数学北师大版八年级下册等腰三角形(第三课时)
北师大版八年级数学(下) 第一章 三角形的证明 第3节 等腰三角形的判定与反证法
图⑤中，∵AB∥DE，∴∠A＝∠D＝30°，∵∠BCD＝∠A+∠B＝60°，
∴∠B＝60°﹣∠A＝30°，∴∠B＝∠A，∴△ABC 是等腰三角形；
能判定△ABC 是等腰三角形的有 4 个，故选：C．
例 2：如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝108°，BD＝AD＝AE，则图中等腰三角形的个数为（ ）
CBE 是等腰三角形．∴图中的等腰三角形有 8 个．故选：D．
B．6
C．7
D．8
例 3：已知：如图△ABC 中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线 BA 上找一点 D，使△ACD 为等腰三角
形，则∠ACD 的度数为
．
解：如图，有三种情形：
①当 AC＝AD 时，∠ACD＝70°． ②当 CD′＝AD′时，∠ACD′＝40°． ③当 AC＝AD″时，∠ACD″＝20°， 故答案为 70°或 40°或 20°
C．50°、60°
D．100°、30°
解：A、∵三角形中已知两个内角为30°、60°，∴第三个内角为 180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴这个三角形是直角三角形，不是等腰三角形，故选项 A 不符合题意；
B、∵三角形中已知两个内角为 40°、70°，∴第三个内角为 180°﹣40°﹣70°＝70°，
∴这个三角形由两个内角相等，∴这个三角形是等腰三角形，故选项 B 符合题意；
反证法
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后 由此推导出与定义、基本事实、已有定理或已知 条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成 立．这种证明方法称为反证法．
用反证法证题的一般步骤：
1. 假设: 先假设命题的结论不成立; 2. 归谬: 从这个假设出发进行推理,得出与定义、基本事实、 已有定理或已知条件相矛盾的结果；
北师大版数学八年级下册1.1 等腰三角形
AD=AD (公共边)，
B
∴ △BAD≌ △CAD (SAS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
DC
探究新知
结论 定理 等腰三角形的两个底角相等. 这一定理可简述为：“等边对等角”.
思考：由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B= ∠C之外， 你还可以得到哪些相等的线段和相等的角？
探究新知
可以作一条辅助线，运用全等三 角形的性质“对应角相等”来证.
思考：如何构造两个全等的三角形？
探究新知
方法一：作底边上的中线
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
A
证明： 作底边的中线AD，则BD=CD.
在△BAD和△CAD中，
AB=AC ( 已知 )， BD=CD ( 已作 )， AD=AD (公共边)，
（2）如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE吗？
由此你得到什么结论?
A
结论 在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD= ∠ABC，
∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE.
E
D
B
C
简述为：过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等.
探究新知
猜想证明： 等腰三角形两腰上的中线相等．
已知: 如图, 在△ABC中, AB=AC,BM,CN是△ABC两腰上的
思考2:你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?
探究新知 证明定理：等腰三角形的两个底角相等.
已知：如图,在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B=∠C.
思考：如何证明两个角相等呢？
A
B
C
探究新知 在七下学习轴对称时，我们利用折叠的方法说明了等腰
北师大版八年级数学下册1.1.1等腰三角形教学设计
教师在评价学生时，要关注学生在解决问题过程中的思考和方法，鼓励学生勇于尝试，激发学习积极性。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师出示一些生活中的等腰三角形实物，如等腰三角形的玩具、等腰三角形的图标等，引导学生观察这些图形的特点，激发学生的兴趣。
在课堂小结环节，教师引导学生回顾本节课所学内容，总结等腰三角形的性质和判定方法，加深印象。
6.布置课后作业，注重培养学生的实际应用能力。
设计一些实际问题，让学生在课后运用等腰三角形的性质解决问题，提高学生的数学应用意识。
7.开展小组合作活动，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
教学过程中，组织学生进行小组讨论、合作探究，让学生在互动交流中提高自己的表达能力和团队协作能力。
学生在学习过程中，对新知识充满好奇心，但学习动机和兴趣可能因个体差异而有所不同。部分学生可能对几何图形的理解和运用存在一定困难，需要教师在教学过程中关注个体差异，采用分层教学、个别辅导等方式，帮助学生克服学习难点。
此外，学生在合作交流方面已有一定的基础，但部分学生可能在实际操作中缺乏主动性和积极性。因此，在教学过程中，教师应注重引导学生积极参与课堂讨论，培养学生的合作意识和团队精神。
教学中，提出一些需要运用等腰三角形性质解决的问题，让学生通过自主探究、合作交流，逐步培养逻辑推理能力。
4.采用分层教学策略，针对不同层次的学生，设计不同难度的练习题，使每位学生都能得到有效的提高。
教师根据学生的认知水平和学习需求，设计基础题、提高题和拓展题，让每位学生都能在课堂上学有所得。
5.加强课堂小结，通过师生互动、生生互动，总结等腰三角形的性质和判定方法，巩固所学知识。
【四清导航】2015春八年级数学下册 1.1 等腰三角形(第3课时)课件 (新版)北师大版
解：∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2， ∵DE∥AC，∴∠2＝∠ADE.∴∠1＝∠ADE. ∴AE＝DE，∵AD⊥DB，∴∠ADB＝90°， ∴∠1＋∠ABD＝90°， ∠ADE＋∠BDE＝∠ADB＝90°， ∴∠ABD＝∠BDE.∴DE＝BE＝AE＝2.5
【综合运用】
18．(12分)如图，我301海监船于上午11时30分在A处观测钓鱼 岛B在北偏东60°，该船以每小时10海里的速度向东航行到C处， 再观测钓鱼岛在北偏东30°，航行到D处，观测到钓鱼岛B在 北偏西30°，当海监船从A处到达C处时恰与钓鱼岛B相距20海 里，请你确定301海监船从A处分别到达C处和D处所用的时间．
解：已知：△ABC的三个内角其中∠A最大． 求证：∠A≥60°. 证明：假设最大的∠A<60°，则∠B<60°， ∠C<60°，∴∠A＋∠B＋∠C<180°，这与三 角形的内角和相矛盾，故假设不成立，所以，三 角形中的最大内角不可能小于60°
等边三角形的判定 5．(4分)(2014· 广州)将四根长度相等的细木条首尾相接，用 钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变， 当∠B＝90°时，如图1，测得AC＝2，当∠B＝60°时， 如图2，AC＝( A ) 2 2 A. 2 B．2 C. 6 D．
等角对等边
1．(4分)如图，PQ为Rt△MPN斜边上的高，∠M＝45°，则图中 等腰三角形的个数有(C ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．(4分)如图所示，BD是△ABC的角平分线，∠A＝36°， 三 个等腰三角形，它们分别 ∠C＝72°，则图中共有____ 是 △ABD，△BCD，△ABC． 3．(6分)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，DE∥AC. 求证：△BED与△AED都是等腰三角形．
北师大版数学八年级下册1.等腰三角形的特殊性质及等边三角形的性质课件
新课讲授
典例分析
例 如图，已知△ABC，△BDE都是等边三角形． 求证：AE＝CD.
分析：要证AE＝CD，可通过证AE，CD所在的两个三角 形全等来实现，即证△ABE≌△CBD，条件可从 等边三角形中去寻找．
新课讲授
证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形， ∴AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE＝60°. AB＝CB， 在△ABE与△CBD中， ABE＝CBD， BE＝BD， ∴△ABE≌△CBD(SAS)． ∴AE＝CD.
第一章 三角形的证明
1 等腰三角形
课时2 等腰三角形的特殊性质及等边三角形的性质
学习目标
等腰三角形中相等的线段 等边三角形的性质.（重点、难点）
新课导入
等腰三角形有哪些性质？
1．等腰三角形的性质：等边对等角. 2．等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角形
顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相 重合.
新课讲授
典例分析
例 求证：等腰三角形两腰上的中线相等．
分析：先根据命题分析出题设和结论，画出图形，写 出已知和求证，然后利用等腰三角形的性质和 三角形全等的知识证明．
新课讲授
解：如图，在△ABC中，AB＝AC，CE和BD分别是AB 和AC上的中线， 求证：CE＝BD.
证明：∵AB＝AC，CE和BD分别是AB 和AC上的中线，
新课讲授
知识点2 等边三角形的性质
1．等边三角形的定义是什么？ 2．想一想
等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角 形的内角有什么特征呢?
新课讲授
定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角 都等于60°.
新课讲授
典例分析
例 已知：如图, 在△ABC中，AB= AC=BC. 求证：∠A= ∠ B = ∠ C = 60°. ∵AB = AC， ∴∠ B = ∠ C (等边对等角). 又∵AC = BC， ∴∠A= ∠ B (等边对等角). ∴∠A= ∠ B = ∠ C. 在△ABC中，∠A+∠ B+∠ C = 180°. ∴∠A= ∠ B = ∠ C = 60°.
北师大版八年级下册数学《1.1 第3课时 等腰三角形的判定与反证法》教案
北师大版八年级下册数学《1.1 第3课时等腰三角形的判定与反证法》教案一. 教材分析《1.1 第3课时等腰三角形的判定与反证法》这一课时，是在学生已经掌握了三角形的基本概念、三角形的分类、三角形性质等知识的基础上进行学习的。
本课时主要让学生学习等腰三角形的判定方法，以及运用反证法证明等腰三角形的性质。
通过这一课时的学习，使学生进一步理解三角形的性质，提高解决问题的能力。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的几何知识，对三角形有了一定的认识。
但是，对于等腰三角形的判定和反证法的运用，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，要注重引导学生，激发他们的思考，帮助他们理解和掌握等腰三角形的判定方法和反证法的运用。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握等腰三角形的判定方法，能够运用反证法证明等腰三角形的性质。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们的观察能力、思考能力和创新能力。
四. 教学重难点1.教学重点：等腰三角形的判定方法，反证法的运用。
2.教学难点：反证法的运用，等腰三角形性质的证明。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置问题情境，引导学生观察、思考、交流，激发学生的学习兴趣。
2.探究式教学法：引导学生主动探究等腰三角形的性质，培养学生的探究能力。
3.小组合作学习法：学生进行小组讨论，培养学生的合作意识，提高他们的交流能力。
六. 教学准备1.准备等腰三角形的模型或图片，用于引导学生观察和操作。
2.准备反证法的相关案例，用于讲解和练习。
3.准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示等腰三角形的图片，引导学生观察等腰三角形的特征，激发学生的学习兴趣。
提问：你们知道等腰三角形有什么特点吗？2.呈现（10分钟）呈现等腰三角形的判定方法，引导学生思考和交流，总结出等腰三角形的判定方法。
初中数学《等腰三角形》课件北师大版3
AD＝AD （公共边）B
D
C
∴ Rt△ABD≌Rt△ACD （HL） ∴ ∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）
A
方法1
作顶角的平分线AD 证：△ABD≌ △ACD （SAS）
12
方法2 作△ABC 的中线AD
证：△ABD≌ △ACD （SAS）
方法3 作△ABC 的高线AD
B
D
C
证Rt△ABD≌Rt△ACD （HL）
A
证明: 作△ABC 的中线AD
则有 BD＝ CD
在△ABD和△ACD中
AB＝AC BD＝CD
BD C
AD＝AD （公共边）
∴ △ABD≌ △ACD （SSS）
∴ ∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）
A
证明: 作△ABC 的高线AD
则有 ∠ADB＝∠ADC ＝90º
在Rt△ABD和Rt△ACD中
AB＝AC
某地地震后，河沿村中学的同学用下 面的方法检测教室房梁是否水平：
在等腰三角尺AB中点拴一条绳，线绳 的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺 的AB边贴在房梁上，结果线绳经过三 角尺的顶点C，同学们确信房梁是水平 的．他们的判断对吗？为什么？
AO B
C
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
A
一
△ABC中，AB = AC
4. 课堂归纳，小结提升
课后：
四 教学过程
5. 注重个性，布置作业
1、必做题：课本第143页A组第1、2、3题 2、选做题：课本第143页B组第1题
1.情节是叙事性文学作品内容构成的 要素之 一,是叙 事作品 中表现 人物之 间相互 关系的 一系列 生活事 件的发 展过程 。
2.它由一系列展示人物性格,反映人物 与人物 、人物 与环境 之间相 互关系 的具体 事件构 成。
新北师大版八年级数学下册《一章 三角形的证明 1. 等腰三角形 等边三角形的判定》教案_3
第一章三角形的证明等边三角形的判定1．知识目标理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30º角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题。
2．能力目标①经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．②经历实际操作，探索含有30º角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力；③在具体问题的证明过程中，有意识地渗透分类讨论、逆向思维的思想，提高学生的能力。
3．情感与价值观要求①积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.教学重点①等边三角形判定定理的发现与证明.②含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明.4．教学难点①含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明.②引导学生全面、周到地思考问题.二、教学过程学具准备：两个带30度角的三角板。
本节课设计了六个教学环节：第一环节：提问问题，引入新课；第二环节：自主探索；第三环节：实际操作提出问题；第四环节：变式训练巩固新知；第五环节：畅谈收获课时小结；第六环节：布置作业。
第一环节：提问问题，引入新课活动内容：教师回顾前面等腰三角形的性质和判定定理的基础上，直接提出问题：等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？又如何判别一个三角形是等边三角形呢？从而引入新课。
一个三角形满足什么条件时便成为等边三角形?你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗?你能证明你的结论吗?把你的证明思路与同伴交流．(教师应给学生自主探索、思考的时间，然后让其展示)第二环节：自主探索活动内容：学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件，并交流汇报各自的结论，教师适时要求学生给出相对规范的证明，概括出等边三角形的判别条件。
对于等腰三角形中有一个角为60度的两种情况，教师可以进一步提出要求：能否用更简捷的语言描述这个结论吗?从而引导学生得出：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
【北师大版】八年级数学下册《等腰三角形的判定》教案
北师大版八年级数学下册精编教案系列等腰三角形判定教学目标（一）教学知识点探索等腰三角形的判定定理．（二）能力训练要求探索等腰三角形的判定定理，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念．（三）情感与价值观要求通过对等腰三角形的判定定理的探索，让学生体会探索学习的乐趣，并通过等腰三角形的判定定理的简单应用，加深对定理的理解．从而培养学生利用已有知识解决实际问题的能力．教学重点等腰三角形的判定定理的探索和应用。
教学难点等腰三角形的判定与性质的区别。
教具准备作图工具和多媒体课件。
教学方法引导探索法；情景教学法教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]上节课我们学习了等腰三角形的性质，现在大家来回忆一下，等腰三角形有些什么性质呢？[生甲]等腰三角形的两底角相等．[生乙]等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．[师]同学们回答得很好，我们已经知道了等腰三角形的性质，那么满足了什么样的条件就能说一个三角形是等腰三角形呢？这就是我们这节课要研究的问题．Ⅱ．导入新课[师]同学们看下面的问题并讨论：思考：如图，位于在海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，•能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？[生甲]应该能同时赶到出事地点．因为两艘救生船的速度相同，同时出发，•在相同的时间内走过的路程应该相同，也就是OA=OB ，所以两船能同时赶到出事地点．[生乙]我认为能同时赶到O 点的位置很重要，也就是∠A 如果不等于∠B ，•那么同时以同样的速度就不一定能同时赶到出事地点．[师]现在我们把这个问题一般化，在一般的三角形中，如果有两个角相等，•那么它们所对的边有什么关系？[生丙]我想它们所对的边应该相等．[师]为什么它们所对的边相等呢？同学们思考一下，给出一个简单的证明． [生丁]我是运用三角形全等来证明的． （投影仪演示了同学证明过程）[例1]已知：在△ABC 中，∠B=∠C （如图）． 求证：AB=AC ．证明：作∠BAC 的平分线AD ． 在△BAD 和△CAD 中12,,,B C AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAD ≌△CAD （AAS ）． ∴AB=AC ．提问：你还有不同的证明方法吗？ （演示课件）等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．[师]下面我们通过几个例题来初步学习等腰三角形判定定理的简单运用． （演示课件）[例2]求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．[师]这个题是文字叙述的证明题，•我们首先得将文字语言转化成相应的数学语言，再根据题意画出相应的几何图形．21D CA21EDA已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1=∠2，AD ∥BC （如图）． 求证：AB=AC ．[师]同学们先思考，再分析．[生]要证明AB=AC ，可先证明∠B=∠C ．[师]这位同学首先想到我们这节课的重点内容，很好! [生]接下来，可以找∠B 、∠C 与∠1、∠2的关系． [师]我们共同证明，注意每一步证明的理论根据． （演示课件，括号内部分由学生来填） 证明：∵AD ∥BC ，∴∠1=∠B （两直线平行，同位角相等）， ∠2=∠C （两直线平行，内错角相等）． 又∵∠1=∠2， ∴∠B=∠C ，∴AB=AC （等角对等边）．[师]看大屏幕，同学们试着完成这个题． （课件演示）已知：如图，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ． 求证：AB=AD ．（投影仪演示学生证明过程） 证明：∵AD ∥BC ，∴∠ADB=∠DBC （两直线平行，内错角相等）． 又∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD=∠DBC ， ∴∠ABD=∠ADB ， ∴AB=AD （等角对等边）． [师]下面来看另一个例题． （演示课件）[例3]如图（1），标杆AB 的高为5米，为了将它固定，需要由它的中点C•向地面上与点B 距离相等的D 、E 两点拉两条绳子，使得D 、B 、E 在一条直线上，量得DE=4米，•绳子CD 和CE 要多长？DCABCA[师]这是一个与实际生活相关的问题，解决这类型问题，需要将实际问题抽象为数学模型．本题是在等腰三角形中已知等腰三角形的底边和底边上的高，求腰长的问题．解：选取比例尺为1：100（即为1cm代表1m）．（1）作线段DE=4cm；（2）作线段DE的垂直平分线MN，与DE交于点B；（3）在MN上截取BC=2.5cm；（4）连接CD、CE，△CDE就是所求的等腰三角形，量出CD的长，•就可以算出要求的绳长．[师]同学们按以上步骤来做一做，看结果是多少．Ⅲ．随堂练习（一）课本1．如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，分别计算∠1、∠2的度数，•并说明图中有哪些等腰三角形。
等腰三角形 第三课时-八年级数学下册课件(北师大版)
2 在下列三角形中，若AB＝AC，则不能被一条直线分
成两个小等腰三角形的是( B )
3 在平面直角坐标系中，已知A (2，2)，B (4，0)．若在坐 标轴上取点C，使△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C
的个数是( B )
A．5
B．6
C．7
D．8
4 如图，已知在△ABC 中，AB＝AC，BD，CE 是高，BD 与CE 相交于点O. (1)求证：OB＝OC； (2)若∠ABC＝50°，求∠BOC 的度数．
2．等腰三角形的判定与性质的异同
相同点：都是在一个三角形中；
区别：判定是由角到边，性质是由边到角．
即： 等边
性质 判定
等角
．
例1 已知：如图，AB＝DC，BD＝CA，BD 与CA 相交于点E. 求证：△AED 是等腰三角形.
A
D
E
B
C
证明：∵AB＝DC，BD＝CA，AD＝DA， ∴△ABD ≌ △DCA ( SSS ). ∴ ∠ADB＝DAC (全等三角形的对应角相等). ∴AE＝DE (等角对等边). ∴△AED 是等腰三角形.
故△BDE 为等腰三角形．
B
C
2 在△ABC 中，∠A 和∠B 的度数如下，能判定△ABC 是等腰三角
形的是( B )
A．∠A＝50°，∠B＝70° B．∠A＝70°，∠B＝40° C．∠A＝30°，∠B＝90° D．∠A＝80°，∠B＝60°
3 如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等 腰三角形有( D ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
∴∠DAB 是一个直角或钝角的假设不成立． ∴∠DAB 是一个锐角．
1 如图，一艘轮船在A 处测得灯塔P 位于其北偏东60°方向上， 轮船沿正东方向航行30 n mile到达B 处后，此时测得灯塔P 位于其北偏东30°方向上，此时轮船与灯塔P 的距离是( B )
等腰三角形(3)课件2022-2023学年北师大版八年级数学下册
6.【例3】用反证法证明:等腰三角形两底角必为锐角.
证明:①假设等腰三角形的底角∠B,∠C都是直角, 则∠B＋∠C＝180°,则∠A＋∠B＋∠C＝180°＋∠A＞180°, 这与三角形内角和等于180°矛盾. ②假设等腰三角形的底角∠B,∠C都是钝角, 则∠B＋∠C＞180°,则∠A＋∠B＋∠C＞180°, 这与三角形内角和等于180°矛盾. 综上所述,假设①②错误, 所以∠B,∠C只能为锐角. 故等腰三角形两底角必为锐角.
对点训练
1.(北师8下P8、人教8上P77)如图,在△ABC中,∠B＝∠C,求 证:AB＝AC. (提示:添加辅助线,构造全等三角形)
证法一:如图1,作∠BAC的平分线,交BC于点D.
∵AD平分∠BAC,∴∠BAD＝∠CAD.
∵∠B＝∠C,AD＝AD,
∴△ABD≌△ACD(AAS).∴AB＝AC.
解:(1)∵∠ABC＝∠ACB, ∴AB＝AC. ∴△ABC是等腰三角形. ∵BE＝BD＝BC, ∴△BCD,△BED是等腰三角形. ∴图中所有的等腰三角形有:△ABC,△BCD,△BED.
(2)∵∠AED＝114°,∴∠BED＝180°－∠AED＝66°. ∵BD＝BE,∴∠BDE＝∠BED＝66°. ∴∠ABD＝180°－66°×2＝48°. 设∠ACB＝x°,∴∠ABC＝∠ACB＝x°. ∴∠A＝180°－2x°. ∵BC＝BD,∴∠BDC＝∠ACB＝x°. 又∵∠BDC为△ABD的外角, ∴∠BDC＝∠A＋∠ABD. ∴x＝180－2x＋48,解得x＝76.∴∠ACB＝76°.
等腰 三角形.
9.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,EF∥AD,交 AC于点E,交BA的延长线于点F,求证:△AEF是等腰三角形.
北师大版数学八年级下册1.1.3《等腰三角形的判定及反证法》说课稿
北师大版数学八年级下册1.1.3《等腰三角形的判定及反证法》说课稿一. 教材分析《等腰三角形的判定及反证法》这一节内容是北师大版数学八年级下册第1章第1节的一部分。
在此之前，学生已经学习了三角形的基本概念和性质，对三角形有了初步的认识。
本节课主要引导学生探究等腰三角形的性质，并运用反证法进行证明。
教材通过引入等腰三角形的定义和性质，让学生体会数学的推理过程，培养学生的逻辑思维能力。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对三角形的相关知识有一定的了解。
但是，对于等腰三角形的性质和反证法的运用，还需要通过本节课的学习来进一步掌握。
学生在学习过程中，需要通过观察、操作、思考、推理等环节，逐步理解等腰三角形的性质，学会运用反证法进行证明。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生能掌握等腰三角形的性质，学会运用反证法进行证明。
2.过程与方法：学生通过观察、操作、思考、推理等环节，培养逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：学生体验数学的推理过程，增强对数学的兴趣和信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：等腰三角形的性质，反证法的运用。
2.教学难点：反证法的理解与运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、启发式教学法、合作学习法等。
2.教学手段：多媒体课件、黑板、几何模型等。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习三角形的基本概念和性质，引出等腰三角形的定义。
2.探究等腰三角形的性质：学生分组讨论，每组尝试用反证法证明等腰三角形的性质。
3.汇报展示：各组汇报探究过程和结果，教师点评并总结。
4.练习巩固：学生独立完成教材中的练习题，教师讲解答案。
5.拓展延伸：引导学生思考等腰三角形的判定问题，学生自主探究并分享成果。
6.总结反思：学生总结本节课的收获，教师进行情感态度的评价。
七. 说板书设计板书设计如下：等腰三角形的性质1.定义：两腰相等的三角形叫等腰三角形。
a.两腰相等b.底角相等c.高线、中线、角平分线重合2.假设结论不成立3.从假设出发，推出矛盾4.矛盾说明假设不成立，结论成立八. 说教学评价1.学生能准确描述等腰三角形的性质，学会运用反证法进行证明。
北师大版八年级数学下册 等腰三角形(基础)知识讲解 含答案解析
等腰三角形（基础）知识讲解责编：杜少波【学习目标】1. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性；2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图．3. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程. 通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题.【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义1.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC 为腰，BC 为底边, ∠A是顶角，∠B、∠C是底角．2.等腰三角形的作法已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作线段BC=a；2.分别以B,C 为圆心，以b 为半径画弧，两弧相交于点A;(3)BD＝CD，AD 为底边上的中线.(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD 为底边上的高线.结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.4.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝180A角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝.2（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定，知识要点】要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°.性质 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．2.等腰三角形中重要线段的性质等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等.要点诠释：这条性质，还可以推广到一下结论：（1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。
北师大版数学 八年级下册 第一章第3课时 等腰三角形的判定与反证法 优秀课件
由题得AB=15×2=30（海里）
N B 72° 36° C
∵ ∠A= ∠C
∴ BC=AB=30 （海里）
36°
A
2、如图， △ABC中， ∠A=36°，AB=AC, BD平分 ∠ABC, DE∥BC, EF平分∠AED，问在这个图形中，有 那几个等腰三角形？请分别写出来.
A
△ABC、 △BCD 、△EBD、 △EDF 、△FAE 、△ADE、 △ABD
的形式．而已知中的角平分线和平 行线告诉我们图形中有等腰三角形
M
D
出现，因此，找到问题的突破口． B
N C
4、已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个数 中至少有一个大于或等于1/5.
证明: 设这五个正数为a1、a2、a3、a4、a5 假设这五个数中没有一个大于或等于1/5,即都小于1/5, 那么这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1. 这与已知这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾. 因此, 假设不成立，即这五个数中至少有一个大于或等于 1/5成立.
36°
F
E 36°72°D
73263°°6°
B
72°
C
想一想
小明说, 在一个三角形中，如果两个角不相等, 那么这两个角所对的边也不相等.
即在△ABC中, 如果∠B≠∠C, 那么AB≠AC.
A
B
C
你认为这个结论成立吗? 如果成立, 你能证明它吗?
小明是这样想的:
如图, 在△ABC中, 已知∠B≠∠C, 此时, AB与AC要
B
C
在△ABD和 △ACD中
D
∵∠B＝∠C. ∠ADB＝∠ADC.AD=AD
北师大版数学八年级下册1.等腰三角形的判定及反证法课件
解：△BDE 是等腰三角形. ∵ BD 平分∠ABC， ∴∠ABD = ∠DBC， 又∵DE∥BC， ∴∠DBC = ∠EDB， ∴∠ABD =∠EDB， ∴△BDE 是等腰三角形.
练习
1-1 如图，AE平分∠BAC，DE∥AB，若 AD=5，则DE的长是____5___.
知识点二：反证法
于是∠A +∠B +∠C = 180°+∠C ＞180°. 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠A 和∠B 是直角”的假设不成立. 所以，一个三角形中不能有两个角是直角.
【选自教材P9随堂练习第2题】
2. 已知五个正数的和等于1，用反证法证明：
这五个数中至少有一个大于或等于 1 . 5
证明：假设这五个数是a1，，a3，a4，a5全
∴AB = AC.
B
D
C
定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形.
这一定理可以简述为：等角对等边.
几何语言：
A
在△ABC中，
∵∠B =∠C （已知）
∴ AB = AC（等角对等边） B
C
例 已知：如图，AB = DC，BD = CA， BD 与 CA 相交于点 E.求证：△AED 是等腰三 角形.
第3课时 等腰三角形的判定及反证法
北师版八年级数学下册
学习目标
1、掌握并运用等腰三角形的判定定理； 2、理解反证法的含义，并运用反证法证明命 题.
回顾复习
等腰三角形的特殊性质： 等腰三角形_两__底__角__的__平__分__线__相等、_两__腰__上__的__高_ 相等、_两__腰__上__中__线__相等. 等腰三角形的性质定理： 等腰三角形的两个底角相等.
A C
反证法：在证明时，先假设命题的结论不 成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定 理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的 结论一定成立.这种证明方法称为反证法.
广平县第八中学八年级数学下册第一章三角形的证明1等腰三角形第3课时等腰三角形的判定教案新版北师大版9
第3课时等腰三角形的判定1．探索等腰三角形的判定定理．2．理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．3．了解反证法的基本证明思路，并能简单应用．4．培养学生的逆向思维能力．重点掌握等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．难点理解和掌握反证法的证明方法．一、复习导入问题1：等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？问题2：我们是如何证明上述定理的？问题3：我们把性质定理的条件和结论反过来还成立吗？如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等吗？二、探究新知1．等腰三角形的判定定理师：你能证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”吗？并与同伴交流．处理方式：学生在练习本上画图，写出已知、求证；小组之间探究讨论多种证明方法．已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C.求证：AB＝AC.证法一：过点A作BC的垂线，垂足为D.∵AD⊥BC ，∴∠BDA＝∠CDA＝ 90°.在△ABD和△ACD中，∵∠B＝∠C, ∠BDA＝∠CDA, AD＝AD ，∴△ABD≌△ACD (AAS)．∴ AB＝AC (全等三角形的对应边相等)．证法二：作∠BAC的角平分线，交BC于点D.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.在△ABD和△ACD中，∵∠B＝∠C, ∠BAD＝∠CAD, AD＝AD,∴△ABD≌△ACD (AAS) .∴AB＝AC(全等三角形的对应边相等)．(教师引导学生类比“等边对等角”的证明方法正确地添加辅助线，规范地写出推理过程，鼓励学生一题多解．)师指出：作△ABC的边BC的中线，虽然把△ABC分成了两个三角形，这两个三角形对应两边及其一边的对角分别相等，这是“SSA”，是不能证明两个三角形全等的．因此，这种添加辅助线的方法是不可行的．引导学生归纳等腰三角形的判定定理：定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形．简述为：等角对等边．2．反证法课件出示：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？处理方法：学生积极动脑思考，小组交流讨论．师引导：用综合法证明本结论是行不通的，因此，我们要探究一种新方法来完成它的证明，下面来看小明同学的想法：(课件出示)如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等．假设AB＝AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C＝∠B，但已知条件是∠B≠∠C.这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因此AB≠AC.师：你能理解他的推理过程吗？师出示“反证法”的定义：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．三、举例分析例1 已知：如图，AB＝DC，BD＝CA，BD与CA相交于点E.求证：△AED是等腰三角形．证明：∵AB＝DC，BD＝CA，AD＝DA ，∴△ABD≌△DCA.∴∠ADB＝∠DAC(全等三角形的对应角相等)．∴AE＝DE(等角对等边)．∴△AED是等腰三角形．例2 (课件出示教材第9页例3)处理方法：学生独立完成，教师点评．四、练习巩固1．如果三角形的一个外角是130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是( )A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形2．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝40°，D，E是BC上两点，且∠ADE＝∠AED＝80°，则图中共有等腰三角形( )A．6个B．5个C．4个D．3个,第2题图) ,第3题图) 3．如图，已知△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，又DE∥BC，交AC于点E，若DE ＝4 cm，AE＝5 cm，则AC等于( )A．5 cm B．4 cm C．9 cm D．1 cm五、课堂小结通过本节课的学习，你有什么收获？六、课外作业1．教材第9页“随堂练习”第1、2题．2．教材第9～10页习题1.3第1～4题．本节课的主要内容是探索等腰三角形的判定定理，在复习性质定理的基础上，引导学生反过来思考猜想新的命题，并进行证明．这样可以发展学生的逆向思维能力，同时引入反证法的基本证明思路，学习与运用反证法也成为本课时的教学任务之一．第4章一次函数一、选择题（共26小题）1．2017年5月10日上午，小华同学接到通知，她的作文通过了《我的中国梦》征文选拔，需尽快上交该作文的电子文稿．接到通知后，小华立即在电脑上打字录入这篇文稿，录入一段时间后因事暂停，过了一小会，小华继续录入并加快了录入速度，直至录入完成．设从录入文稿开始所经过的时间为x，录入字数为y，下面能反映y与x的函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．2．小刚以400米/分的速度匀速骑车5分，在原地休息了6分，然后以500米/分的速度骑回出发地．下列函数图象能表达这一过程的是（）A．B．C．D．3．小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，加快了骑车速度，下面是小明离家后他到学校剩下的路程s关于时间t的函数图象，那么符合小明行驶情况的图象大致是（）A．B．C．D．4．均匀地向如图的容器中注满水，能反映在注水过程中水面高度h随时间t变化的函数图象是（）A．B．C．D．5．如图，某个函数的图象由线段AB和BC组成，其中点A（0，），B（1，），C（2，），则此函数的最小值是（）A．0 B．C．1 D．6．某星期天下午，小强和同学小明相约在某公共汽车站一起乘车回学校，小强从家出发先步行到车站，等小明到了后两人一起乘公共汽车回到学校．图中折线表示小强离开家的路程y（公里）和所用的时间x（分）之间的函数关系．下列说法错误的是（）A．小强从家到公共汽车站步行了2公里B．小强在公共汽车站等小明用了10分钟C．公共汽车的平均速度是30公里/小时D．小强乘公共汽车用了20分钟7．货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小汽车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距180千米，货车的速度为60千米/小时，小汽车的速度为90千米/小时，则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y（千米）与各自行驶时间t（小时）之间的函数图象是（）A．B．C．D．8．如图，在矩形中截取两个相同的正方形作为立方体的上下底面，剩余的矩形作为立方体的侧面，刚好能组成立方体．设矩形的长和宽分别为y和x，则y与x的函数图象大致是（）A．B．C．D．9．小张的爷爷每天坚持体育锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿原路慢步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距离y（米）与时间t（分钟）之间关系的大致图象是（）A．B．C．D．10．如图，挂在弹簧称上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧称匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力），弹簧称的读数F（N）与时间t（s）的函数图象大致是（）A．B．C．D．11．函数y=的图象为（）A．B．C．D．12．匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为一折线），这个容器的形状是下图中的（）A．B．C．D．13．如果两个变量x、y之间的函数关系如图所示，则函数值y的取值范围是（）A．﹣3≤y≤3B．0≤y≤2C．1≤y≤3D．0≤y≤314．甲、乙两人在操场上赛跑，他们赛跑的路程S（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（）A．甲、乙两人进行1000米赛跑B．甲先慢后快，乙先快后慢C．比赛到2分钟时，甲、乙两人跑过的路程相等D．甲先到达终点15．如图所示的容器内装满水，打开排水管，容器内的水匀速流出，则容器内液面的高度h随时间x变化的函数图象最接近实际情况的是（）A． B．C． D．16．如图，匀速地向此容器内注水，直到把容器注满，在注水过程中，下列图象能大致反映水面高度h随注水时间t变化规律的是（）A．B．C．D．17．如图，小红居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程S之间的变化关系用图象刻画出来，大致图象是（）A． B．C．D．18．汽车以60千米/时的速度在公路上匀速行驶，1小时后进入高速路，继续以100千米/时的速度匀速行驶，则汽车行驶的路程s（千米）与行驶的时间t（时）的函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．19．小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家，如图描述了小明在散步过程汇总离家的距离s（米）与散步所用时间t（分）之间的函数关系，根据图象，下列信息错误的是（）A．小明看报用时8分钟B．公共阅报栏距小明家200米C．小明离家最远的距离为400米D．小明从出发到回家共用时16分钟20．园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积S（单位：平方米）与工作时间t（单位：小时）的函数关系的图象如图，则休息后园林队每小时绿化面积为（）A．40平方米B．50平方米C．80平方米D．100平方米21．图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中x表示时间，y表示张强离家的距离．根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是（）A．体育场离张强家2.5千米B．张强在体育场锻炼了15分钟C．体育场离早餐店4千米D．张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时22．“黄金1号”玉米种子的价格为5元/千克，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子价格打6折，设购买种子数量为x千克，付款金额为y元，则y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．23．若函数，则当函数值y=8时，自变量x的值是（）A．±B．4 C．±或4 D．4或﹣24．已知函数y=，当x=2时，函数值y为（）A．5 B．6 C．7 D．825．一家电信公司提供两种手机的月通话收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费．这两种收费方式的通话费用y（元）与通话时间x（分钟）之间的函数关系如图所示．小红根据图象得出下列结论：①l1描述的是无月租费的收费方式；②l2描述的是有月租费的收费方式；③当每月的通话时间为500分钟时，选择有月租费的收费方式省钱．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．326．如图，是一台自动测温记录仪的图象，它反映了我市冬季某天气温T随时间t变化而变化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是（）A．凌晨4时气温最低为﹣3℃B．14时气温最高为8℃C．从0时至14时，气温随时间增长而上升D．从14时至24时，气温随时间增长而下降二、填空题（共4小题）27．同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数关系是y=x+32，如果某一温度的摄氏度数是25℃，那么它的华氏度数是℉．28．放学后，小明骑车回家，他经过的路程s（千米）与所用时间t（分钟）的函数关系如图所示，则小明的骑车速度是千米/分钟．29．已知函数，那么= ．30．如图，根据所示程序计算，若输入x=，则输出结果为．第4章一次函数参考答案与试题解析一、选择题（共26小题）1．2017年5月10日上午，小华同学接到通知，她的作文通过了《我的中国梦》征文选拔，需尽快上交该作文的电子文稿．接到通知后，小华立即在电脑上打字录入这篇文稿，录入一段时间后因事暂停，过了一小会，小华继续录入并加快了录入速度，直至录入完成．设从录入文稿开始所经过的时间为x，录入字数为y，下面能反映y与x的函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】动点型．【分析】根据在电脑上打字录入这篇文稿，录入字数增加，因事暂停，字数不变，继续录入并加快了录入速度，字数增加，变化快，可得答案．【解答】解：A．暂停后继续录入并加快了录入速度，字数增加，故A不符合题意；B．字数先增加再不变最后增加，故B不符合题意错误；C．开始字数增加的慢，暂停后再录入字数增加的快，故C符合题意；D．中间应有一段字数不变，不符合题意，故D错误；故选：C．【点评】本题考查了函数图象，字数先增加再不变最后增加的快是解题关键．2．小刚以400米/分的速度匀速骑车5分，在原地休息了6分，然后以500米/分的速度骑回出发地．下列函数图象能表达这一过程的是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据匀速行驶，可得路程随时间匀速增加，根据原地休息，路程不变，根据加速返回，可得路程随时间逐渐减少，可得答案．【解答】解：由题意，得以400米/分的速度匀速骑车5分，路程随时间匀速增加；在原地休息了6分，路程不变；以500米/分的速度骑回出发地，路程逐渐减少，故选：C．【点评】本意考查了函数图象，根据题意判断路程与时间的关系是解题关键，注意休息时路程不变．3．小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，加快了骑车速度，下面是小明离家后他到学校剩下的路程s关于时间t的函数图象，那么符合小明行驶情况的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】由于开始以正常速度匀速行驶，接着停下修车，后来加快速度匀驶，所以开始行驶路S是均匀减小的，接着不变，后来速度加快，所以S变化也加快变小，由此即可作出选择．【解答】解：因为开始以正常速度匀速行驶﹣﹣﹣停下修车﹣﹣﹣加快速度匀驶，可得S先缓慢减小，再不变，在加速减小．故选：D．【点评】此题主要考查了学生从图象中读取信息的能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．4．均匀地向如图的容器中注满水，能反映在注水过程中水面高度h随时间t变化的函数图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】由于三个容器的高度相同，粗细不同，那么水面高度h随时间t变化而分三个阶段．【解答】解：最下面的容器较粗，第二个容器最粗，那么第二个阶段的函数图象水面高度h随时间t的增大而增长缓慢，用时较长，最上面容器最小，那么用时最短．故选A．【点评】此题主要考查了函数图象，解决本题的关键是根据容器的高度相同，每部分的粗细不同得到用时的不同．5．如图，某个函数的图象由线段AB和BC组成，其中点A（0，），B（1，），C（2，），则此函数的最小值是（）A．0 B．C．1 D．【考点】函数的图象．【分析】根据函数图象的纵坐标，可得答案．【解答】解：由函数图象的纵坐标，得＞＞，故选：B．【点评】本题考查了函数图象，利用了有理数大大小比较．6．某星期天下午，小强和同学小明相约在某公共汽车站一起乘车回学校，小强从家出发先步行到车站，等小明到了后两人一起乘公共汽车回到学校．图中折线表示小强离开家的路程y（公里）和所用的时间x（分）之间的函数关系．下列说法错误的是（）A．小强从家到公共汽车站步行了2公里B．小强在公共汽车站等小明用了10分钟C．公共汽车的平均速度是30公里/小时D．小强乘公共汽车用了20分钟【考点】函数的图象．【分析】根据图象可以确定小强离公共汽车站2公里，步行用了多长时间，等公交车时间是多少，两人乘公交车运行的时间和对应的路程，然后确定各自的速度．【解答】解：A、依题意得小强从家到公共汽车步行了2公里，故选项正确；B、依题意得小强在公共汽车站等小明用了10分钟，故选项正确；C、公交车的速度为15÷=30公里/小时，故选项正确．D、小强和小明一起乘公共汽车，时间为30分钟，故选项错误；故选D．【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．7．货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小汽车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距180千米，货车的速度为60千米/小时，小汽车的速度为90千米/小时，则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y（千米）与各自行驶时间t（小时）之间的函数图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】压轴题．【分析】根据出发前都距离乙地180千米，出发两小时小汽车到达乙地距离变为零，再经过两小时小汽车又返回甲地距离又为180千米；经过三小时，货车到达乙地距离变为零，故而得出答案．【解答】解：由题意得出发前都距离乙地180千米，出发两小时小汽车到达乙地距离变为零，再经过两小时小汽车又返回甲地距离又为180千米，经过三小时，货车到达乙地距离变为零，故C符合题意，故选：C．【点评】本题考查了函数图象，理解题意并正确判断辆车与乙地的距离是解题关键．8．如图，在矩形中截取两个相同的正方形作为立方体的上下底面，剩余的矩形作为立方体的侧面，刚好能组成立方体．设矩形的长和宽分别为y和x，则y与x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】压轴题．【分析】立方体的上下底面为正方形，立方体的高为x，则得出y﹣x=2x，再得出图象即可．【解答】解：正方形的边长为x，y﹣x=2x，∴y与x的函数关系式为y=x，故选：B．【点评】本题考查了一次函数的图象和综合运用，解题的关键是从y﹣x等于该立方体的上底面周长，从而得到关系式．9．小张的爷爷每天坚持体育锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿原路慢步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距离y（米）与时间t（分钟）之间关系的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】生活中比较运动快慢通常有两种方法，即比较相同时间内通过的路程多少或通过相同路程所用时间的多少，但统一的方法是直接比较速度的大小．【解答】解：根据题中信息可知，相同的路程，跑步比漫步的速度快；在一定时间内没有移动距离，则速度为零．故小华的爷爷跑步到公园的速度最快，即单位时间内通过的路程最大，打太极的过程中没有移动距离，因此通过的路程为零，还要注意出去和回来时的方向不同，故B符合要求．故选B．【点评】此题考查函数图象问题，关键是根据速度的物理意义和比较物体运动快慢的基本方法．10．如图，挂在弹簧称上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧称匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力），弹簧称的读数F（N）与时间t（s）的函数图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】压轴题．【分析】开始一段的弹簧称的读数保持不变，当铁块进入空气中的过程中，弹簧称的读数逐渐增大，直到全部进入空气，重量保持不变．【解答】解：根据铁块的一点过程可知，弹簧称的读数由保持不变﹣逐渐增大﹣保持不变．故选：A．【点评】本题考查了函数的概念及其图象．关键是根据弹簧称的读数变化情况得出函数的图象．11．函数y=的图象为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】压轴题．【分析】从x＜0和x＞0两种情况进行分析，先化简函数关系式再确定函数图象即可．【解答】解：当x＜0时，函数解析式为：y=﹣x﹣2，函数图象为：B、D，当x＞0时，函数解析式为：y=x+2，函数图象为：A、C、D，故选：D．【点评】本题考查的是函数图象，利用分情况讨论思想把函数关系式进行正确变形是解题的关键，要能够根据函数的系数确定函数的大致图象．12．匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为一折线），这个容器的形状是下图中的（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升速度的快慢，再观察容器的粗细，作出判断．【解答】解：注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么速度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．则相应的排列顺序就为C．故选C．【点评】此题考查函数图象的应用，需注意容器粗细和水面高度变化的关联．13．如果两个变量x、y之间的函数关系如图所示，则函数值y的取值范围是（）A．﹣3≤y≤3B．0≤y≤2C．1≤y≤3D．0≤y≤3【考点】函数的图象．【分析】根据图象，找到y的最高点是（﹣2，3）及最低点是（1，0），确定函数值y的取值范围．【解答】解：∵图象的最高点是（﹣2，3），∴y的最大值是3，∵图象最低点是（1，0），∴y的最小值是0，∴函数值y的取值范围是0≤y≤3．故选：D．【点评】本题考查了函数的图象，解答本题的关键是会观察图象，找到y的最高点及最低点．14．甲、乙两人在操场上赛跑，他们赛跑的路程S（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（）A．甲、乙两人进行1000米赛跑B．甲先慢后快，乙先快后慢C．比赛到2分钟时，甲、乙两人跑过的路程相等D．甲先到达终点【考点】函数的图象．【分析】根据给出的函数图象对每个选项进行分析即可．【解答】解：从图象可以看出，甲、乙两人进行1000米赛跑，A说法正确；甲先慢后快，乙先快后慢，B说法正确；比赛到2分钟时，甲跑了500米，乙跑了600米，甲、乙两人跑过的路程不相等，C说法不正确；甲先到达终点，D说法正确，故选：C．【点评】本题考查的是函数的图象，从函数图象获取正确的信息是解题的关键．15．如图所示的容器内装满水，打开排水管，容器内的水匀速流出，则容器内液面的高度h随时间x变化的函数图象最接近实际情况的是（）A． B．C． D．【考点】函数的图象．【分析】根据容器内的水匀速流出，可得相同时间内流出的水相同，根据圆柱的直径越长，等体积的圆柱的高就越低，可得答案．【解答】解：圆柱的直径较长，圆柱的高较低，水流下降较慢；圆柱的直径变长，圆柱的高变低，水流下降变慢；圆柱的直径变短，圆柱的高变高，水流下降变快．故选：A．【点评】本题考查了函数图象，利用了圆柱的直径越长，等体积的圆柱的高就越低．16．如图，匀速地向此容器内注水，直到把容器注满，在注水过程中，下列图象能大致反映水面高度h随注水时间t变化规律的是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】由于三个容器的高度相同，粗细不同，那么水面高度h随时间t变化而分三个阶段．【解答】解：最下面的容器容器最小，用时最短，第二个容器最粗，那么第二个阶段的函数图象水面高度h随时间t的增大而增长缓慢，用时较长，最上面容器较粗，那么用时较短．故选B．【点评】此题主要考查了函数图象，解决本题的关键是根据容器的高度相同，每部分的粗细不同得到用时的不同．17．如图，小红居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程S之间的变化关系用图象刻画出来，大致图象是（）A． B．C．D．【考点】函数的图象；中心投影．【专题】压轴题；数形结合．【分析】根据中心投影的性质得出小红在灯下走的过程中影长随路程之间的变化，进而得出符合要求的图象．【解答】解：∵小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l 与行走的路程S之间的变化关系应为：当小红走到灯下以前：l随S的增大而减小；当小红走到灯下以后再往前走时：l随S的增大而增大，∴用图象刻画出来应为C．故选：C．【点评】此题主要考查了函数图象以及中心投影的性质，得出l随S的变化规律是解决问题的关键．18．汽车以60千米/时的速度在公路上匀速行驶，1小时后进入高速路，继续以100千米/时的速度匀速行驶，则汽车行驶的路程s（千米）与行驶的时间t（时）的函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】汽车以60千米/时的速度在公路上匀速行驶，1小时后进入高速路，所以前1小时路程随时间增大而增大，后来以100千米/时的速度匀速行驶，路程的增加幅度会变大一点．据此即可选择．【解答】解：由题意知，前1小时路程随时间增大而增大，1小时后路程的增加幅度会变大一点．故选：C．【点评】本题主要考查了函数的图象．本题的关键是分析汽车行驶的过程．19．小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家，如图描述了小明在散步过程汇总离家的距离s（米）与散步所用时间t（分）之间的函数关系，根据图象，下列信息错误的是（）。
1-1等腰三角形1-2直角三角形复习2022-2023学年北师大版数学八年级下册
角形；
（2）若∠BAC=∠DAE≠60° ①如图2，当点D在线段BC上移动，判断△BEF的形状并证明； ②当点D在线段BC的延长线上移动，△BEF是什么三角形？请 直接写出结论并画出相应的图形．
解：（1）∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°， ∴△AED和△ABC为等边三角形， ∴∠C=∠ABC=60°，∠EAB=∠DAC， ∴△EAB≌△DAC， ∴∠EBA=∠C=60°， ∵EF∥BC， ∴∠EFB=∠ABC=60°， ∵在△EFB中，∠EFB=∠EBA=60°，
B
30°
的正北方向，此时它与灯塔的距离是
_2_0___3_海里(结果保留根号).
A
C
东
小结（2分钟）
（考点）
1、等腰三角形的性质与判定： 等边对等角、三线合一
2、等边三角形的性质定理及其判定定理 3、直角三角形的性质定理及其判定定理 4、反证法的证明步骤，互逆命题、互逆定理的概念
（易错点） 1.做没有图形的几何问题求边长或角度时应注意：
是否进行分类讨论
2.做互逆命题的问题应注意：
注意互逆命题的语言的准确性
当堂训练（15分钟） 1、如图，长方形纸片ABCD,AD∥BC，将长方
形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点C’ 处，折痕为EF,则 △BEF为 等腰 三角形.
2.如图,已知∠AOB=60°,点P在边OA上,OP=8, 点M,N在边OB上,PM=PN,若MN=2,则ON=( B )
②AB=AC，点D为射线BC上一个动点（不与B、C重合），
以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD=AE，
∠DAE=∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连 接BE．
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已知：如图，在△ABC中，
∠B≠∠C
求证：AB≠AC
分析：如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C.此时AB与AC要么相等，要么不相等．
证明：假设AB=AC，
则∠B=∠C（等边对等角）
这与已知条件∠B≠∠C相矛盾．
因此AB≠AC
先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．
2.知识技能第一题
第五环节：布置作业
必做题：第10页第2题
选作题：第10页第3题
课后反思
前进路中学八年级数学学科“三案导学”课堂教学设计第周课时
上课时间：2017年月日星期备课组长签字:杨潇莉包级主任签字：冉文利授课人:
课题：1.1等腰三角形(第三课时)设计者：于晓珍
教学目标: 1.探索并理解等腰三角形的判定定理的证明，并能应用其解决数学问题．
2.了解反证法的基本证明思路，并能简单应用。
3.培养学生的逆向思维能力。
4.理解数学的严谨性，培养学生深入思考数学问题的习惯。
教学重点：反证法的思想。教学难点：用反证法解决一些数学问题。
第一环节：情境引入
谈话：等腰三角形都有什么性质？等边对等角，那么等角对不对等边？怎么证明？
目的：引导学生养成反过来思考问题的意识，即思考一个命题的逆命题的真假，因为这也是获得数学结论的一条重要途径。
第二环节：探究新知
⒈探究一有两个角相等的三角形是等腰三角形。(等角对等边)
组织学生思考怎样作辅助线能证明等角对等边。
已知：在△ABC中，∠B=∠C，A
求证：AB=AC．
证明1：作∠BAC的平分线，交BC于D.
则∠BAD=∠CAD
又∠B=∠C，AD=AD
∴△ABD≌△ACD (AAS) B D C
决问题的意识。
⒋自学课本例3
第三环节新知小结
（1）本节课学习了哪些内容？
（2）等腰三角形的判定方法有哪几种？
（3）结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质和判定的区别和联系．
（4）举例谈谈用反证法说理的基本思路。
第四环节检测与反馈
1.随堂练习第一题和第二题
∴AB=AC (全等三角形的对应边相等）
证明2：作AD⊥BC，交BC于D.
则∠ADB=∠ADC=90°
又∠B=∠C，AD=AD
∴△ABD≌△ACD (AAS)
∴AB=AC (全等三角形的对应边相等）
定理的几何语言表达：
在△ABC中
∵∠B＝∠C（已知），
∴AB=AC（等角对等边）.
目的：用两种方法证明等腰三角形的判定定理，培养学生一题多解的能力。
⒉自学课本：例2
目的：组织学生自学例2，增强学生的自学能力以及用新知解