定积分换元法(新、选)

合集下载

高数课件19定积分的换元积分

换元法的基本类型
02
三角换元法
定义：将积分区间内的变量替换为三角函数形式，从而简化积分的计算
适用条件：积分区间为[0, π]或[0, 2π]，被积函数中含有三角函数
步骤：选择适当的三角函数替换变量，然后利用三角函数的性质进行积分
优点：简化计算，提高计算效率
倒代换法
定义：将积分变量替换为另一个变量，使得积分更容易计算
YOUR LOGO
,
高数课件19定积分的换元积分(2)
汇报人：
汇报时间：20XX/01/01
目录
01.
定积分的换元法基本概念
02.
换元法的基本类型
03.
换元法的应用实例
04.
换元法的注意事项Fra bibliotek05.
换元法的扩展应用
定积分的换元法基本概念
01
换元法的定义和原理
换元法：在积分过程中，通过引入新的变量，将复杂的积分转化为简单的积分
换元法的应用范围
定积分的换元法适用于求解复杂积分
换元法可以解决一些无法直接积分的问题
添加标题
添加标题
换元法可以简化积分计算过程
添加标题
添加标题
换元法可以应用于求解定积分的极限问题
换元法的计算步骤
选择适当的换元变量
确定换元公式
计算新的积分区间
计算新的积分函数
计算新的积分值
换回原变量，得到最终结果
数学：在数学分析、微分方程、积分方程等领域，换元法可以用来求解复杂的微分方程和积分方程。
计算机科学：在计算机科学、人工智能等领域，换元法可以用来求解复杂的优化问题、数值计算问题等。
在金融、经济等领域的应用

理学定积分的换元法

1
例
计算
1
0
1 x2 d x .
令 x sin t
解先用不定积分求被积函数的一个原函数：
1
x2
dx
cos2
tdt
1 2
(1 cos 2 t)d t
t sin 2 t C 1 arcsin x 1 x 1 x2 C
24
2
2
由牛顿 ——莱布尼兹公式，得
1
0
1 x2 d x 1 arcsin x 1 x
0
3
解 f ( x) sin3 x sin5 x cos x sin x2
sin3 x sin5 xdx
cos
x
sin
x
3
2
dx
0
0
3
2 cos xsin x2 dx
0
cos
xsin
x
3
2
dx
3
2 sin x2 d sin x
0
2
sin
x
3
2
d
sin
x
2
sin
5
x 2
2
F (b) F (a) F[( )] F[( )]
(t) (t)
5
(t) (t)
说明:
1) 当 < , 即区间换为 [ , ]时，定理 1 仍成立 .
2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .
3) 换元公式也可反过来使用 , 即
(t) (t)
b
a f ( x)d x
(令 x (t))
dx
x t
0( d t ) .
0
19
例 A.
cos105

定积分换元法

03
示例
$int frac{sin x}{x} dx$ 可以转化为 $int frac{1}{tan x} d(tan x)$，进一步简化为 $ln|tan x| + C$。
根式换元法
总结词
通过引入根式，将复杂的积分问题转化为简单的积分问题。
详细描述
根式换元法通常用于解决与根式有关的定积分问题。通过选择适当的根式，可以将原函数转化为更易于积分的标准形式，从
练习题三
题目
计算$int_{0}^{frac{pi}{2}}frac{sin x}{1 + cos x}dx$。
解析
令$t = cos x$，则$dt = -sin xdx$，代入原积分得$int_{- 1}^{1}frac{t}{1 + t}dt = ln|1 + t||_{- 1}^{1} = 0$。
定积分换元法
目录
• 引言 • 定积分换元法的原理 • 定积分换元法的实例 • 定积分换元法的注意事项 • 定积分换元法的练习题和解析
01
引言什么是定积分换元法 Nhomakorabea定义
定积分换元法是一种通过引入中间变量来简化定积分计算的方法。通过选择适当的中间变量，将原定积分转化为更容易计算的形式。
目的
通过换元，将复杂的积分问题转化为简单的问题，简化计算过程，提高计算效率。
感谢您的观看
THANKS
练习题二
题目
计算$int_{0}^{1}frac{x^{2}}{1 + x^{4}}dx$。
解析
令$t = x^{2}$，则$dt = 2xdx$，代入原积分得$int_{0}^{1}frac{t}{1 + t^{2}}dt = frac{1}{2}int_{0}^{1}frac{2t}{1 + t^{2}}dt = frac{1}{2}ln(1 + t^{2})|_{0}^{1} = frac{1}{2}ln2$。

12-定积分的换元法课件

即 F[(t)]是 f [(t)](t) 的一个原函数．所以
f [(t)](t) d t
F[( )] F[( )]
b
F(bf )(
x)Fd
(xa．)Leabharlann a定积分的换元积分公式
令 x (t) ，则
b
f (x)d x
f [(t)](t) d t ，
a
其中( ) a ，( ) b．
注在定积分的换元公式中，当用 x (t) 把原来
b f [(x)]d[(x)] F[(x)] b ，
a
a
a
其中F (u)是 f (u)在 [, ] (或 [ ,] ) 上的一个原函数．
上下限不需要变化!!!
π
例求积分 2 sin5 x cos x d x ． 0
π
π
解 2 sin5 x cos x d x 2 sin5 x d(sin x)
0
0
⑵ 令 x π t ，则
sin( x) sin x sin(2 x) cos x
π
0
x f (sin x) d x (π t) f [sin(π t)](1) d t
0
π
π
0 (π t) f (sin t) d t
π
π
定积分与积分
π f (sin t) d t t f (sin t) d t
T 为周期
aT f (x)d x
a
f (u T )d u
a
f (u) d u
a f (x)d x ，
T
0
0
0
于是
定积分与积分变量名称无关
a T
0
T
a
f (x) d x f (x) d x f (x) d x f (x) d xx

第五章定积分的换元法

定积分的换元法
上一节我们建立了积分学两类基本问题之间的联系——微积分基本公式，利用这个公式计算定积分的关键是求出不定积分，而换元法和分部积分法是求不定积分的两种基本方法，如果能把这两种方法直接应用到定积分的计算，相信定能使得定积分的计算简化，下面我们就来建立定积分的换元积分公式和分部积分公式。
1 2
偶函数
x 4 0 dx 2 1 1 x 2 2 1 x (1 1 x ) 4 0 dx 2 1 (1 x )
1
2
奇函数
40 (1 1 x )dx 4 40
1 2
1
1 x dx
2
4 .
四分之一单位圆的面积
例9
若 f ( x ) 在[0,1]上连续，证明
（2）求出 f [ ( t )] ( t ) 的一个原函数( t ) 后，不必象计算不定积分那样再要把( t ) 变换成原 t 的上、下限变量 x 的函数，而只要把新变量分别代入( t ) 然后相减就行了.
例2 计算
a
解1 由定积分的几何意义
0
a
a x dx
2 2
y a x
则有 a f ( x )dx f [ ( t )] ( t )dt .
b

证
设F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，
a f ( x )dx F (b) F (a),
(t ) F [(t )],
dF dx f ( x ) (t ) f [(t )](t ), ( t ) dx dt
t cos x, dt sin xdx ,
x 0 0
2
cos 5 x sin xdx

定积分换元积分法的不同换元方法

一、定积分的换元积分法概述定积分的换元积分法是计算定积分的一种重要方法，其主要思想是通过变量替换的方式将原积分转化为一个更容易求解的形式。

这种方法在解决复杂的定积分问题时具有较大的实用价值，因此对于不同的换元方法的掌握和熟练应用显得尤为重要。

二、常见的换元方法在定积分的换元积分法中，常见的换元方法包括但不限于以下几种：1. 第一类换元法：直接代入法直接代入法是指直接将被积函数中的某一个部分用一个变量表示并进行代入的方法。

通常适用于被积函数较简单的情况，能够将原积分转化为一个更容易处理的形式。

2. 第二类换元法：三角代换法三角代换法是指通过选取合适的三角函数来进行变量替换，将原积分转化为三角函数的积分形式。

这种方法通常适用于出现平方根和平方项时的情形，通过选择合适的三角函数可以使原积分变得更加简单。

3. 第三类换元法：指数代换法指数代换法是指通过选取适当的指数函数进行变量替换，将原积分转化为指数函数的积分形式。

这种方法通常适用于出现指数函数和对数函数时的情形，能够将原积分化为更容易处理的形式。

4. 第四类换元法：倒代换法倒代换法是指通过选取合适的变量倒数进行变量替换，将原积分从一个区间转化为另一个区间或者将原积分中的除法项转化为乘法项。

这种方法通常适用于变量之间的换元关系为倒数关系的情形，能够简化原积分的形式。

三、不同换元方法的选用原则在实际应用中，选择合适的换元方法是十分重要的。

一般而言，可以根据以下原则进行选择：1. 根据被积函数的形式选择当被积函数具有特定的形式时，可以根据不同的形式选择对应的换元方法。

如当被积函数中出现三角函数时，可以考虑使用三角代换法；当被积函数中出现指数函数时，可以考虑使用指数代换法。

2. 根据逆变换的便捷性选择在选择换元方法时，通常也要考虑逆变换的便捷性。

换元后新的积分形式是否容易转化回原来的变量，这将影响到最终的计算复杂程度。

3. 根据积分区间的选择当积分区间发生变化时，可以考虑使用倒代换法将原积分转化为更便于处理的形式，从而简化计算过程。

第三节定积分的换元积分法

F[ ( x)]
a
注意：这里没有引进新的积分变量，因而积分上、
下限没有变化。这种换元法对应着不定积分的凑微
分法
3
例1 求（1 2 x 1）100dx. 0
解 1 (2 x 1)100 dx 1 1(2x 1)100d(2x 1)
0
20

1 [ 1 (2x 2 101
0
0

[cos6 6
x

]02

0

1 6

1 6
显然,解法二简单
说明：不换元不换限，换元必换限.
10
例7 计算 a a 2 x 2 dx. 0
x 0a
解令x a sint,则dx a cos tdt
t 0
2
原式

2 0
a 2 cos2 tdt
当x 0时， t 0; 当x 4时，t 2.
4
1
dx
2
2t
dt 2
2t 11 dt
0 1 x
0 1 t
0 1t

2
2
(1
0
1 1
t )dt
2
2
dt
0

2
21 0 1
d(1 t
t)
2
4 2[ln(1 t )] 0
4 2ln3
1)101 ]10
1 [1101 (1)101] 1
202
101
4
例2 求
e ln x dx.
1x
解
e ln xdx 1x
e 1

定积分换元法

∫a
a +T
f ( x )dx = ∫ f ( x )dx
0
T
a为任何常数 .
周期函数在任何长为一周期的这个公式就是说：这个公式就是说：区间上的定积分都相等. 区间上的定积分都相等 (留给同学证留给同学证) 留给同学证
二、小结
定积分的换元法
∫a f ( x )dx = ∫α
b
β
f [ϕ ( t )]ϕ ′( t )dt
a
∫
定积分的换元法和分部积分法
换元积分还可以证明一些定积分等式通常还可以证明一些定积分等式, 被积函数的变化和积分区间变化来确定变换来确定变换. 由被积函数的变化和积分区间变化来确定变换几个关于奇、几个关于奇、偶函数及周期函数的定积分的例子. 的例子例设f ( x )在区间[ − a , a ]上可积 , 则
π
π
0
= ∫ (π − t ) f (sin t )dt
0
π
t t t = ∫ π f (sin t )dt − ∫ x f (sinx)dx 0 0 π π π ∴ ∫ xf (sin x )dx = ∫ f (sin x )dx . 0 2 0
π
定积分的换元法和分部积分法
∫0 xf (sin x )dx = 2 ∫
π
π2
x sin x 说明:尽管说明尽管 ∈ C [0, π ], 但由于它没有 2 1 + cos x 公式求得. 公式求得初等原函数, 故此积分无法直接用N--L公式求得初等原函数故此积分无法直接用
定积分的换元法和分部积分法
周期函数的定积分公式
如果 T是连续函数 f ( x )的周期, 则

定积分的换元法第二篇

当x0时,t 1; x4时, t 3.
∴
原式 =
3
t2 1 2
2 t
dt
1t
1 3(t23)dt
21
12(
1t3 3
3t
)
3 1
22 3
注：换元公式也可反过来使用 , 即得定积分的第一类换元公式：
f[
(t
)
](t)
dt
b
f (x)dx
a
(令 x(t))
或
f[
(t
)
](t)
dt
f
[
(t
)
证: aa f(x)dx 0a f (x)dx0af(x)dx
0af(t)dt 0af(x)dx
令xt
0 a [f(x)f(x)]dx
20af(x)dx,
0,
f(x)f(x)时 f(x)f(x)时
该题几何意义是很明显的，如图所示:
y -a O
y
a
ax
O ax
例6
计算
1
2x2xcoxs dx.
0
0
16cosx02

1. 6
例4 计算 si3n xsi5n xd.x 0 3
解 f(x)si3x n si5x ncoxssinx2
si3n xsi5n xdx
coxssin x2 3dx
0
0
区间可加性
3
2coxssinx2dx
0
coxssinx23dx
2 0
3
sinx2dsinx
第四章
3.2 定积分的换元法
换元公式
定理假设
（ 1） f(x)在 [a,b]上连续；

定积分的换元法

例12 设 f ( x ) 连续
解
二、小结
定积分的换元法几个特殊积分、定积分的几个等式
思考题
解令
思考题解答
计算中第二步是错误的.
正确解法是
练习题
练习题答案
由定积分的几何意义，这个结论也是比较明显的
例8 计算解原式
偶函数
奇函数
四分之一单位圆的面积
证（1）设（2）设
另证将上式改写为
奇函数
例10 设 f(x) 是以L为周期的连续函数，证明
证明
与 a 的值无关
例11 设 f(x) 连续，常数 a > 0 证明
证明比较等式两边的被积函数知，
先来看一个例子
例1
换元求不定积分令
则
故
尝试一下直接换元求定积分
为去掉根号令
则
当 x 从0连续地增加到4时，t 相应地从1连续地增加到3
于是
由此可见，定积分也可以象不定积分一样进行换元，所不同的是不定积分换元时要回代原积分变量，而对定积分则只需将其上、下限换成新变量的上、下限即可计算出定积分，而不必回代原积分变量
将上例一般化就得到定积分的换元积分公式
一、换元公式
证
应用换元公式时应注意:
（1）
（2）
例2 计算解1 由定积分的几何意义
o 等于圆周的第一象限部分的面积解2
故
解3 令
解4 令仍可得到上述结果
例3 计算解令
注
定积分的换元积分公式也可以反过来使用
为方便计将换元公式的左、右两边对调
同时把 x 换成 t ， t 换成 xFra bibliotek这说明可用
引入新变量

《定积分的换元法》课件

《定积分的换元法》PPT 课件
这是一份关于定积分的换元法的 PPT 课件。掌握换元法对于理解微积分非常重要，我们将一步步带你探索换元法的奥妙。
什么是定积分？
定义
定积分是函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的面积，也可以理解为反函数 f(x) 的导数在区间 [a, b] 上的和。
意义
定积分可以用于求解一段时间内的平均变化率、物体的质量、几何体的体积等。
提高效率
不同的技巧可以在不同的场合下提高求解效率，掌握多种技巧能够帮助我们更好地应对各类求解问题。
如何通过换元法求不定积分？
确定被积函数的类型
根据被积函数的特点，选择合适的换元公式。
求导求逆
对出现的积分变量进行求导求逆操作。
完成换元变换
选择变换方法，并完成积分变换，得到新的积分式
积分复原
将新积分式中的积分变量替换回原自变量，还原为原始的积分式。
当被积函数包含对数函数时，可以尝试用 u = g (x) 的注意事项有哪些？
1 选择合适的变量
变量的选择会直接影响到换元法的求解，应该根据实际情况灵活选择。
2 注意导数求逆
3 遵循换元法的步骤
在进行积分变换时需要特别注意变换后的导数，一定要进行正确的求逆操作。
1)/2)+1)^2 du/2
3
变换 2
令v=(u-1)/2，得到
积分复原
4
∫e^(2v+2)/(2e^v+1)^2 dv/4
∫e^(2v+2)/(2e^v+1)^2 dv/4 = (1/4)ln|2e^v+1| + C
换元法的示例三：三角函数换元法
原积分式

定积分换元法

s in 2
x
(1exex

1 1 ex
)

s in 2
x,

4 sin2 x

4
1

ex
dx

4 sin2 xdx
0
4 1 cos2x dx 02

[1 x 1 sin 2x] 4 2 .
24
08
4
（2）

(cos
x
(1

s
in
2x)dx.
1
c1os2 xd(cos
x)
arctan(cos x) ( ) 2 .
2
0 2 44 4
8．已知g(x) x tf (xt)dt ，求g(x) 。 0
g(x)
x
t
令xtu
f (xt)dt
0 (xu) f (u)du
0
0

e2x sin x
2 0

2 sin x d(e2x )
0

e 2 2 e2x sin x dx e 2 2 e2x d(cosx)
0
0

e 2 e2x cosx
2 0
2
2 cosxd(e2x )
0

e 2 4 2 e2x cosxdx 0 5I e 2,
2
2
2 cos6 xdx 2 5 3 1 5 .
0
6 4 2 2 16
（3）
cos8 x dx 2

高等数学§5-3定积分的换元法-PPT文档资料

则有 f ( x )dx f [ ( t )] ( t )dt . a
b

应用换元公式时应注意:
（1）用x
( t )把变量 x换成新变量 t 时，积分限也
相应的改变.
求出（2）
f [ ( t )] ( t )的一个原函数 ( t ) 后，不必象
计算不定积分那样再要把 ( t ) 变换成原变量 x 的函数，而只要把新变量 t 的上、下限分别代入
2
．
2
这时由于没有换元 , 也就不需要换限 , 这样计算更为简便.
上一页下一页返回结束
例3
计算

2
0
5
2
5 cos x sin xdx .
5 解： cos x sin xdx cos cos x xd
2

0
0
令 t cos x

0
1
t dt
5
t 6
6 1
0
1 . 6
，
3 . x4 s in x 2 1 x2 dx 0 2
上一页下一页返回结束
二、定积分的分部积分法
设函数 u( x )、v ( x ) 在区间a , b上具有连续导数，则有
a udv uv a a vdu.
b b
b
上式称为定积分的分部积分公式推导
uv u v u v ,
1 u e 2
2
0
.
1 2 0 1 2 (e e ) (e 1) 2 2
上一页下一页返回结束
在例2中,被积函数的原函数可采用凑微分来计算,即

2
0

定积分的换元法

定积分的换元法定积分是高等数学中重要的一部分，也是数学中的基础概念之一。

通过定积分，我们可以求解一些曲线、图形的面积、体积等问题，为实际运用提供了一定的便利。

而在求解定积分的过程中，换元法是一种常用的方法，接下来就让我们来详细了解一下定积分的换元法吧。

定积分的定义在介绍定积分的换元法之前，首先需要了解定积分的定义。

定积分可以看作是对函数在一定区间上的面积进行求解的过程，可以用符号∫来表示。

其中，被积函数称为被积表达式，积分号内所表示的变量称为积分变量，积分区间则用a，b表示，如下所示：∫a^bf(x)dx其中，a和b分别为积分区间的上界和下界，f(x)为被积函数。

换元法的基本思路定积分的换元法即为一种变量代换的方法，将原来的函数进行代换，转换成一个新的被积函数，从而求解相应的积分。

换元法的基本思路是，将被积函数中的自变量进行一定的替换，从而得到一个新的、更加简单的被积函数，然后再进行积分运算。

具体来说，设有定积分∫f(x)dx，且f(x)为连续函数，若存在一个单调可导的函数g(x)，则新的积分表达式可以表示为：∫f(g(x))g'(x)dx通过对g(x)求导，得到dx=f'(g(x))dx，代入原式，可得出：∫f(g(x))g'(x)dx=∫f(u)du，其中u=g(x)这样，就可以将原来的定积分通过代换转换为一个更加简单的形式，从而求解相应的积分。

换元法的操作步骤通过上述的基本思路，换元法的具体操作步骤可以归纳为以下几点：1.为原来的定积分选取一个合适的代换。

2.通过求导，将被积函数中的自变量替换为新的变量，并求出dx的代换式。

3.将原来的定积分用新的变量表示，并将被积函数替换为新的表达式。

4.通过这种方式转换后，可以得到一个更加简单的被积函数，从而进行积分运算。

例如，若要计算∫sin^2xdx，可以采用代换u=sin x，从而得到：∫sin^2xdx=∫(1-cos^2x)dxu=sin x，dx=cos xdx，代入原式得：∫sin^2xdx=∫(1-cos^2x)dx=∫(1-u^2)cosudu通过这种方式进行代换后，可以将原来的定积分转换成一个更加简单的积分表达式，从而方便地进行计算。

定积分的换元法和分部换元法课件

分部换元法的定义
分部换元法是一种将定积分转化为几个易于计算的定积分的和或差的方法。
分部换元法的思路
通过将原被积函数分解为若干个易于计算的部分函数，并分别对每个部分函数进行换元，从而将原定积分的计算转化为简单定积分的计算。
分部换元法的应用范围与限制
应用范围
分部换元法适用于被积函数可以分解为若干个易于计算的部分函数的定积分，以及定积分的和或差。
换元法的目的是简化积分表达式，使其更易于计算。
常用的换元技巧
根式代换
用根式代换原有的变量，将积分表达式转化为易于计算的幂函数积分。
三角代换
用三角函数代换原有的变量，将积分表达式转化为三角函数的积分。
倒代换
用倒数代换原有的变量，将积分表达式转化为易于计算的幂函数积分。
定积分的换元公式及其应用
分部换元法的进一步研究与应用
理论深化
分部换元法的基础理论还需要进一步深化和完善，例如分部积分公式的推导和应用等方面需要更加严谨和精细的研究。
应用拓展
分部换元法的应用领域也需要进一步拓展，例如在解决某些特殊类型的积分和微分方程时可以发挥重要作用。
数值计算
分部换元法的数值计算也需要进一步研究和改进，以提高计算效率和精度。
对于某些特定的定积分问题，可以通过两种方法的结合使用，以达到更好的效果。
如何选择合适的解题方法
根据题目特点选择
对于涉及多项式、有理函数的定积分问题，分部换元法可能更为合适。
对于熟练掌握换元法和分部换元法的同学来说，可以根据题目的难易程度和个人喜好来选择合适的方法。
对于涉及三角函数的定积分问题，换元法可能更为合适。
效率。
02
通过使用不同的换元方法，可以将不同类型的定积分

定积分的换元法和分部积分法

2、不引入新的变量记号，积分限不变；引入新的变量记号，积分限跟着变。
3、定积分分部积分公式的用法与不定积分分部积分公式的用法类似。
0
分部积分
t sint
6
0
6 sintdt
0
1 62
[
cos
t
]6 0
3 1.
12 2
例16
计算
e-1
ln(1
x)dx
0
解
e-1
ln(1
x)dx
e-1
ln(1
x)d( x)
0
0
x
ln(1
x)
e1 0
e1
0
xd
ln(1
x)
e
1
e-1 0
x
1
1
x
dx
e
1
e-1 0
(1
1
1
x
)dx
f ( x)为偶函数；
0
0,
f ( x)为奇函数。
证毕。
例10
计算
3 3
x5 sin2 x dx.
1 x2 x4
解
3 3
x5 sin2 x dx 1 x2 x4
0
奇函数
例11
计算
π
2
π 2
sin2
x cos xdx
解
π
2
π 2
sin2 x cos xdx
π
2
2
0
sin2
x cos xdx
π
2
2
e
1
x
ln
|
1
x
|
e1 0
1
例17

定积分换元法

0
令x 2sin t , 则dx 2 cos tdt , 4 x 2 2 cos t ;
t=0 ,
x=2 t=/2. 于是

2
2
x 2 4 x 2 dx 2

2

2
0
16sin 2 t cos 2 tdt 8

2 0

2
sin 2 2tdt
0
4

0
1 (1 cos 4t )dt 4(t sin 4t ) 4
2 2

2
0
sin 2tdt 4
2

2
0
1 cos 4t dt 2
1 2 2 (1 cos 4t )dt 2(t sin 4t ) 0 4

2 0

定积分换元积分法
7(5)

1
0
(1 x 2 ) dx 令x tant，则 dx sec tdt
2

3 2
且x 0 t 0； x 1 t
dx a cos tdt , x 0 t 0,
dt
d (sin t cos t ) sin t cos t
0

2
a sin t a 2 (1 sin 2 t )
0
cos t 1 dt 2 sin t cos t

2
0
cos t sin t 1 sin t cos t dt

4
4 4 （ 1 tan2 t） sec 2 tdt （ sec 2 t） sec 2 tdt 0 0