运筹学 第四章习题答案教程文件

2y1+2y2≥3
y1－y2+y3=﹣1
y1≥0 y2无符号约束 y3≤0
4、已知线性规划问题：
Max z=x1+2x2+3x3+4x4
x1+2x2+2x3+3x4≤20
s、t 2x1+x2+3x3+2x4≤20 xj≥0 j=1、2、3、4
其对偶问题最优解为y1=1.2 y2=0.2,由对偶理论直接求出原问 题的最优解。
∵y1*≥0,y2*≥0是松约束,故原问题的约束必为紧约束,即原问题 约束必为等式:
X1+2x2+2x3+3x4=20
2x1+x2+3x3+2x4=20
即:
2x3+3x4=20
3x3+2x4=20
解之得:
x3*=4 x4*=4 x*=(0,0,4,4)
8.已知线性规划问题:Maxz=﹣2x1－2x2+x3
﹣2×5－2×(﹣1)+0=﹣8
由此可知其对偶问题的最优值也为﹣8.
即:4y1+6y2=﹣8 ①
又由于原问题的最优解X1*＞0,X2*＜0是松约束,故对偶问题的约束 必为紧约束,即对偶问题的前两个约束必为等式:
y1+y2=﹣2
②
y1+ky2=﹣2
③
∴由①②解得y1*=﹣2 y2*=0,即对偶问题的最优解为Y*=(﹣2,0)
x1+x2﹣x3=4
s.t
x1+kx2﹣x3≤6
x1≥0 x2无符号约束 x3≤0
的最优解是X*=(5, ﹣1,0)T
(1)求出K的值.
(2)写出其对偶问题,并求对偶最优解.
解:对偶问题为:min=4y1+6y2
y1+y2≥﹣2
y1+ky2=﹣2
s.t
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﹣y1－y2≤1
y1无符号约束 y2≥0
将原问题的最优解代入原问题目标函数得原问题的最优值为:
解：将Y*=（1.2，0.2）代入对偶问题的约束条件：
y1+2y2≥1 → y3=1.6
2y1+y2≥2 → y4=2.6
s.t
2y1+3y2≥3 → y5=3
3y1+2y2≥4 → y6=4
y1、y2≥0
求得:第一,第二约束为松约束,第三,第四约束是紧约束.因此, 由互补松弛条件,原问题最优解中,x1*=0,x2*=0
１、写出下列线性规划问题的对偶问题。
（１）min z=x1+x2+2x3 X1+2x2+3x3≥2
s.t 2x1+x2－x3≤4 3x1+2x2+4x3≤6
Xi≥0 i=1、2、3
解：其对偶问题为：
max w =2y1+4y2+6y3
y1+2y2+3y3≤1 s.t 2y1+y2+2y3≤1
3y1－y2+4y3≤2
y1≥0 y2、y3≤0
（2）max z=4x1－2x2+3x3－x4
X1+x2+2x3+x4≤7
s、t
2x1－x2+2x3－x4=﹣2
X1－2x2+x4≥﹣3
X1、x3≥0 x2、x4无符号约束
解：其对偶问题为：
Min w=7y1－2y2－3y3
y1+2y2+y3≥4
y1－y2－2y3=﹣2
s、t
将y1*,y2*的值代入③式得k=﹣1