数学建模__多元线性回归分析共51页
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第15章_多元线性回归分析-PPT文档资料49页
27 名 糖 尿 病 人 的 血 糖 及 有 关 变 量 的 测 量 结 果
甘油三脂
胰岛素
糖化血
(m m o l /L )
( U / m l )
红 蛋 白 (% )
X2
X3
X4
1 .9 0
4 .5 3
8 .2
1 .6 4
7 .3 2
6 .9
3 .5 6
6 .9 5
1 0 .8
1 .0 7
5 .8 8
Sig. .012 .016 .017 .008
y ˆ 6 .5 0 0 .40 X 0 0 .2 2X 8 0 .6 7X 63
2
3
4
对新建立的回归方程进行检验
A N O VbA
Sum of
Model
Squares
1
Regre1s3s3i.o0n98
Residu8a9l.454
Total222.552
Sig. .047 .701 .099 .036 .016
有上表可知，X1被剔除。 注意：通常每次只剔除关系最弱的一个因素。
由方程中剔除因素的标准（通常 = 0.10）
重新建立不包含剔除因素的回归方程
C o ef f i c ie nat s
Standardi
zed
UnstandardizedCoefficie
多元线性回归分析
温医公卫学院
例15-1 27名糖尿病人的血清总胆固 醇、甘油三脂、空腹胰岛素、糖化血红蛋 白、空腹血糖的测量值列于表15-2中，试 分析哪些指标能影响血糖水平，并血糖建 立与其它几项关系的这些指标的回归关系。
序号 i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
经典多元线性回归模型PPT课件
Y 0 1X1 2 X2 ... k Xk u
此即为多元线性总体回归模型。
称
g(X1, X 2 ,...,X k ) 0 1 X1 2 X 2 ... k X k
为多元线性总体回归函数。
3
第3页/共53页
计量经济学模型引入随机扰动项的原因：
反映影响被解释变量的未知因素； 代表数据观测误差； 反映影响被解释变量的个体因素；
• 同时，随着样本容量增加，参数估计量具有一致性。
28
第28页/共53页
1、线性性
βˆ (XX)1 XY CY
其中,C=(X’X)-1 X’ 为一仅与X有关的矩阵。
2、无偏性
E(βˆ ) E(( XX)1 XY) E(( XX)1 X(Xβ μ )) β (XX)1 E(Xμ ) β
记残差向量为
可以表示为
^
eY X
e1
e
e2
en
此时，多元线性样本回归模型：
Yi ˆ0 ˆ1 X1i ˆ2 X 2i ˆki X ki ei
可以表示为：
Y Xβˆ e
11
第11页/共53页
由上述正规方程组
^^
^
(Yi 0 1 X1i ... k X ki) 0
得多元线性样本回归函数：
^
^
^
^
g(X1, X 2 ,...,X k ) 0 1 X1 ... k X k
^^
^
定义残差： ei Yi (0 1 X1i ... k X ki )
称 Yi ˆ0 ˆ1 X1i ˆ2 X 2i ˆki X ki ei
为多元线性样本回归模型。 5 第5页/共53页
^
j
~
c N( , c ) 2
此即为多元线性总体回归模型。
称
g(X1, X 2 ,...,X k ) 0 1 X1 2 X 2 ... k X k
为多元线性总体回归函数。
3
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计量经济学模型引入随机扰动项的原因：
反映影响被解释变量的未知因素； 代表数据观测误差； 反映影响被解释变量的个体因素；
• 同时，随着样本容量增加，参数估计量具有一致性。
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1、线性性
βˆ (XX)1 XY CY
其中,C=(X’X)-1 X’ 为一仅与X有关的矩阵。
2、无偏性
E(βˆ ) E(( XX)1 XY) E(( XX)1 X(Xβ μ )) β (XX)1 E(Xμ ) β
记残差向量为
可以表示为
^
eY X
e1
e
e2
en
此时，多元线性样本回归模型：
Yi ˆ0 ˆ1 X1i ˆ2 X 2i ˆki X ki ei
可以表示为：
Y Xβˆ e
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由上述正规方程组
^^
^
(Yi 0 1 X1i ... k X ki) 0
得多元线性样本回归函数：
^
^
^
^
g(X1, X 2 ,...,X k ) 0 1 X1 ... k X k
^^
^
定义残差： ei Yi (0 1 X1i ... k X ki )
称 Yi ˆ0 ˆ1 X1i ˆ2 X 2i ˆki X ki ei
为多元线性样本回归模型。 5 第5页/共53页
^
j
~
c N( , c ) 2
数学建模__多元线性回归分析51页PPT
数学建模__多元线性回归分析
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律来自是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律来自是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
最新文档-第6讲 多元线性回归分析-PPT精品文档
1. 线性关系检验通过后，对各个回归系数有选择地 进行一次或多次检验
2. 究竟要对哪几个回归系数进行检验，通常需要在 建立模型之前作出决定
3. 对回归系数检验的个数进行限制，以避免犯过多 的第一类错误(弃真错误)
4. 对每一个自变量都要单独进行检验
5. 应用 t 检验统计量
模型的统计检验
我们研究的模型是：Y= 0+ 1X1+ 2X2+u 1.参数估计值的分布
（ii）计算 t 统计量
j=0
j=0，1，2
（iii）给定显著性水平 ，查自由度为n-3的t分布表， 得到临界值
t (n3) 2
（iv）判断：
t （a）若 | t | >
(n3)
2
则在1- 水平下拒绝原假设H0 ，即 j对应的变量xj是
显著的；
t （b）若 | t | <
(n3)
系数 。
（3）校正的判定系数即用自由度进行平均，用 “单位”拟合误差进行比较，从而提高了可比性。
（4）虽然非校正的判定系数总为正数，但校正 的判定系数可能为负数。
• 我们很容易可以得到 调整的R2 ，
• (1 – R2)(n – 1) / (n – k – 1), • 大部分的软件会同时给出 R2 和 调整的R2。 • 可以通过比较调整的R2 来比较两个模型（同一个
2 1 i
2 2 i 1 i 2 i2
1
2 ]
V( aˆr ) 1
x 2[
u
2
x x ( xx) 1 i
2
2 i
2 2 i1 i
2] 2 i
V( aˆr ) 2
x 2[
2. 究竟要对哪几个回归系数进行检验，通常需要在 建立模型之前作出决定
3. 对回归系数检验的个数进行限制，以避免犯过多 的第一类错误(弃真错误)
4. 对每一个自变量都要单独进行检验
5. 应用 t 检验统计量
模型的统计检验
我们研究的模型是：Y= 0+ 1X1+ 2X2+u 1.参数估计值的分布
（ii）计算 t 统计量
j=0
j=0，1，2
（iii）给定显著性水平 ，查自由度为n-3的t分布表， 得到临界值
t (n3) 2
（iv）判断：
t （a）若 | t | >
(n3)
2
则在1- 水平下拒绝原假设H0 ，即 j对应的变量xj是
显著的；
t （b）若 | t | <
(n3)
系数 。
（3）校正的判定系数即用自由度进行平均，用 “单位”拟合误差进行比较，从而提高了可比性。
（4）虽然非校正的判定系数总为正数，但校正 的判定系数可能为负数。
• 我们很容易可以得到 调整的R2 ，
• (1 – R2)(n – 1) / (n – k – 1), • 大部分的软件会同时给出 R2 和 调整的R2。 • 可以通过比较调整的R2 来比较两个模型（同一个
2 1 i
2 2 i 1 i 2 i2
1
2 ]
V( aˆr ) 1
x 2[
u
2
x x ( xx) 1 i
2
2 i
2 2 i1 i
2] 2 i
V( aˆr ) 2
x 2[
《多元线性回归》PPT课件
ˆ 0.7226 0.0003 15674 103 .172 1 ˆ β ˆ 0 . 0003 1 . 35 E 07 39648400 0 . 7770 2
x11 x x 1n x k1 x kn
假设6：回归模型是正确设定的
§3.2
多元线性回归模型的参数估计
一、普通最小二乘估计 二、参数估计量的性质 三、样本容量问题
参数估计的任务和方法
1、估计目标：回归系数βj、随机误差项方差б2 2、估计方法：OLS、ML或者MM * OLS：普通最小二乘估计 * ML：最大似然估计
E(X(Y Xβ )0
矩条件
*矩条件和矩估计量*
1、 E(X(Y Xβ ) 0 称为原总体回归方程的一组矩条件，表明了
原总体回归方程所具有的内在特征。
2、如果随机抽出原总体的一个样本，估计出的样本回归方程：
ˆ 能够近似代表总体回归方程的话，则应成立： ˆ X Y
1 ˆ)0 X (Y Xβ n
第三章
多元线性回归模型
§ 3.1 多元线性回归模型
§ 3.2 多元线性回归模型的参数估计 § 3.3 多元线性回归模型的统计检验 § 3.4 多元线性回归模型的预测 § 3.5 可线性化的多元非线性回归模型 § 3.6 受约束回归
§3.1
多元线性回归模型
一、模型形式 二、基本假定
一、模型形式
Yi 0 1 X 1i 2 X 2 i ... k X ki i 0 j X ji i
#参数估计的实例
例3.2.1：在例2.1.1的家庭收入-消费支出例中，
《多元线性回归》课件
案例三：销售预测
总结词
利用多元线性回归模型预测未来销售情况，为企业制定 生产和销售计划提供依据。
详细描述
选取影响销售业绩的因素，如市场需求、竞争状况、产 品定价等，建立多元线性回归模型。通过分析历史销售 数据，预测未来销售趋势。在实际应用中，需要考虑市 场变化和不确定性因素，对模型进行动态调整和优化。
市场分析
在市场营销领域，多元线性回归可用于分析消费 者行为、市场趋势等，为企业制定营销策略提供 支持。
多元线性回归的基本假设
线性关系
自变量与因变量之间存在线性 关系，即随着自变量的增加或 减少，因变量也按一定比例变
化。
无多重共线性
自变量之间不存在多重共线性 ，即自变量之间没有高度的相 多元线性回归的 案例分析
案例一：股票价格预测
总结词
通过分析历史股票数据，利用多元线性回归 模型预测未来股票价格走势。
详细描述
选取多个影响股票价格的因素，如公司财务 指标、宏观经济指标、市场情绪等，建立多 元线性回归模型。通过训练数据拟合模型， 并使用测试数据评估模型的预测精度。在实 际应用中，需要考虑市场变化、政策影响等
特点
多元线性回归具有简单易用、可解释性强等优点，适用于探 索多个变量之间的相互关系，并能够提供可靠的预测结果。
多元线性回归的应用场景
1 2 3
经济预测
通过对多个经济指标进行多元线性回归分析，可 以预测未来的经济走势，为政策制定提供依据。
医学研究
在医学领域，多元线性回归常用于研究疾病发生 与多个风险因素之间的关系，为疾病预防和治疗 提供参考。
用于检验自变量与因变量之间是否存在线性关系。常用的方法包括散点图、趋 势线等。如果数据点在散点图上呈现一条直线，或者趋势线与水平线接近平行 ，则可以认为自变量与因变量之间存在线性关系。
《多元线性回归分析》PPT课件
的线性关系而使因变量Y 变异减小的部分；
SS回归 b1l1Y b2l2Y bmlmY biliy
SS剩余 表示剩余平方和，说明除自变量外，其它随机因素
对 Y 变异的影响。 SS剩余 SS总 SS回归
整理ppt
14
各变量的离差矩阵
b1 0.1424 ， b2 0.3515 ， b3 0.2706 ， b4 0.6382
Y 的误差平方和Q (Y Yˆ)2 为最小值
的一组回归系数b1 ,b2 ,bm 值。
求回归系数 b1 ,b2 ,bm 的方法
是求解正规方程组（normal equations）：
b1l11 b2l12 bml1m l1y
b1l21
b2l22
bml2m
l2y
b1lm1 b2lm2 bmlmm lmy
整理ppt
28
2.决定系数
决定系数（coefficient of determination）表示回归平 方和占总平方和的比例，反映各自变量对因变量回 归贡献的大小，用 R2 表示。 R2 SS回归
SS总
R2 无单位，取值在 0~1 之间。值越大，说明回归平 方和在总平方和中所占的比重越大，剩余平方和所占 比例越小，回归效果越好。
partial
regression
coefficient）。标准偏回归系数
b
' i
与
注 意
偏回归系数之间的关系为：
b
' i
=
bi
lii l yy
= bi
si sy
标准偏回归系数绝对值的大小，可用以衡量自变量对
因变量贡献的大小，即说明各自变量在多元回归方程
中的重要性。
数学建模多元线性回归分析PPT课件
的标准误。
检验假设： H0： j 0 ， t j 服从自由度为 n m 1的 t 分 布。如果| t j | t / 2,nm1 ，则在 （0.05）水平上拒 绝 H0，接受 H1，说明 X j 与Y 有线性回归关系。
第19页/共50页
结果
0.1424 t1 0.3656 0.390
0.2706 t3 0.1214 2.229
计算公式： R R2 ，本例 R 0.6008 0.7751 若 m=1 自变量，则有 R | r |，r 为简单相关系数。
第14页/共50页
（二）对各自变量 指明方程中的每一个自
变量对Y的影响（即方差分析和决定系数检 验整体）。
1. 偏回归平方和
含义 回归方程中某一自变量 X j 的偏回归 平方和表示模型中含有其它 m-1 个自变量 的条件下该自变量对 Y 的回归贡献，相当于 从回归方程中剔除 X j 后所引起的回归平方 和的减少量，或在 m-1 个自变量的基础上新 增加 X j 引起的回归平方和的增加量。
第16页/共50页
各自变量的偏回归平方和可以通过拟合包含不同 自变量的回归方程计算得到，表15-5给出了例15-1数 据分析的部分中间结果。
表15-5 对例15-1数据作回归分析的部分中间结果
回归方程中
平方和（变异）
包含的自变量
SS 回
SS 残
① X1 , X 2 , X 3 , X 4 133.7107 88.8412
求偏导数
原理
最小二乘法
l11b1 l12b2 l1mbm l1Y l21b1 l22b2 l2mbm l2Y lm1b1 lm2b2 lmmbm lmY
b0 Y (b1X 1b2 X2 bm Xm )
数学建模多元回归分析
第三节 多元线性回归
单击添加副标题
多元线性回归模型
PART ONE
多元线性回归模型 （概念要点）
一个因变量与两个及两个以上自变量之间的回归 描述因变量 y 如何依赖于自变量 x1 ， x2 ，…， xp 和误差项 的方程称为多元线性回归模型 涉及 p 个自变量的多元线性回归模型可表示为
1
2
3
4
5
本章小结
结 束
H0：12p=0 线性关系不显著 H1：1，2，，p至少有一个不等于0
01
计算检验统计量F
02
确定显著性水平和分子自由度p、分母自由度n-p-1找出临界值F
03
作出决策：若FF ，拒绝H0；若F<F，接受H0
04
回归系数的显著性检验 （要点）
如果F检验已经表明了回归模型总体上是显著的，那么回归系数的检验就是用来确定每一个单个的自变量 xi 对因变量 y 的影响是否显著
01
02
参数的最小二乘估计
PART TWO
参数的最小二乘法 （要点） 根据最小二乘法的要求，可得求解各回归参数 的标准方程如下 使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达到最小来求得 。即
回归方程的显著性检验
PART THREE
多重样本决定系数 （多重判定系数 R2 ） 回归平方和占总离差平方和的比例 反映回归直线的拟合程度 取值范围在 [ 0 , 1 ] 之间 R2 1，说明回归方程拟合的越好； R20，说明回归方程拟合的越差 等于多重相关系数的平方，即R2=(R)2
对每一个自变量都要单独进行检验
应用 t 检验
在多元线性回归中，回归方程的显著性检验不再等价于回归系数的显著性检验
回归系数的显著性检验 （步骤）
单击添加副标题
多元线性回归模型
PART ONE
多元线性回归模型 （概念要点）
一个因变量与两个及两个以上自变量之间的回归 描述因变量 y 如何依赖于自变量 x1 ， x2 ，…， xp 和误差项 的方程称为多元线性回归模型 涉及 p 个自变量的多元线性回归模型可表示为
1
2
3
4
5
本章小结
结 束
H0：12p=0 线性关系不显著 H1：1，2，，p至少有一个不等于0
01
计算检验统计量F
02
确定显著性水平和分子自由度p、分母自由度n-p-1找出临界值F
03
作出决策：若FF ，拒绝H0；若F<F，接受H0
04
回归系数的显著性检验 （要点）
如果F检验已经表明了回归模型总体上是显著的，那么回归系数的检验就是用来确定每一个单个的自变量 xi 对因变量 y 的影响是否显著
01
02
参数的最小二乘估计
PART TWO
参数的最小二乘法 （要点） 根据最小二乘法的要求，可得求解各回归参数 的标准方程如下 使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达到最小来求得 。即
回归方程的显著性检验
PART THREE
多重样本决定系数 （多重判定系数 R2 ） 回归平方和占总离差平方和的比例 反映回归直线的拟合程度 取值范围在 [ 0 , 1 ] 之间 R2 1，说明回归方程拟合的越好； R20，说明回归方程拟合的越差 等于多重相关系数的平方，即R2=(R)2
对每一个自变量都要单独进行检验
应用 t 检验
在多元线性回归中，回归方程的显著性检验不再等价于回归系数的显著性检验
回归系数的显著性检验 （步骤）
多元线性回归分析课件
注意：似然函数取对数是一个单调变换，不会影响参 数估计值的最优解。
42
极大似然估计的优化一阶条件：
结论： 回归系数的ML估计量与OLS估计量完全等价。 在有限样本下是有偏的，大样本下具有一致性。
43
二、参数约束的似然比检验
例子：柯布－道格拉斯生产函数
无约束方程： 受约束方程：
待检验假设：
无约束方程进行 ML估计，得到极大对数似然函数值：
回忆：P值是检验结论犯第一类“弃真”错误的概率。 P值非常小的含义是什么呢？
17
二、随机误差项方差的估计
的无偏估计量可以表述为：
自由度为什么是N-(K+1)？ 多元回归模型的OLS估计中，我们基于正规方程 组中的K+1个约束估计了K+1个回归系数，所以损失 了K+1个自由度，独立的观测信息只剩下N-(K+1)个。
34
3 ：参数的线性约束检验： F检验一般形式
对于多元线性回归模型：
参数的多个约束：
待检验假设：
原假设中至少有一个约束条件不成立。
35
检验统计量
基于 和 有
，在原假设成立的情况下，
如果原假设为真，我们会倾向于得到较小的F值。
反之，我们会倾向于得到较大的F值。
判定：若F值大于临界值，或p值小于显著性水平， 则拒绝原假设。
36
4 ：经济关系的结构稳定性检验： F检验的一 个例子——邹检验
n 例：中国宏观生产函数在1992年前后是否不同？ 无约束回归：参数可以不同
1978~1992年： 1993~2006年：
受约束回归：参数不变 1978~2006年：
37
待检验假设：
： 原假设中约束条件至少有一个不成立。
42
极大似然估计的优化一阶条件：
结论： 回归系数的ML估计量与OLS估计量完全等价。 在有限样本下是有偏的，大样本下具有一致性。
43
二、参数约束的似然比检验
例子：柯布－道格拉斯生产函数
无约束方程： 受约束方程：
待检验假设：
无约束方程进行 ML估计，得到极大对数似然函数值：
回忆：P值是检验结论犯第一类“弃真”错误的概率。 P值非常小的含义是什么呢？
17
二、随机误差项方差的估计
的无偏估计量可以表述为：
自由度为什么是N-(K+1)？ 多元回归模型的OLS估计中，我们基于正规方程 组中的K+1个约束估计了K+1个回归系数，所以损失 了K+1个自由度，独立的观测信息只剩下N-(K+1)个。
34
3 ：参数的线性约束检验： F检验一般形式
对于多元线性回归模型：
参数的多个约束：
待检验假设：
原假设中至少有一个约束条件不成立。
35
检验统计量
基于 和 有
，在原假设成立的情况下，
如果原假设为真，我们会倾向于得到较小的F值。
反之，我们会倾向于得到较大的F值。
判定：若F值大于临界值，或p值小于显著性水平， 则拒绝原假设。
36
4 ：经济关系的结构稳定性检验： F检验的一 个例子——邹检验
n 例：中国宏观生产函数在1992年前后是否不同？ 无约束回归：参数可以不同
1978~1992年： 1993~2006年：
受约束回归：参数不变 1978~2006年：
37
待检验假设：
： 原假设中约束条件至少有一个不成立。
数学建模——回归分析模型多元线性回归模型
Y a bx , ~ N (0, )
2
b 这就是一元线性回归模型，为回归系数。 ~ N (0, 2 ) 是随机误差，是人们不可控制的。
在生活中竞赛，在竞赛中生活
数学建模——回归分析模型
2 一元线性回归模型—— a, b, 估计 方法：最小二乘法 求解：对 x取不全相同的值做独立实验，得到样本。 ( x1 , Y1 ),( x2 , Y2 ),...,( xn , Yn ) 记第 i 组实验的误差 i，使总误差尽量小，即下式 yi
在生活中竞赛，在竞赛中生活
ˆ ˆ a ˆ bx y
数学建模——回归分析模型
一元线性回归模型——线性假设的 显著性检验
必要性：上面我们假设 Y 关于
l xy
n
归形式是否为线性函数需要检验， 判别准则 称为拟合优度检验
R |||R R| | 接近1
x 的回
ˆR R XY
1 n ( xi x )( yi y ) n i 1
数学建模——回归分析模型
Keep focused Follow me —Jiang
在生活中竞赛，在竞赛中生活
数学建模——回归分析模型
• • • • • 回归分析概述 几类回归分析模型比较 一元线性回归模型 多元线性回归模型 注意点
在生活中竞赛，在竞赛中生活
数学建模——回归分析模型
回归分析 名词解释：回归分析是确定两种或两种以上变数 间相互赖的定量关系的一种统计分析方法。 解决问题：用于趋势预测、因果分析、优化问题 等。 几类常用的回归模型：
Excel是做一元线性回归的其中一种 软件，还有Spss，Matlab都可以做
请同学用 Excel完成上 面的例题
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66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
数学建模__多元线性回归分析
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
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