要学会灵活的应用这些关系来分析问题。

二、重点难点分析与教材处理：

（1）齐次方程组解的结构部分要结合向量空间，向量空间的基与向量组的最大无关组的回顾，加深上章基本概念的理解。

（2）齐次方程组的矩阵表示和向量表示要阐明有非零解与列向量组线性相关性的关系。

（3）方程求解的变换化简对应的行最简型，结合初等变换的内容使对初等变换的理解更具体。

（4）方程组通解的两种表示方法，用基础解系表示的间接方法和用自由未知量表示的直接方法。

（5）解空间用基础解系联系向量空间用基表示的关系，阐明向量空间和向量组的不同。

（6）非齐次方程组的矩阵和向量表示与向量组线性相关性的关系，增广矩阵和系数矩阵的列向量组之间的关系。

（7）含有参数的方法的参数识别，即方程组的反问题，了解正问题的和反问题的初步概念。

三、常见的问题和易犯的错误

（1）带参数的矩阵化简忽略带参数的分母为零的讨论。

（2）不能掌握方程化简分析的一般步骤。

四、参考资料与数学实验

五、学习指导与提示

1．1．求下列齐次线性方程组的一个基础解系及一般解：

（1）⎪

⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=+-+=++-=+-+=-+-0x 7x 9x 3x 0x x 8x x 30x 3x 2x x 0x x 5x x 4321432143214321

解：对系数矩阵做初等行变换（相当于对方程做化简）

⎪⎪⎪⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----÷---814404

72022/7101511~814404720472015

11~7931181332111511232141312r r r r r r r

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++0000000022/71012/301~24232144r r r r r r ，化简后的方程组为⎪⎩⎪⎨⎧-=--=432

43122723x x x x x x

分别取0,143==x x 和1,043==x x 代入方程组求解得到

基础解系为

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1021,012/72/321ξξ，通解为2211ξξk k x += 或者直接写出通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛-=⎪

⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛1021012723434321x x x x x x

基础解系为

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛--=⎪⎪⎪

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1021,012/72/321ξξ （2）

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=-+-=+-+=+-+=-++0x 7x 4x 2x 0x 6x 3x x 40

x 5x x 3x 20x 7x 2x x 34

321432143214

321

解：对系数矩阵做初等变换

⎪⎪⎪

⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------↔14107034199019970742

1~7213631451327421~742163145132721314131211342r r r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1681570067520026211

0742

1~1410701510202621107421~141070151020199707421~24232372r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛----3700006752002621107421~,因此，只有零解。

2． 2． 求解下列非齐次线性方程组：

（1） （1） ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=-+10

x 2x x 38

x 3x 112x x 2x 432131321 ，（2）⎪⎩⎪

⎨⎧=--+=+-+=+-+1w z y x 22w z 2y 2x 41

w z y x 2 解：对增广矩阵做初等行变换

⎪⎪⎪

⎭⎫

⎝

⎛----⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛----⎪⎪⎪

⎭⎫

⎝

⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--↔---963330034111008331~341110096333008331~1021380311833

1~102138031121243

2131231311r r r r r r r

r

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----600034111008331

~2

33r r

2)(=A R ，3)(=B R ，方程组无解

3． 3． 讨论b ,a ,λ取什么值时下列方程组有解，并求解：

（1）

⎪⎩⎪

⎨⎧λ=λ++λ=+λ+=++λ2

321

321321x x x x x x 1

x x x ，

解：法一、对增广矩阵作行变换，把方程组化简