迭代算法

算法设计之迭代法

军人在进攻时常采用交替掩护进攻的方式，若在数轴上的点表示A，B两人的位置，规定在前面的数大于后面的数，则是A>B，B>A交替出现。但现在假设军中有一个胆小鬼，同时大家又都很照顾他，每次冲锋都是让他跟在后面，每当前面的人占据一个新的位置，就把位置交给他，然后其他人再往前占领新的位置。也就是A始终在B的前面，A向前迈进，B跟上，A把自己的位置交给B（即执行B = A操作），然后A 再前进占领新的位置，B再跟上……直到占领所有的阵地，前进结束。像这种两个数一前一后逐步向某个位置逼近的方法称之为迭代法。

迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程,跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。

利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：

一、确定迭代变量。在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。

二、建立迭代关系式。所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。

三、对迭代过程进行控制。在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地重复执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。

最经典的迭代算法是欧几里德算法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：

定理：gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)

证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b 。假设d是a,b的一个公约数，则有 d% a==0, d%b==0，而r = a - kb，因此d%r==0 ，因此d是(b, a mod b)的公约数

同理，假设d 是(b, a mod b)的公约数，则 d%b==0 , d%r==0 ，但是a = kb +r ，因此d也是(a,b)的公约数。

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。

欧几里德算法就是根据这个原理来做的，欧几里德算法又叫辗转相除法，它是一个反复迭代执行，直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。其算法用C语言描述为：

int Gcd_2(int a, int b)// 欧几里德算法求a, b的最大公约数

{

if (a<=0 || b<=0) //预防错误

return 0;

int temp;

while (b > 0) //b总是表示较小的那个数，若不是则交换a，b的值

{

temp = a % b; //迭代关系式

a = b; //a是那个胆小鬼，始终跟在b的后面

b = temp; //b向前冲锋占领新的位置

}

return a;

}

从上面的程序我们可以看到a，b是迭代变量，迭代关系是temp = a % b; 根据迭代

关系我们可以由旧值推出新值，然后循环执a = b; b = temp;直到迭代过程结束（余数

为0）。在这里a好比那个胆小鬼，总是从b手中接过位置，而b则是那个努力向前

冲的先锋。

还有一个很典型的例子是斐波那契(Fibonacci)数列。斐波那契数列为：0、1、1、2、

3、5、8、13、21、…，即 fib(1)=2; fib(2)=1; fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) (当n>2时)。

在n>2时，fib(n)总可以由fib(n-1)和fib(n-2)得到，由旧值递推出新值，这是一个典型

的迭代关系，所以我们可以考虑迭代算法。

int Fib(int n) //斐波那契(Fibonacci)数列

{

if (n < 1)//预防错误

return 0;

if (n == 1 || n == 2)//特殊值，无需迭代

return 1;

int f1 = 1, f2 = 1, fn;//迭代变量

int i;

for(i=3; i<=n; ++i)//用i的值来限制迭代的次数

{

fn = f1 + f2; //迭代关系式

f1 = f2; //f1和f2迭代前进，其中f2在f1的前面

f2 = fn;

}

return fn;

}

有一种迭代方法叫牛顿迭代法，是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。设方程为f(x)=0，用某种数学方法导出等价的形式 x(n+1) = g(x(n)) = x(n)–f(x(n))/f…(x(n)).然后按以下步骤执行：

(1) 选一个方程的近似根，赋给变量x1;

(2) 将x0的值保存于变量x1，然后计算g(x1)，并将结果存于变量x0;

(3) 当x0与x1的差的绝对值还小于指定的精度要求时，重复步骤(2)的计算。

若方程有根，并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛，则按上述方法求得的x0就

认为是方程的根。

例1：已知f(x) = cos(x) - x。 x的初值为3.14159/4,用牛顿法求解方程f(x)=0的近似值，要求精确到10E－6。

算法分析：f(x)的Newton代法构造方程为：x(n+1) = xn - (cos(xn)-xn) / (-sin(xn)-1)。