方程和不等式复习
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解：设乙速度x米/分, 则甲速度2.5x米/分, 4 × 2.5x-4x =4x+300 10x-8x=300 2x=300 ,x=150 周长 150x4+300=900米 甲每分钟 150x2.5=375米.
15. 一队学生去校外参观，他们出发30分钟时，学
校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑 车从学校出发，按原路追赶队伍.若骑车的速度是队 伍进行速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的 距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍 用了多少时间?
)
A. x＝－3
B. x＝－1
C. x＝0
D. x＝3
3.已知方程组
x 2
y 3 x y
x 2
的解为
y
则 、分别为( C )
A. 1，2 C. 5，1
B. 1，5 D. 2，4
4. (2019扬州)一元二次方程x(x－2)＝x－2的根是 __x_1=_2__,x_2_=．1
B. 23＜x≤47 D. x≤47
9、分式方程
x
3
x 1 1 x2 1的解是 X=2 .
变式1:分式方程
x x 1
1
a x2 1
的解是x=4，
a的值是 5 .
变式2:分式方程
x
x 1
1
a
x2 1产生增根，
则增根可能是 X=1或x=-1 ;a的值 是 2或0 .
x
a
变式3、当a为何值时,方程 的解是正数?
2) 2)
3( 5(
y y
1) 1)
13 的解是 30.9
____
A.xy
18..23B.来自百度文库yx
100.2.3C.xy
62..32D.xy
10.3 0.2
11.已知关于x,
y的方程组xx
3y 4 y 3a
a, 其中-
16.（2018河北26题11分）如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB距x轴（水平） 18米，与y轴交于点B，与滑道交于点A，且AB＝1米.运动员（看成点）在BA方向获 得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落路线的某位置.忽略空气阻力， 实验表明：M，A的竖直距离h（米）与飞出时间t（秒）h=5t2；M，A的水平距离是 vt米.
C
解:(2)经x秒，点P移动到BC上，并且有CP=(14-x) 厘米，
点Q移动到CA上，并且使CQ=(2x- 8)厘米，
过Q作QD⊥CB，垂足为D，由△CQD∽△CAB，
Q
D
得
DQ
AB .
2x 8 AC
即 QD = 3(2x 8) . 5
P
得 1 (14 x) 3(2x 8) 12.6.
（3）若运动员甲、乙同时从A处飞出，速 度分别是5米/秒、v乙米/秒.当甲距x轴1.8米， 且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写 出t的值及v乙的范围.
解∵当v甲＝5米/秒时，甲距离x轴1.8米，∴18－5t2＝
1.8，解得t＝1.8或t＝－1.8(舍)，∵乙位于甲右侧超过
4.5米处，∴v乙t＞4.5＋5t，即v乙＞
下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问 规定日期是多少天?
• 方法1:工程规定日期就是甲单独完成工程所需天数 ，设为x天，那么乙单独完成工程所需的天数就是 (x+3)天，设工程总量为1，甲的工作效率就是1/x， 乙的工作效率是1/(x+3).依题意，列方程为
2(1 1 ) x 2 1 x x3 x3
• 方法2:设规定日期为x天，乙与甲合作两天后， 剩下的工程由乙单独做，恰好在规定日期完成 ，因此乙的工作时间就是x天，根据题意列方程
2 x 1 x x3
发现 如图，游客甲在BC上一点K（不与点B,C重合）处候车，准备乘车到出口
A，设CK=x米。
C(景点)
情况一：若他刚好错过2号车，便搭乘即将到来的1号车；
2号车
K(甲)
情况二：若他刚好错过1号车，便搭乘即将到来的2号车；
B
D
比较哪种情况用时较多？（含候车时间）
1号车
A(出口)
16第.（一20节14河北一2次6题方13程分(，组有)删及除其）应用
4.5 51.8 1.8
即v乙的取值范围是v乙＞7.5米/秒．
＝7.5，
(3)t＝1.8，v乙的取值范围是v乙＞7.5米/秒.
17、如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm， 点P从点A开始沿AB边向B以1厘米/秒的速度移动， 点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动．
1. 如图，在框中解分式方程的4个步骤中，根据 等式基本性质的是( )
A. ①② C. ①③
B. ②④ D. ③④
2、若a、b表示非零常数，整式ax＋b的值随x的取 值而发生变化，如下表：
x －3 －1 0 1 3 …
ax＋b －3 1 3 5 9 …
则关于x的一元一次方程－ax－b＝－3的解为(
利润为w外=－
1 100
x2＋(150－a)x；
100
如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策， 选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？
解 ：当x＝5000时，w内＝337500，w外＝－5000a＋500000， 若w内<w外，则a<32.5； 若w内＝w外，则a＝32.5； 若w内>w外，则a>32.5. ∴当10≤a<32.5时，选择在国外销售月利润较大； 当a＝32.5时，在国外和国内销售月利润都一样； 当32.5<a≤40时，选择在国内销售月利润较大.
（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，
经几秒钟，使△PBQ的面积为8cm2 ？
C
（2）如果P、Q分别从A、B出发，并
且P到B后又继续在BC半上前进，Q到C后
Q
又继续在CA边上前进，经过几秒钟后使
△PCQ的面积等于12.6cm2 .
AP
B
解:(1)设x秒时,点P在AB上,点Q在BC上,并且使 △BPQ的面积为2 8cm,PB=（6-x)cm，BQ=2xcm.
5.若x=2是方程x2－c＝0的一个根，则常数c=_4_______， 这个方程的另一个根为___x=_-_2___．
6. 已知关于x的一元二次方程x2＋4x－k＝0，当-6<k<0 时，该方程解的情况是( D )
A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 不能确定
河北10年中考真题精选
15. （2010河北26题12分）某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两
种销售方案中选择一种进行销售.
若只在国内销售，月销量为x（件）时，月利润为w内＝ x2＋130x－62500
若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a
为常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳 1 x2元的附加费，月
A.
140 140 14 x x 21
B.
280 280 14 x x 21
C. 140 140 14
x x 21
D. 10 10 1
x x 21
10.若方程组32aa
3b 5b
1330.9的解是ba
8.3 ,
1.2
则方程组32((xx
方法1:设这名学生骑车追上队伍需x小时，根
据题意,得
15 2 15
x
x 0.5
方法2:设步行速度为x千米／时，骑车速度 为2x千米／时，依题意列方程为
15 15 1 x 2x 2
16、某工程需在规定日期内完成，若由甲队去
做，恰好如期完成；若由乙队去做，要超过规 定日期三天完成.现由甲、乙两队合做两天，剩
x 1 1 x2 1
若解是负数呢？
12.某市对城区内某一段道路的一侧全部栽上梧桐树，
要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等，如 果每隔4米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔5米栽1棵， 则树苗正好用完．设原有树苗x棵，根据题意列方程， 正确的是( A )
A. 4(x＋21－1)＝5(x－1) B. 4(x＋21)＝5(x－1) C. 4(x＋21－1)＝5x D. 4(x＋21)＝5x
得
1 (6 x) 2x 8， 2
x2 6x 8 0，
解得 x1 2, x2 4.
2
C Q
AP
B
答：经2或4秒钟，使△PBQ的面积为 8cm2 .
2
（2）如果P、Q分别从A、B出发，并且P到B后又继
续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经
过几秒钟后使2 △PCQ的面积等于12.6cm2 ？
第一节 一次方程(组)及其应用
17.（2014河北26题13分，有删除）
返回目录
某景区的环形路是边长为800米的正方形ABCD，如图，现有1号，2号两游览车分
别从出口A和景点C同时出发，1号车顺时针，2号车逆时针沿环形路连续循环行驶
，供游客随时乘车（上，下车的时间忽略不计），两车的速度均为200米/分。
2
5
A
B
即 x2 18x 77 0. 解之得: x1 7, x2 11.
经7秒，点P在BC上距离C点7cm处，点Q在CA上距离C点6cm处， 使△PCQ的面积等于12.6cm 2 .
经11秒，点P在BC上距离C点3cm处，点Q在CA上距离C点14厘米处， 14>10，点Q超出CA的范围，此解不存在．
3
a
1.给出下列结论：
（1）xy
5 是方程组的解； 1
（2）当a 2时，x, y的值互为相反数；
（3）当a 1时，方程组的解也是方程x y 4 a的解；
（4）若x 1,则1 y 4.
A.(1)(2)
B.(2)(3)
C.(2)(3)(4)
D.(1)(3)(4)
13、(2013鞍山)如图，两根铁棒直立于桶底 水平的木桶中, 在桶中加入水后, 一根露出水 面的长度是它的1/3, 另一根露出水面的长度 是它的1/5. 两根铁棒长度之和为220cm, 此时
木桶中水的深度是 8__0_cm.
14.(08河北省)赵强同学借了一本书，共280页,要 在两周借期内读完,当他读了一半时,发现平均每天 要多读21页才能在借期内读完.他读前一半时,平均 每天读多少页?如果设读前一半时,平均每天读x页, 则下面所列方程中,正确的是 ( C )
上一点P（不与D,A重合）时，刚好与2号车相遇。
（1）他发现，乘1号车会比乘2号车到出口A用时少，请你简要说明理由；
（2）设PA=s（0<s<800）米，若他想尽快到达出口A， 根据s的大小，在等候乘1号车还是步行这两种方式中， 他该如何选择？
C(景点) 2号车
B
D
1号车
A(出口)
14、(2013•雅安)甲、乙二人在一环形场地上从A点 同时同向匀速跑步, 甲的速度是乙的2.5倍, 4分钟两 人首次相遇, 此时乙还需要跑300米才跑完第一圈, 求甲、乙二人的速度及环形场地的周长.
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某景区的环形路是边长为800米的正方形ABCD，如图，现有1号，2号两游览车分
别从出口A和景点C同时出发，1号车顺时针，2号车逆时针沿环形路连续循环行驶
，供游客随时乘车（上，下车的时间忽略不计），两车的速度均为200米/分。
决策 已知游客乙在DA上从D向出口A走去，步行的速度是50米/分，当行进到DA
7. 若不等式2x≤9－ 的解集在数轴上表示 如图，则 为( )
A. 7 C. 7或7x
B.7x D.－7或－7x
8. 运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到 “结果是否＞95”为一次程序操作，如果程序操作进 行了两次才停止，那么x的取值范围是( B )
第10题图
A. x＞23 C. 11≤x＜23
15. 一队学生去校外参观，他们出发30分钟时，学
校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑 车从学校出发，按原路追赶队伍.若骑车的速度是队 伍进行速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的 距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍 用了多少时间?
)
A. x＝－3
B. x＝－1
C. x＝0
D. x＝3
3.已知方程组
x 2
y 3 x y
x 2
的解为
y
则 、分别为( C )
A. 1，2 C. 5，1
B. 1，5 D. 2，4
4. (2019扬州)一元二次方程x(x－2)＝x－2的根是 __x_1=_2__,x_2_=．1
B. 23＜x≤47 D. x≤47
9、分式方程
x
3
x 1 1 x2 1的解是 X=2 .
变式1:分式方程
x x 1
1
a x2 1
的解是x=4，
a的值是 5 .
变式2:分式方程
x
x 1
1
a
x2 1产生增根，
则增根可能是 X=1或x=-1 ;a的值 是 2或0 .
x
a
变式3、当a为何值时,方程 的解是正数?
2) 2)
3( 5(
y y
1) 1)
13 的解是 30.9
____
A.xy
18..23B.来自百度文库yx
100.2.3C.xy
62..32D.xy
10.3 0.2
11.已知关于x,
y的方程组xx
3y 4 y 3a
a, 其中-
16.（2018河北26题11分）如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB距x轴（水平） 18米，与y轴交于点B，与滑道交于点A，且AB＝1米.运动员（看成点）在BA方向获 得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落路线的某位置.忽略空气阻力， 实验表明：M，A的竖直距离h（米）与飞出时间t（秒）h=5t2；M，A的水平距离是 vt米.
C
解:(2)经x秒，点P移动到BC上，并且有CP=(14-x) 厘米，
点Q移动到CA上，并且使CQ=(2x- 8)厘米，
过Q作QD⊥CB，垂足为D，由△CQD∽△CAB，
Q
D
得
DQ
AB .
2x 8 AC
即 QD = 3(2x 8) . 5
P
得 1 (14 x) 3(2x 8) 12.6.
（3）若运动员甲、乙同时从A处飞出，速 度分别是5米/秒、v乙米/秒.当甲距x轴1.8米， 且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写 出t的值及v乙的范围.
解∵当v甲＝5米/秒时，甲距离x轴1.8米，∴18－5t2＝
1.8，解得t＝1.8或t＝－1.8(舍)，∵乙位于甲右侧超过
4.5米处，∴v乙t＞4.5＋5t，即v乙＞
下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问 规定日期是多少天?
• 方法1:工程规定日期就是甲单独完成工程所需天数 ，设为x天，那么乙单独完成工程所需的天数就是 (x+3)天，设工程总量为1，甲的工作效率就是1/x， 乙的工作效率是1/(x+3).依题意，列方程为
2(1 1 ) x 2 1 x x3 x3
• 方法2:设规定日期为x天，乙与甲合作两天后， 剩下的工程由乙单独做，恰好在规定日期完成 ，因此乙的工作时间就是x天，根据题意列方程
2 x 1 x x3
发现 如图，游客甲在BC上一点K（不与点B,C重合）处候车，准备乘车到出口
A，设CK=x米。
C(景点)
情况一：若他刚好错过2号车，便搭乘即将到来的1号车；
2号车
K(甲)
情况二：若他刚好错过1号车，便搭乘即将到来的2号车；
B
D
比较哪种情况用时较多？（含候车时间）
1号车
A(出口)
16第.（一20节14河北一2次6题方13程分(，组有)删及除其）应用
4.5 51.8 1.8
即v乙的取值范围是v乙＞7.5米/秒．
＝7.5，
(3)t＝1.8，v乙的取值范围是v乙＞7.5米/秒.
17、如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm， 点P从点A开始沿AB边向B以1厘米/秒的速度移动， 点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动．
1. 如图，在框中解分式方程的4个步骤中，根据 等式基本性质的是( )
A. ①② C. ①③
B. ②④ D. ③④
2、若a、b表示非零常数，整式ax＋b的值随x的取 值而发生变化，如下表：
x －3 －1 0 1 3 …
ax＋b －3 1 3 5 9 …
则关于x的一元一次方程－ax－b＝－3的解为(
利润为w外=－
1 100
x2＋(150－a)x；
100
如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策， 选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？
解 ：当x＝5000时，w内＝337500，w外＝－5000a＋500000， 若w内<w外，则a<32.5； 若w内＝w外，则a＝32.5； 若w内>w外，则a>32.5. ∴当10≤a<32.5时，选择在国外销售月利润较大； 当a＝32.5时，在国外和国内销售月利润都一样； 当32.5<a≤40时，选择在国内销售月利润较大.
（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，
经几秒钟，使△PBQ的面积为8cm2 ？
C
（2）如果P、Q分别从A、B出发，并
且P到B后又继续在BC半上前进，Q到C后
Q
又继续在CA边上前进，经过几秒钟后使
△PCQ的面积等于12.6cm2 .
AP
B
解:(1)设x秒时,点P在AB上,点Q在BC上,并且使 △BPQ的面积为2 8cm,PB=（6-x)cm，BQ=2xcm.
5.若x=2是方程x2－c＝0的一个根，则常数c=_4_______， 这个方程的另一个根为___x=_-_2___．
6. 已知关于x的一元二次方程x2＋4x－k＝0，当-6<k<0 时，该方程解的情况是( D )
A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 不能确定
河北10年中考真题精选
15. （2010河北26题12分）某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两
种销售方案中选择一种进行销售.
若只在国内销售，月销量为x（件）时，月利润为w内＝ x2＋130x－62500
若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a
为常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳 1 x2元的附加费，月
A.
140 140 14 x x 21
B.
280 280 14 x x 21
C. 140 140 14
x x 21
D. 10 10 1
x x 21
10.若方程组32aa
3b 5b
1330.9的解是ba
8.3 ,
1.2
则方程组32((xx
方法1:设这名学生骑车追上队伍需x小时，根
据题意,得
15 2 15
x
x 0.5
方法2:设步行速度为x千米／时，骑车速度 为2x千米／时，依题意列方程为
15 15 1 x 2x 2
16、某工程需在规定日期内完成，若由甲队去
做，恰好如期完成；若由乙队去做，要超过规 定日期三天完成.现由甲、乙两队合做两天，剩
x 1 1 x2 1
若解是负数呢？
12.某市对城区内某一段道路的一侧全部栽上梧桐树，
要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等，如 果每隔4米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔5米栽1棵， 则树苗正好用完．设原有树苗x棵，根据题意列方程， 正确的是( A )
A. 4(x＋21－1)＝5(x－1) B. 4(x＋21)＝5(x－1) C. 4(x＋21－1)＝5x D. 4(x＋21)＝5x
得
1 (6 x) 2x 8， 2
x2 6x 8 0，
解得 x1 2, x2 4.
2
C Q
AP
B
答：经2或4秒钟，使△PBQ的面积为 8cm2 .
2
（2）如果P、Q分别从A、B出发，并且P到B后又继
续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经
过几秒钟后使2 △PCQ的面积等于12.6cm2 ？
第一节 一次方程(组)及其应用
17.（2014河北26题13分，有删除）
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某景区的环形路是边长为800米的正方形ABCD，如图，现有1号，2号两游览车分
别从出口A和景点C同时出发，1号车顺时针，2号车逆时针沿环形路连续循环行驶
，供游客随时乘车（上，下车的时间忽略不计），两车的速度均为200米/分。
2
5
A
B
即 x2 18x 77 0. 解之得: x1 7, x2 11.
经7秒，点P在BC上距离C点7cm处，点Q在CA上距离C点6cm处， 使△PCQ的面积等于12.6cm 2 .
经11秒，点P在BC上距离C点3cm处，点Q在CA上距离C点14厘米处， 14>10，点Q超出CA的范围，此解不存在．
3
a
1.给出下列结论：
（1）xy
5 是方程组的解； 1
（2）当a 2时，x, y的值互为相反数；
（3）当a 1时，方程组的解也是方程x y 4 a的解；
（4）若x 1,则1 y 4.
A.(1)(2)
B.(2)(3)
C.(2)(3)(4)
D.(1)(3)(4)
13、(2013鞍山)如图，两根铁棒直立于桶底 水平的木桶中, 在桶中加入水后, 一根露出水 面的长度是它的1/3, 另一根露出水面的长度 是它的1/5. 两根铁棒长度之和为220cm, 此时
木桶中水的深度是 8__0_cm.
14.(08河北省)赵强同学借了一本书，共280页,要 在两周借期内读完,当他读了一半时,发现平均每天 要多读21页才能在借期内读完.他读前一半时,平均 每天读多少页?如果设读前一半时,平均每天读x页, 则下面所列方程中,正确的是 ( C )
上一点P（不与D,A重合）时，刚好与2号车相遇。
（1）他发现，乘1号车会比乘2号车到出口A用时少，请你简要说明理由；
（2）设PA=s（0<s<800）米，若他想尽快到达出口A， 根据s的大小，在等候乘1号车还是步行这两种方式中， 他该如何选择？
C(景点) 2号车
B
D
1号车
A(出口)
14、(2013•雅安)甲、乙二人在一环形场地上从A点 同时同向匀速跑步, 甲的速度是乙的2.5倍, 4分钟两 人首次相遇, 此时乙还需要跑300米才跑完第一圈, 求甲、乙二人的速度及环形场地的周长.
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某景区的环形路是边长为800米的正方形ABCD，如图，现有1号，2号两游览车分
别从出口A和景点C同时出发，1号车顺时针，2号车逆时针沿环形路连续循环行驶
，供游客随时乘车（上，下车的时间忽略不计），两车的速度均为200米/分。
决策 已知游客乙在DA上从D向出口A走去，步行的速度是50米/分，当行进到DA
7. 若不等式2x≤9－ 的解集在数轴上表示 如图，则 为( )
A. 7 C. 7或7x
B.7x D.－7或－7x
8. 运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到 “结果是否＞95”为一次程序操作，如果程序操作进 行了两次才停止，那么x的取值范围是( B )
第10题图
A. x＞23 C. 11≤x＜23