阻尼牛顿算法在优化问题中的应用
动力学演变牛顿第一定律的历史及应用
动力学演变牛顿第一定律的历史及应用在物理学中，动力学是研究物体的运动和力学性质的学科。
牛顿第一定律，也被称为惯性定律，是动力学的基石之一。
本文将介绍动力学演变牛顿第一定律的历史以及其在实际生活中的应用。
一、历史回顾牛顿第一定律的历史可以追溯到古希腊时期，亚里士多德提出了关于运动的观点。
他认为物体只有受到外力作用时，才会运动，并且认为物体需要持续施加力才能保持运动。
然而，随着科学的发展和实验结果的不断积累，这一观点被质疑并逐渐被推翻。
17世纪末，英国物理学家艾萨克·牛顿提出了三个运动定律，其中第一定律就是关于物体惯性的定律。
牛顿第一定律的表述是：“没有外力作用下，物体将保持静止或匀速直线运动。
”这意味着物体若不受力作用，其运动状态将不发生改变。
这一定律对运动学和动力学的发展起到了重要的推动作用。
二、物理学中的应用牛顿第一定律在物理学中有着广泛的应用。
下面将介绍其中几个重要的应用领域。
1. 交通工程交通工程中的交通流模型基于牛顿第一定律的原理。
例如，在道路系统中，当没有外力作用时，车辆将保持匀速直线行驶或静止。
根据这一定律，可以推导出交通流的密度-速度关系、车辆加速度等关键参数，为道路交通规划和优化提供理论基础。
2. 航天工程航天科学中的火箭运动和航天器轨道也可以应用牛顿第一定律。
在没有外力作用时，火箭将保持惯性直线运动或静止。
航天器在太空中的运动轨迹及姿态控制都是基于这一原理进行设计和计算的。
3. 机械工程在机械工程中，牛顿第一定律被广泛应用于弹簧与阻尼系统的研究。
根据这一定律，可以推导出弹簧系统的振动频率和阻尼特性，进而优化设计和控制。
4. 生物医学在生物医学领域，牛顿第一定律也被用来研究人体运动学。
例如，在康复治疗中，通过测量和分析患者的运动轨迹，结合牛顿第一定律，可以评估患者的肌肉力量和平衡能力，为康复方案的制定提供依据。
三、结论牛顿第一定律作为物理学中的基本定律之一，对动力学的演变和应用产生了重要影响。
最优化方法第二章_线搜索算法_最速下降法
f x1 , x2 c, c>0,
2
改写为：
x12 2c 1
2 x2
2c 2
2
1
二、最速下降法
x2
这是以
2c
1
和
2c
2
为半轴的椭圆
2c
2c
2
2
从下面的分析可见 两个特征值的相对
x1
大小决定最速下降法的收敛性。
（1）当 1 2 时，等值线变为圆
2 2
4 f x , 2
2 x1 2 x2 4 f ( x) , 2 x1 +4x2
4 d = f x , 2
0 0
=40 2 20 3 令 0= ' ( ) 80 20, 得 0 =1/4,
一
一维搜索
二 三 四
下 降 算 法
五
最速下降法 Newton法 共轭梯度法
多尺度法 （拟Newton法）
二、最速下降法 假设 f 连续可微，取 线搜索方向
k
d f ( x )
k
步长k 由精确一维搜索得到。 从而得到第 k+1次迭代点，即
f ( x k k d k ) min f ( x k d k )
(推论)在收敛定理的假设下，若f (x)为凸函数，则最速下降 法或在有限迭代步后达到最小点；或得到点列 x k ，它的任 何聚点都是 f (x)的全局最小点。
二、最速下降法
最速下降法特征：相邻两次迭代的方向互相垂直。
令
( ) f ( x d ), 利用精确一维搜索，可得
(05)第四章-无约束优化方法(梯度法-牛顿法和变尺度法)
第四章
第四章
无约束优化问题标准形式：
无约束优化问题标准形式：
§
§
§
§
§
§
图最速下降法的收敛过程
αα
2
2
例4－1 求目标函数
取初始点
[2,2]
=
x
例4－2 求目标函数解取初始点[2,2]
=x
算出一维搜索最佳步长
§
例4－3 用梯度法求下面无约束优化问题：
例4－3 用梯度法求下面无约束优化问题：
例4－3 用梯度法求下面无约束优化问题：
例4－3 用梯度法求下面无约束优化问题：
例4－3 用梯度法求下面无约束优化问题：
梯度法的特点
x
给定0,ε
一般迭代式：
§4.3
§4.3
§4.3
§4.3
α0
d 0
x
x 1
x*
1
α1d 1
1()
f −∇x d 1
4-4 共轭方向法
假设目标函数f (x ) 在极值点附近的二次近似函数为
沿某个下降方向
如果能够选定这样的搜索方向，那么对于二
α
0d0
x0x1x*
1
α
1
d1
1
()
f
−∇x d
1。
无约束多维问题的优化方法
T
k 1
X X 0
F
k 0
i0
X, f
f 0 f X
t Si 2
结束
9
2013-2-28
3)最优步长法 最优步长法是利用一维探索方方，如黄金分割 法或二次插值法，来确定最优步长 i 值 在第k轮探索的第i次迭代中其步长为：
min f
X
i 1
Si f
f ( x 0 ) 104 2 x1 4 f ( x ) 100 50 x2 x0 沿负梯度方向进行一维搜索，有
0
2 4 0 x x 0 f ( x ) 2 100 0
1 0 0
0为一维搜索最佳步长，应满足极值必要条件
4.1 坐标轮换法
坐标轮换法又称为“变量轮换法”，“交替法”或 “降维法”。是一种常用的降维方法。是一种不需要 求函数导数，直接探索目标函数最优解的方法。
一）基本思想
每次仅对多元函数的一个变量沿其坐标轴进行 一维探索，其余各变量均固定不动，并依次轮换进 行一维探索的坐标轴，完成第一轮探索后再重新进 行第二轮探索，直到找到目标函数在全域上的最小 点为止。以达到将一个多维的无约束最优化问题， 转化为一系列的一维问题来求解的目的。
2 4 0 1.919 877 x 2 100 0 0.307 178 5 102
1
f ( x1 ) 3.686 164
T 继续作下去，经10次迭代后，得到最优解 x 0 0
f ( x ) 0
这一问题的目标函数f(x)的等值线为一簇椭圆。
全过程的搜索路线呈锯齿状，在远离极小点时逼近速度 较快，而在接近极小点时逼近速度较慢。 （4）梯度法的收敛速度 与目标函数的性质密切相 关。对于等值线(面)为同 心圆（球）的目标函数， 一次搜索即可达到极小点。
用Matlab实现非线性无约束优化的几种方法比较
用Matlab实现非线性无约束优化的几种方法比较王娜;朱逸夫【摘要】在实际规划问题的求解过程中,优化解的真值具有不可预知性,为了寻找可用的稳定解,往往需要用不同的算法进行试算,并对所有计算结果进行甄别,这需要应用者具备良好的经验.为此,利用Matlab工具箱中的fminunc和fminsearch命令格式,并根据牛顿法、拟牛顿法、最速下降法、阻尼牛顿法和修正牛顿法等方法,分别编程实现在经典算例中求解无约束非线性优化问题,并对计算结果进行了比较和分析.【期刊名称】《长春工程学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(019)004【总页数】5页(P95-99)【关键词】非线性规划;Matlab;无约束优化;一维搜索;搜索方向【作者】王娜;朱逸夫【作者单位】长春工程学院教务处 ,长春 130012;长春工程学院计算机技术与工程学院 ,长春 130012【正文语种】中文【中图分类】TP3910 引言非线性无约束最优化技术是一门实践性很强的方法，应用者往往要在实践中不断地总结[1-4]。
对有些应用者来说，不必要浪费了大量的时间和精力，系统而深入地学习优化算法及公式，他们只希望能够快速地找到有效的解法、合适的优化软件，并能在计算机上尽快地求出问题的解[5]。
为此本文针对非线性无约束优化模型，利用几种不同的Matlab求解非线性无约束优化问题的调用格式，或根据无约束优化的算法编程进行求解，并进行解的比较和分析，提高非线性规划模型的应用效果和能力。
1 非线性无约束优化的基本理论设无约束非线性规划的模型为minf(x)，x=(x1，x2，…，xn)T∈Rn，(1)求解无约束优化问题的主要思想是下降算法：每一步都要求函数值有所下降，其迭代格式为x(k+1)=x(k)+αkd(k)，即对应于点列{xk}上的函数值列{f(xk)}必须是逐渐减小的，或者至少是不增加的，因而有f(x0)≥f(x1)≥…≥f(xk)≥f(xk+1)≥…(2)我们还要求这些点列收敛于全局最优解。
第三讲 无约束优化(多维无约束优化方法)
2019/10/21
5
1. 梯度法（最速下降法 ）
（2）迭代公式 ： X (k 1) X (k) k S (k) X k f X k
或
X (k1) X (k) k
f f
X k X k
f
X k
f ，f x1 x2
X (2) 1
S (1)
S为S（2）的共轭方向。
S即为S(1)的共轭方向。
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（2）共轭梯度法的基本原理
2）共轭方向的构造
S k1 f X k1 k S k
上式的意义是以新的负梯度方向 f X k1 ，加上原
负梯度的一部分k S k 来构造 S k1 。
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3
1. 梯度法（最速下降法 ）
数值迭代格式
X (k 1) X (k ) k S (k )
从数值迭代格式可以看出，构造一种算法的关键 是如何确定一个有利的搜索方向。
梯度方向是函数值上升最快的方向，负梯度 方向是函数值下降最快的方向。
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以负梯度方向作为搜索方向
4）牛顿法不能保证函数值稳定下降，严重时还会造 成点列发散导致迭代失败。
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1 27
3. 多维牛顿法（阻尼牛顿法）
问题的提出
因函数不一定是二次函数，基本牛顿法的步长因子 恒为1，有时会导致迭代发散而失效。
改进方法
仍取牛顿方向，但改用最优步长因子：
X (k1) X (k ) k [H ( X (k ) )]1f ( X (k) ) 一维搜索求最优步长
'X 0
阻尼高斯牛顿法
阻尼高斯牛顿法阻尼高斯牛顿法，是一种用于非线性最小二乘问题的数值优化方法。
这种方法在科学、工程、经济等领域都有着广泛的应用。
首先，我们需要了解什么是最小二乘问题。
在数学中，最小二乘问题是指寻找一个函数，使得这个函数的拟合值与实际值之间的平均平方误差最小。
这个问题可以表达为一个数学公式：minimize || f(x) – y ||^2其中，f(x)是我们拟合函数，y是实际值的向量。
通过求解这个问题，可以得到最适合实际值的拟合函数。
一般来说，最小二乘问题可以通过牛顿法来解决。
牛顿法本质上是一种迭代方法，每次迭代时，我们都会用当前点的局部二次近似来更新下一个点，直到达到一个有限的精度为止。
但是，如果我们使用一般的牛顿法来解决非线性最小二乘问题，它可能会收敛得很慢，或者会陷入局部最小值。
为了解决这个问题，我们可以使用阻尼牛顿法。
阻尼牛顿法的基本思想是，在每个迭代步骤中，我们会采用正则化策略来使函数具有更好的全局收敛性。
这种策略由一个参数λ控制，当λ趋近于0时，阻尼牛顿法就变成了一般的牛顿法。
λ的值通常是在每个迭代步骤中动态调整的，以确保算法能够快速收敛。
阻尼牛顿法的另一个问题是，它可能会遇到不可接受的步长。
这意味着，在某些情况下，我们可能需要采取更加保守的步骤，以避免算法出现失败。
为了解决这个问题，阻尼牛顿法引入了一个衰减因子α，它可以使步长逐渐减小，直到我们找到一个可接受的步长或者算法停止。
在阻尼牛顿法中，我们还需要对函数的梯度进行计算。
这个计算通常使用数值方法来完成，但如果函数具有解析式，我们也可以通过解析式来计算。
综上所述，阻尼牛顿法是一种用于解决非线性最小二乘问题的有效数值优化方法。
它独特的正则化策略和衰减因子，在解决最小二乘问题时，能够收敛得更快且更加可靠。
非线性优化与约束优化问题的求解方法
非线性优化与约束优化问题的求解方法非线性优化问题是在目标函数和约束条件中包含非线性项的优化问题。
约束优化问题是在目标函数中加入了一些约束条件的优化问题。
解决这些问题在实际应用中具有重要意义，因此研究非线性优化和约束优化问题的求解方法具有重要的理论和实际意义。
一、非线性优化问题的求解方法非线性优化问题的求解方法有很多，下面介绍几种常见的方法：1. 黄金分割法：黄金分割法是一种简单但有效的搜索方法，它通过不断缩小搜索范围来逼近最优解。
该方法适用于目标函数单峰且连续的情况。
2. 牛顿法：牛顿法利用目标函数的一阶和二阶导数信息来逼近最优解。
该方法收敛速度较快，但在计算高阶导数或者初始点选取不当时可能产生不稳定的结果。
3. 拟牛顿法：拟牛顿法是对牛顿法的改进，它通过逼近目标函数的Hessian矩阵来加快收敛速度。
拟牛顿法可以通过不同的更新策略来选择Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno（BFGS）方法或者DFP方法。
4. 全局优化方法：全局优化方法适用于非凸优化问题，它通过遍历搜索空间来寻找全局最优解。
全局优化方法包括遗传算法、粒子群优化等。
二、约束优化问题的求解方法约束优化问题的求解方法也有很多，下面介绍几种常见的方法：1. 等式约束问题的拉格朗日乘子法：等式约束问题可以通过引入拉格朗日乘子来转化为无约束优化问题。
通过求解无约束优化问题的驻点，求得原始约束优化问题的解。
2. 不等式约束问题的罚函数法：不等式约束问题可以通过引入罚函数来转化为无约束优化问题。
罚函数法通过将违反约束条件的点处添加罚项，将约束优化问题转化为无约束问题。
3. 逐次二次规划法：逐次二次规划法是一种常用的求解约束优化问题的方法。
该方法通过依次处理逐个约束来逼近最优解，每次处理都会得到一个更小的问题，直至满足所有约束条件。
4. 内点法：内点法是一种有效的求解约束优化问题的方法。
该方法通过向可行域内部逼近，在整个迭代过程中都保持在可行域内部，从而避免了外点法需要不断向可行域逼近的过程。
非线性最优化计算方法与算法
毕业论文题目非线性最优化计算方法与算法学院数学科学学院专业信息与计算科学班级计算1201学生陶红学号20120921104指导教师邢顺来二〇一六年五月二十五日摘要非线性规划问题是一般形式的非线性最优化问题。
本文针对非线性规划的最优化问题进行方法和算法分析。
传统的求解非线性规划的方法有最速下降法、牛顿法、可行方向法、函数逼近法、信赖域法，近来研究发现了更多的求解非线性规划问题的方法如遗传算法、粒子群算法。
本文对非线性规划分别从约束规划和无约束规划两个方面进行理论分析。
利用最速下降法和牛顿法两种典型算法求解无约束条件非线性规划问题，通过MATLAB程序求解最优值，探讨其收敛性和稳定性。
另外给出了阻尼牛顿法，探讨其算法的收敛性和稳定性，求解无约束非线性规划比牛顿法的精确度更高，收敛速度更快。
惩罚函数是经典的求解约束非线性的方法，本文采用以惩罚函数法为核心的遗传算法求解有约束条件非线性规划问题，通过MATLAB程序求解最优值，探讨其收敛性和稳定性。
并改进遗传算法，给出适应度函数，通过变换适应度函数，提高算法的收敛性和稳定性。
关键词：非线性规划；最速下降法；牛顿法；遗传算法ABSTRACTNonlinear programming problem is the general form of the nonlinear optimization problem. In this paper, we carry on the analysis of the method and algorithm aiming at the optimization problem of nonlinear programming. The traditional methods of solving nonlinear programming problems include steepest descent method, Newton method, the feasible direction method, function approximation method and trust region method. Recent studies found more method of solving nonlinear programming problems, such as genetic algorithm, particle swarm optimization (pso) algorithm. In this paper, the nonlinear programming is analyzed from two aspects: the constraint programming and the unconstrained programming.We solve unconstrained condition nonlinear programming problem by steepest descent method and Newton's method, and get the optimal value through MATLAB. Then the convergence and stability are discussed. Besides, the damped Newton method is furnished. By discussing the convergence and stability of the algorithm, the damped Newton method has higher accuracy and faster convergent speed than Newton's method in solving unconstrained nonlinear programming problems.Punishment function is a classical method for solving constrained nonlinear. This paper solves nonlinear programming problem with constraints by using genetic algorithm method, the core of which is SUMT. Get the optimal value through MATLAB, then the convergence and stability are discussed. Improve genetic algorithm, give the fitness function, and improve the convergence and stability of the algorithm through transforming the fitness function.Key words：Nonlinear Programming; Pteepest Descent Method; Newton Method; GeneticAlgorithm目录摘要 (I)ABSTRACT .......................................................................................................................... I I 1 前言 .. (4)1.1 引言 (4)1.2 非线性规划的发展背景 (5)1.3 国内外研究现状 (5)1.4 研究主要内容及研究方案 (6)1.4.1 研究的主要内容 (6)1.4.2 研究方案 (6)1.5 研究难点 (7)2 预备知识 (8)2.1 向量和矩阵范数 (8)2.1.1 常见的向量范数 (8)2.1.2 谱范数 (9)2.2符号和定义 (9)2.3 数值误差 (10)2.4 算法的稳定性 (10)2.5 收敛性 (12)3 非线性规划模型 (13)3.1 非线性规划模型 (13)3.2 无约束非线性规划 (14)3.2.1 最速下降法 (16)3.2.2 牛顿法 (18)3.2.2 阻尼牛顿法 (18)3.3 约束非线性规划 (20)3.3.1 惩罚函数法 (21)3.3.2 遗传算法 (21)3.3.3 自适应遗传算法 (22)结论 (26)参考文献 (27)致谢 (28)附录 (29)1 前言1.1 引言我们知道最优化是一门很古老的求极值问题，最优化在求解线性规划，非线性规划，随机规划，多目标规划，非光滑规划，整数规划，几何规划等方面研究得到迅速发展。
非线性优化算法-牛顿法_DFP_BFGS_L-BFGS_共轭梯度算法
统计学梯度下降法（SGDs）易于实现，然而它有两个主要的缺陷。
第一个缺陷是它需要手动调谐大量的参数，比如学习速率和收敛准则。
第二个缺陷是它本质上是序列方法，不利于并行计算或分布式计算。
（然而，在计算资源如RAM受限的情况下，序列方法倒是一个不错的选择。
）这里介绍一些非线性优化算法：牛顿算法，伪牛顿算法和共轭梯度法。
其中，伪牛顿算法包括DFP、BFGS和L-BFGS算法。
考虑如下的无约束最小化问题：min x f(x)（1）其中x=(x1,…,x N)T∈ℝN. 为简便起见，这里假设f是凸函数，且二阶连续可导。
记（1）的解为x∗.牛顿算法（Newton‘s Method）基本思想：在现有的极小点估计值的附近对f(x)做二阶泰勒展开，进而找到下其中g(k)=∇f(x)|x(k)是梯度矩阵，H(k)=∇2f(x)|x(k)是海森矩阵。
牛顿算法是一种具有二次收敛性的算法。
对于非二次函数，若函数的二次性态较强，或迭代点已进入极小点的领域，则其收敛速度也是很快的，这是牛顿算法的主要优点。
但牛顿算法由于迭代公式中没有步长因子，而是定步长迭代，所以对于非二次函数，有时会出现f(x(k+1))>f(x(k))的情况，这表明牛顿算法不能保证函数值稳定地下降。
由此，人们提出了阻尼牛顿算法，在原始牛顿算法的第4步中，采用一维搜索（line search）算法给d(k)加一个步长因子λ(k)，其中：λ(k)=arg minλ∈ℝf(x(k)+λd(k))（2）一维搜索算法将另作介绍。
拟牛顿算法（Quasi-Newton Methods）基本思想：不直接计算二阶偏导数，而是构造出近似海森矩阵（或海森矩阵的逆）的正定对称阵，在拟牛顿条件下优化目标函数。
下文中，用B表示对H的近似，用D表示对H−1的近似，并令s(k)=x(k+1)−x(k)，y(k)=g(k+1)−g(k).⒈拟牛顿条件（割线条件）对f(x)做二阶泰勒展开可得：y(k)≈H(k+1)×s(k)（3）或s(k)≈(H(k+1))−1×y(k)（4）⒉DFP算法核心：通过迭代的方法，对(H(k+1))−1做近似。
最优化方法三分法+黄金分割法+牛顿法
最优化⽅法三分法+黄⾦分割法+⽜顿法最优化_三等分法+黄⾦分割法+⽜顿法⼀、实验⽬的1. 掌握⼀维优化⽅法的集中算法；2. 编写三分法算法3. 编写黄⾦分割法算法4. 编写⽜顿法算法⼆、系统设计三分法1.编程思路：三分法⽤于求解单峰函数的最值。
对于单峰函数，在区间内⽤两个mid将区间分成三份，这样的查找算法称为三分查找,也就是三分法。
在区间[a,b]内部取n=2个内等分点，区间被分为n+1=3等分，区间长度缩短率=1 3 .各分点的坐标为x k=a+b−an+1⋅k (k=1,2) ，然后计算出x1,x2,⋯;y1,y2,⋯;找出y min=min{y k,k=1,2} ，新区间(a,b)⇐(x m−1,x m+1) .coding中，建⽴left,mid1,mid2,right四个变量⽤于计算，⽤新的结果赋值给旧区间即可。
2.算法描述function [left]=gridpoint(left,right,f)epsilon=1e-5; %给定误差范围while((left+epsilon)<right) %检查left,right区间精度margin=(right-left)/3; %将区间三等分,每⼩段长度=marginm1=left+margin; %left-m1-m2-right，三等分需要两个点m2=m1+margin; %m2=left+margin+marginif(f(m1)<=f(m2))right=m2; %离极值点越近，函数值越⼩(也有可能越⼤，视函数⽽定)。
else %当f(m1)>f(m2),m2离极值点更近。
缩⼩区间范围，逼近极值点left=m1; %所以令left=m1.endend %这是matlab的.m⽂件，不⽤写return.黄⾦分割法1.编程思路三分法进化版，区间长度缩短率≈0.618.在区间[a,b]上取两个内试探点，p i,q i要求满⾜下⾯两个条件：1.[a i,q i]与[p i,b i]的长度相同，即b i−p i=q i−a i;2.区间长度的缩短率相同，即b i+1−a i+1=t(b i−a i)]2.算法描述⾃⼰编写的：function [s,func_s,E]=my_golds(func,left,right,delta)tic%输⼊: func:⽬标函数，left,right:初始区间两个端点% delta：⾃变量的容许误差%输出: s,func_s:近似极⼩点和函数极⼩值% E=[ds,dfunc] ds,dfunc分别为s和dfunc的误差限%0.618法的改进形式：每次缩⼩区间时，同时⽐较两内点和两端点处的函数值。
机械优化设计阻尼牛顿法
机械优化设计阻尼牛顿法引言（Introduction）机械工程中的优化设计是提高机械系统性能和效率的重要手段。
阻尼牛顿法是一种常用的数值优化方法，广泛应用于机械系统的设计和优化。
本文将介绍阻尼牛顿法在机械优化设计中的应用及其优势。
一、阻尼牛顿法的原理（Principle of Damped Newton method）阻尼牛顿法是一种迭代算法，通过不断迭代来使目标函数达到最小值或最大值。
其基本原理是在每一步迭代中，利用函数的一阶导数（即梯度）和二阶导数（即海森矩阵）来更新解向量，并引入一个阻尼系数来控制迭代的幅度，从而避免陷入局部极小值。
具体而言，阻尼牛顿法的迭代公式为：X_new = X_old - alpha * (H + lambda * I)^(-1) * G其中，X_new是更新后的解向量，X_old是上一步迭代的解向量，alpha是迭代步长，H是海森矩阵，G是梯度向量，lambda是阻尼系数，I是单位矩阵。
二、阻尼牛顿法在机械优化设计中的应用（Application in mechanical optimization design）1.机构优化设计：机构设计是机械工程中的重要内容之一、通过阻尼牛顿法可以优化机构的结构参数，使机构的运动轨迹更加稳定和精确。
例如，可以通过优化连杆长度和角度来最小化运动中的振动和摆动。
2.结构优化设计：机械结构设计是机械工程中的重要环节，通过阻尼牛顿法可以优化结构的刚度和强度。
例如，在飞机机翼设计中，可以通过优化梁的截面积和弯曲刚度分布来提高机翼的稳定性和承载能力。
3.材料优化设计：材料选择是机械工程中一个关键问题。
通过阻尼牛顿法可以在给定约束条件下，优化材料的特性，例如弹性模量、屈服强度等。
例如，在汽车车身设计中，可以通过优化材料的厚度和强度来提高车身的抗撞击能力。
三、阻尼牛顿法的优势（Advantages of Damped Newton method）1.收敛速度快：相比于其他优化算法，阻尼牛顿法具有较快的收敛速度。
工程优化 第4章-4
k
1
f x
k
计算量大，存储量也很大。
为减少计算量，用一个n阶对称正定矩阵Hk近似代替Hesse 矩阵的逆
f x ，即 H f x ，从而搜索方
2 k 1 2 k 1 k
向是 p k H k g k，由此搜索方向产生的方法称为变尺度法，
H k 1gk xk
k , k 是常数，u k , v k 是n维列向量。
H1是对称正定的矩阵。
Hk 1 Hk k uk (uk )T +k vk (vk )T
Hk+1满足拟牛顿方程，H k 1gk xk ，
k uk (uk )T gk +k vk (vk )T gk xk Hk gk
步骤4. 令 H k +1 =H k +H k， k k 1 ，转步骤2。 其中 H k称为修正矩阵。 不同的修正矩阵，对应着不同的变尺度法。
变尺度法----一类特殊的拟Newton法
构造 Hk的原则 变尺度法的关键在于如何构造Hk，为了使算法有 较快的收敛速度，需要满足以下几个原则：
构造 Hk的原则----二次收敛性
f (x)=1/2xT Ax+bT x+c， A对称正定
把算法用于正定二次函数时，至多n次达到极小点。
构造的搜索方向 p1, p2, …, pn是一组A 共轭 向量且Hn+1=A-1.
变尺度法----一类特殊的拟Newton法
构造 Hk的原则----稳定性 一个算法若不计算过程的舍入误差，在迭代的每一 步都能选择步长使函数单调下降，则称此算法是稳定的。
T T
(1)
结合遗传算法和阻尼牛顿算法的小波神经网络入侵检测
ＷＮ Ｎ． Ｔ ｅ ｓｍｕ ａｉ ｎ ｒ ｓ ｌ ｈ ｗ ｔ ａ ｓ ｃ ｙ ｒ ｅ ｔ ｎ ｋ ｓＷ Ｎ Ｓａ ｐ ｏ ｉ ｔ ｎ ａ ｄ ｇ ｎ ｒ — ｈ ｉ ｌｔ ｅ ｕ ｔ ｓ ｏ ｔ ｕ ｈ ａｈ ｂ ｄ ｔ ａｍｅ ｔ ｏ ｓ ｈ ｉ ｒ ｍａ ｅ Ｎ’ ｐ ｒｘ ｍａ ｉ ｎ ｅ ｅ ａ ｏ ｌ
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阻尼牛顿法定稿36页
[ 2 ] 式与一维搜索公式 x(k 1 )x(k)(k)s(k)
比较，则有搜索方向 s (k ) H (x (k )) 1 T f(x (k ))
， 步长因子 (k) 1
s(k) H(x(k))1f(x(k))
x(k1) x(k)s(k)
解：
(1)取初始点
x (0)
0
0
(2)计算牛顿方向
f(x) 2 2xx12 xx21 14 0xx(0) 14 0
2 f
H(x(0))
x12 2 f
x2x1
2 f
x1x2
2 f
x1
x2
xn
(4) 检 验 是 否 满 足 迭 代 终 止 条 件 f ( X ( k ) ) ？
若 满 足 ， 停 止 迭 代 ， 输 出 最 优 解 ： X ( k ) X *， f ( X ( k ) ) f ( X * )。 否 则 进 行 下 一 步 。
( 5 ) 计 算 X ( k )处 的 H ( X ( k ) ),并 求 其 逆 H 1( X ( k ) )。 (6) 计算牛顿方向
X(k+1)= X(k) S (k) (k)
(8 ) 置 k 1 k ,返 回 步 骤 (3 )进 行 下 一 次 迭 代 计 算 。
(3) 计算迭代点X(k)的梯度
f(X(k))[f( NhomakorabeaX(k)
) f(X(k) ,
),
x1
x2
计算梯度的模
f(X(k) ,
)]T
xn
f(X(k) )＝(f(X(k) ))2 (f(X(k) ))2 (f(X(k) ))2
非线性系统的求解-阻尼,最优化和延拓方案
数值模拟导论-第十讲
改进的牛顿法
雅克比·怀特
感谢Deepak Ramaswamy, Jaime Peraire, MichalRewienski, and Karen Veroy
概要
阻尼牛顿定律
—若雅可比矩阵是非奇异矩阵，则全局收敛—奇异雅可比矩阵收敛非常困难
介绍连续定律
—源/载荷步问题
极限牛顿法阻尼牛顿法
奇异雅可比矩阵问题
阻尼牛顿法“推动”迭代趋向局部极小值
找出雅可比矩阵的奇异点
连续定律基本概念
加载源或载荷步在给出恰当初始值的情况下牛顿法收敛—产生一系列问题
—确保前一问题为后一问题提供初始值
导热棒实例
.初始无热源，T＝0 较接近初始值
.缓慢增热，T＝0 较接近初始值
连续定律
基本概念常用设置
求解其中()(),0F
x λλ= 易于求解开始时连续()()0,00F
x = 终止时连续()()1,1()F
x F x = 充分光滑
难以确保！
()x λ
连续定律雅克比迭代定律为每一载荷步估计初始载荷值
连续定律雅克比迭代定律
迭代仍存在问题
小结
阻尼牛顿定律
—若雅可比矩阵非奇异则全局收敛
—奇异雅可比矩阵收敛困难
介绍连续定律
—载荷源/载荷步问题。
机械优化设计简答
简答题1.设计变量与设计常量的区别？答：常量：预先取为定值；变量：需要在优化设计过程中不断进行修改调整，一直处于变化状态2.什么叫约束条件？按性质分哪几种约束及其各自的定义？答：约束条件：为了使设计获得能满足各项要求的最佳方案，在建立优化数学模型时，需要提出一些必要的条件，以便对设计变量的取值加以限制。
这些对设计变量取值加以限制的条件，称为约束条件。
约束条件分为边界约束（几何约束）和性能约束两种。
3.什么叫凸集、凸函数？答：凸集：设D 是n 维欧式空间中设计点的一个集合，若其中任意两个点x1，x2所连成的线段都包含在该集合中，则这个集合为凸集。
凸函数：设D 是n 维欧式空间中的一个凸集，f(x)为定义在D 上的函数，若对任何实数和D 上的两点X1,X2有 则称f(x)定义为凸集D 上的一个凸函数。
4.最速下降法的特点？优缺点？答：？？5.原始牛顿法与阻尼牛顿法的区别？为什么要引进阻尼牛顿法，原始牛顿法的基本原理？答：由于牛顿法迭代公式中没有步长因子 ，或者说步长因子 ，这对非二次型目标函数，有时候会出现函数值上升即 的情况。
这表明牛顿法不能保证函数值稳定下降，在严重的情况下甚至可能造成迭代点的发散而导致计算失败，为克服上述弊端，引进阻尼牛顿法，阻尼牛顿法迭代公式为： 原始牛顿法牛顿法的迭代公式： 6.变尺度法中，变尺度矩阵的变化规律？答：刚开始迭代是单位矩阵；极值点时向海塞矩阵靠近。
7.坐标轮换法基本原理？答：将一个多维无约束优化问题转换为一系列一维优化问题来求解，即依次沿着坐标轴的方向进行一维搜索，求得极小点。
8.共轭方向法对基本方向组有哪些要求和缺陷？鲍威尔法在基础上做了哪两点改进？答：共轭方向法的基本要求：各方向组的向量之间是线性无关；两点改进：（1）在每轮迭代完成并产生共轭方向后，先对共轭方向的好坏进行判断，检验它是否与其他方向线性相关，若共轭方向不好，则不用它，仍用原来的一组迭代方向。
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阻尼牛顿算法在优化问题中的应用随着现代科技的不断发展，优化问题的研究成为了数学领域中的热门话题之一。
在这一领域中，阻尼牛顿算法是一种广泛应用的迭代算法，它不仅适用于优化问题的求解，还可以在许多科学和工程领域中发挥出色的作用。
本文将介绍阻尼牛顿算法在优化问题中的应用，着重探讨其优点和局限性。
一、阻尼牛顿算法的基本原理
阻尼牛顿算法是一种基于牛顿迭代法的优化方法，又称为牛顿-拉弗森方法。
其基本思想是利用函数的二阶导数信息，以得到更快的收敛速度。
在求解最小化目标函数的优化问题时，该算法通过迭代寻找梯度为零的点来实现。
阻尼牛顿算法的基本迭代公式为：
$ x_{k+1} = x_k - \alpha_k H_k ^{-1} \nabla f(x_k) $
其中，$ x_k $ 表示迭代至第 $ k $ 步的近似解，$ \alpha_k $ 是迭代步长，$ H_k $ 是目标函数 $ f(x_k) $ 的海森矩阵，$ \nabla f(x_k) $ 表示目标函数在 $ x_k $ 处的梯度。
在实际应用中，为了防止步长过大导致算法的失效，还需要引入阻尼系数 $ \gamma_k $，将公式修改为：
$ x_{k+1} = x_k - \gamma_k H_k ^{-1} \nabla f(x_k) $
其中，$ \gamma_k = \min \{1, \frac{1}{2} \frac{\nabla f(x_k)^T H_k ^{-1} \nabla f(x_k)}{\| \nabla f(x_k)\| ^2}\} $
这个公式表示，阻尼牛顿算法在每一步都会寻找目标函数的极小值点，从而实现快速收敛。
二、阻尼牛顿算法的优点
1.快速收敛
相比于其他常见的优化算法，如梯度下降和共轭梯度算法，阻尼牛顿算法通常具有更快的收敛速度。
这是因为它不仅仅使用了梯度信息，还利用了目标函数的二阶导数信息，从而更快地找到极小值点。
2.适用于大规模问题
阻尼牛顿算法在处理大规模优化问题时非常有效。
它可以利用矩阵计算的优势，快速求解目标函数的海森矩阵和梯度信息，从而实现高效计算。
3.较好的准确性
阻尼牛顿算法具有较高的准确性，往往能够在较少的迭代次数内找到目标函数的极小值点。
这是由于它使用了目标函数的二阶导数信息，能够更好地描述目标函数的形态。
三、阻尼牛顿算法的局限性
1.需要求解海森矩阵
阻尼牛顿算法需要求解目标函数的海森矩阵，而这通常是一个
计算量较大的任务。
当目标函数的维度较高时，海森矩阵的计算
会变得非常困难，从而使算法的可行性降低。
2.海森矩阵可能不可逆
在一些情况下，目标函数的海森矩阵可能不可逆，从而导致阻
尼牛顿算法无法进行有效的迭代。
这时需要引用其他方法，如共
轭梯度算法和拟牛顿方法等。
3.中途容易卡住
阻尼牛顿算法在处理非凸问题时，由于局部极小值点会影响海
森矩阵的方向，从而导致算法难以越过局部极小值点，容易卡住。
四、结语
阻尼牛顿算法是现代科学中应用广泛的优化方法。
它利用函数
的二阶导数信息，可以在较短的时间内找到目标函数的极小值点，
并且在处理大规模问题时具有较好的效果。
但它也存在一些局限性，如海森矩阵难以计算、中途容易卡住等问题。
因此，在实际应用中需要根据具体情况选择适合的算法，以实现最佳的优化效果。