电力系统分析(下)11-2

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Jaccobi Matrix
雅可比矩阵是n*n阶方阵，其第i、j个元素Jij
＝əFi/əxj是第i个函数Fi（x1, x2, …, xn）对第
j个变量xj 的偏导数；上角标（k）表示J阵
的每一个元素都在点(x1(k) , x2(k),…， xn(k))处
取值。
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11-4 牛顿－拉夫逊法潮流计算
N-R法的特点
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11-3 Ii = Yi1V1 + Yi 2V2 + Yi 3V3
(i 1,2,3)
( PGi PLDi ) j(QGi QLDi ) Yi1V1 Yi 2V2 Yi 3V3 * Vi
(i 1,2,3)

设有单变量非线性方程f(x)=0
近似值x(0)，误差为Δx(0)，则有f(x(0)+Δx(0))=0 在x(0)附近展开成泰勒级数：
(x ( 0 ) ) 2 f ( x ( 0 ) x ( 0) ) f ( x ( 0 ) ) f ' ( x ( 0 ) )x ( 0 ) f " ( x ( 0 ) ) ... 2! (x ( 0 ) ) n f ( n) ( x (0) ) ... n!
P1 f 1 Q1 f 1 Pm f 1 Qm f 1 Pm1 f 1 Vm21 f 1 Pn1 f 1 Vn21 f 1



P1 em Q1 em Pm em Qm em Pm1 em Vm21 em Pn1 em Vn21 em
P1 f m Q1 f m Pm f m Qm f m Pm1 f m Vm21 f m Pn1 f m Vn21 f m
P1 em1 Q1 em1 Pm em1 Qm em1 Pm1 em1 Vm21 em1 Pn1 em1 Vn21 em1
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11-4 牛顿－拉夫逊法潮流计算
修正方程式
修正近似解: xi(1)= xi(0)+ Δxi(0)
(i=1,2,……,n)
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11-4 牛顿－拉夫逊法潮流计算
N-R法求解非线性方程组

对多变量非线性代数方程组 F(x) = 0，按泰 勒级数展开并略去高阶项得
F ( x ) F' ( x )x

略去高阶项: f(x)= f(x(0)) + f'(x(0)) Δx(0)=0
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11-4 牛顿－拉夫逊法潮流计算
修正方程式Amendatory Equation
f(x(0)) + f'(x(0)) Δx(0)=0 Δx(0)= - f(x(0)) / f'(x(0)) 修正量
x(1)= x(0)+Δx(0)= x(0) - f(x(0)) / f'(x(0))
迭代通式：x(k+1)= x(k) - f(x(k)) / f'(x(k)) 收敛判据：| f(x(k) ) | < ε 或 | Δx(k) | < ε
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11-4 牛顿－拉夫逊法潮流计算
N-R法的几何解释
y
y=f(x)
y(k) Δx(k)
x(k+1) x(k) x
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11-4 牛顿－拉夫逊法潮流计算



计算速度 计算机内存占有量 算法的收敛可靠性 程序设计的方便性 算法扩充移植的通用灵活性。
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11-4 牛顿－拉夫逊法潮流计算
Newton-Rafson Method of
Load Flow Computation
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11-4 牛顿－拉夫逊法潮流计算
Basic Principle of N-R Method
电力系统分析
Electric Power Systems Analysis
PART 11-2
华南理工大学电力学院 林舜江 电力实验楼605 Email:linshj@
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第十一章 电力系统的潮流计算
Load Flow Computation of Power System
简单系统潮流计算的方法 复杂系统潮流计算的方法
N-R法求解非线性方程组
f1(x1, x2,…, xn)=0 f2(x1, x2,…, xn)=0 … fn(x1, x2,…, xn)=0 f1(x1(0)+Δx1(0), x2(0)+Δx2(0),…, xn(0)+Δxn(0))=0 f2(x1(0)+Δx1(0), x2(0)+Δx2(0),…, xn(0)+Δxn(0))=0 … fn(x1(0)+Δx1(0), x2(0)+Δx2(0),…, xn(0)+Δxn(0))=0
P1 f m1 Q1 f m1 Pm f m1 Qm f m1 Pm1 f m1 Vm21 f m1 Pn1 f m1 Vn21 f m1



P1 en1 Q1 en1 Pm en1 Qm en1 Pm1 en1 Vm21 en1 Pn1 en1 Vn21 en1
j 1 j 1
n
n
Qi Qis f i (Gij e j Bij f j ) ei (Gij f j Bij e j ) 0
j 1 j 1
n
n
PV节点
Pi Pis ei (Gij e j Bij f j ) f i (Gij f j Bij e j ) 0
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11-3 复杂电力系统潮流计算的数学模型
节点的分类
Slake Bus
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11-3 复杂电力系统潮流计算的数学模型
Constraints of Power Equation

发电功率的约束
PGi min PGi PGi max QGi min QGi QGi max

状态变量的约束
j 1 j 1
n
n
Vi Vis ei f i 0
2 2 2 2
平衡节点： 不参与迭代
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11-4 牛顿－拉夫逊法潮流计算
修正方程Amendatory Equation
W -JV
ΔW [ΔP1 ΔQ1 ... ΔPm ΔQm ΔPm1 ΔV ... ΔPn1 ΔV ]
j 1 j 1
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11-4 牛顿－拉夫逊法潮流计算
PV节点的考虑
PV节点的电压有效值为设定值，由于相位 角是变化的，因而实部和虚部的比例是可变 的，关系为：

Vi e fi
2 2 i
2
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11-4 牛顿－拉夫逊法潮流计算
不平衡方程
PQ节点
Pi Pis ei (Gij e j Bij f j ) f i (Gij f j Bij e j ) 0
Vi min Vi Vi max | i j || i j |max
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11-3 复杂电力系统潮流计算的数学模型
Characteristics of Power Equation

潮流计算在数学上是多元非线性代数方程组的求 解问题，必须采用迭代计算方法。

评价潮流算法性能的几个指标：
(0) (0) (0)
0
(0)
x
(0)
[ F' ( x )] F ( x )
(0)
1
x (1) x ( 0 ) x ( 0 )
F ( x ) - Jx
(k )
(k )
雅可比矩阵
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x ( k 1) x ( k ) x ( k )
11-4 牛顿－拉夫逊法潮流计算
直角坐标形式的N-R法潮流计算
潮流方程： P
i
Y *V * jQi Vi ij j
j 1
n
(i 1,2,..., n)
Vi = ei + j f i
n j 1 n
Yij = Gij + j Bij
n j 1 n
Pi ei (Gij e j Bij f j ) f i (Gij f j Bij e j ) Qi f i (Gij e j Bij f j ) ei (Gij f j Bij e j )

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回忆：电力网络方程
将网络的有关参数和变量及其相互关 系归纳起来所组成的能够反映网络性 能的数学方程式。 节点电压方程

Definition
回路电流方程 割集电压方程
Network Equations
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11-3 复杂电力系统潮流计算的数学模型
回忆：节点电压方程


IB=YBVB
展开为 I1 Y11 Y12 Y13 ... Y1n V1 V I 2 Y21 Y22 Y23 ... Y2 n 2 节点注



逐步线性化，要求初始解要比较接近真实解， 否则可能不收敛。 导数项为雅可比矩阵。 反复形成并求解修正方程式。 当初值和精确解接近时，收敛速度快(平方收 敛特性)，迭代次数与电网规模基本无关。 具有良好的收敛可靠性。 占用内存量及每次迭代耗时较多。
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11-4 牛顿－拉夫逊法潮流计算
P1 f n1 Q1 f n1 e 1 f 1 Pm f n1 em Qm f n1 f m Pm1 e m 1 f n1 f m 1 Vm21 f n1 en1 Pn1 f n1 f n1 Vn21 f n1
2 m 1 2 T n 1