云南四川贵州西藏四省名校2021届高三数学第一次大联考试题文
四省(四川 云南 贵州 西藏)名校2021届高三第一次大联考数学(文)试题(wd无答案)
四省（四川云南贵州西藏）名校2021届高三第一次大联考数学（文）试题(wd无答案)一、单选题(★★) 1. 设集合，，则（）A．1B．C．D．(★) 2. 已知复数 z满足，则复数 z在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(★★★) 3. 已知，，，则（）A．B．C．D．(★★) 4. 曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．(★★) 5. 祖冲之是中国南北朝时期的著名的数学家，其最伟大的贡献是将圆周率精确到小数点之后的七位，比欧洲早了近千年．为探究圆周率的计算，数学兴趣小组采用以下模型，在正三角形中随机撒一把豆子，用随机模拟的方法估算圆周率的值．正三角形的边长为4，若总豆子数，其中落在圆内的豆子数，则估算圆周率的值是（为方便计算取1.70，结果精确到0.01）（）A．3.13B．3.14C．3.15D．3.16(★★) 6. 已知圆过点且与直线相切，则圆心的轨迹方程为（）A．B．C．D．(★★★) 7. 已知为锐角，且满足，则的值为（）A．B．C．D．(★★) 8. 已知中，内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，若，，且的面积为，则的值为（）A．12B．8C．D．(★★) 9. 在矩形 ABCD中，，，点 M在边 CD上运动，则的最小值为（）A．B．0C．1D．(★★) 10. 一个多面体的三视图如图所示，其正视图、侧视图都是全等的等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则其表面积为（）A．B．12C．D．(★★) 11. 已知圆，直线与圆 C交于 A， B两点，当弦长最短时的值为（）A．1B．C．D．(★★★) 12. 已知函数，关于函数有下列四个命题：① ；② 的图象关于点对称；③ 是周期为的奇函数；④ 的图象关于直线对称．其中正确的是（）A．①④B．②③C．①③D．②④二、填空题(★★) 13. 若、满足约束条件，则的最大值为_________．(★) 14. 2020年新冠肺炎疫情期间，为停课不停学，某高中实施网上教学．该高中为了解网课学习效果，组织了一次网上测试．并利用分层抽样的方法从高中3个年级的学生中随机抽取了150人的测试成绩，其中高一、高二年级各抽取了40人，50人，若高三年级有学生1200人，则该高中共有学生_________人．(★★★) 15. 设双曲线的右焦点为 F，过 F作 C的一条渐近线的垂线垂足为 A，且， O为坐标原点，则 C的离心率为_________．(★★) 16. 在等腰三角形 ABC中，，顶角为120°，以底边 BC所在直线为轴旋转围成的封闭几何体内装有一球，则球的最大体积为_________．三、解答题(★★) 17. 已知数列为等差数列，且，是，的等比中项．（1）求数列的通项公式（2）当数列的公差时，求数列的前项和．(★★★) 18. 西尼罗河病毒（ WNV）是一种脑炎病毒， WNV通常是由鸟类携带，经蚊子传播给人类．1999年8-10月，美国纽约首次爆发了 WNV脑炎流行．在治疗上目前尚未有什么特效药可用，感染者需要采取输液及呼吸系统支持性疗法，有研究表明，大剂量的利巴韦林含片可抑制 WNV的复制，抑制其对细胞的致病作用．现某药企加大了利巴韦林含片的生产，为了提高生产效率，该药企负责人收集了5组实验数据，得到利巴韦林的投入量 x（千克）和利巴韦林含片产量 y（百盒）的统计数据如下：投入量x （千克）12345产量y （百盒）1620232526由相关系数 可以反映两个变量相关性的强弱，，认为变量相关性很强；，认为变量相关性一般；，认为变量相关性较弱．（1）计算相关系数 r ，并判断变量 x 、 y 相关性强弱；（2）根据上表中的数据，建立 y 关于 x 的线性回归方程 ；为了使某组利巴韦林含片产量达到150百盒，估计该组应投入多少利巴韦林？ 参考数据：．参考公式：相关系数 ，线性回归方程 中，， ．(★★★) 19. 如图，在直四棱柱中，底面 ABCD 是菱形，且， E是的中点，．（1）求证：面 平面 EDC ； （2）求三棱锥的体积．(★★★★) 20. 已知，椭圆的左、右焦点，点 P 是 C 的上顶点，且直线 的斜率为．（1）求椭圆 C 的方程；（2）过点作两条互相垂直的直线 ， ．若 与 C 交于 A ， B 两点， 与 C 交于 D ， E两点，求的最大值．(★★★) 21. 已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）设，当时，，实数的取值范围．(★★★) 22. 在直角坐标系 xOy中，曲线 D的参数方程为（ t为参数，）点，点，曲线 E上的任一点 P满足．以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线 D的普通方程和曲线 E的极坐标方程；（2）求点 P到曲线 D的距离的最大值．(★★★) 23. 已知函数，，．（1）若恒成立，求实数的取值范围；（2）是否存在这样的实数（其中），使得，都有不等式恒成立？若存在，求出实数 a的取值范围；若不存在，请说明理由．。
2021年高三上学期第一次联考数学(文)试题 含答案
2021年高三上学期第一次联考数学（文）试题 含答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知全集为R ，集合或，，则= A ．B ．C ．D ．2．已知复数（是虚数单位），则复数的虚部为 A ．B ．C ．D ．3．从1，2，3，4，5中任取两个数，则这两个数的乘积为偶数的概率为 A ．B ．C ．D ．4．一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图为等腰直角三角形， 侧视图与俯视图为正方形，则该几何体的体积为 A ． B ． C ．D ．5．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 A ． B ． C ．D ．6．设等差数列的前项和为，若 ，则满足的正整数为 A ． B ． C ．D ．7．下列说法中错误的个数是 ①命题“有”的否定是“有”；②若一个命题的逆命题为真命题，则它的否命题也一定为真命题； ③已知，，若命题为真命题，则的取值范围是； ④“”是“”成立的充分条件． A ．1B ．2C ．3D ．48．已知函数(R )图象的一条对称轴是，则函数的最大值为第5题图开始 f 0(x)=cosx i ＝0 i ＝i ＋1 i =xx ？结束是否输出f i (x) f i (x)=f i-1(x)第4题图A．5 B．3 C．D．9．已知定义在R上的函数满足：，在区间上，，若，则A．B．C．D．10．已知直线与圆交于两点，且为等边三角形，则圆的面积为A．B．C．D．11．已知抛物线的焦点为，定点，若射线与抛物线交于点，与抛物线的准线交于点，则的值是A．B．C．D．12．已知函数，若函数恰有三个互不相同的零点，则的取值范围是A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在答题卷指定位置）13．已知点，则．14．若实数满足，则的最小值为．15．已知的面积为，三内角的对边分别为．若，则取最大值时．16．已知双曲线的左、右焦点分别为，等边三角形与双曲线交于两点，若分别为线段的中点，则该双曲线的离心率为．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）设数列的前n项和为，且N*)．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．18．（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥中，底面为菱形，为与的交点，平面，为中点，为中点．（1）证明：直线平面；（2）若点为中点，，求三棱锥的体积．19．（本小题满分12分）学业水平考试（满分为100分）中，成绩在为等，在为等，在为等，不到分为等．某校高二年级共有1200名学生，其中男生720名，女生480名，该校组织了一次物理学业水平模拟考试．为研究这次物理考试成绩为等是否与性别有关，现按性别采用分层抽样抽取100名学生的成绩，按从低到高分成[)[)[)[)[)[)[]30,40,40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100七组，并绘制成如图所示的频率分布直方图．（1）估计该校高二年级学生在物理学业水平考试中，成绩为等的人数；（2）请你根据已知条件将下列列联表补充完整，并判断是否有的把握认为“该校高二年级学生在本次考试中物理成绩为等与性别有关”？ 附：20．（本小题满分12分）椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆的方程；（2）若分别是椭圆的左、右顶点，动点满足，且交椭圆于不同于的点，求证：为定值．21．（本小题满分12分）已知函数R ）． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，证明：．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分22．（本小题满分10分）如图，已知为圆的直径，是圆上的两个点，是劣弧的中点,于,交于，交于.（1）求证：（2）求证：.23．（本小题满分10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）直线与曲线交于两点，求.24．（本小题满分10分）已知函数（1）求不等式的解集；（2）若对于任意的实数恒有成立，求实数a的取值范围.xx 届高三第一次五校联考文科数学参考答案一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案AADBCBCCADDA二、填空题：13． 14． 15． 16． 三、解答题:17．解：(1)由得，（），两式相减得（）．当n =1时，=2，所以数列{a n }是首项为2、公比为2的等比数列，则．⋯⋯6分 (2)由(1)知，b n =n ，所以1b n b n +2= 12(1n －1n +2)．则数列{1b n b n +2}的前n 项和T n =12[(1－13)+(12－14)+(13－15)+…+(1n －1n +2)]=12(32－1n +1－1n +2)．…12分18．解：（1）取中点，连结，1//,//,2MR AD NC AD MR NC AD ==， ，四边形为平行四边形， ，又平面，平面,平面．⋯⋯⋯6分 （2）由已知条件得所以．所以．……….....................................12分19．解：（1）设抽取的100名学生中，本次考试成绩为D 等的有人，根据题意得： 100[110(0.0080.0120.0120.0160.024+0.026]=2x =⨯-⨯++++），据此估计该校高二年级学生在物理学业水平考试中，成绩为D 等的人数为（人）．................................4分 （2）根据已知条件得列联表如下：物理成绩为A 等物理成绩不为A 等 合计男生 60 女生 40合计2080因为22100(1434646)251.0422.7062080604024K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯．.....................10分 R所以，没有的把握认为“该校高二年级学生在本次考试中物理成绩为A 等与性别有关” ．......12分20．解：（1）由题得:,因为，解得．所以椭圆的方程为．....................................5分 （2）由（1）知，由题意设， 易知直线的方程为：，代入椭圆，得． 所以，解得，从而，所以22200000222200002(8)84(8)8(,)(2,)48888y y y y OR OM y y y y y ----⋅=⋅=+=++++，即为定值．....................................12分 21.（1）解：由可得． 当时，，则函数在上为增函数． 当时，由可得，由可得；则函数在上为增函数，在上为减函数．..............6分 （2）证明：令．则xax ax x x f x x a x x F e )()1()(22-+='-++= 令，则． ，又，．在上为增函数，则，即．由可得，所以．................................12分22.解：（1）是劣弧的中点 在中， ,又,所以.从而，在中，. ................................5分 （2）在中，,因此，∽，由此可得,即...........10分23.解：（1）直线的普通方程为,曲线的直角坐标方程为;..........5分（2）解法一、曲线：是以点（0,2）为圆心，2为半径的圆，圆心（0,2）到直线的距离，则. .........10分解法二、由可解得A,B 两点的坐标为 ，由两点间距离公式可得. .........10分 解法三、设两点所对应的参数分别为 将 代入并化简整理可得 ，从而因此，. .........10分 24.解：（1）不等式即为， 等价于或或， 解得.因此，原不等式的解集为. ..........5分 （2）3)1()2(12)(=--+≥-++=x x x x x f要使对任意实数成立，须使， 解得：39213992D餭3447186A7蚧250946206戆_ 32323 7E43 繃)6P30537 7749 睉Bi26349 66ED 曭。
2021年高三数学上学期第一次联考试题 文(II)
2021年高三数学上学期第一次联考试题文(II)本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间120分钟. 试卷总分为150分.请考生将所有试题的答案涂、写在答题纸上.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ▲ )A．y=0 B．y=sin2xC．y=x+lg x D．y=2x+2-x2．已知等差数列的前项和为，若，则=( ▲ )A．5 B．C．15 D．203．已知，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是( ▲ ) A．若，，则B．若，，则C．若，，则 D．若，，则4．设两直线l1： (3+m)x+4y=5-3m与l2：2x+(5+m)y=8，则“l1∥l2”是“m＜-1”的( ▲ ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．若函数在区间(1,+∞)上的最小值为6，则实数a的值为( ▲ )A．2 B．32C．1 D．126．已知F1、F2分别是椭圆C：(a＞b＞0)的左、右焦点．若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C离心率的取值范围是( ▲ )A．[23，1) B．[13，22] C．[13，1) D．(0，13]7．设a，b∈R，定义：, .下列式子错误的是( ▲ )A．M(a,b)+ m(a,b)= a+b B．m(|a+b|,|a-b|)=| a|-|b|C．M(|a+b|,|a-b|)=| a|+|b|D．m(M(a,b), m(a,b))=m(a,b) 8．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，且O为此三角形的内心，则( ▲ ) A．4 B．5 C．6 D．7第Ⅱ卷二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．实用文档实用文档9． 已知全集U =R ，集合，，则 ▲ ，(C U A )B =▲ .10．若双曲线 y 2m-x 2=1的一个焦点为(0,2)，则m = ▲ ，该双曲线的渐近线方程为 ▲ .11．设函数，则 ▲ ，函数的零点为 ▲ .12．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是 ▲ ，表面积为 ▲ .13．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，AD 为边BC 上的高．已知AD =36a ，A =23π，b =1，则c +1c的值为 ▲ .14．设m ∈R ，其中实数x ，y 满足. 若| x +2y |≤18，则实数m的最小值是▲ .15．已知函数f (x )=x 2-(3+2a )x +6a ，其中a ＞0. 若有实数b 使得成立，则实数a 的取值范围是 ▲ .三、解答题：本大题共5小题，共74分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．(本小题14分) 已知向量，，函数f (x )=.(Ⅰ) 求函数的最小正周期； (Ⅱ) 求函数在上的值域．17．(本小题15分) 在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，CDA =BAD =90°，AB =AD =2DC =22，PA =4且E 为PB 的中点. (Ⅰ) 求证：CE //平面PAD ；(Ⅱ) 求直线CE 与平面PAC 所成角的正切值.第17题图ABCDEP正视图2俯视图 侧视图第12题图18．(本小题15分) 设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=a(a≠-2)，a n+1=2S n+2n，n∈N*.(Ⅰ)设b n=S n+2n.求证：数列{b n}是等比数列；(Ⅱ)若数列{a n}是单调递增数列，求实数a的取值范围.19．(本小题15分) 已知函数其中且.(Ⅰ)当时，若无解，求的范围；(Ⅱ) 若存在实数m，n（），使得时，函数的值域都也为，求的范围.实用文档20．(本小题15) 分已知抛物线C：y=ax2(a>0)，过点P（0,1）的直线l交抛物线C于A、B 两点.(Ⅰ) 若抛物线C的焦点为（0，），求该抛物线的方程；(Ⅱ) 已知过点A、B分别作抛物线C的切线l1、l2，交于点M，以线段AB为直径的圆经过点M，求实数的值.实用文档实用文档金丽衢十二校xx 学年高三第一次联考数学试卷（文科）参考答案一、选择题.每小题5分,共40分.9.,. 10. 3,. 11. 0，e .12. , . 13. -3 . 14. 2. 15. .三、解答题：本大题共5小题，共74分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 解：（I ） ………………………………3分……………………………5分故函数的最小正周期为； ……………………………7分 （II ）设，当时 ……………………………9分又函数在上为增函数，在上为减函数，……………11分 则当时有最小值；当时有最大值， …………13分 故在上的值域为 ……………………15分 17．解：(Ⅰ)取的中点，连接QE 、，E 为的中点，QE ∥且， 底面ABCD 为直角梯形，CDA =BDA =90°， AB =AD =2DC =22， QE ∥且，四边形QECD 是平行四边形，EC ∥，又平面PAD ，QD 平面PAD EC //平面PAD.……………7分 (Ⅱ)方法一：过E 作平面PAC 的垂线，记垂足为O ，连接CO ，则ECO 就是直线CE 与平面PAC 所成角. ………………………9分 过B 作BN ⊥AC ，记垂足为N ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BN ， 又PA ，AC 平面PAC ，且PA ∩AC=A ，所以BN ⊥平面PAC ， ………………………11分 所以EO ∥BN ,又因为E 是AB 的中点，所以EO =BN =. 过E 作EM ⊥AB 于M ，连接CM ，可得CE =.在Rt △CEO 中，CO =，则ECO ==. ………………15分 所以直线CE 与平面PAC 所成角的正切值为. （用其他方法类似得分）.方法二：建立直角坐标系如图所示，设直线CE 与平面PAC 所成角大小为α， 则)2,2,0(),4,0,0(),0,2,22(),0,0,0(E P C A ，所以， ，设平面的法向量为，则有 ，即， ………………11分实用文档则sin α=15253222|,cos |=⨯==><n CF ，………………13分 从而可得cos α=，tan α=，所以直线CF 与平面PAC 所成角的正切值为. …………………15分 18. 解：(Ⅰ)由题意有，即，所以……………………………5分又因为a ≠-2，所以 ……………………………7分 所以数列{b n }是以为首项，3为公比的等比数列. (Ⅱ)由题(Ⅰ)得， …………………………………9分 所以 ① ，②由①-②得，n ≥2，而a 1=a 不符合上式，………………………………11分又因为数列{a n }是单调递增数列，所以a 2- a 1=a +2>0，得a >-2， ………………………………12分且,0232)2(232)2(1211>+⋅⋅+--⋅⋅+=----+n n n n n n a a a a n ≥2即化简得，即.综上可得，实数a 的取值范围是. ………………………………15分 19. 解：(Ⅰ), 无解，等价于恒成立，即恒成立，即，易得，. …………………………7分(Ⅱ) 当时是单调增函数，当时是单调减函数，即是单调函数. …………………………9分 ，即，则题中问题等价于关于的方程有两个不相等的解. ……11分令，则问题等价于关于的二次方程在上有两个不相等的实根，即，即，得 ………………14分20. 解：(Ⅰ)抛物线的方程可化为：，则，所以抛物线的方程为………………5分(Ⅱ) 假设存在无穷多对直线，使得以线段为直径的圆经过点因为直线与抛物线相交于两点，所以直线斜率存在； 设直线的方程为，代入抛物线方程中得：， 设A B 则，…………………………7分设过A 作抛物线的切线方程为：y =m (x -x 1)+y 1代入 消去y 得，由△=0可得 所以 的方程：，同理可得 的方程： …………………………9分实用文档由中点坐标及直线的方程可知M 即M 则， ……………………11分因为以线段为直径的圆经过点，所以. 则+()2222212121212122()224k k x x x x a x x a x x x x a a⎡⎤=-+++++-⎣⎦+1 （1） ……………………13分因为以线段为直径的圆经恒过点即（1）式恒等.则 解得 . ……………………15分 Y40617 9EA9 麩31241 7A09 稉40255 9D3F 鴿237355CB7 岷25605 6405 搅F?V37045 90B5 邵i36683 8F4B 轋27838 6CBE 沾22033 5611 嘑。
2021-2022年高三上学期第一次联考数学(文)试卷word版
2021年高三上学期第一次联考数学（文）试卷word 版一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，每题4分.1. 已知，则 .2. 如图，是全集，，用集合运算符号3. 表示图中阴影部分的集合是 .4. 函数的最小正周期是 .5. 若是方程的根，其中是6. 虚数单位，则 .7. 若函数在上单调递减，8. 则实数的取值范围是 . 9. 图中是一个算法流程图，则输出的 10. 正整数的值是 ．11. 设函数212() 0()2log (2) 0x x f x x x ⎧⎪-≤=⎨+>⎪⎩的反函数 12. 为，若，则实数的值是 . 13. 如图，在中，在斜 14. 边上，且，则的值为 .15. 对于任意的实数，如果关于的方程最多有个不同的实数解，则(为实常数)的不同的实数解的个数最多为 .16. 已知，则函数的零点的个数为 .17. 已知等差数列的公差，且，若，则正整数的最小值 18. 为 .19. 设不等式21log (0 1)a x x a a -<>≠且，的解集为，若，则实数的取值范围 20. 是 . 21. 已知函数，数列满足*111 ()()()402312n n na a f a f n N a +==∈，－，则 . 22. 设是平面内互不平行的三个向量，，有下列命题：23. ①方程不可能有两个不同的实数解； 24. ②方程有实数解的充要条件是； 25. ③方程有唯一的实数解； 26. ④方程没有实数解.27. 其中真命题有 .(写出所有真命题的序号) 二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每小题5分.28. 满足不等式的实数的取值范围是 ( ) 29. A. B. C. D. 30.31. 设角是锐角，则“”是“”成立的 ( )32. A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件33. 对于复数，若集合具有性质：“对任意，都有”，则当时，的值是 ( )(第2题(第6题D A B C(第8题图)34. A. B. C. D. 35. 某个QQ 群中有名同学在玩一个数字哈哈镜游戏，这些同学依次编号为.在哈哈镜中，每个同学看到的像用数对表示，规则如下：若编号为的同学看到像为，则编号为的同学看到像为，且.已知编号为1的同学看到的像为.请根据以上规律，编号为3和的同学看到的像分别是 ( )36. A. B.22838(10 13) ( )22n n n n ++++，；，37. C.222545(10 13) ( )22n n n n ++++，；， D.221010(8 11) ( )22n n n n -+++，；， 三、解答题(本大题共5小题，满分74分)38. (本题满分12分)已知矩阵||5||10x x +⎛⎫⎪+ ⎝的某个列向量的模不大于行列式的值，求实数的取值范围.39. (本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)为了研究某种癌细胞的繁殖规律和一种新型抗癌药物的作用，将癌细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，癌细胞的繁殖规律与天数的关系如下表.已知这种癌细胞在小白鼠(2)若在第10天，第20天，第30天，……给小白鼠注射这种药物，问第38天小白鼠是否仍然存活？请说明理由.40. (本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)已知函数())(0)3f x x πωω=+>.(1)若是最小正周期为的偶函数，求和的值；(2)若在上是增函数，求的最大值；并求此时在上的取值范围.41. (本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)设等比数列的前项和为，已知. (1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入个1，构成如下的新数列：1234 1 1 1 1 1 1 a a a a ，，，，，，，，，，，求这个数列的前项的和；(3)在与之间插入个数，使这个数组成公差为的等差数列(如：在与之间插入1个数构成第一个等差数列，其公差为；在与之间插入2个数构成第二个等差数列，其公差为，…以此类推)，设第个等差数列的和是. 是否存在一个关于的多项式，使得对任意恒成立？若存在，求出这个多项式；若不存在，请说明理由.42. (本题满分18分，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分)已知函数22()(1)(1)x b f x x D a x=-+-∈，，其中. (1)当时，设，，求的解析式及定义域； (2)当，时，求的最小值；(3)设，当时，对任意恒成立，求的取值范围.xx年高三年级十三校第一次联考数学(文科)答题纸二．选择题（每题5分，共20分）：三．解答题22（16分）．解：23（18分）．解：考试时间：120分钟 满分：150分一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，每题4分. 1. 已知，则 . 2. 如图，是全集，，用集合运算符号3. 表示图中阴影部分的集合是 .4. 函数的最小正周期是 .5. 若是方程的根，其中是6. 虚数单位，则 .7. 若函数在上单调递减，8. 则实数的取值范围是 . 9. 图中是一个算法流程图，则输出的 10. 正整数的值是 ．11. 设函数212() 0()2log (2) 0x x f x x x ⎧⎪-≤=⎨+>⎪⎩的反函数 12. 为，若，则实数的值是 .13. 如图，在中，在斜 14.边上，且，则的值为 . 15. 对于任意的实数，如果关于的方程最多有个不同的实数解，则(为实常数)的不同的实数解的个数最多为 .16. 已知，则函数的零点的个数为 .217. 已知等差数列的公差，且，若，则正整数的最小值 18. 为 . 619. 设不等式21log (0 1)a x x a a -<>≠且，的解集为，若，则实数的取值范围 (第6题图) D A B C (第8题图)20. 是 . 21. 已知函数，数列满足*111()()()402312n n na a f a f n N a +==∈，－，则 . 22. 设是平面内互不平行的三个向量，，有下列命题：23. ①方程不可能有两个不同的实数解； 24. ②方程有实数解的充要条件是； 25. ③方程有唯一的实数解； 26. ④方程没有实数解.27. 其中真命题有 .(写出所有真命题的序号) ①④二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每小题5分.28. 满足不等式的实数的取值范围是 ( D ) 29. A. B. C. D.30. 设角是锐角，则“”是“”成立的 ( C )31. A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件32. 对于复数，若集合具有性质：“对任意，都有”，则当时，的值是 ( B )33. A. B. C. D. 34. 某个QQ 群中有名同学在玩一个数字哈哈镜游戏，这些同学依次编号为.在哈哈镜中，每个同学看到的像用数对表示. 规则如下：若编号为的同学看到像为，则编号为的同学看到像为，且.已知编号为1的同学看到的像为.请根据以上规律，编号为3和的同学看到的像分别是 ( D )35. A. B.22838(10 13) ( )22n n n n ++++，；，36. C.222545(10 13) ( )22n n n n ++++，；， D.221010(8 11) ( )22n n n n -+++，；， 三、解答题(本大题共5题，满分74分)37. (本题满分12分)已知矩阵||5||10x x +⎛⎫⎪+ ⎝的某个列向量的模不大于行列式的值，求实数的取值范围.解：依题意，，………………………………………………………………………4分显然列向量||5||10x x a +⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭的模不大于，即，…………………………………8分解得，或∴满足条件的实数的取值范围是…………………………………12分 38. (本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)为了研究某种癌细胞的繁殖规律和一种新型抗癌药物的作用，将癌细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，癌细胞的繁殖规律与天数的关系如下表.已知这种癌细胞在小白鼠(2)若在第10天，第20天，第30天，……给小白鼠注射这种药物，问第38天小白鼠是否仍然存活？请说明理由.解：(1)依题意，……………………………………………………………………2分 ∴……………………………………………………………………5分即第一次最迟应在第27天注射该种药物. …………………………………………………7分(2)设第次注射药物后小白鼠体内的这种癌细胞个数为， 则，且，∴…………………10分于是，即第3次注射后小白鼠体内的这种癌细胞个数为，…12分 到第38天小白鼠体内的这种癌细胞个数为……………………14分∴第38天小白鼠仍然存活.（注：列举法求解的也行，请按步骤评分） 39. (本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)已知())(0)3f x x πωω=+>.(1)若是最小正周期为的偶函数，求和的值；(2)若在上是增函数，求的最大值；并求此时在上的取值范围.解：(1)∵())3f x x πθωωθ+=++……………………………………………………1分又是最小正周期为的偶函数，∴，即， ……………………3分 且，即 …………………………………………………6分注意到，∴为所求；…………………………………………………7分 (2)因为在上是增函数，∴53023212()12326332k k k Z k k ππωππππωωπ⎧⎧⨯+≥-≤⎪⎪⇒∈⎨⎨≤+⨯+≤+⎪⎪⎩⎩，…………………………………………9分∵，∴，∴，于是，∴，即的最大值为，……………………………………………12分 此时，，∴510sin()1()3236223x x x g x πππππ≤≤⇒≤+≤⇒≤+≤⇒∈ (14)分40. (本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)设等比数列的前项和为，已知. (1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入个1，构成如下的新数列：1234 1 1 1 1 1 1 a a a a ，，，，，，，，，，，求这个数列的前项的和；(3)在与之间插入个数，使这个数组成公差为的等差数列(如：在与之间插入1个数构成第一个等差数列，其公差为；在与之间插入2个数构成第二个等差数列，其公差为，…以此类推)，设第个等差数列的和是. 是否存在一个关于的多项式，使得对任意恒成立？若存在，求出这个多项式；若不存在，请说明理由.解：(1)设，由知，，………2分解得， ∴…………………………………………………………………4分(2)依题意，到为止新的数列共有(1)12342n n n ++++++=项，…………………6分令，得62.9n =≈， 即到为止新的数列共有62(621)12346219532++++++==项…………………8分故该数列的前项的和为626212622(13)1261(20121953)19503194913a a a ⨯-++++++++-=+=+- （或626212622(13)(201262)19503194913a a a ⨯-++++-=+=+-）………………10分(3)依题意，1123234311n n n n d n n --⨯-⨯⨯==++；11(2323)(2)4(2)32n n n n n A n --⨯+⨯+==+⨯ 要使，则11434(2)3()1n n n g n n --⨯+⨯=⨯+，…………………………………14分 ∴2()(2)(1)32g n n n n n =+⨯+=++，即存在满足条件. ………16分41. (本题满分18分，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分)已知函数22()(1)(1)x b f x x D a x =-+-∈，，其中. (1)当时，设，，求的解析式及定义域； (2)当，时，求的最小值；(3)设，当时，对任意恒成立，求的取值范围.解：(1)设，则，当且仅当时取等号，………………2分此时222222()(1)(1)(1)1(1)1x b x b b b f x t a x a x a a=-+-=+--+=--+，………………4分 即，其定义域为………………………………………5分(2)由(1)知，当时，……………………………7分函数在上单调递增，∴2min ()1)36f x g ==-=-…………………………………………10分 (3) 设2222(1)([ (1)])x k t x k k k x+=+∈+，，则， 当且仅当时取等号，显然且当和时，都有………………………………………13分此时2222222(1)2(1)()()(1)[1](1)1k k x f x g t t kx k ++==-+-=--+， 其中………………………………………………………14分 函数2222(1)()(1)1k g t t k +=--+在上单调递增， ∴22min 222(1)2(1)2(1)2()[][1]1k k k f x g k k k k+++==--+= 222222max 2222(1)(1)2(1)(1)()[][]1[1]k k k k f x g k k k k++++==-+=-…………………………16分又对任意恒成立，∴222221(1)[1]9k k k⎧≥⎪⎨+-≤⎪⎩，即， 注意到，∴即为所求. …………………………………………………18分。
高三数学(文)第一次联考试题(2021附答案)
万元
高三数学（文）第一次联考试题（2021 附答案）
8．在平面直角坐标系 中，O 为坐标原点，设向量 OA a ，OB b ，其中 a (3,1) ，b (1, 3) ，
若 OC a b ，且 0≤ ≤ ≤1，C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是（★）
二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分．
19．（本题 12 分）长沙市将河西作为环境友好型和 节约型的两型社会先导区，为加强先导区的建设， 造枫林路，如图所示，规划沿路修建圆形休闲广场， 为 O，半径为 100 米，其与枫林路一边所在的直线 l 于 M 点，A 为上半圆弧上一点．过点 A 作 l 的垂线， 为 B，市园林局计划在△ABM 内进行绿化，设△ABM 积为 S（单位：平方米）．
高三数学（文）第一次联考试题（2021 附答案）
四市九校 2020 届高三第一次联考试
数 学（文）
学校
答题卡 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
装
班级
答案
二、填空题（共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分）
考号
9． 11．
10． 12．
姓名
13． 15．
2
2
★ ；使[x 1] 3成立的 x 的取值范围是 ★ ．
15． 定义在 R 上的函数 f (x) 是奇函数，且 f (x) f (2 x) ，在区间[1，2]上是单调递减
高三数学（文）第一次联考试题（2021 附答案）
函数． 关于函数 f (x) 有下列结论：
①图象关于直线 x=1 对称；
(A)充分而不必要条件 (C)充要条件
2021年高三上学期第一次统一考试数学(文)试题 含答案
2021年高三上学期第一次统一考试数学（文）试题含答案本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时长120分钟.第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.设集合,集合为函数的定义域，则(A) (B) ( C) (D)2. 已知命题：直线，不相交，命题：直线，为异面直线，则是的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件3. 在等差数列中，,则的前5项和=( )（A）7 （B）15 （C）20 （D）25则这个三棱柱的体积等于（A）（B）（C）（D）5．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28 Array粒，则这批米内夹谷约为（A）134石（B）169石（C）338石（D）1365石6.某程序的框图如图所示, 执行该程序，若输入的为，则输出的的值分别为(A) (B) (C) (D)7. 圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程为 （A ） （B ） （C ） （D ）8.已知是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为 （A ）（B ）（C ）（D ）9. 已知F 是椭圆的一个焦点，B 是短轴一个端点，线段BF 的延长线交椭圆于点D ，且，则椭圆的率心率是（A ） （B ） （C ） （D ）10.设函数()11sin 222f x x x πθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且其图像关于轴对称，则函数的一个单调递减区间是（）11．P 是所在的平面上一点，满足，若，则的面积为（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）16 12. 已知函数在区间内存在零点，则的取值范围是 (A) (B) (C) (D)宁城县高三年级统一考试（xx.10.20）数学试题（文科） 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13. 若复数满足，则在复平面内对应的点的坐标是______________ 14．已知实数列等比数列,其中成等差数列.则公比_______15． 已知为由不等式组，所确定的平面区域上的动点，若点，则的最大值为___________. 16．已知三棱柱的侧棱和底面垂直，且所有棱长都相等，若该三棱柱的各顶点都在球的表面上，且球的表面积为，则此三棱柱的体积为 .三、解答题（共5小题，70分，须写出必要的解答过程）17．（本小题满分12分）在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且3a ＝2c sin A ． (Ⅰ)确定角C 的大小；(Ⅱ)若c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．18．（本小题满分12分）对某校全体教师在教学中是否经常使用信息技术实施教学的情况进行了调查，得到统计数据如下：（Ⅰ）求该校教师在教学中不．经常使用信息技术实施教学的概率； （Ⅱ）在教龄10年以下，且经常使用信息技术实施教学的教师中任选2人，其中恰有一人教龄在5年以下的概率是多少？19．（本小题满分12分）如图，已知AB平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，，且F是CD的中点．（Ⅰ）求证AF∥平面BCE；（Ⅱ）设AB＝1，求多面体ABCDE的体积．20．（本小题满分12分）已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于两点（不同于点），直线分别交直线于点.（Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；（Ⅱ）已知为原点，求证：为定值.21．（本小题满分12分）设函数的导函数为.（Ⅰ）求函数的最小值；（Ⅱ）设，讨论函数的单调性；四、选做题（本小题满分10分.请考生22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）22．选修4－1：几何证明选讲如图，⊙的半径为6，线段与⊙相交于点、，，，与⊙相交于点.（Ⅰ）求长；（Ⅱ）当⊥时，求证：.23．选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系. 设曲线参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为.（Ⅰ）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线上的点到直线的最大距离.24．选修4－5：不等式选讲设函数．（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）若的解集为，，求证：．宁城县高三年级统一考试（xx.10.20）数学试题（文科）参考答案一、选择题：DBBA BCAD CCAC二、填空题：13、；14、；15、4；16、.三、解答题:17. 解：(1)由3a＝2c sin A及正弦定理得，3sin A＝2sin C sin A．-----------2分∵sin A≠0，∴sin C＝3 2，∵△ABC是锐角三角形，∴C＝π3.------------------4分(2)∵C＝π3，△ABC面积为332，∴12ab sinπ3＝332，即ab＝6.①--------------------6分∵c＝7，∴由余弦定理得a 2＋b2－2ab cos π3＝7，即a2＋b2－ab＝7.②----------------------------9分由②变形得(a＋b)2＝3ab＋7.③将①代入③得(a＋b)2＝25，故a＋b＝5.----------------12分18.解：（Ⅰ）该校教师人数为8+10+30+18=66，该校经常使用信息技术实施教学的教师人数为2+4+10+4=20．……………………2分设“该校教师在教学中经常使用信息技术实施教学”为事件A，…………3分则，……………………5分．…………6分所以该校教师在教学中不经常使用信息技术实施教学的概率是．（Ⅱ）设经常使用信息技术实施教学，教龄在5年以下的教师为（i=1，2），教龄在5至10年的教师为（j=1，2，3，4），那么任选2人的基本事件为，，，，，，，，，，，，，，共15个．………………8分设“任选2人中恰有一人的教龄在5年以下”为事件B，包括的基本事件为，，，，，，，共8个，……………………10分则．所以恰有一人教龄在5年以下的概率是． -----------12分19．解：（Ⅰ）取CE 中点P ，连结FP 、BP ，∵F 为CD 的中点，∴FP//DE ，且FP ＝． 又AB//DE ，且AB ＝∴AB//FP ，且AB ＝FP ，∴ABPF 为平行四边形，∴AF //BP ． ……………4分 又∵AF 平面BCE ，BP 平面BCE ，∴AF //平面BCE ． ……………6分 （II ）∵直角梯形ABED 的面积为，C 到平面ABDE 的距离为，∴四棱锥C －ABDE 的体积为．即多面体ABCDE 的体积为．……………12分20.解：（Ⅰ）将代入，得所以抛物线方程为，焦点坐标为 ………………3分（Ⅱ）设，，， 设直线方程为与抛物线方程联立得到 ，消去，得： 则由韦达定理得： ………………5分 直线的方程为：，即，令，得， 同理可得： …………8分又 ，12124(2)(2)44(2)(2)M N y y OM ON y y y y --⋅=+=+++ ………11分所以，即为定值 ………………12分 21.（1）解：，令f /（x ）=0，得． ∵当时，f /（x ）＜0；当时，f /（x ）＞0， ∴当时，．----------------- 5分 （2）F （x ）=ax 2+lnx+1（x ＞0）， ．①当a≥0时，恒有F /（x ）＞0，F （x ）在（0，+∞）上是增函数； ②当a ＜0时，令F /（x ）＞0，得2ax 2+1＞0，解得；P令F /（x ）＜0，得2ax 2+1＜0，解得．综上，当a≥0时，F （x ）在（0，+∞）上是增函数； 当a ＜0时，F （x ）在上单调递增，在上单调递减．---12分四、选做题（本小题满分10分.请考生22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）22.证明（1）∵OC =OD ，∴∠OCD =∠ODC ，∴∠OCA =∠ODB ， ∵∠BOD =∠A ，∴△OBD ∽△AOC ．∴，∵OC =OD =6，AC =4，∴，∴BD=9．…………………5分 （2）证明：∵OC =OE ，CE ⊥OD ．∴∠COD =∠BOD =∠A ． ∴∠AOD =180º–∠A –∠ODC=180º–∠COD –∠OCD=∠ADO ． ∴AD =AO ……………………10分 23. 解：⑴由得 ，∴……………2分 由得.………………5分⑵在上任取一点，则点到直线的距离为|cos 3sin 4|)4|22d θθθϕ-+++==. ………………7分其中，∴当1，.………………10分 24.解：（1）当时，不等式为，不等式的解集为； ------------ 5分 （2）即，解得，而解集是， ，解得,所以所以． -------------- 10分3755792B5銵n366648F38輸39066989A颚x(282656E69湩20759 5117 儗 40767 9F3F 鼿35494 8AA6 誦25586 63F2 揲34069 8515 蔕32368 7E70 繰。
2021年高三数学上学期第一次联考试题 文(含解析)新人教A版
2021年高三数学上学期第一次联考试题文（含解析）新人教A版【试卷综析】试卷注重对基础知识和基本方法全面考查的同时,又突出了对数学思想、数学核心能力的综合考查, 试卷以考查考生对“双基”的掌握情况为原则,重视基础,紧扣教材,回归课本,整套试卷中有不少题目可以在教材上找到原型.对中学数学教学和复习回归课本,重视对基础知识的掌握起到好的导向作用.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.【题文】1．设全集,集合A={-1，1，2},B={-1,1},则A.{1}B.{2}C.{1，2}D.{-1，1}【知识点】集合运算. A1【答案解析】B 解析：因为全集，B={-1,1}，所以所以{2}，故选B.【思路点拨】根据补集、交集的定义求解.【题文】2．函数的定义域为A. B. C. D.【知识点】函数的定义域. B1【答案解析】D 解析：函数有意义的条件为：，故选D.【思路点拨】根据函数解析式写出函数有意义的条件，进而求得函数的定义域.【题文】3．已知复数，则在复平面上对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【知识点】复数的基本概念与运算. L4【答案解析】C应的点位于第三象限，故选C.【思路点拨】根据复数除法及共轭复数的定义求得结论.【题文】4．若，则A.b>c>aB.b>a>cC.c>a>bD.a>b>c【知识点】数值大小的比较. E1【答案解析】D 解析：，故选D.【思路点拨】分析各值所在的范围，这些范围两两的交集是空集，从而得a,b,c的大小关系.【题文】5．已知那么的值是A.0B.-2C.1D.-1【知识点】函数值的意义. B1【答案解析】C 解析：因为，所以，所以==1，故选C.【思路点拨】根据函数值的意义求解.【题文】6.等于A.sin2+cos2B.cos2-sin2C.-sin2-cos2D.sin2-cos2【知识点】三角函数的求值化简. C7【答案解析】D 解析：因为2是第二象限角，所以，故选D.【思路点拨】根据诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系化简已知的式子得，再根据角2的终边位置去掉绝对值.【题文】7.已知中，那么角A等于（）A． B. C. D.【知识点】解三角形.C8【答案解析】A 解析：由正弦定理可得2a b<∴∠【思路点拨】根据正弦定理即可求出角的大小 .【题文】8.已知向量，满足，且关于x的函数在R上有极值，则与的夹角的取值范围为（）A. B. C. D.【知识点】导数；向量的运算B11 F2【答案解析】C解析：，因为函数在实数上有极值，2-⋅>=≠∴a ab a b20,0cos【思路点拨】求出导数，再利用函数性质列出条件求解.【题文】9.把曲线先沿x轴向左平移个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到曲线方程是（）A B. C. D.【知识点】函数的平移变换 B8【答案解析】C 解析：把曲线ysinx-2y+3=0先沿x 轴向左平移个单位长度，可得曲线再沿y 轴向下平移1个单位长度，可得曲线即曲线（1+y ）cosx-2y+1=0，故选：C ．【思路点拨】根据题意对函数进行平移变换即可.【题文】10.已知函数，若存在唯一的零点，且，则a 的取值范围是（ ）A. B. C. D.【知识点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理．B9,B11【答案解析】B 解析：当a=0时，f （x ）=﹣3x 2+1=0，解得x=，函数f （x ）有两个零点，不符合题意，应舍去；当a ＞0时，令f′（x ）=3ax 2﹣6x=3ax （x ﹣）=0，解得x=0或x=＞0，列表如下：x （﹣∞，0） 0 （0，） （，+∞）f′（x ） + 0 ﹣ 0 +f （x ） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增∵x→﹣∞，f （x ）→﹣∞，而f （0）=1＞0，∴存在x ＜0，使得f （x ）=0，不符合条件：f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，应舍去．当a ＜0时，f′（x ）=3ax 2﹣6x=3ax （x ﹣）=0，解得x=0或x=＜0，列表如下：x （﹣∞，） （，0） 0 （0，+∞）f′（x ） ﹣ 0 + 0 ﹣f （x ） 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减而f （0）=1＞0，x→+∞时，f （x ）→﹣∞，∴存在x 0＞0，使得f （x 0）=0，∵f（x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，∴极小值f （）=a （）3﹣3（）2+1＞0，化为a 2＞4，∵a＜0，∴a＜﹣2．综上可知：a 的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故答案为：（﹣∞，﹣2）．【思路点拨】分类讨论：当a≥0时，容易判断出不符合题意；当a ＜0时，求出函数的导数，利用导数和极值之间的关系转化为求极小值f （）＞0，解出即可．二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分,请将答案填在题后横线上.11.已知，则=【知识点】诱导公式 C2【答案解析】解析：由题可知【思路点拨】根据同角三角函数的基本关系式可直接求解. 【题文】12.已知向量，则 【知识点】向量的加减及坐标运算.F1【答案解析】 解析：由题可知()(14,42,2AB OB OA AB =-=-∴=-【思路点拨】根据向量的加减法则，再进行坐标运算即可.【题文】13.直线是曲线的一条切线，则实数b=【知识点】导数的几何意义及其运算.B11【答案解析】解析：设切点坐标为，，所以，解得：，代入曲线方程可得：，又因为在直线上，故，故答案为：。
2021届云南、四川、贵州、西藏四省名校高三第一次大联考试题 数学(理)
绝密★启用前2021届云南、四川、贵州、西藏四省名校高三第一次大联考试题 数学（理）本试卷共4页，23题(含选考题)。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
第I 卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A ＝{x|x 2－x －2<0，x ∈N *}，集合B ＝{x|y ＝2log x }，则集合A ∩B 等于 A.1 B.[1，2) C.{1} D.{x|x ≥1}2.已知复数z 满足z(1－i)＝2i ，则复数z 在复平面内对应的点所在象限为 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.在长方形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，点M 在边CD 上运动，则MA MB ⋅的最小值为 A.－1 B.0 C.1 D.34.祖冲之是中国南北朝时期著名的数学家以及天文学家，其最伟大的贡献是将圆周率精确到小数点之后的七位，比欧洲早了近千年。
为探究圆周率的计算，数学兴趣小组采用以下模型，在正三角形中随机撒一把豆子，用随机模拟的方法估算圆周率π的值。
正三角形的边长为4，若总豆子数n ＝1000，其中落在圆内的豆子数m ＝618，则估算圆周率π的值是(为方便计算3取1.70，π的值精确到0.01)A.3.13B.3.14C.3.15D.3.16 5.已知α∈(0，π)且满足cos(α－4π)cos(α＋4π)＝－718，则sinα＝22 B.23 C.－23 D.136.已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝23π，b ＝2，且△ABC 3，则a 的值为A.12B.8 2 37.设双曲线C ：22221x y a b-=(a>0，b>0)的右焦点为F ，以OF 为直径的圆交双曲线的一条渐近线于另一点A(O 为坐标原点)，且|OA|＝2|AF|，则双曲线C 的离心率e 为A.5B.52C.2D.28.一个多面体的三视图如图所示，其正视图、侧视图都是全等的等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则其表面积为A.8＋2B.12C.16＋2D.12＋29.已知a＝log52，b＝ln2，c＝23，则a，b，c的大小关系正确的是A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a10.众所周知，人类通常有4种血型：O、A、B、AB，又已知，4种血型O、A、B、AB的人数所占比分别为41%，28%，24%，7%，在临床上，某一血型的人能输血给什么血型的人，是有严格规定的，而这条输血法则是生物学的一大成就。
2021届贵州省贵阳市四校高三上学期联合考试(一)数学(理)试题解析
绝密★启用前数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合(){}|40A x x x =-≤，{}|3B x N x =∈<，则A B =（ ）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}1,2,3D ．{}0,1,2,3答案：A先由一元二次不等式的解法，化简集合,A B ，再由交集的概念，即可得出结果. 解：因为{}|04A x x =≤≤，{}0,1,2B =，所以{}0,1,2A B =.故选：A ． 点评：本题主要考查求集合的交集，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题型. 2．在复平面内，复数(1)z i i =-对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A化简复数1z i =+，再根据复数的几何意义，即可得到答案； 解：1z i =+，∴z 对应的点为(1,1)，∴点位于第一象限，故选：A. 点评：本题考查复数的几何意义，考查对概念的理解，属于基础题.3．设2log 3a =，13log 2b =，20.4c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >>答案：C根据指数与对数函数的单调性，分别判定a ，b ，c 大小，即可得出结果. 解：因为函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增，且23<， 所以22log 2log 3<，即21log 3<，所以1a >， 因为函数13log y x =在(0,)+∞上单调递减，且21>，所以1133log 2log 10<=，即0b <，因为函数0.4x y =在R 上单调递减，且20>， 所以2000.40.41<<=，即01c <<， 所以a c b >>， 故选：C. 点评：本题主要考查比较对数与指数大小，熟记指数函数与对数函数单调性即可，属于基础题型.4．执行如图所示的程序框图，则输出的k =（ ）A ．5B ．3C ．6D ．4答案：A执行程序框图，依此写出每次循环时的,k S 的值并判断，直到当0S <时，退出循环，输出k 的值. 解：第一次循环：615S =-=，112k =+=，0S >，不满足0S <执行循环； 第二次循环：523S =-=，213k =+=，0S >，不满足0S <执行循环； 第三次循环：330S =-=，314k =+=，0S =，不满足0S <执行循环； 第四次循环：044S =-=-，415k =+=，0S <，退出循环，此时输出5k =. 故选: A 点评：本题主要考查直到型循环结构的计算结构的输出，对于这类问题，通常是利用程序框图给出的算法计算出每一步的结果并判断即可，属于基础题.5．设α为平面，m ，n 为两条直线，若m α⊥，则“m n ⊥”是“n ⊂α”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件答案：C根据充分性和必要性的定义，结合线面垂直的性质进行判断即可. 解：当m α⊥时，如果m n ⊥，不一定能推出n ⊂α，因为直线n 可以在平面α外， 当m α⊥时，如果n ⊂α，根据线面垂直的性质一定能推出m n ⊥，所以若m α⊥，则“m n ⊥”是“n ⊂α”的必要不充分条件. 故选：C 点评：本题考查了必要不充分条件的判断，考查了线面垂直的性质，考查了推理论证能力.6．若x 、y 满足约束条件1215y y x x y ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，则3z x y =-的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．11D ．13答案：C化直线方程为斜截式得3y x z =-，作出不等式组所表示的可行域，平移直线3y x z =-，找出使得该直线在y 轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可得解. 解：化目标函数为直线的斜截式方程得3y x z =-，作出不等式组所表示的可行域如下图所示：联立150y x y =⎧⎨+-=⎩，解得41x y =⎧⎨=⎩，即点()4,1A ，平移直线3y x z =-，当该直线经过可行域的顶点A 时，直线3y x z =-在y 轴上的截距最小，此时z 取最大值，即max 34111z =⨯-=. 故选：C. 点评：本题考查线性目标函数的最值，一般利用平移直线找到最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.7．函数sin 3y x x =+的图象向右平移23π个单位长度得到函数()f x 的图象，则下列说法不正确的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期2π B ．函数()f x 的图象关于直线56x π=对称C ．函数()f x 的图象关于,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．函数()f x 在511,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增 答案：D先利用辅助角公式化简函数解析式，再根据平移法则可得到函数()f x 的解析式，即可判断各选项的真假． 解：因为sin 32sin 3y x x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭，所以()22sin 2sin 333f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即可知函数()f x 的最小正周期2π，A 正确；当56x π=时，52sin 262f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的图象关于直线56x π=对称，B 正确；当3x π=时，03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的图象关于,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，C正确；因为52sin 262f ππ⎛⎫==⎪⎝⎭，()526f f ππ⎛⎫=<= ⎪⎝⎭，所以D 错误．故选：D ． 点评：本题主要考查辅助角公式和平移法则的应用，以及函数()sin y A ωx φ=+的性质应用，熟记公式和基本性质是解题的关键，属于基础题．8．在区间[-2，2]随机取一个数x ，则事件“2,(0)1,(0)x x y x x ⎧≤=⎨+>⎩，且1,22y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦”发生的概率为（ ） A ．78B ．58C ．38D ．12答案：D根据已知条件，求事件“2(0)1(0)x x y x x ⎧=⎨+>⎩，且1[,2]2y ∈”发生时x 的取值范围，代入几何概型计算公式，即可求出答案． 解：事件“2(0)1(0)x x y x x ⎧=⎨+>⎩，且1[,2]2y ∈”由题可知，该分段函数是一个增函数， 1[,2]2y ∈，此时[1x ∈-，1]，所以该事件发生的概率1(1)12(2)2P --==--． 故选：D ． 点评：本题主要考查几何概型的计算和分段函数的值域，是综合考查类题目．9．在ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C sin sin C A B =+，3cos 5C =，且4ABCS=，则c =（ ）A B ．4C ．3D ．5答案：B由三角函数的基本关系式和4ABCS=，求得10ab =，再由正弦定理，得到a b =+，根据余弦定理，列出方程，即可求解.解：因为3cos 5C =，则(0,)2C π∈，所以4sin 5==C ，又因为4ABCS=，即114sin 4225ab C ab =⨯=，解得10ab =，sin sin C A B =+a b =+， 由余弦定理，可得22222223162cos 2()33255c a b ab C a b ab a b ab c =+-=+-⨯=+-=-， 整理得216c =，即4c =. 故选：B. 点评：本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．10．已知定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(2)()f x f x +=-，且当01x <≤时，35()2log f x x x =-，则(47)f =（ ）A ．-1B ．-2C ．0D ．1答案：B根据()()f x f x -=-，(2)()f x f x +=-，可知该函数的周期为4，然后再结合周期性、奇偶性将所求的函数值转化为已知区间上的函数值求解． 解：因为()()f x f x -=-，(2)()f x f x +=-，(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以()f x 是周期为4的奇函数． 所以(47)(1)f f f =-=-（1）2=-． 故选：B ． 点评：本题考查函数的奇偶性、周期性等性质，以及学生运用转化思想解题的能力和运算能力．属于基础题．11．在三棱柱1111,ABC A B C AA -⊥面ABC ，23BAC π∠=，14AA =，23AB AC ==，则三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积为（ ）A ．32πB ．48πC ．64πD ．72π答案：C利用余弦定理可求得BC ，再根据正弦定理可求得ABC ∆外接圆半径r ；由三棱柱特点可知外接球半径22112R r AA ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求得R 后代入球的表面积公式即可得到结果. 解：23AB AC ==且23BAC π∠=22222cos 363BC AB AC AB AC π∴=+-⋅=6BC ∴=由正弦定理可得ABC ∆外接圆半径：62322sin 2sin 3BC r BAC π===∠ ∴三棱柱111ABC A B C -的外接球半径：221112442R r AA ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭ ∴外接球表面积：2464S R ππ==本题正确选项：C 点评：本题考查多面体外接球表面积的求解问题，关键是能够明确外接球球心的位置，从而利用底面三角形外接圆半径和三棱柱的高，通过勾股定理求得外接球半径. 12．已知双曲线E 的左、右焦点分别为12,F F ，左、右顶点分别为,M N ．点在E 的渐近线上，120PF PF ⋅=，3MPN π∠=，则E 的离心率为（ ）A ．153 B ．213C ．53D 13答案：B如图所示，不妨设P 是渐近线在第一象限上的点，根据3MN PN =，可得,a b 的关系，再代入离心率公式，即可得答案； 解：不妨设P 是渐近线在第一象限上的点，因为120PF PF ⋅=，所以12290,F PF PO OF c ︒∠===． 又P 在渐近线by x a=上，所以可得P 点的坐标是(),a b ，所以12PN F F ⊥． 在直角三角形PNM 中，3MPN π∠=，所以3MN =，即23,3b a b a ==． 所以22472111333b e a =+=+==． 故选：B ． 点评：本题考查双曲线离心率求解、渐近线的概念，考查转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.二、填空题13．已知()2,3AB =，()1,AC m =-，若AB BC ⊥，则实数m 的值为___________. 答案：5先根据向量的减法法则计算BC ，再根据向量垂直的坐标运算求解即可. 解：解：由题知()3,3BC AC AB m =-=--，又因为AB BC ⊥，所以()=6330AB BC m ⋅-+-=，解得：5m = 故答案为：5. 点评：本题考查向量的减法运算和向量垂直的坐标表示，是基础题.14．如图，网格纸上小正方形的边长为a ，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的表面积为32+，则a 的值为___________.答案：13由三视图，还原出原几何体，然后计算表面积． 解：由三视图知原几何体是直三棱柱，如图'''ABC A B C -，底面是等腰直角三角形，两个侧面是正方形，'3AB BC BB a ===，32AC a =， 表面积为2212(3)3322(3)322a a a a ⨯+⨯+⨯⨯=+，解得13a =． 故答案为：13，点评：本题考查三视图，考查由三视图求几何体的表面积，解题关键是由三视图还原出原几何体，属于基础题．15．《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为_____． 答案：15.5尺．利用等差数列的通项公式列出方程组，能求出冬至的日影子长． 解：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列{}n a ，冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，∴14711213937.511 4.5a a a a d a a d ++=+=⎧⎨=+=⎩，解得1d =-，115.5a =．∴冬至的日影子长为15.5尺．故答案为：15.5尺． 点评：本题考查等差数列的首项的求法、等差数列的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，属于基础题.．16．设(),()(()0)f x g x g x ≠分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()()()0f x g x f x g x ''-<，且(2)0f -=，则不等式()0()f xg x >的解集为__________. 答案：(,2)(0,2)-∞-⋃ 构造函数()()g()f x h x x =，由已知可得0x <时，()0h x '<，从而可得函数()g x 在(,0)-∞单调递减，又由已知可得函数()h x 为奇函数，故可得(2)h h -=-（2）0=，且在(0,)+∞单调递减，结合图象可求． 解：()f x 和()()()0g x g x ≠，分别是定义在R 上的奇函数和偶函数()()f x f x ∴-=- ()()g x g x -=，当0x <时，()()()()0f x g x f x g x '-'< 当0x <时，2()()()()()[]0()()f x f xg x f x g x g x g x '-''=<，令()()g()f x h x x =，则()h x 在(,0)-∞上单调递减 ()()()()()()f x f x h x h xg x g x --==-=-- ()h x ∴为奇函数，根据奇函数的性质可得函数()h x 在(0,)+∞单调递增， (2)f f -=-（2）()()0202h h h ==∴-=-，，（2）0=()h x 图象如图，由图可知，()()0()f x h xg x =>的范围为(,2)(0,2)-∞-⋃ 故答案为：(,2)(0,2)-∞-⋃点评：本题考查了利用导数判断函数的单调性，函数奇偶性的运用，构造函数()()g()f x h x x =，并根据已知求解出该函数的性质是解答本题的关键，体会转化思想、构造的方法及函数、方程、不等式的相互联系，属于综合题．三、解答题 17．已知向量()3sin ,cos a x x =，()cos ,cos b x x =，函数()21f x a b =⋅-.（1）求()f x 的最小正周期；（2）当ππ,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，若()1f x =，求x 的值.答案：（1）π；（2）3π（1）首先根据向量数量积的坐标表示函数()f x ，然后对函数进行降幂,化简为()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,求出周期;（2）由已知条件，先求26x π+的范围，然后求在范围内满足条件的值．解： 解：（1）()3sin ,cos a x x =，()cos ,cos b x x =，∴23sin cos cos a b x x x ⋅=+∴()21f x a b =⋅-223sin cos 2cos 1x x x =+-π3sin 2cos 22sin 26x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.即()π2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭∴()f x 的最小正周期是π. （2）由()1f x =，得π1sin 262x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∵ππ,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴ππ7π2,626x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴π5π266x +=，∴π3x =. 点评：本题考查数量积的坐标表示，考查了三角恒等变换，考查三角函数的周期和已知函数值求自变量问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算求解能力，属于基础题. 18．高新区某高中德育处为了调查学生对“一带一路”的关注情况,在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试,并从中随机抽取了12份问卷,得到其测试成绩(百分制)的茎叶图如下：（1）写出该样本的中位数,若该校共有3000名学生,试估计该校测试成绩在70分以上的人数；（2）从所抽取的70分以上的学生中再随机选取4人，记ξ表示测试成绩在80分以上的人数,求ξ的分布列和数学期望 答案：（1）200；（2）见解析分析：（1）根据茎叶图中的数据可得中位数，然后根据样本中70分以上的成绩所占的比例可得总体中70分以上的人数．（2）根据题意得到ξ的可能取值，分别求出对应的概率得到分布列，然后可得期望．详解：（1）由茎叶图可得中位数为76，样本中70分以上的所占比例为82123=， 故可估计该校测试成绩在70分以上的约为3000×23=2000人． （2由题意可得ξ的可能取值为0，1，2，3，4．()044448C C 10C 70P ξ===,()134448C C 1681C 7035P ξ====,()224448C C 36182C 7035P ξ====, ()()314044444488C C C C 168134C 7035C 70P P ξξ=======．.∴ξ的分别列为：∴()1818810123427035353570E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 点睛：本题考查茎叶图的应用以及用样本估计总体，同时考查分布列、期望的求法，主要考查学生应用所学知识解决实际问题的能力和计算能力，属中等题．19的等腰直角三角形ABC ，沿斜边上的高AD 翻折.如图乙，使二面角B AD C --的大小为3π，翻折后BC 的中点为M .（1）求证：BC ⊥平面ADM ； （2）求二面角D AB C --的余弦值. 答案：（1）证明见解析；（2）7. （1）证明DM BC ⊥，AM BC ⊥即可；（2）建立空间直角坐标系，分别算出平面ABD 和平面ABC 的法向量即可. 解：（1）折叠前AB AC =，AD 是斜边上的高， ∴D 是BC 的中点，∴BD CD =，又因为折叠后M 是BC 的中点， ∴DM BC ⊥，折叠后AB AC =， ∴AM BC ⊥，AMDM M =，∴BC ⊥平面ADM ；（2）建立如图空间直角坐标系，不妨设1AD =，易知二面角B AD C --的平面角是BDC ∠， 则1BD BC CD AD ====∴()0,0,1A ，31,,022B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,1,0C ，()0,0,0D ，设平面ABD 的一个法向量为()1,,n x y z =，得1100n AD n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0102z y =⎧+=，令1x =， 得()11,3,0n =-，设平面ABC 的一个法向量()2,,n x y z =，得2200n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即102x y z y z +-=⎪-=⎩，令1z =， 得23,1,13n ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭∴12121233c 2os,n n n n n n =⨯⋅==所以二面角D AB C --的余弦值是7点评：本题主要考查线面垂直的判定定理，二面角的向量求法，还考查了转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.20．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，且经过点A .（1）求C 的方程；（2）若不过坐标原点的直线l 与椭圆C 相交于点M ，N 两点，且满足OM ON OAλ+=，求MON △面积最大时直线l 的方程..答案：（1）2213x y +=；（2）13y x =-. （1）由离心率及点的坐标列出关于,,a b c 的方程组，解之可得椭圆方程；（2）由题意可知，直线MN 的斜率显然存在，设直线MN 的方程为()0y kx m m =+≠，()11,M x y ，()22,N x y ，直线方程代入椭圆方程整理为一元二次方程，>0∆得一不等关系，应用韦达定理得1212,x x x x +，并计算出12y y +，向量的坐标运算，条件OM ON OA λ+=用坐标表示后，可求得13k =-，代入判别式可求得m 的取值范围，然后求出MON △面积为m 的函数，用基本不等式求得最大值及m 值，得出直线方程．解：（1）由题意得2222233144c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2231a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆C 的方程为2213x y +=；（2）由题意可知，直线MN 的斜率显然存在，设直线MN 的方程为()0y kx m m =+≠，()11,M x y ，()22,N x y ，由2213x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222316330k x kmx m +++-=. ()()()222222364313312310k m k m k m ∆=-+-=+->①所以12221226313331km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，所以()121222231m y y k x x m k +=++=+， 因为OM ON OA λ+=，所以12212263122312km x x k m y y k λ⎧+=-=⎪⎪+⎨⎪+==⎪+⎩，所以13k =-，代入①得m <<且0m ≠， 所以121122MON S m x x m =-=△12==223432m m +-=≤=当且仅当22343m m =-，即3m =±时上式取等号，此时符合题意， 所以直线MN的方程为13y x =-. 点评：本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题，解题方法是设而不求的思想方法，应用韦达定理求解是关键． 21．已知函数()3()x f x e ax a R =--∈（1）若函数f (x )在(1，f (1))处的切线与直线x -y =0平行，求实数a 的值；（2）当a =2，k 为整数，且当x >1时，()()210,x k f x x '-++>求k 的最大值.答案：（1）a=e-1 （2）2（1）先求导，再由(1)1f e a '=-=即可得解；（2）当2a =，且当1x >时，()()2210xx k e x --++>等价于当1x >时，min212x x k x e +⎛⎫<+ ⎪-⎝⎭，再构造函数21(),(1)2xx g x x x e +=+>-，利用导数求解即可. 解：解：（1）由()3x f x e ax =--，则'()xf x e a =-，又函数f (x )在(1，f (1))处的切线与直线x -y =0平行， 则(1)1f e a '=-=， 所以1a e =-；（2）当2a =，且当1x >时，()()2210xx k e x --++>等价于 当1x >时，min212x x k x e +⎛⎫<+⎪-⎝⎭ 令21(),(1)2xx g x x x e +=+>-，则()()223(),(1)2x x xe e x g x x e'--=>-，再令()23(1)xh x e x x =-->，则()20xh x e -'=>， 所以，()h x 在(1,)+∞上单调递增，且(1)0,(2)0h h <>，所以，()h x 在(1，2)上有唯一的零点，设该零点为0x ，则0(1,2)x ∈，且0023x ex =+，当()01,x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>， 所以，()g x 在()01,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增， 所以，()00min 00021()12x x g x g x x x e +==+=+-， 而0(1,2)x ∈，故01(2,3)x +∈且()0k g x <， 又k 为整数， 所以k 的最大值为2. 点评：本题考查了导数的几何意义，重点考查了导数的综合应用，属中档题.22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为32x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），在极坐标系中，圆C的方程为ρθ=. （1）求圆C 的普通方程；（2）设圆C 与直线l 交于A 、B 两点，若点P的坐标为(，求PA PB +. 答案：（1）(225x y +=；（2）（1）在圆C 的极坐标方程两边同时乘以ρ，利用222sin x y yρρθ⎧=+⎨=⎩可将圆C 的极坐标方程转换为普通方程；（2）将直线l 的参数方程代入圆C 的普通方程，可得出关于t 的二次方程，利用列出韦达定理，结合直线参数方程的几何意义可求得PA PB +的值. 解：（1）由ρθ=得22ρθ=，由222sin x y yρρθ⎧=+⎨=⎩可得220x y +-=，因此，圆C的普通方程为(225x y +-=；（2）将l 的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得223522⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即240t -+=，由于(24420∆=-⨯=>，故可设1t ，2t是上述方程的两实根，所以12124t t t t ⎧+=⎪⎨=⎪⎩又直线l过点(P ，故由上式及t的几何意义得：1212t t t PA P t B =+=+=+点评：本题考查曲线的极坐标方程与普通方程之间的相互转化，同时也考查了利用直线参数方程的几何意义解决实际问题，考查计算能力，属于中等题. 23．已知函数()21,f x x m x m R =-+-∈ （1）当1m =时，解不等式()2f x ；（2）若不等式()3f x x <-对任意[0,1]x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.答案：（1）403x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；（2）02m <<. （1）分类讨论去绝对值后分区间解不等式，再求并集；（2）转化为||3|21|x m x x -<---对任意的[0x ∈，1]恒成立，后再构造函数，利用函数的单调性列不等式可得结果． 解：（1）当1m =时，()|1||21|f x x x =-+-，所以123,21(),1232,1x x f x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=⎨⎪->⎪⎪⎩， ∴23212x x -<⎧⎪⎨<⎪⎩或2112x x <⎧⎪⎨⎪⎩或3221x x -<⎧⎨>⎩， 解得403x <<所以不等式()2f x 的解集为4{|0}3x x <<（2）由题意()3f x x <-对任意的[0x ∈，1]恒成立， 即||3|21|x m x x -<---对任意的[0x ∈，1]恒成立，令12,02()321143,12x x g x x x x x ⎧+<⎪⎪=---=⎨⎪-⎪⎩，()g x 在10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递增，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减，||y x m =-在(],m -∞上递减，在[),m +∞上递增，要使||3|21|x m x x -<---对任意的[0x ∈，1]恒成立，只需0021431m m ⎧-<+⎪⎨-<-⨯⎪⎩可得02m << 点评：绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．24．已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，首项11a =，且124,,a a a 成等比数列． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 满足2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T答案：（1）n a n =；（2）()11222n n n +++- （1）根据条件“124,,a a a 成等比数列”列关于公差的方程，解得结果，（2）根据分组求和法，将原数列的和分为等差与等比数列的和. 解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由已知得，a ＝a 1a 4， 即(1＋d)2＝1＋3d ，解得d ＝0或d ＝1. 又d≠0，∴d＝1，可得a n ＝n. (2)由(1)得b n ＝n ＋2n ，∴T n ＝(1＋21)＋(2＋22)＋(3＋23)＋…＋(n ＋2n ) ＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(2＋22＋23＋…＋2n )＝()12n n +＋2n ＋1－2.点评：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和. 分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如,2,n n n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数 ），符号型（如2(1)n n a n =- ），周期型 （如πsin3n n a = ）。
2021年高三数学第一次联考文试题(含解析)新人教A版
2021年高三数学第一次联考文试题（含解析）新人教A版【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养运算能力的考查.知识考查注重基础、突出主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、复数、向量、三视图、导数、简单的线性规划、直线与圆、圆锥曲线、立体几何、数列、、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、概率等；考查学生分析问题解决问题的综合能力，是份较好的试卷.第Ⅰ卷客观卷共60分一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号）【题文】1. 已知集合，，则A. [1,2]B. [0,2]C. [-1,1]D. (0,2)【知识点】集合运算A1【答案解析】B由题意得M= N= [0,2]故选B【思路点拨】先算出两个集合再求交集。
【题文】2. 若为虚数单位，则A. B. C. D.【知识点】复数的基本概念与运算L4【答案解析】A -i-=-i-i=-2i 故选A【思路点拨】先化简分式子分子分母同时乘以1-i 得到结果【题文】3. 集合，从集合中各任意取一个数，则这两个数的和等于的概率是A. 23B. 12C. 13D. 16【知识点】古典概型 K2【答案解析】C 从A ，B 中各取任意一个数共有2×3=6种分法，而两数之和为4的有：（2，2），（3，1）两种方法，故所求的概率为：故选C【思路点拨】由分步计数原理可得总的方法种数为2×3=6，由列举法可得符合条件的有2种，由古典概型的概率公式可得答案．【题文】4. 已知双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为A.y=±2xB. y=±2xC. y=±22xD. y=±12x 【知识点】双曲线及其几何性质 H6【答案解析】C ∵e ＝＝ 故可设a ＝2k ，c ＝，则得b ＝，∴渐近线方程为 y ＝±x＝±x，故选C ．【思路点拨】由离心率的值，可设a ＝2k ，c ＝,则得b ＝，可得的值，进而得到渐近线方程．【题文】5. 已知等差数列的前项之和为，则A. 6B. 9C. 12D. 18【知识点】等差数列的钱n 项和D2【答案解析】B 根据等差数列的求和公式可得：s13=13a1+ d=39，化简得：a1+6d=3，所以a6+a7+a8=a1+5d+a1+6d+a1+7d=3a1+18d=3（a1+6d ）=3×3=9．故选B【思路点拨】根据等差数列的前n 项和的公式列得s13=39，化简得到一个关系式，然后利用等差数列的通项公式表示出所求的式子，整体代入可得值。
2021年高三数学上学期第一次联考试卷 文
2021年高三数学上学期第一次联考试卷文本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分为150分，考试用时为120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知全集，集合，，则等于（）A. B. C. D.2、已知为虚数单位，复数的模（）A. 1B. C． D.33、在等差数列中，已知，则（）A. 7B. 8C. 9D. 104、设是两个非零向量，则“”是“夹角为锐角”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5、在“魅力咸阳中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A.5和1.6B.85和1.6C. 85和0.4D. 5和0.46、如果直线与平面满足：那么必有（）A. B. C. D.7、如图所示，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等腰梯形，等腰直角三角形和长方形，则该几何体体积为（）A． B． C． D．8、定义运算“”为：两个实数的“”运算原理如图所示，若输人，则输出（）A.－2 B．0 C、2 D.49、在长为12 厘米的线段上任取一点，现作一矩形,邻边长分别等241 正视俯视侧视NM CABO于线段的长,则该矩形面积大于20平方厘米的概率为（ ） A. B. C. D. 10、如图，是函数图像上一点，曲线 在点处的切线交轴于点，轴，垂足为若的面积为，则 与满足关系式（ ） A. B. C. D.第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，其中14～15题是选做题，考生只需选做其中一题，两题全答的，只以第14小题计分． 11．函数，则＿＿＿12. 若目标函数在约束条件下仅在点处取得最小值，则实数的取值范围是 . 13. 已知，，且，则 ．14.（坐标系与参数方程）在极坐标系中圆的圆心到直线的距离是 15．（几何证明选讲）如图，点B 在⊙O 上， M 为直径AC 上一点，BM 的 延长线交⊙O 于N ， ，若⊙O 的半径为，OA=OM ， 则MN 的长为三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分12分）已知向量，，设函数. （Ⅰ）求函数单调增区间；（Ⅱ）若，求函数的最值，并指出取得最值时的取值.17、（本题满分12分）某小区在一次对20岁以上居民节能意识的问卷调查中，随机抽取了100份问卷进行统计，得到相关的数据如下表：节能意识弱节能意识强总计 20至50岁 45 9 54 大于50岁 10 36 46 总计5545100（1）由表中数据直观分析，节能意识强弱是否与人的年龄有关？（2）若全小区节能意识强的人共有350人，则估计这350人中，年龄大于50岁的有多少人？ （3）按年龄分层抽样，从节能意识强的居民中抽5人，再是这5人中任取2人，求恰有1人年龄在20至50岁的概率。
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云南、四川、贵州、西藏四省名校2021届高三数学第一次大联考试题文本试卷共4页，23题(含选考题)。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第I卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A＝{x∈N|x2－x－2<0}，集合B＝{x|x>0}，则A∩B＝A.1B.[1，2)C.{1}D.(－1，＋∞)2.已知复数z满足z(1－i)＝2i，则复数z在复平面内对应的点所在象限为A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知a＝log52，b＝ln2，c＝log523，则A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a4.曲线f(x)＝xex在点(2，f(2))处的切线方程为A.y＝24ex＋22eB.y＝24ex C.y＝－24ex＋22eD.y＝－24ex5.祖冲之是中国南北朝时期著名的数学家以及天文学家，其最伟大的贡献是将圆周率精确到小数点之后的七位，比欧洲早了近千年。
为探究圆周率的计算，数学兴趣小组采用以下模型，在正三角形中随机撒一把豆子，用随机模拟的方法估算圆周率π的值。
正三角形的边长为4，若总豆子数n＝1000，其中落在圆内的豆子数m＝618，则估算圆周率π的值是(为方便计算3取1.70，π的值精确到0.01)A.3.13B.3.14C.3.15D.3.166.已知圆C过点A(0，2)且与直线y＝－2相切，则圆心C的轨迹方程为A.x2＝4yB.x2＝8yC.x2＝－4yD.x2＝－8y7.已知α为锐角，且满足sinα－cosα＝33，则cos2α的值为A.±53B.53C.－2D.－538.已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝23π，b＝2，且△ABC的面积为3，则a的值为A.12B.8C.22D.239.在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点M在边CD上运动，则MA MB⋅的最小值为A.－1B.0C.1D.310.一个多面体的三视图如图所示，其正视图、侧视图都是全等的等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则其表面积为A.8＋2B.12C.16＋2D.12＋211.已知圆C：x2＋y2－2x－3＝0，直线l：y＝kx＋1与圆C交于A，B两点，当弦长AB最短时k的值为－1 D.12.已知函数f(x)＝sinxcos2x ，关于函数y ＝f(x)有下列命题：①f(3π)＝ ②f(x)的图象关于点(2π，0)对称； ③f(x)是周期为π的奇函数； ④f(x)的图象关于直线x ＝2π对称。
其中正确的是A.①④B.②③C.①③D.②④第II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。
第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22～23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
13.若x ，y 满足约束条件x y 202x y 20y 0+-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，则z ＝x －2y 的最大值为 。
14.2020年新冠肺炎疫情期间，为停课不停上教课学习效果，组织了一次网上测试。
并利用分层抽样的方法从高中3个年级的学生中随机抽取了150人的测试成绩，其中高一、高二年级各抽取了40人，50人，若高三年级有学生1200人，则该高中共有学生 人。
15.设双曲线C ：22221x y a b-=(a>0，b>0)的右焦点为F ，过F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，且|OA|＝2|AF|，O 为坐标原点，则C 的离心率为 。
16.在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝2，顶角为120°，以底边BC 所在直线为轴旋转围成的封闭几何体内装有一球，则球的最大体积为 。
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)已知数列{a n }为等差数列，且a 1＝2，a 2是a 1，a 4的等比中项。
(1)求数列{a n }的通项公式；(2)当数列{a n }的公差d>0时，求数列n 1(1)n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和T n 。
18.(本小题满分12分)西尼罗河病毒(WNV)是一种脑炎病毒，通常是由鸟类携带，经蚊子传播给人类。
1999年8－10月，美国纽约首次爆发了WNV脑炎流行。
在治疗上目前尚未有什么特效药可用，感染者需要采取输液及呼吸系统支持性疗法，有研究表明，大剂量的利巴韦林含片可抑制WNV的复制，抑制其对细胞的致病作用。
现某药企加大了利巴韦林含片的生产，为了使生产效率提高，该药企负责人收集了5组实验数据，得到利巴韦林的投入量x(千克)和利巴韦林含片产量y(百盒)的统计数据如下：由相关系数r可以反映两个变量相关性的强弱，|r|∈[0.75，1]，认为两个变量相关性很强；|r|∈[0.3，0.75)，认为两个变量相关性一般；|r|∈[0，0.3)，认为两个变量相关性较弱。
(1)计算相关系数r，并判断变量x、y相关性强弱；(2)根据上表中的数据，建立y关于x的线性回归方程y bx a=+。
为了使某组利巴韦林含片产量达到150百盒，估计该组应投入多少利巴韦林?参考数据：660≈25.69。
参考公式：相关系数r＝12211()()()()ni iin ni ii ix x y yx x y y===----∑∑∑，线性回归方程y bx a=+中，121()()ˆˆˆ,()ni iiniix x y yb a y bxx x==--==--∑∑。
19.(本小题满分12分)如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB＝12AA1＝1，E是棱AA1的中点，EC＝3。
(1)求证：平面EDD1⊥平面EDC；(2)求三棱锥D 1－DEC 的体积。
20.(本小题满分12分)已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 是C 的上顶点，且直线PF 2(1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 2作两条互相垂直的直线l 1，l 2。
若l 1与C 交于A ，B 两点，l 2与C 交于D ，E 两点，求|AB|＋|DE|的最大值。
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－32x 3＋ax 2。
(1)讨论函数f(x)的单调性； (2)设a ＝1，当x ≥12时，f(x)>x(k －e x )，求实数k 的取值范围。
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程。
在直角坐标系xOy 中，曲线D 的参数方程为2x t y t =⎧⎨=-⎩(t 为参数，t ∈R)。
点A(－1，0)，点B(1，0)，曲线E 上的任一点P 满足13PA PB =。
以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。
(1)求曲线D 的普通方程和曲线E 的极坐标方程；(2)求点P 到曲线D 的距离的最大值。
23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝|3x －1|＋|3x ＋a|，g(x)＝x ·f(x)，h(x)＝x 2－5x －3。
(1)若f(x)≥3恒成立，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a(其中a>－1)，使得∀x ∈[－3a ，13]，都有不等式g(x)≥h(x)恒成立?若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由。