习题二逆函数和复合函数

读书以过目成诵为能，最是不济事。——郑板桥
习题二: 逆函数和复合函数
1．设=｛1，2，3，4｝，确定出这样的函数：使得，并且是入射的，求出和。是否能够找出另外一个入射函数使得。但是。
2．设证明
a)
b)如果是满射的，那么
c）
d）如果是入射的，那么
3．设是复合函数，
a)如果是满射的，那么是满射的。
b）如果是入射的，那么是入射的。
c）如果是双射的，那么是满射的而是入射的。
4．试证 若，且，则=且。
5．证明 若是一个函数，则和是入射不一定成立。
6．一个函数：是称作函数的左逆，若对每个,, 若是的左逆，则是的右逆。
a) 有一个左逆，当且仅当它是入射的。
b）有一个右逆，当且仅当它是满射的。
c）若是的左逆和右逆，则是一个双射，且=。
7．两个自然数集N到N的移位函数为：，。证明：
（1）是单射而不是满射；
（2）g是满射而不是单射；
（3），但。
8. 设，，。记S上的恒等映射为。证明：如果，，，则均为双射，并求出。
9. 设为的实系数多项式的集合，（）,为的次实系数多项式的集合。定义，，有。求，，，。
10. 设函数，定义为：。
（1）证明是单射；
（2）证明是满射；
（3）求反函数；
（4）求复合函数和。


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