小学五年级奥数试题：行程问题(北大奥数卷)

小学五年级奥数试题：行程问题（北大奥数卷）
在人们的生活中离不开“行”，“行”中有三个重要的量：路程、速度、时间。研究这三个量的典型应用题叫做行程问题。这三个量之间的关系可以用下面的公式来表示：
路程=速度×时间
速度=路程÷时间
时间=路程÷速度
相遇问题和追及问题是行程问题的两个重要的类型。
相遇问题是指两个物体在行进过程中相向而行，然后在途中某点相遇的行程问题。其主要数量关系式为：
总路程=速度和×相遇时间
追及问题是指两个物体在行进过程中同向而行，快行者从后面追上慢行者的行程问题。其主要数量关系式为：
路程差=速度差×追及时间
例1 姐姐放学回家，以每分钟80米的速度步行回家，12分钟后妹妹骑车以每分钟240米的速度从学校往家中骑，经过几分钟妹妹可以追上姐姐？
分析：经过12分钟，姐姐到达A地，妹妹骑车回家。如下图所示：

从图中可以看出妹妹从出发到追上姐姐这段时间里，妹妹要比姐姐多行的路程就是姐姐12分钟所走的路程，也就是妹妹与姐姐的路程差。有了路程差，再求出速度差，根据追及问题的数量关系式
追及时间=路程差÷速度差
就可求出妹妹追上姐姐的时间。
解答：妹妹与姐姐的路程差
80×12=960（千米）
妹妹与姐姐的速度差
240-80=160（千米）
妹妹追上姐姐的时间
960÷160=6（分）
答：经过6分钟妹妹追上姐姐。
例2 一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距360千米的两地相向而行，公共汽车每小时行35千米，小轿车每小时行55千米，几小时后两车相距90千米？
分析：两车从相距360千米的两地同时出发相向而行，距离逐渐缩短，在相遇前某一时刻两车相距90千米。如下图

这时两车共行的路程为
360－90=270（千米）
值得注意的是，当两车相遇后继续行驶时，两车之间的距离又从零逐渐增大，到某一时刻，两车再一次相距90千米。如下图所示

从图中可知，这时两车共行的路程为
360+90=450（千米）
根据相遇问题的数量关系式
相遇时间=总路程÷速度和
所求的问题就可以解答。
解答：相遇前
（360－90）÷（35+55）
=270÷90
=3（时）
相遇后
（360+90）÷（35+55）
=450÷90
=5（时）
答：两车在出发后3小时相距90千米，在出发后5小时再一次相距90千米。
说明：本题中两车没有相遇，从表面上看虽然不是相遇问题，但是两车所有的时间是相同的，因此可以当做相遇问题来解答。
例3 兄

弟两人骑自行车同时从学校出发回家。哥哥每小时行15千米，弟弟每小时行10千米。出发半个小时后哥哥因事返回学校，到学校后又耽搁了1小时，然后动身去追弟弟。当哥哥追上弟弟时，距学校多少千米？
分析：本题可以分段考虑，从开始一步步分析。出发半个小时后，哥哥因事返回学校，在这个过程中哥哥和弟弟各行了1小时，到学校后哥哥又耽搁了1小时，这时弟弟又行了1小时。因此可以看作当哥哥准备从学校追弟弟时，弟弟共行了2小时，弟弟2小时所行的路程就是哥哥与弟弟的路程差，由此可求出追及时间。
解答：哥哥从学校开始追弟弟的路程差
10×（0.5×2+1）=20（千米）
哥哥追上弟弟的时间
20÷（15－10）=4（时）
哥哥在追上弟弟时离学校的距离
15×4=60（千米）
答：哥哥在追上弟弟时离学校60千米。
例4 小张、小明两人同时从甲、乙两地出发相向而行，两人在离甲地40米处第一次相遇，相遇后两人仍以原速继续行驶，并且在各自到达对方出发点后立即沿原路返回，途中两人在距乙地15米处第二次相遇。甲、乙两地相距多少米？
分析：根据题意画图如下

从图中可知，小张、小明两人第一次相遇时，共行的路程即是甲、乙两地之间的距离，这时，小张行了40米。当他们第二次相遇时，小张行了甲、乙间距离还多15米，小明行了两个甲、乙间距离少15米，合起来两个人共行了甲、乙间距离的3倍。因此小张从出发到第二次相遇所行的路程应是他从出发到第一次相遇所行的路程的3倍，即可求出他从出发到第二次相遇所行的路程。又知这段路程比甲、乙间距离多15米，甲、乙间距离就可求出了。
解答：小张从出发到第二次相遇所行的路程
40×3=120（米）
甲、乙间距离
120－15=105（米）
答：甲、乙两地相距105米。
例5 在周长为400米的圆形跑道的一条直径的两端，甲、乙两人分别以每秒6米和每秒4米的速度骑自行车同时同向出发（顺时针）沿圆周行驶，经过多长时间，甲第二次追上乙？
分析：如图，在出发的时候，甲、乙两人相距半个周长，根据路程差÷速度差=追及时间，就可求出甲第一次追上乙的时间。当甲追上乙后，两人就可以看作同时同地出发，同向而行。甲要追上乙，就要比乙多骑一圈400米，从而可求出甲第二次追上乙的时间。

解答：甲第一次追上乙的时间
400÷2÷（6－4）=100（秒）
甲第二次追上乙的时间
400＋（6－4）=200（秒）
一共所用的时间
100+200=300（秒）
答：经过300秒后甲第二次追上乙。
说明：在环形跑道上行驶，两车同时同地同向出发，若再一次相遇，快行

者必须比慢行者多行一圈，即路程差为环形跑道的周长。
例6 客车、货车、卡车三辆车，客车每小时行60千米，货车每小时行50千米，卡车每小时行55千米。客车、货车从东镇，卡车从西镇，同时相向而行，卡车遇上客车后，10小时后又遇上了货车。东西两镇相距多少千米？
分析：根据题意画图

当卡车与客车在A点相遇时，而货车行到B点，10小时后，卡车又遇到货车，说明在10小时内卡车与货车合行路程是（卡车与客车相遇时）客车与货车所行的路程差。客车与货车相差AB的路程所用的时间就是卡车与客车的相遇时间。
解答：AB间距离(客车与货车路程差)
（55+50）×10=1050（千米）
客车与卡车相遇时间
1050÷（60－50）=105（时）
两镇间距离
（60+55）×105=12075（千米）
答：两镇相距12075千米。
说明：这是一道相遇问题与追及问题相结合的应用题。客车与货车相差1050千米所用的时间就是卡车与客车的相遇时间，这一点是解题的关键。
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阅读材料
轮船相遇
斯图姆是法国数学家，在数学的许多领域都作出了开创性的工作。一次，斯图姆去参加一个国际学术会议，一位朋友向他请教了如下一个问题：
每天中午有一艘轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛，轮船在途中均要航行七天七夜，试问，每条从哈佛开出后的轮船在到达纽约前能遇上几艘从纽约开来的轮船？
你能试着给出解答吗？
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练习题
1．A、B两城相距450千米，甲、乙两辆汽车同时从A城开往B城 ，甲车每小时行52千米，乙车每小时行38千米，甲车到达B城后立即返回，两车从出发到相遇共需多少小时？
分析：根据题意画图如下

从图中可知，两车从出发到相遇所走的路程正好是两个A、B城之间的距离，所以两车从出发到相遇所用的时间相当于两车行了两个450千米所需的时间。
解答：450×2÷（52+38）
=900÷90
=10（时）
答：两车从出发到相遇共需10小时。
2．哥哥以每分钟50米的速度从学校步行回家，12分钟后弟弟从学校出来骑车追哥哥，结果在距学校800米处追上哥哥。求弟弟骑车的速度。
分析：根据题意画图如下

当弟弟追上哥哥时，距学校800米。这800米是哥哥两次所行路程的和，一次是12分钟内行的路程，另一次是弟弟从出发到追上哥哥所用时间内（追及时间）哥哥行的路程。
解答：弟弟追上哥哥的时间（追及时间）
（800－12×50）÷50
=（800－600）÷50
=200÷50
=4（分）
弟弟的速度
800÷4=200（米）
答：弟弟骑车每分钟行200米。
3．东、西两镇相距100千米，甲、乙两车分别从两镇同时出发相向而行，4小时

后相遇。已知甲比乙每小时快3千米，甲、乙两车的速度是多少？
分析：100千米是两车所行的总路程，4小时为相遇时间。根据相遇问题的数量关系式，就可求出两车的速度和。又已知两车的速度差，根据和差问题，两车速度就解决了。
解答：两车速度和
100÷4=25（千米）
甲的速度
（25+3）÷2=14（千米）
乙的速度
25－14=11（千米）
答：甲的速度为每小时14千米，乙的速度为每小时11千米。
4．一辆货车以每小时65千米的速度前进，一辆客车在它的后面1500米处，以每小时80千米的速度同向行驶，客车在超过货车前2分钟，两车相距多少米？
分析：客车超过货车的一瞬间，也就是客车追上货车，这时两车所行的路程是相等的。客车超过货车前2分钟两车相距的路程即客车与货车2分钟内的路程差。
解答：客车与货车1小时的路程差
80－65=15（千米）
客车与货车2分钟的路程差
15×1000÷60×2=500（米）
答：客车在超过货车前2分钟，两车相距500米。
说明：做完题后回过头来再想一想，发现已知条件客车在货车后面1500米是多余的，不管开始两车相距多远，客车在超过货车前2分钟，两车相距的路程是不变的。本题还要注意单位的互化。
5．甲乙两人骑车同时从南北两地相向而行，甲每小时行23千米，乙每小时行18千米，两人在距两地中点10千米处相遇，南北两地相距多少千米？
分析：根据题意画图如下

从图中可以看出，甲走了南北距离的一半多10千米，乙走了南北距离的一半少10千米。从出发到相遇，甲比乙多走了两个10千米。又已知 甲每小时比乙多行
23－18=5（千米）
多少小时后甲就比乙多行20千米？这个时间就是甲乙相遇时间，有了相遇时间，南北两地的距离就可求出了。
解答：甲乙相遇时间
10×2÷（23－18）
=20÷5
=4（时）
南北全程
（23+18）×4
=41×4
=164（千米）
答：南北两地相距164千米。
说明：本题表面现象是相遇，实质上有追及的特点。因此可以按照追及问题来解答。在做题过程中要抓住题目的本质，究竟考虑速度和，还是考虑速度差，要针对题目中的条件认真思考。千万不要“两人面对面”就是“相遇”，“两人一前一后”就是“追及”。
6．小红和小蓝练习跑步，若小红让小蓝先跑20米，则小红跑5秒就可追上小蓝。若小红让小蓝先跑4秒钟，则小红6秒钟追上小蓝，小红、小蓝的速度各是多少？
分析：小红让小蓝先跑20米，则20米就是小红、小蓝的路程差，小红跑5秒钟追上小蓝，5秒就是追及时间，由此可求出他们的速度差。若小红让小蓝先跑

4秒钟，则小红6秒钟追上小蓝，在这个过程中，6秒为追及时间。根据上一个条件，由速度差和追及时间可求出在这个过程中的路程差。这个路程差即是小蓝4秒钟所行的路程，因此可求出小蓝的速度。
解答：两人的速度差
20÷5=4（米）
小蓝的速度
6×4÷4=6（米）
小红的速度
6+4=10（米）
答：小红每秒跑10米，小蓝每秒跑6米。
7．甲乙两站相距360千米，客车与货车同时从甲站开往乙站。客车每小时行60千米，货车每小时行40千米，客车到达乙站后停留半小时，又以原速返回甲站，两车相遇的地点离乙站多少千米？
分析：由于客车在乙站停留时，货车仍然行驶，因此可以分段考虑。
解答：客车到达乙地的时间
360÷60=6（时）
客车返回时，货车已行的路程
40×（6+0.5）=260（千米）
货车这时距乙地的路程
360－260=100（千米）
客车返回与货车相遇时所用的时间
100÷（40+60）=1（时）
相遇点离乙地的距离
60×1=60（千米）
答：相遇时距乙地60千米。
8．甲、乙两人同时从东、西两地分别出发，如果两人同向而行，甲28分钟追上乙；如果两人相向而行，8分钟相遇。已知乙每分钟行50米，东西两地相距多少米？
分析：根据题意画图如下

从图中可以看出甲
28－8=20（分）
内所走的路程与乙
28+8=36（分）
内所走的路程是相同的，又已知乙的速度，因此可求出甲的速度，东西两地的全程就可求。
解答：甲的速度
50×（28+8）÷（28－8）
=50×36÷20
=1800÷20
=90（米）
东西两地间距离
（90+60）×8
=150×8
=1200（米）
答：东西两地相距1200米。
9．甲乙两人从相距50千米的两地同时出发，相向而行。甲每小时行6千米，乙每小时行4千米，甲带着一只狗，狗每小时跑12千米，这只狗同甲一道出发，；碰到乙的时候，它就掉头朝甲这边跑，碰到甲时又往乙那边跑，直到两人相遇，这只狗一共跑了多少千米？
分析：对于这道题，读完以后觉得很复杂：要求狗一共跑的路程，就要把狗与乙相遇跑的路程，与甲相遇跑的路程，再与乙相遇跑的路程…都求出来，然后再相加，算出结果。但是，仔细想一想，狗在甲乙两人之间要跑多少个来回，每次来回所用的时间是多少，这些量求起来很繁琐。
再认真审题，换个角度思考，不难发现，狗所跑的路程等于狗的速度乘以狗所跑时间。无论狗在甲、乙两人之间要跑多少个来回，狗跑的路程所用的总时间等于甲、乙两人相遇所用的时间。所以要求狗跑的时间，也就是求出甲、乙两人的相遇时间。因此原问题就转化成求甲、乙两人相遇时间的问题。
解答：甲乙两

人的相遇时间是50÷（4＋6）=5（时）
由于甲、乙两人相遇的时间就是狗来回跑所用的时间，所以狗一共跑的路程为
12×5=60（千米）
答：这只狗一共跑了60千米。
说明：有时在解题过程中会被题目中的情节或条件所迷惑，因此这时再换个角度思考就会出现“柳暗花明又一村”的感觉。
10．甲乙两人同时从A、B两地出发相向而行，两人在离A地90米处第一次相遇，相遇后两人仍以原速继续行驶，并且在各自到达对方出发点后立即沿原路返回，途中两人在距B地70米处第二次相遇。两人从第一次相遇到第二次相遇恰好经过了5分钟，甲、乙两人的速度是多少？
分析：根据本讲例4分析，先求出A、B间距离，再根据所给的时间就可求出两人的速度。
解答：A、B间距离
90×3－70
=270－70
=200（米）
甲的速度
90÷（5÷2）
=90÷2.5
=36（米）
乙的速度
（200－70+90）÷5
=220÷5
=44（米）
答：甲的速度为每分钟36米，乙的速度为每分钟44米。
说明：两人第一次相遇时，合行的路程是A、B之间的距离。两人从出发到第二次相遇时，合行的路程是三个A、B之间的距离，即从第一次相遇到第二次相遇所行的路程应是从出发到第一次相遇的两倍。因此甲从第一次相遇到第二次相遇所行的时间也是从出发到第一次相遇时间的两倍，所以甲行90米用了5分钟的一半时间。









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