2018年高考数学预测：第五讲 等差等比

2018年高考数学预测：第五讲等差等比

★★★高考在考什么 【考题回放】

1．在等差数列中，，则（） A. B. C. D. -1或1

2.（安徽）直角三角形三边成等比数列，公比为，则的值为（）

A. B.

C. D. 3.已知数列{}的前项和，第项满足，则（ ） A ． B ． C. D ． 4.已知两个等差数列和的前项和分别为A 和，且

，则使得

为整数的正整数的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

5.设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则（ ）

Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8

6. 等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比为 ．

参考答案：1、A 2、D 3、B 4、D 5、B 6、

★★★高考要考什么

}{n a 836a a a +==9S 011-q 2q 22

1

5-2

1

5+2

1

5±n a n 29n S n n =-k 58k a <

n n A n B n +=+n

n

a b n {}n a d 19a d =k a 1a 2k a k ={}n a n n S 1S 22S 33S {}n a 1

3

等差数列的证明方法：1.定义法：2．等差中项：对于数列，若 等差数列的通项公式：------该公式整理后是关于n 的一次函数 等差数列的前n 项和1． 2. 3. 等差中项:如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。即：或

等差数列的性质:1．等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有 2. 对于等差数列，若，则。也就是：

，

3．若数列是等差数列，是其前n 项的和，，那么，，成等差数列。如下图所示：

4．设数列是等差数列，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n 项的和，则有如下性质：

○1当n 为偶数时，，○2当n 为奇数时，则，， 等比数列的判定方法:①定义法：若②等比中项：若，则

数列是等比数列。

等比数列的通项公式:如果等比数列的首项是，公比是，则等比数列的通

{}n a 212+++=n n n a a a d n a a n )1(1-+=2

)

(1n n a a n S +=

d n n na S n 2)1(1-+

=Bn An S n +=2a A b A a b 2

b

a A +=

b a A +=2n a n m a m n m ≤d d m n a a m n )(-+={}n a q p m n +=+q p m n a a a a +=+ =+=+=+--23121n n n a a a a a a {}n a n S *N k ∈k S k k S S -2k

k S S 23- k k

k k

k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k

31221S 321-+-+++++++++++{}n a 奇S 偶S n S d 2n

S =-奇偶S 中偶奇a S =-S =偶

奇S S n

n 1

+)0(1

≠=+q q a a n

n 212++=n n n a a a {}n a {}n a 1a q

项为。

等比数列的前n 项和:○1○2○3当时，

等比中项:如果使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项。那么

。

等比数列的性质:

1．等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有

2. 对于等比数列，若，则也就是：

。

3．若数列是等比数列，是其前n 项的和，，那么，，成等比数列。如下图所示：

★★★突破重难点

【范例1】是等差数列的前n 项和，已知的等比中项为，

的等差中项为1，求数列的通项． 解析由已知得，即， 11-=n n q a a )1(1)

1(1≠--=q q

q a S n n )1(11≠--=q q q a a S n n 1=q 1na S n =a G b G a b ab G =2n a n m a m n m ≤q m n m n q a a -={}n a v u m n +=+v u m n a a a a ⋅=⋅ =⋅=⋅=⋅--23121n n n a a a a a a {}n a n S *N k ∈k S k k S S -2k k S S 23-

k

k

k k

k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k

31221S 321-+-+++++++++++n S 设{}n a 434131

S S 与55

1S 434

1

31S S 与{}n a 23453

4111()3451123

4S S S S S ⎧⋅=⎪⎪⎨

⎪+=⎪⎩2113505222a d d a d ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩

解得或或 经验证或均满足题意，即为所求． 【点睛】若是等差数列的前n 项和，则数列也是等差数列．本题是以此背景设计此题．

【变式】已知等差数列｛a n ｝的公差和等比数列｛b n ｝的公比相等，且都等于d （d ＞0，d ≠1）.若a 1=b 1，a 3=3b 3，a 5=5b 5，求a n ，b n ．

解：由已知①②

由①，得a 1（3d 2－1）＝2d ③ 由②，得a 1（5d 4－1）＝4d ④

因为d ≠0，由③与④得2（3d 2－1）＝5d 4－1，即5d 4－6d 2＋1＝0，解得d ＝±1，d ＝±

． ∵d ＞0，d ≠1，∴d ＝

．代入③，得a 1＝－，故b 1=－. a n ＝－＋

（n －1）＝（n －6），b n ＝－×（）n －1． 本小题考查等差数列和等比数列的概念、性质，方程（组）的解法以及运算能力和分析能力.

【范例2】下表给出一个“三角形数阵”：

101d a =⎧⎨=⎩1

1254d a ⎧

=-⎪

⎨⎪=⎩1n a ∴=321255n

a n =-1=n a n a n 5

12

532-=

n S {}n a {}n

S n

2

114

112345a d a d

a d a d

⎧+=⎪⎨+=⎪⎩5

5

5

5

555555555

54

1