“零诊”适应性测试数学卷1

都江堰市青城山高级中学2014届

“零诊”适应性测试数学卷1

班级： 姓名： 学号： 总分：

一．填空题（每小题5分，共50分）

1.设复数122,2()z i z x i x R =+=-∈，若12z z ∙为实数，则x 为 ；

2．若ββαββαcos )cos(sin )sin(---＝m ，且α是第三象限角，则sin α＝ ； 3.若某程序框图如所示，则该程序运作后输出的y 等于 ；

4. 已知点P （x ，y ）的坐标满足条件4

1x y y x x +≤⎧⎪

≥⎨⎪≥⎩

，则点P 到直线4x+3y+1=0

的距离的最大值是________；

5、若双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点到一条渐近线的距离等

于焦距的1

，则该双曲线的渐近线方程是 ；

8.观察下列各式9

－1=8，16－4=12，25－9=16，36－16=20…，这些等式反映了正整数间的某种规律，设n 表示正整数，用关于n 的等式表示为 ；

9.函数()23

123

x x f x x =++

+的零点的个数是 ； 10.设点()a b ,在平面区域{()||1||1}D a b a b =,≤,≤中按均匀分布出现，则椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）

的离心率e 的概率为 ；

二．解答题（每小题10分，共50分）

11．高三年级有500名学生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机

抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表： （1）根据上面图表，①②③④处的数值分别为多少？

（2）根据题中信息估计总体平均数是多少？

12. 已知函数2

()4sin 2sin 22f x x x x R =+-∈，。（1）求()f x 的最小正周期、()f x 的最大值及此时x 的集合；（2） 证明：函数()f x 的图像关于直线8

π

x =-

对称。

13.一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M 、N 分别是AB 、AC 的中点，G 是DF 上的一动点. （1）求证：;AC GN ⊥

（2）当FG=GD 时，在棱AD 上确定一点P ，使得GP//平面FMC,并给出证明.

a a a

俯视图

左视图

主视图G E

F N

M

D

C

B

A

14．已知各项均为正数的数列}{n a 满足212

10

1,2

1--+

==

n n n

a n a •a •a 其中n =1，2，3，….

（1）求21a a 和的值； （2）求证：

21

1

11n

a a n n <-

-； （3）求证：n a n n n <<++2

1

.

15.已知函数()a ax x x x f -+-=

23

3

1 (a ∈R )． (1) 当3-=a 时，求函数()x f 的极值；

（2）若函数()x f 的图象与x 轴有且只有一个交点，求a 的取值范围．

参考答案

1.4.提示：()1222(4)z z x x i R ∙=++-∈ ∴4x =。

3．－2

1m -.提示：依题意得m -=αcos ，α是第三象限角，sin α＜０，故sin α＝－2

1m -． 4.63.提示：对于图中程序运作后可知，所求的y 是一个“累加的运算”即第一步是3；第二步是7；第三步是15；第四步是31，第五步是63.

5. 3提示：由图可知：P （2，2）到直线4x+3y+1=0的距离的最大，由点到直线的距离公式 可计算出，应填3。

6. 0x =。 提示：对于双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点到一条渐近

线的距离因为b ，而1

24

b c =，因此 1,,2b c a ===

b ∴=

，因此其渐近线方程为0x =.

9. ∈2

2

*

(n+2)-n =4(n+1)(n N )。

11.1．提示：对于()2

2

1

3

1()024

f x x x x '=++=++

>，因此函数()f x 在R 上单调递增，而对于523

(2)0,(2)033

f f -=-<=>，因此其零点的个数为1个.

13．

116 。 提示：属几何概型的概率问题，D 的测度为4；e <，则112b a <<，

(](]0101a b ∈∈,,,，则d 的测度为

14，∴1

16

d P D ==的测度的测度． 15.解：设抽取的样本为x 名学生的成绩，则由第四行中可知12

0.3x

=

，所以x ＝40.∴④40 ③处填0.1，②0.025， ①1。

(2) 利用组中值估计平均数为

=90⨯0.025+100⨯0.05+110⨯0.2+120⨯0.3+130⨯0.275+140⨯0.1+150⨯0.05=122.5， (3)在［129，150］上的概率为

66

0.2750.10.050.2921011

⨯++⨯≈。 16.解：2

2

()4sin 2sin 222sin 2(12sin )f x x x x x =+-=--