高等结构振动学-第6章-结构振动特征值问题的矩阵摄动法

)
({u0(s)}T [K1]{u1(i)} (0i){u0(s)}T [M1]{u1(i)}
1(i){u0(s)}T [M 0 ]{u1(i)} 1(i){u0(s)}T [M1]{u0(i)})
（6－29）
当 i s 时， ci(2) 的确定如下：
n
以
{u
(i 0
)
}T
)}
所以，代入（6－8）式得：
{u1(i)}
n s 1
(i ) 0
1

( s ) 0
({u0(s)}T [K1]{u0(i)} (0i){u0(s)}T [M1]{u0(i)}){u0(s)}
si

1 2
({u0(i)}T
[M1]{u0(i)}){u0(i)}
故一阶摄动解为：
（6－22） （6－23）
)}

{u0(i
)
}T
[M1
]{u1(i)
}

{u1(i
)}T
[
M
1
]{u0(i
)})
（6－32）
故特征向量的二阶摄动解为：
{u2(i)}
n s 1
(i) 0
1

( s ) 0
({u0(s)}T [K1]{u1(i)}
si

(i 0
){u0( s
)}T
[
M
1]{u1(i
)}

{u (i) (s) 10
n

(i 0
)
[
M
0
]
c (1) s
{u 0( s
)
}

(i) 0
[M1
]{u0(i ) }

(i 1
)
[M
0
]{u0(i ) }
s1
方程两边乘以{u0(s)}T 并利用正交性公式：
{u0( s )
}T
[
K
0
]{u0(i
)
}


is
( s 0
)
{u0(s)}T [M 0 ]{u0(i)} is
[M
0
]{u
(i 0
)
}

{u
(i) 0
}T
[M1
]{u
(i 0
)
}

0
（6－18）
{u
(i 0
)
}T
[M
0
]{u
(i 2
)
}

{u1(i
)
}T
[M
0
]{u1(i
)
}

{u
(i 2
)
}T
[M
0
]{u0(i
)
}

{u
(i 0
)
}T
[M
1
]{u1(i)
}

{u1(i)
}T
[M
1
]{u0(i)
}

0
（6－19）
得到：
（6－8） （6－9） （6－10）
c (1) (s) s0

{u
(s 0
)
}T
[
K1
]{u
i 0
}

c (1) (i) s0

(i 0
)
{u 0( s
)
}T
[M
1
]{u
(i) 0
}

(i 1
)
is
（6－11）
即：
cs(1) (
(i) 0

( s 0
)
)

(i 1
)
is
(i) 0
[
M
0
]{u
(i 2
)
}

(i 0
)
[M
1
]{u1(i
)
}

(i) 1
[
M
0
]{u1(i) }
（6－7）

(i 1
)
[M
1
]{u
(i 0
)
}

(i 2
)
[M
0
]{u
(i 0
)
}
（1i）、（2i）、{u1( i )
}
、{u
(i 2
)
}
分别是特征值与特征向量的第一阶摄动和第二阶
摄动。因此，只要解出了原系统的特征值和特征向量，并知道了质量阵和刚度
第六章 结构振动特征值问题的矩阵摄动法
§6.1 概述
工程振动问题中经常遇到结构有小改动的情形，例如结构的制造误差、结构 的小修改设计、对结构参数改变进行灵敏度分析等。这些情况都有一个共同的 特点，就是结构的参数仅发生很小的变化。结构参数的小变化所引起的结构振 动特性变化问题，对工程结构优化设计有重要意义。经典的方法是每修改一次 方案就需要求解一次结构的固有特性，即求解广义特征值问题。这对于大型结 构的振动分析，是非常麻烦的。我们希望能找到一种能够利用修改前结构的固 有特性信息，且计算量小的方法，来解决上述问题。
[M
0
]
乘
{u
(i) 2
}

cs(
2)
{u
(s 0
)
}
，根据正交性得到：
s 1
ci(2)

{u 0(i )
}T
[
M
0
]{u
(i 2
)
}
转置得：
（6－30）
ci(2)

{u
(i) 2
}T
[
M
0
]{u
(i 0
)
}
（6－31）
代入到（6－18）式，得到：
c(s) i


1 2
({u1(i
)
}T
[
M
0
]{u1(i
c (1) s

(i) 0
1

(s 0
)
({u
(s 0
)
}T
[
K1
]{u0(i
)
}

(i 0
)
{u
(s) 0
}T
[
M
1
]{u0(i
)
})
根据振型的正交性：
（6－14）
{u (i) }T [M ]{u (i) } 1
（6－15）
将（6－4）式代入
({u0(i ) }

{u1(i ) }

{w
(i
)
}
的线性组合也是对应于重特征值
(i 0
)
的特征向量
{u
(i 0
)
}

1{w
(1)
}


2
{w
(2)
}


m
{w
(
m
)
}

[w]{
}
{}为待定系数向量
（6－39） （6－40）
退化系统有参数变化时，质量阵和刚度阵相应的变化为 [M1], [K1] ，即:
[M ] [M 0 ] [M1]
矩阵摄动法就是这种结构特征值重分析和灵敏度快速分析的计算方法。
§6.2 孤立特征值的摄动法
对离散系统特征值问题，假定已经得到了其特征对的解：
[K
0
]{u0(i)
}(i) 0[M Nhomakorabea0
]{u
(i 0
)
}
（6－1）
[K0 ], [M 0 ] 分别为参数未变化的原结构刚度矩阵和质量矩阵，第 i 个特征值
(i) 0
原结构。从物理意义上知道，绝大多数情况下，质量阵和刚度阵只有小变化时，
特征值和特征向量也只有小量变化，根据摄动理论，特征值和特征向量按小参
数 展开为：
{u
(i
)
}

{u
(i 0
)
}


{u1(i
)
}


2
{u
(i 2
)
}


(i)

(i) 0
1(i)


2
(i 2
)

（6－4）
代入方程（6－1），略去 O( 2 ) 以上的项，比较 同次幂的系数，得到：
(i) 1

{u0(i
)}T
[
K1
]{u0(i)
}

(i 0
){u0(i)}T
[M1
]{u0(i
)
}
{u1(i)}
n s 1
(i ) 0
1

( s 0
)
({u0(s)}T [K1]{u0(i)}
(i 0
){u0( s
)}T
[
M
1 ]{u0( i ) }){u0( s
)}
（6－24）
k1 X1
k3
§6.3 退化系统特征值的摄动
当系统有重频时，称为退化系统。退化系统特征值的摄动有两个特点。即：
参数变化后，原来的一组特征值由重特征值变为非重特征值；参数变化后，特
征向量可能产生跳跃。即
{u( (j
j)} i,
i
{u( j 1,
)} {u0( j)} ,i m

1)
(i) 2
{u0(i)}T [K1]{u1(i)}
(i 0
){u0(i
)
}T
[M1
]{u1(i
)