球面几何学_ppt课件
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球体ppt课件
球体的几何属性
01
02
03
表面积
球体的表面积计算公式为 4πr²，其中r为球体的半径 。
体积
球体的体积计算公式为 (4/3)πr³，其中r为球体的 半径。
球的半径
球心到球面任一点的距离 称为球的半径，通常用大 写字母r表示。
球体的应用
天文学
地球是一个近似于球体的天体， 研究地球和其他星球的运动规律 有助于了解天文学的基本原理。
产品展示
艺术创作
在雕塑、绘画等艺术创作中，使用球 体作为表现形式，创作出具有艺术美 感的作品。
在产品设计中，使用球体作为设计元 素或主题，突出产品的特点和美感。
05
球体与其他几何体的关系
球体与圆柱体的关系
球体与直圆柱体的关系
球体可以看作是一个直圆柱体以任意 轴截面旋转而成。直圆柱体的底面即 为球体的底面，直圆柱体的高度即为 球体的高度。
地球科学中的球体
总结词
地球科学中，球体用于描述地球的形状、大小和赤道半径等参数。
详细描述
地球是一个两极稍扁、赤道略鼓的不规则球体，但为了简化计算和测量，通常将地球视为正球体。地球科学中， 球体的参数如地球半径、地球质量等都是重要的研究内容，这些参数对于地球重力场、地球自转、地球磁场等方 面的研究都有重要影响。
物理学
在物理学中，球体常被用于研究 力学、热学和电磁学等领域的基 本原理。例如，在研究物体的运 动时，常常将物体简化为质点或
球体进行计算。
数学
在数学中，球体是研究几何学和 代数学等学科的基本对象之一。 例如，球的几何属性（如表面积 和体积）的计算公式在数学中有
广泛的应用。
02
球体的构造与性质
球体的构造
球面几何 ppt课件
1 8 0
1 8 0
❖
解球面三角形NBC，利用边的余弦定理 c o s B R C c o s 0 . 8 7 c o s 1 . 0 6 s i n 0 . 8 7 s i n 1 . 0 6 c o s 0 ，. 1 7
可以求出 B C 0 .2 4 R 1 .5 1 0 3 k m ，同理可得：B S 0 .1 6 R 1 .0 1 0 3 k m ， C S 0 .2 2 R 1 .4 1 0 3 k m ，
球面几何
3
（1）概念的类比
❖ 平面直线：直线没有端点，向两个方向无限 延伸。
❖ 球面直线：过球面上两点A、B的大圆叫作过 A、B两点的球面直线。大圆是封闭的、有限 的。
球面几何
4
（1）概念的类比
❖ 平面上的线段：直线上两点以及这两点之间 的部分。
❖ 球面上的线段：过球面上两点A、B的大圆的 劣弧叫做连接A、B两点的线段。
边各选择一个极点
，使得 都小 A, B,C
d(A ,A ')d ,(B ,B ')和 d(C ,C ')
于 2
。我们把球面三角形 ABC 叫做球面三角形
ABC的球极三角形，简称极三角形。
球面几何
18
co scaosb scio nsbcss A incco co scboscscio nscass iB naco
cosccosascionsabss iC nbco
❖ 球面三角形角的余弦定理：
c A o c s B o s C c so i B n s C sic n oa c o B c s o C s A c s o i C n s A sic nob c C o c s A o s B c s o i A n s B sic n oc
《球的体积与面积》课件
《球的体积与面积》PPT 课件
球的体积与表面积介绍
球的定义和特点
1 几何体
球是三维几何体，由无数个点构成，每个点与球心的距离相等。
2 形状规则
球的表面完全光滑，不具备棱角和边缘，是一种连续性的曲面。
3 球心与半径
球心是球的中心点，而半径是球心到球面上的任意一点的距离。
计算球的体积公式
体积公式
球的体积等于四分之三乘以 洛必达半径立方。
球表面积实例
用球的表面积公式计算5个颜色不同的球的总表面积。
常见问题解答
如何确定球的半径？
直接测量球面上的任意一点到球心的距离即可获得球的半径。
为什么球的体积和表面积公式中包含π？
π是一个数学常数，是圆形和球形的性质之一，用于计算圆和球的相关参数。
球的体积和表面积有什么应用？
球体积和表面积的计算在建筑、工程和科学领域中具有重要的应用，例如容器设计或液体储 存计量。
数学表示
体积 = (4/3) * π * r³
解释
球的体积是半径立方和一个 常数的乘积，常数值为4/3π。
计算球的表面积公式
表面积公式
球的表面积等于四乘以洛必达 半径平方。
数学表示
表面积 = 4 * π * r²
解释
球的表面积是半径平方和一个 常数的乘积，常数值为4π。
实例演示Βιβλιοθήκη 球体积实例用球的体积公式计算3个相同大小的球的总体积。
结论和总结
1
理解球的特点
通过定义和特点，我们了解了球的基本属性和形状。
2
计算球的体积和表面积
使用体积和表面积公式，我们可以准确计算球的容量和外表面积。
3
应用于实际问题
球的体积和表面积计算在各个领域中有着广泛的应用，助力解决实际问题。
球的体积与表面积介绍
球的定义和特点
1 几何体
球是三维几何体，由无数个点构成，每个点与球心的距离相等。
2 形状规则
球的表面完全光滑，不具备棱角和边缘，是一种连续性的曲面。
3 球心与半径
球心是球的中心点，而半径是球心到球面上的任意一点的距离。
计算球的体积公式
体积公式
球的体积等于四分之三乘以 洛必达半径立方。
球表面积实例
用球的表面积公式计算5个颜色不同的球的总表面积。
常见问题解答
如何确定球的半径？
直接测量球面上的任意一点到球心的距离即可获得球的半径。
为什么球的体积和表面积公式中包含π？
π是一个数学常数，是圆形和球形的性质之一，用于计算圆和球的相关参数。
球的体积和表面积有什么应用？
球体积和表面积的计算在建筑、工程和科学领域中具有重要的应用，例如容器设计或液体储 存计量。
数学表示
体积 = (4/3) * π * r³
解释
球的体积是半径立方和一个 常数的乘积，常数值为4/3π。
计算球的表面积公式
表面积公式
球的表面积等于四乘以洛必达 半径平方。
数学表示
表面积 = 4 * π * r²
解释
球的表面积是半径平方和一个 常数的乘积，常数值为4π。
实例演示Βιβλιοθήκη 球体积实例用球的体积公式计算3个相同大小的球的总体积。
结论和总结
1
理解球的特点
通过定义和特点，我们了解了球的基本属性和形状。
2
计算球的体积和表面积
使用体积和表面积公式，我们可以准确计算球的容量和外表面积。
3
应用于实际问题
球的体积和表面积计算在各个领域中有着广泛的应用，助力解决实际问题。
《球面上的几何》课件
距离的性质
球面上的距离具有唯一性、对 称性ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ三角不等式。
等距变换
介绍球面上的等距变换，可以 保持距离不变。
球面上的角度
夹角
学习如何计算球面上的夹角， 以及其与直角、周长的关系。
面积
了解如何计算球面上的三角形 面积，包括扇形和三角形。
球面上的三角形
探索球面上的三角形，包括直 角三角形和一般三角形。
球面上的曲率
了解地球上的地图投影技术及 其在导航和地理信息系统中的 应用。
天文学中的球面坐标系
探索天文学中使用的球面坐标 系，帮助我们导航并研究宇宙。
三维计算机图形学中的球 面描绘
介绍在计算机图形学中如何绘 制球面，并了解其在游戏和虚 拟现实中的应用。
《球面上的几何》PPT课 件
带您领略球面上的奇妙世界！探索球面的基本概念、距离和角度、曲率、投 影、计算以及它在实际应用中的广泛应用。
球面的基本概念
定义
球面是由一个半径相等的球体上的点构成的几何体。
特点
球面上的每个点到球心的距离都相等。
坐标系
使用球面坐标系来描述球面上的点。
球面上的距离
距离公式
使用球面距离公式计算球面上 两点之间的距离。
透视投影
学习球面上的透视投影，了解 它在视觉艺术和渲染中的应用。
球面上的计算
坐标转换
学习如何在球面上进行坐标转 换，以便在不同坐标系之间导 航。
方位角和俯仰角
了解如何使用方位角和俯仰角 来描述球面上的方向。
渐近线
探索球面上的渐近线，它们与 球面曲率和法曲率之间的关系。
球面上的应用
地球上的地图投影
曲率
研究球面的曲率，了解如何计 算曲率以及不同曲率之间的关 系。
人教A版高中数学选修3-3课件 8平面几何与球面几何的比较课件
欧几里得
庞加莱
教学目标
知识与能力
• 感知球面几何与平面几何的异同点． • 认识非欧几何的特点． • 了解庞加莱模型的内涵．
过程与方法
• 通过比较，了解平面几何与球面几何的异 同点．
• 进一步了解球面几何在实际生活中的应 用．
情感态度与价值观
• 让学生从对比中学习知识． • 从生活中大量存在的现象中总结规律． • 培养合作交流意识．
……
……
为什么会出现不同？
追溯其根源，是平面上有这样 一个结论：
过直线外一点，有且只有一 条直线与该直线不相交．
我们把两条不想交的直线称为平行线， 上述结论最早出现在欧几里得所著的《原 本》中，所以我们把上述结论称为欧氏平 行公理．在欧氏平行公理成立的条件下， 推导出来的所有定理及其他结果所组成的 几何体系成为欧氏几何．
教学重难点
• 球面几何与平面几何的比较． • 非欧几何的概念和意义． • 庞加莱模型．
比较
平面几何
球面几何
1.平面（球面）三角形两边之和大于第三边．
2.若两个平面（球面）三角形的三对边对应相等，则两个三 相 角形全等．
同 3.若两个平面（球面）三角形的两对边对应相等，且其夹角 的 对应相等，则两个三角形全等． 定 4.若两个平面（球面）三角形的两对角对应相等，且其夹边 理 对应相等，则两个三角形全等．
球面上的大圆可视为“直 线”．在球面上有这样一个结论：任 意两条“直线”（大圆）都相交，即 过“直线”外一点，没有一条“直线” 与该“直线”不相交．
也就是说，对球面上的大圆而言， 欧氏平行公理是不成立的．于是，在 球面上产生了一些与欧氏平面几何完 全不同的定理．
在欧氏平行公理不成立的条件下， 推导出来的所有定理与其结果所组 成的几何体系，称为非欧几何．
人教A版《球面三角形》PPT精美课件1
球面三角形
一、球、球面 在空间与一定点等距离的点的轨迹
称为球面（spherical surface）。 包围在球面中的实体称为球
（sphere）,这一定点称为球心。
R
●球心与球面上任
意一点间的距离称
为球半径R。
●过球心与球面相交的直线段称为球 直径。
●同球的半径和直径相等。 ●同理,半径或直径相等的球全等。
二、球面上的圆 任意一平面和球面相截的截痕是圆。
平面通过球心时，所 截成的圆称为大圆 （great circle）， 它的一段圆周叫大圆 弧。
平面不通过球心的圆称为小圆（small circle）， 它的一段圆周叫小圆弧。
三、大圆的性质
1．大圆的圆心与球心重合。
2．大圆的直径等于球直径，半径等于球半径。 3．大圆等分球面和球体。 4．同球上的两个大圆平面一定相交，交线是
人教A版《球面三角形》PPT精美课件1
a A
P
c
b
O
B
C
P′
球面上一点到某一
大圆弧上任意两点间的
d
球面距离都是90°，则
这一点就是该大圆的极
D
而这个大圆则是该点的
极线。极线必定是大圆
弧。
人教A版《球面三角形》PPT精美课件1
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五、球面角及其度量
球面上两大圆弧相交构成的角称为球面角 (spherical angle)，
人教A版《球面三角形》PPT精美课件1
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⑴ 边的余弦公式
c
b
a
记忆口诀： 一边的余弦等于其它两边余弦的乘积，加 上这两边正弦及其夹角余弦的乘积。
一、球、球面 在空间与一定点等距离的点的轨迹
称为球面（spherical surface）。 包围在球面中的实体称为球
（sphere）,这一定点称为球心。
R
●球心与球面上任
意一点间的距离称
为球半径R。
●过球心与球面相交的直线段称为球 直径。
●同球的半径和直径相等。 ●同理,半径或直径相等的球全等。
二、球面上的圆 任意一平面和球面相截的截痕是圆。
平面通过球心时，所 截成的圆称为大圆 （great circle）， 它的一段圆周叫大圆 弧。
平面不通过球心的圆称为小圆（small circle）， 它的一段圆周叫小圆弧。
三、大圆的性质
1．大圆的圆心与球心重合。
2．大圆的直径等于球直径，半径等于球半径。 3．大圆等分球面和球体。 4．同球上的两个大圆平面一定相交，交线是
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a A
P
c
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O
B
C
P′
球面上一点到某一
大圆弧上任意两点间的
d
球面距离都是90°，则
这一点就是该大圆的极
D
而这个大圆则是该点的
极线。极线必定是大圆
弧。
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五、球面角及其度量
球面上两大圆弧相交构成的角称为球面角 (spherical angle)，
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⑴ 边的余弦公式
c
b
a
记忆口诀： 一边的余弦等于其它两边余弦的乘积，加 上这两边正弦及其夹角余弦的乘积。
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12
在平面几何中，我们知道平面多边形 的内角和为(n-2)π，单位球面上球面三角形
△ABC的面积S´=（A+B+C-π），因此得到 球面三角形的内角和为S´+π．
13
我们大胆猜想，单位球面上，球面n （n≥3）边形的内角和等于（n-2）π+S,其 中S为球面n边形的面积．事实上猜测是正 确的．
14
拉公式
从橡皮变换角度看，简单多面体与球 等价，简单多面体的表面与球面等价．这 时，我们大胆想象，橡皮膜变成球后，组 成简单多面体的每个面的各条边可以与球 面多边形建立一定的联系．
下面我们给出欧拉公式的证明．
22
欧拉公式 如果用V 表示简单多面体的 顶点数，E 表示简单多面体的棱数，F表 示简单多面体的面数，那么：
25
调整“网络”，使其上的每一条曲线都 变成 上的一段大圆弧，那么简单多面体 就变成整个球面 ，且 的一个面变成 上的 多边形 ， 的顶点数、棱数、面数与 上的顶 点数、棱数、面数完全相同.这样就只研究 上的顶点数、棱数、面数的关系就行了．
26
把的各面编号：1，2，…，F， 的第一
个面变成 的第一个球面多边形，设此球面 多边形有 n 1 条边，它的内角的弧度数分别
与先学平面三角形再学平面多 边形一样，我们在球面三角形的基 础上，引进球面多边形的概念．
8
A1 A6
A2
A3
O
A4
A5
图 6-1
9
我们知道，在平面上，n(n≥3)条收尾相接且 互不相交的线段围成的封闭图形叫做n边 形．类似地，如图6-1中，在球面上有n个点： A1，A2,A3,. . . An，且任意三点不在同一个大圆 上，经过这n个点中任意两点做大圆，首尾顺 次相接劣弧A1A2,A2A3,. . .An-1An．
在平面几何中，我们知道平面多边形 的内角和为(n-2)π，单位球面上球面三角形
△ABC的面积S´=（A+B+C-π），因此得到 球面三角形的内角和为S´+π．
13
我们大胆猜想，单位球面上，球面n （n≥3）边形的内角和等于（n-2）π+S,其 中S为球面n边形的面积．事实上猜测是正 确的．
14
拉公式
从橡皮变换角度看，简单多面体与球 等价，简单多面体的表面与球面等价．这 时，我们大胆想象，橡皮膜变成球后，组 成简单多面体的每个面的各条边可以与球 面多边形建立一定的联系．
下面我们给出欧拉公式的证明．
22
欧拉公式 如果用V 表示简单多面体的 顶点数，E 表示简单多面体的棱数，F表 示简单多面体的面数，那么：
25
调整“网络”，使其上的每一条曲线都 变成 上的一段大圆弧，那么简单多面体 就变成整个球面 ，且 的一个面变成 上的 多边形 ， 的顶点数、棱数、面数与 上的顶 点数、棱数、面数完全相同.这样就只研究 上的顶点数、棱数、面数的关系就行了．
26
把的各面编号：1，2，…，F， 的第一
个面变成 的第一个球面多边形，设此球面 多边形有 n 1 条边，它的内角的弧度数分别
与先学平面三角形再学平面多 边形一样，我们在球面三角形的基 础上，引进球面多边形的概念．
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A1 A6
A2
A3
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A4
A5
图 6-1
9
我们知道，在平面上，n(n≥3)条收尾相接且 互不相交的线段围成的封闭图形叫做n边 形．类似地，如图6-1中，在球面上有n个点： A1，A2,A3,. . . An，且任意三点不在同一个大圆 上，经过这n个点中任意两点做大圆，首尾顺 次相接劣弧A1A2,A2A3,. . .An-1An．
湘教版高中数学选修3-3球面上的几何全套PPT课件
如图2-1，在平面内，通过任一指定 点A，沿着任一指定方向AM，有且只有一 条直线a.将直线a在这平面内移动，可以 使它改变到平面内任一指定直线b的位置， 并且使点A落到b上指定的点B，同时使方 向AM落到b上指定的方向BN.
简单地说，就是在平面内所有各点地 位均等(均匀)，一点处所有方向地位均 等(各向同性).这就是平面的对称性. “方向”的概念，可以从平面推广到球 面.球面在一点处的一个方向，就是球面在 这一点的切线方向(切线是过球面上一点垂 直于球半径的直线，它与球面有且只有一个 公共点，叫作切点).
三、简单的球面距离计算
了解纬度和经度的几何意义以后， 已经能直接进行一些沿着经线或纬线方 向的球面距离计算.
例3：北京的位性大致为北纬40°，东 经116°；纽约的位置大致为北纬40°， 西经74°.由此可见，北京和纽约大致 在同一条纬线上. 考虑北纬40°线上的两段弧:第一 段从北京向东，经过太平洋直到纽约; 第二段从北京向西，经过大西洋直到纽 约.这两段弧中哪一段较短?这段较短的 弧长度大约是多少千米?
定理3 （月形面积）设月形的角是 α（弧度），面积是S，球半径是R， 那么 S=2R²α.
四、球面三角形 平面几何中的三 角形，是由三条直线 围成的. 相应地，在球面 几何中，由三条大圆 弧顺次首尾相连，围 成的一个曲面区域， 叫作球面三角形.
定理3 (球面三角形面积)设球半径 为R.那么球面三角形ABC的面积为
在一个球面上，是否也存在不相交的大圆呢？
定理2 （大圆相交）同一球面的任何 两个大圆都相交，其交点是一双对径 点.
二、球面角
在北极或南极附近，两条经线 组成一个弯曲的角状图形，这是平 面里的角在球面上的类似物，叫做 球面角.
例1 地球仪上画出的24条经线，均匀分 布,问隔相等.所以，地球仪上每两条相邻 经线所成球面角的大小都相等，其大小为 360°÷24=15°
人教A版高中数学选修3-3-8.1 平面几何与球面几何的比较-课件(共15张PPT)
非欧几何的结论通过模型又可解释为欧氏几何 中的一个结论，这样一来，如果非欧几何是矛盾的， 那么，欧氏几何在逻辑上也是矛盾的，因此，庞加 莱模型告诉我们，如果欧氏几何是无矛盾的，那么 非欧几何也是无矛盾的。
第二个问题是单纯的一种几何是否能刻画物理世界？ 爱因斯坦认为，时间和空间是不可分割的，物理空间十 分复杂，无论欧氏几何或非欧几何都不能全面、精确的 解释物理的时空概念，但他们都是物理空间，对物理空 间在不同方面有很好的近似。也就是说，对待不同的实 际我们应该采用不同的几何。
明朝未及，我只有过好每一个今天，唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
人教A版高中数学选修3-3-3.2 球面二角形-课件(共17张PPT)
赤道是一个大圆，与赤道所在平 面平行的平面截地球表面所得的 小圆叫做纬线。过地球球面上一 点的纬线的纬度是指该点与球心 的连线与赤道平面所成的角的大 小。赤道以北叫北纬，赤道以南 叫南纬。赤道为0゜纬线。除赤 道以外的其他纬线都是小圆。
经度：二面角； 纬度：线面角。
定理1 （球幂定理）
（1）从球面外一点P向球面引割线，交球面于Q、R两点， 再从点P引球面的任意一条切线，切点为S，则
月形也可以看作球面上由两个大圆的各一半所围
成的图形.我们把
⌒ ABA'
⌒ ,Байду номын сангаасCA'
称为球面二角形
的边，记为 ABA' ,ACA' ，球面角∠BAC
或 ∠BA'C 称为球面二角形的夹角.
探究
类比平面上两条相交直线形成 的角，球面上的两个大圆可以 围成几个月形?
解：4个
设C的对径点为C'，B的对径点为B'， 则月形有： BACA'，CAB'A'，B'AC'A'，C'ABA' 四个。
明朝未及，我只有过好每一个今天，唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
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球面三角形 ABD 的内角和 5 = 3
1 2 2 球面三角形 的面积= 2 rABD 3 3
球面三角形 ABE 的内角和 7 =
4
3 3 球面三角形 ABE 的面积 = 2 r2 8 4
归纳出单位球面三角形的内角和公式
A B C S
猜测
证明
经线：以南极和北极为端点的半大圆
纬线
第二节 球面上的一些基本图形
1、大圆：过球心的平面在球面上的截线（直线） 小圆：不过球心的平面在球面上的截线。 2、优弧、劣弧：过球面上两点一定可以作一 个大圆。（球面上两点间的距离即劣弧长） 球面上连接两点的最短路径是经过这两点的 一段大圆弧——劣弧。
球面三角形 ABC 、 ABD 、 ABE 中
O B C
E D
ABC ACB ADC AED 2 2 3 BAC , BAD , BAE 2 3 4
分别计算： 球面三角形 ABC 、 ABD 、 ABE 的 内角和及面积
球面三角形 ABC 的内角和 3 = 2 球面三角形 ABC 的面积= 1 1 2 2 r 4 2
3.中学数学平面几何考点分析
练习：
（1）正方体的全面积是a,它的顶点都在球 面上，这个球的表面积是（ ）。
（2）球的半径为R，则它的外切正方体的 棱长为（ ），内接正方体的棱长为（ ）。
第九章 球面几何学
第九章 球面几何学
设想：在地球面上，从一个城市飞往另一个 城市，如何飞行距离最短？ ——球面上的几何学——一种新的几何学 ——一个与欧式平面几何不同的几何模型 研究方法：类比的思想方法（？） 空间想象能力、几何直观能力
第四节 球面三角形的边角关系
如何用向量的向量积证明球面上的余弦定理？
从球面上的正弦定理看球面和平面
球新的几何学 ——一个与欧式平面几何不同的几何模型 • 研究方法：类比的思想方法
为什么平面和球面上有些不同的性质呢？
分析
由月形的面积计算公式，得
S S 2 A ① 球面 ABC 球面 A ` BC
C`
A B`
S S 2 B ② 球面 ABC 球面 AB ` C S S 2 C ③ 球面 ABC 球面 ABC `
B A`
C
3 S S S S 2 A B C 球面 A 球面 B A ` B C 球面 C A ` C 球面 B A ` B C 2 又 ∵ S S S S 2 R 2 球面 AB 球面 A ` B C 球面 C A ` C B 球面 A ` B ` C
相交、相离、相切
结论： 一个平面与球面相交，所得的交线是一个 圆，且圆心与球心的连线垂直于这一平面。
用一个平面截一个球，截面是圆面。请同 学们思考什么时候是小圆，什么时候是大 圆？
二、直线与球面的位置关系：
同样，类比直线与圆的位置关系，来探究直线与
球的位置关系。
结论：
把球心O到直线L的距离记为OH， 当OH>R时，相离，直线与球没有公共点； 当OH=R时，相切，直线与球只有一个公共 点； 当OH<R时，相切，直线与球有两个公共点。 三、球幂定理
第三节 球面三角形的全等
类比平面三角形的全等—— 规定：两个球面三角形全等是指两个图形完 全相等，即球面三角形的六个元素：三条边、 三个角分别相等。
（只能在同一球面上或半径相等的球面上讨论）
1、“边边边”判定定理
证明：
2、“边角边”判定定理
3、“角边角”判定定理
自己证明 4、“角角角”判定定理
三面角： 如何度量内角和边长？
6、对顶三角形
对径点：球的直径的两个端点。
A C` B`
B A`
C
7、球极三角形
极点、赤道圆
性质1：
性质2：
第三节 球面三角形
一、球面三角形三边之间的关系
类比平面三角形的三边关系
二、球面等腰三角形
类比平面等腰三角形
三、球面三角形的周长
A C` B`
球面几何学
*几何轨迹与尺规作图 1.区别轨迹和图形 2.会用两面性证明轨迹命题 3.会按步骤解作图题（写出已知、求作，进 行分析，写出作法，证明，讨论）
*中小学平面几何教学综述 1.中小学数学课程中平面几何部分的内容要 求 2.中学平面几何典型例题（数学知识类、课题
学习类、信息技术应用类、实验与探究类、数学 活动类）
球面是空间中最完美匀称的曲面—— 两个半径相等的球面可以用平移叠合起来； 两个半径不相等的球面相差的就是放大缩小 的相似变换； 所以本质性的球面几何可以归纳到单位半径 的球面来讨论。
第一节 平面与球面、直线与球面的位置关 系
一、平面与球的位置关系：
类比直线与圆的位置关系，来探究平面与球的位置关系。
∵ S S 球面 ABC ` 球面 A ` B ` C 2 S 2 2 A B C 球面 ABC
将上面三个等式两边相加，得
即
A B C S
基本概念 单位球面三角形的 内角和公式
内角和公式的推测
内角和公式的证明 单位球面三角形的 面积公式
问 题
平面三角形内角和为π；
B A`
C
球面三角形内角和是多少？
球面三角形的内角和是定值吗？
A
ABC ACB ADB AEB
O B C E D
球面三角形 ABC 、 ABD 、 ABE 中
2
BAC BAD BA
探究单位球面三角形的内角和公式
A
思考题：
3、球面角：记作 （类比平面中的角） 如何度量球面角？——两平面构成的二面 角。
4、球面二角形：也叫月形，是球面上两个有 公共直径的半大圆所夹的部分。
思考：球面二角形的面积？
球面可以看成是球面角为 的月形。
5、球面三角形
（类比平面三角形） 不在同一条直线的三点——不在同一大圆上的三点 边、顶点、内角 球面几何学中最简单、最重要的图形