第五章刚体定轴转动(公式)

力矩的空间累积效应 •力矩作功 •转动动能
A Md
1
2
1 2 EK J 2
•刚体绕定轴转动的动能定理
A合外 EK 2 EK 1

2
1
1 1 2 M 合外d J 2 J 12 2 2
•（刚体+地球）的重力势能：EP
hc：刚体重心的高度
mghc
•机械能守恒定律：只有保守力在作功
力矩的时间累积效应
•刚体对定轴的角动量：
L J
t2
•刚体定轴转动的角动量定理
M 合外 dL d( J ) dt dt
M
t1
合外
dt L2 L1
对于由质点和刚体组成的系统（例，子弹打击细杆）， 上面式子中
L J ii rj m j v j
i j
（注意：对同一根转轴而言）
o
aHale Waihona Puke Baidu
l o mga(1 cos 30 ) mg (1 cos 30 ) 2
解得：
v
m
v
2 2 g(2 3)( m l 2ma )( m l 3ma ) 6 ma
解法1：重力矩
l M mg cos 2
θ
由转动定律：M=Jβ，得
mg
1 d d d d M 2 mgl cos 3 g cos , 1 2 dt d dt d J 2l ml 3 3 g cos 3 g sin d d 2l l 0 0
(分散力的力矩用积分计算。)
(分散力的力矩用积分计算。) 解： m R 2 ,
dm 2 rdr
2
dM dm g r 2 g r dr
R 2
r
2 M dM 2 g r dr mg R 3 0 M 2mg R 4 g 由 M J 1 J 3R 2 3 mR 2
l
1 2 J ml 3
O´
O
l 2
1 2 J ml 12
1 2 J mR 2
R
圆盘
动力学：力矩的瞬时效果 一 力矩
z
k
O
Mz k r F
M z rF sin
（有正负）
Fz
F
r
F
二 定轴转动定律
M 合外 d J J , dt
M合外 : 各个外力矩的代数和
2 0
2 2 0
3 R 2 8g
2 0 2 0

例4、角动量守恒。有一半径为R的匀质圆形水 平转台，可绕通过盘心O且垂直于盘面的竖直固 定轴OO‘转动，转动惯量为J．台上有一人，质 量为m．当他站在离转轴r处时(r＜R），转台和 人一起以1的角速度转动，如图．若转轴处摩擦 可以忽略，问当人走到转台边缘时，转台和人一 起转动的角速度2＝ ？
o
30

a
v
m
解：子弹、竿组成一系统， 应用角动量守恒
o
30

a
1 2 2 m va ( m l ma )， 3
3m va 2 2 m'l 3ma
v
m
射入杆后，以子弹、细杆和地 球为系统，机械能守恒。
o
30

1 1 2 2 2 ( m l ma ) 2 3
m,r m
m,r 2m
解：受力分析如图所示。


T2
2mg－T1＝2ma T2－mg＝ma
T

T1
1 2 T1r Tr mr 2 1 2 T r T2 r mr 2 a ＝ r
a m
P 1
2m
a
P2
T＝11mg / 8
•加速度正方向的假设。
例2、细杆摆动。一长为l，质量为m的细直杆， 可绕通过其一端的水平光滑轴在竖直平面内作 定轴转动。现将杆由水平位置无初转速地释放， 求杆下摆θ角时的角速度ω和角加速度β;
O r
1
O
解：人和子弹组成的系统对转轴的合外力矩为 零，所以对转轴的角动量守恒。
( J mr )1 ( J mR )2
2 2
( J mr )1 2 2 ( J mR )
2
O
r
1
O
例5、子弹和杆碰撞。一长为 l , 质量为m’ 的竿可绕支点O自由 转动．一质量为m、速率为v 的 子弹射入竿内距支点为a 处，使 o 竿的偏转角为30 . 问子弹的初 速率为多少?
•角动量守恒定律
•对于单个刚体：
若 M合外 0 ，则 L J =常量
•对于刚体和质点组成的系统：
若M合外 0，
则L J ii rj m j v j 守恒。
i j
例如：在冲击等问题中
M内 M外
L 常量
例1、滑轮加质点。一轻绳跨过两个质量均为m、 半径均为r的均匀圆盘状定滑轮， 绳的两端分别 挂着质量为m和2m的重物，如图5-2a所示．绳 与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑．将由两个 定滑轮以及质量为m和2m的重物组成的系统从 静止释放，求两滑轮之间绳内的张力．
解法二：机械能守恒。 l 1 3 g sin 2 mg sin J 2 2 l
d d d d 3 g cos dt d dt d 2l
θ
mg
例3、有一半径为R，质量为m的圆形平板平放在 水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为μ ， 若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速 度ω 0开始旋转，它将在旋转几圈后停止？
运动学
一 刚体转动的角速度和角加速度
角坐标 (t ) 角速度矢量 d dt

d 角加速度 dt
二
角量与线量的关系
v r
at r an r
2
v r
三 转动惯量
O O´ O
l 2
J m r , J r dm
2 j j 2 j