2018年高考数学预测：第五讲 等差等比

2018年高考数学预测：第五讲等差等比★★★高考在考什么 【考题回放】1．在等差数列中，，则（） A. B. C. D. -1或12.（安徽）直角三角形三边成等比数列，公比为，则的值为（）A. B.C. D. 3.已知数列{}的前项和，第项满足，则（ ） A ． B ． C. D ． 4.已知两个等差数列和的前项和分别为A 和，且，则使得为整数的正整数的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．55.设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则（ ）Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．86. 等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比为 ．参考答案：1、A 2、D 3、B 4、D 5、B 6、★★★高考要考什么}{n a 836a a a +==9S 011-q 2q 2215-215+215±n a n 29n S n n =-k 58k a <<k =9876{}n a {}n b n n n B 7453n n A n B n +=+nna b n {}n a d 19a d =k a 1a 2k a k ={}n a n n S 1S 22S 33S {}n a 13等差数列的证明方法：1.定义法：2．等差中项：对于数列，若 等差数列的通项公式：------该公式整理后是关于n 的一次函数 等差数列的前n 项和1． 2. 3. 等差中项:如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。

即：或等差数列的性质:1．等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有 2. 对于等差数列，若，则。

也就是：，3．若数列是等差数列，是其前n 项的和，，那么，，成等差数列。

如下图所示：4．设数列是等差数列，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n 项的和，则有如下性质：○1当n 为偶数时，，○2当n 为奇数时，则，， 等比数列的判定方法:①定义法：若②等比中项：若，则数列是等比数列。

等比数列的通项公式:如果等比数列的首项是，公比是，则等比数列的通{}n a 212+++=n n n a a a d n a a n )1(1-+=2)(1n n a a n S +=d n n na S n 2)1(1-+=Bn An S n +=2a A b A a b 2ba A +=b a A +=2n a n m a m n m ≤d d m n a a m n )(-+={}n a q p m n +=+q p m n a a a a +=+ =+=+=+--23121n n n a a a a a a {}n a n S *N k ∈k S k k S S -2kk S S 23- k kk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++{}n a 奇S 偶S n S d 2nS =-奇偶S 中偶奇a S =-S =偶奇S S nn 1+)0(1≠=+q q a a nn 212++=n n n a a a {}n a {}n a 1a q项为。

等比数列的前n 项和:○1○2○3当时，等比中项:如果使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项。

那么。

等比数列的性质:1．等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有2. 对于等比数列，若，则也就是：。

3．若数列是等比数列，是其前n 项的和，，那么，，成等比数列。

如下图所示：★★★突破重难点【范例1】是等差数列的前n 项和，已知的等比中项为，的等差中项为1，求数列的通项． 解析由已知得，即， 11-=n n q a a )1(1)1(1≠--=q qq a S n n )1(11≠--=q q q a a S n n 1=q 1na S n =a G b G a b ab G =2n a n m a m n m ≤q m n m n q a a -={}n a v u m n +=+v u m n a a a a ⋅=⋅ =⋅=⋅=⋅--23121n n n a a a a a a {}n a n S *N k ∈k S k k S S -2k k S S 23-kkk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++n S 设{}n a 434131S S 与551S 434131S S 与{}n a 234534111()34511234S S S S S ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2113505222a d d a d ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得或或 经验证或均满足题意，即为所求． 【点睛】若是等差数列的前n 项和，则数列也是等差数列．本题是以此背景设计此题．【变式】已知等差数列｛a n ｝的公差和等比数列｛b n ｝的公比相等，且都等于d （d ＞0，d ≠1）.若a 1=b 1，a 3=3b 3，a 5=5b 5，求a n ，b n ．解：由已知①②由①，得a 1（3d 2－1）＝2d ③ 由②，得a 1（5d 4－1）＝4d ④因为d ≠0，由③与④得2（3d 2－1）＝5d 4－1，即5d 4－6d 2＋1＝0，解得d ＝±1，d ＝±． ∵d ＞0，d ≠1，∴d ＝．代入③，得a 1＝－，故b 1=－. a n ＝－＋（n －1）＝（n －6），b n ＝－×（）n －1． 本小题考查等差数列和等比数列的概念、性质，方程（组）的解法以及运算能力和分析能力.【范例2】下表给出一个“三角形数阵”：101d a =⎧⎨=⎩11254d a ⎧=-⎪⎨⎪=⎩1n a ∴=321255na n =-1=n a n a n 512532-=n S {}n a {}nS n2114112345a d a da d a d⎧+=⎪⎨+=⎪⎩5555555555555541， ，，… … … …已知每一列的数成等差数列；从第三行起，每一行的数成等比数列，每一行的公比都相等．记第i 行第j 列的数为a ij ( i ≥j ，i ，j ∈N *)． (1) 求a 83；(2) 试写出a ij 关于i ，j 的表达式；(3) 记第n 行的和为A n ，求解析（1）由题知成等差数列，且，所以公差。

又成等比数列，且．又公比都相等，∴每行的公比是．∴．（2）由（1）知，，∴．（3）． 【点睛】在新颖背景——数表中运用数列知识．【文】在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S m ，S m+2，S m+1成等差数列，则a m ，a m+2，a m+1成等差数列（1）写出这个命题的逆命题；（2）判断逆命题是否为真，并给出证明解析（１）逆命题：在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a m ，a m+2，a m+1成等差数列，则 S m ，S m+2，S m+1成等差数列21414383163.21nn n n n a a a A +++= {}1n a 21,412111==a a 811,24d a =={}3n a 83,433231==a a 21=q 21)21(2283=⨯=a 441)1(411i i a i =⋅-+=1111)21()21(4)21(---=⋅=⋅=j j j i ij i i a a ])21()21(211[121-++++=n n n a A 11)21(2])21(2[4---=-=n n n n n（２）设{a n }的首项为a 1，公比为q. 由已知得2a m+2= a m + a m+1 ∴2a 1q m+1=a 1+a 1q m ∵a 1≠0 q≠0 ，∴2q 2－q －1=0 ，∴q=1或q=－当q=1时，∵S m =ma 1， S m+2= (m+2)a 1，S m+1= (m+1)a 1， ∴S m +S m+1≠2 S m+2，∴S m ，S m+2，S m+1不成等差数列当q=－时，，∴S m +S m+1=2 S m+2，∴S m ，S m+2，S m+1成等差数列综上得：当公比q=1时，逆命题为假；当公比q≠1时，逆命题为真 【点睛】逆命题中证明需分类讨论是本题的亮点和灵活之处． 【变式】等差数列的前项和为． （Ⅰ）求数列的通项与前项和； （Ⅱ）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解：（Ⅰ）由已知得， 故． （Ⅱ）由（Ⅰ）得假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，则1-m q 21212212112[1()]4122113212m m m a S a +++--⎡⎤⎛⎫==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+12111111[1()][1()]41221321122m m m m m a a S S a +++----⎡⎤⎛⎫+=+=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦++{}n a n 1319n S a S ==+，{}n a n a n n S ()nn S b n n*=∈N {}n b 111339a a d ⎧=⎪⎨+=+⎪⎩，2d ∴=21(n n a n S n n =-=nn S b n n=={}n b p q r b b b ，，p q r ，，．即． ，． 与矛盾．所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列．【范例3】若有穷数列（是正整数），满足即（是正整数，且），就称该数列为“对称数列”。

（1）已知数列是项数为7的对称数列，且成等差数列，，试写出的每一项[来源:学。

科。

网]（2）已知是项数为的对称数列，且构成首项为50，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？（3）对于给定的正整数，试写出所有项数不超过的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，试求其中一个数列的前2008项和解：（1）设的公差为，则，解得，数列为． （2），，当时，取得最大值为626．（3）所有可能的“对称数列”是：①； 2q p r b b b=2((q p r =2()(20q pr q p r ∴-+--=p q r *∈N ，，2020q pr q p r ⎧-=∴⎨--=⎩，，22()02p r pr p r p r +⎛⎫∴=-=∴= ⎪⎝⎭，，p r ≠{}n b 12,...n a a a n 1211,....n n n a a a a a a -===1i n i a a -+=i 1i n ≤≤{}n b 1234,,,b b b b 142,11b b =={}n b {}n c ()211k k -≥121,...k k k c c c +-4-{}n c 21k -21k S -k 21k S -1m >2m 211,2,2...2m -1500m >2008S {}n b d 1132314=+=+=d d b b 3=d ∴{}n b 25811852，，，，，，12112112-+--+++++++=k k k k k c c c c c c S k k k k c c c c -+++=-+)(2121 50134)13(42212-⨯+--=-k S k ∴13=k 12-k S 22122122222221m m m --- ，，，，，，，，，，②； ③；④．对于①，当时，． 当时，．对于②，当时，． 当时，． 对于③，当时，； 当时，． 对于④，当时，； 当时，．【点睛】在看懂题目意思基础上，注意各种情况的讨论，考察观察，分析，运用能力【文】如果有穷数列（为正整数）满足条件，，…，，即（），我们称其为“对称数列”． 例如，数列与数列都是“对称数列”． （1）设是7项的“对称数列”，其中是等差数列，且，．依次写出的每一项；（2）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公比为的等比数列，求各项的和；（3）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公差为的等2211221222222221m m m m ---- ，，，，，，，，，，，122221222212222m m m m ---- ，，，，，，，，，，1222212222112222m m m m ---- ，，，，，，，，，，，2008m ≥1222212008200722008-=++++= S 15002007m <≤200922122008222221----+++++++=m m m m S 2009212212---+-=m m m 1222200921--+=--m m m 2008m ≥1220082008-=S 15002007m <≤2008S 122200821--=-+m m 2008m ≥2008200822--=m m S 15002007m <≤2008S 3222009-+=-m m 2008m ≥2008200822--=m m S 15002007m <≤2008S 2222008-+=-m m 123m a a a a ，，，，m m a a =112-=m a a 1a a m =1+-=i m i a a 12i m = ，，，12521，，，，842248，，，，，{}n b 1234b b b b ，，，21=b 114=b {}n b {}n c 49252649c c c ，，，12{}n c S {}n d 1005152100d d d ，，，23差数列．求前项的和． 解：（1）设数列的公差为，则，解得，数列为． （2）67108861．（3）．由题意得是首项为，公差为的等差数列． 当时，． 当时，． 综上所述，{}n d n n S (12100)n = ，，，{}n b d 1132314=+=+=d d b b 3=d ∴{}n b 25811852，，，，，，4921c c c S +++= 25492625)(2c c c c -+++= ()122212242-++++= ()3211222625-=--==51100223(501)149d d ==+⨯-=，1250d d d ，，，1493-50n ≤n nd d d S +++= 21n n n n n 230123)3(2)1(1492+-=--+=51100n ≤≤n n d d d S +++= 21()n d d d S ++++= 525150(50)(51)37752(50)32n n n --=+-+⨯ 75002299232+-=n n 22330115022329975005110022n n n n S n n n ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩，≤≤，，≤≤．。