(完整版)高阶、隐函数的导数和微分练习题

高数第二章导数与微分知识点与习题

高数第二章导数与微分知识点总结第一节导数1．基本概念（1）定义0000000000()()()()()|(|)'()lim lim lim x x x x x x x f x x f x f x f x dy df x yf x dx dx x x x x ==∆→∆→→+∆--∆====∆∆-或注：可导必连续，连续不一定可导.注:分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义求. （2）左、右导数0'000000()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x ---∆→→+∆--==∆-. 0'00000()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x +++∆→→+∆--==∆-. 0'()f x 存在''00()()f x f x -+⇔=.（3）导数的几何应用曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程：000()'()()y f x f x x x -=-.法线方程：0001()()'()y f x x x f x -=--. 2．基本公式（1）'0C = （2）'1()a a x ax -=（3）()'ln xxa a a =（特例()'xxe e =）（4）1(log )'(0,1)ln a x a a x a=>≠ （5）(sin )'cos x x = （6）(cos )'sin x x =-（7）2(tan )'sec x x = （8）2(cot )'csc x x =- （9）(sec )'sec tan x x x = （10）(csc )'csc cot x x x =-（11）2(arcsin )'1x x=- （12）2(arccos )'1x x=-（13）21(arctan )'1x x =+ （14）21(arccot )'1x x =-+ （152222[ln()]'x x a x a++=+3．函数的求导法则（1）四则运算的求导法则()'''u v u v ±=± ()'''uv u v uv =+ 2''()'u u v uv v v-= （2）复合函数求导法则--链式法则设(),()y f u u x ϕ==，则(())y f x ϕ=的导数为：[(())]''(())'()f x f x x ϕϕϕ=.例5 求函数21sin xy e=的导数.（3）反函数的求导法则设()y f x =的反函数为()x g y =，两者均可导，且'()0f x ≠，则11'()'()'(())g y f x f g y ==. （4）隐函数求导设函数()y f x =由方程(,)0F x y =所确定，求'y 的方法有两种：直接求导法和公式法'''x yF y F =-.（5）对数求导法：适用于若干因子连乘及幂指函数 4．高阶导数二阶以上的导数为高阶导数.常用的高阶求导公式：（1）()()ln (0)x n x n a a a a => 特别地，(n)()x x e e =（2） ()(sin )sin()2n n kx k kx n π=+（3）()(cos )cos()2n n kx k kx n π=+（4）()1(1)![ln(1)](1)(1)n n nn x x --+=-+ （5）()()(1)(2)(1)k n k n x k k k k n x -=---+（6）莱布尼茨公式：()()()()nn k n k k n k uv C u v -==∑，其中(0)(0),u u v v == 第二节微分1．定义背景：函数的增量()()y f x x f x ∆=+∆-.定义：如果函数的增量y ∆可表示为()y A x o x ∆=∆+∆，其中A 是与x ∆无关的常数，则称函数()y f x =在点0x 可微，并且称A x ∆为x ∆的微分，记作dy ，则dy A x =∆.注：,y dy x dx ∆≠∆= 2．可导与可微的关系一元函数()f x 在点0x 可微，微分为dy A x =∆⇔函数()f x 在0x 可导，且0'()A f x =. 3．微分的几何意义 4．微分的计算（1）基本微分公式'()dy f x dx =. （2）微分运算法则 ②四则运算法则()d u v du dv ±=± duv vdu udv =+ 2()u vdu udvd v v-= ②一阶微分形式不变若u 为自变量，(),'()'()y f u dy f u u f u du ==∆=；若u 为中间变量，()y f u =，()u x ϕ=，'()'()'()dy f u x dx f u du ϕ==.练习题1、求下列函数的导数。

第二章2求导法则,隐函数求导,高阶导数,微分

定理2. 设 y f (x)为 x f 1( y) 的反函数, f 1( y)
在y 的某邻域内单调可导, 且 [ f 1( y)] 0
f (x)
1
[ f 1( y)]
或
d y dx
1
dx
dy
证: 在 x 处给增量 x 0, 由反函数的单调性知
y
f
(x

x)
f
( x)

2, 2x,
0 1

x x

1 2

1 2
,
x2
由此可见：导函数的定义域不超过函数定义域.
课本128页例28 已知函数 f (u)可导，求
[ f (ln x)], { f [( x a)n ]}, {[ f (x a)]n},
其中a为常数. 解：[ f (ln x)] f (ln x) (ln x) 1 f (ln x) x { f [( x a)n ]} f [( x a)n ][( x a)n ] n(x a)n1 f [( x a)n ]
f (x) lim f (x h) f (x) lim u(x h)v(x h) u(x)v(x)
h0
h
h0
h

lim
h 0
u(
x

h) h

u
(
x)
v(
x

h)

u(
x)
v(
x

h) h
v(
x)

u(x)v(x) u(x)v(x), 故结论成立.
(1 1 (x2 a2 ))
(x x2 a2 ) ln 10 2 x2 a2

高阶导数练习题

高阶导数练习题一、基本概念题1. 若函数f(x)的二阶导数f''(x)存在，则f''(x)是______的导数。

2. 设y = f(x^2)，求y关于x的二阶导数。

3. 已知f(x) = x^3 + 3x^2 + 2x + 1，求f''(x)。

4. 若f(x) = e^(2x)，求f^(4)(x)。

二、计算题1. 已知f(x) = sin(x^2)，求f''(x)。

2. 设y = ln(x^2 + 1)，求y的第三阶导数。

3. 已知y = (x^2 + 1)^(1/2)，求y的第四阶导数。

4. 设f(x) = (x^3 3x)^5，求f''(x)。

5. 已知y = e^x cos(x)，求y的第三阶导数。

三、应用题1. 设物体在直线运动中的位移s关于时间t的函数为s = t^3 3t^2 + 2t，求物体在t = 2时的加速度。

2. 已知某曲线的方程为y = 3x^4 4x^3 + 2x^2，求该曲线在x = 1处的曲率。

3. 设某函数f(x)的二阶导数f''(x) = 6x 4，求f(x)在x = 0处的拐点。

4. 已知某函数的图像在点(x, y)处的切线斜率为y' = 2x + 1，求该函数在x = 2处的曲率半径。

5. 设某物体的速度v关于时间t的函数为v = t^2 2t + 3，求物体在t = 1时的加速度和减速度。

四、综合题1. 已知函数f(x) = arctan(x^2)，求f''(x)。

2. 设y = (x^2 + 1) e^x，求y的第四阶导数。

3. 已知y = x^3 ln(x)，求y的第三阶导数。

4. 设f(x) = (1 + x^2)^(1/2)，求f''(x)。

5. 已知y = (x^4 2x^2 + 1)^(1/3)，求y的第四阶导数。

第三节高阶导数习题课

四则运算法则
′ f ( x) f ′( x) g( x) − f ( x) g′( x) (3) = 2 g( x) [ g( x)]
3.复复合函数的求导法则
(4) ( f [ g( x)])′ = f ′(u) ⋅ g′( x) u= g ( x )
dy dy du = ⋅ dx du dx
ds(t ) v(t ) = dt
或
v = s′.
加速度a是速度对时间的变化率，即速度v对时加速度是速度v对时间的变化率，即速度对时是速度对时间t的变化率的导数：间t的导数：的导数
d[v(t )] d ds(t ) a= = dt dt dt 或 a = (s′)' = s'' (t ).
y′ = a ,
n
y ′′ = 0
(n )
问题：问题：(1) x
( )
=?
(x )
n
(n)
= n!
(ax ) = ? (ax ) ( ) (x ) = 0
n
(n)
n
n
( n+1)
=?
n+1
n n −1 ⑵ 若 y = a0 x + a1 x + L + a n−1 x + a n , y( n) = ? y( n+1) = ?
第二章导数与微分
第一节第二节第三节第四节导数概念函数的求导法则高阶导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数第五节函数的微分
求导公式与求导法则
(1) (c)′ = 0
1. 基本初等函数的求导公式

(完整版)高阶、隐函数的导数和微分练习题

高阶导数1．填空题.（1）x y 10=，则()()=0n y. （2）y x =sin 2，则()()y x n = ..2．选择题. （1）设f x ()在()-∞+∞,内为奇函数且在()0,+∞内有'>f x ()0，''>f x ()0，则f x ()在()-∞,0内是( )A.'<f x ()0且''<f x ()0； B.'<f x ()0 且''>f x ()0； C.'>f x ()0且''<f x ()0； D.'>f x ()0 且''>f x ()0.（2）设函数()yf x =的导数'f x ()与二阶导数''f x ()存在且均不为零，其反函数为()x y =ϕ，则()''=ϕy ( )A ．()1''f x ； B. ()()[]-'''f x f x 2；C. ()[]()'''f x f x 2； D. ()()[].3x f x f '''- 3. 求下列函数的n 阶导数. (1) .)1(αx y += (2) .5x y =4．计算下列各题.（1）()y x x =-11，求()().24y （2）()ye x x =-21，求().20y （3）y x x =-+1322，求()y n . （4）x y 2sin =，求().n y（5）,2sin 2x x y = 求()..50y5. 设x x f 2cos )(cos '=，求).(''x f6. 已知)(''x f 存在，)(ln x f y =，求'.'y隐函数及由参数方程所确定的函数的导数1．设y ey x x sin 22=-，求.dx dy 2．设063sin 33=+-+y x y x ，求.0=x dx dy3．求曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2221313t ty t t x 在2=t 处的切线方程和法线方程. 4．利用对数求导法求导数.（1）.1sin x e x x y -=（2）().sin ln x x y =5．设()y y x =由方程e y x xy +-=350所确定，试求d d y x x =0，.d d 022=x x y 6．求下列参数方程所确定的函数的各阶导数.（1）设()x t y e t ==+⎧⎨⎪⎩⎪-ln sin tan 1，02<<⎛⎝ ⎫⎭⎪t π，求.d d x y （2）设)(x y y =由⎩⎨⎧=+-++=01sin 3232y t e t t x y 确定，求.0=t dx dy 7．已知函数()()f x ax bx c x x x =++<+≥⎧⎨⎪⎩⎪2010,ln , ，在点x =0处有二阶导数，试确定参数a b c ,,的值.函数的微分1．填空题.（1）设x x y 22-=在x 02=处∆x =001.，则=∆y ，=y d . (2) 设()y f x =在x 0处可微，则=∆→∆y x 0lim .（3）函数)(x f 在点0x 可微的必要充分条件是函数)(x f 在点0x .（4）d .1dx x = （5）d .3dx e x =（6）d .112dx x -=（7）d .2tan 2sec xdx x =.2．选择题.（1）设()y f u =是可微函数，u 是x 的可微函数，则d y =( )A ．();d x u u f 'B ．();d x u f 'C ．();d u u f 'D ．().d u u u f ''（2）若f x ()可微，当∆x →0时，在点x 处的∆y y -d 是关于∆x 的 ( )A ．高阶无穷小；B ．等价无穷小；C ．同阶无穷小；D ．低阶无穷小. （3）当∆x 充分小，'≠f x ()0时，函数()y f x =的改变量∆y 与微分d y 的关系是( )A ．;d y y =∆B ．;d y y <∆C ．;d y y >∆D ．.d y y ≈∆（4）()y f x =可微，则d y ( )A ．与∆x 无关；B ．为∆x 的线性函数；C ．当∆x →0时是∆x 的高阶无穷小；D ．当∆x →0时是∆x 的等价无穷小.3．求下列函数的微分.（1）.412x x y += （2）.2cos x x y =（3）.2x e x y -=（4） .1cos 2x x y -= （5）.)2ln (ln 3x y =4．设x x x y cos ln 22-=，求1=x dy .5．)(x f 可微，)(sin )(sin x f x f y -=，求.dy6．223y xy x y ++=，求.dy7．计算302.1和98.0ln 的近似值.8.钟摆摆动的周期T 与摆长l 的关系是g l T π2=，其中g 是重力加速度。

高等数学第二章导数与微分习题

h0
h
lim f ( x) f ( x x) f ( x) .
x0
x
lim f ( x x) f ( x x)
x0
x
lim f ( x x) f ( x) f ( x) f ( x x)
x0
x
lim f ( x x) f ( x) lim f ( x) f ( x x)
习题课
f (a) lim f ( x) f (a) lim ( x a)F ( x) 0
xa x a
xa
xa
1
lim ( x a)F ( x) 0
x a 0
xa
g
(a
)
x
lim
a 0
g(
x) x
g(a a
)
2
例2.
研究函数
f
(
x
)
1 x 1 x
解 . lim f ( x) lim
x0
x
x0
x
14
例16 .
f
(
x)
ln x
(1
x)
x0 x0
求 f ( x) .
)[
f (0 0) f (0) ln(1 x) x0 0 ,
0
f (0 0) lim x 0 , f ( x) 在 x 0 处连续 .
x 0
f (0)
ln(1
x)
x
0
1
1
x
1
x0
f (0)
lim
(n)
(1)n n! ( x 1)n1
,
23
例24 . 试从 d x 1 导出: d y y
1.
d d
2x y2

高中导数与微分精选练习题

高中导数与微分精选练习题1. 导数的定义问题1给定函数$f(x) = 3x^2 + 2x - 5$，求函数$f(x)$在$x = 2$处的导数。

解答：导数的定义是函数在某一点的切线斜率，可以用极限的概念来表示。

函数$f(x)$的导数可以用$f'(x)$表示，即$f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$。

首先，计算函数$f(x)$在$x = 2$处的导数。

将$x = 2$代入函数$f(x)$得$f(2) = 3(2)^2 + 2(2) - 5 = 15$。

接下来，我们计算导数的定义式。

将$x = 2$代入定义式得到：\[f'(2) = \lim_{h\to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h}\]\[= \lim_{h\to 0} \frac{3(2+h)^2 + 2(2+h) - 5 - 15}{h}\]\[= \lim_{h\to 0} \frac{12h + 3h^2 + 6h + 7}{h}\]\[= \lim_{h\to 0} (3h + 6 + \frac{7}{h})\]\[= 6\]所以，函数$f(x)$在$x = 2$处的导数为6。

问题2对于函数$g(x) = \sqrt{4x + 1}$，求函数$g(x)$在$x = 3$处的导数。

解答：首先，计算函数$g(x)$在$x = 3$处的值。

将$x = 3$代入函数$g(x)$得$g(3) = \sqrt{4(3) + 1} = \sqrt{13}$。

接下来，我们使用导数的定义来计算导数。

将$x = 3$代入定义式得到：\[g'(3) = \lim_{h\to 0} \frac{g(3+h) - g(3)}{h}\]\[= \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{4(3+h) + 1} - \sqrt{13}}{h}\]由于根式的导数计算比较复杂，我们可以将定义式进行简化，令$t = 3 + h$，则上述式子可以改写为：\[g'(3) = \lim_{t\to 3} \frac{\sqrt{4t + 1} - \sqrt{13}}{t - 3}\]接下来，我们使用极限性质来计算该极限。

高等数学偏导数第五节隐函数求导题库

【090501】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】【试题内容】设函数z z x y =(,)由z x e t t xy+=-⎰2d 所确定，试求∂∂∂∂z x z y,。

【试题答案及评分标准】解：原式两边分别对x y ,求偏导得∂∂∂∂zxye zxye xy xy +==---1122()()。

（6分）∂∂zyxe xy =-()2 （10分）【090502】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】【试题内容】设函数z z x y =(,)由yz zx xy ++=3所确定，试求∂∂∂∂z x zy,（其中x y +≠0）。

【试题答案及评分标准】解：原式两边对x 求导得yz x x z xz y ∂∂∂∂+++=0 则∂∂z x z y y x=-++（6分）同理可得：∂∂z y z xy x=-++ （10分）也可：∂∂∂∂z x F F z y y x z y F F z x y xx y y x =-=-++=-=-++【090503】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】【试题内容】设函数z z x y =(,)由sin()y z e x z -+=-2所确定，试求∂∂∂∂z x zy,。

【试题答案及评分标准】解：原式sin()y z e x y-+=-2两边求微分得cos()(d d )(d d )y z y z e x z x z --+--= 0d d cos()d cos()z e x y z ye y z x z x z=+-+--- （6分）则∂∂z x e e y z x zx z=+---cos()（8分）∂∂z y y z e y z x z=-+--cos()cos()（10分）【090504】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】【试题内容】设y y x z =(,)由方程e e e xyz x y z ++=3所确定，试求∂∂∂∂y x yz,。

(完整版)导数与微分习题及答案

第二章导数与微分(A)1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，相应函数的改变量=∆y ( )A ．()x x f ∆+0B ．()x x f ∆+0C ．()()00x f x x f -∆+D ．()x x f ∆0 2．设()x f 在0x 处可，则()()=∆-∆-→∆xx f x x f x 000lim( )A ．()0x f '-B ．()0x f -'C ．()0x f 'D ．()02x f ' 3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=dxdy( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x 5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( )A ．左导数存在；B ．右导数存在；C ．左右导数都存在D ．有定义 6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( ) A ．1 B ．0 C ．-1 D ．不存在7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( ) A ．8 B ．12 C ．-6 D ．68．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( )A ．()x f e B ．()()x f e x f '' C ．()()()[]x f x f e x f ''' D ．()()[](){}x f x f e x f ''+'29．若()⎩⎨⎧≥+<=0,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( )A ．2=a ，1=bB ． 1=a ，2=bC ．2-=a ，1=bD ．2=a ，1-=b10．若函数()x f 在点0x 处有导数，而函数()x g 在点0x 处没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．恰有一个有导数D ．至少一个有导数11．函数()x f 与()x g 在0x 处都没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．至少一个有导数D ．至多一个有导数 12．已知()()[]x g f x F =，在0x x =处可导，则( ) A ．()x f ，()x g 都必须可导 B ．()x f 必须可导C ．()x g 必须可导D ．()x f 和()x g 都不一定可导13．xarctg y 1=，则='y ( )A ．211x +-B ．211x + C ．221x x +- D ． 221x x +14．设()x f 在点a x =处为二阶可导，则()()=-+→hh a f h a f h 0lim ( )A ．()2a f '' B ．()a f '' C ．()a f ''2 D ．()a f ''- 15．设()x f 在()b a ,内连续，且()b a x ,0∈，则在点0x 处( )A ．()x f 的极限存在，且可导B ．()x f 的极限存在，但不一定可导C ．()x f 的极限不存在D ．()x f 的极限不一定存在 16．设()x f 在点a x =处可导，则()()=--→hh a f a f n 0lim。

《高等数学一》第三章导数与微试题模拟课后习题汇总(含答案解析)

第三章导数与微分[单选题]1、设函数，则高阶导数=（）A、12!B、11!C、10!D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察高阶导数计算.因为多项式的最高次幂为11，故=0.[单选题]2、f(x)=4x－x3在点(－1，－3)处的切线方程为( )A、y＝x－2B、y＝x＋2C、y＝－x＋2D、y＝－2x＋1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】f(x)＝4x－x3, f(－1)＝－4＋1＝－3,故(－1,－3)在所给的曲线上. 又f ' (x)＝4－3x2故f ' (－1)＝4－3＝1∴过(－1,－3)的切线方程为y＝(x＋1)－3＝x－2.[单选题]3、y＝cos3x－cos3x的导数为( )A、3(sin3x－sinxcos2x)B、3(sin3x＋sinxcos2x)C、3(sinx－sinxcos2x)D、3(sin3x－sin3xcos2x)【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】 y’＝(cos3x)' －(cos3x) '＝3cos2x(－sinx)－(－sin3x)×3＝3(sin3x－sinxcos2x)[单选题]4、设y＝x n＋e－x，则y(n)(0)＝（）A、n!＋(－1)nB、n!C、n!＋(－1)n－1D、n!－1【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】y(n)(x)＝n！＋(－1)n e－x，从而y(n)(0)＝n!＋(－1)n[单选题]5、设函数f(x)＝arctanx,求=( )A、-2B、1C、3D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]6、设y＝lnx，则y(n)＝()A、(－1)n n!x－nB、(－1)n(n－1)!x－2nC、(－1)n－1(n－1)!x－nD、(－1)n－1n!x－n＋1【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】y′＝x－1,y′′＝－1!x－2, y′′′＝2!x－3,…. y(n)＝ (－1)n－1(n－1)!x－n[单选题]7、已知函数，则f(x)在点x=0处()A、连续但导数不存在B、间断C、导数f ’(0)=－1D、导数f ’(0)=1【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】所以，f(x)在点x=0处间断，答案为B.[单选题]8、y＝(2x2－x＋1)2的导数为( )A、2(2x2－x＋1)(4x－1)B、(2x2－x＋1)(4x－1)C、(2x2－x＋1)(4x＋1)D、(2x2＋x＋1)(4x－1)【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】y’＝2(2x2－x＋1)(2x2－x＋1)’＝2(2x2－x＋1)(4x－1)[单选题]9、设函数f（x）在x0点可微是f（x）在该点可导的( )A、充分必要条件B、充分条件C、必要条件D、无关条件【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】设函数f（x）在x0点可导是f（x）在该点可微的充要条件，对于一元函数，两者是等价的。

(完整版)隐函数求导专题训练

(完整版)隐函数求导专题训练
介绍
本文档将提供一系列隐函数求导的专题训练题目，旨在帮助学生巩固和提高隐函数求导的能力。

隐函数求导是微积分中的重要概念，对于理解和解决实际问题具有重要意义。

题目一
已知函数关系方程为 $x^2 + y^2 = 9$，求 $y$ 关于 $x$ 的导数$\frac{dy}{dx}$。

题目二
已知函数关系方程为 $x^3 + y^3 = 8xy$，求 $y$ 关于 $x$ 的导数 $\frac{dy}{dx}$。

题目三
已知函数关系方程为 $x^2 - 2xy + y^2 = 4$，求 $y$ 关于 $x$ 的导数 $\frac{dy}{dx}$。

题目四
已知函数关系方程为 $e^{2x} + e^y = 2$，求 $y$ 关于 $x$ 的导数 $\frac{dy}{dx}$。

题目五
已知函数关系方程为 $\ln(x^2 + y^2) = x + y$，求 $y$ 关于
$x$ 的导数 $\frac{dy}{dx}$。

结论
通过完成以上专题训练题目，相信您已对隐函数求导有了更深入的理解。

隐函数求导是微积分中的重要概念，掌握此内容对于深入学习微积分和解决实际问题都至关重要。

为了进一步提升对隐函数求导的掌握能力，建议学生多做类似的训练题目，并结合实际问题进行练习和应用。

名师推荐第二章2求导法则,隐函数求导,高阶导数,微分

求
解: y cos x sin( x )
x
(arccos x) 1
1 x2
(arc
cot
x)

1
1 x
2
一、导数的四则运算法则定理1 如果函数u =u(x) 及v =v(x)均在点 x 可导，则函数u =u(x) 及v =v(x)的和、差、积、商 (除分母为
0 的点外) 都在点 x 可导，且
(1) [u(x) v(x)] u(x) v(x),
称的导数为 f (x) 的二阶导数 , 记作或
即 y

( y)或
d2 y d x2

d (dy) d x dx
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 ,
(n-1)阶导数的导数称为 n 阶导数 , 分别记作
或
二阶导数以及二阶导数以上的导数称为高阶导数 ,
例1 设
求
解: y a1 2a2 x 3a3x2 nan xn1
u
sin x
推广：复合函数法则可推广到多个中间变量的情形.
例如,
dy dy d u dv f (u) (v) (x) dx d u dv dx
关键: 搞清复合函数结构由外向内逐层求导.
解:

1 cos(e x
)

( sin(
ex
))
ex
ex
tan(e x
)
补充例题. 求下列导数:
cos y 0, 则
22
1 (sin y) cos y
1

1 sin 2 y
1 1 x2
利用 arccos
x

高等数学偏导数第五节隐函数求导题库.

【090501 】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】【试题答案及评分标准】解：原式两边分别对 x, y 求偏导得(6分)【090502】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】【试题内容】设函数z z(x, y)由yz zx xy 3所确定，试求Y,_Z (其中x y 0)。

x y【试题答案及评分标准】解：原式sin( y z) e x y 2两边求微分得解：原式两边对z y — x x 求导得zy 0x — xz 则—z y (6分)xy xzz x 同理可得：(10 7)')yy x也可：z F x z _y x F y y x z F y z x yF xy x【090503】【计算题】 ■0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】【试题答案及评分标准】【试题内容】设函数2所确定，试求足二。

x y【试题内容】设函数 z z(x, y)由z xxyet 2dt 所确定，试求xe2(xy)(10 分)z z(x,y)由 sin(y z) e x zcos(y z)(d y dz)x ze (d x d z) = 0dze x z d x cos(y z)d y e x zcos(y z)(6分)将x 1 , y 1,z 0代入上式得x zz ex e x z cos （y z ）（8分）z cos （ y z ） y e x z cos （y z ）（10 分）【090504】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】【试题内容】设y y(x,z)由方程e x e y e z 3xyz 所确定，试求业，业。

z【试题答案及评分标准】y eyxezy e ze y 3yz 3xz（5分）【090505】 3xy 3xz（10 分）【计算题】【中等 0.5】【隐函数的求导公式】【试题内容】设z z(x, y)由方程23y z xy2z 所确定，试求z1 yy 1x3z 2 23z 2 2(5力) z 2y2x x22y（10分）y 3z 223z 22【090506】【试题内容】设z z(x, y)由2z 【中等0.5】【隐函数的求导公式】 cost 2 d t 所确定，试求【试题答案及评分标准】解:2— cos （z y x ）2x （4分）cos （z y x ）2 cos （z y x ）2（10 分）【090507】【计算题】【中等 0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】【试题内容】设z z(x, y) 由方程e z2 3 一 …、一-xy z 1所确定，试求z x（1,1,0），zy （I ,I ,0）°【试题答案及评分标准】解：方程两边求微分得e z d z y 2z 3d x3 ,2xyz d y2 2 .3xy z d z 0（6分）x【试题答案及评分标【计算题】d z 0(8 分)故 z x (1,1,0) 0,zy (1,1,0)(1。

导数微分练习题专升本

导数微分练习题专升本### 导数微分练习题#### 一、基础导数题1. 求导函数：设 $ f(x) = 3x^2 + 2x - 5 $，求 $ f'(x) $。

2. 复合函数求导：若 $ g(x) = (2x^3 - x)^4 $，求 $ g'(x) $。

3. 隐函数求导：给定 $ xy^2 - x^3 + y = 6 $，求 $ y' $。

4. 参数方程求导：设 $ x = t^2 $，$ y = t^3 $，求$ \frac{dy}{dx} $。

5. 高阶导数：若 $ f(x) = x^3 $，求 $ f'''(x) $。

#### 二、导数的应用6. 切线问题：已知 $ f(x) = x^2 $，求在 $ x = 1 $ 处的切线方程。

7. 单调性：判断函数 $ g(x) = \ln(x) $ 在 $ x > 0 $ 时的单调性。

8. 极值问题：求函数 $ h(x) = x^3 - 3x^2 + 2x $ 的极值点。

9. 凹凸性：判断函数 $ k(x) = -x^4 + 4x^3 - 3x^2 $ 的凹凸性。

10. 函数的增长速度：比较 $ f(x) = e^x $ 和 $ g(x) = x^2 $ 在 $ x $ 趋于无穷大时的增长速度。

#### 三、微分练习题11. 一阶微分：设 $ z = x^2y + xy^2 $，求 $ dz $。

12. 隐函数微分：若 $ x^2 + y^2 = 4 $，求 $ dy $。

13. 参数方程微分：给定 $ x = e^{\theta} $，$ y =e^{2\theta} $，求 $ dy $。

14. 函数的线性近似：使用 $ f(x) = \sin(x) $ 在 $ x = 0 $ 处的线性近似来估计 $ \sin(0.1) $。

第2章导数与微分(题库)(1)

第2章导数与微分本章知识点1. 函数()f x 在点0x x =导数()0f x '= . 左导数()0f x -'= ；右导数()0f x +'= . 2. 导数存在的判别定理： .3. 导数几何意义：函数()f x 在点()()00,x f x 处的切线斜率k = . 切线方程为：；法线方程为 .4. 函数()f x 在点0x x =处可导是连续的_____________条件；可微是可导的_____________条件；连续是可微的_____________条件.5. 复合函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦的导数d d yx = . 6. 隐函数(),0F x y =的求导步骤为：将y 视为函数()y x ，⑴在(),0F x y =_________________________；⑵利用“解方程”的思想，_________________________.7. 对数求导法适用形式：；求导方法： .8. 由参数方程()()x t y t ϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩确定得函数()y y x =的导数d d y x = .9. 函数()y f x =的微分计算公式为d y = . 10. 导数运算法则（和、差、积、商）：()()f x g x '±=⎡⎤⎣⎦ ； ()()f x g x '⋅=⎡⎤⎣⎦ ；()()f x g x '⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.2.1 导数概念A 组1. 函数()f x 在点0x 可导是()f x 在点0x 连续的（）条件.A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 2. ()f x 在点0x 可导是()f x 在点0x 可微的（）条件.A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 3. 设()0f x '存在，则()()0003limh f x h f x h→+-=（）.A. ()0f x 'B. ()03f x 'C. ()03f x '-D. 3 4. 如果函数()f x 在点x 处可导，则()f x '=（）.A. ()()0limx f x x f x x ∆→-∆-∆ B. ()()0lim 2x f x x f x x ∆→-∆-∆C. ()()0limx f x x f x x ∆→-∆--∆ D. ()()0lim x f x x f x x x∆→+∆--∆∆5. 设()322,13,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则()f x 在1x =处（）.A. 左、右导数都存在B. 左导数存在，但右导数不存在C. 左导数不存在，但右导数存在D. 左.右导数都不存在6. 已知()03f x '=，则()()000limx f x x f x x∆→-∆-=∆______________________.7. 曲线x y cos =在点⎪⎭⎫⎝⎛02，π处的切线方程为______________________. 8. 曲线e x y =在()0,1处的切线方程为______________________.9. 曲线x y 1=在点1,22⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为______________________. 10. 曲线x y 1=在点1,22⎛⎫⎪⎝⎭处的法线方程为______________________. 11. 曲线2sin 2x x y +=上横坐标为0=x 的点处的切线方程为________________.12. 曲线2sin 2x x y +=上横坐标为0=x 的点处的法线方程为________________.B 组13. 设函数()2,1,, 1.x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩为了使函数()f x 在1=x 处连续且可导，b a 、应取什么值？2.2 函数的求导法则A 组1. 设x y -=2，则='y （）.A. x -2B. x --2C. 2ln 2x --D. 2ln 2x -2. 设xxy ln =，则='y . 3. 设x y 2sin =，则='y .4. 设22x a y -=，则='y .5. 设2)(arcsin x y =，则='y .6. 设xy 1cos ln =，则='y .7. 设xxy -+=11arctan ，则='y .8. 已知物体的运动规律为()3m s t =，则该物体在()2s t =时的加速度=a __________2m /s .2.3 高阶导数A 组1. 函数x x y ln 22+=的二阶导数=''y ____________________.2. 函数21e x y -=的二阶导数=''y ____________________.3. 函数x y tan =的二阶导数=''y ____________________.4. 函数x x y cos =的二阶导数=''y ____________________.5. 求函数x a y =的n 阶导数=)(n y ____________________.6. 函数e x y =的n 阶导数=)(n y ____________________.7. 函数x y sin =的n 阶导数=)(n y ____________________.2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数A 组1. 由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==32bty atx 确定的函数()y y x =的导数d d y x =________________. 2. 由参数方程⎩⎨⎧-==tt t y t x cos sin cos ln 确定的函数()y y x =的导数d d yx =_____________.3. 参数方程1ee ttx y t -⎧=+⎪⎨=+⎪⎩所确定的函数()y y x =的导数d d y x =________________. 4. 参数方程e sin e cos tt x ty t ⎧=⎪⎨=⎪⎩所确定的函数()y y x =的导数4d d t y x π==_______________. 5. 设函数()y y x =是由方程 0922=+-xy y 所确定的隐函数，求d d yx.6. 设函数()y y x =是由方程 0333=-+axy y x 所确定的隐函数，求d d y x.7. 设函数()y y x =是由方程 2sin e 0x y xy +-=所确定的隐函数，求d d y x.8. 求由方程()e e sin x y xy -=所确定的隐函数()y y x =的导数xy d d .9. 求由方程0e =--y y x 所确定的隐函数()y y x =的导数xy d d .10. 求由方程1e y y x =-所确定的隐函数()y y x =的导数d d y x.11. 设函数()y y x = 是由方程 1e x y xy ++=所确定的隐函数，求0d d x y x=.12. 求由方程22e cos()y xy x y +=+所确定的函数()y y x =的导数d d yx.13. 求由方程e cos()0x y xy ++=所确定的隐函数()y y x =的导数d d y x.14. 求曲线2eettx y -⎧=⎪⎨=⎪⎩在0=t 相应的点处的切线方程及法线方程.15. 求曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=321ty tx 在2=t 相应的点处的切线方程及法线方程.B 组16. 设函数()y y x =由方程122=-y x 所确定的隐函数，求22d d yx.17. 求由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-==t y t x 122所确定的函数()y y x =的导数221d d t y x =.18. 求参数方程()()()x f t y tf t f t '=⎧⎪⎨'=-⎪⎩所确定的函数()y y x =的二阶函数导数22d d y x ，其中()f t ''存在且不为零.19. 求由参数方程⎩⎨⎧==t b y t a x sin cos 所确定的函数()y y x =的二阶导数22d d yx .20. 求由参数方程3e2ettx y -⎧=⎪⎨=⎪⎩所确定的函数()y y x =的二阶导数22d d y x .21. 用对数求导法求函数xx x y ⎪⎭⎫⎝⎛+=1的导数d d y x .第2章导数与微分（题库）第页共计11页 11 2.5函数的微分A 组1. 设3e x y =，则=y d ____________________. 2. 函数x x y 2sin =的微分=y d __________ .3. 设x y sin ln =，则=y d ____________________.4. 设e cos x y x =，则=y d ____________________.5. 函数x y ln ln = 则=y d ____ __________ .6. 设)1(ln 2x y -=，则=y d ____________________.7. 设函数22e x y x =，则=y d ______________ .B 组8. 利用微分计算三角函数的近似计算：sin 29.。

高等数学导数与微分练习题

作业习题1、求下列函数的导数。

（1）223)1(-=x x y ；（2）xxy sin =；（3）bx e y ax sin =；（4）)ln(22a x x y ++=；（5）11arctan -+=x x y ；（6）xxx y )1(+=。

2、求下列隐函数的导数。

（1）0)cos(sin =+-y x x y ；（2）已知,e xy e y =+求)0(y ''。

3、求参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x )0(>a 所确定函数的一阶导数dx dy 与二阶导数22dx y d 。

4、求下列函数的高阶导数。

（1）,αx y =求)(n y ；（2）,2sin 2x x y =求)50(y 。

5、求下列函数的微分。

（1）)0(,>=x x y x ；（2）21arcsin xx y -=。

6、求双曲线12222=-by a x ，在点)3,2(b a 处的切线方程与法线方程。

7、用定义求)0(f '，其中⎪⎩⎪⎨⎧=,0,1sin )(2xx x f .0,0=≠x x 并讨论导函数的连续性。

作业习题参考答案：1、（1）解：])1[()1()(])1([23223223'-+-'='-='x x x x x x y )37)(1(222--=x x x 。

（2）解：2sin cos )sin (x x x x x x y -='='。

（3）解：bx be bx ae bx e y ax ax ax cos sin )sin (+='=' )cos sin (bx b bx a e ax +=。

（4）解：][1])[ln(222222'++++='++='a x x a x x a x x y ]1[12222ax xax x ++++=221ax +=。

第2章高阶导数,隐函数与参数方程所确定的函数的求导法习题集及答案

第二章习题二高阶导数，隐函数与参数方程所确定的函数的求导法一．选择题1．设)(x f 在),(+∞-∞内为奇函数且在),0(+∞内有0)(>'x f ，0)(>''x f ，则)(x f 在)0,(-∞内是（ C ）（A ）0)(<'x f 且0)(<''x f ；（B ）0)(<'x f 且0)(>''x f ；（C ）0)(>'x f 且0)(<''x f ；（D ）0)(>'x f 且0)(>''x f ． 2．设||3)(22x x x x f +=，则使)0()(n f 存在的最高阶数=n （ C ）（A ）0；（B ）1；（C ）2；（D ）3． 3．设x n e x x f +=)(，则=+)()1(x f n （ C ）（A ）x e n ++)!1(；（B ）x ne n ++)!1(；（C ）x e ；（D ）0． 4．曲线013492=+--y x y 过点)2,1(0M 的切线（ B ）（A ）不存在；（B ）方程为1=x ；（C ）方程为2=y ；（D ）方程为)1(212-=-x y ． 5．设函数xx y 1)1(+=，则=')1(y （ D ）（A ）2；（B ）e ；（C ）2ln 21-；（D ）4ln 1-．6．已知2211t t x +-=，212t t y +=，则=dx dy （ A ）（A ）t t 212-；（B ）t t 212-；（C ）x x 212-；（D ）122-t t．7．曲线t x L cos :=，2sin t y =上3π=t 时的法线方程为（ B ）（A ）0142=+-y x ；（B ）0124=--y x ；（C ）0342=-+y x ；（D ）0324=-+y x ．二．填空题1．设函数13)1(-+=x y ，则==122|x dx y d 43．．2．设x y 2cos =，则=)(n y )22cos(2π⋅+n x n ．3．设22)43()32)(21(x x x y +++=，则=)0()5(y 34560!4122215=⋅⋅C ． 4．函数ln(12)y x =-在0x =处的n 阶导数为()______________________(0)2(1)!n n y n =--5．设函数123y x =+，则()1_________________(2)!(0)3n n n n y +-=6．设()y y x =是由方程1yxy e x +=+确定的隐函数，则22__________3x d ydx==-7．曲线sin()ln()xy y x x +-=在点(0,1)的切线方程为___________________1y x =+8．设函数()y y x =由方程1y y xe =-确定，则_______x dy e dx==-9．设函数()y y x =由方程42ln xy x y +=所确定，则曲线()y f x =在点(1,1)处的切线方程是___________y x -10．曲线tan()4y x y e π++=在(0,0)点处的切线方程为_____________________2y x=-11．设x x y cos )(sin =，则___________()02y π'=．12．设⎩⎨⎧=+=t y t x cos 12，则=dx dy t t2sin -；=22dx y d 34sin cos t t t t --． 13．曲线2cos cos 1sin x t t y t⎧=+⎨=+⎩在4t π=1+．14．设函数()y y x =由参数方程22ln(1)x t ty t ⎧=+⎨=+⎩确定，则曲线()y y x =在3x =处的法线与x 轴交点的横坐标是__________________1ln 238+三．计算题1．函数⎩⎨⎧≥+<++=0),1ln(0,)(2x x x c bx ax x f 在点0=x 处有二阶导数，试确定参数a 、b 、c 的值．解：（1）f Θ在0=x 处可导，∴连续．则0)0()(lim )(lim 20===++=--→→f c c bx ax x f x x ，0=∴c ．（2）f Θ在0=x 在处二阶可导，∴一阶可导．由b bx ax f x ='+='=-02|)()0(，1|))1(ln()0(0='+='=+x x f ，故有1=b ．（3）a ax f x 2|)12()(0='+=''=-Θ，1|)11()(0-='+=''=+x xf ，且f 在0=x 处二阶可导，21-=∴a ．2．设6512++=x x y ，求)100(y ．解：)2)(3(1++=x x y )2)(3()2()3(+++-+=x x x x 21+=x 31+-x ． )21('+x 2)2(1+-=x ，)21(''+x 3)2()2)(1(+--=x ，⋯， )100()21(+∴x 101100)2(!100)1(+-=x 101)2(!100+=x ；)100()31(+x 101)3(!100+=x ． )100(y ∴)100()21(+=x )100()31(+-x 101)2(!100+=x 101)3(!100+-x ．3．设1312+-=x x y ，求)(n y ．解：1313532+⋅-=x y Θ，3)13(1352⋅+-⋅-='∴x y 22)13(1)1(5+-=x ，3)13()2()1(532⋅+-⋅-=''x y 33)13(13!2)1(5+⋅⋅⋅-=x ， 3)13()3(3!2)1(543⋅+-⋅⋅⋅-='''x y 424)13(13!3)1(5+⋅⋅⋅-=x ，M)(n y 111)13(13!)1(5+-++⋅⋅⋅-=n n n x n （Λ,3,2,1=n ）． 4．设x x y 2sin 2=，求)0()50(y ．解：)0()50(y0)50(0)(25050|)2(sin |)(=-==⋅=∑x k x k k kx x C 0)48(02250|)2(sin |)(==⋅''=x x x x C 048|)2482sin(2224950=⋅+⋅⋅⋅=x x π0=． 5．由方程0)()(22=-+x x xf x f y 确定y 是x 的隐函数，求dxdy．解：02)()()()(22=-'++'+'x x f x x f x f y x f y y ，)(2)()()(22x yf x f x x f x f y x y '--'-='．6．设)(x y y =由方程053=-+x y exy所确定，求0|=x dx dy及022|=x dxy d ．解：视)(x y y =，对方程053=-+x y e xy 两边求导，得053)(2=-'+'+y y y x y e xy （1）由原方程可知，当0=x 时有1-=y ．代入上式，得2|0==x dxdy．视)(x y y =，)(x y y '='，对方程（1）两边求导，得036)}2(){(222=''+'+''+'+'+y y y y y x y y x y e xy （２）将0=x 、1-=y 、2|0==x dx dy 代入上式，得319|022==x dxy d ．7．设2233)43()2(12xe x x x y +-+=，求dxdy．解：由2|43|ln 2|2|ln 3|12|ln 31||ln x x x x y -+--++=，有x x x x y y 24332213)122(311-+---++='． 2233)43()2(12x ex x x dx dy +-+=∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---+x x x x 243623)12(32 )34,2,21(--≠x ，223)43(12xe x x dx dy ++=∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+----+-3323)2(243)2(6)2(3)12(3)2(2x x x x x x x )34,21(--≠x ．8．设xx x y =(0>x ，1≠x )，求dxdy．解：x x y x ln ln =，|ln |ln ln |ln |ln x x x y +=，x x x y y y ln 11ln ln 1++='，}1ln {ln 2xx x x x y x x x ++='． 9．设)(x y y =由⎪⎩⎪⎨⎧=+=2y t te e tex 所确定，求dx dy 及022|=t dx y d ．解：t t t e t te e dtdx)1(+=+=；视y 为t 的函数，对2=+yte e 两边求导，得0=+dt dye e yt，解得y t ee dt dy -=． dx dy ∴yt yt e t e t e e )1(1)1(/+-=+-=)2)(1(1t e t -+-=； 22dx y d tt e t '⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=)2)(1(1／)(t x 't t t t e t e t e t e )1()]2)(1/[(])1()2[(2+-++--=， 022|=∴t dxyd 0=． 10．已知曲线的极坐标方程是：1cos r θ=-，求该曲线上对应与6πθ=处的切线与法线的直角坐标方程。

高等数学导数与微分练习题之欧阳语创编

作业习题1、求下列函数的导数。

（1）223)1(-=x x y ；（2）xxy sin =；（3）bx e y ax sin =；（4）)ln(22a x x y ++=；（5）11arctan -+=x x y ；（6）xxx y )1(+=。

2、求下列隐函数的导数。

（1）0)cos(sin =+-y x x y ；（2）已知,e xy e y =+求)0(y ''。

3、求参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x )0(>a 所确定函数的一阶导数dx dy与二阶导数22dxyd 。

4、求下列函数的高阶导数。

（1）,αx y =求)(n y ；（2）,2sin 2x x y =求)50(y 。

5、求下列函数的微分。

（1）)0(,>=x x y x ；（2）21arcsin xx y -=。

6、求双曲线12222=-by a x ，在点)3,2(b a 处的切线方程与法线方程。

7、用定义求)0(f '，其中⎪⎩⎪⎨⎧=,0,1sin )(2xx x f .0,0=≠x x 并讨论导函数的连续性。

作业习题参考答案：1、（1）解：])1[()1()(])1([23223223'-+-'='-='x x x x x x y)37)(1(222--=x x x 。

（2）解：2sin cos )sin (x xx x x x y -='='。

（3）解：bx be bx ae bx e y ax ax ax cos sin )sin (+='=')cos sin (bx b bx a e ax +=。

（4）解：][1])[ln(222222'++++='++='a x x a x x a x x y]1[12222ax x ax x ++++=221ax +=。

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