运筹学 第四章习题答案教程文件
运筹学习题答案(第四章)
满足P、P2 , 不满足P3 1
page 4 28 December 2013
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第四章习题解答
4.3 用单纯形法解下列目标规划问题：
min P ( d1 d1 ), P2 d 2 , P3 d 3 , P4 (5d 3 3d 2 ) 1 x1 x2 d1 d1 800 d 2 d 2 2500 (1) 5 x1 st. 3 x2 d 3 d 3 1400 x1 , x2 , d i , d i 0, i 1,2,3 解：x1 500 , x2 300 , d 2 10, d 3 200
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第四章习题解答
(1) 用单纯形法求问题的满意解；
解：x1 70, x2 20, d 3 25, d1 10
满足P、P2 , 不满足P3 1
(2)若目标函数变为:
min
P d
1 1
运筹学教程（第二版） 习题解答
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4.1 若用以下表达式作为目标规划的目标函数， 其逻辑是否正确？为什么?
(1) max 不正确 (3) min 正确 (5) max
d d d
d d d
(2) max 不正确
d d d
d d d
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第四章习题解答
运筹学第四章
运筹学第四章习题答案4.1若用以下表达式作为目标规划的目标函数，其逻辑是否正确？为什么？ （1）max ｛-d -+d ｝ （2）max ｛-d ++d ｝ （3）min ｛-d ++d ｝ （4）min ｛-d -+d ｝（1）合理，令f （x ）+-d -+d =b,当f （x ）取最小值时，-d -+d 取最大值合理。
(2)不合理，+d 取最大值时，f （x ）取最大值，-d 取最大值时，f （x ）应取最小值 （3）合理，恰好达到目标值时，-d 和+d 都要尽可能的小。
（4）合理，令f （x ）+-d -+d =b,当f （x ）取最大值时，-d -+d 取最小值合理。
4.2用图解法和单纯形法解下列目标规划问题（1）min ｛P 13+d ，P 2-2d ，P 3（-1d ++1d ）｝24261121=-+++-d d x x 52221=-+++-d d x x155331=-++-d d x3,2,1,0,,,21=≥+-i d d x x i i（2）min{P 1(+++43d d ),P 2+1d ,P 3-2d ,P 4(--+435.1d d )} 401121=-+++-d d x x1002221=-++--d d x x30331=-++-d d x 15442=-++-d d x4,3,2,1,0,,,21=≥+-i d d x x i i(1)图解法0 A B C X 1由图可知，满足域为线段EG,这就是目标规划方程的解，可求得：E,G 的坐标分别为（0，12），（3,3） 故该问题的解为)312,3()3,3()12,0(21221a a a a a +=+ )1,0,(2121=+≥a a a a(2)图解法 21由图可知，满足域为线段AB A(25,15),B(30,10)故该问题的解可表示为)1015,3025()10,30()15,25(212121a a a a a a ++=+ )1,0(212,1=+≥a a a a(1)单纯形法0 0 P1 0 0 P2 P3 P3CB XB x1 x2 bP3 P2 06 2 0 0 0 0 -1 1 245152 1 0 0 -1 1 0 05 0 -1 1 0 0 0 0P1P2P30 0 1 0 0 0 0 0-1 -1 0 0 1 0 0 0-6 -2 0 0 0 0 2 0P3P20 x1 0 2 1.2 -1.2 0 0 -1 1 6230 1 0.2 0.2 -1 1 0 01 0 -0.2 0.2 0 0 0 0P1 P2 P3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 -0.2 0.2 1 0 0 0 0 -2 -1.2 1.2 0 0 2 0P30 0x2x10 0 0.8 -0.8 2 -2 -1 1 2230 1 0.2 -0.2 -1 1 0 01 0 -0.2 0.2 0 0 0 0P1P2P30 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 0 -0.8 0.8 -2 2 2 00 0x2x10 0 0.4 -0.4 1 -1 -0.5 -0.5 1330 1 0.6 -0.6 0 0 0.5 0.51 0 -0.2 0.2 0 0 0 0P1P2P30 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 1 10 0 x22 0 0 0 1 -1 -0.5 -0.5 71253 1 0 0 0 0 0.5 0.55 0 -1 1 0 0 0 0P1P2P30 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 1 1故该问题的解为)312,3()3,3()12,0(21221a a a a a +=+ )1,0,(2121=+≥a a a a（2）P2P3P1P4P11.5P4CB XB x1 x2b 0 1 1 -1 1 00 0 0 0 0 401 1 0 0 -1 1 0 0 0 0 100 1 0 0 0 0 0 -1 1 00 301-1115P1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0P21P3 -1 -11 00 0 P4-11.5 0 0 1 0 -1 1 0 0 0 0 1 -1 251 0 0 0 -1 1 0 0 1 -1 85 1 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 30 0x2 0 115P1 0 0 00 0 0 1 0 1 0P20 0-1 0P3 -1 01-1 1 P4 -1 00 51 0 x110 -1 1 0 0 0 0 1 -11-1-110 0 1 -1 0 0 -1 1 -1 1 30 0 x2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 P1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 P2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 P3 0 0 -1 1 1 0 0 0 0 0P4-1111.54.3某商标的酒是用三种等级的酒兑制而成。
运筹学习题答案(第四章)
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第四章习题解答
4.5 某成品酒有三种商标 红、黄、蓝)，都是由 某成品酒有三种商标(红 ， 三种原料酒(等级 Ⅱ 等级Ⅰ 兑制而成。 三种原料酒 等级 Ⅰ ,Ⅱ， Ⅲ )兑制而成。 三种等级的原 兑制而成 料酒的日供应量和成本见表4-13，三种商标的成品酒 料酒的日供应量和成本见表 ， 的兑制要求和售价见表4-14。决策者规定 ： 首先必须 的兑制要求和售价见表 。 决策者规定： 严格按规定比例兑制各商标的酒；其次是获利最大； 严格按规定比例兑制各商标的酒 ； 其次是获利最大 ； 再次是红商标的酒每天至少生产2 000kg。试列出该问 再次是红商标的酒每天至少生产 。 题的数学模型。 题的数学模型。
13 page 13 23 May 2012
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已知单位牛奶、牛肉、 4.7 已知单位牛奶、牛肉、鸡蛋中的维生素及胆 固醇含量等有关数据见表4 15。 固醇含量等有关数据见表4 - 15 。如果只考虑这三种食 并且设立了下列三个目标： 物，并且设立了下列三个目标： 第一，满足三种维生素的每日最小需要量； 第一，满足三种维生素的每日最小需要量； 第二，使每日摄人的胆固醇最少； 第二，使每日摄人的胆固醇最少； 第三，使每日购买食品的费用最少。 第三，使每日购买食品的费用最少。 要求建立问题的目标规划模型。 要求建立问题的目标规划模型。
售价（ /kg） 售价（元/kg） 5.5 5.0 4.8
解： x11 = 1125 , x12 = 300 , x13 = 75 , x 21 = 1125 , x 22 = 200 , x 23 = 675 , x 31 = 0 , x 32 = 1000 , x 33 = 0 , d 1− = 225 , d 3− = 50 , d 5− = 375 , d 7+ = 250 满足所有目标
电力出版社运筹学答案 第四章
第4章训练题实践能力训练1．某工厂生产A 、B 两种产品，产品A 每件利润为$10，而产品B 每件利润为$8，产品A 每件需3小时装配时间，而B 为2小时，每周总装配有效时间为120小时。
工厂允许加班，但加班生产出来的产品的利润得减去1美元，根据最近合同，厂商每天至少得向用户提供两种产品各30件。
通过与厂商经理交谈，确认如下事实：（1）与用户签定的合同必须遵守，且工厂正常工作时间只有120小时； （2）尽可能不加班；（3）求利润最大； 试建立此问题的数学模型。
1．设正常生产A 产品1x 件，B 产品3x 件，加班生产A 产品2x 件，B 产品4x 件。
则},,{m in 5443321ηρ-ηρ-η+η+η=a lex30..1121=ρ-η++x x t s 302243=ρ-η++x x 120233331=ρ-η++x x0234442=ρ-η++x x54078910554321=ρ-η++++x x x x0,,41≥x x 且为整数2．考虑双A 牌啤酒的混合问题。
D 厂用三种级别的白兰地（一，二，三）来生产三种混合酒(DT ,DTA ,QL )，三种级别的白兰地酒供应量受到严格限制，他们的供应量和成本如下： 一级 1,500加仑/日 $6.00 /加仑 二级 2,100加仑/日 $4.50 /加仑 三级 950 加仑/日 $3.00 /加仑双A 牌酒的信誉很高，为了保证质量，其生产配方受到严格控制，其配方如右表所示。
在此题中，把日供应量和混合比例设为硬约束，其余按其优先顺序表示如下：（1）求利润极大；（2）每日至少生产2，000加仑DT 酒。
试建立此问题的数学模型。
2．变量假设如表：},,{m in 1110987654321ηηη+ρ+η+ρ+η+ρ+ρ+ρ+ρ=a lex 1500..11312111=ρ-η+++x x x t s 210022322212=ρ-η+++x x x 95033332313=ρ-η+++x x x1.04413121112=ρ-η+++x x x x5.05513121111=ρ-η+++x x x x6.06623222123=ρ-η+++x x x x2.07723222121=ρ-η+++x x x x5.08833323133=ρ-η+++x x x x1.09933323131=ρ-η+++x x x x13650)(3)(5.4)(6)(5)(5.5)(61010332313322212312111333231232221131211=ρ-η+++-++-++-++++++++x x x x x x x x x x x x x x x x x x20001111131211=ρ-η+++x x x .3,2,1,,0=≥j i x ij3．动力公司生产单一类型的机动自行车（即小型汽油机动摩托车），称为美洲神风，这家公司同时也进口意大利的安全牌机器摩托车，神风牌每辆售价为$650，安全牌$725，需求情况是厂家生产或进口摩托车都能轻易地卖出去。
运筹学基础(第2版)何坚勇 第四章习题答案
-x1+x2 -Kx3 6
X1 0，X2 0, X3无约束
最优解:
X（0）=(-5，0，-1)T
写出对偶问题
令X’1 = -X1 max z=2x’1+x2 -2x3
s.t x’1+x2 +x3 = 4 x’1+x2 -Kx3 6 X’
1
min f=4w1+6w2
s.t w1+w2 2 w1+w2 1 w1-kw2 = -2
•w1= 0 •w2 = 2
求解
• 代入w1-kw2 = -1 • 求得K=1
A
4.4对偶问题
min f=20w1+20w2
s.t w1+2w2 1 2w1+w2 2 2w1+3w2 3 3w1+2w2 4
max z=x1+2x2 +3x3 +4x3
s.t x1+2x2 +2x3 +3x4 20 2x1+x2 +3x3 +2x4 20 X1 ，X2, X3 0无约束
= （ C'1 ，5，0，0）（5， C'1） 5/14 -3/14
-1/7 2/7
3 4
1
0 1
5 2 0
=（ C'1 ，5，0，0）-[C'1 ，5，(25-2 C'1 )/14 ， (4 C'1 - 25)/14 ]
每个分量小于0
= [0 ，0，-(25-2 C'1 )/14 ， -(4 C'1 - 15)/14 ] -(25-2 C'1 )/140 -(4 C'1 - 15)/14 0 15/4 C'1 25/2 C'1 25/2 C'1 15/4
熊伟编《运筹学》习题四详细解答
习题四4.1工厂生产甲、乙两种产品，由A、E二组人员来生产。
A组人员熟练工人比较多，工作效率高，成本也高；E组人员新手较多工作效率比较低，成本也较低。
例如，A组只生产甲产品时每小时生产10件，成本是50元有关资料如表4.21所示。
表 4.21二组人员每天正常工作时间都是8小时，每周5天。
一周内每组最多可以加班10小时，加班生产的产品每件增加成本5元。
工厂根据市场需求、利润及生产能力确定了下列目标顺序：P1：每周供应市场甲产品400件，乙产品300件P2：每周利润指标不低于500元P3：两组都尽可能少加班，如必须加班由A组优先加班建立此生产计划的数学模型。
4.1【解】解法一：设X1, X2分别为A组一周内正常时间生产产品甲、乙的产量，X3, X4分别为A组一周内加班时间生产产品甲、乙的产量；X5, X6分别为B组一周内正常时间生产产品甲、乙的产量，X7, X8分别为B组一周内加班时间生产产品甲、乙的产量。
总利润为80(X1 X3 X5 X7) (5055X3 45X5 50X7)75(X2 X X6 X s) (45X2 50X4 40X6 45x030X1 30X2 25X3 25X4 35X5 35X6 30X7 30X8生产时间为A 组：0.1捲0.125X20.1X30.125X4B 组：0.125x50.2X60.125X70.2沧数学模型为：min Z p1(d1d2) P2d3 P3(d 4 d5) P4(d6 2d?)X1 X3 X5 X7 d1 d1 400X2 X4 X6 X8 d2 d2 30030为30X225X325X435X535X630X730XS d3500400.1X10.125X2 d4d4400.125X5 0.2X6 d5d50.1X3 0.125x4 d6d6 100.125X70.2X8 d7d7 10X j 0,d i ,d i 0,i 1,2丄，7; j 1,2,L ,8解法二：设X1, X2分别为A组一周内生产产品甲、乙的正常时间，X3, X4分别为A组一周内生产产品甲、乙的加班时间；X5, X6分别为B组一周内生产产品甲、乙的正常时间，X7, X8分别为B组一周内生产产品甲、乙的加班时间。
运筹学课后习题答案
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第一章 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 复习思考题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 第二章 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 复习思考题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 第 三 章 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 复 习 思 考 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 第 四 章 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 复 习 思 考 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 第 五 章 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 复 习 思 考 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 第 六 章 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 复 习 思 考 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 第 七 章 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 复 习 思 考 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
运筹学第四章作业的参考答案
第四章作业的参考答案151P 5、判断下列函数是否为凸函数.（3）31322123222126293)(x x x x x x x x x x f ++-++=解： )(x f 的Hesse 矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=∇1862662222)(2x f .)(2x f ∇的各阶主子式分别为.01862662224,07218666,03418222,086222,018,06,02=-->=>=>=-->>>因而)(2x f ∇为半正定矩阵，所以)(x f 是凸函数。
152P 9、用0.618法求以下问题的近似解 5060212)(min 230+-+-=≥t t t t t ϕ已知函数的单谷区间]5.3,5.0[,要求最后区间精度8.0=ε。
解：迭代过程用下表给出：第三轮迭代开始时有ε=<=-=-8.0708.0646.1354.2a b 。
所以近似最优解为084.2*=t 。
152P 14、求以下无约束非线性规划问题的最优解.（1）2122122211620)(2)(min x x x x x x x f --+++=解：化简目标函数，得.1620223)(21212221x x x x x x x f --++=所以，)(x f 的Hesse 矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∇4226)(2x f . 因为)(2x f ∇是正定矩阵，所以)(x f 是凸函数。
另一方面，目标函数的梯度向量为 .)1624,2026()(1221Tx x x x x f -+-+=∇ 令0)(=∇x f ，即⎩⎨⎧=-+=-+01624020261221x x x x ， 求得目标函数的驻点为T x )514,512(*=. 所以，原问题的最优解为T x )514,512(*=.152P 16、求最速下降法求解以下问题，要求迭代进行三轮。
（1）22212131min x x +，取初始点.)2,3(0T x = 解：由题意知.),32(),()(2121T T x x x f x f x f =∂∂∂∂=∇ 第一轮迭代：T x f p )2,2()(00--=-∇=。
运筹学教材习题答案详解
【解】图解法
单纯形法：
C(j)
1
3
0
0
b
Ratio
C(i)
Basis
X1
X2
X3
X4
0
X3
-2
[1]
1
0
2
2
0
X4
2
3
0
1
12
4
C(j)-Z(j)
1
3
0
0
0
3
X2
-2
1
1
0
2
M
0
X4
[8]
0
-3
1
6
0.75
C(j)-Z(j)
7
0
-3
0
6
3
X2
0
1
0.25
0.25
7/2
1
X1
1
0
-0.375
0.125
【解】设x1、x2、x3分别为产品A、B、C的产量，则数学模型为
1.3建筑公司需要用6m长的塑钢材料制作A、B两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格及数量如表1－23所示：
表1－23窗架所需材料规格及数量
型号A
型号B
每套窗架需要材料
长度（m）
数量(根)
长度(m)
数量(根)
A1：1.7
2பைடு நூலகம்
B1：2.7
2
A2：1.3
项目2
项目3
0
400
800
900
1
600
800
500
2
900
800
200
3
100
700
600
《运筹学教程》胡云权 第五版 第四章 动态规划
* u1 ( A) B1
按计算顺序反推得最优决策序列
* u1 ( A) B1
u* (B1 ) C2 2
* u3 (C2 ) D2
u* ( D2 ) E2 4
最优路线： A B1 C2 D2 E2 F
动态规划的基本思想
可见，求解各阶段都利用了以下关系
f k ( sk ) min dk ( sk , uk ) f k 1 ( sk 1 )
• 动态规划应用
多阶段决策过程的最优化
1、最短路线问题
【例1】从A点铺设一条管道到E点，图中两点间连线上数字表示两 点间距离。现需选一条由A到E的铺管线路，使总距离最短。
2 4 B1 4 8 A 5 3 B3 阶段1 9 B2 7 3 阶段2 2 5 C3 阶段3 阶段4 C2 2 4 1 6 D2 C1 6 5 D1 3
B3
3
阶段2
阶段4
• 状态和状态变量 状态：各阶段开始时的客观条件 状态无后效性: 给定了某阶段状态，则在这阶段以后过程的发展 不受这阶段以前各阶段状态的影响。
动态规划的基本概念和原理
4 A 5 3
B1 4
2
C1 6 1
5 D1 3 4 D2 E
8
B2 7
9
2 5
C2 2 C3
6 4
阶段3
基本概念 • 状态和状态变量 sk： 第k个阶段的状态变量 Sk ：第k个阶段状态变量的集合，称状态集合
* pk . n P k ,n
当k=1时，f1(s1)就是从初始状态s1到全过程结束的整体最优函数。
动态规划的基本思想
【例】选择一条运输线路，使得A到F的运费最小。
2 4
运筹学习题答案(第四章)(课堂PPT)
Ⅰ
1500
6
Ⅱ
2000
4.5
Ⅲ
1000
3
page 9 28 April 2020
School of Management
运筹学教程
第四章习题解答
表4-14
商标
兑制要求
售价（元/kg）
红
Ⅲ少于10% Ⅰ多于50%
5.5
黄
Ⅲ少于70% Ⅰ多于20%
5.0
蓝
Ⅲ少于50% Ⅰ多于10%
4.8
解：x11 1125, x12 300, x13 75, x21 1125,
x2
d1
d
2
d3
d1
d
2
d3
150 40 40
x1
,
x2
,
d
i
,
d
i
0, i
1,2,3
解：x1
55, x2
40,
d
2
15
满足P1，不满足P2
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运筹学教程
第四章习题解答
min
P1
(d
3
d
4
第四章习题解答
解：目标规划模型如下：
min
P1d1
,
P2
(d
2
d
3
d
4
),
P3d
5
,
P4
d
6
x1 x2 x3 1000
x1
d1
d1
300,
x2
d
3
d
3
350,
x1
《管理运筹学》第四版第4章线性规划在工商管理中的应用课后习题解析
《管理运筹学》第四版课后习题解析第4章线性规划在工商管理中的应用1．解：为了用最少的原材料得到10台锅炉，需要混合使用14种下料方案。
设14种方案下料时得到的原材料根数分别为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11，x12，x13，x14，如表4-1所示。
表4-1 各种下料方式1234567891011121314s.t. 2x1＋x2＋x3＋x4≥80x2＋3x5＋2x6＋2x7＋x8＋x9＋x10≥350x3＋x6＋2x8＋x9＋3x11＋2x12＋x13≥420x4＋x7＋x9＋2x10＋x12＋2x13＋3x14≥10x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11，x12，x13，x14≥0通过管理运筹学软件，我们可以求得此问题的解为：x1=40，x2=0，x3=0，x4=0，x5=116.667，x6=0，x7=0，x8=0，x9=0，x10=0，x11=140，x12=0，x13=0，x14=3.333最优值为300。
2．解：（1）将上午11时至下午10时分成11个班次，设x i表示第i班次新上岗的临时工人数，建立如下模型。
min f=16(x1＋x 2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＋x9＋x10＋x11)s.t．x1＋1≥9x1＋x2＋1≥9x1＋x2＋x3＋2≥9x1＋x2＋x3＋x4＋2≥3x2＋x3＋x4＋x5＋1≥3x3＋x4＋x5＋x6＋2≥3x4＋x5＋x6＋x7＋1≥6x5＋x6＋x7＋x8＋2≥12x6＋x7＋x8＋x9＋2≥12x7＋x8＋x9＋x10＋1≥7x8＋x9＋x10＋x11＋1≥7x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11≥0通过管理运筹学软件，我们可以求得此问题的解如下：x1=8，x2=0，x3=1，x4=1，x5=0，x6=4，x7=0，x8=6，x9=0，x10=0，x11=0，最优值为320。
清华大学《运筹学》第四章
16
例3 判别函数
f ( X ) 3x12 2x1 2x22 x2 10 的凸性. 解 用二阶条件
D(3,3)
2
6 x1
6
分析：
若h(x) x1 x2 6 0, x1* 2, x2* 2, f (x*) 0,最优解位于可行域内部, 此时h(x) 0事实上不起约束作用, x*直接由 min f (x)求得.
非线性规划的最优解可能在可行 域的任一点达到。
7
2.3极值问题
极值存在的条件
则称f (X )为R上的严格凹函数.
14
函数f(x)图示 f (x)
凸函数
凹函数
o x(1)
f (x)
o x(1)
f (x)
非凸非凹函数
o x(1)
f (x(1) ) (1 ) f (x(2) )
f (x(1) (1 )x(2) ) x(2) x
f (x(1) (1 )x(2) ) f (x(1) ) (1 ) f (x(2) )
20 相对误差
X (k1) X (k ) 1 f ( X (k1) ) f ( X (k) ) 2
30 f ( X )的模
f ( X (k) 5
X (k 1) X (k )
X (k)
3
f ( X (k1) ) f ( X (k) )
f (X (k))
4
其中1,2,3,4,5为事先给定的足够小的 正数.
2x1 5x2 80
x1
,
运筹学 李锋 庄东 华南理工大学 详细版习题答案
要 求 ：1、 应 判 断 问题是否产销平 衡 ；2、 每 次 迭 代 应 给出作业表及检验数 表，不需画出闭回 路 ；3、 应 判 断 最 优 方案是否唯一。
������4
������1 ������2 ������3
DEM
7 9 13 9
11 5 5
所有非基变量格检验数大于0，当前方案 为唯一最优方案，总运费为173。
2. 应用表上作业法求解表5-59所示的运输问题，给出各个基本可行方案和检验数表并 判断解的最优性。要求：初始基本可行方案用最小元素法给出。
������4 14 2
6 3 5
11 9
调整������3 ������2 ，调整量为1，得到：
答案表 4-3
D S
检验数表为：
������1
3 3 12
������2
9 3 25 1
������3
8 7 9 13
������4
6 10 14 6 6
SUP 6 10 7 23
������1 ������2 ������3
答案：
2
第四章 特殊类型的线性规划
解 ： 首 先 ， 需 明 确 此 问 题 为 产 销 平 衡 运 输 问 题。 最小元素法得到的初始基本可行方案：
答案表 4-11
D S
答案中应明确
������1
8
������2
15 10 7 5
������3
20
������4
《运筹学》第四章习题及答案
《运筹学》第四章习题及答案问题。
运筹学》第四章习题及答案、思考题1．运输问题的数学模型具有什么特征？为什么其约束方程的系数矩阵的秩最多等于 m ，n,1 ？2．用左上角法确定运输问题的初始基本可行解的基本步骤是什么？小元素法的基本思想是什么？为什么在一般情况下不可能用它直接得到运输问题的最优方案？4．沃格尔法（Vogel 法）的基本思想是什么？它和最小元素法相比给出的运输问题的初始基本可行解哪一个更接近于最优解？为什么？5．试述用闭回路法检验给定的调运方案是否最优的原理，其检验数的经济意义是什么？6．用闭回路法检验给定的调运方案时，如何从任意空格出发去寻找一条闭回路？这闭回路是否是唯一的？如何把一个产销不平衡的运输问题（产大于销或销大于产）转化为产销平衡的运输 10．一般线性规划问题应具备什么特征才可以转化为运输问题的数学模型？11．试述在表上作业法中出现退化解的涵义及处理退化解的方法。
7．试述用位势法求检验数的原理、步骤和方法。
8．试给出运输问题的对偶问题（对产销平衡问题）。
9．、判断下列说法是否正确1．运输问题模型是一种特殊的线性规划模型，所以运输问题也可以用单纯形方法求解。
2 ．因为运输问题是一种特殊的线性规划模型，因而求其解也可能出现下列四种情况：有唯一最优解；有无穷多个最优解；无界解；无可行解。
3 ．在运输问题中，只要给出一组（ ,,xijm ，n,1 ）个非零的，且满足nm，，就可以作为一个基本可行解。
4 ．表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法。
5．按最小元素法或元素差额法给出的初始基本可行解，从每一空格出发都可以找到一闭回路，且此闭回路是唯一的。
6．如果运输问题单位运价表的某一行（或某一列）元素分别加上一个常数 k，最优调运方案将不会发生变化。
7．如果运输问题单位运价表的某一行（或某一列）元素分别乘上一个常数 k，最优调运方案将不会发生变化。
8．用位势法计算检验数时，先从某一行（或列）开始，给出第一个位势的值，这个先给出的位势值必须是正的。
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x1+x2﹣x3=4
s.t
x1+kx2﹣x3≤6
x1≥0 x2无符号约束 x3≤0
的最优解是X*=(5, ﹣1,0)T
(1)求出K的值.
(2)写出其对偶问题,并求对偶最优解.
解:对偶问题为:min=4y1+6y2
y1+y2≥﹣2
y1+ky2=﹣2
s.t
﹣y1－y2≤1
y1无符号约束 y2≥0
将原问题的最优解代入原问题目标函数得原问题的最优值为:
2y1+2y2≥3
y1－y2+y3=﹣1
y1≥0 y2无符号约束 y3≤0
4、已知线性规划问题：
Max z=x1+2x2+3x3+4x4
x1+2x2+2x3+3x4≤20
s、t 2x1+x2+3x3+2x4≤20 xj≥0 j=1、2、3、4
其对偶问题最优解为y1=1.2 y2=0.2,由对偶理论直接求出原问 题的最优解。
﹣2×5－2×(﹣1)+0=﹣8
由此可知其对偶问题的最优值也为﹣8.
即:4y1+6y2=﹣8 ①
又由于原问题的最优解X1*＞0,X2*＜0是松约束,故对偶问题的约束 必为紧约束,即对偶问题的前两个约束必为等式:
y1+y2=﹣2
②
y1+ky2=﹣2
③
∴由①②解得y1*=﹣2 y2*=0,即对偶问题的最优解为Y*=(﹣2,0)
将y1*,y2*的值代入③式得k=﹣1
解：将Y*=（1.2，0.2）代入对偶问题的约束条件：
y1+2y2≥1 → y3=1.6
2y1+y2≥2 → y4=2.6
s.t
2y1+3y2≥3 → y5=3
3y1+2y2≥4 → y6=4
y1、y2≥0
求得:第一,第二约束为松约束,第三,第四约束是紧约束.因此, 由互补松弛条件,原问题最优解中,x1*=0,x2*=0
∵y1*≥0,y2*≥0是松约束,故原问题的约束必为紧约束,即原问题 约束必为等式:
X1#43;3x3+2x4=20
即:
2x3+3x4=20
3x3+2x4=20
解之得:
x3*=4 x4*=4 x*=(0,0,4,4)
8.已知线性规划问题:Maxz=﹣2x1－2x2+x3
１、写出下列线性规划问题的对偶问题。
（１）min z=x1+x2+2x3 X1+2x2+3x3≥2
s.t 2x1+x2－x3≤4 3x1+2x2+4x3≤6
Xi≥0 i=1、2、3
解：其对偶问题为：
max w =2y1+4y2+6y3
y1+2y2+3y3≤1 s.t 2y1+y2+2y3≤1
3y1－y2+4y3≤2
y1≥0 y2、y3≤0
（2）max z=4x1－2x2+3x3－x4
X1+x2+2x3+x4≤7
s、t
2x1－x2+2x3－x4=﹣2
X1－2x2+x4≥﹣3
X1、x3≥0 x2、x4无符号约束
解：其对偶问题为：
Min w=7y1－2y2－3y3
y1+2y2+y3≥4
y1－y2－2y3=﹣2
s、t