第4章线性方程组习题

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(完整版)线性代数第四章线性方程组试题及答案

第四章线性方程组1．线性方程组的基本概念(1)线性方程组的一般形式为：其中未知数的个数n 和方程式的个数m 不必相等. 线性方程组的解是一个n 维向量(k 1,k 2, …,k n )(称为解向量),它满足当每个方程中的未知数x 用k i 替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解. b 1=b 2=…=b m =0的线性方程组称为齐次线性方程组. n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只有零解)和无穷多解(即有非零解). 把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组. (2) 线性方程组的其他形式线性方程组除了通常的写法外,还常用两种简化形式：向量式 x 1α1+x 2α2+…+n x n α= β， (齐次方程组x 1α1+x 2α2+…+n x n α=0).即[]n a a ,,a 21 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 21=β 全部按列分块，其中β,,21n a a a 如下⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=121111m a a a α ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=222122m a a a α，………，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn n n n a a a 21α, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21β 显然方程组有解的充要条件是向量β可由向量组n ααα,,21 线性表示。

矩阵式 AX =β，(齐次方程组AX =0).⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x X 21 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21β其中A 为m n ⨯矩阵，则：① m 与方程的个数相同，即方程组AX =β有m 个方程； ② n 与方程组的未知数个数相同，方程组AX =β为n 元方程。

(完整版)线性代数练习册第四章习题及答案

第四章线性方程组§4-1 克拉默法则一、选择题1．下列说法正确的是（ C ）A.n 元齐次线性方程组必有n 组解；B.n 元齐次线性方程组必有1n -组解；C.n 元齐次线性方程组至少有一组解，即零解；D.n 元齐次线性方程组除了零解外，再也没有其他解. 2．下列说法错误的是（ B ）A 。

当0D ≠时，非齐次线性方程组只有唯一解;B 。

当0D ≠时，非齐次线性方程组有无穷多解;C 。

若非齐次线性方程组至少有两个不同的解，则0D =; D.若非齐次线性方程组有无解，则0D =. 二、填空题1．已知齐次线性方程组1231231230020x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解,则λ= 1 ，μ= 0 。

2．由克拉默法则可知，如果非齐次线性方程组的系数行列式0D ≠，则方程组有唯一解i x =iD D. 三、用克拉默法则求解下列方程组 1．832623x y x y +=⎧⎨+=⎩解：832062D ==-≠123532D ==-,2821263D ==-所以，125,62D Dx y D D====- 2．123123123222310x x x x x x x x x -+=-⎧⎪+-=⎨⎪-+-=⎩解：213112112122130355011101r r D r r ---=--=-≠+---11222100511321135011011D r r ---=-+-=---,212121505213221310101101D r r --=-+-=-----， 3121225002112211511110D r r --=+=---所以, 3121231,2,1D D Dx x x D D D ======3．21241832x z x y z x y z -=⎧⎪+-=⎨⎪-++=⎩解：132010012412041200183583D c c --=-+-=≠-13110110014114020283285D c c -=-+=，2322112102112100123125D c c -=-+=--, 31320101241204120182582D c c =-=--所以, 3121,0,1D D Dx y z D D D ====== 4．12341234123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩解：2131412131111111111214012322315053733121102181231235537013814222180514r r D r r r r r r r r ---=------------+=----=-+---3214212325111511102221422518231523528110121101005110010525182733214210252823522c c D c c c c c c --------=----------+=-----=----212314113231511151112140723222150123733021101518723230132123733031284315181518r r D r r r r r r r r -----=--------------=----=------12342213111512151031224522182325111132283101101002510200251521852974265211228115127c c D c c c c c c -------=---------+=-----=----12432322111152115312125252223121135231200100215215552502714251152604c c D c c r r r r --------=----------+=----=---所以， 312412341,2,3,1D D D Dx x x x D D D D========-§4-2 齐次线性方程组一、选择题1．已知m n ⨯矩阵A 的秩为1n -，12,αα是齐次线性方程组0AX =的两个不同的解，k 为任意常数，则方程组0AX =的通解为（ D ）。

线性代数第四章齐次线性方程组

j 1 n r
有k1 0, k 2 0, , k n r 0，故X 1 , X 2 , , X n r 线性无关。
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(3)设X (c1 , c 2 , , c r , k1 , k 2 , , k n r )T 是方程组的任意解，则 k1 X 1 k 2 X 2 k n r X n r X (d 1 , d 2 , , d r ,0,0, ,0)T 是齐次方程组的解，代入BX = 0，得 b11 b12 b1r d 1 0 0 b22 b2 r d 2 0 ， 0 0 brr d r 0 系数行列式不为零， 1 , d 2 , , d r 全为零。于是 d X k1 X 1 k 2 X 2 k n r X n r 0或 X k1 X 1 k 2 X 2 k n r X n r 综上，X 1 , X 2 , , X n r 是AX = 0的一个基础解系，含n - r个解向量。
证明由矩阵、向量的运算、线性相关定义,得(1)推(2), (2)--3)-(4)-(3)-(2)-(1) 于是, 以上4个命题相互等价.
推论：齐次线性方程组 (4.2) 只有零解 r
A n
2. 齐次线性方程组解的性质
(解向量的和,数乘仍是解)
性质1 若X 1 , X 2 是AX 0 (4.2)的解,
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由Gramer法则， (4.6)有唯一解，得(4.2) 的一个解X 1 (c11 , c 21 , , c r1 ,1,0, ,0) 。
T
同理，分别将 r 1 , x r 2 , , x n的值(0,1, ,0), , x (0,0, ,1)代入BX = 0，求出(4.2)的解 X 2 (c12 , c 22 , , c r 2 ,0,1, ,0) ;

第4章线性方程组与向量习题课

b b1 0 2 1
5b x1 = a (b + 1) 2 x2 = b+1 2(b 1) x3 = b + 1
1 0
1 b 2 2b
1 c 1 x2 x1 = a x1 = a x2 = c . x3 = 0 x =0 3
由
b 2 1 a A → 0 b1 1 0 0 0 1 b 2 2b
b 2 1 a b 2 1 a A = 0 b1 1 0 → 0 b1 1 0 a b 1 b 3 2b 0 0 1 b 2 2b
( 1) a ≠ 0, b ≠ ±1, 方程组有唯一解；方程组有唯一解；
暨南大学珠海学院
( 2 ) a ≠ 0, b = 1, 方程组有无穷多解；方程组有无穷多解；
α 1 , α 2 , L , α m 线性相关
α1 x1 + α 2 x2 + L + α m xm = ο 有非零解．有非零解．
R ( A) < n , 其中 A = ( α 1 , α 2 , L , α n ) .
n个m维列向量 α1 , α 2 ,L , α n 线性相关个维列向量
暨南大学珠海学院
解：方法一,对方程组的系数矩阵作行初等变换，方法一对方程组的系数矩阵作行初等变换，对方程组的系数矩阵作行初等变换
1 1 q 1 1 q A = 1 2q 1 → 0 1 1 p p 1 1 0 0 q( p 1)
x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0.
线性表示且表法唯一. 线性表示且表法唯一. 线性相关，线性无关，例⒋设 α1 , α 2 , α 3 线性相关，α 2 , α 3 , α 4 线性无关，线性表出， α 问 α1 能否由 α 2 , α 3 线性表出， 4 能否由 α1 , α 2 , α 3 线性表出？线性表出？ Q 线性无关，线性无关，解： α 2 , α 3 , α 4 线性无关，∴α 2 , α 3 线性无关，又 Qα1 , α 2 , α 3 线性相关，线性相关，

第四章线性方程组 (1)

、典型例题
南京林业大学理学院许永平
例1 求齐次线性方程组的一个基础解系 0 x1 + 2 x2 + x3 − x4 = 0 3 x1 + 6 x2 − x3 − 3 x4 = 5 x + 10 x + x − 5 x = 0 2 3 4 1 解 1 3 5 系数矩阵进行初等行变换： 1 2 0 1 2 1 −1 1 2 1 −1 0 0 1 0 → 6 −1 −3 → 0 0 −4 0 0 0 0 0 0 0 −4 0 10 1 −5
3. 非齐次线性方程组
南京林业大学理学院许永平
Ax = b
A = ( A, b ) （增广矩阵）
1) R( A) < R( A) ⇒ Ax = b无解； 2) R( A) = R( A) = n ⇒ Ax = b有唯一的解； 3) R( A) = R( A) = r < n ⇒ Ax = b有无穷多解。
⇒ η1 = ( − b, a ,0)
T
⇒ η2 = ( − c ,0, a )T
( k1 , k2 ∈ R )
南京林业大学理学院许永平
例3 设n阶矩阵A和各行之和均为零，且A和秩为
n − 1, 则线性方程组Ax = 0的通解为______.
分析：各行之和为零，而方程组为
0 a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = a x + a x + + a x = 0 21 1 22 2 2n n 0 an1 x1 + an 2 x2 + + ann xn = ai 1 + ai 2 + + ain = 0 ⇒x= (1,1, ,1)T

第四章线性方程组

第四章线性方程组第1讲齐次线性方程组齐次方程组（矩阵形式 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n mn m m nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a """""""""""""0=Ax ）①其中 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛==mn m m n n mxnij a a a a a a a a a a A """""""212222111211)(⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=n x x x x #21 解的判定：① 只有零解n A r =)(⇔0=Ax ②有非零解（或无穷多解）n A r <)(⇔0=Ax 解的结构：1.如果1 , 2ξξ都是①的解，则1122k k ξξ+ （为任意实数）还是①的解.21,k k 2.设，，则方程组mxn A A =n r A r <=)(0=Ax 的基础解系含有r n −个解向量. 此时设12 , ξξ,,"n r ξ− 为①的r n −个线性无关解,则①的通解为 1122n r n r x k k k ξξξ−−=+++"基础解系：向量组m ααα,,,21"为的基础解系的充要条件为：0=AX 1.每一个i α都是的解 2.0=AX m ααα,,,21"线性无关 3.()m n r A =− 例1．设1α,2α,3α是的基础解系,则该方程组的基础解系还可表示成( ) 0=Ax (A) 1α,2α,3α 的一个等价向量组 (B) 1α,2α,3α 的一个等秩向量组 (C) 1α,21αα+,321ααα++ (D) 21αα−,32αα−,13αα− 例2．求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=−+=−+−030 03423214314321x x x x x x x x x x 的基础解系。

线性方程组习题

第四章线性方程组习题1231231231.322.x x x x x x x x x λλλλλ++=-⎧⎪++=-⎨⎪++=-⎩取何值时，线性方程组有唯一解，无解或有无穷多解？当方程组有无穷多解时求其通解12,312132.,(3,1,1),(2,0,2),.T T AX b ηηηηηηη+=-+=-=设三元非齐次方程组AX=b 的系数矩阵A 的秩为2，且它的三个解向量，满足求的通解1234123413412422123.21,223,2,335x x x x x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++=⎪⎨-+=⎪⎪-+=⎩=设线性方程组则方程组满足条件的全部解为什么？1231234122304.().()20(2,1,2,1),(1,2,4,8).(1)()(2)()()T T x x x I II x x x x a a I a I II αα+-=⎧⎨++-=⎩-+-+设四元齐次线性方程组为而已知另一四元齐次线性方程组的一个基础解系为＝＝求方程组的一个基础解系.当为何值时，方程组与方程组有非零公共解？在有非零公共解时，求出其所有非零公共解.1231235.(120,2),(1,4,2,),(3,3,1,6)(151,),(1,8,2,2),(5,2,,10),T T T T T T a a b a b ξξξηηη------已知向量组＝，，－＝＝与向量组＝，，＝＝均是齐次线性方程组的基础解系，则应满足什么条件？12126.00,,,,.t t AX AX αααβββαβαβα==设,,,是齐次线性方程组的一个基础解系，向量不是方程组的解，证明：向量组+++线性无关7.()1,0.n A r A n AX =-=设阶方阵的各行元素之和都为零，且求方程组的一般解128.0,0,0(,,,)().ij T i i in n A A A AX k A A A k R =≠=∈设阶方阵的行列式且有某个代数余子式证明:方程组的一般解为12123129.112133321,.x x k k x k k -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦设一个非齐次线性方程组的全部解为其中为任意常数，求满足此条件的一个非齐次线性方程组12121*110.,,,,,,,,(1)()(2)()(3);(4)(5)(6)n n m T n A kA k A m A A A A A P n P AP λλλξξξ--已知阶方阵的特征值为对应的特征向量分别为则为常数的特征值为，对应的特征向量为；为正整数的特征值为，对应的特征向量为；的特征值为，对应的特征向量为可逆时，的特征值为，对应的特征向量为；可逆时，的特征值为，对应的特征向量为；为阶可逆矩阵，的特征值为，对应的特征10111011(7)()().m m m m m m m m f x c x c x c x c f A c A c A c A c I ----++++向量为；设＝++，则矩阵多项式＝++的特征值为,对应的特征向量为3211.31,1,2,2||.A B A A B -=-=已知阶方阵的特征值为则矩阵的特征值为，1212212.(,,,),(,,,)0,,(1);(2)T T T n n T a a a b b b A A A αβαβαβ====设向量都是非零向量，且满足记求矩阵的特征值和特征向量.20010013.22020.31100A a B a b b --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭已知矩阵与相似，求和的值*214.||0,().A n A A A E λ≠+设为阶矩阵，若有特征值，则必有特征值*15.3||0,2,2,4.A A A A ≠设为阶矩阵，的特征值是－－，求的特征值 *16.(1,3,2)(1,1,2),(2).T T T B A B A E αβαβ==-=+已知,,,若矩阵相似，则的特征值为1*32201017.232101,2223001A P B P A P B E -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥===+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设矩阵,,求的特征值和特征向量.*18.|3|0,2,||0,T A I A AA I A A +==<设矩阵是4阶方阵，满足求的一个特征值.121119.121(1,,1),.112T A A k k α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭设方阵的逆的特征向量为＝求的值11220.301(1)428;401133(2)353.664P AP A A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭判断下列矩阵是否可相似对角化？若可以，求出可逆矩阵P,使为对角矩阵.12321.(1,2,3),(1,22),(2,21),(2,1,2),.T T T i i A A i i A ααααα==--设三阶方阵满足其中＝，＝－，＝求方阵12312322.111123149113(1),,(2).n A A ξξξββξξξβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭设三阶方阵的特征值为1,2,3,对应的特征向量依次为＝＝＝又向量＝将用线性表示；求3223.12,12,(1)(2)||2B A B B A A B I =-+已知三阶方阵的特征值为，－，又方阵求方阵的特征值及其相似对角阵；和||.42224.040,().022n A A n ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭设求为正整数。

线性代数第4章习题答案(48p)

k 1 k 1 −1 = k 2 − 3k − 4 = (k − 4)(k + 1) ≠ 0 1
由于 D = 1
2 −1
⇒ k ≠ 4且k ≠ −1. 故应选 (C) .
(2) 线性方程组 Am×n X = b 有唯一解的条件是 B ). 有唯一解的条件是( (B) R(A) = R(A b) = n ; (A) m = n ; ) 都不对. 都不对 (C) Ax = θ 只有零解只有零解; (D) (A),(B),(C)都不对解: 线性方程组 Am×n X = b 有唯一解的充要条件是其系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等且为n 选项(A)只系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等且为 . 选项只表明方程组中方程的个数与未知量个数相同, 表明方程组中方程的个数与未知量个数相同此时系数矩阵的秩与增广矩阵的秩未必相等且为n 数矩阵的秩与增广矩阵的秩未必相等且为 , 故选项 (A)不正确选项成立的条件是系数矩阵的秩为 , 不正确. 选项(C)成立的条件是系数矩阵的秩为成立的条件是系数矩阵的秩为n 不正确也不正确. 但此时增广矩阵的秩未必为n, 故选项(C)也不正确但此时增广矩阵的秩未必为故选项也不正确由排除法知选项(B)正确因此应选(B). 由排除法知选项正确, 因此应选正确
四. 求方程组
x1 + 2 x2 + 3 x3 + 4 x4 = 5 的特解. x1 − x2 + x3 + x4 = 1 的特解
解: B = 1 2 3 4 5 → 1 2 3 4 5 1 −1 1 1 1 0 −3 −2 −3 −4
∴ R( A) = R( B) = 2 < 4 = n.
α 4. 设Ax = b为四元齐次线性方程组，R(A)=3，1 , α 2 , α 3 为四元齐次线性方程组，为四元齐次线性方程组，

第四章线性方程组习题及答案

第四章线性方程组1．设齐次方程组1231231230030x ax x ax x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 有非零解，求a 及其通解.解：因为此方程组有非零解，故系数矩阵的行列式为零.2211||1131********a aa a a a ==-+--+=-=-A所以，21a =，即1a =±（1）当1a =时，对此方程组的系数矩阵进行行变换111111120111000011113022000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭A原方程组等价于1223200x x x x +=⎧⎨-=⎩, 即 12322x x x x =-⎧⎨=⎩. 取21x =，得1211-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ为方程组的基础解系. 则方程组的通解为1(2,1,1),k k k ==-∈X ξTR .（2）当1a =-时，111111110111001001113000000---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭A原方程组等价于1230x x x -=⎧⎨=⎩取21x =，得()T21,1,0=ξ为方程组的基础解系.故通解为2(1,1,0),TR k k k ==∈X ξ.2．解齐次方程组（1）12341234123420222020x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+++=⎨⎪++-=⎩ （2）12341234123412342350327043602470x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩（3）12341234123420510503630x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪++-=⎨⎪+--=⎩ （4）12341234123412343457041113160723023320x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎪⎨-++=⎪⎪-+-=⎩（1）解：对此线性方程组的系数矩阵进行初等行变换211111211010221201310103112100340034---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭A原方程组等价于 132434030340x x x x x x -=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩即 1323439434x x x x x x ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩取34x =，得()T4,9,4,3=-ξ为原方程组的基础解系. 故通解为 ,R k k =∈X ξ.（2）解：对线性方程组的系数矩阵进行初等行变换2315231531271231241361051312471247--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭A 123121231207729011746028250015015000327----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故 ||0≠A ，所以此方程组只有零解,即 T(0,0,0,0)=X .（3）解：对线性方程组的系数矩阵进行初等行变换1211120151015001036130000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A原方程组等价于142320x x x x =-⎧⎨=⎩ 取 2410,.01x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得 ()()TT122,1,0,0,1,0,0,1=-=ξξ为方程组的基础解系.所以，原方程组的通解为 112212(,)R k k k k =+∈X ξξ.（4）解：对方程组的系数矩阵进行初等行变换，34571789411131617897213017192023322332--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭A 1789017192000000000-⎛⎫ ⎪-- ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭原方程组等价于123423478901719200x x x x x x x +-+=⎧⎨-+-=⎩ 即 134234313171719201717x x x x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩取 34170,017x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得 ()()TT123,19,17,0,13,20,0,17==--ξξ为方程组的基础解系.故通解为 112212,,k k k k =+∈X ξξR .3．解非齐次方程组（1）1231231232104221138x x x x x x x x -+=⎧⎪+-=⎨⎪+=⎩ （2）12312312312323438213496245x x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪+-=⎪⎨-+=-⎪⎪-+=-⎩ （3）1234123412342133344352x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪+-+=-⎩（1）解：对此方程组的增广矩阵进行初等行变换3121031210()42121338113081332--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A b 133801011340006--⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭因为 ()23()r r =≠=A A b所以，此方程组无解.（2）解：对此方程组的增广矩阵进行初等行变换231412453821307714()41960141428124507714--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪=→⎪ ⎪--- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭A b 12451021011201120000000000000000---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭原方程组等价于 1323212x x x x +=-⎧⎨-=⎩此方程组对应的导出组的基础解系为()T2,1,1=-ξ此方程组的特解为 ()T01,2,0=-η 故方程组的通解为 0k k =+∈X ξηR .（3）解：对此方程组的增广矩阵进行初等行变换2111114352()331340759514352015101810---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭A b 143520759501000--⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪-⎝⎭103520100000595--⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪-⎝⎭原方程组等价于 1342343520595x x x x x x -+=-⎧⎪=⎨⎪-=⎩即 142342150915x x x x x ⎧=+⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩此方程组对应导出组的基础解系为 ()T2,0,9,5=ξ特解为 ()T01,0,1,0=η 故通解为 0k k =+∈X ξηR .4．求解非齐次方程组（1）1234523451234512345226323054332x x x x x a x x x x b x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++=⎪⎨+++-=⎪⎪+++-=⎩ （2）1234123412341234230264132716x x x x x x x x x x px x x x x x t+-+=⎧⎪+-+=-⎪⎨+++=-⎪⎪---=⎩（1）解：对此非齐次线性方程组的增广矩阵进行初等行变换111111111101226012263211300122635433120122625a ab b a a ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪→ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭ 111111111101226012260000030000030000025000001a a b b b a b b a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭①当1a ≠，或3b ≠时，方程组无解; ②当1a =且3b =，方程组有无穷多解; 此时方程组等价于 12345234512263x x x x x x x x x ++++=⎧⎨+++=⎩即 13452345522263x x x x x x x x =++-⎧⎨=---+⎩取 3451000,1,0001x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭得对应的导出组的基础解系()T 11,2,1,0,0=-ξ，()T 21,2,0,1,0=-ξ，()T35,6,0,0,1=-ξ，()T02,3,0,0,0=-η为特解.故通解为1122330k k k =+++X ξξξη， 123,,k k k ∈R . （2）解：对方程组的增广矩阵进行初等行变换1123011230216410122132710162111610244P P t t --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪------⎪ ⎪→ ⎪ ⎪--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭11230012210080000002P t -⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭①当2t ≠-时，方程组无解.②当2t =-，8P =-时，方程组有无穷多解.此时，原方程组等价于1234234230221x x x x x x x +-+=⎧⎨++=⎩即 13423441221x x x x x x =--⎧⎨=--+⎩则 ()T14,2,1,0=-ξ，()T21,2,0,1=--ξ为导出组的基础解系()T01,1,0,0=-η为方程组的一个特解，故通解为1122012,,k k k k =++∈X ξξηR .③ 2t =-，8P ≠-时，方程组有无穷多解此时，原方程组等价于12342343230220(8)0x x x x x x x P x +-+=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩即 142431210x x x x x =--⎧⎪=-+⎨⎪=⎩则 ()T1,2,0,1=--ξ为导出组的基础解系, ()T01,1,0,0=-η为方程组的一个特解. 故方程组的通解为0k k =+∈X ξηR .5．讨论方程组的解，并求解123123123(3)2(1)23(1)(3)3a x x x a ax a x x aa x ax a x +++=-⎧⎪+-+=⎨⎪++++=⎩解：线性方程组的系数矩阵的行列式为312132132||111112323(1)3333333a a a a a a aa a a aa aa a a a a +++=-=-=-----++++++A21320033a aa a a +=----+221120(1)03a a a a a a a +=-=---+令||0=A ，则0a =或1a =（1）0a =时. 线性方程组的增广矩阵为31203120()0110011030330113⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A b 312001100003⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭因为()23()r r =≠=A Ab所以，此时方程组无解;（2）当1a =时, 41211012()1012012961430000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A b方程组等价于1323229x x x x =-+⎧⎨=-⎩，()T1,2,1=-ξ为导出组的基础解系,()T02,9,0=-η为方程组的一个特解. 故通解为0k k =+∈X ξηR .（3）当0a ≠且1a ≠时，方程组有唯一解.2129a x a +=-，222339a a x a ++=，3239a x a +=. 6．设T T11012,,0,,2180⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭αβγA αβB βα，其中T β是β的转置，求解方程22442=++B A x A x B x γ. 解：将TT T ,,2===A αβB βαβα代入下式得22T TTT4T222=⋅B A x βαβααβαβx αβx = 4TTTT3T2=⋅⋅⋅=A x αβαβαβαβx αβx 442=B x x 由 22442=++B A x A x B x γ 得4T 3T 4222=++x x x γαβαβ3T T32(22)--=αβαβE x γ 3T32(2)-=αβE x γ又 T1101212(10)210211102⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭αβ所以 3110222101122⎛⎫- ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭x γ即 12384001680084168-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭x x x对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换84002100202216800012201228416800000000----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭方程组等价于 1323122+=-⎧⎨-=⎩x x x x ，即1323122x x x x =--⎧⎨=+⎩，121-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ为导出组的基础解系.0120-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭η为方程组的一个特解. 故通解为 0R k k =+∈X ξη. 7．已知向量组12301,2,1110a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭βββ与向量组1231392,0,6317⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα具有相同的秩，且3β可由123,,ααα线性表示，求,a b 的值. 解：因为3β可以由123,,ααα线性表示所以，1233(,,)=X αααβ有解.即 1231233(,,)(,,)r r =ααααααβ1233(,,)αααβ13913920610612123170010203b b b b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭139210126500030b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 因为 1231233(,,)(,,)r r =ααααααβ所以 1231233(,,)(,,)2r r ==ααααααβ 故50,530bb -==又 123(,,)βββ01101101210310311100003a b a b a b ⎛⎫⎪--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭ 因为 123123(,,)(,,)r r =αααβββ所以 03ab -= 315a b ==.8．设向量组12311111,1,1,11111λλλ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααβ讨论λ取可值时，β不能由123,,ααα线性表示. λ取何值时，β可由123,,ααα唯一线性表示. λ取何值时，β可由123,,ααα线性表示，且有无穷多种表示形式.解：β是否能由123,,ααα线性表示，也即是非齐次线性方程组123(,,)=αααX β是否有解.321(,,)αααβ211111111111100111101(1)λλλλλλλλλ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+--+-⎝⎭⎝⎭行2111100003λλλλλλ+⎛⎫ ⎪−−→- ⎪ ⎪---⎝⎭行（1）当0λ=时，123123(,,)(,,)2r r ==ααααααβ，则123(,,)=αααX β有无穷多解. 也即β可由123,,ααα线性表示，并且有无穷多表示方法. 121122312(1),k k k k k k =--++∈βαααR ;（2）3λ=-时，123123(,,)23(,,)r r =≠=ααααααβ，故方程组123(,,)=αααX β无解，也即β不能由123,,ααα线性表示;（3）0,3λλ≠≠-时，123123(,,)(,,)r r =ααααααβ，则方程组123(,,)=αααX β有唯一解. 即β可由123,,ααα唯一线性表示.13λ=+β123(,,)ααα. 9．设四阶方阵A 的秩为2，且(1,2,3,4)i i ==A ηb ，其中122334112112,,012002⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ηηηηηη 求非齐次方程组=AX b 的通解.解：因为()2r =A ，故非齐次线性方程组=AX b 的导出组的基础解系含有2个向量又 1231202()()10⎛⎫ ⎪- ⎪=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ξηηηη，2342313()()12⎛⎫ ⎪ ⎪=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ξηηηη为=AX b 对应导出组的2个线性无关的解向量，即12,ξξ是=AX b 导出组的基础解系0121()2=+ηηη是=AX b 的一个解.故=AX b 的通解为1122012,k k k k =++∈X ξξηR . 10．已知方程组（I ）的通解为1212(0,1,1,0)(1,2,2,1),k k k k =+-∈X T TR设方程组（II ）为 122400x x x x +=⎧⎨-=⎩问方程组（I ）、（II ）是否有非零公共解，若有，求其所有公共解. 解：由题意，（I ）的通解为212121212201212,21201R k k k k k k k k k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪=+=∈ ⎪⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭X将X 的表达式代入方程组（II ）得2121222020k k k k k k -++=⎧⎨+-=⎩ 即 12k k =-所以（I ）和（II ）有公共解，并且公共解为()()11,,,1,1,1,1k k k k k k =---=---∈X T TR .11．设四元齐次方程组（I ）为123123423020x x x x x x x +-=⎧⎨++-=⎩ 且已知另一四元齐次方程组（II ）的一个基础解系为T1(2,1,2,1)a =-+α，T 2(1,2,4,8)a =-+α，（1）求方程组（I ）的一个基础解系（2）当a 为何值时，方程组（I ）与（II ）有非零公共解？在有非零公共解时，求出全部非零公共解.解：（1）方程组（I ）123123423020x x x x x x x +-=⎧⎨++-=⎩显然，系数矩阵的秩为2. 对（I ）的系数阵进行初等行变换2310231012113501--⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭故方程组（I ）与1231242335x x x x x x +=⎧⎨+=⎩等价取 1210,01x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得 ()()TT121,0,2,3,0,1,3,5==ββ为（I ）的一个基础解系.（2）若（I ）、（II ）有非零公共解，即存在不全为0的数1234,,,x x x x ，使11223142x x x x +=+ββαα （*）即 12121234(,,,)0x x x x ⎛⎫⎪ ⎪--= ⎪ ⎪⎝⎭ββαα有非零解故 1212(,,,)4r --<ββαα. 1212(,,,)ββαα10211021112011223240326351805511a a a a --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪--⎪ ⎪=−−→⎪ ⎪----+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭行1021011200100001a a -⎛⎫⎪- ⎪−−→⎪+ ⎪⎪+⎝⎭行所以 1a =-时，方程组有非零解此时 1342342020x x x x x x -+=⎧⎨+-=⎩即 13423422x x x x x x =-⎧⎨=-+⎩所以 ()()T T122,1,1,0,1,2,0,1=-=-ξξ为（*）的基础解系.将12,ξξ表示式代入（*）得（I ）、（II ）的全部解为()()TT122,1,1,11,2,4,7k k =-+-X （12,k k 为不同时为0的常数）.12．设112224336⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，求一秩为2的矩阵B ，使.=AB 0解：先求=AX 0的基础解系112112224000336000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A故齐次线性方程组=AX 0等价于12320x x x ++= 1232x x x =--得 ()()TT121,1,0,2,0,1=-=-ξξ为=AX 0的一个基础解系令 121001--⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ，()2r =B 并且 =AB 0.13．设T 2122(),(,,,)ij n n n a x x x ⨯==A X ，方程组=AX 0的一个基础解系为T 12,2(,,,),1,2,,i i i n b b b i n =，求方程组 1111221,222112222,221122,22000n n n n n n n n n b y b y b y b y b y b y b y b y b y +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的通解.解：将题中所求通解的线性方程组记为=BY 0由题意 1112121121121222212222122122220n n n n n n n n n n n n a a a b b b a a a b b b a a a b b b ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 两边取转置1112121121121222212222122122220n n n n n n n n nnn n b b b a a a b b b a a a b b b a a a ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭故T A 的每一列为=BY 0的解向量.又 =AX 0的基础解系含有n 个向量，所以，()2r n n n =-=A ，则A 的行向量组线性无关. 又 ()r n =B ，所以，A 的行向量组为=BY 0的基础解系.14．已知4阶方阵1234(,,,)=A αααα，其中234,,ααα线性无关，1232=-ααα，如果1234=+++βαααα，求线性方程组=AB β的通解.解：因为234,,ααα线性无关，又123420=-+⋅αααα, 则 ()3r =A . 所以，=AX 0的基础解系只含有1个向量.又 1234200+-+⋅=αααα所以 123412(,,,)100⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭αααα 故 ()T1,2,1,0=-ξ为=AX 0的一个基础解系. 又 1234+++=ααααβ则 123411(,,,)11⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ααααβ 所以 ()T01,1,1,1=η为=AB β的一个特解故 =AB β的通解为0R k k =+∈X ξη.15．设()ij m n a ⨯=A 的行向量组是某个齐次线性方程组的基础解系. 证明()ij m n b ⨯=B 的行向量组也是该方程组的基础解系⇔存在可逆阵()ij m m p ⨯=P ，使1,1,2,,,1,2,,mij ik kj k b p a i m j n ====∑.解：设m n ⨯A 的行向量组是=CX 0的基础解系，若m n ⨯B 的行向量组也是=CX 0的基础解系, 则A 的行向量组与B 的行向量组等价故存在可逆阵P ，使得 =B PA , 所以 1mij ik kjk b P a==∑ 1,2,,i m =，1,2,,j n =.反之，若存在可逆阵,()ij m m P ⨯=P P ，使得1,1,2,,;1,2,,mij ik kj k b P a i m j n ====∑则=B PA ，故A 的行向量组与B 的行向量组等价.又因为A 的行向量组是=CX 0的基础解系. 所以，B 的行向量组也是=CX 0的基础解系.16.设=AX 0的解都是=BX 0的解，则=AX 0与=BX 0同解()()r r ⇔=A B . 证：必要性.若=AX 0与=BX 0同解，则=AX 0与=BX 0具有相同的解空间, 即()()=N A N B 故 ()()n r n r -=-A B , 所以()()r r =A B .充分性.设1,,n r -ξξ是=AX 0的基础解系，()r r =A ，因为=AX 0的解都是=BX 0的解. 所以，1,,n r -ξξ是=BX 0的n r -个线性无关的解向量.又()()r r =A B ，所以，=BX 0的基础解系所含向量的个数为 ()()n r n r n r -=-=-B A因此，1,,n r -ξξ为=BX 0的一个基础解系. 故=AX 0与=BX 0同解.17．设A 为m p ⨯阵，B 为p n ⨯阵，证明=ABX 0与=BX 0同解()()r r ⇔=AB B证：必要性.因为=ABX 0与=BX 0同解，所以，=ABX 0与=BX 0有相同的解空间, 即()()=N AB N B 因此()()n r n r -=-AB B , 故()()r r =AB B . 充分性.设1X 是=BX 0的解，1=BX 0. 则1==ABX A 00. 所以，=BX 0的解都是=ABX 0的解.设1,,n r -ξξ是=BX 0的基础解系，()r r =B ，则1,,n r -ξξ也是=ABX 0的线性无关解向量. 并且，=ABX 0的基础解系所含向量的个数为()()n r n r n r -=-=-AB B所以 1,,n r -ξξ为=ABX 0的基础解系，故=ABX 0与=BX 0同解.18．设A 为m n ⨯阵，B 为m p ⨯阵，证明=AX B 有解()()r r ⇔=A B A证：必要性.A 为m n ⨯阵，B 为m p ⨯阵，=AX B ，则X 为n p ⨯阵令 1(,,)p =X X X ，1(,,)p =B b b因为 =AX B 所以 1122,,,p p ===AX b AX b AX b 故 12()()()()p r r r r ===A b A b A b A即矩阵B 的列向量组可以由A 的列向量组线性表示所以 ()()r r =A B A 充分性.若 ()()r r =A B A ，又由1(,,)p =B b b有 ()()()()1,,i r r r r i p ≤≤==A A b A B A所以 ()()1,,i r r i p ==A b A故 12,,,p ===AX b AX b AX b 有解. 设解分别为12,,,p X X X 1212(,,,)(,,,)p p =A X X X b b b即 =AX B 有解.19．设A 为m n ⨯阵，B 为l n ⨯阵，则=AX 0与=BX 0同解⇔()()r r r ⎛⎫== ⎪⎝⎭A AB B证：若=AX 0与=BX 0同解，则⎛⎫= ⎪⎝⎭A XB 0与=AX 0同解.又 ⎛⎫= ⎪⎝⎭A XB 0的解一定是=AX 0的解.由题16， ()r r ⎛⎫= ⎪⎝⎭A A B同理， ()r r ⎛⎫= ⎪⎝⎭A B B故 ()()r r r ⎛⎫== ⎪⎝⎭A A B B .反之，若 ()()r r r ⎛⎫== ⎪⎝⎭A AB B .因为，⎛⎫=⎪⎝⎭A X B 0的解都是=AX 0的解. 所以，由题16，⎛⎫= ⎪⎝⎭A XB 0与=AX 0同解. 又因为⎛⎫= ⎪⎝⎭A X B 0的解都是=BX 0的解，所以 ⎛⎫= ⎪⎝⎭A XB 0与=BX 0同解，故，=AX 0与=BX 0同解.20．设T (),0ij n n a ⨯⎛⎫==⎪⎝⎭Ab A B b ，其中T 12(,,,)n =b b b b ，若()()r r =A B ，则=AX b 有解.证：因为 ()()()()r r r r ≤≤=A A b B A 所以， ()()r r =A b A故 =AX b 有解.21．设A 为(1)n n ⨯-阵，,()n∈=b R B A b ，若b =AX 有解，则||=B 0. 又当()1r n =-A 时，b =AX 有解||⇔=B 0.证：（1）因为A 为(1)n n ⨯-阵，所以()1n ≤-R A .故()()1r r n n =≤-<A b A又 ()=B A b 为n n ⨯阵，故 ||=B 0.（2）若()1r n =-A ，=AX b 有解，则()()1r r n ==-A b A所以||0=B .反之，若||,()1r n ==-B A 0. 故 ()1r n =-B即 ()()()1r r r n ===-A A b B 所以=AX b 有解.22．若方阵A 的行列式为0，则A 的伴随阵*A 各行成比例. 证：因为||0=A ，所以()1r n ≤-A . （1）若()1r n =-A ，则*()1r =A .故*A 的行向量组的秩为1，不妨设第一行1α为行向量的极大无关组，则剩余行向量均可以由1α线性表示，故各行成比例.（2）若()1r n <-A ，则*()0r =A ，即*=A 0，显然各行成比例.23．设(1)(),()ij n n a r n ⨯+==A A ，则方程组0=AX 的任意两解成比例. 证：因为A 为(1)n n ⨯+阵，()r n =A所以，=AX 0的基础解系所含向量个数为(1)1n n +-=. 设ξ为=AX 0的一个基础解系. 则任意解,R k k =∈X ξ. 所以，任意两解成比例.24．设()ij n n a ⨯=A ，且10,1,2,,nijj ai n ===∑，则A 不可逆.证：由于10nijj a==∑故 111⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A 0. 所以，()T1,1,,1=X 是=AX 0的解.即齐次线性方程组=AX 0有非零解，故||0=A .25．设A 为n n ⨯实矩阵，若对任意n 维非零列向量X ，均有T0>X AX ，则||0.≠A 证：反证，若||0=A则 =AX 0有非零解设1X 是=AX 0的一个非零解，则1=AX 0T T 11100=⋅=X AX X此与对任意 ≠X 0，T0>X AX 矛盾.26．设A 为（实）反对称阵，D 为对角元全大于0的对角阵，则||0+≠A D ，且还有||0.+>A D证：（1）反证，若||0.+=A D 则 ()+=A D X 0有非零解，设为1X1()+=A D X 0进而 T11()0+=X A D XT T 11110+=X AX X DX因为A 为反对称阵，所以 T110=X AX 故 T110=X DX但 1diag(,,),0n i a a a =>D所T110>X DX ，此为矛盾所以, ||0+≠A D . （2）令()||[0,1]f x x x =+∈A D假设 ||0+<A D .因为 (0)||0f =>D ，(1)||0f =+<A D . 由介值定理存在0(0,1)x ∈使得00()||0f x x =+=A D0001||||0x x x +=+=D A D A 0x D 为对角元全大于0的对角阵. 但由第（1）步 0||0x +≠DA 矛盾. 故||0+>A D . 27．求出平面上n 点(,)(1,2,,(3))i i x y i n n =≥位于一条直线上的充要条件.证：设n 点所共直线为y kx b =+，则关于,k b 的方程组i i y kx b =+ (1,,)i n =有解，从而矩阵12111n x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与1122111n n x y x y x y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的秩相等，故11221131nn x y x y r x y ⎛⎫ ⎪ ⎪< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，反之，若 11221131nn x y x y r x y ⎛⎫ ⎪ ⎪< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （1）若12n x x x ==，则此n 点共线.（2）否则，121121n x x r x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，但11221131nn x y x y r x y ⎛⎫ ⎪ ⎪< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 故 11221121nn x y x y r x y ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，从而 12111n x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 与 1122111nn x y x y x y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的秩相等. 方程组（未知量为,k b ）1122n nkx b y kx b y kx b y +=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩ 有解，于是n 点共线，故平面上n 点(,)1,,;1,,i i x y i n y n ==共线的充要条件是 11221131nn x y x y r x y ⎛⎫ ⎪ ⎪< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 即 11221131n n x y x y r x y ⎛⎫ ⎪ ⎪< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 28．求出平面内n 条直线0(1,2,,)i i i a x b y c i n ++==共点的充分必要条件. 证：若平面内n 条直线0i i i a x b y c ++=(1,2,,)i n =共点，则线性方程组 111222000n n n a x b y c a x b y c a x b y c ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩ 有解，故矩阵1122n n a b a b a b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 与 111222n n n a b c a b c a b c ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的秩相等. 反之，若矩阵1122n n a b a b a b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与111222n n n a b c a b c a b c ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭秩相等，则线性方程组 111222000n n n a x b y c a x b y c a x b y c ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩ 有解，即n 条直线共点.故n 条直线0(1,2,,)i i i a x b y c i n ++==共点的充要条件是矩阵1122nn a b a b a b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与111222n n n a b c a b c a b c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的秩相等. 29．设T12(,,,)(1,2,,;)i i i in a a a i r r n ==<α是n 维实向量，且12,,,r ααα线性无关，已知T 12(,,,)n b b b ==β是线性方程组11112212122221122000n n n nr r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 的非零解向量，试判断向量组12,,,r ααα，β的线性相关性. 解：设有一组数12,,,,r k k k k 使得11220r r k k k k ++++=αααβ成立，因为T 12(,,,)n b b b ==β是线性方程组111122121122221122000n n n n r r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的解，且0≠β，故有T(1,2,,)i i r ==αβ即 T(1,2,,)i i r ==βα于是，由1122T T T T 0r r k k k k ++++=βαβαβαββ得 T0k =ββ，但T0≠ββ，故0k =.从而 11220r r k k k +++=ααα由于向量组12,,,r ααα线性无关，所以有120r k k k ====因此，向量组12,,,,r αααβ线性无关.30．已知向量()()()TTT1231,1,0,2,2,1,1,4,4,5,3,11=-=-=-ηηη，是方程组112334411223442122344324335a x x a x a x d x b x x b x d x c x x c x d ⎧+++=⎪+++=⎨⎪+++=⎩ 的三个解. 求该方程组的通解.解：由已知有()()TT21311,2,1,2,3,6,3,9-=--=-ηηηη是相应的齐次方程组的两个线性无关解.所以，系数矩阵的秩2≤，（因为4()2r -≥A ）.又系数矩阵134242424335a a ab b cc ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭有二阶子式43035≠所以，系数矩阵的秩2≥. 于是，系数矩阵的秩为2.故齐次方程组的基础解系包含2个向量，即2131,--ηηηη是齐次方程组的基础解系. 因此，该方程组的通解为121231112()()(,)R k k k k -+-+∈ηηηηη.31．设12,,,t ααα是齐次线性方程组0=AX 的基础解系，向量β不是0=AX 的解，试证向量组12,,,,t +++ββαβαβα线性无关.证：设有一组01,,,t k k k 得01112()()()0t t k k k k +++++++=ββαβαβα得 0121122()0t t t k k k k k k k ++++++++=βααα （1）由于12,,,t ααα是齐次线性方程组0=AX 的基础解系，向量β不是0=AX 的解，所以β不能表为1,,t αα的线性组合，所以010t k k k +++=因此（1）式变为 11220t t k k k +++=ααα由于1,,t αα线性无关，所以 120t k k k ====，进而00k =，故向量组12,,,,t +++ββαβαβα线性无关.32．已知齐次方程组（I ）124213224000x x x ax a x ax a x ++=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩的解都满足方程1230x x x ++=，求a 和方程组（I ）的通解.解：（I ）的解都满足1230x x x ++=的充要条件是（I ）与方程组1242132241230000x x x ax a x ax a x x xx ++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪++=⎩同解，于是该方程组系数矩阵的秩等于方程组（I ）的秩，即22110100001110a a a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B 与 2211010000a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A的秩相等，对,A B 都施以行变换得222110100aa a a a ⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪-⎝⎭A 2211010000110002a a a a ⎛⎫⎪⎪→ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭B 因此，当0a =时，秩()1=≠A 秩()2=B 不满足题意当0a ≠时 1101010001a a a ⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪-⎝⎭A 1101010001100021a a ⎛⎫ ⎪⎪→ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭B 使秩()=A 秩()3=B 的充要条件是12a =，此即12a =为题意所求.把12a =代入方程组（I ）得系数矩阵110011012111000102421100110024⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→ ⎪⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A 所以 14243411,,22x x x x x x =-=-=方程组（I ）的基础解系为 T11(,,1,1)22=--α通解为()R k k =∈X α. 33．设121201101t t t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，且方程组0=AX 的基础解系中含有两个解向量，求0=AX 的通解.解：因为4,()2n n r =-=A ，所以()2r =A 对A 施行初等行变换得1112121201011010211t t t t t t ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭A 2212120100(1)(1)t t t t ⎛⎫⎪→ ⎪ ⎪----⎝⎭221012220100(1)(1)tt t t t t --⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪----⎝⎭要使()2r =A ，则必有1t =，此时与0=AX 同解的方程组为13234x x x x x =⎧⎨=--⎩ 得基础解系 ()()TT121,1,1,0,0,1,0,1=-=-ξξ方程组的通解为 112212(,)R k k k k =+∈X ξξ.34．讨论三个平面11111:a x b y c z d π++=，22222:a x b y c z d π++=，33333:a x b y c z d π++=的位置关系解：设111222333a b c a b c a b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，111122223333a b c d a b c d a b c d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A（1）若()()3r r ==A A ，则三平面交于一点，因为三平面的联立方程组仅有唯一解.（2）若()3,()2r r ==A A ，则三平面不相交，因为此时三平面的联立方程组无解. 由()2r =A ，知A 的3个行向量123,,ααα线性相关，故存在3个不全为零的数，123,,k k k 使得1122330k k k ++=ααα，当123,,k k k 都不为零时，三平面中任意两平面的交线与另一平面平行；当123,,k k k 中有一个为零时，三平面中有两平面平行，另一平面与这两平面相交.（3）若()()2r r ==A A ，则三平面相交于一直线，因为此时三平面联立方程组有无穷多解.由于()2r =A ，则A 的3个行向量123,,βββ线性相关. 故存在3个不全为零的数123,,k k k ，使得1122330k k k ++=βββ，当123,,k k k 均不为零时，三平面互异；当123,,k k k 中有一个为零时，三平面中有两平面相重合.（4）若()2r =A ，()1r =A ，则三平面不交，因为此时三平面的联立方程组无解. 由()1r =A ，故三平面平行，又因为()2r =A ，所以三平面中至少有两个互异. （5）若()()1r r ==A A ，则三平面重合，因为此时三平面的方程实际上是一样的.。

线性代数练习题集--线性方程组

线性代数练习题集--线性方程组线性代数练习题第四章线性方程组系姓名第一节解线性方程组的消元法一．选择题：1．设A 是m ⨯n 矩阵，Ax =b 有解，则 [ C ] （A ）当Ax =b 有唯一解时，m =n （B ）当Ax =b 有无穷多解时，R (A )3．设A 是m ⨯n 矩阵，齐次线性方程组Ax =0仅有零解的充要条件是R (A ) [ D ] （A ）小于m （B ）小于n （C ）等于m （D ）等于n 二．填空题：1⎫⎛12⎛1⎫⎛x 1⎫⎪⎪⎪设A = 23a +2⎪，b = 3⎪，x = x 2⎪1a -2⎪ 0⎪ x ⎪⎝⎭⎝⎭⎝3⎭（1）齐次线性方程组Ax =0只有零解，则a ≠3或a ≠-1 （2）非齐次线性方程组Ax =b 无解，则a 三．计算题：⎧2x +y -z +w =1⎪1．求解非齐次线性方程组⎨4x +2y -z +w =2⎪2x +y -z -w =1⎩⎛21-111⎫r 2-2r 1⎛21-111⎫⎛21001⎫⎪r 3-r 1 ⎪r +r 2 ⎪42-112−−−→001-10−−−→001-10 ⎪⎪⎪ 21-1-11⎪ 000-20⎪ 000-20⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎧1-y⎪x =2=1⎧2x +y ⎧y =1-2x⎪⎪⎪z -w =0∴z =0或. ⎨⎨⎨z =0⎪⎪w =0-2w =0⎪w =0⎩⎩⎪⎩⎧λx 1+x 2+x 3=1⎪3．λ取何值时，非齐次线性方程组⎨x 1+λx 2+x 3=λ ⑴ 有唯一解⑵ 无解⑶ 有无穷多解⎪x +x +λx =λ223⎩1λ111λ111=λ3-3λ+2=(λ-1) 2(λ+2)λ11⎫⎛111⎪11⎪→ 00000011⎪⎭⎝111⎫⎛2⎪-21-2⎪→ 101-24⎪⎭⎝1⎫⎪0⎪，有无穷多解；0⎪⎭111⎫⎪-21-2⎪，方程组无解。

003⎪⎭当λ≠1,-2时，方程有唯一解⎛11当λ=1时 1111⎝⎛-2当λ=-2时 11⎝线性代数练习题第四章向量组的线性相关性系姓名第四节线性方程组的解一．选择题：T T1．设A 是5⨯4矩阵，A =(α1, α2, α3, α4) ，已知η1=(0, 2, 0, 4) ，η2=(3, 2, 5, 4) 是Ax =0的基础解系，则 [ D ] （A ）α1, α3线性无关（B ）α2, α4线性无关（C ）α1不能被α3, α4线性表示（D ）α4能被α2, α3线性表示η1, η2是其两个特解，2．设A 是5⨯4矩阵，若Ax =b 有解，导出组Ax =0的基础解系是α1, α2，则不正确的结论是 [ B ] （A ）Ax =b 的通解是k 1α1+k 2α2+η1 （B ）Ax =b的通解是k 1α1+k 2α2+(η1+η2) （C ）Ax =b 的通解是k 1(α1+α2) +k2α2+(η1+η2) /2（D ）Ax =b 的通解是k 1(α1+α2) +k 2(α2-α1) +2η1-η23．设α1, α2, α3是四元非齐次线性方程组Ax =b 的三个解向量，且R (A ) =3，α1=(1, 2, 3, 4) T ，α2+α3=(0, 1, 2, 3) T ，C 表示任意常数，则线性方程组Ax =b 的解是 [ C ]（A ）(1, 2, 3, 4) T +C (1, 1, 1, 1) T （B ）(1, 2, 3, 4) T +C (0, 1, 2, 3) T （C ）(1, 2, 3, 4) T +C (2, 3, 4, 5) T （D ）(1, 2, 3, 4) T +C (3, 4, 5, 6)T⎧λx 1+x 2+λ2x 3=0⎪4．齐次线性方程组⎨x 1+λx 2+x 3=0 的系数矩阵记为A ，若存在三阶矩阵B ≠0使得⎪x +x +λx =023⎩1AB =0，则 [ C ]（A ）λ=-2且B =0，（B ）λ=-2且B ≠0 （C ）λ=1且B =0 （D ）λ=1且B ≠0 二．填空题：1⎫⎛12⎛1⎫⎛x 1⎫⎪⎪⎪1．设A = 23a +2⎪，b = 2⎪，x = x 2⎪1a -2⎪ 3⎪ x ⎪⎝⎭⎝⎭⎝3⎭（1）齐次线性方程组Ax =0只有零解，则a （2）非齐次线性齐次组Ax =b 无解，则a = 三．计算题：1．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知η1, η2, η3是它的三个解向量，且η1=(2, 3, 4, 5) T ，η2+η3=(1,2,3,4)T ，求该方程的通解解：设方程为Ax =b , 则A η1=A η2=A η3=b那么A (2η1-η2-η3) =2b -b -b =0故2η1-η2-η3是Ax =0的解.又n -R (A ) =4-3=1, 故Ax =0的基础解系只有一个向量⎛3⎫⎛2⎫⎪⎪4⎪ 3⎪所以Ax =b 的通解为k (2η1-η2-η3) +η1=k +. 5⎪ 4⎪⎪⎪⎝6⎭⎝5⎭⎧x 1-5x 2+2x 3-3x 4=11⎪2．求非齐次线性方程组⎨5x 1+3x 2+6x 3-x 4=-1的一个解及对应齐次方程组的基础解系。

线性代数第四章线性方程组练题解

η1+η3 =（1，–2，1）T，则对任意常数 k，方程组 Ax=b 的通解为（）
．A (1,0,2)T+k(1,–2,1)T
．B (1,–2,1)T+k(2,0,4)T
．C (2,0,4)T+k(1,–2,1)T
．D (1,0,2)T+k(1,2,3)T
答案：D
设5. α1 ，α2 是 Ax=b 的解，η是对应齐次方程 Ax=0 的解，则（）
3 −1
− 1 2
a
____________.
0 0 a(a − 1) a − 1
答案：0
设 13. A 为 3×3 矩阵,且方程组 A x=0 的基础解系含有两个解向量,则秩(A)= ___________.
答案：1
设矩阵 1
14.
A= 2
2 t
2 3
，若齐次线性方程组
Ax=0
有非零解，则数
解： 1 1
0 1
2 1
1 4
2 a
→
1 0
0 1
2 −1
1 3
Байду номын сангаас
a
2 −
2
→
1 −1 3 − 2 1 0 −1 1 − 3 −1
1 0
0 1
2 −1
1 3
a
2 −
2
0 0 0 0 a − 3
a ≠ 3时无解，a = 3时有无穷解，此时对应方程组为
x1 x2
= =
−2 x3
x3 − x4 + − 3x4 +1
a 1
1 a
1 1
x1 x2
=
1 1
a=_________.

《线性代数(经管类)》第四章考题

《线性代数（经管类）》第四章线性方程组✧考情提要✧逐题击破一、选择题1.设有非齐次线性方程组Ax=b，其中A为mn矩阵，且r（A）=r1，r（A，b）=r2，则下列结论中正确的是（）A.若r1=m，则Ax=0有非零解B.若r1=n，则Ax=0仅有零解C.若r2=m，则Ax=b有无穷多解D.若r2=n，则Ax=b有唯一解2.设A为3阶矩阵，且r(A)=2，若1α，2α为齐次线性方程组Ax=0的两个不同的解。

k为任意常数，则方程组Ax=0的通解为（）A.k1α B.k2αC.12k2α+αD.12k2α-α3.设A为m×n矩阵，A的秩为r，则（）A.r=m时，Ax=0必有非零解B.r=n时，Ax=0必有非零解C.r<m时，Ax=0必有非零解D.r<n时，Ax=0必有非零解4.设A=111221223132a aa aa a⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭，b=123bbb⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭，若非齐次线性方程组Ax=b有解，则增广矩阵A的行列式A=____。

5.齐次线性方程组x1+x2+x3=0的基础解系中所含解向量的个数为____。

6.4元齐次线性方程组2341231242030x x xx x xx x x--=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩的基础解析所含解向量的个数（）A.1B.2C.3D.47.设1α、2α是非齐次方程组Ax =b 的解，β是对应齐次方程组的解，则Ax =b 一定有一个解是（） A.1α+2α B.1α-2αC.β+1α+2αD.121233+-ααβ 8.齐次方程x 1+x 2-x 3=0的基础解系所含向量个数是（） A.0 B.1 C.2 D.39.设1α，2α是非齐次线性方程组Ax =b 的两个解向量，则下列向量中为方程组解的是（）A.1α-2αB.1α+2αC.121α+2αD.121α+122α10.齐次线性方程组134234020x x x x x x ++=⎧⎨-+=⎩的基础解系所含解向量的个数为（）A.1B.2C.3D.411.设A 为m ×n 矩阵，且m ＜n ，则齐次方程AX=0必（） A.无解 B.只有唯一解 C ．有无穷解 D.不能确定 12.齐次线性方程组123234230+= 0x x x x x x ++=⎧⎨--⎩的基础解系所含解向量的个数为（）A.1B.2C.3D.413.设4阶矩阵A 的秩为3，12ηη，为非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解，c 为任意常数，则该方程组的通解为（） A.1212cηηη-+ B. 1212c ηηη-+C.1212c ηηη++D.1212c ηηη++二、填空题14.设3元非齐次线性方程组Ax=b 的增广矩阵（A ，b ）经初级等行变换可化为（A ，b ）→1031011200(k 1)(k 2)1k -⎛⎫ ⎪- ⎪⎪-+-⎝⎭若该方程组无解，则数k=____。

考研线代线性方程组题库

，
1 1 B 1 1
，
其中ai≠aj (i≠j, i, j =1,2,…,n)，则线性方程 ATx=B的解是。
6.(08，6分)设n元线性方程组Ax=b，其中
2a 1 a 2 2a 1 2 a 2a 1 A a 2 2a 1 2 a 2a
1 2 3 a,b,c不全为零，矩阵 B 2 4 6 3 6 k
(k为常数)，
且AB=0，求线性方程组Ax=0的通解。
综述：总体上看这一部分考得不十分理想，看来在基础解系的理解与把握上还有问题。
复习时应当理解齐次线性方程组的基础解系与
通解的概念，要掌握齐次线性方程组的基础解系与通解的求法，否则在特征向量的求解上还要出问题。
向量的线性相关实际上是齐次方程组是否有
非零解的问题。
一、齐次方程组有非零解、基础解系、
通解等问题
*1.(02，3分)设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则线性方程组(AB)x=0
(A) 当n>m时仅有零解；
(B) 当n>m时必有非零解；
(C) 当m>n时仅有零解； (D) 当m>n时必有非零解。
β的转置，求解方程2B2A2x=A4x+B4x +
评注：特解不是唯一，例如令X 3 0 可有特解
1 T ( ,1, 0) 。本题得分率较低，人均1.9分， 2
主要错误是矩阵运算不正确，不能正确建立起线性方程组，也有些考生在方程组求解时犯种种错误。反映出基本概念、基本运算不
过关。
(3)已知4阶方阵A=(α1α2α3α4)，α1,α2, α3,
(Ⅰ)当a取何值时，该方程组有唯一解，并求

线性代数第四章综合练习及参考答案

第四章综合练习及参考答案1. n 元非齐次线性方程组Ax b =与其对应的齐次线性方程组0Ax =满足（ B ）. (根据性质可得)A. 若12,x x 为0Ax =的解，则12x x +为Ax b =的解；B . 若12,x x 为Ax b =的解，则121()2x x +也为Ax b =的解； C . 若0Ax =有非零解，则Ax b =只有零解；D . 若0Ax =只有零解，则Ax b =无解.2. 设A 为m n ⨯矩阵，0AX =是非齐次线性方程组AX b =对应的齐次线性方程组，则以下结论中正确的是( D ) .A. 若0AX =只有零解，则AX b =有惟一解；(()R A n = 不能推出(,)()R A b R A =，所以AX b =可能无解)B. 若0AX =有非零解，则AX b =有无穷多解； (AX b =有可能无解)C. 若AX b =有无穷多解，则0AX =只有零解；((,)()R A b R A n =<→0AX =有非零解)D. 若AX b =有无穷多解，则0AX =有非零解.3．m ×n 型齐次线性方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是（ A ）．A ．A 的列向量线性无关B ．A 的行向量线性无关C ．A 的列向量线性相关D ．A 的行向量线性相关解：Ax=0只有零解⇔()R A n =⇔ A 的列向量线性无关.4．设21ββ,是非齐次线性方程组b Ax =的两个解，则下列向量中哪个也是方程组b Ax =的解（ A ）．A ．312+2ββB ．21ββ-C ．2221ββ+D ．52321ββ+ 5. 设(1,3,2),(1,2,0)T T 是3阶非齐次线性方程组Ax b =的解，()2R A =，则A x b =的通解是（ C ）.A . (1,3,2)(1,2,0)T T k +，k 为任意常数;B . (0,1,2)(1,2,0)T T k + ，k 为任意常数;C . (1,2,0)(0,1,2)T T k +，k 为任意常数;D . (1,2,0)(1,3,2)T T k +，k 为任意常数.6．若齐次线性线性方程组m n A X b ⨯=只有唯一解，则A 的秩为____n______. 解：m n A X b ⨯=只有唯一解，则()m n R A ⨯=未知数的个数=n.7．已知矩阵222222a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，伴随矩阵*0A ≠，且*0A x =有非零解，则____-4_____. 解：*0A x =有非零解，则*()3R A <或*0A =，即32*110A A AA A A -====，所以0A =. 2222222022(2)(4)022222a a A a a a a a a a a ==--=-+=⇒=(舍去，因为此时*0A =) 或4a =-.8. 设线性方程组12342341234022321x x x x x x x a x x x x +++=⎧⎪++=⎨⎪+++=-⎩，则a 取何值时: 1）该方程组无解？ 2）该方程组有无穷多解，并用基础解系表示其所有解. 解：对增广矩阵作初等行变换得313111101111011110012201220122321110122100001r r A b (,)αααα-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−−→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦⎣⎦，（1）1α≠时，()23(,)R A R A b =≠=，所以方程组无解；（2）1α=时，()2(,)R A R A b ==，所以方程组有无穷多解，且12111101011101221012210000000000r r A b (,)----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即同解方程组为 1342341221x x x x x x =+-⎧⎨=--+⎩ （34,x x 为自由未知量），令340x x ==，则得方程组的一个特解为 (1,1,0,0)T η=-，分别令3410x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和01⎛⎫ ⎪⎝⎭，则得导出方程组的一个基础解系为： 1(1,2,1,0)T ξ=-，2(1,2,0,1)T ξ=-，于是，原方程组的通解为：121234111221100010x x k k R x x (,).-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

线性代数练习册第四章习题及答案（本）

线性代数练习册第四章习题及答案（本）第四章线性方程组§4-1 克拉默法则一、选择题1．下列说法正确的是（ C ）A.n 元齐次线性方程组必有n 组解；B.n 元齐次线性方程组必有1n -组解；C.n 元齐次线性方程组至少有一组解，即零解；D.n 元齐次线性方程组除了零解外，再也没有其他解. 2．下列说法错误的是（ B ）A.当0D ≠时，非齐次线性方程组只有唯一解；B.当0D ≠时，非齐次线性方程组有无穷多解；C.若非齐次线性方程组至少有两个不同的解，则0D =；D.若非齐次线性方程组有无解，则0D =. 二、填空题1．已知齐次线性方程组1231231230020x x x x x x x x x λμμ++=??++=??++=?有非零解，则λ= 1 ，μ= 0 .2．由克拉默法则可知，如果非齐次线性方程组的系数行列式0D ≠, 则方程组有唯一解i x =i D D.三、用克拉默法则求解下列方程组1．832623x y x y +=??+=?解：832062D ==-≠123532D ==-，2821263D ==-所以，125,62D D x y D D ====-2．123123123231x x x x x x ?+-=??-+-=?解：2131121121221303550111010r r D r r ---=--=-≠+--- 1122210511321135011011D r r ---=-+-=---，212121505213221310101101D r r --=-+-=-----，31212250021122115110110D r r --=+=---所以， 3121231,2,1D D D x x x DDD======3．21241832x z x y z x y z -=??+-=??-++=?解：132010012412041200183583D c c --=-+-=≠-13110110014114020283285D c c -=-+=，2322112102112100123125D c c -=-+=--，31320101241204120182582D c c =-=--所以， 3121,0,1D D D x y z DDD======4．1234123412341234242235232110x x x x x x x x x x x x ?+-+=-??---=-??+++=?解：21314121311111111112140123223150537331211 2181231235537013814222180514r r D r r r r r r r r ---=------------+=----=-+---321421232511151110222142251823152352811012110105110010525182733214210252823522c c D c c c c c c --------=----------+=-----=----21231411323151115111214072322215012373302111518723230132123733031284315181518r r D r r r r r r r r -----= --------------=----=------12342213111512151031224522182325111132283101101002510200251521852974265211228115127c c D c c c c c c -------=---------+=-----=----12432322111152115312125252223121135231201021521555250271425115264c c D c c r r r r --------=----------+=----=---所以， 312412341,2,3,1D D D D x x x x DDDD========-§4-2 齐次线性方程组一、选择题1．已知m n ?矩阵A 的秩为1n -，12,αα是齐次线性方程组0AX = 的两个不同的解，k 为任意常数，则方程组0AX =的通解为（ D ）.A.1k α；B.2k α；C.12()k αα+；D.12()k αα-.解：因为m n ?矩阵A 的秩为1n -，所以方程组0AX =的基础解系含1个向量。

线性代数习题

关的. 关的.
r r r 5. 设向量组 β 可以由向量组 α 1 , α 2 , L , α r 线性表示线性表示, r r r 证明表示法唯一的充分必要条件是α 1 , α 2 ,L , α r 线性无关. 充分性) 证明 (充分性)书上的定理2.4. 充分性书上的定理2.4.
r
(必要性)设必要性) 必要性又由已知设两式相减得
r
r (k1 + k 2 + L + k r )α 1 + (k 2 + k 3 + L + k r )α 2 + L + k r α r = 0 r r r 线性无关，因向量组 α 1 , α 2 , L , α r 线性无关，得 r r r
k1 + k 2 + L + k r = 0 k2 + L + kr = 0 M kr = 0
(3)行列式法（向量组能构成一个方阵A时,才能用此法）行列式法（向量组能构成一个方阵时才能用此法）行列式法才能用此法若 A = 0 ，则向量组线性相关若 A ≠ 0 ，则向量组线性无关 (4)反证法反证法
五. 求向量组的秩及极大无关组的方法 r r r （1）向量组α1 ,α 2 ,L ,α s作列向量构成矩阵）作列向量构成矩阵A
r k1 (α 1 ) + k 2 (α 1 + α 2 ) + L + k r (α 1 + α 2 + L + α r ) = 0 r
设
证明
r
r k1 β 1 + k 2 β 2 + L + k r β r = 0

(完整版)线性代数第四章线性方程组试题及答案.doc

充 1：当 A 列秩 ( 或 A 可逆 ,A 在矩乘法中有左消去律AB=0 B=0；AB=AC B=C.明B =(1,, ⋯,t ), AB = Ai =0,i=1,2, ⋯,s., , ⋯ , t 都是 AX =0212的解 . 而 A 列秩 , AX =0 只有零解 ,i=0,i=1,2,⋯ ,s, 即 B =0.同理当 B 行秩（或 B 可逆），AB 0 B T A T0 A T0A 0AB CB A C充 2如果 A 列秩（或 A 可逆） , r( AB )=r( B ).分析 : 只用明次方程ABX =0 和 BX =0 同解 .( 此矩 AB 和 B 的列向量有相同的性关系, 从而秩相等 .)明：是 ABX = 的解 AB = B =0( 用推 ) 是 BX = 的解 .于是 ABX =0 和 BX =0 确同解 .同理当 B 行秩（或B 可逆）， r( AB )=r( A ).例题一 . 填空1.A m 方 , 存在非零的 m × n 矩 B, 使 AB = 0 的充要条件是 ______.解： Ax 0 有非零解， r Am2.A n 矩 , 存在两个不相等的n 矩 B, C, 使 AB = AC 的充要条件是解： A B C 0 ， B, C 不相等， Ax0 有非零解， r An3.若 n 元性方程有解, 且其系数矩的秩r, 当 ______, 方程有唯一解;当 ______ , 方程有无多解 .解：假方程A m × n x = b, 矩的秩 r ( A) r .当 r n , 方程有惟一解 ; 当 r n , 方程有无多解 .4. 在次性方程 A m ×n x = 0 中 , 若秩 (A) = k 且 1, , ⋯ , r 是它的一个基解2系 ,r = _____; 当 k = ______ , 此方程只有零解。

线性代数-课后答案(第四章)

第四章向量组的线性相关性1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3.解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T=(1-0, 1-1, 0-1)T=(1, 0, -1)T .3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3⨯1+2⨯0-3, 3⨯1+2⨯1-4, 3⨯0+2⨯1-0)T=(0, 1, 2)T .2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T .解由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得)523(61321a a a a -+=])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61T T T --+==(1, 2, 3, 4)T .3. 已知向量组A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ;B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示.证明由www.kh da w.c o m⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=312123111012421301402230) ,(B A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------971820751610402230421301~r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------531400251552000751610421301 ~r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----000000531400751610421301~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示.由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000000110201110110220201312111421402~~r r B 知R (B )=2. 因为R (B )≠R (B , A ), 所以A 组不能由B 组线性表示.4. 已知向量组A : a 1=(0, 1, 1)T , a 2=(1, 1, 0)T ;B : b 1=(-1, 0, 1)T , b 2=(1, 2, 1)T , b 3=(3, 2, -1)T , 证明A 组与B 组等价.证明由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=000001122010311112201122010311011111122010311) ,(~~r r A B ,知R (B )=R (B , A )=2. 显然在A 中有二阶非零子式, 故R (A )≥2, 又R (A )≤R (B , A )=2, 所以R (A )=2, 从而R (A )=R (B )=R (A , B ). 因此A 组与B 组等价.www.kh da w.co m5. 已知R (a 1, a 2, a 3)=2, R (a 2, a 3, a 4)=3, 证明 (1) a 1能由a 2, a 3线性表示; (2) a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.证明 (1)由R (a 2, a 3, a 4)=3知a 2, a 3, a 4线性无关, 故a 2, a 3也线性无关. 又由R (a 1, a 2, a 3)=2知a 1, a 2, a 3线性相关, 故a 1能由a 2, a 3线性表示.(2)假如a 4能由a 1, a 2, a 3线性表示, 则因为a 1能由a 2, a 3线性表示, 故a 4能由a 2, a 3线性表示, 从而a 2, a 3, a 4线性相关, 矛盾.因此a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.6. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (1) (-1, 3, 1)T , (2, 1, 0)T , (1, 4, 1)T ; (2) (2, 3, 0)T , (-1, 4, 0)T , (0, 0, 2)T .解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A . 因为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000110121220770121101413121~~r r A ,所以R (A )=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关.(2)以所给向量为列向量的矩阵记为B . 因为 022*******12||≠=-=B ,所以R (B )=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关.7. 问a 取什么值时下列向量组线性相关？ a 1=(a , 1, 1)T , a 2=(1, a , -1)T , a 3=(1, -1, a )T .www.kh da w.c o m解以所给向量为列向量的矩阵记为A . 由)1)(1(111111||+-=--=a a a aa a A知, 当a =-1、0、1时, R (A )<3, 此时向量组线性相关. 8. 设a 1, a 2线性无关, a 1+b , a 2+b 线性相关, 求向量b 用a 1, a 2线性表示的表示式. 解因为a 1+b , a 2+b 线性相关, 故存在不全为零的数λ1, λ2使λ1(a 1+b )+λ2(a 2+b )=0,由此得 2211121122121211)1(a a a a b λλλλλλλλλλλλ+--+-=+-+-=,设211λλλ+-=c , 则 b =c a 1-(1+c )a 2, c ∈R .9. 设a 1, a 2线性相关, b 1, b 2也线性相关, 问a 1+b 1, a 2+b 2是否一定线性相关？试举例说明之.解不一定.例如, 当a 1=(1, 2)T , a 2=(2, 4)T , b 1=(-1, -1)T , b 2=(0, 0)T 时, 有a 1+b 1=(1, 2)T +b 1=(0, 1)T , a 2+b 2=(2, 4)T +(0, 0)T =(2, 4)T , 而a 1+b 1, a 2+b 2的对应分量不成比例, 是线性无关的.10. 举例说明下列各命题是错误的:(1)若向量组a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 是线性相关的, 则a 1可由a 2, ⋅ ⋅ ⋅,www.kh da w.c o ma m 线性表示.解设a 1=e 1=(1, 0, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 0), a 2=a 3= ⋅ ⋅ ⋅ =a m =0, 则a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性相关, 但a 1不能由a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性表示.(2)若有不全为0的数λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λm 使λ1a 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm a m +λ1b 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm b m =0成立, 则a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性相关, b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅, b m 亦线性相关.解有不全为零的数λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λm 使 λ1a 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm a m +λ1b 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm b m =0,原式可化为λ1(a 1+b 1)+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm (a m +b m )=0.取a 1=e 1=-b 1, a 2=e 2=-b 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m =e m =-b m , 其中e 1, e 2, ⋅ ⋅ ⋅, e m 为单位坐标向量, 则上式成立, 而a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 和b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅, b m 均线性无关.(3)若只有当λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λm 全为0时, 等式λ1a 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm a m +λ1b 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm b m =0才能成立, 则a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性无关, b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅, b m 亦线性无关.解由于只有当λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λm 全为0时, 等式由λ1a 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm a m +λ1b 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm b m =0成立, 所以只有当λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λm 全为0时, 等式λ1(a 1+b 1)+λ2(a 2+b 2)+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm (a m +b m )=0成立. 因此a 1+b 1, a 2+b 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m +b m 线性无关.取a 1=a 2= ⋅ ⋅ ⋅ =a m =0, 取b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b m 为线性无关组, 则它们满足以上条件, 但a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性相关.www.kh da w.c o m(4)若a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性相关, b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅, b m 亦线性相关, 则有不全为0的数, λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λm 使λ1a 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm a m =0, λ1b 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm b m =0同时成立.解 a 1=(1, 0)T , a 2=(2, 0)T , b 1=(0, 3)T , b 2=(0, 4)T ,λ1a 1+λ2a 2 =0⇒λ1=-2λ2, λ1b 1+λ2b 2 =0⇒λ1=-(3/4)λ2,⇒λ1=λ2=0, 与题设矛盾.11. 设b 1=a 1+a 2, b 2=a 2+a 3, b 3=a 3+a 4, b 4=a 4+a 1, 证明向量组b 1, b 2, b 3, b 4线性相关. 证明由已知条件得 a 1=b 1-a 2, a 2=b 2-a 3, a 3=b 3-a 4, a 4=b 4-a 1, 于是 a 1 =b 1-b 2+a 3=b 1-b 2+b 3-a 4=b 1-b 2+b 3-b 4+a 1, 从而 b 1-b 2+b 3-b 4=0,这说明向量组b 1, b 2, b 3, b 4线性相关.12. 设b 1=a 1, b 2=a 1+a 2, ⋅ ⋅ ⋅, b r =a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a r , 且向量组a 1,a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a r 线性无关, 证明向量组b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅ , b r 线性无关. 证明已知的r 个等式可以写成⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅100110111) , , ,() , , ,(2121r r a a a b b b , www.kh da w.c o m上式记为B =AK . 因为|K |=1≠0, K 可逆, 所以R (B )=R (A )=r , 从而向量组b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅ , b r 线性无关.13. 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组: (1)a 1=(1, 2, -1, 4)T , a 2=(9, 100, 10, 4)T , a 3=(-2, -4, 2, -8)T ; 解由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000000010291032001900820291844210141002291) , ,(~~321r r a a a ,知R (a 1, a 2, a 3)=2. 因为向量a 1与a 2的分量不成比例, 故a 1, a 2线性无关, 所以a 1, a 2是一个最大无关组.(2)a 1T =(1, 2, 1, 3), a 2T =(4, -1, -5, -6), a 3T =(1, -3, -4, -7).解由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=00000059014110180590590141763451312141) , ,(~~321r r a a a , 知R (a 1T , a 2T , a 3T )=R (a 1, a 2, a 3)=2. 因为向量a 1T 与a 2T 的分量不成比例, 故a 1T , a 2T 线性无关, 所以a 1T , a 2T 是一个最大无关组.14. 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:(1); ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4820322513454947513253947543173125www.kh da w.c o m解因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛482032251345494751325394754317312513143~r r r r --123r r -34rr -132rr -23rr +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5310531032104317312523~r r -⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00003100321043173125, 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2). ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---14011313021512012211解因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1401131302151201221114~r r -⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------222015120151201221143~r r ↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00000222001512012211, 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.15. 设向量组(a , 3, 1)T , (2, b , 3)T , (1, 2, 1)T , (2, 3, 1)T的秩为2, 求a , b .解设a 1=(a , 3, 1)T , a 2=(2, b , 3)T , a 3=(1, 2, 1)T , a 4=(2, 3, 1)T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=52001110311161101110311131********) , , ,(~~2143b a a b a b a r r a a a a ,而R (a 1, a 2, a 3, a 4)=2, 所以a =2, b =5.www.kh da w.co m16. 设a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 是一组n 维向量, 已知n 维单位坐标向量e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n 能由它们线性表示, 证明a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性无关. 证法一记A =(a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n ), E =(e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n ). 由已知条件知, 存在矩阵K , 使E =AK .两边取行列式, 得|E |=|A ||K |.可见|A |≠0, 所以R (A )=n , 从而a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性无关.证法二因为e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n 能由a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性表示, 所以R (e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n )≤R (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n ),而R (e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n )=n , R (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n )≤n , 所以R (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅,a n )=n , 从而a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性无关.17. 设a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 是一组n 维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是: 任一n 维向量都可由它们线性表示.证明必要性: 设a 为任一n 维向量. 因为a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性无关, 而a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n , a 是n +1个n 维向量, 是线性相关的, 所以a 能由a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性表示, 且表示式是唯一的.充分性: 已知任一n 维向量都可由a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性表示,故单位坐标向量组e 1, e 2, ⋅ ⋅ ⋅, e n 能由a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性表示, 于是有n =R (e 1, e 2, ⋅ ⋅ ⋅, e n )≤R (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n )≤n ,即R (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n )=n , 所以a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性无关.www.kh da w.c o m18. 设向量组a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性相关, 且a 1≠0, 证明存在某个向量a k (2≤k ≤m ), 使a k 能由a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a k -1线性表示.证明因为a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性相关, 所以存在不全为零的数λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λm , 使λ1a 1+λ2a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm a m =0,而且λ2, λ3,⋅ ⋅ ⋅, λm 不全为零. 这是因为, 如若不然, 则λ1a 1=0, 由a 1≠0知λ1=0, 矛盾. 因此存在k (2≤k ≤m ), 使λk ≠0, λk +1=λk +2= ⋅ ⋅ ⋅ =λm =0,于是λ1a 1+λ2a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +λk a k =0,a k =-(1/λk )(λ1a 1+λ2a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +λk -1a k -1),即a k 能由a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a k -1线性表示.19. 设向量组B : b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r 能由向量组A : a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a s 线性表示为(b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r )=(a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a s )K , 其中K 为s ⨯r 矩阵, 且A 组线性无关.证明B 组线性无关的充分必要条件是矩阵K 的秩R (K )=r .证明令B =(b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r ), A =(a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a s ), 则有B =AK .必要性: 设向量组B 线性无关.由向量组B 线性无关及矩阵秩的性质, 有 r =R (B )=R (AK )≤min{R (A ), R (K )}≤R (K ), 及 R (K )≤min{r , s }≤r .www.kh da w.c o m因此R (K )=r .充分性: 因为R (K )=r , 所以存在可逆矩阵C , 使为K 的标准形. 于是⎪⎭⎫⎝⎛=O E KC r (b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r )C =( a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a s )KC =(a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a r ). 因为C 可逆, 所以R (b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r )=R (a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a r )=r , 从而b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r 线性无关.20. 设⎪⎩⎪⎨⎧+⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++=-1321312321 n n nn ααααβαααβαααβ, 证明向量组α1, α2, ⋅ ⋅ ⋅, αn 与向量组β1, β2, ⋅ ⋅ ⋅, βn 等价.证明将已知关系写成⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅0111101111011110) , , ,() , , ,(2121n n αααβββ, 将上式记为B =AK . 因为0)1()1(0111101111011110||1≠--=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-n K n , 所以K 可逆, 故有A =BK -1. 由B =AK 和A =BK -1可知向量组α1, α2,⋅ ⋅ ⋅, αn 与向量组β1, β2, ⋅ ⋅ ⋅, βn 可相互线性表示. 因此向量组α1,www.k h da w.c o mα2, ⋅ ⋅ ⋅, αn 与向量组β1, β2, ⋅ ⋅ ⋅, βn 等价.21. 已知3阶矩阵A 与3维列向量x 满足A 3x =3A x -A 2x , 且向量组x , A x , A 2x 线性无关.(1)记P =(x , A x , A 2x ), 求3阶矩阵B , 使AP =PB ;解因为AP =A (x , A x , A 2x ) =(A x , A 2x , A 3x ) =(A x , A 2x , 3A x -A 2x ) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110301000) , ,(2x x x A A ,所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110301000B .(2)求|A |.解由A 3x =3A x -A 2x , 得A (3x -A x -A 2x )=0. 因为x , A x , A 2x 线性无关, 故3x -A x -A 2x ≠0, 即方程A x =0有非零解, 所以R (A )<3,|A |=0.22. 求下列齐次线性方程组的基础解系:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-02683054202108432143214321x x x x x x x x x x x x ;解对系数矩阵进行初等行变换, 有 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=00004/14/3100401 2683154221081~r A ,于是得www.kh da w.co m⎩⎨⎧+=-=43231)4/1()4/3(4x x x x x .取(x 3, x 4)T =(4, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(-16, 3)T ; 取(x 3, x 4)T =(0, 4)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 1)T .因此方程组的基础解系为 ξ1=(-16, 3, 4, 0)T , ξ2=(0, 1, 0, 4)T .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=+--03678024530232432143214321x x x x x x x x x x x x .解对系数矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000019/719/141019/119/201 367824531232~r A ,于是得⎩⎨⎧+-=+-=432431)19/7()19/14()19/1()19/2(x x x x x x .取(x 3, x 4)T =(19, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(-2, 14)T ;取(x 3, x 4)T =(0, 19)T , 得(x 1, x 2)T =(1, 7)T . 因此方程组的基础解系为ξ1=(-2, 14, 19, 0)T , ξ2=(1, 7, 0, 19)T .(3)nx 1 +(n -1)x 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +2x n -1+x n =0.解原方程组即为x n =-nx 1-(n -1)x 2- ⋅ ⋅ ⋅ -2x n -1.取x 1=1, x 2=x 3= ⋅ ⋅ ⋅ =x n -1=0, 得x n =-n ;取x 2=1, x 1=x 3=x 4= ⋅ ⋅ ⋅ =x n -1=0, 得x n =-(n -1)=-n +1;www.kh da w.c o m⋅ ⋅ ⋅ ;取x n -1=1, x 1=x 2= ⋅ ⋅ ⋅ =x n -2=0, 得x n =-2. 因此方程组的基础解系为 ξ1=(1, 0, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 0, -n )T ,ξ2=(0, 1, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 0, -n +1)T , ⋅ ⋅ ⋅,ξn -1=(0, 0, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 1, -2)T .23. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛--=82593122A , 求一个4⨯2矩阵B , 使AB =0, 且 R (B )=2. 解显然B 的两个列向量应是方程组AB =0的两个线性无关的解. 因为, ⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛--=8/118/5108/18/101 82593122~rA 所以与方程组AB =0同解方程组为.⎩⎨⎧+=-=432431)8/11()8/5()8/1()8/1(x x x x x x 取(x 3, x 4)T =(8, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(1, 5)T ;取(x 3, x 4)T =(0, 8)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, 11)T . 方程组AB =0的基础解系为ξ1=(1, 5, 8, 0)T , ξ2=(-1, 11, 0, 8)T . 因此所求矩阵为. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=800811511B www.kh da w.co m24. 求一个齐次线性方程组, 使它的基础解系为ξ1=(0, 1, 2, 3)T , ξ2=(3, 2, 1, 0)T .解显然原方程组的通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01233210214321k k x x x x , 即, (k ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==142132********k x k k x k k x k x 1, k 2∈R ),消去k 1, k 2得⎩⎨⎧=+-=+-023032431421x x x x x x , 此即所求的齐次线性方程组.25. 设四元齐次线性方程组I : , II :⎩⎨⎧=-=+004221x x x x ⎩⎨⎧=+-=+-00432321x x x x x x . 求: (1)方程I 与II 的基础解系; (2) I 与II 的公共解.解 (1)由方程I 得.⎩⎨⎧=-=4241x x x x 取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 0)T ;取(x 3, x 4)T =(0, 1)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, 1)T . 因此方程I 的基础解系为ξ1=(0, 0, 1, 0)T , ξ2=(-1, 1, 0, 1)T . 由方程II 得.⎩⎨⎧-=-=43241x x x x x 取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 1)T ;www.kh da w.c o m取(x 3, x 4)T =(0, 1)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, -1)T . 因此方程II 的基础解系为ξ1=(0, 1, 1, 0)T , ξ2=(-1, -1, 0, 1)T . (2) I 与II 的公共解就是方程III : ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-=+00004323214221x x x x x x x x x x的解. 因为方程组III 的系数矩阵, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=000210010101001 1110011110100011~r A 所以与方程组III 同解的方程组为⎪⎩⎪⎨⎧==-=4342412x x x x x x .取x 4=1, 得(x 1, x 2, x 3)T =(-1, 1, 2)T , 方程组III 的基础解系为ξ=(-1, 1, 2, 1)T . 因此I 与II 的公共解为x =c (-1, 1, 2, 1)T , c ∈R .26. 设n 阶矩阵A 满足A 2=A , E 为n 阶单位矩阵, 证明R (A )+R (A -E )=n .证明因为A (A -E )=A 2-A =A -A =0, 所以R (A )+R (A -E )≤n . 又R (A -E )=R (E -A ), 可知R (A )+R (A -E )=R (A )+R (E -A )≥R (A +E -A )=R (E )=n ,由此R (A )+R (A -E )=n .www.kh da w.c o m27. 设A 为n 阶矩阵(n ≥2), A *为A 的伴随阵, 证明⎪⎩⎪⎨⎧-≤-===2)( 01)( 1)( *)(n A R n A R n A R n A R 当当当.证明当R (A )=n 时, |A |≠0, 故有 |AA *|=||A |E |=|A |≠0, |A *|≠0, 所以R (A *)=n .当R (A )=n -1时, |A |=0, 故有 AA *=|A |E =0,即A *的列向量都是方程组A x =0的解. 因为R (A )=n -1, 所以方程组A x =0的基础解系中只含一个解向量, 即基础解系的秩为1. 因此R (A *)=1.当R (A )≤n -2时, A 中每个元素的代数余子式都为0, 故A *=O , 从而R (A *)=0. 28. 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+3223512254321432121x x x x x x x x x x ;解对增广矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100013011080101 322351211250011~r B . 与所给方程组同解的方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=213 843231x x x x x . www.kh da w.c o m当x 3=0时, 得所给方程组的一个解η=(-8, 13, 0, 2)T . 与对应的齐次方程组同解的方程为⎪⎩⎪⎨⎧==-=043231x x x x x . 当x 3=1时, 得对应的齐次方程组的基础解系ξ=(-1, 1, 1, 0)T .(2)⎪⎩⎪⎨⎧-=+++-=-++=-+-6242163511325432143214321x x x x x x x x x x x x .解对增广矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=0000022/17/11012/17/901 6124211635113251~r B .与所给方程组同解的方程为⎩⎨⎧--=++-=2)2/1((1/7)1)2/1()7/9(432431x x x x x x .当x 3=x 4=0时, 得所给方程组的一个解 η=(1, -2, 0, 0)T .与对应的齐次方程组同解的方程为⎩⎨⎧-=+-=432431)2/1((1/7))2/1()7/9(x x x x x x . 分别取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , (0, 1)T , 得对应的齐次方程组的基础解系ξ1=(-9, 1, 7, 0)T . ξ2=(1, -1, 0, 2)T .www.kh da w.co m29. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3, 已知η1, η2, η3是它的三个解向量. 且η1=(2, 3, 4, 5)T , η2+η3=(1, 2, 3, 4)T ,求该方程组的通解.解由于方程组中未知数的个数是4, 系数矩阵的秩为3, 所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量, 且由于η1, η2, η3均为方程组的解, 由非齐次线性方程组解的结构性质得2η1-(η2+η3)=(η1-η2)+(η1-η3)= (3, 4, 5, 6)T为其基础解系向量, 故此方程组的通解:x =k (3, 4, 5, 6)T +(2, 3, 4, 5)T , (k ∈R ).30. 设有向量组A : a 1=(α, 2, 10)T , a 2=(-2, 1, 5)T , a 3=(-1, 1, 4)T , 及b =(1, β, -1)T , 问α, β为何值时 (1)向量b 不能由向量组A 线性表示;(2)向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式唯一;(3)向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式不唯一, 并求一般表示式.解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=11054211121) , , ,(123βαb a a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++---βαβαα34001110121 ~r .(1)当α=-4, β≠0时, R (A )≠R (A , b ), 此时向量b 不能由向量组A 线性表示.(2)当α≠-4时, R (A )=R (A , b )=3, 此时向量组a 1, a 2, a 3线性无关, 而向量组a 1, a 2, a 3, b 线性相关, 故向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式唯一.www.kh da w.c o m(3)当α=-4, β=0时, R (A )=R (A , b )=2, 此时向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式不唯一. 当α=-4, β=0时,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=1105402111421) , , ,(123b a a a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000013101201 ~r ,方程组(a 3, a 2, a 1)x =b 的解为, c ∈R .⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c c c c x x x 1312011132321因此 b =(2c +1)a 3+(-3c -1)a 2+c a 1,即 b = c a 1+(-3c -1)a 2+(2c +1)a 3, c ∈R .31. 设a =(a 1, a 2, a 3)T , b =(b 1, b 2, b 3)T , c =(c 1, c 2, c 3)T , 证明三直线l 1: a 1x +b 1y +c 1=0,l 2: a 2x +b 2y +c 2=0, (a i 2+b i 2≠0, i =1, 2, 3) l 3: a 3x +b 3y +c 3=0,相交于一点的充分必要条件为: 向量组a , b 线性无关, 且向量组a , b , c 线性相关.证明三直线相交于一点的充分必要条件为方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000333222111c y b x a c y b x a c y b x a , 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+333222111c y b x a c y b x a c y b x a有唯一解. 上述方程组可写为x a +y b =-c . 因此三直线相交于一www.kh da w.c o m点的充分必要条件为c 能由a , b 唯一线性表示, 而c 能由a , b 唯一线性表示的充分必要条件为向量组a , b 线性无关, 且向量组a , b , c 线性相关.32. 设矩阵A =(a 1, a 2, a 3, a 4), 其中a 2, a 3, a 4线性无关,a 1=2a 2- a 3. 向量b =a 1+a 2+a 3+a 4, 求方程A x =b 的通解. 解由b =a 1+a 2+a 3+a 4知η=(1, 1, 1, 1)T 是方程A x =b 的一个解.由a 1=2a 2- a 3得a 1-2a 2+a 3=0, 知ξ=(1, -2, 1, 0)T 是A x =0的一个解. 由a 2, a 3, a 4线性无关知R (A )=3, 故方程A x =b 所对应的齐次方程A x =0的基础解系中含一个解向量. 因此ξ=(1, -2, 1, 0)T 是方程A x =0的基础解系.方程A x =b 的通解为x =c (1, -2, 1, 0)T +(1, 1, 1, 1)T , c ∈R .33. 设η*是非齐次线性方程组A x =b 的一个解, ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅,ξn -r ,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系, 证明: (1)η*, ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn -r 线性无关;(2)η*, η*+ξ1, η*+ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, η*+ξn -r 线性无关.证明 (1)反证法, 假设η*, ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn -r 线性相关. 因为ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn -r 线性无关, 而η*, ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn -r 线性相关, 所以η*可由ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn -r 线性表示, 且表示式是唯一的, 这说明η*也是齐次线性方程组的解, 矛盾.(2)显然向量组η*, η*+ξ1, η*+ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, η*+ξn -r 与向量组η*, w w w .k h d a w .c o mξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn -r 可以相互表示, 故这两个向量组等价, 而由(1)知向量组η*, ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn -r 线性无关, 所以向量组η*, η*+ξ1, η*+ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, η*+ξn -r 也线性无关.34. 设η1, η2, ⋅ ⋅ ⋅, ηs 是非齐次线性方程组A x =b 的s 个解, k 1, k 2, ⋅ ⋅ ⋅, k s 为实数, 满足k 1+k 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +k s =1. 证明x =k 1η1+k 2η2+ ⋅ ⋅ ⋅ +k s ηs也是它的解.证明因为η1, η2, ⋅ ⋅ ⋅, ηs 都是方程组A x =b 的解, 所以 A ηi =b (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, s ),从而 A (k 1η1+k 2η2+ ⋅ ⋅ ⋅ +k s ηs )=k 1A η1+k 2A η2+ ⋅ ⋅ ⋅ +k s A ηs =(k 1+k 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +k s )b =b .因此x =k 1η1+k 2η2+ ⋅ ⋅ ⋅ +k s ηs 也是方程的解.35. 设非齐次线性方程组A x =b 的系数矩阵的秩为r , η1, η2, ⋅ ⋅ ⋅, ηn -r +1是它的n -r +1个线性无关的解. 试证它的任一解可表示为x =k 1η1+k 2η2+ ⋅ ⋅ ⋅ +k n -r +1ηn -r +1, (其中k 1+k 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +k n -r +1=1). 证明因为η1, η2, ⋅ ⋅ ⋅, ηn -r +1均为A x =b 的解, 所以ξ1=η2-η1, ξ2=η3-η1, ⋅ ⋅ ⋅, ξn -r =η n -r +1-η1均为A x =b 的解. 用反证法证: ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn -r 线性无关. 设它们线性相关, 则存在不全为零的数λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λn -r , 使得 λ1ξ1+ λ2ξ2+ ⋅ ⋅ ⋅ + λ n -r ξ n -r =0, w ww .k h d a w .c o m即 λ1(η2-η1)+ λ2(η3-η1)+ ⋅ ⋅ ⋅ + λ n -r (ηn -r +1-η1)=0, 亦即 -(λ1+λ2+ ⋅ ⋅ ⋅ +λn -r )η1+λ1η2+λ2η3+ ⋅ ⋅ ⋅ +λ n -r ηn -r +1=0, 由η1, η2, ⋅ ⋅ ⋅, ηn -r +1线性无关知-(λ1+λ2+ ⋅ ⋅ ⋅ +λn -r )=λ1=λ2= ⋅ ⋅ ⋅ =λn -r =0,矛盾. 因此ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn -r 线性无关. ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn -r 为A x =b 的一个基础解系.设x 为A x =b 的任意解, 则x -η1为A x =0的解, 故x -η1可由ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn -r 线性表出, 设x -η1=k 2ξ1+k 3ξ2+ ⋅ ⋅ ⋅ +k n -r +1ξn -r =k 2(η2-η1)+k 3(η3-η1)+ ⋅ ⋅ ⋅ +k n -r +1(ηn -r +1-η1), x =η1(1-k 2-k 3 ⋅ ⋅ ⋅ -k n -r +1)+k 2η2+k 3η3+ ⋅ ⋅ ⋅ +k n -r +1ηn -r +1. 令k 1=1-k 2-k 3 ⋅ ⋅ ⋅ -k n -r +1, 则k 1+k 2+k 3 ⋅ ⋅ ⋅ -k n -r +1=1, 于是 x =k 1η1+k 2η2+ ⋅ ⋅ ⋅ +k n -r +1ηn -r +1.36. 设V 1={x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅, x n )T | x 1, ⋅ ⋅ ⋅, x n ∈R 满足x 1+x 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +x n =0}, V 2={x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅, x n )T | x 1, ⋅ ⋅ ⋅, x n ∈R 满足x 1+x 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +x n =1}, 问V 1, V 2是不是向量空间？为什么？解 V 1是向量空间, 因为任取α=(a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n )T ∈V 1, β=(b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅, b n )T ∈V 1, λ∈∈R ,有 a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n =0, b 1+b 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +b n =0,从而 (a 1+b 1)+(a 2+b 2)+ ⋅ ⋅ ⋅ +(a n +b n )=(a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n )+(b 1+b 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +b n )=0, λa 1+λa 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +λa n =λ(a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n )=0, w w w .k h d a w .c o m所以 α+β=(a 1+b 1, a 2+b 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n +b n )T ∈V 1, λα=(λa 1, λa 2, ⋅ ⋅ ⋅, λa n )T ∈V 1. V 2不是向量空间, 因为任取 α=(a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n )T ∈V 1, β=(b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅, b n )T ∈V 1,有 a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n =1,b 1+b 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +b n =1,从而 (a 1+b 1)+(a 2+b 2)+ ⋅ ⋅ ⋅ +(a n +b n ) =(a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n )+(b 1+b 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +b n )=2, 所以 α+β=(a 1+b 1, a 2+b 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n +b n )T ∉V 1.37. 试证: 由a 1=(0, 1, 1)T , a 2=(1, 0, 1)T , a 3=(1, 1, 0)T 所生成的向量空间就是R 3. 证明设A =(a 1, a 2, a 3), 由020********||≠-==A , 知R (A )=3, 故a 1, a 2, a 3线性无关, 所以a 1, a 2, a 3是三维空间R 3的一组基, 因此由a 1, a 2, a 3所生成的向量空间就是R 3.38. 由a 1=(1, 1, 0, 0)T , a 2=(1, 0, 1, 1)T 所生成的向量空间记作V 1,由b 1=(2, -1, 3, 3)T , b 2=(0, 1, -1, -1)T 所生成的向量空间记作V 2, 试证V 1=V 2.证明设A =(a 1, a 2), B =(b 1, b 2). 显然R (A )=R (B )=2, 又由 w w w .k h d a w .c o m, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=0000000013100211 1310131011010211) ,(~r B A 知R (A , B )=2, 所以R (A )=R (B )=R (A , B ), 从而向量组a 1, a 2与向量组b 1, b 2等价. 因为向量组a 1, a 2与向量组b 1, b 2等价, 所以这两个向量组所生成的向量空间相同, 即V 1=V 2.39. 验证a 1=(1, -1, 0)T , a 2=(2, 1, 3)T , a 3=(3, 1, 2)T 为R 3的一个基, 并把v 1=(5, 0, 7)T , v 2=(-9, -8, -13)T 用这个基线性表示. 解设A =(a 1, a 2, a 3). 由06230111321|) , ,(|321≠-=-=a a a , 知R (A )=3, 故a 1, a 2, a 3线性无关, 所以a 1, a 2, a 3为R 3的一个基. 设x 1a 1+x 2a 2+x 3a 3=v 1, 则 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=++-=++723053232321321x x x x x x x x , 解之得x 1=2, x 2=3, x 3=-1, 故线性表示为v 1=2a 1+3a 2-a 3. 设x 1a 1+x 2a 2+x 3a 3=v 2, 则 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++--=++1323893232321321x x x x x x x x , 解之得x 1=3, x 2=-3, x 3=-2, 故线性表示为v 2=3a 1-3a 2-2a 3. w ww .k h d a w .c o m40. 已知R 3的两个基为 a 1=(1, 1, 1)T , a 2=(1, 0, -1)T , a 3=(1, 0, 1)T , b 1=(1, 2, 1)T , b 2=(2, 3, 4)T , b 3=(3, 4, 3)T . 求由基a 1, a 2, a 3到基b 1, b 2, b 3的过渡矩阵P . 解设e 1, e 2, e 3是三维单位坐标向量组, 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111001111) , ,() , ,(321321e e e a a a , 1321321111001111) , ,() , ,(-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a a a e e e , 于是 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=341432321) , ,() , ,(321321e e e b b b ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-341432321111001111) , ,(1321a a a , 由基a 1, a 2, a 3到基b 1, b 2, b 3的过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1010104323414323211110011111P .w w w .k h d a w .c o m。