孙璐璐-容斥问题-教案

教案

姓名孙璐璐授课方向数量关系授课内容容斥问题时长45分钟

教学目标和要求1、了解容斥类题型的含义

2、体会图解法解决容斥问题的思维过程。

3、熟练掌握图解法。

教学重点和难点教学重点：用图解法解决容斥问题。

教学难点：图解法解决容斥问题的思维过程。

教学内容及过程

引入

容斥问题是行测数量关系这一部分的常考题型。在国考中基本上每年都会考一道题。由“容斥问题是解决什么问题的？”引出容斥问题是解决集合与集合之间交叉关系的。

首先简单回顾一下集合与集合之间交叉关系的内容：

1、

A B

集合A与集合B相交，我们根据以前学过的知识，我们都知道有一些符号：A∩B，A∪B,A,I,¢都表示什么？一些计算关系A∩B的补集和A∪B的补集是什么？还有一个公式A

∪B是什么？我们发现这些符号和计算关系记忆都很模糊了，而且即使记得，也发现应用这个公式解决问题不是很方便。但是我们知道这个公式是从图像当中转化出来的，那也就是说解决容斥问题最好的方法还是容斥法。我们结合例题看一下图解法的解题思路和具体应用。

一、两个集合相交时，应用图解法。

例题一：大学四年级某班有50名同学，其中奥运会志愿者10人，全运会志愿者17人，30人两种志愿者都不是，则班内是全运会志愿者而非奥运会志愿者的同学是多少？

A、3人

B、9人

C、10人

D、17人

A C B

D

分析：

第一步：根据题意描述出题中所涉及到的几个集合之间的容斥关系。

观察图形，发现图形中出现四个独立的区域。弄清楚图中各个部分表示的含义，

那部分表示是奥运会自愿者而不是全运会自愿者？那部分表示是全运会自愿者而不

是奥运会自愿者？那部分表示既是奥运会自愿者，又是全运会自愿者？那部分表示两

种自愿者都不是？

第二步：在集合当中把每一个独立的封闭区间，都用一个单独的字母来表示。

A表示是奥运会自愿者而非全运会自愿者。

B表示是全运会自愿者而非奥运会自愿者。

C表示既是奥运会自愿者，又是全运会自愿者。

D表示两种自愿者都不是。

那么这样表示以后，我们会发现，题干当中任何一个概念都可以用字母的组合来

实现。比如：奥运会自愿者就可以表示成A+C。

第三步：根据题意建立等量关系了。

A+B+C+D=50 （1）

A+C=10 （2）

B+C=17 （3）

D=30 （4）

要求全运会自愿者而非奥运会自愿者的同学数，就是图中的B。

第四步：求解。

在求解过程当中大家要注意，题中虽然给出四个未知数，列出四个方程，就一定

都能求解。但是我们在求解这种问题的时候要注意问题是什么？然后根据已知的4个

方程，快速的组合出这个要求的数据就可以了。不需要把其他数据也求出来。

B=(1)-(2)-(4)=50-10-30

结合选项发现尾数都不一样，用尾数法计算，B的尾数为0直接选择C选项。

小结：以上就是运用图解法来解决容斥问题，大家要好好体会一下它的解题过程。

以及熟练把握我们的解题四步。结合选项运用尾数法选出正确答案。

练习做讲义，经典例题2。对答案，点播。

练习做讲义，经典例题3。这道题注意，先根据比例关系，求出具体数值。然后

在根据题意画图，解题。

小结：这是两个集合相交的时候，用这种方法就可以求解了。在做题过程中大家

注意灵活掌握。那么在行测考试当中还经常考到比这个在复杂一点的题型。三个集合

两两相交的情况。

二、三个集合相交时，应用图解法

例题4：某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查，有89 人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，其中有24人三部电影都看过，20

人一部也没有看过，则只看过其中两部电影的人数是？

A、69人

B、65人

C、57人

D、46人

1

4 7 5

2 6 3

8

分析：

第一步：根据题意描述出题中所涉及到的几个集合之间的容斥关系。

这个题就属于三个集合两两相交的情况，这个时候它形成8个封闭的区间。如果按照上面的方法，我们发先这样的时候封闭区间会太多。会设出8个未知数，列出8个方程。8元一次方程求解太困难了。所以这个时候会想到把几个部分放在一起看，从新设未知数的方法。

第二步：在集合当中把具有相似属性的封闭区间，都用一个单独的字母来表示。

独立区间1、2、3都表示只看过一部影片的人。用字母A表示。

独立区间4、5、6都表示只看过两部影片的人。用字母B表示。

独立区间7表示三部影片都看过的人。用字母C表示。

独立区间8表示三部影片都没看过的人。用字母D表示。

那么这样表示以后，我们会发现，题干当中任何一个概念都可以用字母的组合来实现。

第三步：根据题意建立等量关系了。

A+B+C+D=125 (1)

A+2B+3C=89+47+63 (2)

C=24 (3)

D=20 （4）

这里注意等式而表示的是A表示1、2、3出现一次。2B表示4、5、6出现两次。3C表示7出现了三次。A+2B+3C刚好表示看过甲片的人，看过乙片的人，看过丙片的人的人次和。等式（1）和等式（2）一般来讲是所有三个集合两两相交的问题，必然会出现的两个等式，大家要好好体会，灵活掌握。

第四步：求解。

问题当中要求求解，“只看过两部影片的人数”就是这里的B。我们消去A、C、D 就可以了。

B=（2）+（4）-（1）-2（3）

结合选项发现四个选项尾数均不同，利用尾数法求的B的尾数为6。故选择D选项。

小结：四个步骤。

第一步：根据题意描述出题中所涉及到的几个集合之间的容斥关系。

第二步：第二步：在集合当中把具有相似属性的封闭区间，都用一个单独的字母来表示。