第五章 多维数组和广义表

通常把与树对应的广义表称为纯表，它限制了表中成 分的共享和递归；把允许结点共享的表称为再入表；而把 允许递归的表称为递归表。它们之间的关系满足：递归表 再入表 纯表 线性表。 广义表三个特殊的基本运算：取表头GetHead(LS)、 取表尾GetTail(LS)和表长Length(LS)。 根据表头、表尾的定义可知：任何一个非空广义表的 表头是表中第一个元素，它可以是原子，也可以是子表， 而其表尾必定是子表。 2. 广义表的举例 （1）E=( ) GetHead(E)=空 GetTail(E)=( ) Length(E)=0
5.1
多维数组
1. 数组的定义 数组是由一组类型相同的数据元素构造而成的。数组元 素在数组中的相对位置是由下标确定的。 一维数组、二维数组。 二维数组可称为矩阵。 a11 Amn= a21 … am1 图5－1 a12 … a1n a22 … a2n … … … am2 … amn 二维数组结构
m维数组An1n2…nm的每个元素ai1i2…im都属于m个向量， 最多可以有m个直接前趋和m个直接后继。 如把数据元素的下标顺序变成线性表的序号，则一 维数组就是一个线性表。
3. 对角矩阵 对角矩阵中，所有的非零元素集中在以主对角 线为中心的带状区域中，即除了主对角线和主对角线 相邻两侧的若干条对角线上的元素之外，其余元素皆 为零。如图所示：
对角矩阵可按行优先顺序或对角线的顺序，将 其压缩存储到一个向量中，并且也能找到每个非零元 素和向量下标的对应关系。
5.2.2
稀疏矩阵Biblioteka 令I=max(i,j)，J=min(i,j)，则k和i，j的对应关系为： k=I×(I+1)/2+J 0≤k＜n(n+1)/2 aij的地址计算公式： LOC(aij)=LOC(sa[0])+[I×(I+1)/2+J]×d 举例： Ａ是4*4的对称阵，采用压缩存储方式存储，已知Ａ00 的存储地址为1,求Ａ32的存储地址。
（2）L=(a,b) GetHead(L)=a GetTail(L)=(b) Length(L)=2 （3） A=(x,L)=(x,(a,b)) GetHead(A)=x GetTail(A)=(L)=((a,b)) Length(A)=2 （4） B=(A,y)=((x,(a,b)),y) GetHead(B)=A=(x,(a,b)) GetTail(B)=(y) Length(B)=2
2.十字链表 稀疏矩阵的链接存储是一种既带行指针又带列指针 的链接存储结构。 对稀疏矩阵的链接存储就是对其相应的三元组线性 表进行链接存储，链接表中的每一个结点表示一个非零 元素的三元组，第一个结点既处于同一行的单链表中， 又处于同一列的单链表中，即处于所在行的单链表和所 在列的单链表的交点处，整个稀疏矩阵由十字交叉链表 结构组成，故称十字链表。
第五章 多维数组和广义表
一、课程内容 5.1 多维数组 5.2 矩阵的压缩存储 5.3 广义表的概念 二、学习目的与要求 本章的目的是介绍多维数组的逻辑结构特征及其 存储方式，特殊矩阵和稀疏矩阵的压缩存储方法及广 义表的概念。本章重点是熟悉多维数组的存储方式、 矩阵的压缩存储方式、广义表的定义及其求表头和表 尾的运算，难点是稀疏矩阵的压缩存储表示下实现的 算法。
设矩阵Amn中有s个非零元素，若s远远小于矩阵元 素的总数（即s＜＜m×n），则称A为稀疏矩阵。 当用三元组来表示非零元时，对稀疏矩阵进行压缩 存储通常有两类方法：顺序存储和链式存储。 1.三元组表 若将表示稀疏矩阵的非零元素的三元组按行优先 （或列优先）的顺序排列（跳过零元素），则得到一个 其结点均是三元组的线性表，我们将该线性表的顺序存 储结构称为三元组表。 （见图5－6）
（5）C=(A,B)=((x,(a,b)),((x,(a,b)),y)) GetHead(C)=A=(x,(a,b)) GetTail(C)=(B)=(((x,(a,b)),y)) Length(C)=2
（6）D=(a,D)=(a,(a,(a,(…)))) GetHead(D)=a GetTail(D)=(D) Length(D)=2
二维数组Amn按“行优先顺序”存储在内存中，假 设每个元素占d个存储单元，则aij的地址计算函数为： LOC(aij)=LOC(a11)+[(i-1)×n+j-1]×d 对应C语言的二维数组：DataType A[m][n]; 数组A[m][n]的两个下标的下界均为0，上界分别为m-1、 n-1，每个数据元素占k个存储单元，二维数组中任一元 素a[i,j]的存储位置可由下列公式确定。 loc[i,j]=loc[0,0]+(i* n + j ) * k 其中，loc[0,0]是A[0][0]的存储位置，loc[i,j]是A[i][j]的存 储位置。这个式子确定了C语言的二维数组元素的位置 和下标的关系。 例：int a[3][5]; &a[2][3]=
举例： 1. 给定整型数组b[3][5]，b[0][0]的存储地址为1200,试求在 行序为主的存储方式下： (1)b[2][4]的存储地址； (2)该数组占用的字节数。 2. 二维数组A[-1..2,3..6]共含有多少个元素？ 三维数组R[c1..d1,c2..d2,c3..d3]共含有多少个元素？ 3. 数组中B[1..10,-2..6,2..8]以行优先顺序存储，设第一个元 素的首地址是100,每个元素点3个存储长度的存储空间， 则元素Ｂ[5,0,7]的存储地址是多少？
还需设置两个指针型数组，一个用来存放行链表的 表头指针，另一个用来存放列链表的表头指针，这样对 矩阵非零元素的访问，既可在行链表上访问，又可在列 链表上访问。
只有当矩阵非零元素少于总元素个数的20%时，采用 十字链表才有可能节省存储空间。
5.3
广义表的概念
1. 广义表的定义 广义表（Lists）又称列表，是线性表的推广。广义 表是n(n≥0)个元素的有限序列，通常记作 LS=（a1,a2,…an） 其中LS是广义表的名字，n为它的长度，ai是原子 或者是一个广义表。若ai是广义表，则称它为LS的子表。 为了区分原子和广义表，书写时用大写字母表示广 义表，用小写字母表示原子。 若广义表LS非空（n≥1），则a1是LS的表头，其余 元素组成的表（a2,a3,…an）称为LS的表尾。 广义表是递归定义的，广义表中可以包含广义表。 一个表的“深度（Depth）”是指表展开后所含括 号的层数。
图5－6
稀疏矩阵的三元组表
三元组表类型描述： #define MaxSize 10000 typedef int DataType; typedef struct { int i,j; //非零元素的行、列号 DataType v; //非零元素的值 }TriTupleNode; typedef struct { TriTupleNode data[MaxSize]; int m,n,t; //矩阵的行数、列数及非零元素个数 }TriTupleTable;
矩阵转置运算的算法5-2： void TransMatrix(TriTupleTable *b,TriTupleTable *a) { int p,q,col; b->m=a->n; b->n=a->m; b->t=a->t; if(b->t<=0) { printf("A无非零元素\n"); exit(0); } q=0; for(col=0;col<a->n;col++) for(p=0;p<a->t;p++) if(a->data[p].j==col) { b->data[q].v=a->data[p].v; b->data[q].i=a->data[p]=j; b->data[q].j=a->data[p]=i; q++; } }
2. 三角矩阵 以主对角线划分，三角矩阵有上三角和下三角两种。 上三角矩阵的下三角（不包括主角线）中的元素均为 常数c。下三角矩阵正好相反，它的主对角线上方均 为常数c。在多数情况下，三角矩阵的常数c为零。
上三角矩阵
下三角矩阵
上三角矩阵中，sa[k]和aij的对应关系是：
下三角矩阵中，sa[k]和aij的对应关系是：
5.2
矩阵的压缩存储
对于矩阵，关心的是如何存储它的元素，使矩阵的 各种运算能有效地进行。 对于阶数很高的矩阵，同时在矩阵中有许多值相同 的元素或者零元素，为了节省存储，可对这类矩阵进行 压缩存储。 压缩存储：即为多个相同的非零元素只分配一个存 储空间，对零元素不分配空间。
5.2.1 特殊矩阵 所谓特殊矩阵（Special Matrices）是指非零元素 或零元素的分布有一定规律的矩阵。 1.对称矩阵 在一个n阶方阵A中，若元素满足下述性质： aij=aji 0≤i，j≤n-1 则称A为对称矩阵。如图所示：
数组虽然是线性表的特例,但关于数组的运算与一般 线性表的运算不同，数组的主要运算有两种：
（1）给定一组下标，存取相应的数据元素；
（2）给定一组下标，修改相应的数据元素。
2. 数组的顺序存储结构 数组的顺序存储结构指的是用一组连续的存储单 元依次存放数组元素。 (1) 行优先顺序 行优先顺序：将数组元素按行向量排列，行优先 顺序规定为先排最右的下标，从右向左，最后排最左下 标。 例：写出A[3][4]、A[2][3][4]元素按行优先顺序。 (2) 列优先顺序 列优先顺序：将数组元素按列向量排列，列优 先顺序规定为先排最左下标，从左向右，最后 排最右 下标。
怎样存储该矩阵的元素？
存储元素为：{1,5,0,1,8,9,3,0,2,5,7,0,6,1,3}，共15个。 将这些元素存放在一个向量sa[0…n(n+1)/2-1]中。 怎样通过元素下标在sa中找到该元素的值？ aij和sa[k]的对应关系： 若i>=j,则aij在下三角矩阵中，之前的i行（第0行到第i1行）共有1+2+..+i=i*(i+1)/2个元素，在第i行上， aij前有j 个元素，因此： k=i*(i+1)/2+j (0<=k<n*(n+1)/2) 若i<j，则aij在上三角矩阵中， aij=aji则： k=j*(j+1)/2+i (0<=k<n*(n+1)/2)