定理34设函数fx在区间ab内可导

由定义知，f (x) 在 (a,b) 内单调增加；
若f ( ) 0，同理可证， f (x) 在 (a,b) 内单调减少；
需要说明的是：这个判定定理只是函数在区间内单调 增加 (或减少) 的充分条件.
例1 确定函数 f (x) 36x5 15x4 40x3 7 的单调区间.
解 f (x) 180x4 60x3 120x2
(a,b) 内可导，所以 f (x) 在闭区间x1, x2 上连续，在开
区间(x1, x2 )内可导，满足拉格朗日定理条件，因此有
f (x2 ) f (x1) f ( )(x2 x1) (x1 x2)，
因为 x2 x1 0 ，
若 f ( ) 0 ，则 f (x2 ) f (x1) 0 ，即 f (x2 ) f (x1).
2(x 2)(x 1)3(x 1 2x 4)3
6(x 2)(x 1)3(x 1).
由 f (x) 0 ，求得 x = 2，x = 1，x = 1 .
f (x) 的单调性
x (,2)
2 (2,1)
1 (1,1)
1 (1, )
x+2
0
x1
0
x1
0
f (x)
0
0
0
f (x)
例3
确定函数
y ex 1 x
60x2(x 1)(3x 2)，
f
(x)
0
，得
x
=
1，x
=
0，x
=
2 3
.
f (x) 的单调性
x (,1)
x+1
3x2
f (x)
f (x)
1 (1,0)
0
0
0
0,
2 3
2 3
2 3
,
0
0
0
例2 确定函数 f (x) (x 2)2(x 1)4 的单调区间. 解 f (x) 2(x 2)(x 1)4 4(x 2)2(x 1)3
定理 3. 4 设函数 f (x) 在区间 (a,b) 内可导. (1) 如果在 (a,b) 内，f (x) 0，那么函数 f (x) 在 (a,b) 内单
调增加；
(2) 如果在 (a,b) 内，f (x) 0，那么函数 f (x) 在 (a,b) 内单 调减少.
证 在 (a,b) 内任取两点 x1、x2，设 x1 x2 ，由于 f (x) 在
的单调区间.
解
பைடு நூலகம்
y
e
x
(1 (1
x) x)2
e
x
xe x (1 x)2
，
由 y 0 ，解得 x = 0；而当 x = 1 时，y不存在 .
f (x) 的单调性
x
(,1)
x
y
y
1
(1,0)
×
×
0
(0, )
0