九年级数学圆复习专题课件

点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F.
(1)求证：AE是⊙O的切线； 3
(1)证明：∵D是 的中点，
(2)若DH＝9，tan C＝4 ，求直径AB的长． ∴OE⊥AC，∴∠AFE＝90°，
∴∠E＋∠EAF＝90°.
∵∠AOE＝2∠C，∠CAE＝2∠C，
∴∠CAE＝∠AOE，
考点一 圆心角、弧、弦之间的关系
例1 (2018·青岛中考)如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝140°，点B
是 的中点，则∠D的度数是( )
如图，连接OB.∵点B是 的中点，
∴∠AOB＝ 1∠AOC＝70°，
2 由圆周角定理得∠D＝
1∠AOB＝35°.
2
故选D.A．70° B．55° C．35.5°
考点四 切线的性质与判定 (5年5考)
命题角度❶ 切线的性质
例4(2018·泰安中考)如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA＝140°，则
∠ACB的度数为(
)
【分析 】连接 OA ，OB ，由切线的性 质知 ∠OBM＝90° ，从而得
∠ABO＝∠BAO＝50°，由内角和定理知∠AOB＝80°，根据圆周角定
．(2019·泰安中考)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过 点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为( )
A．32° B．31° C．29° D．61°
小结： 常做的辅助线 见切线，连半 径
命题角度2 切线的判定
．(2019·济宁中考)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中
D．35°
利用圆心角、弧、弦的关系求角度
(1)在同圆或等圆中
(2)同一圆中半径处处相等，可构造等腰三角形实现“等边对等角”． (3)作辅助线法 遇到弦时：①过圆心作弦的垂线，再连接过弦的端点的半径，构造直角三 角形； ②连接圆心和弦的两个端点，构造等腰三角形，或连接圆周上一点和弦的 两个端点．
．如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别交⊙O于C，D两点，已知 弧AB,弧CD的 度数分别为88°，32°，则∠P的度数为( )
为．
【分析】连接OC，作CH⊥OB于
H，根据直角三角形的性质求出
AB，根据勾股定理求出BD，证明
△AOC为等边三角形，得到∠AOC
＝60°，∠COB＝30°，根据扇形
面积公式、三角形面积公式计算
A．26° C．30°
B．28° D．32°
考点二 垂径定理 (5年2考)
例2 (2015·泰安中考)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，⊙O的半 径为4，则AC的长等于( )
【分析】首先连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D，利用圆周角定理、 垂径 定理求解AC的长即可． 【自主解答】 如图，连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D. ∵∠AOC＝2∠B＝120°，OA＝OC， ∴∠OCD＝∠OAC＝30°. 在Rt△COD中，OC＝4，∠2OC3D＝30°， ∴CD＝OC·cos3 30°＝4× ＝2， ∴A小C结＝：2C涉D及＝弦4 时.故，选一A般.先作辅助线，构造垂径定理的应用环境
考点五 与弧长，扇形面积有关的计算 (5年1考)
例5 (2019·泰安中考)如图，将⊙O沿弦AB折叠， 恰好经过圆心O，若 ⊙O的半径为3，则 的长为( )
A. 1 π 2
C．2π
B．π D．3π
【分析】连接OA，OB，作OC⊥AB于C，根据翻转变换的性质得到O1C＝ 2
OA，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠AOB的度数，根 据弧长公式计算即可． 【自主解答】 如图，连接OA，OB，作OC⊥AB于C， 由题意得OC＝1 OA，
(2019·德州中考)如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，
CE＝1，AB＝6，则弦AF的长度为
．
【分析】连接OC，由圆周角定理可求得∠及其推论 (5年3考)
形的性质即可求得∠OBC的度数． 例3 (2017·泰安中考)如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝α，则∠OBC等于
2 ∴∠OAC＝30°. ∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAC＝30°， ∴∠AOB＝120°， ∴ 的长＝ ＝2π.故选C.
命题角度 求不规则图形的面积
例6 (2019·泰安中考)如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，
OA为半径作弧交AB于点A、点C，交OB于点D，若OA＝3，则阴影部分的面积
5
设HF＝3x，DF＝4x， 则DH＝5x＝9，
∵AF2＋4O8 F2 ＝OA2， ∴( )25＋(y－ )2＝
∵∠C＝∠FDH，∠DFH＝∠CFD，∴△DFH∽△CFD，y2，36
5
解得y＝10，
∴OA＝10，∴直径AB
的长为20.
切线的判定方法
(1)“连半径，证垂直”：若直线与圆有公共点，则连接圆心与交点得到 半径，证明半径与直线垂直． (2)“作垂直，证等径”：若未给出直线与圆的公共点，则过圆心作直线 的垂线段，证明垂线段的长等于半径．在判定时，必须说明“是半径”或 “点在圆上”，这是最容易犯错的地方．
理得出
A．40° B．50° C．60° D．70°
【 自 主 解 答 】 如 图 ， 连 接 OA ， OB ， 则 OB⊥BM ， ∴ ∠ BAO ＝ ∠ ABO ＝
∠MBA－ ∠OBM＝1140°－90°＝50°，∴∠AOB＝180°－50°×2＝80°， ∴∠ACB＝ 2∠AOB＝40°.故选A.
∴∠E＋∠AOE＝90°，
∴∠EAO＝90°，
∴AE是⊙O的切线．
2)若DH＝9，tan C＝ 3 ，求直径AB的长 4
(2)解：∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB.
∵∠C＝∠B，∴∠ODB＝∠C，
AF＝CF＝48 . 5
设 OA ＝ OD ＝ y ，
∴tan C＝tan∠ODB＝
∴OF3＝6 y－ .
(
)
A．180°－2α
连接OC.
B．2α
∵△ABC内接于⊙O，∠A＝α，
C．90°＋α
∴∠BOC＝2∠A＝2α.
D．90°－α
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝
＝90°－
α.故选D.
(2018·济宁中考)如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则 ∠BOD的度数是( )
A．50° B．60° C．80° D．100°