数值分析上机作业1-1.(优选)

if(Nd <1)errordlg('结点输入错误！');return;end
switchNb_f
case'f'
f=inline('1./(1+25*x.^2)'); a = -1;b = 1;
case'h'
f=inline('x./(1+x.^4)'); a = -5; b = 5;
case'g'
if((Numb>20)|(Numb<0))errordlg('请输入正确的扰动项:[0 20]之间的整数!');return;end
result=inputdlg({'请输入(0 1)之间的扰动常数:'},'charpt 1_1',1,{'0.00001'});
ess=str2num(char(result));
2.71
3.03
3.27
2.89
3.06
3.19
3.29
0.8
0.2
实验步骤：
（1）程序：
functiont_charpt2
promps = {'请选择实验函数，若选f(x),请输入f,若选h(x),请输入h,若选g(x),请输入g:'};
titles ='charpt_2';
result = inputdlg(promps,'charpt 2',1,{'f'});
分析两个函数的插值图形，可以看出：
随着n的增大，拉格朗日插值函数在x=0附近较好地逼近了原来的函数f(x)，但是却在两端x= -5和x=5处出现了很大的振荡现象。通过图形可以看出，当n为偶数时，虽然有振荡，但振荡的幅度不算太大，n为奇数时，其振荡幅度变得很大。原因和上面f(x)的插值类似，h(x)、g(x)本身是奇函数，如果n为偶数，那么Lagrange插值函数Ln(x)的最高次项xn-1是奇次幂，比较符合h(x)、g(x)本身是奇函数的性质；如果n为奇数，那么Lagrange插值函数Ln(x)的最高次项xn-1是偶次幂，与h(x)、g(x)本身是奇函数的性质相反，因此振荡可能更剧烈。
数值计算方法上机题目1
1、实验1.病态问题
实验目的：
算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”和“坏”之别。所谓坏问题就是问题本身的解对数据变化的比较敏感，反之属于好问题。希望读者通过本实验对此有一个初步的体会。
数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。
f=inline('atan(x)'); a = -5; b= 5;
end
x0 = linspace(a, b, Nd+1); y0 = feval(f, x0);
x = a:0.1:b;
cs = spline(x0, y0); y = ppval(cs, x);
result = inputdlg({'请输入插值结点数N:'},'charpt_2',1,{'10'});
Nd = str2num(cherrordlg('结点输入错误！');return;end
switchNb_f
case'f'
f=inline('1./(1+25*x.^2)'); a = -1;b = 1;
fplot(f, [a b],'co');
holdon;
plot(x, y,'b--');
xlabel('x'); ylabel('y = f(x) o and y = Ln(x)--');
增大分点n=2，3，…时，拉格朗日插值函数曲线如图所示。
n=3 n=6
n=7n=8
从图中可以看出，随着n的增大，拉格朗日插值函数在x=0附近较好地逼近了原来的函数f(x)，但是却在两端x= -1和x=1处出现了很大的振荡现象。通过分析图形，可以看出，当n为奇数时，虽然有振荡，但振荡的幅度不算太大，n为偶数时，其振荡幅度变得很大。
7.00247+0i 5.99995+0i 5+0i 4+0i 3+0i 2+0i 1+0i
对扰动项19加扰动1e-010得到的全部根为:
19.9953+0i 19.0323+0i 17.8696+0i 17.2186+0i 15.4988+0.0211828i 15.4988-0.0211828i 13.7707+0i 13.1598+0i 11.9343+0i 11.029+0i 9.99073+0i 9.00247+0i 7.99952+0i 7.00007+0i 5.99999+0i 5+0i 4+0i 3+0i 2+0i 1+0i
case'h'
f=inline('x./(1+x.^4)'); a = -5; b = 5;
case'g'
f=inline('atan(x)'); a = -5; b= 5;
end
x0 = linspace(a, b, Nd+1); y0 = feval(f, x0);
x = a:0.1:b; y = Lagrange(x0, y0, x);
if(j ~= k)
p = p*(z - x0(j))/(x0(k) - x0(j));
end
end
s = s + p*y0(k);
end
y(i) = s;
end
functiont_charpt2
promps = {'请选择实验函数，若选f(x),请输入f,若选h(x),请输入h,若选g(x),请输入g:'};
3、实验3。样条插值的收敛性
问题提出：
一般的多项式插值不能保证收敛性，即插值的节点多，效果不一定就好。对样条函数插值又如何呢？理论上证明样条插值的收敛性是比较困难的，也超出了本课程的内容。通过本实验可以验证这一理论结果。
实验内容：
请按一定的规则分别选择等距或者非等距的插值节点，并不断增加插值节点的个数。考虑实验2.中的函数或选择其它你有兴趣的函数，可以用Matab的函数“spline”作此函数的三次样条插值。在较新版本的Matlab中，还提供有spline工具箱，你可以找到极丰富的样条工具，包括B-样条。
ess分别为1e-6,1e-8.1e-10,1e-12的图像如下：
从实验的图形中可以看出，当ess充分小时，方程E.1.1和方程E.1.2的解相差很小，当ess逐渐增大时，方程的解就出现了病态解，这些解都呈现复共轭性质。
（2）将扰动项加到x18上后，ess=1e-009时方程的解都比较准确，没有出现复共轭现象。ess=1e-008时误差与x19(ess=1e-009)时相当，即扰动加到x18上比加到x19小一个数量级。对x8的扰动ess=1000时没有出现复共轭，误差很小；对x的扰动ess=10e10时没有出现复共轭，误差很小。因此，扰动作用到xn上时，n越小，扰动引起的误差越小。
问题提出：
考虑一个高次的代数多项式
（E1-1）
显然该多项式的全部根为l，2，…，20，共计20个，且每个根都是单重的（也称为简单的）。现考虑该多项式方程的一个扰动
(E1-2)
其中 是一个非常小的数。这相当于是对（E1-1）中 的系数作一个小的扰动。我们希望比较（E1-1）和（E1-2）根的差别，从而分析方程（E1-1）的解对扰动的敏感性。
以 为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式，比较其结果。
实验步骤：
（1）试验程序：
functiony=Lagrange(x0, y0, x);
% Lagrange插值
n= length(x0); m=length(x);
fori=1:m
z=x(i);
s=0.0;
fork=1:n
p=1.0;
forj=1:n
ve=zeros(1,21);
ve(21-Numb)=ess;
root=roots(poly(1:20)+ve);
x0=real(root); y0=imag(root);
plot(x0',y0','*');
disp(['对扰动项 ',num2str(Numb),'加扰动',num2str(ess),'得到的全部根为:']);
考虑区间 的一个等距划分，分点为
则拉格朗日插值多项式为
其中的 ， 是n次拉格朗日插值基函数。
实验要求：
（l）选择不断增大的分点数目 ，画出原函数 及插值多项式函数 在 上的图像，比较并分析实验结果。
（2）选择其他的函数，例如定义在区间[-5，5]上的函数
重复上述的实验看其结果如何。
（3）区间 上切比雪夫点的定义为
2、实验2。多项式插值的振荡现象，即插值的龙格（Runge）现象
问题提出：
考虑在一个固定的区间上用插值逼近一个函数。显然，拉格朗日插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高、自然关心插值多项式的次数增加时， 是否也更加靠近被逼近的函数。龙格给出的一个例子是极著名并富有启发性的。设区间 上函数
实验内容：