(完整版)2.3.3直线与平面垂直的性质定理
高中 直线、平面垂直的判定与性质 知识点+例题+练习
教学过程在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.规律方法证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)、直角梯形等等.【训练1】(2013·江西卷改编)教学效果分析教学过程如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.证明：BE⊥平面BB1C1C.考点二平面与平面垂直的判定与性质【例2】(2014·深圳一模)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝AA1，且AC＝2BC，点D是AB的中点．证明：平面ABC1⊥平面B1CD.规律方法证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也教学效果分析教学过程可简单地记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键．【训练2】如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M.考点三平行、垂直关系的综合问题教学效果分析教学过程【例3】(2013·山东卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥P A，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．(1)求证：CE∥平面P AD；(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.规律方法线面关系与面面关系的证明离不开判定定理和性质定理，而形成结论的“证据链”依然是通过挖掘题目已知条件来实现的，如图形固有的位置关系、中点形成的三角形的中位线等，都为论证提供了丰富的素材．【训练3】(2013·辽宁卷)如图，AB是圆O的直径，P A垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．(1)求证：BC⊥平面P AC；(2)设Q为P A的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.教学效果分析1．转化思想：垂直关系的转化2．在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．创新突破6——求解立体几何中的探索性问题【典例】(2012·北京卷)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．[反思感悟] (1)解决探索性问题一般先假设其存在，把这个假设作已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算，在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在，如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在．(2)在处理空间折叠问题中，要注意平面图形与空间图形在折叠前后的相互位置关系与长度关系等，关键是点、线、面位置关系的转化与平面几何知识的应用，注意平面几何与立体几何中相关知识点的异同，盲目套用容易导致错误．【自主体验】(2014·韶关模拟)如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AD＝CD＝12AB＝2，点E为AC中点，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图2.(1)求证：DA⊥BC；(2)在CD上找一点F，使AD∥平面EFB.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b 在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的________条件．2．(2014·绍兴调研)设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列正确命题的序号是________．①若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α；②若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥α；③若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α；④若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β.3.如图，AB是圆O的直径，P A垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任一点，则图形中有________对线面垂直．4．若M是线段AB的中点，A，B到平面α的距离分别是4 cm，6 cm，则M到平面α的距离为________．5．(2014·郑州模拟)已知平面α，β，γ和直线l，m，且l⊥m，α⊥γ，α∩γ＝m，β∩γ＝l，给出下列四个结论：①β⊥γ；②l⊥α；③m⊥β；④α⊥β.其中正确的是________．6.如图，在四棱锥P ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)7．设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用代号表示)．8.如图，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．二、解答题9．(2013·北京卷)如图，在四棱锥P ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.10．(2013·泉州模拟)如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．(1)求证：B1D1∥平面A1BD；(2)求证：MD⊥AC；(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1.如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在直线______上．2.如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为________．①AC⊥BD；②AC∥截面PQMN；③AC＝BD；④异面直线PM与BD所成的角为45°.3．(2013·南通二模)如图，已知六棱锥P ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面P AE；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．二、解答题4．(2014·北京西城一模)。
§2.3.3直线与平面垂直的性质
B
β
A
D
E
结论
平面与平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直 线与另一个平面垂直。
α C
D A B
β
l b b bl
概念巩固
判断下列命题的真假 1.若α ⊥β ，那么α 内的所有直线都垂直于β 。 × 2.两平面互相垂直，分别在这两平面内的两直 线互相垂直。 × 3.两平面互相垂直，分别在两平面内且互相垂直的 两直线一定分别与另一个平面垂直。×
直线与平面垂直的性质
平面与平面垂直的性质
复习引入
直线与平面 垂直的判定 推论
定义法 如果一条直 线垂直于一个 平面内的任何 一条直线，那 么此直线垂直 于这个平面。
如果一条 直线垂直于一 个平面，那么 它的平行线也 会垂直于这个 平面。
a //b, a b
已知a ，b ，求证a //b.
图形语言：
a
b
α
符号语言：
a ，b a // b
例1.如图，在正方体 ABCD---A1B1C1D1中，M 是AB上一点，N是A1C的 中点，MN 面A1DC. 求证（1）MN // AD1 (2)M是AB的中点
D1 B1
C1
A1
N
o
D C
AMຫໍສະໝຸດ B已知：平面 ⊥平面β ，平面 ∩平面β =AB， CD 平面 ，CD ⊥ AB, 且CD ∩ AB =D。 求证：直线CD⊥平面β 。
在平面 中：l a，l c a //c 又a ，c a //，同理b // 又a b=A //
a
B
c
证明： (反证法) 假设a与b不平行 b ， 设求b =O过点O作b//a a ， b
直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质
D、a 或a //
应用举例
例1：在正方体ABCD A1B1C1D1中，M是AB上
一点，N是A1C上的一点，MN 平面A1DC
求证：MN // AD1
分证析明：：要证A1 AMDND//1是AD正1 , 方 只需形证明
ADA1D1 平面A1AD1DC.只需证 明CADD1垂直平于面平A1面ADA1DD1C内 的两AD条1 相C交D直线即可。
简记： 线面垂直
线线平行
作用：证明空间直线的平行。
课堂练习（一）：
判断下列命题是否正确： (1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行。（ ）
(2)垂直于同一个平面的两条直线互相平行。（ ）
(3)平行于同一个平面的两条直线互相平行。（ ）
课堂练习（二）：
（D ）
A、a //
B、a
已则C知a、与直a线的a位,b置和关平系面是，且a b,b ,
线线垂直判定 定定 义理线面垂直性性 质质 判定定理 定理线线平行．
新知探究二：平面与平面垂直的性质
如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，
平面AC 平面D1C
平面AC 平面D1C DC D1
C1
D1D 平面D1C
A1
B1
D1D CD D1D 平面AC
D A
C B
平面与平面垂直的性质定理
直则于平A面BE，是须二证面 明直角
E
线 相 件垂 交 已- C直 直 有D于 线 一平 ， 条面而，的内题故平两中可面条条过角
D
B
A
该直AB线作B辅E助线.
C
AB CD
CD , BE , BE CD B
AB
§2.3.3直线与平面垂直的性质
复习引入
判定定理 如果一条直 线垂直于一个 平面内的两条 平面内的两条 相交直线 直线， 相交直线，那 么此直线垂直 于这个平面。 于这个平面。 直线与平面 垂直的判定 推论 如果一条 直线垂直于一 个平面， 个平面，那么 它的平行线 平行线也 它的平行线也 会垂直于这个 平面。 平面。
a ⊥ α，b ⊥ α ⇒ a // b
是否成立？ 是否成立？
β
b’ a b
α
O
问题.已知a ⊥ α，b ⊥ α，求证a//b.
证明： (反证法) 假设a与b不平行Qb ⊥α， 设求b Iα=O过点O作b′//α Qa ⊥α， b′ ⊥α ∴ α 则过一点 有两 O 条直线b与 ′ ⊥α b 这与过一点有且 只有一条直线 与已知平 面垂直矛盾 可见假设 不成立 ∴a//b
练习： 练习：P79 第1、、直线和平面垂直的性质定理： 、直线和平面垂直的性质定理： 如果两条直线同垂直于一个平面， 如果两条直线同垂直于一个平面，那么 这两条直线平行. 这两条直线平行
β
图形语言： 图形语言：
a
b
α 符号语言： 符号语言： a ⊥ α，b ⊥ α ⇒ a // b
例 1.已 l ⊥α， ⊥ β， 证 //β. 知 l 求 a 证明：设l Iα=A l I β =B ， 在α内过点A取两条直线a和b l Ql Iα=A ∴l与 确 一 平 γ a 定 个 面 QB∈l ⊂ γ 且B∈β b A ∴β与 相交 γ ，设β Iγ =c α =c
定义法 如果一条直 线垂直于一个 平面内的任何 平面内的任何 一条直线 直线， 一条直线，那 么此直线垂直 于这个平面。 于这个平面。
1、线面垂直的概念 、
2.3直线、平面垂直的判定及其性质(新课知识讲解)
从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形叫做二面角
思考:下列两个二面角在摆放上有什 么不同？
β l l
α
α
β
思考:一个二面角是由一条直线和两 个半平面组成，其中直线l叫做二面 角的棱，两个半平面α 、β 都叫做 二面角的面，二面角通常记作“二 面角α -l-β ”.那么两个相交平面共 组成几个二面角？
β
面
棱
l
α
二面角的 画法与记法 2、二面角的记法： 面1－棱－面2 （1）、以直线l 为棱，以 a , 为半平面的二面角记为：
a l
a, （2）、以直线AB 为棱，以 为半平面的二面角记为：
a AB
a
l
A
B
a
二面角的 平面角的定义、范围及作法 1、二面角的平面角： 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面上分别引 垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的 平面角。 ? AOB AOB== a 注:（1）二面角的平面角与点的位置 等角定理：如果一个角的两边和另 无关，只与二面角的张角大小有关。 A 一个角的两边分别平行，并且方向相 O （2）二面角是用它的平面角来度 同，那么这两个角相等。） B l 量的，一个二面角的平面角多大，就 说这个二面角是多少度的二面角。 B O （3）平面角是直角的二面角叫做 A 直二面角。 （4）二面角的取值范围一般规定 为（0,π）。 观看动画演示
4.总结反思—提高认识
（1）通过本节课的学习，你学会了
哪些判断直线与平面垂直的方法？
（2）在证明直线与平面垂直时应注
意哪些问题？
（3）本节课你还有哪些问题？
直线与平面垂直的判定方法 1. 定义：如果一条直线垂于一个平面内的任何一条 直线，则此直线垂直于这个平面. 2.判定定理:如果一条直线垂直于一个平面内的两条 相交直线，那么此直线垂直于这个平面。 3. 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那 么另一条也垂直于同一个平面。
2.3.3_直线与平面垂直的性质1
【总53】2.3.3 直线与平面垂直的性质三维目标1.探究直线与平面垂直的性质定理，培养学生的空间想象能力、实事求是等严肃的科学态度和品质.2.掌握直线与平面垂直的性质定理的应用提高逻辑推理的能力. 重点难点直线与平面垂直的性质定理及其应用. 教学过程 一、复习直线与平面垂直的定义：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.直线和平面垂直的画法及表示如下：图1如图1，表示方法为：a ⊥α. 由直线与平面垂直的定义不难得出：⎭⎬⎫⊥⊂ααb a ⇒b ⊥a. 二、导入新课如图2，长方体ABCD —A′B′C′D′中，棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直所在的平面ABCD ，它们之间具有什么位置关系？图2三、新课探究 1、提出问题①回忆空间两直线平行的定义.②判断同垂直于一条直线的两条直线的位置关系？③找出恰当空间模型探究同垂直于一个平面的两条直线的位置关系. ④用三种语言描述直线与平面垂直的性质定理.⑤如何理解直线与平面垂直的性质定理的地位与作用？2、讨论结果：①如果两条直线没有公共点，我们说这两条直线平行.它的定义是以否定形式给出的，其证明方法多用反证法.②如图3，同垂直于一条直线的两条直线的位置关系可能是：相交、平行、异面.图3③如图4，长方体ABCD —A′B′C′D′中，棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直于所在的平面ABCD ，它们之间具有什么位置关系？图4 图5棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直所在的平面ABCD ，它们之间互相平行. ④直线和平面垂直的性质定理用文字语言表示为：垂直于同一个平面的两条直线平行，也可简记为线面垂直、线线平行. 直线和平面垂直的性质定理用符号语言表示为：⎭⎬⎫⊥⊥ααb a ⇒b ∥a. 直线和平面垂直的性质定理用图形语言表示为：如图5.⑤直线与平面垂直的性质定理不仅揭示了线面之间的关系，而且揭示了平行与垂直之间的内在联系. 四、应用示例例1 证明垂直于同一个平面的两条直线平行. 解:已知a ⊥α,b ⊥α. 求证：a ∥b.图6证明：（反证法）如图6，假定a 与b 不平行，且b∩α=O,作直线b′，使O ∈b′,a ∥b′. 直线b′与直线b 确定平面β，设α∩β=c,则O ∈c. ∵a ⊥α,b ⊥α,∴a ⊥c,b ⊥c.∵b′∥a,∴b′⊥c.又∵O ∈b,O ∈b′,b ⊂β,b′⊂β, a ∥b′显然不可能，因此b ∥a.例2 如图7，已知α∩β=l,EA ⊥α于点A,EB ⊥β于点B,a ⊂α,a ⊥AB. 求证:a ∥l.图7证明：⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫=⋂⊥⊥EB l EA l l EB EA βαβα,⇒l ⊥平面EAB.又∵a ⊂α,EA ⊥α,∴a ⊥EA.又∵a ⊥AB,∴a ⊥平面EAB.∴a ∥l.例3 如图9，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点. （1）求证：MN ⊥CD ； （2）若∠PDA=45°，求证:MN ⊥面PCD.图9证明：(1)取PD 中点E,又N 为PC 中点,连接NE,则NE ∥CD,NE=21CD. 又∵AM ∥CD,AM=21CD, ∴AMNE.∴四边形AMNE 为平行四边形. ∴MN ∥AE.∵⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥ADP AE ADP CD AD CD PA CD ABCD CD ABCD PA 平面平面平面平面⇒CD ⊥AE.(2)当∠PDA=45°时,Rt △PAD 为等腰直角三角形, 则AE ⊥PD.又MN ∥AE, ∴MN ⊥PD,PD∩CD=D. ∴MN ⊥平面PCD. 五、达标检测1、P 是△ABC 所在平面α外一点，且P 到△ABC 三边．．的距离相等，PO⊥α于O ，O 在△ABC 内，则O 是△ABC 的（ ）A 、外心B 、内心C 、重心D 、垂心2、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中与AD 1垂直的平面是 （ ） A 、平面DD 1C 1C B 、平面A 1DB 1 C 、平面A 1B 1C 1D 1 D 、平面A 1DB3、已知平面α外的直线b 垂直于α内的二条直线，有以下结论：○1b 一定不垂直于α；○2b 可能垂直于平面α；○3b 一定不平行于平面α，其中正确的结论有（ ） A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个4、直线l 与平面α内的两条直线都垂直，则直线l 与平面α的位置关系是 （ ） A 、平行 B 、垂直 C 、在平面α内 D 、无法确定5、下面各命题中正确的是（ ）A 、直线a ，b 异面，a ⊂α，b ⊂β，则α∥β；B 、直线a∥b，a ⊂α，b ⊂β，则α∥β；C 、直线a⊥b，a⊥α，b⊥β，则a⊥β；D 、直线a ⊂α，b ⊂β，α∥β，则a ，b 异面.6、对于已知直线a ，如果直线b 同时满足下列三个条件：①与a 是异面直线；②与a 所成的角为定值θ；③与a 距离为定值d.那么这样的直线b 有（ ）A 、1条B 、2条C 、3条D 、无数条7、从点O 出发的不共面的3条射线OA 、OB 、OC 中，如果∠AOB ＝∠AOC ，则OA 在平面BOC 上的射影落在∠BOC 的________．8、若∠AOB 在平面α内，OC 是α的斜线，∠AOC ＝∠BOC ＝60°，OC 与α成45°角，则∠AO B ＝________． 9、点A 、B ∈平面α，点P ∉α，线段AP 、PB 在α内的射影长分别为3和5，则线段AB 的最大值是________，最小值是________．10、PD 垂直于正六边形ABCDEF ，若正六边形边长为a ，PD ＝a ，则点P 到BC 的距离为________． 11、边长为a 的正四面体A —BCD ，M 是棱AB 的中点，则CM 与底面BCD 所成的角的正弦值是_______12、如图10，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a, 求证：BD 1⊥平面B 1AC;图10证明：∵AB ⊥B 1C ，BC 1⊥B 1C,∴B 1C ⊥面ABC 1D 1. 又BD 1⊂面ABC 1D 1,∴B 1C ⊥BD 1. ∵B 1B ⊥AC ，BD ⊥AC,∴AC ⊥面BB 1D 1D.又BD 1⊂面BB 1D 1D,∴AC ⊥BD 1. ∴BD 1⊥平面B 1AC.13、 已知在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD 在平面α内，AB ∶CD=4∶6，AB 到α的距离为10 cm ，求梯形对角线的交点O 到α的距离.图11解：如图所示，过B 作BE ⊥α交α于点E ，连接DE, 过O 作OF ⊥DE 交DE 于点F,∵AB ∥CD ，AB ⊄α，CD ⊂α，∴AB ∥α.又BE ⊥α, ∴BE 即为AB 到α的距离，BE=10 cm 且∠BED=90°. ∵OF ⊥DE,∴OF ∥BE,得BDODBE OF =. ∵AB ∥CD,∴△AOB ∽△COD.∴46==AB CD OB OD ，得53106==BD OD . 又BDOD BE OF =，BE=10 cm, ∴OF=53×10=6（cm ）.∵OF ∥BE ，BE ⊥α.∴OF ⊥α，即OF 即为所求距离为6 cm. 课堂小结 知识总结：利用线面垂直的性质定理将线面垂直问题转化为线线平行，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题. 作业课本习题2.3 A 组5.6.7.8。
人教高中数学必修二2.3直线、平面垂直的判定与性质 -三垂线定理 课件
结论：a⊥OA
P
线斜垂直
线射垂直
逆定理
O α
定理
线射垂直
线斜垂直
逆定理
a
A
例1：如图，在正方体中，O是AC与BD的交点，直线D1O与AC
垂直吗？说明你的理由。
D1
C1
D1O在平面ABCD内的射影是DO
AC与BD垂直
A1
B1
D1O与AC垂直（三垂线定理 ）
你知道吗？ D1B⊥AC
D
C
线射垂直
线斜垂直 A
射影OA和a直线之间的垂直关系
α
O
2、直线a可以移动，但只能在平面内移
动。因此，直线a和斜线PA可以相交也
可以异面。
P
3、三垂线定理的实质是平面的一条斜 线和平面内的一条直线垂直的判定定理。
O α
a
A
a
A
新知探究 • 逆定理
思考：
如果将定理中的条件a⊥OA改成a⊥PA，你会得到
怎样的结果？命题一定成立吗?
P
定理
即:线射垂直
线斜垂直
O α
a
A
定理中包括三种垂直关系：
①线面垂直 ②线射垂直 ③ 线斜垂直
P PO
P
a OA
P
a PA
O Aa
O Aa
O Aa
α
α
α
直线和 平面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
对定理的几点说明
P
1、三垂线定理描述的是斜线PA、
如图：请说出下列图形中的垂线、斜线和射影。
P
直线PO是垂线 直线PA是斜线
(完整版)《直线与平面垂直的判定》ppt课件
符号表示：
P
m ,n
mn
m nP
l
l m, l n
定理补充 “平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少
简记为：线线垂直
线面垂直
例1 如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
分析：在平面内作两条相交直线.
证明：在平面 内作两条相交 a
b
直线m，n．
因为直线 a ，
根据直线与平面垂直的定义知 m
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
BD,CD都在桌面内，BD∩CD=D， AD⊥CD,AD⊥BD,
直线AD所在的A直线与桌面垂直
l
B
D
C
P
mn
直线和平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直．
直线也是垂直的.
C1 C
α
B1 B
直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.
l
平面α的垂线
A
直线l的垂面 垂足
直线和平面垂直的画法 注：画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成 与表示P
α
思考2 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直
直线与平面垂直的性质(共26张PPT)
同理可证BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，∴BD1⊥平面AB1C.
都A．垂1直的直线有_______∴条B．E2F⊥B1(C.又)EF⊥AC，且AC∩B1C＝C，
2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F
D1
〔1〕a，b同垂直于正方体一个面； A 1
〔2〕a，b分别在正方体两个相对的
面内且共面；
〔3〕a，b平行于同一条棱.
D A
C1 B1
C B
例1 如图α∩β=l，CA⊥α于点A，CB⊥β于点B，
a,aAB求,证：a∥l.
C β
分析：
B
l 平 面 A B C ,a 平 面 A B C .
α
l
A
a
错误的画“×〞.
(1)垂直于同一条直线的两条直线互相平行.
()
(2)垂直于同一个平面的两条直线互相平行.
(
(3)一条直线在平面内，另一条直线和这个平面垂直，那么
×
)√
这两条直线互相垂直.
()
√
3.直线 和平a ,面b ，且
a那b么,a与, b
的位置关系是_____b______或 __b_∥___ .
()
同理DD1⊥平面B1C1D1，那么l∥DD1.
1．线面垂直的性质给我们提供了证明线线平行的方法.
∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，
[一点通] 1．线面垂直的性质给我们提供了证明线线平行的方法. 2．证明线线平行的方法 (1)a∥c，b∥c⇒a∥b. (2)a∥α，a β，β∩α＝b⇒a∥b. (3)α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b. (4)a⊥α，b⊥α⇒a∥b.
2.3.3-2.3.4线面垂直,面面垂直的性质定理-悠
已知正方形ABCD和矩形 和矩形ACEF所在的平面互相垂 练 已知正方形 和矩形 所在的平面互相垂 直，AB= 2 ，AF=1，M是线段 的中点。 ， 是线段EF的中点。 是线段 的中点 平面BDE； （1）求证 ）求证AM//平面 平面 ； 的大小； （2）求二面角 −DF−B的大小； ）求二面角A− − 的大小 上确定一点P，使得PF与 所成的 （3）试在线段 上确定一点 ，使得 与BC所成的 ）试在线段AC上确定一点 E 角是60° 角是 °。
注1：① α ：
⊥ β ,α I β = l, a ⊂ α , a ⊥ b ⇒ a ⊥ β
证明： 在平面 内过B点作 ⊥ l， 证明： 在平面β内过 点作 内过 点作BE⊥ ， 又∵AB⊥ l， ⊥ ， ∴∠ABE就是二面角 -l -β的平面角 就是二面角α∴∠ 就是二面角 的平面角 ∴∠ABE=90 ，即AB⊥BE ∴∠ ⊥ 又∵l∩BE=B， ， ∴AB⊥β ⊥
如图， 于点A， 于点B， 例 如图，已知 α I β = l, CA ⊥ α于点 ，CB ⊥ β于点 ， 求证： a ⊂ α, a ⊥ AB, 求证：a // l .
注意：空间内，垂直于同一条直线的两直线平行的结论不成立 注意：空间内，垂直于同一条直线的两直线平行的结论不成立.
C β B α l A a
。
α
a
A
l
B E
β
面面垂直⇒ 面垂直” ②该定理作用：“面面垂直⇒线面垂直”，是判定线面垂 该定理作用： 面面垂直 直的依据，可以帮助我们快速找到面的垂线——平面内垂 直的依据，可以帮助我们快速找到面的垂线 平面内垂 直于两平面的交线的直线. 直于两平面的交线的直线
例 判断下列命题的真假 1.若α⊥β，那么 内的所有直线都垂直于 内的所有直线都垂直于β. 若 ⊥ ，那么α内的所有直线都垂直于
2.3.3直线和平面垂直的性质定理
序号： § 2.i.2直线和平面垂直的性生质定理 预习案日期：i2月4日班级姓名 知识与技能掌握直线与平面垂直的性质定理。
能运用性质定理证明线线平行，解决一些简单问题。
过程与方法 通过直观感知，推理证明，实际应用，掌握学习立体几何的方法。
培养 空间观念，空间想象能力，逻辑推理能力。
情感、态度与价值观通过正确的直观感知，严密的逻辑推理，培养实事求是的严谨的治学态度。
重点：直线与平面垂直的性质定理的应用。
难点：了解反证法。
学法指导：一方面，注意借助常见空间模型，训练正确的空间感知能力。
一方面，应用性质定理，继续训练严密的逻辑论证能力。
预习准备：1.在正方体ABCD-A i B i C i D i 中两个不同的面内，画两条直线 a 、b ，2.在正方体 ABCD-A i B i C i D i 中， 求证：AD i 平面A i B i CD1、C iC新知导学：1.思考发现： 问题1.平面几何中，怎么由“垂直关系”证明“线线平行”立体几何中是否有类似的结论？正方体ABCD — A B' C 中D'棱AA'、BB'、CC 、DD 所在直线都垂直 于平面ABCD ，它们之间具有什么位置关系？3.得出结论：直线与平面垂直的性质定理: 文字语言 ________________________符号语言 ______________________作用 _________________________图形语言初步应用：问题3.正方体ABCD — A B’ C 中DEF 丄平面A 'DC , 求证：EF//AD'。
C冋题2.已知a a, b a,那么直线a, b 一定平行吗？可以证明吗?C'C2.初步探究:C预习检测："1.直线L丄平面a,直线m a,贝U L, m的位置关系是( )A平行B异面C相交 D 垂直2.在圆柱的一个底面上任取一点，该点不在底面圆周上，过该点作底面圆周的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是3、已知AF丄平面ABCDDE1 平面ABCD且AF=DEAD=6 J则EF=4.填写位置关系: (1)同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线(2 )空间中，垂直于同一条直线的两条直线(3)垂直于同一平面的两条直线(4)垂直于同一直线的两个平面(5)垂直于同一平面的两个平面课堂小结: 学习了什么内容?揭示了空间哪两种位置关系的联系?课后探究拓展:1..已知m,n是两条相交直线，L i, L2是与m,n都垂直的两条直线，且直线L与L i,B, a p =L， CA a， CB p, A,B 是垂足，a a ,a AB ,2.已知平面a，3.a，b是两条异面直线，a a，b p，a P =L, AB与a、b都垂直，交a。
第二章 2.3.3~2.3.4 直线、平面与平面垂直的性质
2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质学习目标 1.掌握空间中线面、面面垂直的性质定理.2.能够运用线面、面面垂直的性质定理证明一些简单的问题.3.理解线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理之间的相互联系.知识点一直线与平面垂直的性质定理知识点二平面与平面垂直的性质定理1.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(√)2.若平面α⊥平面β，任取直线l⊂α，则必有l⊥β.(×)3.若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则该直线也垂直于另一个平面.(√)4.已知两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.(×)题型一线面垂直性质定理的应用例1如图，已知正方体A1C.(1)求证：A1C⊥B1D1；(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C. 考点直线与平面垂直的性质题点应用线面垂直的性质定理判定线线平行证明(1)如图，连接A1C1.∵CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，∴CC1⊥B1D1.∵四边形A1B1C1D1是正方形，∴A1C1⊥B1D1.又∵CC1∩A1C1＝C1，A1C1，CC1⊂平面A1C1C，∴B1D1⊥平面A1C1C.又∵A1C⊂平面A1C1C，∴B1D1⊥A1C.(2)连接B1A，AD1.∵B1C1∥AD，且B1C1＝AD∴四边形ADC1B1为平行四边形，∴C1D∥AB1.∵MN⊥C1D，∴MN⊥AB1.又∵MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，AB1，B1D1⊂平面AB1D1，∴MN⊥平面AB1D1.由(1)知A1C⊥B1D1.同理可得A1C⊥AB1.又∵AB1∩B1D1＝B1，AB1，B1D1⊂平面AB1D1，∴A1C⊥平面AB1D1.∴A1C∥MN.反思感悟证明线线平行的常用方法(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点.(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线.(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行.(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直.(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.跟踪训练1如图，α∩β＝l，P A⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B，a⊂α，a⊥AB.求证：a∥l.考点直线与平面垂直的性质题点应用线面垂直的性质定理判定线线平行证明∵P A⊥α，l⊂α，∴P A⊥l.同理PB⊥l.∵P A∩PB＝P，P A，PB⊂平面P AB，∴l⊥平面P AB.又∵P A⊥α，a⊂α，∴P A⊥a.∵a⊥AB，P A∩AB＝A，P A，AB⊂平面P AB，∴a⊥平面P AB.∴a∥l.题型二面面垂直性质定理的应用例2如图，在三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，平面P AB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.考点平面与平面垂直的性质题点应用面面垂直的性质判定线线垂直证明如图，在平面P AB内，作AD⊥PB于点D.∵平面P AB⊥平面PBC，且平面P AB∩平面PBC＝PB，AD⊂平面P AB，∴AD⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC.又∵P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴P A⊥BC，又∵P A∩AD＝A，∴BC⊥平面P AB.又AB⊂平面P AB，∴BC⊥AB.反思感悟证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理.本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线.跟踪训练2如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC＝BC.(1)求证：AM⊥平面EBC；(2)求直线EC与平面ABE所成角的正切值.(1)证明∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，∴BC⊥平面ACDE.又AM⊂平面ACDE，∴BC⊥AM.∵四边形ACDE是正方形，∴AM⊥CE.又BC∩CE＝C，∴AM⊥平面EBC.(2)解取AB的中点F，连接CF，EF.∵EA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，∴EA⊥平面ABC，∵CF⊂平面ABC，∴EA⊥CF.又AC＝BC，∴CF⊥AB.∵EA∩AB＝A，∴CF⊥平面AEB，∴∠CEF即为直线EC与平面ABE所成的角.在Rt△CFE中，CF＝2，FE＝6，tan∠CEF＝26＝33.垂直关系的综合应用典例在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，∠DAB＝60°，侧面P AD为等边三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC边上的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论.(1)证明设G为AD的中点，连接PG，BG，如图.因为△P AD为等边三角形，所以PG⊥AD.在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，因为G为AD的中点，所以BG⊥AD.又因为BG∩PG＝G，所以AD⊥平面PGB.因为PB⊂平面PGB，所以AD⊥PB.(2)解当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.设F为PC的中点，则在△PBC中，EF∥PB.在菱形ABCD中，GB∥DE，而PB∩GB＝B，EF∩DE＝E，所以平面DEF∥平面PGB.由(1)得，PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，所以平面PGB⊥平面ABCD，所以平面DEF⊥平面ABCD.[素养评析]以四棱锥为载体，通过对线线、线面、面面垂直关系的论述，使学生掌握推理的基本形式和规则，发现表述论证过程，学会有逻辑地思考问题，提升逻辑推理的数学核心素养.1.在空间中，下列哪些命题是正确的()①平行于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③平行于同一个平面的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两条直线互相平行.A.①③④B.①④C.①D.①②③④答案 B2.下列命题正确的是()①⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α； ② ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥α，a ⊥b ⇒b ∥α； ③⎭⎪⎬⎪⎫a ∥α，a ⊥b ⇒b ⊥α. A.①② B.①③ C.②③ D.① 答案 D3.已知平面α⊥平面β，则下列命题中真命题的个数是( ) ①α内的任意直线必垂直于β内的无数条直线；②在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线； ③α内的任意一条直线必垂直于β；④过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α. A.4 B.3 C.2 D.1考点 平面与平面垂直的性质题点 应用面面垂直的性质判定线面垂直 答案 C解析 ①设α∩β＝l ，a ⊂α，b ⊂β，b ⊥l ，则a ⊥b ，故β内与b 平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线，为真命题；②β内垂直于α与β交线的直线垂直于平面α，则它垂直于α内的任意直线，为真命题；③α内不与交线垂直的直线不垂直于β，为假命题；④垂直于交线的直线必须在平面β内才与平面α垂直，否则不垂直，为假命题.4.如图所示，已知AF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，且AF ＝DE ，AD ＝6，则EF ＝________.考点 平面与平面垂直的性质 题点 有关面面垂直性质的计算 答案 6解析 ∵AF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ， ∴AF ∥DE .又AF ＝DE ，∴四边形AFED 为平行四边形， 故EF ＝AD ＝6.5.如图所示，在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧面SDC ⊥底面ABCD ，求证：平面SDC⊥平面SBC.考点平面与平面垂直的性质题点面面垂直性质的综合应用证明因为底面ABCD是矩形，所以BC⊥CD.又平面SDC⊥平面ABCD，平面SDC∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面SDC.又因为BC⊂平面SBC，所以平面SDC⊥平面SBC.1.线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据.2.面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的转化与化归思想，其转化关系如下：一、选择题1.对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l()A.平行B.相交C.垂直D.互为异面直线答案 C2.已知m ，n 为两条不同直线，α，β为两个不同平面，给出下列命题：①⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥α，m ⊥n ⇒n ∥α； ②⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥β，n ⊥β⇒m ∥n ； ③⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥α，m ⊥β⇒α∥β； ④⎩⎪⎨⎪⎧m ⊂α，n ⊂β，α∥β⇒m ∥n .其中正确命题的序号是( ) A.②③ B.③④ C.①②D.①②③④考点 直线与平面垂直的性质题点 应用线面垂直的性质定理判定线线平行 答案 A解析 ①中n ，α可能平行或n 在平面α内；②③正确；④两直线m ，n 平行或异面，故选A.3.设平面α⊥平面β，若平面α内的一条直线a 垂直于平面β内的一条直线b ，则( ) A.直线a 必垂直于平面β B.直线b 必垂直于平面α C.直线a 不一定垂直于平面β D.过a 的平面与过b 的平面垂直 答案 C解析 当两个平面垂直时，在一个平面内只有垂直于交线的直线才垂直于另一个平面. 4.已知l ⊥平面α，直线m ⊂平面β.有下面四个命题：①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ；③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β. 其中正确的两个命题是( ) A.①② B.③④ C.②④D.①③考点 线、面平行、垂直的综合应用 题点 平行与垂直的判定 答案 D解析 ∵l ⊥α，α∥β，∴l ⊥β，∵m ⊂β，∴l ⊥m ，故①正确；∵l ∥m ，l ⊥α，∴m ⊥α，又∵m⊂β，∴α⊥β，故③正确.5.如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是()A.EF⊥平面αB.EF⊥平面βC.PQ⊥GED.PQ⊥FH考点平面与平面垂直的性质题点应用面面垂直的性质判定线线垂直答案 B解析因为EG⊥平面α，PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ⊂平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B.6.如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么D在平面ABC内的射影H必在()A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC内部考点平面与平面垂直的性质题点应用面面垂直的性质判定线线垂直答案 A解析在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，∴AC⊥平面ABD.又∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，D在平面ABC内的射影H必在直线AB上.故选A.7.设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出如下命题：①若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α；④若α⊥β，m∥α，则m⊥β.其中正确命题的个数为()A.1B.2C.3D.4答案 B解析①正确；③正确.8.在三棱锥P－ABC中，平面P AC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为()A.2 3B.27C.4 3D.47答案 B解析连接CM，则由题意PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝PC2＋CM2，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM＝4×32＝23，所以PM的最小值为27.二、填空题9.a，b是异面直线，直线l⊥a，l⊥b，直线m⊥a，m⊥b，则l与m的位置关系是________. 考点直线与平面垂直的性质题点应用线面垂直的性质定理判定线线平行答案平行解析由线面垂直的性质定理可得.10.如图，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________.考点平面与平面垂直的性质题点应用面面垂直的性质判定线线垂直答案 6解析∵CA＝CB，O为AB的中点，∴CO⊥AB.又平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，CO⊂平面ABC，∴CO⊥平面ABD. ∵OD⊂平面ABD，∴CO⊥OD，∴△COD为直角三角形.∴图中的直角三角形有△AOC，△COB，△ABC，△AOD，△BOD，△COD共6个.11.已知m，n是空间两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下面有四个命题：①m⊥α，n∥β，α∥β⇒m⊥n；②m⊥n，α∥β，m⊥α⇒n∥β；③m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β；④m⊥α，m∥n，α∥β⇒n⊥β.其中所有真命题的序号是________.答案①④三、解答题12.如图，三棱锥P－ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△P AC是直角三角形，∠P AC＝90°，平面P AC⊥平面ABC，求证：平面P AB⊥平面PBC.考点平面与平面垂直的性质题点面面垂直性质的综合应用证明∵平面P AC⊥平面ABC，平面P AC∩平面ABC＝AC，P A⊥AC，P A⊂平面P AC，∴P A⊥平面ABC.又BC⊂平面ABC，∴P A⊥BC.又∵AB⊥BC，AB∩P A＝A，AB⊂平面P AB，P A⊂平面P AB，∴BC⊥平面P AB.又BC⊂平面PBC，∴平面P AB⊥平面PBC.13.如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定证明(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，则AB∥EF.又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.14.如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则cos α∶cos β＝________.答案5∶2解析由题意，两个矩形的对角线长分别为5,25，所以cos α＝525＋4＝529，cos β＝2529，所以cos α∶cos β＝5∶2.15.如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝2a，E为P A的中点，求证：平面EDB⊥平面ABCD.证明设AC∩BD＝O，连接EO，则EO∥PC.∵PC＝CD＝a，PD＝2a，∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD.∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，∴PC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.又EO⊂平面EDB，故有平面EDB⊥平面ABCD.。
2.3.3 线面垂直的性质定理
C
P
在Rt△POE中， OE
2 tanPEO 2
1 2 2 ，PO 2
∴ 2 ∴所求的二面角P-AB-C 的正切值为 2
E
O
5.锐二面角α l β中,AB α,AB 2, A l ,AB与l成45 角, 与β成30 角,则二面角 α l β的大小为_____ 45 ___.
1.如图所示，ABCD—A1B1C1D1 为长方体，且底
面ABCD为正方形．求证：截面ACB1⊥平面 BDD1B1.
解：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.
∵BB1⊥底面ABCD，∴AC⊥B1B.
又BD∩BB1＝B，故AC⊥平面BDD1B1，
又AC⊂平面ACB1，
∴截面ACB1⊥平面BDD1B1.
又∵BD⊂平面BDF，∴AF⊥BD.
4.如图，P 是边长为 2 2的正方形 ABCD 外 一点，PA⊥AB，PA⊥BC，且 PC＝5，
2 13 ． 则二面角 PBDA 的余弦值为________ 13
解析：连 PO，易知 PA⊥面 ABCD，BD⊥AC， ∴BD⊥面 POA，即∠POA 即为二面角 PBDA 的平面角． ∵正方形边长为 2 2，∴AC＝4，∴AO＝2. 在 Rt△PAC 中，PA2＝PC2－AC2＝52－42＝32， ∴PA＝3. ∴PO2＝PA2＋AO2＝32＋22＝13. 2 2 13 ∴cos∠POA＝ ＝ 13 . 13
解
（方法一）
B
C A O l
D
∠OAC ＝120 AO=BD=1, AC=2
CO 2 AC 2 AO 2 2 AO AC COS120 7
四边形ABDO为矩形, DO=AB=3
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
互动课堂疏导引导一、直线与平面垂直的判定1.直线与平面垂直的定义如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 和平面α互相垂直.疑难疏引 (1)定义中的“任意一条直线”这一词组，它与“所有直线”是同义语，但与无数条直线不同，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直.但不能说一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，它就和这个平面垂直.(2)和平面垂直的直线是直线和平面相交的一种特殊形式.(3)虽然这样的定义给线面垂直的判定带来困难，但在直线和平面垂直时，却可以得到直线和平面内的任何一条直线都垂直，给判定两条直线垂直带来方便，如若a ⊥α,b ⊂α,则a ⊥b ，简述之，即“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂直时，经常使用的一种重要方法.画直线和水平平面垂直时，要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直.如果直线l 和平面α垂直，则记作l ⊥α.(4)在平面几何中，我们有命题：经过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直，在本节，也有类似的命题.命题1：过一点有且只有一条直线和已知平面垂直.命题2：过一点有且只有一个平面和已知直线垂直.2.直线和平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面.用符号表示为ααα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊥=⋂⊂⊂l n l m l B n m n m ,,.疑难疏引 关于定理的理解必须注意以下几点：(1)判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键性词语，一定要抓牢.(2)命题1：如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面. 命题2：如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面.以上两个命题都是错误的，因为对于这两个命题，都没有体现出两直线相交这一特性，无数条直线可以是一簇平行线，并不一定具备有两条相交直线和已知直线垂直，因此，也就不一定得出这一直线垂直于这个平面这一结论.(3)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直.取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的.(4)直线与平面垂直的判定与证明方法：①用线面垂直定义：若一直线垂直于平面内任一直线，这条直线垂直于该平面.②用线面垂直判定定理：若一直线与平面内两相交直线都垂直，这条直线与平面垂直. ③用线面垂直性质：两平行线之一垂直平面，则另一条也必垂直这个平面.④用面面垂直性质定理：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一平面. ⑤用面面平行性质：一直线垂直于两平行平面之一，则必垂直于另一平面.⑥用面面垂直性质：两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面交线垂直于第三个平面. 这六条线面垂直的判定方法其实质仍是转化思想，它们是线线、线面、面面垂直的转化. 案例1 如图，正方体有8个顶点和12条棱，每条棱上均有一个中点，于是有棱的中点12个，顶点与中点合起来共有20个〔图(1)〕.过其中的两点可作一条直线；过其中不在同一直线上的三点可作一个平面.现在考虑这些直线与平面的垂直关系.(1)试举出一直线与一平面相互垂直的例子(不少于4例)；(2)若一直线与一平面相互垂直，我们就说这条直线与这个平面构成了一个“垂直关系组”，两个“垂直关系组”当且仅当其中两条直线和两个平面不全同一时称为相异的(或不同的).试求与正方体的棱相关的“垂直关系组”的个数.【探究】在正方体中，所有的棱都和与它相交的面垂直，利用中点也可产生与棱垂直的面.(1)例如AB⊥平面BCKJ〔如图(1)〕；例如EF⊥平面MPON〔如图(1)〕；例如NF⊥平面ADKJ〔如图(2)〕；例如IC⊥平面AJL〔如图(3)〕.(2)正方体的棱有12条，而每一条棱都与3个平面垂直，如图(1)中棱IJ与平面ID、平面NP 与平面JC都垂直，所以与正方体的棱相关的“垂直关系组”的个数是12×3=36.【规律总结】挖掘正方体本身潜藏的特征，将每一条棱的情况分析清楚，做到不重不漏.案例2 如图，已知P是△ABC所在平面外一点，PA、PB、PC两两垂直，H是△ABC的垂心，求证：PH⊥平面ABC.【探究】根据判定定理，要证线面垂直，需证直线和平面内的两条相交直线垂直，根据H 是△ABC的垂心，可知BC⊥AH，又PA、PB、PC两两垂直，得PA⊥面PBC，于是PA⊥BC，由此可知BC垂直于平面PAH内的相交直线PA和AH，结论得证.证明：∵H是△ABC的垂心，∴AH⊥BC.①∵PA⊥PB，PA⊥PC，∴PA⊥平面PBC.又∵BC 平面PBC，PA⊥BC，②由①②知，BC⊥PH，同理，AB⊥PH，∴PH⊥平面ABC.【规律总结】根据所求证的结论，寻求所需的已知条件，看题目是否已经直接给出，或者从题目所给条件，经过推理能够得出，这是分析问题的重要方法，称为执果索因；也可从条件出发，将这一条件可能得出的结论一一列出，从中选出我们证题所需要的结论，这种分析问题的方法称为由因导果，发散性较强.二、平面与平面垂直的判定1.二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫二面角.以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.疑难疏引 (1)二面角的平面角，则是用来刻画二面角大小的一个概念.它和两条异面直线所成的角以与直线和平面所成的角一样，都化归为用平面内两条相交直线所成的角来表示.但必须注意二面角的平面角所在平面应垂直于二面角的棱，二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个面内.而二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的相互位置所确定的，与二面角的平面角的顶点在棱a 上的位置无关.(2)二面角的计算方法①用定义作二面角的平面角——在棱上取一点，分别在两个面内作棱的垂线，这两条射线组成二面角的平面角.利用定义作二面角的平面角，关键在于找棱与棱上的特殊点.学习时要特别注意平移和补形方法的灵活运用.②用垂面法作二面角的平面角——作垂直于二面角的棱或二面角的两个半平面的垂面，则该垂面与二面角的两个半平面交线所成的角就是二面角的平面角.③面积法：如果一个多边形在一个平面内的射影是一个多边形，且这两个多边形所在平面所成的二面角为θ，则cosθ=原多边形面积射影多边形面积S S .案例3 已知四边形PABC 为空间四边形，∠PCA=90°，△ABC 是边长为32的正三角形，PC=2，D 、E 分别是PA 、AC 的中点，BD=10.试判断直线AC 与平面BDE 的位置关系，并且求出二面角P-AC-B 的大小.解：∵D 、E 分别是PA 、AC 的中点，∴DE ∥PC 且DE=21PC=1. ∵∠PCA=90°,∴AC ⊥DE.∵△ABC 是边长为32的正三角形，并且E 是AC 的中点，∴AC ⊥BE ，并且BE=3.∵DE∩BE=E ，∴直线AC 与平面DEB 垂直.∴∠DEB 为二面角P-AC-B 的平面角.在△BDE 中，由DE=1，BE=3，BD=10得DE 2+BE 2=BD 2，∴∠DEB=90°.综上所述，直线AC 与平面BDE 垂直，二面角P-AC-B 的大小为90°.【规律总结】 与二面角的棱垂直的平面和二面角的两个面相交的两条射线构成的角就是这个二面角的平面角.利用作与棱垂直的平面得到二面角的方法称为“垂面法”.案例4 已知△ABC 是正三角形，PA ⊥平面ABC ，且PA=AB=a ，求二面角A-PC-B 的正切值.【探究】 要求二面角的正切值，首先要在图形中构造出二面角的平面角，利用其平面角度量二面角的大小，过棱上一点，分别在两个面内作或证棱的垂线，即可产生二面角的平面角，充分利用三角函数定义求得正切值.解：取AC 的中点M ，连结BM ，作MN ⊥PC 于N ，连结BN.∵PA ⊥平面ABC ，∴平面PAC ⊥平面ABC.易证BM ⊥AC ，AC=平面PAC∩平面ABC.∴BM ⊥平面PAC(面面垂直的性质).∵MN ⊥PC ，∴NB ⊥PC.∴∠MNB 是二面角A-PC-B 的平面角.易知MN=a 42，BM=a 23. ∴tan ∠MNB=64223==a a MN BM . ∴二面角的正切值为6【规律总结】 度量二面角的大小是通过其平面角进行，所以在图形中构造出二面角的平面角，就能将空间问题转化为平面问题，利用直角三角形中锐角三角函数定义，有些问题也可用斜三角形中的直角三角形加以处理.2.两个平面互相垂直的判定常用的判定方法有：(1)定义法，即说明这两个平面所成的二面角是直二面角；(2)判定定理，即一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直；(3)两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面.疑难疏引 两平面垂直的判定定理的特征：线面垂直面面垂直.它说明了线面垂直与面面垂直的密切关系，用符号表示为：若l ⊥α,l β,则α⊥β.利用判定定理证明两个平面垂直，关键是在其中的一个平面内寻找另一平面的垂线.案例5 如图，过S 引三条长度相等但不共面的线段SA 、SB 、SC ，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°.求证：平面ABC ⊥平面BSC.【探究】 本题可以用两种方法来证明，一是作平面的垂线而后证明它在另一个平面内(证法一)；二是在一个平面内找一条线段，证明它与另一个平面垂直(证法二).证法一：作AD ⊥平面BSC ，D 为垂足.∵∠ASB=∠ASC=60°，SA=SB=SC ，则AS=AB=AC ，∴D 为△BSC 的外心.又∠BSC=90°，∴D 为BC 的中点，即AD 在平面ABC 内.∴平面ABC ⊥平面BSC.证法二：取BC 的中点D ，连结AD 、SD ，易证AD ⊥BC.又△ABS 是正三角形，△BSC 为等腰直角三角形，∴BD=SD.∴AD 2+SD 2=AD 2+BD 2=AB 2=AS 2.由勾股定理的逆定理，知AD ⊥SD ，∴AD ⊥平面BSC.又AD ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC.【规律总结】 本题是证明面面垂直的典型例题，关键是将证明“面面垂直”的问题转化为证明“线面垂直”的问题.三、直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质有：(1)一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于该平面内的所有直线；(2)性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行；(3)两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；(4)垂直于同一直线的两个平面平行.对于性质定理，它提供了一种证明线线平行的方法，揭示了“平行”与“垂直”的内在联系. 案例6 如图，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱AB 、BC 的中点，若点M 为棱B 1B 上的一点，当MBM B 1的值为多少时，能使D 1M ⊥平面EFB 1？并给出证明. 【探究】 本题属开放型问题，一般先猜后证.由于E 、F 为中点，所以猜想M 也是中点. 解：当11=MBM B 时，能使D 1M ⊥平面EFB 1，证明如下： 当M 为B 1B 中点时，在平面AA 1B 1B 内有△A 1MB 1≌△B 1EB ，∴∠B 1A 1M=∠BB 1E.而∠B 1MA 1+∠B 1A 1M=90°,∴∠B 1MA 1+∠BB 1E=90°.∴A 1M ⊥B 1E.∵D 1A 1⊥平面AA 1B 1B ，B 1E ⊂平面AA 1B 1B,∴D 1A 1⊥B 1E.由于A 1M∩D 1A 1=A 1,∴B 1E ⊥平面A 1MD 1.∵D 1M ⊂平面A 1MD 1,∴B 1E ⊥D 1M.同理，连结C 1M ，可证明B 1F ⊥D 1M.∵B 1E∩B 1F=B 1,∴D 1M ⊥平面EFB 1.【规律总结】 (1)猜想要和题目中的点的性质相联系.(2)平面内证两线垂直的方法可通过三角形中某两个角的和为直角来判断.四、两个平面垂直的性质两个平面垂直的性质有：(1)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直；(2)两个平面垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内. 疑难疏引 性质定理(1)成立要有两个条件：一是线在面内，二是线垂直于交线，才能线面垂直，这一定理也可简述为“面面垂直，则线面垂直”，它反映了面面垂直与线面垂直的密切关系；对于第二条性质，只要在其中一个平面内通过一点作另一平面垂线，那么这条垂线必在这个平面内，对点的位置，它既可以在交线上，也可以不在交线上.(2)运用两个平面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直.案例7 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面. 已知α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l.求证：l ⊥γ.【探究一】在γ内取一点P ，作PA 垂直α与γ的交线于A ，PB 垂直β与γ的交线于B ，则PA ⊥α,PB ⊥β.∵l=α∩β,∴l ⊥PA,l ⊥PB.∵α与β相交，∴PA 与PB 相交.又PA ⊂γ,PB ⊂γ,∴l ⊥γ.【探究二】在α内作直线m 垂直于α与γ的交线，在β内作直线n 垂直于β与γ的交线，∵α⊥γ,β⊥γ,∴m ⊥γ,n ⊥γ.∴m ∥n.又n ⊂β,∴m ∥β.∴m ∥l,∴l ⊥γ.【探究三】在l 上取一点P ，过点P 作γ的垂线l′,l l l l l P P P l l P '=⋂⇒⎭⎬⎫⎩⎨⎧⊂'⊂'⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=''∈⊥⊥⎩⎨⎧∈∈⇒⎭⎬⎫=⋂∈βαβαγγβγαβαβα. 但α∩β=l,∴l 与l′重合.∴l ⊥γ.【规律总结】 探究一、探究二都是利用“两平面垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线.这是两种证法的关键.探究三是利用“如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内”这一性质，添加了l′这条辅助线，这是关键.通过此例，应仔细体会两平面垂直时，添加辅助线的方法.五、几种转化关系1.线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.线线垂直、线面垂直、面面垂直是立体几何中的核心内容之一.首先由线面垂直的定义可知，若线面垂直则线和面内任何直线都垂直；根据线面垂直判定定理，若线垂直于面内的两条相交直线，则线面垂直，然后根据面面垂直的判定定理，若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，我们可以简证为，线面垂直则面面垂直；同样根据面面垂直的性质定理，我们还可证得，若面面垂直则线面垂直.由上可得，利用线面垂直，可以证明线线垂直，也可以实现面面垂直的证明.因此，我们可以说线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系中的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化，即直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直.2.空间直线、平面的平行与垂直的相互转化(1)线线、线面、面面平行与垂直位置关系的判定与证明是考查空间想象能力、逻辑推理能力的重点，这是我们作进一步的比较、串联、综合、力求达到巩固、提高的目的.(2)理解线线、线面、面面关系的转化.①不同层次的平行关系的转化.②不同层次的垂直关系的转化③平行与垂直的转化案例8 如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点.(1)求证：MN∥平面PAD；(2)求证：MN⊥CD.(3)若∠PDA=45°,求证：MN⊥平面PCD.【探究】(1)要证明MN∥平面PAD，须证MN平行于平面PAD内某一条直线.注意到M，N分别为AB，PC的中点，可取PD的中点E，从而只须证明MN∥AE即可，证明如下：证明：取PD的中点E，连结AE 、EN.则EN 21CD 21AB AM ， 故AMNE 为平行四边形，∴MN ∥AE.∵AE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ，∴MN ∥平面PAD.(2)要证MN ⊥CD ，可证MN ⊥AB.由问(1)知，需证AE ⊥AB.∵PA ⊥平面ABCD.∴PA ⊥AB ，又AD ⊥AB ，∴AB ⊥平面PAD ，∴AB ⊥AE ，即AB ⊥MN.又CD ∥AB ，∴MN ⊥CD.(3)由问(2)知，MN ⊥CD ，即AE ⊥CD ，再证AE ⊥PD 即可.∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AD.又∠PDA=45°,E 为PD 的中点.∴AE ⊥PD,即MN ⊥PD.又MN ⊥CD.∴MN ⊥平面PCD.【规律总结】 本题是涉与线面垂直、线面平行、线线垂直诸知识点的一道综合题.题(1)的关键是选取PD 的中点E ，所作的辅助线使问题处理方向明朗化.线线垂直←线面垂直←线线垂直是转化规律.活学巧用1.判断题：正确的在括号内打“√”,不正确的打“×”.(1)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行.()(2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直.()(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边.()(4)过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于a 的平面内.()(5)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面.()解析：(1)直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种①平行②异面，因此应打“×”.(2)该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系.若为平行，则该命题应打“×”；若为相交，则该命题应打“√”,正是因为这两种情况可能同时具备，因此，不说明面内这无数条直线的位置关系，则该命题应打“×”.(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义的逆用，则该直线必须垂直于三角形的第三边，∴该命题应打“√”.(4)前面介绍了两个命题，①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，②过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，根据第一个命题知：过点A 垂直于直线a 的平面惟一，因此，过点A 且与直线a 垂直的直线都在过点A 且与直线a 垂直的平面内，∴该命题应打“√”.(5)三条共点直线两两垂直，设为a,b,c 有a,b,c 共点于O.∵a ⊥b,a ⊥c,b∩c=o,且b 、c 确定一平面，设为α，则a ⊥α.同理可知b 垂直于由a 、c 确定的平面，c 垂直于a 、b 确定的平面，∴该命题应打“√”.答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√2.直线l ⊥平面α，直线m ⊂α，则有()A.l 和m 异面B.l 和m 相交C.l ∥mD.l 不平行于m解析：直线l ⊥平面α,则l 和平面α有且只有一个交点即垂足P ，平面α内任一直线m 经过P 时，l 和m 相交，直线m 不经过P 时，由异面直线的判定定理知,l 和m 异面，故l 和m 不会平行.答案：D3.如图(1)，在正方形SG 1G 2G 3中，E 、F 分别是边G 1G 2，G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现沿SE 、SF 与EF 把这个正方形折成一个几何体如图(2)，使G 1、G 2、G 3三点重合于点G ，这样，下面结论成立的是( )A.SG ⊥平面EFGB.SD ⊥平面EFGC.GF ⊥平面SEFD.GD ⊥平面SEF解析:(1)(直接法)在图(1)中，SG 1⊥G 1E ，SG 3⊥G 3F ，右图(2)中，SG ⊥GE ，SG ⊥GF ，∴SG ⊥平面EFG.(2)(排除法)GF 即G 3F 不垂直于SF ，∴可以否定C ；在△GSD 中，GS=a(正方形边长)，GD=a 42,SD=a 423, ∴SG 2≠SD 2+GD 2,∠SDG≠90°,从而否定B 和D.答案：A4.已知m 、n 为异面直线，m ∥平面α,n ∥α,直线l ⊥m,l ⊥n,则( )A.l ⊥αB.l 和α不垂直C.l 可能与α垂直D.以上都不对解析：在α内取一点P ，则m 和P 确定一个平面β，设β∩α=m′.∵m ∥α,∴m ∥m′.∵l ⊥m,∴l ⊥m′.n 和P 确定一个平面γ，设γ∩α=n′,∵n ∥α,∴n ∥n′. ∵l ⊥n,∴l ⊥n′.∵m 和n 是异面直线，∴m′和n′相交于P.∴l ⊥α.答案：A5.如图，BC 是Rt △ABC 的斜边，AP ⊥平面ABC ，连结PB 、PC ，作PD ⊥BC 于点D ，连结AD ，则图中共有直角三角形__________个.解析：Rt △PAB 、Rt △PAC 、Rt △ABC 、Rt △ADP.可证BC ⊥平面APD ，由BC ⊥AD ，BC ⊥PD可证Rt △PBD 、Rt △PDC 、Rt △ADB 、Rt △ADC 共8个.答案：86.如图，α∩β=CD,EA ⊥α,垂足A ，EB ⊥β，垂足B.求证：CD ⊥AB.解析：∵EA ⊥α,CD ⊆α,根据直线和平面垂直的定义，则有CD ⊥EA.同样∵EB ⊥β，CD ⊆β,则有EB ⊥CD.又EA∩EB=E ，根据直线和平面垂直判定定理，则有CD ⊥平面AEB.又∵AB ⊆平面AEB ， ∴CD ⊥AB.7.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1的中点，O 为ABCD 的中心，求证：B 1O ⊥平面PAC.解析：使B 1O 垂直于平面PAC 中的两条相交直线.证明：连结AB 1、CB 1，设AB=1.因为AB 1=CB 1=2，AO=CO ，所以B 1O ⊥AC.连结PB 1.因为OB 12=OB 2+BB 12=23，PB 12=PD 12+B 1D 12=49，OP 2=PD 2+DO 2=43， 所以OB 12+OP 2=PB 12.所以B 1O ⊥PO.所以B 1O ⊥平面PAC.8.(1)二面角指的是( )A.两个平面相交所组成的角B.经过同一条直线的两个平面所组成的图形C.一条直线出发的两个半平面组成的图形D.两个平面所夹的不大于90°的角(2)下列说法错误的是( )A.过二面角的棱上某一特殊点，分别在两个半平面内引垂直于棱的射线，则这两条射线所成的角即为二面角的平面角B.和二面角的棱垂直的平面与二面角的两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角C.在二面角的一个面内引棱的垂线，该垂线与其在另一面内的射影所成的角是二面角的平面角D.二面角的平面角可以是一个锐角、一个直角或一个钝角解析：(1)根据二面角的定义讨论，故选C.(2)一一判断，可以发现应该选C.因为按C 中所给的方法，当二面角是一个锐角时，得到的确实是二面角的平面角；但当二面角是一个直二面角时，得到的是一个零度角；当二面角是一个钝角时，得到的是二面角平面角的一个补角.即C 中方法不具有普遍适用性.答案：(1)C (2)C9.如果一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角的大小关系是( )A.相等B.互补C.相等或互补D.大小关系不确定解析：如下图答案：C10.已知D 、E 分别是正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱AA 1和BB 1上的点，且A 1D=2B 1E=B 1C 1.求过D 、E 、C 1的平面与棱柱的下底面A 1B 1C 1所成的二面角的大小.解析：如图，在平面AA 1B 1B 内延长DE 和A 1B 1交于点F ，则F 是面DEC 1与面A 1B 1C 1的公共点，C 1F 为这两个平面的交线，∴所求二面角就是D C 1F A 1的平面角.∵A 1D ∥B 1E ，且A 1D=2B 1E ，∴E 、B 1分别为DF 和A 1F 的中点.∵A 1B 1=B 1C 1=A 1C 1，∴FC 1⊥A 1C 1.又面AA 1C 1C ⊥A 1B 1C 1，FC 1⊂面A 1B 1C 1,∴FC 1⊥面AA 1C 1C ，而DC 1⊂面AA 1C 1C ，∴FC 1⊥DC 1.∴∠DC 1A 1是二面角D-FC 1-A 1的平面角，由已知A 1D=B 1C 1=A 1C 1，∴∠DC 1A 1=4π. 故所求二面角的大小为4π. 11.河堤斜面与水平面所成的二面角为60°，堤面上有一条直道CD ，它与堤脚的水平线AB 的夹角为30°，沿这条直道从堤脚向上行走1033 m 时人升高了_________米( ) B.5.5 C解析：取CD 上一点E ，设CE=103 m ，过点E 作直线AB 所在的水平面的垂线EG ，垂足为G ，则线段EG 的长就是所求的高度.作EF ⊥AB 于F ，则EG=EFsin60°=CE·sin30°sin60° =5.72152321310==⨯⨯ (m).答案：D12.如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是( )A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直B.它们两两都垂直C.平面PAB与平面PBC垂直、与平面PAD不垂直D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直解析：在平面PAB中，∵AD⊥AB,AD⊥PA且AB，PA⊂面PAB∴AD⊥面PAB∴面PAD⊥面PAB∵BC∥AD∴BC⊥面PAB∴面PBC⊥面PAB答案：A13.已知m、l是直线，a、β是平面，给出下列命题：(1)若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α;(2)若l平行于α，则l平行于α内的所有直线；(3)若m⊂α，l⊂β,且l⊥m,则α⊥β；(4)若l⊂β，且l⊥α,则α⊥β；(5)若m⊂α，l⊂β，且α∥β，则l∥m.其中正确的命题的序号是( )解析：本题考查线与线、线与面、面与面的位置关系.命题(1)是线面垂直的判定定理，所以正确；命题(2)，l∥α,但l不能平行于α内所有直线；命题(3)，l⊥m,不能保证l⊥α，即分别包含l与m的平面α、β可能平行也可能相交而不垂直；命题(4)，为面面垂直的判定定理，所以正确；命题(5)，α∥β,但分别在α、β内的直线l与m可能平行，也可能异面.答案：(1)、(4)14.在空间，下列哪些命题是正确的( )①平行于同一条直线的两条直线互相平行②垂直于同一条直线的两条直线互相平行③平行于同一个平面的两条直线互相平行④垂直于同一个平面的两条直线互相平行A.仅②不正确B.仅①④正确C.仅①正确D.四个命题都正确解析：①该命题就是平行公理，因此该命题是正确的.②如图(1)，直线a⊥平面α,b⊆α,c⊆α,且b∩c=A,则a⊥b,a⊥c,即平面α内两条相交直线b,c都垂直于同一条直线a,但b,c的位置关系并不是平行，另外，b,c的位置关系也可以是异面，如果把直线b平移到平面α外，此时，与a的位置关系仍是垂直，但此时b,c的位置关系是异面.③如图(2)，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，易知A1B1平面ABCD，A1D1∥平面ABCD，但A1B1∩A1D1=A1，因此该命题是错误的，④该命题是线面垂直的性质定理，因此是正确的.综上可知①、④正确.(1) (2)答案：B15.课本在证明直线与平面垂直的性质定理时采用的方法是反证法.请思考在什么情况下我们要使用反证法，它的步骤是什么?答：反证法一般用于从正面入手很难考虑的时候，如题目中有“不可能”、“没有”、“至少”、“至多”等词语时，很难直接应用定理或公式，这时它们的反面往往只有一种情况，只要将这一种情况否定了，命题便得到证明.反证法的证题步骤是：(1)假设命题结论的反面成立;(2)从这个假设出发，一步步推导出与某个定理、公式或已知条件相矛盾的结论；(3)肯定原命题结论正确.16.判断下列命题的真假①两个平面垂直，过其中一个平面内一点作与它们交线垂直的直线，必垂直于另一个平面；②两个平面垂直，分别在这两个平面内且互相垂直的两直线，一定分别与另一平面垂直；③两平面垂直，分别在这两个平面内的两直线互相垂直.解析：①若该点在两个平面的交线上，则命题是错误的，如图(1)，正方体AC1中，平面AC⊥平面AD1，平面AC∩平面AD1=AD，在AD上取点A，连结AB1，则AB1⊥AD，即过棱上一点A的直线AB1与棱垂直，但AB1与平面ABCD不垂直，其错误的原因是AB1没有保证在平面ADD1A1内.可以看出：线在面内这一条件的重要性.②该命题注意了直线在平面内，但不能保证这两条直线都与棱垂直，如图(2)，在正方体AC1中，平面AD1⊥平面AC，AD1⊆平面ADD1A1,AB⊆平面ABCD，且AB⊥AD1，即AB与AD1相互垂直，但AD1与平面ABCD不垂直；③如图(2)，正方体AC1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，AD1⊆平面ADD1A1，AC⊂平面ABCD，AD1与AC所成的角为60°，即AD1与AC不垂直.答案：①假②假③假17.在下列命题中，假命题是( )A.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的任一直线，则α⊥βB.若平面α内任一直线平行于平面β，则α∥βC.若平面α⊥平面β，任取直线l⊂α,则必有l⊥βD.若平面α∥平面β,任取直线l⊂α,则必有l∥β解析：A中，直线l⊥β,l⊂α,所以α⊥β，A为真命题；B中，在α内取两相交直线，则此二直线平行于β，则α∥β，B为真命题；D为两平面平行的性质，为真命题；C为假命题，l。
直线与平面垂直的性质
根据上述分析，得到一个什么结论
性质定理： 垂直于同一个平面的 两条直线平行
总结为:上述定理通常叫做直线与平 面垂直的性质定理.用符号语言可表 述为： a , b a // b .该定理 有什么功能作用？
知识探究（二）直线与平面垂直的性质探究
思考1:设a，b为直线，α为平面， 若a⊥α，b//a，则b与α的位置关 系如何？为什么？
a
b
α
理论迁移
例1、已知：m、n是两条直线，L1、
L2是与m、n都垂直的两条直线，且直 线L与L1、L2都相交。 • 求证：∠1=∠2
L1 L
1 2
L2
n m
思考，总结
• • • • 证明两条直线平行的方法有： ⑴ 定义法：两直线共面但没有公共点。 ⑵ 平行线的传递性：a // b, a // c a // b ⑶ 直线与平面平行的性质定理： a // , ， b a // b • ⑷ 平面与平面平行的性质定理： // , a, b a // b • ⑸ 直线与平面垂直的性质定理：
C1
D1 A1
B1 C
B
D
A
由此猜想：
• 垂直于同一个平面的直线互相平行。 • 分析： 空间两条直线的位置关系有： 平行、相交、异面
现在我们用反证法试着证明一下：
• 证明：如图，若直线a，b不平行，那么它 们可能的位置关系是：相交、异面 • ①若直线a，b相交，设相交于点o。如图： • 与“过平面外一点有且只有一条垂线” o 相矛盾。
一、定义性质：
• 如果一条直线 和一个平面垂 直，那么这条 直线垂直于平 面内的任意一 条直线。
α
l
m
【高中数学必修二】2.3.3直线与平面垂直的性质
D′
A′ B′ O D A B
C′
C
Байду номын сангаас
我们再来看看直线和平面的距离的定义：
一条直线和一个平面平行，这条直 线上任意一点到平面的距离，叫做这条 直线和平面的距离．
注意： 线面平行是线面距存在的前提
数学运用
在棱长为a的正方体ABCD- A’B’C’D’中, 求:直线AC到平面A’BC’的距离。
D′
A′ B′ O D A B
a // b
直线和平面垂直的性质定理
垂直于同一个平面的两条直线 平行
学习了直线与平面垂直的判定定理和性 质定理，我们再来看看点到平面的距离的 定义：
从平面外一点引一个平面的垂线，这个 点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的 距离．
数学运用
在棱长为a的正方体ABCD- A’B’C’D’中, 求:点B’到平面A’BC’的距离。
这是一个真命题么？
已知：a⊥α， b⊥α 求证：a∥b．
证明：假定b与a不平行 设b∩α＝O，b′是经过点O与 直线a平行的直线
∵ a∥b′，a⊥α ∴b′⊥α 经过同一点O的两条直线b，b′都垂直于平面α 是不可能的 因此，a∥b
O
b'
直线和平面垂直的性质定理
垂直于同一个平面的两条直线 平行
a 符号语言： b
2.3.3
直线与平面垂直的性质
复习回顾
1、直线和平面垂直的定义 2、直线和平面垂直的判定定理 3、线面垂中的两个唯一性
新课讲授 线面垂中的一个重要结论
如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面， 那么另一条也垂直于同一个平面． 相关数学语言为 ：若a∥b，且a⊥α，则b⊥α． 这个结论可以用来证明直线和平面垂直 我们改变这个定理的题设和结论能得到命题： 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行
直线、平面垂直的判定与性质
第五节 直线、平面垂直的判定与性质 一、基础知识1．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义：直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直， 就说直线l 与平面α互相垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：⎣⎢⎡⎦⎥⎤❶如果一条直线与平面内再多（即无数条）的直线垂直，但这些直线不相交就不能说明这条直线与此平面垂直.2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理[要求一平面只需过另一平面的垂线．] 二、常用结论直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线． (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．考点一直线与平面垂直的判定与性质[典例]如图，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.[证明](1)在四棱锥P-ABCD中，∵P A⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴P A⊥CD，又∵AC⊥CD，且P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC.∵AE⊂平面P AC，∴CD⊥AE.(2)由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.∵PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵P A⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴P A⊥AB.又∵AB⊥AD，且P A∩AD＝A，∴AB⊥平面P AD，∵PD⊂平面P AD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.[解题技法] 证明线面垂直的4种方法(1)线面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α.(2)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.(3)性质：①a∥b，b⊥α⇒a⊥α，②α∥β，a⊥β⇒a⊥α.(4)α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l⇒l⊥γ.(客观题可用)[口诀归纳]线面垂直的关键，定义来证最常见，判定定理也常用，它的意义要记清.平面之内两直线，两线相交于一点，面外还有一直线，垂直两线是条件.[题组训练]1．(2019·安徽知名示范高中联考)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BC＝BB1，AB1∩A1B ＝E，D为AC上的点，B1C∥平面A1BD.(1)求证：BD⊥平面A1ACC1；(2)若AB＝1，且AC·AD＝1，求三棱锥A-BCB1的体积．解：(1)证明：如图，连接ED，∵平面AB1C∩平面A1BD＝ED，B1C∥平面A1BD，∴B1C ∥ED ， ∵E 为AB 1的中点， ∴D 为AC 的中点， ∵AB ＝BC ，∴BD ⊥AC .∵A 1A ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，∴A 1A ⊥BD . 又∵A 1A ，AC 是平面A 1ACC 1内的两条相交直线， ∴BD ⊥平面A 1ACC 1.(2)由AB ＝1，得BC ＝BB 1＝1，由(1)知AD ＝12AC ，又AC ·AD ＝1，∴AC 2＝2，∴AC 2＝2＝AB 2＋BC 2，∴AB ⊥BC ， ∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝12，∴V A -BCB 1＝V B 1-ABC ＝13S △ABC ·BB 1＝13×12×1＝16. 2.如图，S 是Rt △ABC 所在平面外一点，且SA ＝SB ＝SC ，D 为斜边AC 的中点． (1)求证：SD ⊥平面ABC ；(2)若AB ＝BC ，求证：BD ⊥平面SAC .证明：(1)如图所示，取AB 的中点E ，连接SE ，DE ， 在Rt △ABC 中，D ，E 分别为AC ，AB 的中点． ∴DE ∥BC ，∴DE ⊥AB ， ∵SA ＝SB ，∴SE ⊥AB .又SE ∩DE ＝E ，∴AB ⊥平面SDE . 又SD ⊂平面SDE ，∴AB ⊥SD .在△SAC 中，∵SA ＝SC ，D 为AC 的中点，∴SD ⊥AC . 又AC ∩AB ＝A ，∴SD ⊥平面ABC . (2)∵AB ＝BC ，∴BD ⊥AC ，由(1)可知，SD ⊥平面ABC ，又BD ⊂平面ABC ， ∴SD ⊥BD ，又SD ∩AC ＝D ，∴BD ⊥平面SAC .考点二 面面垂直的判定与性质[典例] (2018·江苏高考)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ，AB 1⊥B 1C 1.求证：(1)AB ∥平面A 1B 1C ； (2)平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC .[证明] (1)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1.因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ，所以AB ∥平面A 1B 1C . (2)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形．又因为AA 1＝AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形， 因此AB 1⊥A 1B .因为AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1， 所以AB 1⊥BC .因为A 1B ∩BC ＝B ，A 1B ⊂平面A 1BC ，BC ⊂平面A 1BC ， 所以AB 1⊥平面A 1BC . 因为AB 1⊂平面ABB 1A 1， 所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC .[解题技法] 证明面面垂直的2种方法[题组训练]1．(2019·武汉调研)如图，三棱锥P -ABC 中，底面ABC 是边长为2的正三角形，P A ⊥PC ，PB ＝2.求证：平面P AC ⊥平面ABC .证明：取AC 的中点O ，连接BO ，PO . 因为△ABC 是边长为2的正三角形，所以BO ⊥AC ，BO ＝ 3.因为P A ⊥PC ，所以PO ＝12AC ＝1.因为PB ＝2，所以OP 2＋OB 2＝PB 2，所以PO ⊥OB . 因为AC ∩OP ＝O ， 所以BO ⊥平面P AC . 又OB ⊂平面ABC ， 所以平面P AC ⊥平面ABC .2.(2018·安徽淮北一中模拟)如图，四棱锥P -ABCD 的底面是矩形，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是AB ，PD 的中点，且P A ＝AD .求证：(1)AF ∥平面PEC ； (2)平面PEC ⊥平面PCD .证明：(1)取PC 的中点G ，连接FG ，EG ，∵F 为PD 的中点，G 为PC 的中点， ∴FG 为△CDP 的中位线， ∴FG ∥CD ，FG ＝12CD .∵四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点， ∴AE ∥CD ，AE ＝12CD .∴FG ＝AE ，FG ∥AE ， ∴四边形AEGF 是平行四边形，∴AF ∥EG ，又EG ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ， ∴AF ∥平面PEC .(2)∵P A ＝AD ，F 为PD 中点，∴AF ⊥PD ， ∵P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴P A ⊥CD ，又∵CD ⊥AD ，AD ∩P A ＝A ， ∴CD ⊥平面P AD ， ∵AF ⊂平面P AD ， ∴CD ⊥AF . 又PD ∩CD ＝D ， ∴AF ⊥平面PCD . 由(1)知EG ∥AF ， ∴EG ⊥平面PCD ， 又EG ⊂平面PEC ， ∴平面PEC ⊥平面PCD .[课时跟踪检测]A 级1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是() A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β解析：选C对于C项，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故选C.2．(2019·湘东五校联考)已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β.其中正确的命题是()A．①④B．③④C．①②D．①③解析：选A对于①，若α∥β，m⊥α，l⊂β，则m⊥l，故①正确，排除B.对于④，若m∥l，m⊥α，则l⊥α，又l⊂β，所以α⊥β.故④正确．故选A.3．已知P A垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是()A．P A⊥BC B．BC⊥平面P ACC．AC⊥PB D．PC⊥BC解析：选C由P A⊥平面ACB⇒P A⊥BC，故A不符合题意；由BC⊥P A，BC⊥AC，P A∩AC＝A，可得BC⊥平面P AC，所以BC⊥PC，故B、D不符合题意；AC⊥PB显然不成立，故C符合题意．4.如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么点D在平面ABC内的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：选A因为AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，所以AC⊥平央ABD，又AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABD，所以点D在平面ABC内的射影H必在直线AB上．5.如图，在正四面体P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面P AED．平面PDE⊥平面ABC解析：选D因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确．在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，所以BC⊥平面P AE，又DF∥BC，则DF⊥平面P AE，从而平面PDF⊥平面P AE.因此选项B、C均正确．6.如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△P AC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________个；与AP垂直的直线有________个．解析：∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC.∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面P AC，又∵AP⊂平面P AC，∴AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.答案：3 17．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β；②若α外的一条直线l与α内的一条直线平行，则l∥α；③设α∩β＝l，若α内有一条直线垂直于l，则α⊥β；④直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条直线垂直．其中所有的真命题的序号是________．解析：①正确；②正确；满足③的α与β不一定垂直，所以③错误；直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条相交直线垂直，所以④错误．故所有的真命题的序号是①②.答案：①②8．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α.有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE.其中正确命题的序号是________．解析：如图所示，因为AA1∥平面α，平面α∩平面AA1B1B＝EH，所以AA1∥EH.同理AA1∥GF，所以EH∥GF，又ABC-A1B1C1是直三棱柱，易知EH＝GF＝AA1，所以四边形EFGH是平行四边形，故①正确；若平面α∥平面BB1C1C，由平面α∩平面A1B1C1＝GH，平面BCC1B1∩平面A1B1C1＝B1C1，知GH∥B1C1，而GH∥B1C1不一定成立，故②错误；由AA1⊥平面BCFE，结合AA1∥EH知EH⊥平面BCFE，又EH⊂平面α，所以平面α⊥平面BCFE，故③正确．答案：①③9．(2019·太原模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD ＝60°，P A ＝PD ＝AD ＝2，点M 在线段PC 上，且PM ＝2MC ，N 为AD 的中点．(1)求证：AD ⊥平面PNB ；(2)若平面P AD ⊥平面ABCD ，求三棱锥P -NBM 的体积． 解： (1)证明：连接BD . ∵P A ＝PD ，N 为AD 的中点， ∴PN ⊥AD .又底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，∴△ABD 为等边三角形， ∴BN ⊥AD ，又PN ∩BN ＝N ，∴AD ⊥平面PNB . (2)∵P A ＝PD ＝AD ＝2，∴PN ＝NB ＝ 3.又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PN ⊥AD ，∴PN ⊥平面ABCD ， ∴PN ⊥NB ，∴S △PNB ＝12×3×3＝32.∵AD ⊥平面PNB ，AD ∥BC ， ∴BC ⊥平面PNB .又PM ＝2MC ，∴V P -NBM ＝V M -PNB ＝23V C -PNB ＝23×13×32×2＝23. 10.如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊥A 1B 1.求证：(1)直线DE ∥平面A 1C 1F ； (2)平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .证明：(1)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ∥A 1C 1， 在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点． 所以DE ∥AC ，于是DE ∥A 1C 1，又因为DE ⊄平面A 1C 1F ，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ， 所以直线DE ∥平面A 1C 1F .(2)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1， 因为A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，所以AA 1⊥A 1C 1，又因为A 1C 1⊥A 1B 1，A 1B 1∩AA 1＝A 1，AA 1⊂平面ABB 1A 1，A 1B 1⊂平面ABB 1A 1， 所以A 1C 1⊥平面ABB 1A 1， 因为B 1D ⊂平面ABB 1A 1， 所以A 1C 1⊥B 1D ，又因为B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1∩A 1F ＝A 1，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ，A 1F ⊂平面A 1C 1F ，所以B 1D ⊥平面A 1C 1F ， 因为直线B 1D ⊂平面B 1DE ， 所以平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .B 级1．(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P -ABC 中，AB ＝BC ＝22，P A ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离． 解：(1)证明：因为P A ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点， 所以PO ⊥AC ，且PO ＝2 3. 连接OB ， 因为AB ＝BC ＝22AC ， 所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.所以PO 2＋OB 2＝PB 2，所以PO ⊥OB . 又因为AC ∩OB ＝O ，所以PO ⊥平面ABC . (2)作CH ⊥OM ，垂足为H ，又由(1)可得OP ⊥CH ， 所以CH ⊥平面POM .故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°，所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin ∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455.2．(2019·河南中原名校质量考评)如图，在四棱锥P -ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD ，E ，F 分别是CD ，PC 的中点．求证：(1)BE ∥平面P AD ； (2)平面BEF ⊥平面PCD .证明：(1)∵AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 是CD 的中点， ∴AB ∥DE 且AB ＝DE ，∴四边形ABED为平行四边形，∴AD∥BE，又BE⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，∴BE∥平面P AD.(2)∵AB⊥AD，∴四边形ABED为矩形，∴BE⊥CD，AD⊥CD，∵平面P AD⊥底面ABCD，平面P AD∩底面ABCD＝AD，P A⊥AD，∴P A⊥底面ABCD，∴P A⊥CD，又P A∩AD＝A，∴CD⊥平面P AD，∴CD⊥PD，∵E，F分别是CD，PC的中点，∴PD∥EF，∴CD⊥EF，又EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF，∵CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.。
2.3.3直线与平面垂直性质(新)
O
n
m
线线平行的性质定理
如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面， 那么另一条也垂直于同一个平面． 相关数学语言为 ：若a∥b，且a⊥α，则b⊥α．
请同学们改变这个定理的题设和结论，写出 一个新的你认为正确的命题．
如果直线a，b都垂直于平面α ，由观察可 知a//b，从理论上如何证明这个结论？
已知： a⊥平面 b⊥平面
a
a, b
b
问题① ：长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱AA1,BB1,CC1,DD1与底面 ABCD有什么位置关系？各侧棱之间又具有什么位置关系？ D1
A1 B1 D A B C C1
问题 ② ：如果有两条、三条或更多直线垂直于一 个平面，则这些直线之间会有什么位置关系呢？
a a1 a a2 a 3 n
求证：a∥b．
a
b
b'
cO O
(反证法)
线面垂直的性质定理：
垂直于同一平面的两直线互相平行.
图形语言：
a b
α
符号语言：
a ，b a // b
练习： 1.判断下列命题是否正确： （）垂直于同一条直线的两个平面互相平行. √ ） 1 （ （ ）垂直于同一个平面的两条直线平行. √ ） 2 （ （ ）一条直线在平面内，另一条直线与这个平面 3 垂直，则这两条直线互相垂直. √ ） （ b a
l
2.直线与平面垂直的判定定理
b
A
a
唯一性（一）
过一点有且只有一条直线和已知平面垂直
m A
唯一性（二）
过一点有且只有一个平面和已知直线垂直m来自AB思考1
如果直线a，b都垂直于同一条直线l，那么直 线a，b的位置关系如何？
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例1 已知：平面 =AB，PC ，PD ，垂足分
别是C、D，求证： AB CD 。
P
DB
H
C
A
理论迁移
如图，已知 I l,CA ,
于点A，CB 于点B，a , a AB,
求证：a // l .
C β
B
α
l
A
a
例2 PA 如图，已知 PA 矩形ABCD所 在平面，M、N分别是AB、PC的中点 求证： （1）MN CD; （2）若 PDA 45，o 求证：MN 面PCD
a ,b
过o作b'// a, b'// a, a
过点A有两条直线与平面 垂直 b' , 又 b 且b b' o,
这与“过一点有且只有一条直线垂过点o有直线b和b'垂直于，
直于已知平面”矛盾。
b与a不异面，综上假设不成立。
a与b不相交。
aA b
a // b
a b' b
o
4、自主探究—深化定理 问题③：
那么：
如果两条直线同垂直于一个平面，那么 这两条直线是否平行？
直线与平面垂直的性质定理: 如果两条直线同垂直于一个平面， 那么这两条直线平行.
3、启发引导—证明定理
已知：a ,b ，求证：a // b
证明：假定b不平行于a,则b与a相交或异面。
（1）若a与b相交设 ， a b A (2)若a与b异面，设b o
二、反证法的证明思路：反设→归谬→结论
三、两条直线平行的判定方法： 1、定义法：两直线共面且没有公共点。
2、平行线的传递性 记：a // b, a // c b // c 3、线面平行的性质定理 记：a // , a , b a // b
4、面面平行的性质定理 记： // , a, b a //b
a
b
1、线面垂直的概念
1、定义
2、如何判定线面垂直？ 2、判定定理
3、例１的结论
3、在空间，过一点，有几条直线与已知 平面垂直？过一点，有几个平面与已知直 线垂直？
唯一性公理一
过一点有且只有一条直线和已知平面垂直
m A
唯一性公理二
过一点有且只有一个平面和已知直线垂直
m
ABຫໍສະໝຸດ 4、我们已经知道：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面， 那么另一条也垂直于这个平面.
5、线面垂直的性质定理 记：a ,b a // b
如果两条直线与平面所成的角相等，则两直线平行吗？
b
a a b' b
a a bb
1
2
o o 1
A1
1
o11o1
2 oo22 A2
2
结论：平行、相交、异面
五、过程设计 (三) 线面垂直性质定理的应用
１、判断下列命题的正误。
√ （1）平行于同一直线的两条直线互相平行（ ）
（2）垂直于同一直线的两条直线互相平行（×） （3）平行于同一平面的两条直线互相平行（×）
P
A
M B
E N
D
C
练习:如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，EF是异 面直线AC与A1D的公垂线，求证：EF//BD1. 提示：异面直线的公垂线是指和两条异面直线 都垂直相交的直线
D1
C1
A1
F
B1 D
C
E
A
B
五、过程设计 (四) 总结反思——提高认识
一、直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线平行