初等数论知识点汇总高中数学
高中数学知识点大全总结
高中数学知识点大全总结高中数学是一门重要的学科，它是其他学科的基础，也是培养学生逻辑思维能力和解决问题能力的重要手段。
在高中数学中，有许多重要的知识点需要掌握，下面将对高中数学的重要知识点进行总结。
一、初等数论1. 自然数的性质及其运算法则2. 整数的性质及其运算法则3. 有理数的性质及其运算法则4. 整除与最大公因数5. 求解同余方程6. 等比数列的性质及公式二、代数学1. 多项式的运算与恒等式2. 二次函数与一般二次方程3. 四种基本函数及其性质（线性函数、二次函数、指数函数、对数函数）4. 高次方程的求解方法（韦达定理、有理根定理、根的分布情况）三、平面几何1. 直角三角形和斜角三角函数2. 圆的性质及其相关定理（切线定理、弦定理、正弦定理、余弦定理）3. 三角函数的图像与性质4. 平面向量的定义及其运算法则（向量的模、向量的共线性、向量的夹角、向量的垂直）5. 平面几何的证明方法（巴比内斯定理、相似三角形的证明、正弦定理的证明）四、立体几何1. 三角形与四边形的性质2. 球与球面的性质3. 正多面体的性质4. 空间直线的位置关系5. 空间几何中的立体角6. 空间向量的运用（平面与直线的交线与夹角、平面与平面的夹角）五、数列与数列极限1. 等差数列与等比数列的性质及其求和公式2. 数列的极限概念与性质3. 单调数列与有界数列的性质4. 黎曼和与定积分的关系5. 等差数列与等比数列的极限六、函数与导数1. 基本初等函数的性质与图像2. 极限与连续性3. 函数的求导法则（常用函数的导数、和差积商的求导法则）4. 函数的极值与最值5. 曲线的切线与法线6. 定积分与函数的面积七、微分学应用1. 可导函数的微分近似与应用（导数与函数的近似、函数的单调性、最值问题）2. 积分与定积分的性质及其应用（黎曼和与函数的面积、曲线长度和旋转体体积）3. 微分方程的基本概念及一阶微分方程的解法4. 概率统计与数理统计的基本概念与方法（随机事件、条件概率、正态分布）以上是高中数学的一些重要知识点总结，这些知识点是高中数学学习的基础，也是高考数学考试的重点。
高考数学框架知识点
高考数学框架知识点一、初等数论初等数论是数学中的基础，涵盖了整数的性质和关系。
在高考数学中，初等数论包括以下几个主要知识点：1.1 整数的性质整数包括正整数、负整数和零，它们的性质有以下几个方面：- 整数的加法、减法、乘法运算及其性质；- 整数的除法，包括带余除法和整除性质；- 整数的奇偶性和约数性质。
1.2 整数的因数与倍数- 整数的因数：包括最大公因数、最小公倍数等概念；- 整数的质因数分解：将一个整数表示为几个不同质数的乘积。
1.3 整数的整除与整除性质- 整数除法的性质，包括能否整除、被除数与除数的关系等。
1.4 同余与模运算- 同余关系的概念和性质；- 模运算的定义和性质。
二、平面向量平面向量是解析几何中的基础知识，也是高考数学中的重要考点。
平面向量包括以下几个主要知识点：2.1 平面向量的定义与表示- 平面向量的概念和表示方法，包括坐标表示和数量表示。
2.2 平面向量的运算- 平面向量的加法、减法和数乘运算；- 平面向量的数量积和向量积。
2.3 平面向量的性质和应用- 平面向量的模、方向和单位向量；- 平面向量的共线与垂直。
三、解析几何解析几何是平面几何和立体几何的结合，通过代数方法研究几何问题。
在高考数学中，解析几何包括以下几个主要知识点：3.1 直线和圆的方程解析几何中，直线和圆可以通过方程表示：- 直线的一般式方程和截距式方程；- 圆的标准方程和一般方程。
3.2 二次曲线- 抛物线、椭圆、双曲线的定义和性质；- 二次曲线的标准方程。
四、立体几何立体几何是研究空间中图形的性质和关系的一个分支，它包括以下几个主要知识点：4.1 空间图形的表示- 点、直线、平面等基本概念；- 空间图形的投影和截面。
4.2 空间中的位置关系- 直线与平面的位置关系；- 平面与平面的位置关系。
4.3 空间几何体的性质和计算- 球、柱、锥、棱柱和棱锥的定义和计算；- 空间几何体的体积、表面积和侧面积公式。
人教版高中数学选修4-6《初等数论：算术基本定理》
第六节 算术基本定理
推论2 设正整数a与b的标准分解式是
a p1 p2 pk q1 ql , b p1 p2 pk r1 rs
1 2 k 1 s
1
2
k
1
l
其中pi(1 i k)，qi(1 i l)与ri(1 i s)是两 两不相同的素数，i，i(1 i k)，i(1 i l) 与i(1 i s)都是非负整数，则
1 2
任何大于1的整数n可以
k
n p1 p2 pk
，
(2)
2, , k是正整数。
证明 由引理1，任何大于1的整数n可以表示成 式(2)的形式，因此，只需证明表示式(2)的唯 一性。
第六节 算术基本定理
假设pi（1 i k）与qj（1 j l）都是素数，
p1 p2 pk，q1 q2 ql，
n = p1p2pm， (1) 其中pi（1 i m）是素数.
第六节 算术基本定理
引理1 即 任何大于1的正整数n可以写成素数之积，
n = p1p2pm，
其中pi（1 i m）是素数。 证明 当n = 2时，结论显然成立。
(1)
假设对于2 n k，式(1)成立，我们来证明式(1) 对于n = k 1也成立，从而由归纳法推出式(1) 对任何大于1的整数n成立。
[a, b] p p p ， i max{ i , i }， 1 i k。
1 1
1 2
k k
第六节 算术基本定理
推论3 设a，b，c，n是正整数，
ab = cn ，(a, b) = 1，
则存在正整数u，v，使得
(5)
初等数论素数知识点总结
初等数论素数知识点总结素数的概念最早起源于古希腊，欧几里德《几何原本》中对素数有所提及。
在古代，素数一直被视为具有神秘力量的数，素数的研究也是数学家们长期关注的焦点之一。
而今天，素数的研究则扩展到了诸如密码学、网络安全等现代领域。
在初等数论中，素数有着许多有趣的性质和规律，下面我们来总结一下素数的一些重要知识点。
一、素数的定义素数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外，没有任何其他约数的数。
换句话说，一个正整数p是素数，当且仅当它的约数只有1和p两个。
例如，2、3、5、7、11等都是素数，因为它们只能被1和自身整除，而不能被其他正整数整除。
二、素数的性质1. 素数的个数是无穷的欧几里德在《几何原本》中证明了素数的个数是无穷的。
这一结论揭示了素数的重要性和特殊性，也激发了数论领域的深入研究。
2. 素数与合数正整数可以分为两类，一类是素数，一类是合数。
合数是由两个或更多个不同的素数相乘得到的整数。
素数和合数一样，是数论中非常重要的概念。
3. 质数分解每个合数都可以被分解为一些素数的乘积，这就是质因数分解定理。
这一定理是数论中一个重要的基础定理，也为许多数论问题的研究提供了方便。
4. 素数与公约数素数在计算最大公约数或最小公倍数时起着重要作用。
由于素数的约数只有1和它自身，所以一个数的约数可以全部用素数的乘积来表示。
5. 素数与互质素数与互质的概念是密切相关的。
如果两个正整数的最大公约数为1，则它们互质。
而素数与任何其他不同的正整数都互质。
6. 素数与整除性在初等数论中，关于素数的某些性质可以推广到同余数理论等更高级的数论概念。
三、关于素数的猜想和定理1. 素数假设素数假设又被称为黎曼猜想的特例。
它声称，所有大于1的正整数都可以被分解为一些素数的乘积。
这一假设至今还未被证明。
2. 质数定理质数定理是数论中的一个经典定理，它确立了素数的分布规律。
质数定理指出，一个函数π(x)随着x的增长而增大，这里的π(x)表示不超过x的素数的个数。
初等数论总复习题及知识点总结
初等数论学习总结本课程只介绍初等数论的的基本内容。
由于初等数论的基本知识和技巧与中学数学有着密切的关系， 因此初等数论对于中学的数学教师和数学系(特别是师范院校)的本科生来说，是一门有着重要意义的课程，在可能情况下学习数论的一些基础内容是有益的．一方面通过这些内容可加深对数的性质的了解，更深入地理解某些他邻近学科，另一方面，也许更重要的是可以加强他们的数学训练，这些训练在很多方面都是有益的．正因为如此，许多高等院校，特别是高等师范院校，都开设了数论课程。
最后，给大家提一点数论的学习方法，即一定不能忽略习题的作用，通过做习题来理解数论的方法和技巧，华罗庚教授曾经说过如果学习数论时只注意到它的内容而忽略习题的作用，则相当于只身来到宝库而空手返回而异。
数论有丰富的知识和悠久的历史，作为数论的学习者，应该懂得一点数论的常识，为此在辅导材料的最后给大家介绍数论中着名的“哥德巴赫猜想”和费马大定理的阅读材料。
初等数论自学安排第一章：整数的可除性（6学时）自学18学时整除的定义、带余数除法 最大公因数和辗转相除法 整除的进一步性质和最小公倍数 素数、算术基本定理[x]和{x}的性质及其在数论中的应用习题要求3p ：2，3 ； 8p ：4 ；12p ：1；17p ：1，2，5；20p ：1。
第二章：不定方程（4学时）自学12学时二元一次不定方程c by ax =+多元一次不定方程c x a x a x a n n =++ 2211 勾股数 费尔马大定理。
习题要求29p ：1，2，4；31p ：2，3。
第三章：同余（4学时）自学12学时同余的定义、性质 剩余类和完全剩余系 欧拉函数、简化剩余系欧拉定理、费尔马小定理及在循环小数中的应用 习题要求43p ：2，6；46p ：1；49p ：2，3；53p 1，2。
第四章：同余式（方程）（4学时）自学12学时同余方程概念 孙子定理高次同余方程的解数和解法 素数模的同余方程 威尔逊定理。
高中数学：“初等数论”
高中数学：“初等数论”一、知识点概述初等数论是研究自然数的性质及其相互关系的一门数学学科，其研究对象是自然数和它们的运算。
初等数论主要研究质数、公因数和最大公因数、同余、数的分解、勒让德符号、二次剩余等数论基础知识。
二、重点概念解释1. 质数：大于1的自然数，除1和它本身外，不能被其它自然数整除的数字称为质数。
2. 素数：素数是指只有1和它本身两个约数的数。
3. 最大公因数：指两个或两个以上整数共有约数中，最大的一个。
4. 同余：对于任意整数a、b、n（n≠0），若n|(a-b)，则称a与b在模n条件下同余，记作a≡b(mod n)。
5. 勒让德符号：勒让德符号（Legendre Symbol）是一种特殊的符号，用来判断一个整数是否是二次剩余，即其是否满足某些特殊性质。
三、典型例题分析例题1：求最大公因数gcd(100, 80)。
答案：首先列出100=2^2×5^2，80=2^4×5，公共因子为2^2×5，即gcd(100,80)=20。
例题2：判断71^25与81在模10下是否同余。
答案：将71=7×10+1，用费马小定理得7^4≡1(mod 10)，于是71^25≡(7×10+1)^25≡7^25≡7(mod 10)。
又81≡1(mod 10)，因此不同余。
例题3：判断21与31在模5下是否有逆元。
答案：首先求21与31分别除以5的余数为1和1，因为1和5互素，所以1有逆元，然后判断31在模5下是否有逆元：31除以5余1，31与5不互素，因此31在模5下没有逆元。
例题4：求解同余方程3x≡4(mod 5)。
答案：gcd(3,5)=1，因此同余方程有解。
将方程两边乘以3的逆元2（即2×3≡1(mod 5)）得到6x≡8(mod 5)，即x≡3(mod 5)。
因此，同余方程的解为x≡3(mod 5)。
例题5：对于勒让德符号(a/p)，当p为素数，a为整数时，有以下性质：i. (a/p)=0当且仅当a≡0(modp)。
初等数论-第一章
例 2 、 证 明 ： 若 n 是 正 整 数 ， 则 2 1 n 4 是 既 约 分 数 。 1 4 n 3
证 明 ： 因 为 （ 2 1 n 4 , 1 4 n 3 ) ( 7 n 1 , 1 4 n 3 )
( 7 n 1 ,7 n 2 ) ( 7 n 1 ,1 ) 1 所以，命题得证。
第一章 整数的可除性
一、整除的概念 带余数除法 二、最大公因数与辗转相除法 三、整除的进一步性质
四、质数 算术基本定理 五、取整函数及其在数论中的一个应用
第一节 整除的概念 带余数除法
定义 设a,b是任意两个整数，其中b0，如果 存在一个整数q使得等式
aqb 成立，就说b整除a或a被b整除，记作ba， 此时把b 叫作a的因数，把a叫作b的倍数. 如 果 不 存 在 整 数 q 使 得 a b q 成 立 ， 则 称 a 不 被 b 整 除 ， 记 为 b † a 。
推 论 2.2 、设 a 1,a2, ,an及 b 1,b 2,,bm 是 任 意 两 组 整 数 ， 若 前 一 组 中 任 一 整 数 与 后 一 组 中 任 一 整 数 互 质 ， 则
(a 1a2 an,b 1b 2 bm )1
定 义设 a 1,a 2, ,a n是 n (n2 )个 整 数 ， 若 整 数 d是 这 n 个 数 的 倍 数 ， 则 d 就 叫 作 a 1,a 2, ,a n 的 一 个 公 倍 数 。 所 有 公 倍 数 中 最 小 的 一 个 叫 最 小 公 倍 数 ， 记 作 [a 1,a 2, ,a n] 。
证 ： 设 这 5个 数 为 ai,i1, ,5， 记 ai 3qi ri， 0ri 3, i1, ,5。 分 别 考 虑 以 下 两 种 情 形 ：
初等数论的性质与定理总结
初等数论的性质与定理总结初等数论是数论中的一个基础分支，研究整数的性质和整数运算规律。
本文将总结初等数论中的一些重要性质与定理。
一、整数的整除性质1. 整数的除法基本性质：对于任意整数a、b和非零整数c，存在唯一的整数q使得a = bq + c。
2. 整除关系的传递性：如果a能整除b，且b能整除c，则a能整除c。
3. 整除关系的辗转相除法：对于任意整数a和非零整数b，存在唯一的整数q和r使得a = bq + r（其中0 ≤ r < |b|）。
二、质数与合数1. 质数的定义：质数是指大于1且只能被1和自身整除的整数。
例如，2、3、5、7等都是质数。
2. 质因数分解定理：每个大于1的整数都可以唯一地表示为若干个质数的乘积。
3. 最大公约数与最小公倍数的性质：对于任意整数a和b，记a和b 的最大公约数为gcd(a, b)，最小公倍数为lcm(a, b)，则有以下性质： - gcd(a, b) = gcd(b, a)- gcd(a, 0) = |a|- lcm(a, b) = |ab| / gcd(a, b)三、模运算与同余1. 模运算的基本性质：对于任意整数a、b和正整数n，有以下性质：- (a + b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n- (a - b) mod n = (a mod n - b mod n) mod n- (a * b) mod n = (a mod n * b mod n) mod n2. 同余关系的性质：对于任意整数a、b和正整数n，如果a与b模n同余（记作a ≡ b (mod n)），则有以下性质：- a + c ≡ b + c (mod n)- ac ≡ bc (mod n)- 如果a ≡ b (mod n)，则a^k ≡ b^k (mod n)对于任意正整数k四、费马小定理与欧拉定理1. 费马小定理：如果p是质数，a是任意正整数且p不整除a，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
高考数学中的初等数学知识点总结
高考数学中的初等数学知识点总结高考数学是所有考生共同要面对的一关，其中数学部分占有很重要的比重。
对于数学学科，大多数考生都会感到略微吃力。
而如果学习高考数学中的初等数学知识点的基本概念和方法，就能够在实际考试中得分更高。
一、数列与函数在高考数学的数列与函数中，最常见的是等差数列和等比数列。
等差数列的公式可以通过该数列的前两项以及公差d求得。
等比数列则可以通过该数列的前两项以及比例q求得。
此外，数列的和式也是一道常见的综合题。
在求和式中，需要学习通过平均数将求和式化简为总项数乘以平均数的公式。
函数部分则和上述知识点相似。
在高考数学中，得分更高的函数考察不是某个基础命题的应用，而是自学、探究,从而发掘一些特殊函数的性质。
例如：常用函数的性质是简单的,比如正弦函数、余弦函数、正切函数等等。
我们需要掌握它们的周期、对称性、单调性、值域和 defined domain等等。
此外，我们还需要学习函数的奇偶性和周期性等性质。
在了解了这些基本的数列和函数知识点之后，我们也需要记住运用函数来解决实际问题中的一些数学问题。
这些问题包括但不限于，投影、距离与中心题、平面几何、空间几何和三角函数的应用等。
在这些问题中，需要学会运用初等数学的基本理论与概念，如勾股定理和正弦定理等。
二、不等式不等式作为一道常见的数学综合题，主要包括一元不等式和二元不等式。
一元不等式是指只包含一个未知变量的不等式。
我们需要通过掌握这些不等式的基本性质以及规律，来解决实际问题，在不等式的运算中获得更高的得分。
另一方面，二元不等式也是高考数学中非常重要的一部分。
二元不等式是指包含两个或更多未知变量的不等式。
此类不等式需要通过代数方式或者几何方式解决。
三、平面几何平面几何是高考数学中比较困难的一部分，其中分数相乘和分数除法的使用是经常会涉及到的重点。
我们需要掌握相似图形的特性和定理，以便于在实际考试中运用这些知识点。
在平面几何中，还有两个常见的知识点面积、周长的计算。
初等数论知识点整理
初等数论知识点整理 1. 整数的基本性质：
- 整数的定义与整数集的基本运算
- 整数的大小与比较
- 整数的不同表示形式（十进制、二进制、八进制等） 2. 整除与约数：
- 整除的定义与性质
- 素数的定义与判定方法
- 约数的定义与性质
- 最大公约数与最小公倍数的概念与计算方法
3. 同余与模运算：
- 同余的定义与性质
- 同余的基本运算性质
- 模运算的基本性质
- 剩余类和完全剩余系的概念与性质
4. 质数与素数：
- 质数与素数的定义
- 质数与素数的性质和特性
- 素数的测试方法与算法
- 质因数分解的方法与应用
5. 数论基本定理：
- 唯一分解定理（素因数分解定理）
- 辗转相除法与欧几里得算法
- 欧拉函数与欧拉定理
- 费马小定理与扩展欧几里得算法
6. 数论问题的应用：
- 同余方程与线性同余方程
- 不定方程的整数解与应用
- 素数分布与素数定理
- 模重复性与周期性问题
注意：本整理的所有内容仅供参考，请勿将其作为官方教材或其他正式场合使用。
初等数论知识点总结
初等数论知识点总结初等数论是数论中的一个分支，它主要研究自然数的整除性质以及其它基本性质。
初等数论主要包括素数与合数、整数表示、整数方程、模运算、同余方程、数乘次幂循环节等内容。
下面将对初等数论的关键知识点进行总结。
1.素数与合数：素数（质数）是只能被1和自身整除的自然数，合数是除了1和自身以外还能被其它数整除的自然数。
质数有无穷多个，这个结论由欧几里得证明。
常见的质数有2、3、5、7等。
2.素因子分解：任何一个自然数都可以唯一分解成若干个素数的乘积形式，这个分解过程称为素因子分解。
例如，24可以分解为2^3*3，其中2和3是24的素因子。
3.最大公约数与最小公倍数：最大公约数（GCD）是指两个或多个数中最大的能够整除所有这些数的自然数，最小公倍数（LCM）是指两个或多个数中最小的能够被这些数整除的自然数。
GCD可以通过欧几里得算法进行计算，而LCM可以通过两个数的乘积除以它们的GCD得到。
4.模运算与同余方程：模运算是将一个数除以另一个数所得到的余数，同余方程是指具有相同余数的整数关系。
例如，如果a除以n与b除以n得到相同的余数，即a≡b (mod n)，则称a与b在模n下是同余的。
5.素数定理与欧拉定理：素数定理是指当自然数x趋于无穷大时，小于等于x的素数的数量约等于x / ln(x)，其中ln(x)是自然对数。
欧拉定理是指当正整数a与自然数n互质时，a^(φ(n)) ≡ 1 (mod n)，其中φ(n)是小于n且与n互质的自然数的个数。
6.立方与四方数：立方数是指一个数的立方，四方数是指一个数可以表示为四个整数的平方和。
高斯数学说是指四方数的性质，它由高斯证明，表示为四个整数的平方和的非负整数解的个数等于该数的除以8的余数。
7.费马小定理与小费马定理：费马小定理是费马定理的一个特殊情况，它表明如果p是一个素数，a是一个与p互质的整数，那么a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
小费马定理是费马小定理的推广，它表明如果a是一个整数，m是一个大于1的自然数，且a与m互质，那么a^φ(m) ≡ 1 (mod m)，其中φ(m)是小于m且与m 互质的自然数的个数。
高考数学应试技巧之初等数论
高考数学应试技巧之初等数论高考数学的初等数论部分主要包括最大公约数与最小公倍数、整除与被整除关系、素数与合数、整数的奇偶性等内容。
初等数论在高考数学中占据一定的比重，因此掌握一些解题技巧对于高考数学的取得好成绩至关重要。
以下是高考数学初等数论的一些应试技巧。
一、掌握数的性质和性质之间的关系1.整数的性质：-整除关系：如果整数a除尽整数b，则称a整除b，记为a，b。
若a，b，且a≠0，则有a≤b。
-奇偶性：每个整数都可以被2整除，若一个整数能被2整除，称其为偶数，否则称其为奇数。
偶数可以写成2k（k为整数），奇数可以写成2k±1（k为整数）。
-质数与合数：大于1的整数，如果只有1和它本身两个约数，称为质数，否则称为合数。
2.最大公约数和最小公倍数的性质：-最大公约数：如果两个非零整数a和b具有公共约数d，且d>0，则它们必有一个最大公约数（简称“最大公因数”）。
1）约数的性质：如果a和b的约数d，那么a±b的约数也是d。
2）化简整数短除型：将较大的整数除以较小的整数，用余数表示较大整数，反复做除法，直到得到的商为0，则余数即为最大公约数。
-最小公倍数：两个非零整数a和b的公倍数中，最小的一个称为它们的最小公倍数。
二、熟练运用最大公约数和最小公倍数的性质1.求最大公约数的常用方法：-使用辗转相除法：若a，b是两个正整数，且a>b，则有a和b的最大公约数等于a除以b的余数r和b的最大公约数。
-使用求最大公约数的化简整数短除法。
2.求最小公倍数的常用方法：-使用最大公约数和最小公倍数的关系：设a和b是两个正整数，则它们的最小公倍数等于a和b的乘积除以它们的最大公约数。
三、奇偶性的应用1.奇偶性的运算规律：-偶数与偶数相加、相减仍为偶数。
-奇数与奇数相加、相减仍为偶数。
-偶数与奇数相加、相减为奇数。
-偶数与任何数相乘、相除仍为偶数。
-奇数与奇数相乘、相除为奇数。
2.奇偶性的应用题：-判断奇偶性：可以通过根据奇偶性的运算规律，根据题目给出的条件判断结果的奇偶性。
初等数论知识点汇总高中数学
第一节 整数的p 进位制及其应用正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。
进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国内与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。
在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。
基础知识 给定一个m 位的正整数A ，其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m --，则此数可以简记为：021a a a A m m --=（其中01≠-m a ）。
由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A 可以表示成10的1-m 次多项式，即012211101010a a a a A m m m m +⨯++⨯+⨯=---- ，其中1,,2,1},9,,2,1,0{-=∈m i a i 且01≠-m a ，像这种10的多项式表示的数常常简记为10021)(a a a A m m --=。
在我们的日常生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作021aa a A m m --=，以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。
但是随着计算机的普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。
特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进制只使用0与1这两种数学符号，可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。
为了具备一般性，我们给出正整数A 的p 进制表示： 012211a p a p a p a A m m m m +⨯++⨯+⨯=---- ，其中1,,2,1},1,,2,1,0{-=-∈m i p a i 且01≠-m a 。
而m 仍然为十进制数字，简记为p m m a a a A )(021 --=。
高中数学中的初等数论概览
高中数学中的初等数论概览初等数论是数学中的一个分支，主要研究自然数的性质和关系。
它是数学中最古老的领域之一，早在古希腊时期就有人开始研究数论。
数论的研究对象是整数，而初等数论则专注于整数的基本性质和关系，涉及到的内容包括素数、最大公约数、同余等。
本文将对高中数学中的初等数论进行概览。
一、素数与合数素数是指大于1且只能被1和自身整除的整数。
例如，2、3、5、7、11等都是素数。
而能够被其他数整除的整数则被称为合数。
素数与合数是数论中最基本的概念之一。
素数的性质非常有趣且重要。
首先，任何一个大于1的整数都可以唯一地表示为若干个素数的乘积。
这就是著名的素因数分解定理。
其次，素数的个数是无穷的，这是欧几里得在公元前300年左右证明的。
这个证明被称为欧几里得的无穷素数定理。
在初等数论中，还有一个与素数相关的重要概念是互质。
两个整数a和b称为互质，如果它们的最大公约数是1。
例如，4和9是互质的，而6和9不是互质的。
互质的性质在数论中有着广泛的应用，例如在同余方程中。
二、最大公约数与最小公倍数最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）是指两个或多个整数中最大的能够整除它们的数。
最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）则是指两个或多个整数中最小的能够被它们整除的数。
最大公约数和最小公倍数在初等数论中有着重要的地位。
它们的计算方法有多种，例如质因数分解法、辗转相除法等。
最大公约数和最小公倍数在解决整数的分数化简、求解同余方程等问题时经常会用到。
三、同余与模运算同余是数论中一个重要的概念，它描述了两个整数在除以同一个数后的余数相等的情况。
例如，对于任意整数a和正整数m，如果a除以m的余数与b除以m的余数相等，即a ≡ b (mod m)，则称a与b对模m同余。
同余关系在初等数论中有着广泛的应用，例如在计算两个整数的幂时，可以利用同余关系简化计算。
此外，同余关系还与模运算密切相关。
初等数论完整资料整合。
第一章考点1、会求最大公因数与最小公倍数解法：最大公因数用辗转相除法最小公倍数为两个数的乘积除以两者的最大公约数，所以也是要先求出两者的最大公约数2、判别一个数是为质数还是合数判别法：用小于√x的所有质数除此数，看能否被整除3、证明整除（最好用同余证）例1证：73|8n+2+92n+1（n∈N）解：法一 8n+2+92n+1=64×8n+9×81n=64×8n+9×（73+8）n=64×8n+9×（C0n73n+C1n73n-1×8+…+C n n8n）=64×8n+9(73q+8n)( q∈Z)=73×8n+9q×73所以73|8n+2+92n+1法二 8n+2+92n+1≡64×8n+9×81n≡64×8n+9×8n≡73×8n≡0（mod73）所以73|8n+2+92n+1例2已知17|2x+3y,证明17|9x+5y解：因为9x+5y=17（x+y）- 4(2x+3y) 且17|2x+3y所以17|9x+5y例3设k为正奇数，证：1+2+3+....+9|1k+2k+3k+ (9)证：记S=1k+2k+3k+ (9)则2S=（1k+9k）+（2k+8k）+…+（9k+1k）=（1+9）q1 （q1∈Z)所以10|2S又因为2S=（0k+9k）+（1k+8k）+…+(9k+0k)=（0+9）q2（q2∈Z）所以9|2S又因为（9,10）=1所以90|2S 即45|S从而1+2+3+....+9|1k+2k+3k+ (9)4、证明某种类型的质数有无穷多个例：证明4n+1形的质数的个数为无穷。
（最后一节课讲的）第三章同余考点：1、同余的性质；（应用在同余解题中）P482、简化剩余系和欧拉函数；（求简化剩余系的个数）P583、欧拉定理和费马定理对循环小数的应用；（利用欧拉定理解题；判断是纯循环还是混循环，若是混循环，从第几位开始）P61具体分析：一、同余的性质1、a≡a (mod m)2、若a≡b (mod m),则b≡a (mod m)3、若a≡b (mod m) b≡c (mod m) 则 a≡c (mod m)4、i.若a1≡b1 (mod m) a2≡b2 (mod m) 则 a1+a2≡b1+b2 (mod m)ii. a+b≡c (mod m) 则 a≡c-b (mod m)5、a1≡b1 (mod m) a2≡b2 (mod m) 则 a1a2≡b1b2 (mod m)特别的，若a≡b (mod m) 则 ak≡bk (mod m)6、若a≡b (mod m) 且a=a1d b=b1d (d,m)=1 则 a1≡b1 (modm)7、i.若a≡b (mod m) k>0 则 ak≡bk （mod mk）ii.若a≡b (mod m) d为a,b及m的任一正公因数，则a/d≡b/d (mod m/d)8、若a≡b (mod m) i=1、2…k 则a≡b(mod m1m2…m k)例：一个小于4000的四位数，被3、4、5、7、9除皆余2，求这个数。
高一数学公式知识点大全
高一数学公式知识点大全一、初等数论公式：1. 两个整数的乘积等于它们的最大公约数与最小公倍数的积：a *b = gcd(a, b) * lcm(a, b)2. 费马小定理：如果 p 是一个质数，a 是任意整数且 a 不是 p 的倍数，那么：a^(p-1) ≡ 1 (mod p)3. 埃拉托斯特尼筛法：利用筛法可以快速求解小于等于 n 的所有质数。
首先创建一个长度为 n+1 的布尔数组，然后将数组中的所有元素初始化为 true。
从 2 开始，如果该数为质数，则将其所有倍数标记为非质数。
最后，遍历布尔数组，所有仍然标记为 true 的数字即为质数。
二、代数公式：1. 二次方程求根公式：对于 ax^2 + bx + c = 0，其求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)2. 二次根式的乘法公式：(√a + √b)(√a - √b) = a - b3. 二次根式的加减法公式：(√a ± √b)^2 = a± 2√ab + b4. 二项式的展开公式：(a + b)^n = C(n, 0)a^n b^0 + C(n, 1)a^(n-1) b^1 + C(n, 2)a^(n-2) b^2 + ... + C(n, n-1)a b^(n-1) + C(n, n)a^0 b^n其中，C(n, k) 表示从 n 个元素中选取 k 个元素的组合数。
三、三角函数公式：1. 三角函数的和差化简公式：sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y)cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sin(x)sin(y)tan(x ± y) = (tan(x) ± tan(y)) / (1 ∓ tan(x)tan(y))2. 三角函数的平方和差化简公式：sin^2(x) + cos^2(x) = 1sin^2(x) - cos^2(x) = sin(2x)cos^2(x) - sin^2(x) = cos(2x)3. 三角函数的倍角化简公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x) tan(2x) = (2tan(x)) / (1 - tan^2(x))四、几何公式：1. 圆的面积公式：S = πr^22. 球的体积公式：V = (4/3)πr^33. 直角三角形的勾股定理：a^2 + b^2 = c^2其中，c 表示直角边长，a 和 b 表示另外两个边长。
初等数论知识点总结
《初等数论》总结姓名 xxx学号 xxxxxxxx院系 xxxxxxxxxxxxxxx专业 xxxxxxxxxxxxxxx个人感想初等数论是一门古老的学科，它对于数的性质以及方程整数的解做了深入的研究，是对中等数学数的理论的继续和提高。
有时候上课听老师讲解一些例题，觉得比较简单，结果便是懂非懂地草草了之，但是过段时间做老师留下的一些相似的课后练习时，又毫无头绪，无从下手。
这就是上课的时候没做到全神贯注地去听，所以课下的时间尤为重要，一定做好复习巩固的工作。
老师讲课的方法也十分好，每次上课都会花二十分钟到半个小时来对上节课的知识帮助我们进行回顾，我想很多同学都喜欢并适合这种教学方式。
知识点总结第一章整数的可除性1.2性质：(1)传递性质)；(2)闭。
若反复运用这一性质，易则对于任意的整更一般，(3)若p 是质数，若n a p |，则a p |；(6)(带余数除法)设b a ,为整数，0>b ，则存在整数q 和r ，使得r bq a +=，其中b r <≤0，并且q 和r 由上述条件唯一确定；整数q 被称为a 被b 除得的(不完全)商，数r 称为a 被b 除得的余数。
注意：r 共有b 种可能的取值：0,1，……，1-b 。
若0=r ，即为a 被b 整除的情形；易知，带余除法中的商实际上为⎥⎦⎤⎢⎣⎡b a （不超过b a 的最大整数），而带余除法的核心是关于余数r 的不等式：b r <≤0。
证明a b |的基本手法是将a 分解为b 与一个整数之积，在较为初级的问题中，这种数的分解常通过在一些代数式的分解中取特殊值而产生若n 是正整数，则))((1221----++++-=-n n n n n n y xy y x x y x y x Λ；若n 是正奇数，则))((1221----+-+-+=+n n n n n n y xy y x x y x y x Λ；（在上式中用y -代y ）(7)如果在等式∑∑===mk k ni i b a 11中取去某一项外，其余各项均为c 的倍数，则这一项也是c 的倍数；(8)个连续整数中，有且只有一个是n 的倍数；(9)任何n 个连续的整数之积一定是n!的倍数，特别地，三个连续的正整数之积能被6整除；第二章 不定方程1. 定义：二元一次不定方程的一般形式是ax +by = c ，其中a ,b ,c 是整数2. 定理：(1) 不定方程有整数解的充要条件为 (a,b) | c. (2) 设是方程的一组解，则不定方程有无穷解，其一切解可表示成⎩⎨⎧+=-=t a yy t b x x 1010 Λ,2,1,0±±=t 其中),(,),(11b a b b b a a a ==3. 不定方程的解法：（1）观察法：当a,b 的绝对值较小时可直接观察不定方程的一组特解，然后用⎩⎨⎧+=-=ta y y tb x x 1010得到其所有解（2）公式法：当a,b 的绝对值较小时，可用公式211021110,,1,0,,1----+===+===k k k k k k k k P Q q Q Q Q P P q P q P P 得到特解n n n n P y Q x )1(,)1(010-=-=-，然后用公式写出一切解。
初等数论知识点
初等数论知识点数论是一门数学分支，主要研究整数（和实数）的性质和相互关系，以及它们的数学结构。
在数论中，初等数论是一门基础学科。
它主要探讨正整数的基本性质、算术运算规则、因数分解、最大公约数和最小公倍数等知识点的理论和应用。
本文将对初等数论的常见知识点进行详细介绍。
一、质数与合数任何一个大于1的自然数，如果它的因数除了1和它本身外，再没有其他因数，那么称这个数是质数。
否则，这个数就是合数。
例如，2、3、5、7、11、13等等，都是质数。
而4、6、8、9、10等等，都是合数。
在初等数论中，质数是一个非常重要的概念。
以下是一些质数的基本性质和定理：（1）2是最小的质数，它是唯一的偶质数。
（2）除2以外的任何偶数都是合数。
（3）如果一个整数p>1不能被2到√p之间的任何整数整除，那么它一定是质数。
（4）如果一个数是质数，则它不能表示成两个较小的正整数相乘。
（5）如果p是质数，且a、b是任意两个整数，那么a^p-b^p可以因式分解成(a-b)和另外一个整数的积。
（6）费马小定理：如果p是质数，a是任意整数且p不整除a，那么a^(p-1)除以p的余数为1。
以上定理在证明和应用上都非常重要，其中费马小定理还有广泛的应用，例如用于RSA加密算法中。
二、因数分解因数分解是指将一个正整数分解成若干个质数乘积的形式。
例如，24可以分解成2^3 * 3，而30可以分解成2 * 3 * 5。
因数分解在初等数论和高等数学中都是非常常见的操作，因为它在求解最大公约数、最小公倍数等问题时非常关键。
以下是一些因数分解的常见方法和技巧：（1）试除法：从小到大枚举质数，依次判断是否为该数的因数，如果是，则将该因数除掉，继续枚举，直到该数变成1为止。
（2）质因数分解法：先将一个数的因子分解成若干个质数的乘积，然后将质数按照大小递增的顺序尝试分解该数，最终得到因子分解式。
（3）辗转相除法：用较小的数去除较大的数，得到商和余数，然后用余数去除已经得到的商，继续得到商和余数，重复上述操作，直到余数为0为止。
初等数论知识点
初等数论知识点数论是数学的一个重要分支，而初等数论则是数论中较为基础的部分，它主要研究整数的性质和相互关系。
下面让我们一起来了解一些初等数论的重要知识点。
一、整除整除是初等数论中的一个核心概念。
如果整数 a 除以整数 b（b≠0），商是整数且没有余数，我们就说 a 能被 b 整除，记作 b ｜ a。
例如，15÷3 ＝ 5，没有余数，所以 3 ｜ 15。
整除具有一些基本的性质：1、如果 a ｜ b 且 b ｜ c，那么 a ｜ c。
2、如果 a ｜ b 且 a ｜ c，那么对于任意整数 m、n，有 a ｜（mb＋ nc)。
二、素数与合数素数（质数）是指一个大于 1 的整数，除了 1 和它自身外，不能被其他正整数整除。
例如 2、3、5、7 等都是素数。
合数则是指除了能被 1 和本身整除外，还能被其他数（0 除外）整除的自然数。
比如 4、6、8、9 等。
素数具有重要的地位，有一个著名的定理叫做“算术基本定理”，它指出任何一个大于 1 的整数都可以唯一地分解成素数的乘积。
三、最大公因数与最小公倍数两个或多个整数共有的因数中最大的一个，称为它们的最大公因数，记作（a, b)。
例如，12 和 18 的公因数有 1、2、3、6，其中最大的是 6，所以（12, 18) ＝ 6。
两个或多个整数共有的倍数中最小的一个，称为它们的最小公倍数，记作 a, b。
对于 12 和 18，它们的公倍数有 36、72 等，其中最小的是 36，所以 12, 18 ＝ 36。
求最大公因数和最小公倍数可以使用质因数分解法或辗转相除法。
四、同余同余是指两个整数 a 和 b 除以正整数 m 所得的余数相同，就说 a 和b 对模 m 同余，记作a ≡ b （mod m)。
同余有很多性质，比如如果a ≡ b （mod m)，c ≡ d （mod m)，那么a ＋c ≡b ＋ d （mod m)，ac ≡ bd （mod m)，ac ≡ bd （mod m)等。
【高考自主招生】高中数学复习专题讲义：第17讲 简单的初等数论
第十七讲简单的初等数论一、 知识总结1. 高斯函数问题 设x 是实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，称为x 的整数部分，即[]x 是一个整数且满足[][]1x x x ≤<+。
例如：[]2.22=，[]44=，[]2.23-=-，[]66-=-。
记{}[]x x x =-，称为x 的小数部分。
高斯函数的主要性质性质1：对任意的x R ∈，均有[][]11x x x x -<≤<+；性质2：对任意的x R ∈，函数{}y x =的值域为[)0,1；性质3：若12x x ≤，则[][]12x x ≤；性质4：若n Z ∈，x R ∈，则有[][]x n n x +=+，{}{}n x x +=；后一式子表明{}y x =是一个以1为周期的函数。
性质5：若x 、y R ∈，则[][][][][]1x y x y x y +≤+≤++；性质6：若*n N ∈，x R ∈，则[][]nx n x ≥； 性质7：若*n N ∈，x R +∈，则在区间[]1,x 内，恰有x n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个整数是n 的倍数； 性质8：设p 为质数，*n N ∈，则p 在!n 的质因数分解式中的幂次为2(!)n n p n p p ⎡⎤⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
2. 带余除法：对于任意整数a ，b （0b ≠），存在唯一的一对整数q 、r ，使得a qb r =+，0r b ≤<，其中q 和r 分别称为b 除a 的商和余数。
3. 裴蜀定理（Bezout theorem ）：若a ，b 是整数，且(,)a b d =，那么对于任意的整数x 、y ，ax by +都一定是d 的倍数。
特别地，一定存在整数x 、y ，使ax by d +=成立。
推论：a ，b 互质的充要条件是存在x 、y ，使1ax by +=。
n 个整数的裴蜀定理：设1a ，2a ，，n a 是不全为零的整数，d 是它们的最大公约数， 那么存在整数1x ，2x ，，n x ，使得1122n n a x a x a x d +++=，即（1a ，2a ，，n a ）|d 。
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第一节 整数的p 进位制及其应用正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。
进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国内与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。
在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。
基础知识给定一个m 位的正整数A ，其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m ，则此数可以简记为：021a a a A m m （其中01 m a ）。
由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A 可以表示成10的1 m 次多项式，即012211101010a a a a A m m m m ，其中1,,2,1},9,,2,1,0{ m i a i 且01 m a ，像这种10的多项式表示的数常常简记为10021)(a a a A m m 。
在我们的日常生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作021a a a A m m ，以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。
但是随着计算机的普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。
特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进制只使用0与1这两种数学符号，可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。
为了具备一般性，我们给出正整数A 的p 进制表示：012211a p a p a p a A m m m m ，其中1,,2,1},1,,2,1,0{ m i p a i 且01 m a 。
而m 仍然为十进制数字，简记为p m m a a a A )(021 。
第二节 整数的性质及其应用（1）基础知识整数的性质有很多，这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性，质数与合数、完全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。
1．整除的概念及其性质在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。
定义：设b a ,是给定的数，0 b ，若存在整数c ，使得bc a 则称b 整除a ，记作a b |，并称b 是a 的一个约数(因子)，称a 是b 的一个倍数，如果不存在上述c ，则称b 不能整除a 记作b a 。
由整除的定义，容易推出以下性质：(1)若c b |且a c |，则a b |(传递性质)；(2)若a b |且c b |，则)(|c a b 即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。
若反复运用这一性质，易知a b |及c b |，则对于任意的整数v u ,有)(|cv au b 。
更一般，若n a a a ,,,21 都是b 的倍数，则)(|21n a a a b 。
或着i b a |，则 ni i i b c a 1|其中n i Z c i ,,2,1, ；(3)若a b |，则或者0 a ，或者||||b a ，因此若a b |且b a |，则b a ； (4)b a ,互质，若c b c a |,|，则c ab |；(5)p 是质数，若n a a a p 21|，则p 能整除n a a a ,,,21 中的某一个；特别地，若p 是质数，若na p |，则a p |；(6)(带余除法)设b a ,为整数，0 b ，则存在整数q 和r ，使得r bq a ，其中b r 0，并且q 和r 由上述条件唯一确定；整数q 被称为a 被b 除得的(不完全)商，数r 称为a 被b 除得的余数。
注意：r 共有b 种可能的取值：0,1，……，1 b 。
若0 r ，即为a 被b 整除的情形；易知，带余除法中的商实际上为b a （不超过b a的最大整数），而带余除法的核心是关于余数r 的不等式：b r 0。
证明a b |的基本手法是将a 分解为b 与一个整数之积，在较为初级的问题中，这种数的分解常通过在一些代数式的分解中取特殊值而产生，下面两个分解式在这类论证中应用很多，见例1、例2。
若n 是正整数，则))((1221n n n n nny xy y x xy x y x ；若n 是正奇数，则))((1221n n n n nny xy y x xy x y x ；（在上式中用y代y ）(7)如果在等式mk kn i iba 11中取去某一项外，其余各项均为c 的倍数，则这一项也是c 的倍数；(8)n 个连续整数中，有且只有一个是n 的倍数；(9)任何n 个连续的整数之积一定是n!的倍数，特别地，三个连续的正整数之积能被6整除；2．奇数、偶数有如下性质：(1)奇数 奇数=偶数，偶数 偶数＝偶数，奇数 偶数＝奇数，偶数 偶数＝偶数，奇数偶数＝偶数，奇数 奇数＝奇数；即任意多个偶数的和、差、积仍为偶数，奇数个奇数的和、差仍为奇数，偶数个奇数的和、差为偶数，奇数与偶数的和为奇数，和为偶数；（2）奇数的平方都可以表示成18 m 的形式，偶数的平方可以表示为m 8或48 m 的形式； （3）任何一个正整数n ，都可以写成l n m 2 的形式，其中m 为负整数，l 为奇数。
（4）若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；若有限个整数之积为偶数，则这些整数中至少有一个是偶数；两个整数的和与差具有相同的奇偶性；偶数的平方根若是整数，它必为偶数。
3．完全平方数及其性质能表示为某整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。
平方数有以下性质与结论： （1）平方数的个位数字只可能是0,1，4,5，6,9；（2）偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只有可能是0或1；（3）奇数平方的十位数字是偶数；（4）十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6；（5）不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整数的数的平方能被3整除。
因而，平方数被9也合乎的余数为0,1，4,7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能是0,1，4,7；（6）平方数的约数的个数为奇数；（7）任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数。
（8）设正整数b a ,之积是一个正整数的k 次方幂（2 k ），若（b a ,）＝1，则b a ,都是整数的k 次方幂。
一般地，设正整数c b a ,,, 之积是一个正整数的k 次方幂（2 k ），若c b a ,,, 两两互素，则c b a ,,, 都是正整数的k 次方幂。
4．整数的尾数及其性质整数a 的个位数也称为整数a 的尾数，并记为)(a G 。
)(a G 也称为尾数函数，尾数函数具有以下性质：（1） ))((a G G )(a G ；（2）)(21n a a a G ＝)]()()([21n a G a G a G G ； （3） )(21n a a a G )]()()([21n a G a G a G G ；（4）0)10( a G ；)()10(b G b a G ；（5）若c b a 10 ，则)()(b G a G ；（6） N k a a G a G k,),()(44；（7） N r k a r k a G aG r rk ,,,40,0),()(4；（8）同为奇数时当同时为偶数时为奇数或为偶数，当是偶数为奇数，当212121421,),(,),(),()(121b b a G b b b b a G b b a G aG b b nb b5．整数整除性的一些数码特征（即常见结论）（1）若一个整数的未位数字能被2（或5）整除，则这个数能被2（或5）整除，否则不能； （2）一个整数的数码之和能被3（或9）整除，则这个数能被3（或9）整除，否则不能； （3）若一个整数的未两位数字能被4（或25）整除，则这个数能被4（或25）整除，否则不能；（4）若一个整数的未三位数字能被8（或125）整除，则这个数能被8（或125）整除，否则不能； （5）若一个整数的奇位上的数码之和与偶位上的数码之和的差是11的倍数，则这个数能被11整除，否则不能。
6．质数与合数及其性质 1．正整数分为三类：（1）单位数1；（2）质数（素数）：一个大于1的正整数，如果它的因数只有1和它本身，则称为质（素）数；（3）如果一个自然数包含有大于1而小于其本身的因子，则称这个自然数为合数。
2．有关质（素）数的一些性质 （1）若1, a Z a ，则a 的除1以外的最小正因数q 是一个质（素）数。
如果a q ，则a q ；（2）若p 是质（素）数，a 为任一整数，则必有a p |或（p a ,）＝1；（3）设n a a a ,,,21 为n 个整数，p 为质（素）数，且n a a a p 21|，则p 必整除某个i a （n i 1）； （4）（算术基本定理）任何一个大于1的正整数a ，能唯一地表示成质（素）因数的乘积（不计较因数的排列顺序）；（5）任何大于1的整数a 能唯一地写成k i p p p a k a k aa ,,,2,1,2121 ①的形式，其中i p 为质（素）数（)(j i p p j i ）。
上式叫做整数a 的标准分解式； （6）若a 的标准分解式为①，a 的正因数的个数记为)(a f ，则)1()1)(1()(21 k a a a a f 。
第三节 整数的性质及其应用（2）基础知识最大公约数与最小公倍数是数论中的一个重要的概念，这里我们主要讨论两个整数互素、最大公约数、最小公倍数等基本概念与性质。
定义1.（最大公约数）设不全为零，同时整除的整数（如）称为它们的公约数。
因为不全为零，故只有有限多个，我们将其中最大一个称为的最大公约数，用符号（）表示。
显然，最大公约数是一个正整数。
当（）＝1（即的公约数只有）时，我们称与互素（互质）。
这是数论中的非常重要的一个概念。
同样，如果对于多个（不全为零）的整数，可类似地定义它们的最大公约数（）。
若（）＝1，则称互素。
请注意，此时不能推出两两互素；但反过来，若（）两两互素，则显然有（）＝1。
由最大公约数的定义，我们不难得出最大公约数的一些简单性质：例如任意改变的符号，不改变（）的值，即；（）可以交换，（）＝（）；（）作为的函数，以为周期，即对于任意的实数，有（）＝（）等等。
为了更详细地介绍最大公约数，我们给出一些常用的一些性质： （1）设是不全为0的整数，则存在整数，使得；（2）（裴蜀定理）两个整数互素的充要条件是存在整数，使得；事实上，条件的必要性是性质（1）的一个特例。
反过来，若有使等式成立，不妨设，则，故及，于是，即，从而。
（3）若，则，即的任何一个公约数都是它们的最大公约数的约数； （4）若，则；（5）若，则，因此两个不互素的整数，可以自然地产生一对互素的整数； （6）若，则，也就是说，与一个固定整数互素的整数集关于乘法封闭。