《数字信号处理》模拟试题解答

《数字信号处理》模拟试题(A)解 答一、（12分） 试判断系统 )()]([0n n x n x T -= 是否为：⑴ 线性系统；⑵ 移不变系统；⑶ 因果系统；⑷ 稳定系统。

解：⑴ )]([)]([)()()]()([21020121n x bT n x aT n n bx n n ax n bx n ax T +=-+-=+Θ 满足叠加原理 ∴ 是线性系统。

⑵ )()()]([0m n y n m n x m n x T -=--=-Θ ∴ 是移不变系统。

⑶ 当00≥n 时，输出与未来输入无关，是因果系统。

当00<n 时，输出取决于未来输入，是非因果系统。

⑷ ∞<≤-∞<≤M n n x M n x )(,)(0则若Θ ∴ 是稳定系统。

二、（15分） 有一调幅信号)6002cos()]1002cos(1[)(t t t x a ⨯⨯+=ππ 用DFT 做频谱分析，要求能分辨)(t x a 的所有频率分量，问： ⑴ 抽样频率应为多少赫兹（Hz ）? ⑵ 抽样时间间隔应为多少秒（Sec ）? ⑶ 抽样点数应为多少点？解：)6002cos()]1002cos(1[)(t t t x a ⨯⨯+=ππ )5002cos(21)7002cos(21)6002cos(t t t ⨯+⨯+⨯=πππ ⑴ 抽样频率应为 Hz f s 14007002=⨯≥。

⑵ 抽样时间间隔应为 ms Sec f T s 71.000071.0140011===≤⑶ 61715()()cos(2)cos(2)cos(2)14214214a t nTx n x t n n n πππ===⨯+⨯+⨯()x n 为周期序列，周期14N =。

∴抽样点数至少应为14点。

或 因为频率分别为500、600、700 Hz ，得 0100F Hz = 0140014100s f N F === ∴最小记录点数 14N =。

三、（18分） 已知离散LSI 系统的差分方程：)1(31)()2(81)1(43)(-+=-+--n x n x n y n y n y⑴ 求系统的系统函数)(z H ，并画出零极点分布图； ⑵ 若该系统是因果稳定的，写出)(z H 的收敛域； ⑶ 求该因果稳定系统的单位抽样响应。

解：⑴ 对差分方程两边取z 变换： 121311()()()()()483Y z z Y z z Y z X z z X z ----+=+ 系统函数：1112111111()33()3111()1114824z z Y z H z X z z z z z ------++===⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭零点：1,03z =- 极点：11,24z = 零极点分布图：⑵ 由于系统是因果稳定系统，故收敛域：12z >⑶ 对系统函数)(z H 求z 反变换即得单位抽样响应()h n 。

用部分分式法：()111111331111112424z z z H z z z z z ---⎛⎫++ ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()121311112424z H z A A z z z z z ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()1121211103112324z z z H z A Res z z z z ==+⎡⎤⎛⎫==-=⎢⎥ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎣⎦-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()214141173114324z z z H z A Res z z z z ==+⎡⎤⎛⎫==-=-⎢⎥ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎣⎦-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 10733()1124z zH z z z -∴=+--根据收敛域：12z > 得：()10171()3234n n h n u n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦四、（20分） 已知系统的差分方程为)1(9.0)()1(9.0)(-++-=n x n x n y n y 写出系统的频率响应函数)(ωj eH ，并定性画出其幅频响应曲线。

解： ()0.9(1)()0.9(1)y n y n x n x n --=+-Q11()0.9()()0.9()Y z z Y z X z z X z ---=+11()10.9()()10.9Y z z H z X z z --+==- 1110.910.9()10.910.9j j j j z e H e z e z eωωωω----++∴===-- 幅频响应曲线：w(pi)|H (e x p (j w ))|五、（20分） 已知序列)()(4n R n x =，求)(n x 的8点DFT 和16点DFT 。

解：求()x n 的DTFT ：()()()()()342222223211sin 2sin /2j j nj nn n j j j j j j j j j X ex n ee e e e e e e e e e ωωωωωωωωωωωωωω∞--=-∞=-------==-=--=⎛⎫- ⎪⎝⎭=∑∑求)(n x 的8点DFT ：()()28324382sin 2812sin 28sin 2sin 8j k j k j k X k X e k ek k ek ωπωππππππ=-⋅-=⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭=⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭求)(n x 的16点DFT ：()()216322163162sin 21612sin 216sin 4sin 16j k j k j k X k X e k ek k ek ωπωππππππ=-⋅-=⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭=⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭六、（15分）已知有限长序列)(n x 的DFT 为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-==-=-kNm m N k e j m m k e j k X j N j N其他为正整数020,,)(22θθ求)]([)(k X IDFT n x =。

解：10),sin(211)(1)]([)(2)()()(22102222-≤≤+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-===+-+---=-∑N n mn e e j e e j e e j N W k X N k X IDFT n x N mn j mn j n m N j j N mn j j N N k nk NNN N N θπθθθθππππ《数字信号处理》模拟试题(B)解 答一、（10分）若对以下模拟信号进行时域抽样，试确定其奈奎斯特频率为多少赫兹(Hz)？⑴ ()cos(1000)sin(800)x t t t ππ=； ⑵ ()cos(1000)sin(800)x t t t ππ=+。

解：⑴ 奈奎斯特频率为：22(500400)1800s h f f Hz ==+= ⑵ 奈奎斯特频率为：225001000s h f f Hz ==⨯=二、（10分）已知一信号的最高频率分量的频率 1.25kHz m f =，若采用FFT 算法作频谱分析，且频率分辨率5Hz f ∆≤，试确定： ⑴ 信号的采集时间长度1T ； ⑵ 信号的抽样点数N 。

解： ⑴ 由分辨率的要求确定信号的采集时间长度：1110.25T s f ≥==∆ ⑵ 采样点数应满足：322 1.25105005m f N f ⨯⨯≥==∆ 三、（15分） 已知序列()x n 的z 变换为111()(12)(13)X z z z --=--试用部分分式法求其所对应的三个不同ROC 的z 反变换。

解：设11()1213A BX z z z--=+-- 有1213(12)()2(13)()3z z A z X z B z X z -=-==-=-=-=故1123()1213X z z z---=+-- 由于()X z 有两个极点：2,3z z ==。

所以()X z 的三个不同ROC 分别为：ROC1:z 3ROC2:2z 3ROC3:z 2><<<于是可得()X z 的三个不同的ROC 对应的序列分别为：111111ROC1:z 3()(23)()ROC2:2z 3()2()3(1)ROC3:z 2()(23)(1)n n n n n n x n u n x n u n u n x n u n ++++++>=-+<<=----<=---四、（25分）已知离散系统的差分方程：()0.2(1)0.24(2)()(1)y n y n y n x n x n +---=+-⑴ 求系统的系统函数)(z H ，并画出零极点分布图； ⑵ 若该系统是因果稳定的，写出)(z H 的收敛域； ⑶ 求该因果稳定系统的单位抽样响应；⑷ 求该因果稳定系统的单位阶跃响应。

解：⑴ 对差分方程两边取z 变换：121()0.2()0.24()()()Y z z Y z z Y z X z z X z -----=+ 系统函数：()()112()1(1)()()10.20.240.40.6Y z z z z H z X z z z z z ---++===+--+ 零点：120,1z z ==- 极点：120.4,0.6p p ==- 零极点分布图：⑵ 由于系统是因果稳定系统，故收敛域：0.6z > ⑶ 对系统函数)(z H 求z 反变换即得单位抽样响应()h n 。

用部分分式法： ()()()(1)0.40.6z z H z z z +=-+()()()1210.40.60.40.6H z A A z z z z z z +==+-+-+ ()()()()10.40.410.4 1.40.40.6z z H z z A Res z z z z ==⎡⎤+==-=⎢⎥-+⎣⎦ ()()()()20.60.610.60.40.40.6z z H z z A Res z z z z =-=-⎡⎤+==+=-⎢⎥-+⎣⎦ 1.40.4()(0.6)0.40.6z zH z z z z -∴=+>-+根据收敛域：0.6z > 得：()()()() 1.40.40.40.6n nh n u n ⎡⎤=--⎣⎦⑷ 用z 变换法求系统的单位阶跃响应()y n 。

若()()x n u n =，则()(1)1zX z z z =>-232514152012()()()(1)(1)(0.4)(0.6)(1)10.40.6Y z H z X z z z z z z z z z z z z z =+=--+=-->--+根据收敛域：1z > 得：()()()25143()0.40.6121520n n y n u n ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦五、（20分） 已知序列8()()x n R n =，求)(n x 的16点DFT 和32点DFT 。