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初等数论§4.2孙子定理
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例2 〔韩信点兵〕有兵一队，若列成五行纵队，则 末行1人；成六行纵队，则末行5人；成七行纵队， 则末行4人；成十一行纵队，则末行10人。求兵数。
解 ： 即 求 解 同 余 式 组
x 1 ( m o d 5 ) , x 5 ( m o d 6 ) , x 4 ( m o d 7 ) ,2 6 , m 3 7 , m 4 1 1 .
202043阜阳师范学院1247年南宋的数学家秦九韶把孙子算经中物不知其数一题的方法推广到一般的情况得到称之为大衍求一术的方法在数书九章中发表
§4.2 孙子定理
李新年
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• 看过《射雕英雄传》的同学应该记得，当年黄蓉身中奇毒 ，郭靖将她送到瑛姑那里救治，进入瑛姑茅舍，瑛姑就给 他们出了一题：
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中国剩余定理
➢ 1247年南宋的数学家秦九韶把《孙子算经》中“物
不知其数”一题的方法推广到一般的情况，得到称之 为“大衍求一术”的方法，在《数书九章》中发表。 这个结论在欧洲要到十八世纪才由数学家高斯和欧拉 发现。所以世界公认这个定理是中国人最早发现的， 特别称之为“中国剩余定理”
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敬请指导，谢谢！
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阜阳师范学院 数科院
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m i ai 51 65 74 11 10
m
Mi
462
385 2310 330
210
M i ' aiMiMi ' aiMiMi'
3
1×462×3
1 5×385×1 6731
1-100英文单词
num. 一千
one thousand: 一千
One Hundred Thousand Stars: 千亿的星辰
One hundred thousand why: 十万个为什么
79, one [wʌn]
n. 一
num. 一；一个
adj. 一的；唯一的
29, 211
two hundred and eleven
30, 2111111
two million one hundred and eleven thousand one hundred and eleven
31, 26
twenty-six
32, 27
twenty-seven
sweet seventeen: 芳龄十七|女儿心|二八年华
Part Seventeen: 危险人物：莫羽祁
82, seventy ['sevənti]
n. 七十；七十个；七十岁；七十年代
num. 七十
adj. 七十的；七十个的；七十岁的
seventy: 七十，七十个|七十员|一篑
Chapter Eight: 装运|滑铁卢的美元|大众传媒
60, eighteen ['ei'ti:n]
n. 十八，十八个
num. 十八
adj. 十八个的，十八的
EIGHTEEN: 如果你来到我身边|十八的, 十八个的|如果如果你来到我身边
colour eighteen: 色彩十八|紫花布包
Eighteen Spring: 半生缘
61, eighty ['eiti]
中考英语983个核心单词
一. 冠词(3个)1. a 一个(件/只……)2. an 一个(件/只……)3. the 这;这个;那;那个二. 连词(24个)1. after 在……以后2. and 和;又3. as 像……一样;如同;因为4. because 因为5. before 在……之前6. but 但是7. if 如果;假使;是否;是不是8. neither 也不9. nor 也不10. or 或者;还是;否则11. since 从……以来;……以后12. that 既然,由于(引导宾语从句等)13. though 虽然14. till 直到;直到……为止15. until 直到;直到……为止16. when 当……的时候17. whether 是否18. while 在/当……的时候;和……同时19. than 比20. so 因此;所以21. both…and…两个都;既……又……22. not only…but also…不但……而且……23. either…or…或者……或者……;不是……就是……24. neither…nor…既不……也不……三. 介词(37个)1. about 在各处;四处;关于2. after 在……之后;在……后面3. along 沿着;顺着4. as 作为;当作5. among 在……中间;在(三者或三者以上)之间6. at (表示地点/位置)在;(表示时间)在……时(刻);(表示动作的目标和方向)7. before 在……前面;在……以前8. behind 在……后面9. below 在……下面10. beside 在……旁边;靠近11. between 在(两者) 之间;在……中间12. by 在……旁边;靠近;(指时间)不迟于;(用于被动语态) 被(表示方法、手段) 用; 由(指交通工具等) 乘13. down 沿着(街道、河流)而下14. during 在……的期间;在……过程中15. except 除……之外16. for (表示方向)往;(表示所属) ……的;(说明目的或用途) 为…17. from (表示起点) 从;(表示开始的时候)从……起;(表示距离)距;(表示来源) 来自18. in front of 在……前面19. into (表示动作的方向)到……内;(表示情况和结果的变化)变成20. in (表示位置)在…里/内/中;在…(时间);穿;戴在…(情况/状况)中;使用(语言)21. like 像22. near 在……附近;靠近24. off (表示脱离)离开23. of (表示所属关系)…的;表示数量)…的;(表示其中)…的25. on 在……上面;在……时刻;关于26. over 在……上方(以上);越过;遍及27. past (指时间)过;走过某处28. since 自从…以来29. through 穿过;通过;从开始到结束30. till 直到……为止31. until 直到……为止32. up 在/向……上面33. to (表示方向) 到，向;(表示间接关系) 给; (表示钟点) 在……之前34. with (表示具有) 带有;(表示手段或方法)用;(表示伴随) 与…一道;和…一起35. without 没有36. round 环绕一周;围着37. under 在/向……下面四. 代词(40个)1. 人称代词（8对）我 I / me你 you / you他 he / him她 she / her它 it / it我们 we / us你们 you / you他/她/它们 they / them2. 物主代词（8对）我的 my / mine你的 your / yours他的 his / his她的 her / hers它的 its / its我们的 our / ours你们的 your / yours他/她/它们的 their / theirs 3. 反身代词（6个）我自己 myself你自己 yourself他自己 himself她自己 herself它自己 itself我们自己 ourselves你们自己 yourselves他/她/它们自己 themselves五. 数词（64个）1. 基数词（32个）1. one2. two3. three4. four5. five6. six7. seven8. eight9. nine10. ten11. eleven12. twelve13. thirteen14. fourteen15. fifteen16. sixteen17. seventeen18. eighteen19. nineteen20. twenty21. twenty-one 30. thirty 40. forty50. fifty60. sixty70. seventy 80. eighty 90. ninety 100. a hundred123. a hundred and twenty-three 1,000. a thousand1,000,000. a million2. 序数词（32个）第一 first第二 second第三 third第四 fourth第五 fifth第六 sixth第七 seventh第八 eighth第九 ninth第十 tenth第十一 eleventh第十二 twelfth第十三 thirteenth第十四 fourteenth第十五 fifteenth第十六 sixteenth第十七 seventeenth第十八 eighteenth第十九 nineteenth第二十 twentieth第二十一 twenty-first第三十 thirtieth第四十 fortieth第五十 fiftieth第六十 sixtieth第七十 seventieth第八十 eightieth第九十 ninetieth第一百 a hundredth第一百二十三 a hundred and twenty-third 第一千 a thousandth第一百万 a millionth六. 形容词(151个)1. able 能够;有能力的2. above 上面的3. afraid 害怕的;担心的4. alone 单独的5. all 全部;所有的6. angry 生气的;愤怒的7. another 再一;另一8. any 一些;任何的9. bad 坏的;严重的10. beautiful 美丽的11. big 大的12. black 黑色的13. blue 蓝色的14. both 两;双15. bright 明亮的;聪明的16. brown 棕(褐)色的17. busy 忙的;忙碌的18. careful 小心的;仔细的19. cheap 便宜的20. clean 干净的;清洁的21. clear 清晰的;清楚的22. close 近的;靠近的23. cloudy 多云的24. cold 冷的;寒冷的25. cool 凉的;凉快的26. dangerous 危险的27. dark 黑暗的;深色的28. dead 死的29. dear 亲爱的;贵的30. deep 深的31. delicious 美味的；可口的32. different 不同的；差异的33. difficult 困难的；艰难的34. dirty 脏的35. dry 干的；干燥的36. early 早的37. east 东方的38. easy 容易的39. either （两者中）任何一方的40. empty 空的41. enough 足够的；充分的42. every 每一；每个的43. expensive 昂贵的44. famous 著名的45. far 远的46. fast 快的47. favourite 喜爱的；中意的48. few 不多的；少数的49. fine 晴朗的；（身体）很好50. first 第一；最初的51. foreign 外国的52. free 空闲的53. friendly 友好的54. front 前面的；前部的55. full 满的；饱的56. glad 高兴的；乐意的57. good 好；良好58. great 伟大的；重要的59. green 绿色的60. half 半；一半61. happy 高兴的；幸福的62. hard 困难的63. healthy 健康的；卫生的64. heavy 重的65. high 高的66. hot 热的67. hungry 饥饿的68. ill 生病的；不健康的69. important 重要的70. interested 感兴趣的；关心的71. interesting 有趣的72. kind 友好的；和善的73. large 大的；巨大的st 最后的；最近刚过去的75. late 迟的；晚的76. lazy 懒惰的77. left 左边的78. light 轻的；浅色的79. little 小的；少的80. long （距离）长的/远的81. loud 大声的；响亮的82. low 底的；矮的83. lucky 运气好的；侥幸的84. many 许多的85. modern 现代的86. much 许多的；大量的87. near 近的88. neither （两者）都不89. new 新的；新鲜的90. nex61. happy 高兴的；幸福的62. hard 困难的63. healthy 健康的；卫生的64. heavy 重的65. high 高的66. hot 热的67. hungry 饥饿的68. ill 生病的；不健康的69. important 重要的70. interested 感兴趣的；关心的71. interesting 有趣的72. kind 友好的；和善的73. large 大的；巨大的st 最后的；最近刚过去的75. late 迟的；晚的76. lazy 懒惰的77. left 左边的78. light 轻的；浅色的79. little 小的；少的80. long （距离）长的/远的81. loud 大声的；响亮的82. low 底的；矮的83. lucky 运气好的；侥幸的84. many 许多的85. modern 现代的86. much 许多的；大量的87. near 近的88. neither （两者）都不89. new 新的；新鲜的90. next （距离）最近的；紧挨的91. nice 美好的；令人愉快的92. no 没有93. north 北方的94. old 旧的；年老的95. only 唯一的；仅有的96. open 开着的；开口的97. orange 橙色的98. other 别的；另外的99. polite 有礼貌的100. poor 贫穷的101. popular 流行的102. possible 可能的；可能发生的103. quick 快的；迅速的104. quiet 安静的105. ready 准备好的106. red 红色的107. rich 富裕的；有钱的108. right 右边的；正确的109. round 圆的；球形的110. sad 悲伤的；使人悲伤的111. same 同样的112. second 第二113. serious 严重的；认真的114. several 几个；若干115. short 短的；矮的116. sick 生病的；有病的117. slow 慢的；缓慢的118. small 小的；少的119. some 一些；几个120. sorry 对不起的；难过的121. south 南方的122. strong （身体）强壮的123. such 这样的；那样的124. sure 肯定的;确定的125. sweet 甜的126. tall 高的127. terrible 可怕的；极不舒服的128. that 那；那个129. these 这些130. thin 瘦的；薄的131. thirsty 口渴的132. this 这；这个133. those 那些134. tired 疲劳的；累的135. true 真的；真实的136. useful 有用的；有益的137. usual 通常的；平常的138. warm 暖和的；温暖的139. weak 差的；弱的140. well 好的；健康的141. wet 湿的；潮的142. west 西方的143. what 多么；何等；什么144. which 哪一个；哪些145. white 白色的146. whole 整个的147. wide 宽的；宽阔的148. wonderful 极好的，精彩的149. wrong 错误的；不对的150. yellow 黄色的151. young 年轻的七. 副词（94个）1. about 大约；到处2. above 在上面3. after 在后；后来4. again 再一次；再；又5. ago 以前6. all 全部地7. almost 几乎；将近8. along 向前；和……一起9. already 已经10. also 也11. always 总是；永远12. around 在周围；在附近13. away 离开；远离14. back 向后；回原处15. before 以前16. behind 在后面；向后17. certainly 当然18. close 近；靠近19. deep 深地20. down 向下21. early 早地22. either 也（不）23. enough 足够地；充分地24. even 甚至；更25. ever 曾经；无论何时26. everywhere 到处27. far 远地28. fast 快地；迅速地29. first 最初30. hard 努力地；（下雨 / 下雪等）猛烈地31. hardly 几乎不32. here 这里；在这里；向这里33. home 回家；到家34. how 怎样；多么35. in 在家；在内；向内36. instead 代替；相反37. just 正好；刚才；仅38. last 最后地；最近刚过去39. late 迟地；晚地40. later 之后；过后41. left 向左42. little 很少地43. long 长久44. loud 大声地；响亮地45. low 低；矮46. much 非常；更加47. near 附近；邻近48. neither 也不49. never 决不；从来不50. next 随后；下一步51. no 没有；不；无52. not 不；没53. now 现在54. off （电 / 自来水）停了55. often 经常56. on （穿/戴/放……）上57. once 从前58. only 只；仅仅59. out 离开；向外；在外60. outside 在外面61. over 结束；完了62. perhaps 可能；也许63. quickly 快地；迅速地64. quite 完全；十分65. rather 相当；宁可66. really 真正地；确实67. right 正确地；恰恰68. since 从那时以来69. slowly 慢地；缓慢地70. so 如此；很71. sometimes 有时72. soon 很快；不久73. still 仍然；还74. such 那么75. suddenly 突然76. then 那时；然后77. there 在(往)那儿；表示“存在”78. through自始至终79. today 今天；现在；当前80. together 一起81. tomorrow 明天82. tonight 今天晚上；今夜83. too 也；太84. twice 两次；两倍85. under 在下面；向下面86. up 向上；在上87. usually 通常；经常88. very 很；非常89. well 好90. when 什么时候91. where 在（往）哪里92. why 为什么93. yes 是；同意94. yet 还；仍然八. 动词（176个）1. agree 同意2. answer 回答；答复3. arrive 到达；达到4. ask 问；请求；要求5. be 是；成为6. beat 敲打；打胜；打赢7. become 变得；成为8. begin 开始；着手9. blow吹；刮风；吹气10. borrow （向别人）借；借用11. break 打破；打断；打碎12. bring 带来；拿来13. brush 刷；擦14. buy 买；购买15. call 称呼；取名；叫喊16. can 能够；可以；可能17. care 关心；照料；照顾18. carry 运送；搬运；携带19. catch 捉住；赶上（车辆）20. change 改变；更换21. choose 挑选；选举22. clean 弄干净；擦干净23. close 关；闭24. come 来；来到25. cook 煮；烧；烹调26. cost 花费；值（多少钱）27. cover 覆盖；遮盖；掩盖28. cross 穿过；渡过29. cry 喊叫；哭30. cut 切割；相交；切牌；停拍；31. dance 跳舞32. decide 决定；下决心33. die 死34. dig 挖（洞/沟等）；掘35. do 做（事）；干（事）36. draw 画；绘制37. drink 喝；饮38. drive 驾驶；驱赶39. eat 吃40. enjoy 欣赏；享有41. excuse 原谅；宽恕42. fail 失败；不及格43. fall 落下；下降44. feel 感觉；触；摸45. fill 满；充满46. find 找到；发现47. finish 结束；做完48. fish 钓鱼；捕鱼49. fly 飞；飞行50. follow 跟随；（表示时间/次序等）接着51. forget 忘记；忘掉52. get 变得；得到53. give 给；给予54. go 去；走55. grow 生长；种植56. hand 递；给；交付57. happen 发生58. have 有；吃；喝；进行59. hear 听见；听说60. help 帮助61. hold 拿；握住；举行62. hope 希望63. hurry 赶紧；匆忙64. hurt 伤害；伤痛65. invent发明；创造66. join 连接；参加；加入67. jump 跳；跳跃68. keep 保持；保存69. kill 杀死；弄死70. knock 敲击；打71. know 知道；懂得72. last 持续73. laugh 笑；大笑；嘲笑74. lay 放；搁；生（蛋）75. learn 学习；学会76. leave 离开；剩下77. lend 借出；把……借给78. let 让79. lie 躺；卧；平放80. like 喜欢；喜爱；想要81. listen 听；仔细听；倾听82. live 居住；生活83. look 看；好像；显得84. love 爱；热爱；很喜欢85. make 做；制造86. matter 要紧；有关系（用于否定句和疑问句）87. may 可以；可能88. mean 意思是…；意味着…89. meet 遇见；碰见90. mend修理91. mind 关心；介意92. miss 错过；没看见93. move 移动；搬动94. must 必须；（表示猜测）一定是95. name 取名；命名96. need 需要；必需97. open 打开；张开98. own 拥有99. pass 经过；传递100. pay 付钱101. pick 拾起；采集102. plant 种植；播种103. play 玩；打（球）104. please 请105. post 邮寄106. practise 练习；实践107. pull 拉；拖108. push 推109. put 放；摆110. rain 下雨111. reach 到达；抵达112. read 读；朗读113. receive 收到；得到114. remember 记得；想起115. report 报告；报道116. ride 骑（马/自行车等）；乘车旅行117. ring （钟/铃等）响；给…打电话118. run 跑；奔跑119. save 救；挽救120. say 说；讲121. see 看；拜访；看望122. seem 好像；似乎123. sell 卖；销售124. send 派遣；送125. set 建立；创立126. shall 将；要；会127. shine 照耀；发光；发亮128. shop 到商店买东西129. shout 喊；高声呼喊130. show 给……看；出示131. sing 唱；唱歌132. sit 坐133. sleep 睡觉134. smell 嗅；闻；散发气味135. smile 微笑136. snow 下雪137. sound 听起来；似乎138. speak 说话；讲话139. spend 花费（时间/金钱等）；度过140. stand 站；立141. start 开始；出发142. stay 停留；暂住143. step 走；跨步144. stop 使停止；阻止145. study 学习；研究146. surprise 使惊奇；使诧异147. swim 游；游泳148. take 拿；带去；花费149. talk 说话；交谈150. teach151. telephone 打电话152. tell 告诉；讲述153. thank 谢；感谢154. think 想；认为155. throw 投；掷；扔156. travel （长途）旅行157. try 试；努力158. turn 转动；转变159. understand 懂得；理解160. use 利用；使用161. visit 参观；访问；拜访162. wait 等；等候163. wake 醒；醒来164. walk 走；散步165. want 想要；需要166. wash 洗167. watch 观看；注视168. water 给……浇水169. wear 穿；戴170. welcome 欢迎171. will 将；会；要172. win 获胜；赢得173. wish 希望；想要174. work 工作；运转175. worry 烦恼；担心176. write 书写；写下九. 名词（394个）1. accident 事故；意外的事2. address 住址；通讯处3. afternoon 下午4. air 空气；大气5. all 全部；全体人员6. animal 动物7. answer 答案8. apple 苹果9. arm 胳臂10. art 美术11. aunt 婶母；伯母12. autumn 秋天；秋季13. back 背；背后14. bag 书包；袋子15. ball 球16. banana 香蕉17. basket 篮子18. basketball 篮球；篮球运动19. bed 床20. bedroom 卧室21. bell 钟；铃22. best 最好的人或物23. bike 自行车24. bill 帐单；清单25. bird 鸟26. birthday 生日27. bit 一点；一些28. black 黑色29. blackboard 黑板30. blue 蓝色31. boat 小船32. body 身体；躯体33. book 书；本子34. bookshop 书店35. bottle 瓶子36. box 箱子；盒子37. boy 男孩38. bread 面包39. breakfast 早餐40. bridge 桥41. brother 兄弟42. brown 棕色；褐色43. brush 刷子44. building 建筑物；房屋45. business 商业；生意46. bus 公共汽车47. cake 蛋糕48. call （一次）电话49. car 小汽车50. card 卡片；名片51. care 小心；照料52. cat 猫53. center 中心；中央54. chair 椅子55. change 变化；零钱56. child 孩子；儿童57. Christmas 圣诞节58. cinema 电影；电影院59. city 城市60. class 班；课61. classmate 同班同学62. classroom 教室63. clock 钟64. clothes 衣服65. coat 上衣；外套66. cold 寒冷；感冒/着凉67. colour 颜色68. comrade 同志69. computer 电脑；电子计算机70. cook 厨师；炊事员71. copy （书/报等的）一本/份/册……72. corner 角落；拐角73. cotton 棉花74. country 国家；农村75. course 过程；经过76. cover 盖子；罩77. cow 奶牛；母牛78. cross 十字形；交叉79. cry 叫喊；哭声80. cup 杯；杯子81. dad 爸爸82. dance 跳舞83. dark 黑暗；深色84. date 日期85. daughter 女儿86. day 天；日87. desk 书桌88. dictionary 字典；词典89. dinner 正餐90. doctor 医生91. dog 狗92. dollar 元（美/加拿大）93. door 门94. dress 服装；女装95. drink 饮料；喝酒96. driver 司机；驾驶员97. duck 鸭子98. dumpling 饺子99. ear 耳朵100. earth 地球101. east 东；东方102. egg 蛋；卵103. end 末尾；终点104. enough 足够；充足105. evening 晚上；傍晚106. exam 考试；测试107. excuse 借口；辩解108. exercise 做操；练习109. eye 眼睛110. face 脸；面孔111. factory 工厂112. family 家庭113. fan 爱好者；……迷114. farm 农场；农庄115. farmer 农民116. father 父亲117. favourite 特别喜爱的人或物118. field 田地；场地119. film 电影；影片120. fire 火；火灾121. first 开始；开端122. fish 鱼；鱼肉123. floor 地板；（楼房的）层124. flower 花125. food 食物；食品126. foot 脚 / 足；英尺127. football 足球128. foreigner 外国人129. friend 朋友130. fridge 电冰箱131. front 前面；前部132. fruit 水果133. fun 有趣的事；娱乐134. future 将来；未来135. game 游戏；比赛136. garden 花园137. girl 女孩138. glass 玻璃；玻璃杯139. grade 等级；（中、小学的）学年140. grandfather 祖父；外祖父141. grandpa 爷爷；外公142. grandmother 祖母；外祖母143. grandma 奶奶；外婆144. grass 草；牧草145. green 绿色146. ground 地面；运动场147. group 群；小组148. hair 头发149. half 半；一半150. hand 手；（钟/表的）指针151. head 头；头部152. heart 心；心脏153. help 帮助154. hill 小山155. history 历史156. hole 洞157. holiday 假日；节日158. home 家159. homework 家庭作业160. hope 希望161. horse 马162. hospital 医院163. hotel 旅馆164. hour 小时165. house 房子166. hurry 赶紧；急忙167. husband 丈夫168. ice 冰169. idea 主意；想法170. interest 兴趣；趣味171. jacket 短上衣；外套172. key 钥匙；答案173. kilometer 千米；公里174. kind 种类；175. knife 小刀176. lady 女士；夫人177. lake 湖178. land 陆地；土地179. language 语言180. last 最后；末尾181. laugh 笑；嘲笑182. league 联盟183. left 左边184. leg 腿185. lesson 课；功课186. letter 字母；信187. library 图书馆188. life 生命；生活189. light 光；灯190. line 线；生产（装配）线191. list 清单；名单192. little 没有多少；一点193. lot 很多194. love 爱195. lunch 午餐196. machine 机器197. madam 女士；夫人；小姐198. man （成年）男人199. map 地图200. market 市场；集市201. match 比赛202. maths 数学203. matter 事情；问题（与the连用）204. meal 一餐（饭）205. meat 肉206. medicine （内服）药207. meeting 会；聚会208. member 成员；会员209. metre 米；公尺210. middle 中间；当中211. milk 牛奶212. mind 思维；思想；想法213. minute 分（钟）；一会儿 / 瞬间214. Miss 小姐215. mistake 错误216. moment 一会儿；片刻217. money 钱；货币218. monkey 猴子219. month 月220. moon 月亮221. morning 早上；上午222. most 大部分；大多数223. mother 母亲224. mountain 山；山脉225. mouth 嘴226. Mr 先生227. Mrs 夫人228. much 许多；大量229. museum 博物馆230. music 音乐231. name 名字；姓名232. need 需要；必需233. news 新闻；消息234. newspaper 报纸235. night 夜晚；黑夜236. nobody 没有人237. noise 响声；噪声238. noon 中午239. north 北；北方240. nose 鼻子241. number 数字；号码242. nurse 护士243. o'clock ……点钟244. office 办公室245. once 一次；从前246. orange 橙子；柑子247. page 页；页码248. pair 一对；一副249. paper 纸；报纸250. pardon 原谅251. parent 父（母）亲252. park 公园253. part 部分254. party 聚会；党派255. past 过去；往事256. pay 工资257. pear 梨258. pen 钢笔259. pencil 铅笔260. people 人；人们261. person 人262. photo 照片263. picnic 野餐264. picture 照片；图画265. piece 一块/片/张/件…266. pioneer先锋；开拓者267. place 地方；地点268. plane 飞机269. plant 植物270. plate 碟子；盘子271. play 玩耍；戏剧272. police 警察；警察当局273. post 邮寄；邮政274. potato 土豆；马铃薯275. present 礼物276. problem 问题；难题277. programme 节目；项目278. pupil 学生279. push 推280. quarter 一刻钟；四分之一281. question 问题282. race 赛跑；竞赛283. radio 收音机；无线电284. rain 雨；下雨285. red 红色286. report 报告；报道287. rest 休息；其余288. rice 大米；米饭289. right 右边；正确290. ring 打电话291. river 江；河292. road 道路；公路293. room 房间；室294. school 学校295. science 科学296. sea 海；海洋297. season 季；季节298. seat 座位299. second 秒；第二个人或物300. set 设备；（一）套301. sheep 羊；绵羊302. ship 船；轮船303. shirt （男式）衬衫304. shoe 鞋305. shop 商店；店铺306. shout 喊；高声呼喊307. side 边；面308. sir 先生309. sister 姐妹310. size 尺寸；大小311. skirt （女）短裙312. sky 天空；天313. sleep 睡觉314. smell 味；气味315. smile 微笑316. snow 雪317. soldier 士兵318. son 儿子319. song 歌唱；歌曲320. sound 声音321. south 南；南方322. sport 运动；运动会323. spring 春天；春季324. stamp 邮票325. star 星; 恒星326. station （火车/汽车等）站；之声327. stay 停留；逗留328. step 脚步；脚步声329. stick木棒；木棍330. stop 停止；车站331. story 故事；小说332. street 街；街道333. student 学生334. study 学习；研究335. subject 科目；（语法）主语336. sugar 糖337. summer 夏天；夏季338. sun 太阳；阳光339. supper 晚餐340. surprise 惊奇；诧异341. sweet 糖果342. swim 游；游泳343. table 桌子344. talk 谈话；讲话345. tea 茶；茶叶346. teacher 教师347. team 队；组348. telephone 电话349. temperature温度350. term 学期351. thank 感谢；谢谢352. thing 事情；东西353. ticket 票；券354. time 时间；次355. today 今天356. tomorrow 明天357. tooth 牙齿358. top 顶部；（物体的）上面359. town 城镇；镇360. train 火车361. travel （长途）旅行362. tree 树363. trouble 烦恼；麻烦364. TV 电视365. uncle 叔父；伯父366. vegetable 蔬菜367. village 村庄；乡村368. visitor 参观者；访问者369. walk 走；散步370. wall 墙371. watch 手表；怀表372. water 水373. way 道路；方法374. weather 天气375. week 周；星期376. welcome 欢迎377. west 西；西方378. while 一会儿；一段时间379. white 白色380. wife 妻子381. wind 风382. window 窗383. winter 冬天；冬季384. wish 愿望；祝愿385. woman 妇女；女人386. word 词；单词387. work 工作；劳动388. worker 工人；工作者389. world 世界390. year 年391. yellow 黄色392. yesterday 昨天393. zero 零394. zoo 动物园。
苏教版二年级数学下册认识万以内的数综合练习题100
一个数是由5个千、5个百7个一组成的，这个数是____。
6219读作：____________________。
4713读作：____________________。
二、读出下面各数。
849 6033 3050 4051 9800三、写出下面各数。
三千九百零八三千零五十七九千零七十一千零三三千七百零一四、直接写出得数。
9900－5000＝8000＋200＝7300－100＝560－50＝5000＋40＝700－500＝6400－6000＝80＋1000＝8600－400＝290－20＝700＋300＝300－200＝五、比大小。
859〇895 2706〇2207 7397〇77932210〇2250 8444〇8457 3130〇33016346里面有____个千、____个百、____个十和____个一。
4874读作：____________________。
2607读作：____________________。
二、读出下面各数。
158 **** **** 8006 6009三、写出下面各数。
三千一百八百零二八千零四九千零六十九千二千六百零一四、直接写出得数。
9500－5000＝20＋10＝1200－100＝880－60＝4000＋500＝100－100＝3400－2000＝6000＋10＝9900－200＝810－10＝9000＋300＝5000－4000＝五、比大小。
213〇231 2681〇2690 3890〇3098768〇7700 1893〇1885 9395〇9953718是____位数，它的最高位是____位，百位上是____,十位上是____。
8415读作：____________________。
4937读作：____________________。
二、读出下面各数。
228 5015 7060 8094 8101三、写出下面各数。
九千三百二百零四七千零八十八千零二十七千零八二千三百零八四、直接写出得数。
人教版万以内数的认识课件及练习题
档
上珠
梁
框
下珠
算盘四周叫做框，根根小棒叫做档，一 根横梁分上下； 梁的上面是上珠，梁的下面是下珠；一 个上珠表示5，一个下珠表示1。
用算盘数数、记数。
让我们借助算盘 一起来数数吧。
个 位
1 23 4
让我们借助算盘 一起来数数吧。
千百十个 位位位位
1 、2、3、4、5、6、7、8、9、10 10、20、30、40、50、60、70、80、90、100 100、200、300、400、500、600、700、800、900、1000
二年级数学下册教学课件
第 7 单元 万以内数的认识
第 2 课时 1000以内数的认识（2）
一、情景导入
（一）填一填
同今学天们我上们节继课续的来知学识习 掌1握00得0以非内常数好的。知识。
10个一是（十），10个十是（ 一）百，10个一百是（ 一）千。
（二）数一数
1.在二百八十六的后面连续数出6个数。 二百八十七、二百八十八、二百八十九、二百九十、 二百九十一、二百九十二。
1、2、3、4、5、 6、7、8、9、10。
我们来数一数小 正方体的个数。
一个一个地数，10 个一是( 十 )。
10、20、30、40、50、 60、70、80、90、100。
一十一十地数，10 个十是( 一百 )。
认识计数单位“千”。
每一排是一百，可以 一排一排地数。
32九个个百百百里是是面三二有百百9个。。百。 这么多，怎么数呢？
一千里有10个一百，每个一 我 合一 1有0发 起列百多列现 来有一少就9是01百个是1000和地一个10010圈百，0。00。，就看行百1看了0里0。，有所10以个1一边0十个数千1，边0里01在是0有图个110上0100记00。是个数十。 。
包山楚简151～152 号简补释
四川文物2014年第２期关于战国时期的楚田制，学者们已经进行了诸多探讨，但由于史料缺乏，使得研究难以深入。
值得庆幸的是，近年来由于一些新材料的出现，使我们对于楚田制的研究出现了新的契机。
比如1987年出土的包山楚简，［1］对于我们研究战国时期楚田制意义重大。
本文通过分析包山楚简第151~152号简的相关内容，就其中所反映的当时的楚田制谈一下自己粗浅的认识。
一包山楚简第151~152号简曰：左驭番戌飤(食)田于(国)噬邑城田,一索畔(半)畹。
戌死,其子番疐后之。
疐死无子,其弟番死无子,左尹士命其从父之弟番飤(食)田,病于责(债),骨儥之。
左驭遊晨骨贾之,又(有)五節。
王士之后四川文物2014年第２期能左驭相当于“士”一类的。
“飤田”：整理者认为飤通作“食”，可从。
《说文·食部》：“飤，粮也。
从人、食。
”段注：“粮也。
从人、食。
按以食食人物。
其字本作食。
俗作飤。
或作饲。
经典无飤。
许云：邱到于潏水袁以为右庶长四川文物2014年第２期“左尹士”：整理者认为是“左尹之士”，陈伟认为士是左尹的人名。
［19］今按，当从整理者，因为左尹恐不可能有多个。
“病于责（债），骨儥之。
左驭遊晨骨贾之”：“骨”，李学勤以音近读为“迄”，根据《逸周书·皇门》注训为“既也”。
李零认为包山楚简“司”。
李学勤改释为“節”，疑即符节，即后世的印章。
战国时期实行的是“田里什伍”，受田者五家编为一伍，田的转让可能也需要伍的封印以为证明。
何琳仪释为“”，读为“则”，认为“五则”是一百五十步。
陈伟认为“五’同“伍”，是姓氏，“五”者，是说左驭遊晨买的田得到了“伍”的证明。
“王士之后赏间之，谓番戌无后”：李学勤认为，“间”，当据《小尔雅·广言》解为：“非也。
”因为此人是王室后嗣，也受有田，当即和潘家是同伍的一家，因而对潘家田地的继承权问题提出非议。
实际上，这种说法有诸多疑点：第一，如按这种说法，“非”为动词，“之”则为其宾语，那么，“之”指代的是什么？按照李说，“之”指“潘家的继承权”，将其与前面的“赏间之，谓番戌无后”连读，则是“赏非议‘潘家的继承权’，认为番戌无后嗣”，这样读下来，感觉文义很突兀，前面讲的都是“田”，后面突然出来了个“继承权”。
水浒传一百零八好汉的简介
１、宋江 人称“及时雨” 早先为山东郓城县押司，整日舞文弄墨，书写文书，是一刀笔小吏。 人称“及时雨”。早先为山东郓城县押司，整日舞文弄墨，书写文书，是一刀笔小吏。晁盖等八个好汉智取 生辰纲事发，被官府缉拿，幸好宋江事先告知，八人逃上梁山入伙。晁盖派刘唐送金子和书信给宋江， 生辰纲事发，被官府缉拿，幸好宋江事先告知，八人逃上梁山入伙。晁盖派刘唐送金子和书信给宋江，宋江 的老婆阎婆惜发现宋江私通梁山，趁机要胁，宋江怒杀阎婆惜，逃往沧州。被迫上梁山。 的老婆阎婆惜发现宋江私通梁山，趁机要胁，宋江怒杀阎婆惜，逃往沧州。被迫上梁山。后宋江做了梁山泊 首领。征大辽、田虎、王庆、方腊后，衣锦还乡，最后被奸臣高俅、杨戬毒死。 首领。征大辽、田虎、王庆、方腊后，衣锦还乡，最后被奸臣高俅、杨戬毒死。 ２、卢俊义 北京城里的大员外、财主，绰号“ 一身好武艺，棍棒天下无双。被梁山泊吴用用计骗到梁山， 北京城里的大员外、财主，绰号“玉麒麟 ”，一身好武艺，棍棒天下无双。被梁山泊吴用用计骗到梁山， 卢俊义与梁山英雄大战，不敌而逃，乘船逃走时被浪里白条张顺活捉。卢俊义不愿在梁山落草为寇， 卢俊义与梁山英雄大战，不敌而逃，乘船逃走时被浪里白条张顺活捉。卢俊义不愿在梁山落草为寇，乘机逃 回到北京城，妻子贾氏却与管家李固做了夫妻。卢俊义同时亦被官兵捉拿，屈打成招，下了死牢。 走。回到北京城，妻子贾氏却与管家李固做了夫妻。卢俊义同时亦被官兵捉拿，屈打成招，下了死牢。宋江 率梁山泊英雄攻打北京城，拼命三郎石秀独力劫法场，救出卢俊义，杀了奸夫淫妇。卢俊义投奔梁山后， 率梁山泊英雄攻打北京城，拼命三郎石秀独力劫法场，救出卢俊义，杀了奸夫淫妇。卢俊义投奔梁山后，坐 上了第二把交椅。受招安后卢俊义被封为武功大夫、庐州安抚使兼兵马副总管。后被高俅用水银酒毒伤， 上了第二把交椅。受招安后卢俊义被封为武功大夫、庐州安抚使兼兵马副总管。后被高俅用水银酒毒伤，不 能骑马，乘船时失足落水而死。 能骑马，乘船时失足落水而死。 ３、吴用 人称“智多星” 道号加亮，平生机巧聪明，熟读万卷经书，使两条铜链。吴用为晁盖献计，智取生辰纲， 人称“智多星”，道号加亮，平生机巧聪明，熟读万卷经书，使两条铜链。吴用为晁盖献计，智取生辰纲， 用药酒麻倒了青面兽杨志，夺了北京大名府梁中书送给蔡太师庆贺生辰的十万贯金银珠宝。 用药酒麻倒了青面兽杨志，夺了北京大名府梁中书送给蔡太师庆贺生辰的十万贯金银珠宝。宋江在浔阳楼题 反诗被捉，和戴宗一起被押赴刑场，将要行斩时，吴用用计劫了法场，救了宋江、戴宗。 反诗被捉，和戴宗一起被押赴刑场，将要行斩时，吴用用计劫了法场，救了宋江、戴宗。宋江二次攻打祝家 庄失败；第三次攻打祝家庄时，吴用利用双掌连环计攻克祝家庄。吴用在破连环马时， 庄失败；第三次攻打祝家庄时，吴用利用双掌连环计攻克祝家庄。吴用在破连环马时，派时迁偷甲骗徐宁上 了梁山。宋江闹华州时，吴用又出计借用宿太尉金铃吊挂，救出了史进、鲁智深。一生屡出奇谋，屡建战功。 了梁山。宋江闹华州时，吴用又出计借用宿太尉金铃吊挂，救出了史进、鲁智深。一生屡出奇谋，屡建战功。 受招安后被封为武胜军承宣使。宋江、李逵被害后，吴用与花荣一同在宋江坟前上吊自杀，与宋江葬在一起。 受招安后被封为武胜军承宣使。宋江、李逵被害后，吴用与花荣一同在宋江坟前上吊自杀，与宋江葬在一起。 ４、公孙胜 河北蓟州人，人称“入云龙” 梁山人马攻打高唐州时，高廉手下有三百飞天神兵，高廉会用妖法， 河北蓟州人，人称“入云龙”。梁山人马攻打高唐州时，高廉手下有三百飞天神兵，高廉会用妖法，使宋江 折兵损将。吴用让宋江请公孙胜来破高廉。公孙胜是罗真人的大徒弟，名叫清道人。与高廉斗法，大获全胜。 折兵损将。吴用让宋江请公孙胜来破高廉。公孙胜是罗真人的大徒弟，名叫清道人。与高廉斗法，大获全胜。 高廉驾起一片黑云想逃走，被公孙胜用法术从云中打落后杀死。宋江率梁山好汉闹华州后回到梁山， 高廉驾起一片黑云想逃走，被公孙胜用法术从云中打落后杀死。宋江率梁山好汉闹华州后回到梁山，路过徐 州沛县芒砀山，被能呼风唤雨的混世魔王樊瑞、八臂哪吒项充、飞天大圣李衮拦阻。 州沛县芒砀山，被能呼风唤雨的混世魔王樊瑞、八臂哪吒项充、飞天大圣李衮拦阻。公孙胜见芒砀山内尽是 青色灯笼，就知道有会用妖法的人在内。公孙胜献计用法术破了三人，劝他们归顺梁山，建立奇功伟业。 青色灯笼，就知道有会用妖法的人在内。公孙胜献计用法术破了三人，劝他们归顺梁山，建立奇功伟业。在 梁山泊英雄排名次时排行第四，封为掌管机密副军师。宋江受招安后公孙胜回蓟州出家。 梁山泊英雄排名次时排行第四，封为掌管机密副军师。宋江受招安后公孙胜回蓟州出家。 ５、关胜 是三国名将关羽的后代，使一把青龙偃月刀，精通兵法。原来是蒲东的巡检， 是三国名将关羽的后代，使一把青龙偃月刀，精通兵法。原来是蒲东的巡检，后被蔡太师调往梁山泊攻打宋 关胜一人大战林冲、秦明两人。宋江不能取胜。呼延灼用假投降的办法引关胜兵马进入宋江的大寨， 江。关胜一人大战林冲、秦明两人。宋江不能取胜。呼延灼用假投降的办法引关胜兵马进入宋江的大寨，被 挠挂钩拖下马鞍活捉。关胜感到宋江有胆识重义气，便归顺了梁山。蔡京调兵进攻梁山，关胜杀败单廷珪， 挠挂钩拖下马鞍活捉。关胜感到宋江有胆识重义气，便归顺了梁山。蔡京调兵进攻梁山，关胜杀败单廷珪， 单廷珪便投降了梁山。受招安后，关胜被封为大名府正兵马总管。在梁山泊英雄中排马军五虎将第一位。 单廷珪便投降了梁山。受招安后，关胜被封为大名府正兵马总管。在梁山泊英雄中排马军五虎将第一位。
六年级下册数学口算(每天10分钟100题)
六年级下册数学口算(每天10分钟100题)**六年级下册数学口算（每天10分钟100题）**为了帮助学生提高数学口算能力，我们设计了六年级下册的数学口算题，每天十分钟完成一百道题目。
每周我们将提供七个小节的题目，以便学生进行适量的练习。
下面是第一周的口算题目：**小节一：加法和减法**1. 45 + 38 = ________2. 92 - 27 = ________3. 73 + 64 = ________4. 105 - 48 = ________5. 127 + 35 = ________6. 86 - 19 = ________7. 53 + 44 = ________8. 79 - 32 = ________9. 94 + 57 = ________10. 122 - 39 = ________**小节二：乘法和除法**1. 7 × 8 = ________2. 36 ÷ 4 = ________3. 6 × 9 = ________4. 63 ÷ 7 = ________5. 9 × 12 = ________6. 84 ÷ 4 = ________7. 5 × 11 = ________8. 77 ÷ 7 = ________9. 4 × 13 = ________10. 104 ÷ 8 = ________**小节三：加法和减法的组合运算**1. 36 + 18 - 9 = ________2. 43 - 17 + 25 = ________3. 58 + 23 - 11 = ________4. 97 - 42 + 18 = ________5. 71 + 62 - 35 = ________6. 86 - 20 + 47 = ________7. 54 + 41 - 28 = ________8. 79 - 37 + 25 = ________9. 94 + 57 - 21 = ________10. 122 - 39 + 18 = ________**小节四：乘法和除法的组合运算**1. 6 × 8 ÷ 4 = ________2. 36 ÷ 6 × 5 = ________3. 9 × 3 ÷ 2 = ________4. 63 ÷ 7 × 4 = ________5. 12 × 9 ÷ 6 = ________6. 24 ÷ 3 × 5 = ________7. 5 × 11 ÷ 5 = ________8. 35 ÷ 7 × 8 = ________9. 13 × 4 ÷ 2 = ________10. 104 ÷ 8 × 6 = ________**小节五：空间与图形**1. 三角形的内角和等于几度？ ________2. 如何区分正方形和长方形？3. 画一个边长为8cm的正方形。
西游记1~100回_各回故事梗概。-生活类
西游记1~100回_各回故事梗概。
－生活类关键信息1、故事回目2、主要情节3、涉及人物4、地点场景11 第一回灵根育孕源流出心性修持大道生花果山山顶有一块仙石孕育出一个石猴。
石猴因发现水帘洞被群猴拥戴为王，称“美猴王”。
美猴王为求长生不老，踏上寻仙访道之路。
111 第二回悟彻菩提真妙理断魔归本合元神美猴王拜在菩提祖师门下，得名孙悟空，学会了长生之道、地煞变化术和筋斗云。
因卖弄本事，被祖师逐回花果山。
112 第三回四海千山皆拱伏九幽十类尽除名孙悟空回到花果山，向东海龙宫借得金箍棒，又去地府勾销了生死簿，龙王和阎王上天告状。
12 第四回官封弼马心何足名注齐天意未宁孙悟空被招安，封为弼马温，得知官小后反下天庭，自封“齐天大圣”。
121 第五回乱蟠桃大圣偷丹反天宫诸神捉怪玉帝再次招安孙悟空，让其管理蟠桃园。
孙悟空偷吃蟠桃、盗吃仙丹，玉帝派天兵天将捉拿。
122 第六回观音赴会问原因小圣施威降大圣二郎神与孙悟空大战，太上老君用金刚琢将孙悟空打晕，被擒获。
13 第七回八卦炉中逃大圣五行山下定心猿孙悟空被投入八卦炉中，却炼成火眼金睛，再次大闹天宫。
最终被如来佛祖压在五行山下。
131 第八回我佛造经传极乐观音奉旨上长安如来佛祖欲将真经传往东土大唐，观音菩萨领旨前往寻找取经人。
132 第九回袁守诚妙算无私曲老龙王拙计犯天条泾河龙王与袁守诚打赌，私改降雨时辰和点数，触犯天条。
14 第十回二将军宫门镇鬼唐太宗地府还魂唐太宗被龙王索命，魂魄入地府，还阳后举办水陆法会。
141 第十一回还受生唐王遵善果度孤魂萧瑀正空门唐太宗听从崔判官建议，做善事超度亡魂。
142 第十二回玄奘秉诚建大会观音显象化金蝉玄奘法师在长安主持水陆法会，观音菩萨显化，指点他去西天取经。
15 第十三回陷虎穴金星解厄双叉岭伯钦留僧唐僧踏上取经路，在双叉岭遭遇虎妖，幸得猎户刘伯钦搭救。
151 第十四回心猿归正六贼无踪孙悟空经观音点化，保护唐僧西行，途中打死六个强盗，唐僧不满。
数学基础课里的中国剩余定理和Lagrange插值公式
第43卷第3期2021年5月湖北大学学报(自然科学版)Journal of Hubei University(Natural Science)Vol.43㊀No.3㊀㊀May 2021㊀收稿日期:20200920基金项目:国家自然科学基金(11771129)资助作者简介:刘合国(1967),男,博士,教授,研究方向为代数学,E-mail:ghliu@文章编号:10002375(2021)03022512数学基础课里的中国剩余定理和Lagrange 插值公式刘合国,徐行忠,廖军(湖北大学数学与统计学学院,湖北武汉430062)摘要:中国剩余定理代表了质朴㊁深刻㊁有效的插值思想,是中国先贤智慧的结晶,在数学里起着重要的作用.本文中从中国剩余定理的历史记载出发,阐述该定理的意义,给出一种有效的直接解法.作为应用,直接导出Lagrange 插值公式.本研究涉及高等代数㊁初等数论㊁近世代数等方面的相关知识,在理解中国剩余定理的意义后,可以非常自然地理解这些内容.关键词:中国剩余定理;大衍求一术;基;Lagrange 插值公式中图分类号:O151㊀㊀文献标志码:A㊀㊀DOI :10.3969/j.issn.1000-2375.2021.03.001著录信息:刘合国,徐行忠,廖军.数学基础课里的中国剩余定理和Lagrange 插值公式[J].湖北大学学报(自然科学版),2021,43(3):225-236.Liu H G,Xu X Z,Liao J.The Chinese remainder theorem and Lagrange formula in the course of mathematics[J].Journal of HubeiUniversity(Natural Science),2021,43(3):225-236.The Chinese Remainder Theorem and Lagrange formulain the course of mathematicsLIU Heguo,XU Xingzhong,LIAO Jun(School of Mathematics and Statistics,Hubei University,Wuhan 430062,China)Abstract :The Chinese Remainder Theorem represents a simple,profound,and effective interpolationthought.It is the crystallization of the wisdom of Chinese sages and plays an important role in mathematics.Starting from the historical records of the Chinese Remainder Theorem,we explain the meaning of the theoremand give an effective direct solution.As an application,Lagrange formula is directly derived.This article involves related knowledge of advanced algebra,elementary number theory,modern algebra,etc.After understanding the meaning of the Chinese remainder theorem,one can understand these contents verynaturally.Key words :the Chinese Remainder Theorem;Dayan Qiuyishu;basis;Lagrange formula中国剩余定理在数学里起着重要的作用,是中国先贤智慧的结晶.该定理从数系的基本运算律出发,用最典型的 线性 方法解决问题,这种思想是极其深刻的.这些年来,我们在从事高等代数㊁初等数论㊁近世代数㊁代数学等课程的教学过程中,积累了对这个定理的认识,它们对理解这个定理是有作用的.现不揣浅陋,撰写成文,望同好者批评指正.本文中采用的术语和符号都是标准的,按照文献[1-3].226㊀湖北大学学报(自然科学版)第43卷1 四首歌诀‘孙子算经“是中国古代的一部数学名著,成书于公元三世纪至五世纪左右,其卷下之26题,即是历史上有名的 物不知数 :今有物,不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?‘孙子算经“不仅给出了正确答案,而且给出了完美的解法:答曰:二十三.术曰:三三数之剩二,置一百四十;五五数之剩三,置六十三;七七数之剩二,置三十.并之,得二百三十三,以二百一十减之,即得.凡三三数之剩一,则置七十;五五数之剩一,则置二十一;七七数之剩一,则置十五.一百六以上,以一百五减之,即得.用现代语言重现这个解法,即同余方程组x ʉ2(mod3)x ʉ3(mod5)x ʉ2(mod7)ìîíïïïï的答案为:140+63+30=233,233-210=23.一般地,求解同余方程组x ʉa (mod3)x ʉb (mod5)x ʉc (mod7)ìîíïïïï的几个关键数字是70,21,15和105,答案为r :70a +21b +15c =105q +r ,1ɤr ɤ105.㊀㊀这个解法是非常奇特的!初看起来,它是迂回的,不是单刀直入的,但它抓住了问题的本质,找到了最关键的节点,通过线性组合得到答案.这是绝顶的智慧!南宋淳熙十五年(1188),大型类书‘锦绣万花谷“问世,其前集卷三十八记载了一首 易数诗 :三人同行七十稀,五郎念一镇相随,七哥记取常十五,此是易数大希夷.这里 念 是 廿 的大写,代表二十,诗里明白地点出了三个最关键的数字:70,21,15.面对虚寂玄妙的解答,古人发出了 易数希夷 的感叹.在中国古代数学家里,秦九韶对中国剩余定理做出了决定性的贡献.秦九韶(1208 1261),字道古,生于普州安岳(今四川省安岳县),在南宋淳祐七年(1247)完成了不朽著作‘数书九章“,它是中国古代最重要的数学著作之一.科学史家George Sarton 在所著‘Introduction to the history of science“之卷II.2里高度评价秦九韶:One of the greatest mathematicians of his race,of his time,and indeed of all times.在‘数书九章“里,秦九韶创造性地发明了大衍求一术,即给出了解同余方程ax ʉ1(mod m )的一般算法,这是求解中国剩余定理的决定性步骤.有宋一代,华夏文明昌盛,道学繁荣.秦九韶对他的数学成就是非常自豪的,‘数书九章“序说:(数)大则可以通神明,顺性命;小则可以经世务,类万物.要其归,则数与道非二本也.秦九韶将数学提升到 道 的高度.清代扬州学派的代表人物之一, 扬州通儒 焦循(1763 1820)在‘天元一释“卷下高度评价秦九韶的历史功绩:大衍之术,即‘孙子算经“三三五五七七之术也.此术‘九章“所无,而见于‘孙子“.今则归入孺子,或以为戏.‘孙子“虽详其术,而秦氏则阐其微而畅发之.其三三置七十,即大衍求一术也.中国剩余定理玄妙高远,不断被编成歌诀进入小说笔记,这个现象是十分罕见的.周密(1232 1298),字公瑾,生于杭州,工诗词,擅书画,是南宋笔记大家,著述甚丰,所著‘志雅堂第3期刘合国,等:数学基础课里的中国剩余定理和Lagrange 插值公式227㊀杂钞“卷九之 阴阳算术 记载了一首解答 物不知数 的歌诀:三岁孩儿七十稀,五留廿一事尤奇,七度上元重相会,寒食清明便可知.前两句蕴含了两个数字:70和21.上元节就是元宵节,借指正月十五,这样第三句蕴含了数字 15 .第四句蕴含了数字 105 ,需要做点说明:在中国古代的很长时间里,把冬至当作新年的开始,冬至距寒食清明节多在105天.这样解 物不知数 的关键数字:70,21,15和105都在歌诀里出现了.褚人获(1635 1682),字稼轩,江苏长州人.未中试,多才多艺,著有‘隋唐演义“,‘坚瓠集“等.其‘坚瓠集“戊集卷一之 隔壁笑 记载了一首歌诀:三人逢零七十稀,五马沿盘廿一奇(一作五人折桂廿一枝),七星约在元宵里,一百零五定为除.显然,这首歌诀同样写下了解 物不知数 的四个关键数字:70,21,15和105.程大位(1533 1606),字汝思,安徽休宁人.他在经商过程中,积累了丰富的数学问题及其解法,编撰了‘直指算法统宗“,强调指出数学在国计民生中的重要性,其‘书直指算法统宗后“写道:数居六艺之一,其来尚矣,盖自虙戏宰世,龙马负图,而数肇端.轩后纪历,隶首作算,而法始衍.故圣人继天立极,所以齐度量而立民信者,不外黄钟九寸之管,所以定四时而成岁功者,不外周天三百六十五度之数.以至远而天地之高广,近而山川之浩衍,大而朝廷军国之需,小而民生日用之费,皆莫能外.数讵不重己哉?程大位在书里把不少问题的解法用歌诀的形式呈现出来.特别地,他在卷五里将 物不知总 的解法写成了通俗易懂㊁广为传颂的 孙子歌 :三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆正半月,除百零五便得知.物不知数 及其解法的影响超出了数学之外,例如金庸在他的成名之作‘射雕英雄传“里,就引述了 物不知数 和程大位的歌诀,用来加强其行文的份量.当然,这属于 误引 ,因‘射雕英雄传“讲述的是南宋故事,那时程大位的歌诀还未问世.中国剩余定理对中国文化的影响于此也可见一斑.2 歌诀的意义在这节我们要研究为什么70,21,15和105就是求解 物不知数 的关键.105=3ˑ5ˑ7,105的来历是一目了然的,容易看到70ʉ1(mod3)70ʉ0(mod5)70ʉ0(mod7),ìîíïïïï㊀21ʉ0(mod3)21ʉ1(mod5)21ʉ0(mod7),ìîíïïïï㊀15ʉ0(mod3)15ʉ0(mod5)15ʉ1(mod7).ìîíïïïï粗略地说,70,21,15就是求解同余方程组x ʉa (mod3)x ʉb (mod5)x ʉc (mod7)ìîíïïïï(1)的 基底 ,a ,b ,c 只是解的 坐标 .方程组(1)的解为x ʉa ㊃70+b ㊃21+c ㊃15(mod105).按照中国古代传统,取x 为最小正整数当作方程组(1)的解.为了理解上面 基底 的准确意义,我们引进一个概念.设R 是含幺交换环,R M 是R 上的模.如果X 是M 的非零元组成的子集,满足1)M 的任意元m 可表示为m =r 1x 1+r 2x 2+ +r u x u ,r i ɪR ,x i ɪX ,即M =ðx ɪXRx.2)若s 1y 1+s 2y 2+ +s v y v =0,其中s i ɪR ,y i ɪX ,则s 1y 1=s 2y 2= =s v y v =0.那么我们称X 是M 的一组基底.228㊀湖北大学学报(自然科学版)第43卷上面1)和2)两条等价于M = x ɪXRx.在已知的加法和乘法运算下,模105的完全剩余类构成一个含幺交换环105,作为105上的正则模105,{70,21,15}就是105的基底.事实上,如果 u ㊃70+ v ㊃21+ w ㊃15=0-,则3∣u ,5∣v ,7∣w ,从而 u ㊃70= v ㊃21=w ㊃15=0-.注意到(70,21,15)=1,存在整数r ,s ,t 使得70r +21s +15t =1.则对任意的x ɪ,x 可表示为x =u ㊃70+v ㊃21+w ㊃15,进而 x = u ㊃70+ v ㊃21+ w ㊃15.容易看到若 x = uᶄ㊃70+ vᶄ㊃21+ wᶄ㊃15,则u ʉuᶄ(mod3),v ʉvᶄ(mod5),w ʉwᶄ(mod7).ìîíïïïï㊀㊀接下来,我们再从代数上分析70,21,15的特征,这需要在完全剩余类环105={0-,1-,2-, ,104}上进行.下面的事实是容易验证的:(i)702=70,212=21,152=15,即70,21,15是105的3个幂等元.(ii)70ˑ21=21ˑ15=15ˑ70=0-,这表明70,21,15是两两正交的.(iii)70+21+15=1-.上面(i),(ii),(iii)表明105的单位元1-可以分解为3个两两正交的幂等元70,21,15之和.顺便提一下,含幺环里单位元的正交幂等元之分解是研究环结构的重要工具.例1㊀解方程x 3-3x +5ʉ0㊀(mod105).解:方程化为x 3-3x +5ʉ0(mod3)(2a)x 3-3x +5ʉ0(mod5)(2b)x 3-3x +5ʉ0(mod7)(2c)ìîíïïïï化简(2a)式,由Fermat 小定理,x 3ʉx (mod3),得x ʉ1(mod3)(3)化简(2b)式,x (x 2-3)ʉ0(mod5),因5x 2-3,故x ʉ0(mod5)(4)化简(2c)式,由Fermat 小定理,x 6ʉ1(mod7),故x 3ʉʃ1(mod7),代入(2c)式,得3x ʉ5ʃ1(mod7),所以x ʉ2(mod7)或x ʉ6(mod7)(5)㊀㊀根据(3)~(5)式得x ʉ1(mod3)x ʉ0(mod5)x ʉ2(mod7)ìîíïïïï㊀或㊀㊀x ʉ1(mod3)x ʉ0(mod5).x ʉ6(mod7)ìîíïïïï运用歌诀解得x ʉ100(mod105)或x ʉ55(mod105).3㊀中国剩余定理理解了前一节里70,21,15在求解 物不知数 的意义,我们就可以自然地推出一般形式的中国剩余定理,其中的关键一步是秦九韶的 大衍求一术 .定理3.1(中国剩余定理)㊀设m 1,m 2, ,m n 是两两互素的正整数,对任意整数a 1,a 2, ,a n ,下列方程组x ʉa 1(mod m 1),x ʉa 2(mod m 2), x ʉa n (mod m n ).ìîíïïïïïï第3期刘合国,等:数学基础课里的中国剩余定理和Lagrange 插值公式229㊀在模m 1m 2 m n 下有唯一解.定理3.1的证明㊀对任意的1ɤi ɤn ,设x i 满足同余方程组x i ʉδij (mod m j ),1ɤj ɤn.其中δij 是Kronecker 符号,x i ʉ1(mod m i )等价于x i +u i m i =1;对所有的j ʂi ,x i ʉ0(mod m j )等价于x i =v i ᵑj ʂim j .即有x i =v i ᵑj ʂi m j ,u i m i +v i ᵑj ʂi m j =1.ìîíïïïï因(m i ,ᵑj ʂim j )=1,据大衍求一术,可得u i ,v i ,进而得到x i .记x =a 1x 1+a 2x 2+ +a n x n ,容易验证x 即是解.下证唯一性.设a ,b 是方程组的两个解,则有a ʉa 1(mod m 1)a ʉa 2(mod m 2),㊀㊀ a ʉa n (mod m n )ìîíïïïïïï㊀b ʉa 1(mod m 1)b ʉa 2(mod m 2),㊀㊀ b ʉa n (mod m n )ìîíïïïïïï则a ʉb (mod m i )对任意的1ɤi ɤn 成立,于是a ʉb (mod m 1m 2 m n ).我们断言在定理证明里求得的x 1,x 2, ,x n 是互素的,即最大公因子(x 1,x 2, ,x n )=1.事实上,设M =ᵑn i =1m i .对每个1ɤi ɤn ,记M i =M /m i .根据大衍求一术,可得u i ,v i 使得u i m i +v i M i =1.取x i =v i M i .将上述前n -1个式子相乘得到ᵑn -1i =1(u imi+v i M i )=ᵑn -1i =1u imi+km n =1.令u n =k ,v n =ᵑn -1i =1u i .则有u n m n +v n M n =1,x n =v n M n =ᵑn -1i =1u i m i .假设存在素数p ∣(x 1,x 2, ,x n ),那么由p ∣x n 知存在某个1ɤi <n ,使得p ∣u i m i .从而p ∣(u i m i +x i ),矛盾.因此,(x 1,x 2, ,x n )=1.㊀㊀仿照上一节,我们分析x 1,x 2, ,x n 的意义,需要在模m 1m 2 m n 的完全剩余类环R =m 1m 2 m n ={0-,1-,2-, ,m 1m 2 m n -1}上进行.一方面,{x 1,x 2, ,x n }是正则模R R 的基底.若k 1x 1+k 2x 2+ +k n x n =0-,则k 1x 1=k 2x 2= =k n x n =0-.对任意的x ɪ,x 可表示为x =k 1x 1+k 2x 2+ +k n x n .进而 x =k 1x 1+k 2x 2+ +k n x n .又若x =k 1ᶄx 1+k 2ᶄx 2+ +k n ᶄx n .则k 1ʉk 1ᶄ(mod m 1),k 2ʉk 2ᶄ(mod m 2),㊀㊀ k n ʉk n ᶄ(mod m n ).ìîíïïïïïï㊀㊀另一方面,容易验证如下的事实.(i)x i 2=x i 因x 2i -x i =x i (x i -1).(ii)x i x j =0-,i ʂj.(iii)x 1+x 2+ +x n =1-,因ðx j -1=ðj ʂix j +(x i -1)被m i 整除.可知R 的单位元1-可以分解为n 个两两正交的幂等元x 1,x 2, ,x n 之和.230㊀湖北大学学报(自然科学版)第43卷中国剩余定理是解决存在性问题的有力工具.例2㊀证明对任意正整数n ,均存在n 个连续整数,它们都有一个平方因子.证明㊀选取n 个互异素数p 1,p 2, ,p n ,考虑下面的同余方程组x ʉ-i (mod p 2i ),1ɤi ɤn.㊀㊀设a 是上述同余方程组的解,则得到连续的n 个整数a +1,a +2, ,a +n.对任意的1ɤi ɤn ,我们有p 2i ∣(a +i ),即a +i 含有平方因子p 2i .例3㊀证明对任意正整数n ,存在整数a 和b ,使对任意的1ɤr ,s ɤn ,都有(a +r ,b +s )>1.证明㊀选取n 2个互异素数p ij ,1ɤi ,j ɤn.设a 是同余方程组x +i ʉ0(mod ᵑn j =1p ij ),1ɤi ɤn 的解,b 是同余方程组y +j ʉ0(mod ᵑni =1p ij ),1ɤj ɤn的解.对任意的1ɤr ,s ɤn ,有p rs ∣(a +r ,b +s ),从而(a +r ,b +s )>1.4㊀单刀直入的解法在上一节求解线性同余方程组时,我们采用的方法是间接地找到所需的 基底 ,再通过线性组合得到问题的答案,这与我们之前求解线性方程组的思路具有很大不同.接下来,我们借用解线性方程组的理念来处理中国剩余定理的求解问题,其出发点是下面两条:(i)设k ,m 是正整数,a ,b 是整数,则a ʉb (mod m )⇔m ∣(a -b )⇔km ∣(ka -kb )⇔ka ʉkb (mod km )(ii)中国剩余定理.下面设m 1,m 2, ,m n 是两两互素的正整数,对任意整数a 1,a 2, ,a n ,求解同余方程组x ʉa 1(mod m 1)x ʉa 2(mod m 2) x ʉa n (mod m n )ìîíïïïïïï(6)为了进行线性运算,我们需要把模统一化,记M =m 1m 2 m n ,M i =M /m i .则上面的方程组(6)式等价于下面的方程组(7)式.M 1x ʉM 1a 1(mod M )M 2x ʉM 2a 2(mod M ) M n x ʉM n a n (mod M )ìîíïïïïïï(7)因(M 1,M 2, ,M n )=1,故存在整数k 1,k 2, ,k n ,使k 1M 1+k 2M 2+ +k n M n =1.于是x ʉk 1M 1a 1+k 2M 2a 2+ +k n M n a n (mod M ).根据中国剩余定理里解的唯一性,x 即为所求.上面的步骤可以用两句话来概括.(iii)㊀统一模,即把方程组(6)式化为方程组(7)式.(iv)㊀凑 1 ,即由方程组(7)里x 的系数M 1,M 2, ,M n 经过整数线性组合凑出 1 即可.下面举例说明.例4(韩信点兵)㊀相传刘邦拜韩信为大将后,某天来到韩信的练兵场,见有约二千名士兵正在操练.期间韩信告诉刘邦,他并不知道练兵场上到底有多少士兵,但如果命令士兵们先后以七人一组,十一人一第3期刘合国,等:数学基础课里的中国剩余定理和Lagrange 插值公式231㊀组,十三人一组集结成小组,并把每次余下不能组成七人(或十一人,或十三人)的人数报给他,他就可以知道士兵的准确人数.刘邦很惊讶,就按照韩信的要求做了一番操作,报给韩信三个数字:3,4,8.韩信很快就告诉刘邦,士兵数目是1984.刘邦验证答案后,非常信服,确信韩信具有非凡的才能.用数学语言翻译这个故事,即是求解x ʉ3(mod7)x ʉ4(mod11)x ʉ8(mod13)ìîíïïïï(8)其中x 在2000左右.如果这个故事是真实的,那么在刘邦到来之前韩信肯定知道几个关键的数字:715,364,924和7ˑ11ˑ13=1001,韩信根据报给他的3个数:3,4,8,即可进行计算:3ˑ715+4ˑ364+8ˑ924=10993,10993-9ˑ1001=1984,1984就是士兵数目.现在我们用本节的方法再来求解一次.解:同余方程组(8)等价于143x ʉ429(mod1001)(9a)91x ʉ364(mod1001)(9b)77x ʉ616(mod1001)(9c)ìîíïïïï(9b)-(9c)得14x ʉ-252(mod1001)(10)(9a)-(10)ˑ10得3x ʉ429+2520ʉ2949ʉ-54(mod1001)(11)(9b)-(11)ˑ30得x ʉ364+54ˑ30=1984(mod1001).故操练的士兵数为1984.我们可以把本节的方法推广到一般情形.定理4.1㊀设m 1,m 2, ,m n 都是正整数,则同余方程组x ʉb 1(mod m 1),x ʉb 2(mod m 2),㊀㊀ x ʉb n (mod m n ).ìîíïïïïïï有解的充要条件是对1ɤi ,j ɤn ,均有(m i ,m j )∣(b i -b j ).当方程组有解时,记M =[m 1,m 2, ,m n ],M i =M /m i ,则存在整数k 1,k 2, ,k n 使得k 1M 1+k 2M 2++k n M n =1,方程组的解为x ʉk 1M 1b 1+k 2M 2b 2+ +k n M n b n (mod M ).例5㊀解同余方程组x ʉ1(mod6),x ʉ4(mod9),x ʉ7(mod15).ìîíïïïï㊀㊀解.容易验证(m i ,m j )∣(b i -b j ),因此方程组有解.由于[6,9,15]=90,原方程组等价于15x ʉ15(mod90),10x ʉ40(mod90),6x ʉ42(mod90).ìîíïïïï将第二个方程加上第三个方程减去第一个方程得到x ʉ67(mod90).5㊀从中国剩余定理到Lagrange 插值公式设F 是一个域,F 上的多项式环F [x ]和整数环是最常见的两个Euclid 环.我们可以把前面的中232㊀湖北大学学报(自然科学版)第43卷国剩余定理推广到F [x ].为方便计,先引进一个符号.设m (x )是F [x ]的非常数多项式,f (x ),g (x )ɪF [x ],若m (x )整除f (x )-g (x ),则记为f (x )ʉg (x )(mod m (x )).这与上的同余符号具有类似的性质:设f 1(x )ʉg 1(x )(mod m (x )),f 2(x )ʉg 2(x )(mod m (x )),k (x )ɪF [x ],则k (x )f 1(x )+f 2(x )ʉk (x )g 1(x )+g 2(x )(mod m (x )).定理5.1(F [x ]上的中国剩余定理)㊀设m 1(x ),m 2(x ), ,m n (x )是F [x ]的两两互素的多项式,对任意多项式r 1(x ),r 2(x ), ,r n (x ),存在唯一次数小于ᵑni =1m i (x )的次数的多项式f (x )使f (x )ʉr i (x )(mod m i (x )),1ɤi ɤn.定理5.1的证明㊀完全类似中国剩余定理的证明过程求f 1(x ),f 2(x ), ,f n (x ).对任意的1ɤi ɤn ,由于(m i (x ),ᵑj ʂim j (x ))=1,则存在多项式u i x (),v i (x ),使得u i (x )m i (x )+v i (x )ᵑj ʂim j (x )=1.取f i (x )=v i (x )ᵑj ʂim j (x ).则f i (x )满足f i (x )ʉδij (mod m j (x )),1ɤj ɤn.记g (x )=r 1(x )f 1(x )+r 2(x )f 2(x )+ +r n (x )f n (x )=q (x )m 1(x )m 2(x ) m n (x )+r (x ).则r (x )即为所求方程组的解.下证解的唯一性.设a (x ),b (x )都是满足定理中方程组的解,即a (x )ʉr i (x )(mod m i (x )),1ɤi ɤn ,b (x )ʉr i (x )(mod m i (x )),1ɤi ɤn.则a (x )ʉb (x )(mod m i (x )),1ɤi ɤn.所以a (x )ʉb (x )(mod ᵑn i =1m i (x )).从而a (x )=b (x ).这个证明里出现的f 1(x ),f 2(x ), ,f n (x )是互素的.事实上,设M (x )=ᵑni =1m i (x ).对每个1ɤi ɤn ,记M i (x )=M (x )/m i (x ).对每个1ɤi <n ,由于m i (x )和M i (x )是互素的,存在u i (x ),v i (x )ɪF [x ]使得u i (x )m i (x )+v i (x )M i (x )=1.将上述n -1个式子相乘得到ᵑn -1i =1(u i(x )m i (x )+v i (x )M i (x ))=ᵑn -1i =1u i(x )m i(x )+u (x )m n (x )=1.令u n (x )=u (x ),v n (x )=ᵑn -1i =1u i (x ).则有u n (x )m n (x )+v n (x )M n (x )=1.对任意的1ɤi ɤn ,设f i (x )=v i (x )M i (x ).则f n (x )=v n (x )M n (x )=ᵑn -1i =1u i (x )m i (x ).假设首一不可约多项式p (x )∣(f 1(x ),f 2(x ),,f n (x )),那么由p (x )∣f n (x )知存在某个1ɤi <n ,使得p (x )∣u i (x )m i (x ).从而p (x )∣(u i (x )m i (x )+f i (x )),故p (x )=1.因此,(f 1(x ),f 2(x ), ,f n (x ))=1.上面证明里求出的多项式f 1(x ),f 2(x ), ,f n (x )具有显著的特征.设I 为ᵑn i =1m i (x )生成的主理想,记R =F [x ]/I.则{f 1(x ),f 2(x ), ,f n (x )}⊂R 是正则模R R 的一组基底.事实上,若u 1(x )f 1(x )+u 2(x )f 2(x )+ +u n (x )f n (x )=0-.则u 1(x )f 1(x )=u 2(x )f 2(x )= =u n (x )f n (x )=0-.对任意g (x )ɪF [x ],g (x )=u 1(x )f 1(x )+u 2(x )f 2(x )+ +u n (x )f n (x ).于是g (x )=u 1(x )f 1(x )+u 2(x )f 2(x )+ +u n (x )f n (x ).若g (x )=v 1(x )f 1(x )+v 2(x )f 2(x )+ +v n (x )f n (x ).则第3期刘合国,等:数学基础课里的中国剩余定理和Lagrange 插值公式233㊀u 1(x )ʉv 1(x )(mod m 1(x )),u 2(x )ʉv 2(x )(mod m 2(x )),㊀㊀㊀㊀ u n (x )ʉv n (x )(mod m n (x )).ìîíïïïïïï㊀㊀另一方面,在R 上,我们容易验证下面的关系式:i)f i (x )2=f i (x ),1ɤi ɤn.ii)f i (x )f j (x )=0-,i ʂj.iii)ðni =1f i (x )=1-.(i)说明f 1(x ),f 2(x ), ,f n (x )是幂等元.(ii)说明f 1(x ),f 2(x ), ,f n (x )是两两正交的.i)-iii)说明1-可以分解为两两正交幂等元f 1(x ),f 2(x ), ,f n (x )之和.接下来我们考虑定理的最极端情况.设a 1,a 2, ,a n 是F 上的n 个两两互异的元素,此时m 1(x )=x -a 1,m 2(x )=x -a 2, ,m n (x )=x -a n 是F [x ]的两两互素的多项式.根据上述定理,对F 上的任意n个元素b 1,b 2, ,b n ,存在唯一的次数小于n 的多项式f (x ),使得对每个1ɤi ɤn ,有f (x )ʉb i (mod x -a i ),即存在q i (x )ɪF [x ],使f (x )=q i (x )(x -a i )+b i ,这等价于f (a i )=b i ,这样我们就得到了定理5.2(Lagrange 插值定理)㊀设a 1,a 2, ,a n 是F 的n 个两两互异的元素,则对F 的任意n 个元素b 1,b 2, ,b n ,存在唯一次数<n 的多项式L (x ),使对每个1ɤi ɤn ,L (a i )=b i .遵循中国剩余定理的思路,我们能够程序化地求出L (x ).对每个1ɤi ɤn ,求次数小于n 的多项式L i (x ),使L i (a j )=δij ,1ɤj ɤn.容易看出L i (x )=(x -a 1) (x -a i -1)(x -a i +1) (x -a n )(a i -a 1) (a i -a i -1)(a i -a i +1) (a i -a n ).这样L (x )=b 1L 1(x )+b 2L 2(x )+ +b n L n (x ).L 1(x ),L 2(x ), ,L n (x )是域F 上的次数小于n 的多项式构成的n 维线性空间F [x ]n 的一组基底.事实上,L 1(x ),L 2(x ), ,L n (x )线性无关.若k 1L 1(x )+k 2L 2(x )+ +k n L n (x )=0,k i ɪF ,分别以x =a 1,a 2, ,a n 代入,则得k 1=k 2= =k n =0.又dim F F [x ]n =n.因此L 1(x ),L 2(x ), ,L n (x )是线性空间F [x ]n 的一组基底.另一方面,设I 是ᵑni =1(x -a i )生成的主理想,记环R =F [x ]/I.下面的事实是容易验证的.(i)L i (x )2=L i (x ),1ɤi ɤn ,即L i (x )是R 的幂等元.(ii)L i (x )L j (x )=0-,i ʂj ,即n 个幂等元L i (x )是两两正交的.(iii)L 1(x )+L 2(x )+ +L n (x )=1.6㊀另两种线性代数推导上节从中国剩余定理出发,导出Lagrange 插值公式,这个过程也是迂回的.由于本研究主要是从线性方法入手,下面给出Lagrange 插值公式的另外两个线性代数证明.证法一㊀对F 上的n 个两两互异的元素a 1,a 2, ,a n ,以及F 上的任意n 个元素b 1,b 2, ,b n .关于未知数x 0,x 1, ,x n -1的线性方程组x 0+a 1x 1+a 21x 2+ +a n -11x n -1=b 1,x 0+a 2x 1+a 22x 2+ +a n -12x n -1=b 2,㊀㊀㊀㊀㊀㊀x 0+a n x 1+a 2n x 2+ +a n -1nx n -1=b n .ìîíïïïïïï234㊀湖北大学学报(自然科学版)第43卷的系数行列式是a 1,a 2, ,a n 的Vandermonde 行列式,它显然不等于0,故该线性方程组有且仅有一组解(x 0,x 1, ,x n -1),于是多项式L (x )=x 0+x 1x +x 2x 2+ +x n -1x n -1即为所求.下面我们来求出这个多项式的显式表达.方程组的系数行列式为Δ=1a 1a 21 a n-111a 2a 22a n -12︙︙︙ ︙1a n a 2n a n -1n=ᵑ1ɤj <i ɤn(a i -a j ),根据Cramer 法则,x i =1Δ1a 1 a i-11b 1a i +11 a n -111a 2a i -12b 2a i +12a n -12︙︙ ︙︙︙︙1a na i -1nb n a i +1na n -1n=1Δðnk =1b k Δk ,i +1,其中Δk ,i +1是Δ的第k 行第i +1列元素的代数余子式,于是L (x )=x 0+x 1x +x 2x 2+ +x n -1x n -1=ðn -1i =0(1Δðn k =1b k Δk ,i +1)x i =1Δðn k =1(ðn -1i =0Δk ,i +1x i)b k =ðn k =1b k Δ1a 1a 21a n-11︙︙︙︙1a k -1a 2k -1 a n -1k -11xx 2x n-11a k +1a 2k +1 a n -1k +1︙︙︙ ︙1a n a 2na n -1n=ðn k =1b k(x -a 1) (x -a k -1)(x -a k +1) (x -a n )(a k -a 1) (a k -a k -1)(a k -a k +1) (a k -a n )=ðn k =1b k L k (x ).证法二㊀考虑下面的函数方程1xx 2x n-1L (x )1a 1a 21 a n-11b 11a 2a 22a n -12b 2︙︙︙ ︙︙1a n a 2na n -1nb n =0.则L (x )为所求的多项式当且仅当L (x )满足上述方程.事实上,按第一行展开左边的行列式,即知L (x )是F 上次数小于n 的多项式.当L (x )满足上述方程时,对每个1ɤi ɤn ,有第3期刘合国,等:数学基础课里的中国剩余定理和Lagrange 插值公式235㊀1a ia 2i a n -1iL (a i )1a 1a 21a n-11b 1︙︙︙ ︙︙1a ia2ian -1ib i ︙︙︙ ︙︙1a n a 2na n -1n b n =0.则有00L (a i )-b i1a 1a 21 a n -11b 11a 2a 22a n -12b 2︙︙︙ ︙︙1a n a 2na n -1nb n=0.必须L (a i )-b i =0,即L a i ()=b i .再按最后一列展开函数方程中的行列式,化简得到L (x )=ðni =1b iL i(x ).7㊀应用在处理多项式的存在性问题时,中国剩余定理和Lagrange 插值公式是两个合适的工具.例6㊀证明对任意的n 阶复矩阵A ,存在多项式s (λ),n (λ),使得A =s (A )+n (A ),并且s (A )是可对角化矩阵,n (A )是幂零矩阵.证明㊀设A 的特征值为λ1,λ2, ,λr ,A 的极小多项式为m A (λ)=ᵑri =1(λ-λi )m i ,设U i 为λi 的根子空间,即U i ={αɪn ∣(A -λi E )mi α=0},则有n = r i =1U i .设U i 的一组基为αi 1,αi 2, ,αin i .根据中国剩余定理,存在多项式s (λ),使得s (λ)ʉλ1(mod(λ-λ1)m1),s (λ)ʉλ2(mod(λ-λ2)m 2),㊀㊀㊀㊀ s (λ)ʉλr (mod(λ-λr )mr ).ìîíïïïïïï我们断言s (A )是可对角化矩阵,A -s (A )是幂零矩阵.事实上,对每个1ɤi ɤr ,从s (λ)ʉλimod(λ-λi )mi (),知存在f i (λ),使得s (λ)=λi +f i (λ)(λ-λi )mi .则有s (A )=λi E +f i (A )(A -λi E )mi .因此s (A )纯量地作用在U i 上,即有s (A )αij =λi αij ,1ɤj ɤn i .于是s (A )有n 个线性无关的特征向量,从而是可以对角化的.注意到A -s (A )=(A -λi E )-f i (A )(A -λi E )mi ,从而(A -s (A ))m i平凡地作用在U i 上.令m =ᵑri =1m i ,则(A -s (A ))m 平凡地作用在每个U i 上,进而平凡作用在n 上,因此(A -s (A ))m =0,A -s (A )是幂零矩阵,取n (λ)=λ-s (λ)即可.例7㊀设n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值,AB =BA.证明B =f (A ),对某个多项式f (x )ɪF [x ]成立.236㊀湖北大学学报(自然科学版)第43卷证明㊀由于n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值,则存在n 阶可逆矩阵P ,使得P -1AP =λ1λ2⋱λn æèçççççöø÷÷÷÷÷.由条件有AB =BA ,故P -1APP -1BP =P -1BPP -1AP.注意到对i ʂj ,我们有λi ʂλj ,则可得P -1BP 为对角矩阵.设P -1BP =μ1μ2⋱μn æèçççççöø÷÷÷÷÷.则由Lagrange 插值公式,存在唯一次数小于n 的多项式f (x ),使得f (λi )=μi ,对所有的1ɤi ɤn 成立.因此P -1BP =f (P -1AP ),从而得B =f (A ).8㊀一般性结论前面涉及的中国剩余定理及其证明对一般的含幺环也是成立的,我们从文献[3]中摘录下面的两个定理,略去它们的证明.定理8.1(中国剩余定理)㊀设含幺环R 的理想I 1,I 2, ,I n 两两互素,则对R 的任意元素a 1,a 2, ,a n ,x ʉa 1(mod I 1),x ʉa 2(mod I 2),㊀㊀x ʉa n (mod I n ),ìîíïïïïïï在模I 1ɘI 2ɘ ɘI n 下有唯一解.定理8.2㊀设含幺环R 的理想I 1,I 2, ,I n 两两互素,则有环同构R /I 1ɘI 2ɘ ɘI n ≅R /I 1 R /I 2 R /I n .曾有专家认为,下面的群论结果也属于中国剩余定理.设G 是一个群,M 和N 都是G 的正规子群,G =MN ,则G /M ɘN ≅G /M ˑG /N.㊀㊀我们是不能认同这个观点的.中国剩余定理是非常自然的插值工具,是数系运算之基本法则的绝佳体现,是线性方法的深刻应用.除了在形式上与定理8.2的最简单情况相似外,这个群论结果与中国剩余定理的内涵是没有什么关联的.9㊀参考文献[1]王萼芳,石生明修订,北京大学数学系前代数小组编.高等代数[M].4版.北京:高等教育出版社,2013.[2]闵嗣鹤,严士健.初等数论[M].3版.北京:高等教育出版社,2003.[3]聂灵沼,丁石孙.代数学引论[M].2版.北京:高等教育出版社,2000.(责任编辑㊀赵燕)。
资治通鉴151 卷第一百五十 梁纪六.pdf
卷第一百五十梁纪六高祖武皇帝六普通五年（甲辰，524）1 春，正月辛丑，魏主祀南郊。
2 三月，魏以临淮王彧都督北讨诸军事，讨破六韩拔陵。
夏，四月，高平镇民赫连恩等反，推敕勒酋长胡琛为高平王，攻高平镇以应拔陵。
魏将卢祖迁击破之，琛北走。
卫可孤攻怀朔镇经年，外援不至，杨钧使贺拔胜诣临淮王彧告急。
胜募敢死少年十馀骑，夜伺隙溃围出，贼骑追及之，胜曰：“我贺拔破胡也”，贼不敢逼。
胜见彧于云中，说之曰：“怀朔被围，旦夕沦陷，大王今顿兵不进；怀朔若陷，则武川亦危，贼之锐气百倍，虽有良、平，不能为大王计矣。
”彧许为出师。
胜还，复突围而入。
钧复遣胜出觇武川，武川已陷。
胜驰还，怀朔亦溃，胜父子俱为可孤所虏。
五月，临淮王彧与破六韩拔陵战于五原，兵败，彧坐削除官爵。
安北将军陇西李叔仁又败于白道，贼势日盛。
魏主引丞相、令、仆、尚书、侍中、黄门于显阳殿，问之曰：“今寇连恒、朔，逼近金陵，计将安出？”吏部尚书元脩义请遣重臣督军镇恒、朔以捍寇，帝曰：“去岁阿那瓌叛乱，遣李崇北征，崇上表求改镇为州，朕以旧章难革，不从其请。
寻崇此表，开镇户非冀之心，致有今日之患；但既往难追，聊复略论耳。
然崇贵戚重望，器识英敏，意欲遣崇行，何如？”仆射萧宝寅等皆曰：“如此，实合群望。
”崇曰：“臣以六镇遐僻，密迩寇戎，欲以慰悦彼心，岂敢导之为乱！臣罪当就死，陛下赦之；今更遣臣北行，正是报恩改过之秋。
但臣年七十，加之疲病，不堪军旅，愿更择贤材。
”帝不许。
脩义，天赐之子也。
3 壬申，加崇使持节、开府仪同三司、北讨大都督，命抚军将军崔暹、镇军将军广阳王深皆受崇节度。
深，嘉之子也。
4 六月，以豫州刺史裴邃督征讨诸军事以伐魏。
5 魏自破六韩拔陵之反，二夏、豳、凉，寇盗蜂起。
秦州刺史李彦，政刑残虐，在下皆怨，是月，城内薛珍等聚党突入州门，擒彦，杀之，推其党莫折大提为帅，大提自称秦王。
魏遣雍州刺史元志讨之。
初，南秦州豪右杨松柏兄弟，数为寇盗，刺史博陵崔游诱之使降，引为主簿，接以辞色，使说下群氐，既而因宴会尽收斩之，由是所部莫不猜惧。
中国年号列表
汉武帝（在位：前141年—前87年二月）建元前140年—前135年6年元光前134年—前129年6年元朔前128年—前123年6年元狩前122年—前117年6年元鼎前116年—前111年6年元封前110年—前105年6年太初前104年—前101年4年天汉前100年—前97年4年太始前96年—前93年4年征和前92年—前894年又作延和[1]:3年后元前88年—前87年2年此年号有争议，有人认为可能不是年号[1]:3-4[2]，详见本年号条目正文汉昭帝（在位：前87年—前74年四月）始元前86年—前80年七月7年元凤前80年八月—前75年6年元平前74年1年七月汉宣帝即位沿用[1]:4汉宣帝（在位：前74年—前49年）本始前73年—前70年4年地节前69年—前66年4年元康前65年—前61年二月4年2个月神爵前61年三月—前58年4年五凤前57年—前54年4年甘露前53年—前50年4年黄龙前49年1年汉元帝（在位：前48年—前33年）初元前48年—前44年5年永光前43年—前39年5年建昭前38年—前34年5年竟宁前33年1年六月汉成帝即位沿用[1]:5汉成帝（在位：前33年—前7年）建始前32年—前28年二月4年2个月河平前28年三月—前25年4年阳朔前24年—前21年4年鸿嘉前20年—前17年4年永始前16年—前13年4年元延前12年—前9年4年绥和前8年—前7年2年二年四月汉哀帝即位沿用[1]:5汉哀帝（在位：前7年—前1年）建平前6年—前3年4年二年六月改元太初元将，同年八月又改回建平二年[1]:5太初元将前5年六月—八月3个月又作太初[1]:5—6元寿前2年—前1年2年或作元受，二年九月汉平帝即位沿用[1]:6[3]汉平帝（在位：前1年—5年）元始1年—5年5年居延汉简中这个年号被用至元始二十六年[1]:6汉少帝（在位：6年—8年十一月）居摄6年—8年十一月3年这时王莽摄政，代行皇帝之权初始8年十一月1个月或作始初[1]:6[4]王莽（在位：9年—23年）始建国9年—13年5年或作建国[1]:7天凤14年—19年6年也作始建国天凤上戊、始建国天凤[3]地皇20年—23年九月4年也作始建国地皇上戊、始建国地皇[3]汉更始帝（在位：23年二月—25年九月）更始23年二月—25年九月3年汉复23年七月—34年十月隗嚣12年又作复汉[4]、朔宁。
高中语文课外元曲必读素材 全元曲151
高中课外元曲必读：全元曲151陵渡口，被您二哥提闸放水，又淹杀了我一半人马。
便好道军行千里，不战而自乏。
你如今要拿我去呵，则是赶乏兔儿相似。
如今依着我，放走一箭之地，埋锅造饭。
人吃些茶饭，马吃些草料，到明日我上的马去，与你两阵对圆，旗鼓相望。
两阵之间，你若拿了我去，万代清名不朽。
三叔，你是个知礼的人，您孩儿不敢自专，望三叔思之。
(张飞云)兀那匹夫，你敢与我交战么？(夏侯惇云)三叔，你要拿就拿了我去罢；(张飞云)你那里有多少人马？(夏侯博云)，我还不普点军哩。
小校点一点，看还有多少人马？(卒子云)一五一十，不少不多，还有一百骑人马哩。
(夏侯惇云)三叔，我这里不多不少，连我则一百骑人马，你要拿就拿了去，着人骂你一世。
放我一箭之地，埋锅造饭去，(张飞云)既然这等，罢、罢、罢，将你那着刀中箭的小军来权为质当。
(夏侯惇云)我知道三叔张飞不肯，着我们一个着刀中箭的小军儿权为质当。
您那一个来与他权为质当？(卒子云)元帅，我们与他厮杀了一日一夜，逃出命来，家中也有那一爷二娘三兄四弟，那个肯去？都不肯去。
(夏侯惇云)是，说的是。
三叔，俺与你厮杀了一日一夜，火烧杀了一半，簸土扬尘眯杀了一半，檑木炮石打杀了一半，水淹杀了一半。
都是沙里澄金，才逃出性命来。
他家中也有那一爷二娘三兄四弟五子六妹，七青八黄九紫十赤。
放我一箭之地，埋锅造饭，吃饱了，两阵之间，你就拿了我去，着人便道：是张飞活拿了夏侯惇也！万代标名。
你如今就要拿了我去，着人便道：夏侯惇与赵云、糜竺、糜芳、刘封、关大王，整厮杀了一日一夜，人困马乏，张飞拿了去献功也。
万代骂名不朽。
你是个聪明人，三叔你思之。
(张飞云)罢、罢、罢，放你一箭之地。
(夏侯惇云)谢了三叔。
(卒子云)元帅，我们如今可埋锅造饭。
(夏侯惇云)傻厮，埋甚么锅？造甚么饭？这个是孙武子兵书曰：脱身之计。
支转他推埋锅造饭，拿那折枪折弩破牌破鞍子，堆在一处。
你如今更打些蒿草柴来，一层千蒿子，一层湿蒿子。
打起火镰火石，烧起烟来。
小学二年级数学下册第7单元 万以内数的认识课件
2. 读数，并在计数器上画珠子。
6 2 4
3 0 5
1 0 0 0
二、找规律，填一填
700
900
1000
400
410
690
691
1.填一填
有（ ）个百、（ ）个十和（ ）个一，这个数是（ ）。
4
6
8
468
187
一千
一百、
二百、
三百、
四百、
五百、
六百、
七百、
八百、
九百、
一千。
认识计数单位“千”。
一百一百地数，10 个一百是( )。
认识计数单位“千”
一千
三百五十七、
三百五十八、
三百五十九、
三百六十、
三百六十一。
数数。
九百七十、
九百八十、
九百九十、
一千。
九百六十、
数数。
三、巩固练习
3.六百八十九的相邻数是( )和( )。
蛟龙号载人潜水器最大下潜深度达七千零六十二米。
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
（1）表示100。
（3）100个。
3700
6500
9900
7.
写出下面各数，并读出来。
8.
万以内数的读法和千以内数的读法相同，都从最高位读起，中间不管有几个0都只读一个零，末尾的零不读。写数时应从高位写起，千位上是几就写几千，百位上是几就写几百，十位上是几就写几十，个位上是几就写几，哪个数位上一个计数单位也没有，就要在这一位上写0。
第 6 课时 10000以内数的认识（2）