初三数学二次函数经典练习含答案

《二次函数》同步练习（一）
一、填空题（共40小题，每小题2分，满分80分）
1. （2分）（2009?北京）若把代数式x2- 2x - 3化为（x - m）2+k的形式，其中m, k为常数，贝H m+k= _________ .
2. （2分）（2009?安徽）已知二次函数的图象经过原点及点（- 丄，-丄），且图象与x轴的
2 |4
另一交点到原点的距离为1，求该二次函数的解析式.
3. ____________________________________ （2分）（2012?新疆）当x= 时，二次函数
y=x2+2x - 2有最小值.
2
4. ________________________________________________________________ （2分）（2006?衡阳）抛物线y= （x- 1）+3的顶点坐标为__________________________ .
5. （2分）（2009?上海）将抛物线y=x2-2向上平移一个单位后，得以新的抛物线，那么新
的抛物线的表达式是_______________ .
2
6. （2分）（2006?宜宾）已知二次函数y=ax +bx+c的图象与x轴交于点（-2, 0）, （X1, 0）, 且1< xy 2,与y轴正半轴的交点在（0, 2）的下方，下列结论：①a v b v 0;②2a+c> 0;
③4a+c< 0;④2a- b+1 > 0.其中正确的结论是 __________________ （填写序号）
7. ______________________________________________________________________ （2分）（2009?荆门）函数y= （ x - 2）（3 - x）取得最大值时，x= _________________ .
9. （2分）（2009?黔东南州）二次函数y=x2-2x - 3的图象关于原点0（0, 0）对称的图象的解析式是 _ _ .
10. （2分）已知二次函数____________ _-^K2+2K,当x 时，y随x的增大而增大.
2
11.
（2分）（2009?襄阳）抛物线y= - x +bx+c的图象如图所示，则此抛物线的解析式为—
12. （2分）（2009?娄底）如图, O O的半径为2, C1是函数y千X2的图象, C2是函数y二「毀的图象，则阴影部分的面积是------------------
2
13. （2分）（2012?西青区二模）二次函数y=ax +bx+c的图象如图所示，给出下列说法：
2
①ab v 0;②方程ax +bx+c=0的根为x仁-1, x2=3;③a+b+c> 0;④当x> 1时，y随x 值的增大而增大；
⑤当y >0 时，—1 v x v3.
（请写出所有正确说法的序号）
14. （2分）（2009?临夏州）抛物线y= - x2+bx+c的部分图象如图所示，请写出与其关系式, 图象相关的2个正确结论：___________________
（对称轴方程，图象与x正半轴，y轴交点坐标例外）.
2
15. （2分）（2009?鄂州）把抛物线y=ax +bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移2 个单位，所得的图象的解析式是y=x2- 3x+5，贝U a+b+c= ____________ .
16. （2分）（2009?包头）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 ______________________ cm2.
17. （2分）（2009?黄石）若抛物线y=ax2+bx+3与y= - x2+3x+2的两交点关于原点对称，则a、b 分别为—、.
18. （2分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出
20件，每件盈利40元.为了扩大 销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施•经调查发现：如果每件衬 衫降价1元，商场平均每天可多售出
2件•则商场降价后每天盈利 y （元）与降价x （元）
的函数关系式为 — _ . 19.
（2分）（2009?莆田）出售某种文具盒，若每个获利
x 元，一天可售出（6 - x ）个，则 当x= ____________ 元时，一天出售该种文具盒的总利润
y 最大.
2 20. （2分）（2009?湖州）已知抛物线 y=ax 2+bx+c （a > 0）的对称轴为直线 x=2，且经过点 （-1
, y i ） , （ 3, y 2）,试比较 y i 和 y 2 的大小：y i ________________ y 2.（填 > ”，或=”）
21. （2分）（2009?咸宁）已知A 、B 是抛物线y=x 2 - 4x+3上位置不同的两点，且关于抛物 线的对称轴对称，则点 A 、B 的坐标可能是 _________________ （写出一对即可）.
22. （2分）（2009?本溪）如图所示，抛物线 y=ax 2+bx+c （a 旳）与x 轴的两个交点分别为 A
象上，若△ A 0B 1A 1, △ A 1B 2A 2 , △ A 2B 3A 3,…，△ A 2007B 2008A 2008 都为等边三角形，请计 算△ A 0B 1A 1 的边长= ______________ ； △ A 1 B 2A 2 的边长= ___________ ； △ A 2007B 2008A 2008
的边长= ____________ .
24. （2分）（2010?宣武区一模）如图，在第一象限内作与 x 轴的夹角为30。

的射线OC ,在 射线
23. （2分）（2009?兰州）二次函数
工2 y 〒
的图象如图所示，点 A 0位于坐标原点，A 1, A 2, A 3,…，A 2008在y 轴的正半轴上,
B 1, B 2, B 3,…，B 2008 在二次函数 y 和2第一象限的图 当y v 0时，x 的取值范围是
OC上取一点A，过点A作AH丄x轴于点H .在抛物线y=x2（x > 0）上取一点P,在
y轴上取一点Q,使得以P, O, Q为顶点的三角形与△ AOH全等，则符合条件的点A的坐标是
________________ .
25. （2分）已知抛物线y=x2 - 3x - 4，则它与x轴的交点坐标是_ _
26. ________________________________________________________ （2分）抛物线y=2x2- 5x+3与坐标轴的交点共有__________________________________________ 个.
27. （2分）抛物线y= - 2x2- 4x+3的顶点坐标是_ _ ;抛物线y= - 2x2+8x - 1的
顶点坐标为_______________ .
28. （2分）（2005?四川）用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长x （m）与面积y （m2）满足函数关系y= -（x - 12）2+144 （O v x v 24）,则该矩形面积的最大值为—2
__________ m .
2
29. （2分）根据y=ax +bx+c的图象，思考下面五个结论①c v 0；②abc>0;③a- b+c> 0;
④2a- 3b=0;⑤c - 4b> 0.正确的结论有 ___________________ .
30. （2分）请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式_ _ ,①过点（3, 1）;
②当x>0时，y随x的增大而减小；③当自变量的值为2时，函数值小于2.
2
31. （2分）（2008?山
西）二次函数y=x +2x - 3的图象的对称轴是直线_ _ .
32. ___________________________________________________________________ （2分）（2010?南昌模拟）二次函数y=2x2-4x- 1的最小值是____________________________ .
2
33. （2分）（2012?鞍山三模）函数y=ax -（a- 3）x+1的图象与x轴只有一个交点，那么a的值和交点坐标分别为__________________ .
35. （2分）将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，在向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是_ _ .
36. （2分）（2008?南昌）将抛物线y= - 3x2向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是
37. （2分）用铝合金型材做一个形状如图（1 ）所示的矩形窗框，设窗框的一边为xm，窗户的透光面积为ym2, y与x的函数图象如图（2）所示.观察图象，当x= _________________________ 时, 窗户透光面积最大.
38. （2分）（2007?呼伦贝尔）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点（- 1, 2）和点（1, 0）,且与y轴交于负半轴，给出下面四个结论：①abc v0;②2a+b>0;
③ ______________________________________________________ a+c=1;④b2- 4ac> 0.其中正确结论的序号是_______________________________________________ .（请将自己认为正确结论
的序号都填上）
39. ___________________________ （2分）（2011?宝安区三模）二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点（- 1, 2）和（1,0）,且与y轴相交于负半轴.给出四个结论：
①a>0:②b>0;③c>0； a+b+c=0.其中正确结论的序号是;
40. （2分）如图，△ ABC是直角三角形， / A=90 ° AB=8cm , AC=6cm点P从点A出发，
沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C 运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则三角形APQ的最大
面积是___________ .
二、解答题(共6小题，满分40分)
41. (6分)已知二次函数y=zl^2^--.
(1 )求出抛物线的顶点坐标、对称轴、最小值;
(2)求出抛物线与x轴、y轴交点坐标；
2
42. (6分)(2009?宁波)如图抛物线y=ax - 5ax+4a与x轴相交于点A、B，且过点C ( 5,
4).
(1 )求a的值和该抛物线顶点P的坐标.
(2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式.
2
43. （6分）已知抛物线y - x+bx+c的部分图象如图所示. （1 ）求b、c的值；
）求y的最大值；
（3）写出当y> 0时，x的取值范围.
44. （6分）（2009?黔东南州）凯里市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每
间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种
方法变化下去.
（1）设每间包房收费提高x （元）,则每间包房的收入为y1 （元），但会减少y2间包房租出，请分别写出y1, y2与x之间的函数关系式.
（2）为了投资少而利润大，每间包房提高x （元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y （元），请写出y与x之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大
包房费收入，并说明理由.
45. （6分）（2009?哈尔滨）张大爷要围成一个矩形花圃•花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成•围成的花圃是如图所示的矩形ABCD •设AB边的长为
x米•矩形ABCD的面积为S平方米.
（1 ）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）当x为何值时，S有最大值并求出最大值.
（参考公式：二次函数y=ax2+bx+c （a^0）,当x=-上■时，y最大（小）值———）
2a 血
46. （10分）（2009?包头）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单
价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数y=kx+b，且x=65 时，y=55; x=75 时，y=45.
（1）求一次函数y=kx+b的表达式；
（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围.
《第26章二次函数》2010年同步练习
（一）
参考答案与试题解析
一、填空题（共40小题，每小题2分，满分80分）
1. （ 2分）（2009?北京）若把代数式 x 2- 2x - 3化为（x - m ） 2+k 的形式，其中 m , k 为常 数，贝 U m+k= - 3 .
考点：完全平方公式. 专题：压轴题；配方法.
分析：根据完全平方公式的结构，按照要求
x 2- 2x - 3=x 2 - 2x+1 - 4= （x - 1） 2 - 4,可知
m=1 . k= - 4，贝V m+k= - 3.
解答：解：T x 2- 2x - 3=x 2 - 2x+1 - 4= （ x - 1） 2- 4,
/• m=1 , k= - 4, /• m+k= - 3. 故填-3.
点评：本题主要考查完全平方公式的变形，熟记公式结构是解题的关键•完全平方公式：
（a ±D ） 2=a 2 ±ab+b 2.
•••抛物线的解析式为：y= -丄x 2
+丄x .
2. （ 2分）（2009?安徽）已知二次函数的图象经过原点及点（-
1 ~
，
-書）,且图象与
x 轴的
考点：待定系数法求二次函数解析式.
专题：综合题；压轴题. 分析： 片/
由于点（
不在坐标轴上，与原点的距离为
1的点有两种情况：点（1,
0）和（-1, 0）,所以用待定系数法求解需分两种情况: （1）经过原点及点（
_1
—丄
2
一丄）和点（1, 0）,设 4
y=ax (x+1),可得 y=x 2+x ；
和点（-1 , 0）,设 y=ax （x - 1）,则得 y= x 2+ x .
3 3
解答：解：根据题意得，与x 轴的另一个交点为（1, 0）或（-1, 0）,因此要分两种情况：
（2）经过原点及点（ (1)过点(-1 , 0),设 y=ax (x+1 ), 抛物线的解析式为：y=x 2+x ；
(2)过点(1, 0),设 y=ax (x - 1),则
则
寺匕）T+1）
，解得：a=1,
手（讨）（讨
,解得：a=-g ,
V
3 3
点评：本题主要考查二次函数的解析式的求法.解题的关键解析
利用了待定系数法确定函数的式.
一2
3. （2分）（2012?新疆）当x= - 1 时，二次函数y=x +2x- 2有最小值.
考点：二次函数的最值.
分析：先用配方法把函数化为顶点式的形式，再根据其解析式即可求解.
解答：解：•••二次函数y=x2+2x - 2可化为y= （x+1）2- 3,
2
•当x= - 1时，二次函数y=x +2x - 2有最小值.
点评：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法.
4. （2分）（2006?衡阳）抛物线y= （x- 1）2+3的顶点坐标为（1, 3）.
考点：二次函数的性质.
分析：直接利用顶点式的特点可知顶点坐标.
解答：解：顶点坐标是（1, 3）.
点评：主要考查了求抛物线顶点坐标的方法.
5. （2分）（2009?上海）将抛物线y=x2-2向上平移一个单位后，得以新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是y=x2- 1 .
考点：二次函数图象与几何变换.
分析：根据二次函数图象的平移规律上加下减，左加右减”.
解答：解：由上加下减”的原则可知，将抛物线y=x2-2向上平移一个单位后，得以新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是，y=x2- 2+1，即y=x2- 1.
故答案为：y=x2- 1.
点评：本题比较容易，考查二次函数图象的平移.
6. （2分）（2006?宜宾）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（-2, 0）, （X1, 0）, 且1< X1< 2,与y轴正半轴的交点在（0, 2）的下方，下列结论：①a v b v 0;②2a+c> 0;
③4a+c< 0;④2a- b+1 > 0.其中正确的结论是
①②③④（填写序号）
考点：二次函数图象与系数的关系.
专题：压轴题.
分析：先根据图象与x轴的交点及与y轴的交点情况画出草图，再由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结
论进行判断.
解答：解：•••图象与x轴交于点（-2, 0）, （X1, 0）,与y轴正半轴的交点在（0, 2）的下方• a v 0, c> 0,
又•••图象与x轴交于点（-2, 0）, （X1, 0），且1< x1< 2 ,
•••对称轴在y轴左侧，对称轴为x= —v 0,
2a
• b v 0,
•••图象与x 轴交于点（-2, 0）, （x i , 0）,且1v x i v 2,
•••对称轴二U_v ：二
2 2a 2
•a v b v 0,
由图象可知：当x= - 2时y=0,
•4a- 2b+c=0,
整理得4a+c=2b,
又•/ b v 0,
•4a+c v 0.
■/ 当x= - 2 时，y=4a - 2b+c=0 ,
•2a - b+—=0,
2
而与y轴正半轴的交点在（0, 2）的下方,
• 0v
•2a- b+1 >0,
■/ 0=4a - 2b+c,
•2b=4a+c v 0
而x=1 时，a+b+c> 0,
•6a+3c> 0,
即2a+c> 0,
•正确的有①②③④.
故填空答案：①②③④.
点评：此题主要考查了二次函数的图象与性质，尤其是图象的开口方向，对称轴方程，及于y轴的交点坐标与a, b, c的关系.
7. （2分）（2009?荆门）函数y= （x - 2）（3 - x）取得最大值时，x=^y;
考点：二次函数的最值.
分析：先把二次函数化为一般式或顶点式的形式，再求其最值即可.
解答:解：原二次函数可化为y= - x2+5x - 6= -（x -■ ）2+—，取得最大值时x= --— »
2 14 2a |2点评：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法, 第三种是公式法.
y=x2- 2x - 3的图象关于原点O （ 0, 0）对称的图象9. （2分）（2009?黔东南州）二次函数
的解析式是y= - x2- 2x+3 .
考点：二次函数图象与几何变换. 专题：压轴题.
分析：利用抛物线的性质.
解答：解：可先从抛物线y=x2-2x-3上找三个点（0,- 3）, （1, - 4）, （- 1, 0）.它们关于原点对称的点是（0, 3）, （- 1, 4）, （1, 0）.可设新函数的解析式为
y=ax2+bx+c,
贝U c=3, a- b+c=4 , a+b+c=0 .解得a= - 1, b= - 2, c=3 .故所求解析式为：y= - x2 -2x+3 .
点评：解决本题的关键是得到所求抛物线上的三个点，这三个点是原抛物线上的关于原点对称的点.
考点：二次函数的性质.
专题：计算题.
分析：根据二次函数的对称轴，结合开口方向，可确定二次函数的增减性. 解答：解：由对称轴公式，
二次函数-丄左2+2工的对称轴为x= - ~ =2 ,
22X （-A）
又••• a=-丄v 0,抛物线开口向下，
[2
•••当x v 2时，y随x的增大而增大.
故本题答案为：v 2.
点评：本题考查了二次函数的对称轴，开口方向与函数的增减性的关系，二次函数的增减性以对称轴为分界线，结合开口方向进行判断.
2
11. （2分）（2009?襄阳）抛物线y= - x +bx+c的图象如图所示，则此抛物线的解析式为y=
2
-x +2x+3 .
考点：待定系数法求二次函数解析式.
- 9i-3b+c=0
10. （2分）已知二次函数尸一*/吃盂，当x
v 2
时，y随x的增大而增大.
分析：此图象告诉：函数的对称轴为x=1，且过点（3, 0）;用待定系数法求b, c的值即可. 解答:
解：据题意得
点评：本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法，考查了
数形结合思想.
+的图象，则阴影部分的面积是亠
考点：二次函数的图象. 专题：压轴题.
分析：不规则图形面积通过对称转化为可求的图形面积.
解答：解：由图形观察可知，把 x 轴上边的阴影部分的面积对称到下边就得到一个半圆阴影 面积，则
阴影部分的面积 S 〒•…
]=2 n.
点评：此题主要考查了学生的观察图形与拼图的能力.
2
13. （2分）（2012?西青区二模）二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图所示，给出下列说法： ① ab v 0;②方程ax +bx+c=0的根为x 仁-1, x 2=3;③a+b+c > 0;④当x > 1时，y 随x 值的增大而增大；
⑤当 y >0 时，—1 v x v 3.
考点：抛物线与x 轴的交点；二次函数图象与系数的关系. 专题：压轴题.
分析：①由抛物线的开口方向可以确定
a 的符号，由抛物线对称轴和开口方向可以确定 b
的符号；
2
② 利用图象与x 轴的交点坐标即可确定方程 ax +bx+c=0的根；
③ 当x=1时，y=a+b+c ，结合图象即可判定是否正确； ④ 由图象可以得到抛物线对称轴为
x=1，由此即可确定抛物线的增减性；
⑤ 当y > 0时，图象在x 轴的上方，结合图象也可判定是否正确.
解答：解：①•••抛物线开口方向朝上，••• a >0,又对称轴为x=1 ,••• b v 0,••• ab v 0,故正 确；
12. （2分）（2009?娄底）如图, O O 的半径为2, C 1是函数y 千X 2的图象,
C 2是函数
y=
（请写出所有正确说法的序号）
①②④
2 2
②•••二次函数y=ax +bx+c的图象与x轴交点为（-1, 0）、（3,0） , •方程ax+bx+c=0 的根
为x仁-1, x2=3 ,故正确；
③•••当x=1时，y=a+b+c ,从图象知道当x=1时，y v 0，二a+b+c v 0,故错误；
④•••抛物线的对称轴为x=1 ,开口方向向上，•••当x> 1时，y随x值的增大而增大，故正
确；
⑤•••当y> 0时，图象在x轴的上方，而抛物线与x轴的交点坐标为（-1, 0）、（3,
0） , •当y > 0 时，x v- 1, x> 3,故错误.
故正确的结论有①②④.
点评：由图象找出有关a, b, c的相关信息以及抛物线的交点坐标，会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c , y=a - b+c,然后根据图象判断其值.
2
14. （2分）（2009?临夏州）抛物线y= - x +bx+c的部分图象如图所示，请写出与其关系式，图象相关的2个正确结论：答案不唯一.如：①c=3;②b+c=1 ；③c-3b=9 ；④b=- 2;
⑤抛物线的顶点为（-1, 4）,或二次函数的最大值为4;⑥方程-x2+bx+c=0的两个根为—3, 1 :⑦
y >0 时，—3v x v 1; 或y v0 时，x v - 3 或x> 1; ⑧当x> - 1 时，y 随x 的增大而减小；或当
x v- 1时，y随x的增大而增大.等等
（对称轴方程，图象与x正半轴，y轴交点坐标例外）.
考点：二次函数的性质.
专题：压轴题；开放型.
分析：根据题意，禾U用二次函数的图象和限制随便写两个正确的答案则可. 解答：解：•/ x=0时，y=3代入抛物线解析式，
•- c=3;
当x=1时，y=0代入表达式得b+c=1 ,
所以填c=3和b+c=1 .
点评：本题的答案很多，主要考查学生的散发性思维，比较灵活.
2
15. （2分）（2009?鄂州）把抛物线y=ax +bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移2 个单位，所得的图象的解析式是y=x2- 3x+5，贝U a+b+c= 11 .
考点：二次函数图象与几何变换.
分析：因为抛物线y=ax2+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到图象的解析式是y=x2- 3x+5，所以y=x2- 3x+5向左平移3个单位，再向上平移2个单位后，可得抛物线y=ax2+bx+c的图象，先由y=x2-3x+5的平移求出y=ax2+bx+c的解析式，再求a+b+c=11.
解答:解：T y=x2- 3x+5= （x -弓）2+音，当y=x2- 3x+5向左平移3个单位，再向上平移2
个单位后，可得抛物线y=ax2+bx+c的图象，
3 2 1] 2
y= (X —空+3) + 竺+2=x +3x+7 ;
2 a
.a+b+c=11.
点评：主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减•并用规律求函数解析式.
16. (2分)(2009?包头)将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是12.5 cm 2.
考点：二次函数的应用；二次函数的最值.
专题：压轴题.
分析：根据正方形面积和周长的转化关系正方形的面积—碉长＞周长”列出面积的函数关
16
系式并求得最小值.
解答：解：设一段铁丝的长度为x，另一段为(20 —x),则边长分别为丄X,丄(20 —x),
4 4
贝V S= x2+ (20 —x) ( 20 —x) j (x —10) 2+12.5,
1ST 16| 8
由函数当x=10cm时，S最小，为12.5cm2.
故填：12.5.
点评：本题考查了同学们列函数关系式以及求函数最值的能力.
考点：二次函数图象与几何变换；关于原点对称的点的坐标.
专题：压轴题.
a、b分别为 3
分析：有交点，可让两个抛物线组成方程组.
解答：解：由题意可得，两个函数有交点，则y相等，
则有ax2+bx+3= —x2+3x+2，得：(a+1) x2+ (b —3) x+ 仁0 .
•••两交点关于原点对称，那么两个横坐标的值互为相反数；两个纵坐标的值也互为相反数.
则两根之和为：-*八=0，两根之积为0，
解得b=3，a v- 1.
设两个交点坐标为(X1，y1)，(x2，y2).
这两个根都适合第二个函数解析式，那么y1+y2= -( X12+X22) +3 (X1+X2)+4=0，
•/ X1+X2=0，
2
y1+y2= -( X1+X2) +2x1x2+4=0，
解得X1X2= - 2，
代入两根之积得一=-2，
a+1
解得a=-—
2
2 2
17. (2分)(2009?黄石)若抛物线y=ax2+bx+3与y= —x2+3x+2的两交点关于原点对称，则
故a=-丄，b=3.
2
另法：（若交点关于原点对称，那么在y= - X2+3X+2中，必定自身存在关于原点对称
的两个点，设这两个点横坐标分别为k和-k，直接在y= - X2+3X+2代入k，然后相
加两个式子-k2+3k+2=0与-k2- 3k+2=0，可得出k为±喝，从而直接得到两个点，再待定系数法，将两点代入y=ax2+bx+3，直接可以得出a, b的值.
点评：本题用到的知识点为：两个函数有交点，那么应让这两个函数图象组成方程组，而后根据根与系数的关系求解.
18. （2分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大
销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现：如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件.则商场降价后每天盈利y （元）与降价X（元）
的函数关系式为y= - 2X2+60X+800 .
考点：根据实际问题列二次函数关系式.
分析：商场降价后每天盈利=每件的利润 >卖出的件数=（40-降低的价格）X （20+增加的件数），把相关数值代入即可求解.
解答：解：T每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，
•••每件衬衫降价X元，商场平均每天可多售出2X件，
•••原来每件的利润为40元，现在降价X元，
•现在每件的利润为（40 - X）元，
2
• y= （40 - X）（20+2X）= - 2X +60X+800 .
点评：解决本题的关键是找到销售利润的等量关系，难点是得到降价后增加的销售量.
19. （2分）（2009?莆田）出售某种文具盒，若每个获利X元，一天可售出（6 - X）个，则
当X= 3元时，一天出售该种文具盒的总利润y最大.
考点：二次函数的应用.
专题：压轴题.
分析：先根据题意列出二次函数关系式，再根据求二次函数最值的方法求解即可.
解答：解：由题意可得函数式y= （6 - X）x,
即y= - X +6X,
当X= - '■' = - 一—=3时，y有最大值，
2a - 2
即当X=3元时，一天出售该种文具盒的总利润y最大.
点评：本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，比较简单.
20. （2分）（2009?湖州）已知抛物线y=ax2+bx+c （a> 0）的对称轴为直线X=2，且经过点（-1, y1） , （3, y2）,试比较y1 和y2 的大小：y1__>_y2.（填> ”，N ”或=”）
考点：二次函数图象上点的坐标特征.
专题：压轴题.
分析：根据二次函数图象上点的坐标特征，将点（- 1, y1）, （3, y2）代入抛物线方程，分别求得y1和y2的值，然后比较它们的大小.
解答: 解：•••抛物线y=ax2+bx+c ( a> 0)的对称轴为直线x=2 , ••• 2=-—,
2a
•b= - 4a;
又•••抛物线y=ax2+bx+c (a>0)的图象经过点(-1, y1), (3, y2), •- y1= - a - b+c=3a+c , y2=9a+3b+c= - 3a+c;
而a> 0,
•- - 3a v 0, 3a> 0,
•- 3a+c v 3a+c, 即卩y1 >y2；
故答案是：〉.
点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征.解答该题的关键是根据对称轴方程求得a 与b的数量关系.
21. （2分）（2009?咸宁）已知A、B是抛物线y=x2- 4x+3上位置不同的两点，且关于抛物线的对称轴对称，则点A、B的坐标可能是（1, 0）或（3, 0）（写出一对即可）.
考点：二次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-对称.
专题：开放型.
分析：此题是开放性题目，主要根据抛物线是轴对称图形的性质写出一组关于对称轴对称的点即可，
如最简单的一对点是与x轴的两个交点（1
, 0）与（3, 0）.
解答：解：先找出这条抛物线的对称轴x=2，当y=0时，x=1和3.
•••点A、B的坐标可能是（1 , 0）与（3, 0）.
点评：主要考查了抛物线的对称性和点的坐标的特点•解题的关键是根据解析式得出对称轴，结合函数解析式或图象找出对称的点，最简单的是与x轴的两个交点.
2
22. （2分）（2009?本溪）如图所示，抛物线y=ax +bx+c （a旳）与x轴的两个交点分别为（-1, 0）和B （2, 0）,当y v 0时，x的取值范围是x v- 1或x>2 .
考点：二次函数的图象.
分析：直接从图上可以分析：y v 0时，图象在x轴的下方，共有2部分：一是A的左边，即x v - 1;
二是B的右边，即x >2.
解答：解：观察图象可知，抛物线与x轴两交点为（-1, 0）, （2, 0）,
y v 0，图象在x轴的下方，所以答案是x v- 1或x>2.
点评：考查了二次函数的图象与函数值之间的联系，函数图象所表现的位置与y值对应的关系，典型的数形结合题型.
y==x 2的图象如图所示，点 A o 位于坐标原点，A l , A 2,
A 3,…，A 2008在y 轴的正半轴上，
B 1, B 2, B 3,…，B 2008在二次函数y 72第一象限的图
象上，若△ A O B I A I , △ A 1B 2A 2 , △ A 2B 3A 3,…，△ A 2007B 2008A 2008都为等边三角形，请计 算厶 A 0B 1A 1 的边长= _ ； △ A 1B 2A 2 的边长=2 ；
△ A 2007B 2008A 2008 的边长= 2008
考点：二次函数综合题. 专题：压轴题；规律型.
分析：先计算出△ A 0B 1A 1 ； △ A 1B 2A 2； △ A 2B 3A 2的边长，推理出各边长组成的数列各项之 间
的排列规律，依据规律得到
△ A 2007B 2008A 2008的边长.
解答：解：作B 1A 丄y 轴于A , B 2B 丄y 轴于B , B 3C 丄y 轴于C .
设等边△ A 0B 1A 1、△ A 1B 2A 2、△ A 2B 3A 3 中，AA i =a , BA 2=b , CA 2=c . ① 等边△ A 0B 1A 1 中，A 0A=a , 所以B i A=atan60 =-；：「a ,代入解析式得 a ） 2=a ,解得a=0 （舍去）或a^，于
是等边△ A 0B 1A 1的边长为丄＞2=1; ② 等边△ A 2B 2A 1 中，A i B=b ,
所以BB 2=btan60°=V3b , B 2点坐标为（b ,1+b ）代入解析式得~|x （血b ） 2=1+b ,
J
解得b=（舍去）或b=1 ,
于是等边△ A 2B 1A 1的边长为1 »=2 ; ③ 等边△ A 2B 3A 3 中，A 2C=c ,
于是等边△ A 3B 3A 2的边长为—»=3 . 于是△ A 2007B 2008A 2008 的边长为 2008.
\ J\
\他
<J
\:
\ \
23. （2分）（2009?兰州）二次函数
3+c ）代入解析式得斥c ） 2=3+c ,
c= - 1 （舍去）或c= 解得c= - 1 （舍去）或
c= -■ 所以 CB 3=btan60
B 3
点坐标为（
\ A
% J x
点评：此题将二次函数和等边三角形的性质结合在一起，是一道开放题，有利于培养同学们的探索发现意识.
24. （2分）（2010?宣武区一模）如图，在第一象限内作与x轴的夹角为30。

的射线OC,在射线OC上取一点A，过点A作AH丄x轴于点H .在抛物线y=x2（x > 0）上取一点P,在y轴上取一点Q,使得以P, O, Q为顶点的三角形与△ AOH全等，则符合条件的点A的坐标是（_—,二）或（3,. 一；）或（2 J；, 2）或（厶一，兰）.
3 ~3 3 —3
j 2J
尸X
/
1Af
Q■ Y
H 2
考点：二次函数综合题. 专题：压轴题；分类讨论. 分析：此题应分四种情况考虑：
①/ POQ= / OAH=60 °此时A、P重合，可联立直线OA和抛物线的解析式，即可得A点
坐标；
②/ POQ= / AOH=30 °此时/ POH=60 °即直线OP: y^3x，联立抛物线的解析式可得P
点坐标，进而可求出OQ、PQ的长，由于△ POQAOH，那么OH=OQ、AH=PQ，由此得到点A的坐标.
③当/ OPQ=90 ° / POQ= / AOH=30。

时，此时△ QOP^ △ AOH ;
④当/ OPQ=90° / POQ= / OAH=60 ° 此时△ OQPAOH ;
解答：解：①当/ POQ= / OAH=60 °若以P, O, Q为顶点的三角形与△ AOH全等，那么A、P 重合；
由于 / AOH=30 °
所以直线OA : y==x，联立抛物线的解析式,
x,联立抛物线的解析式,③当/ OPQ=9O ° / POQ= / AOH=30。

时，此时△ QOP^ △ AOH ;
x,联立抛物线的解析式,
••• OP=2『£, QP=2 ,
••• 0H=0P=2%『5, AH=QP=2 ,
故 A （2並,2）;
△ OQP◎△
AOH ;
得:
2
解得
“P 晳弓,
••• QP J ；, Op —,
综上可知：符合条件的点 A 有四个，且坐标为：则符合条件的点
点评：此题主要考查的是全等三角形的判定和性质以及函数图象交点坐标的求法；
由于全等
三角形的对应顶点不明确，因此要注意分类讨论思想的运用.
25. (2分)已知抛物线 y=x 2 - 3x - 4，则它与x 轴的交点坐标是 (- 1 0), (
4, 0)
考点：抛物线与x 轴的交点.
分析：由于抛物线与x 轴的交点的纵坐标为 0，所以把y=0代入函数的解析式中即可求解. 解答：解：•••抛物线y=x 2 - 3x - 4,
•当 y=0 时，x 2- 3x - 4=0, •- x 1=4 , x 2= - 1,
•••与x 轴的交点坐标是(-1 , 0), (4, 0). 故答案为：(-1 , 0), ( 4, 0).
点评：此题主要考查了求抛物线与
x 轴的交点坐标，解题的关键是把握与 x 轴的交点坐标的
特点才能很好解决问题.
26. (2分)抛物线y=2x 2- 5x+3与坐标轴的交点共有 3 个.
考点：抛物线与x 轴的交点.
分析：根据b 2- 4ac 与零的关系即可判断出二次函数
y= - 2x 2+4x - 2的图象与x 轴交点的个
数，根据c 的值可以判断出二次函数
y= - 2x 2+4x - 2的图象与y 轴有无交点.
解答：解：•/ b 2- 4ac= (- 5) 2- 4>2>3=1 >0,
一 2
••• OH=QP ,
AH=r ,
A 的坐标是
•••二次函数y - 2x+4x - 2的图象与x轴有两个交点
•/ c=3 老,
2
•••二次函数y= - 2x +4x - 2的图象与y轴有1个交点，•抛物线y=2x 2- 5x+3与坐标轴的交点共有3个. 点评：考查二次函数y=ax2+bx+c的图象与坐标轴交点的个数的判断.
27. (2分)抛物线y= - 2x2- 4x+3的顶点坐标是(-1 , 5) ;抛物线y= - 2x2+8x - 1
的顶点坐标为(2, 7) .
考点：二次函数的性质.
专题：计算题.
分析：用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，可求顶点坐标.
解答：解：■/ y= - 2x2- 4x+3= - 2 (x+1 ) 2+5 ,
•顶点坐标是(-1, 5);
2 2
•/ y= - 2x +8x - 1= - 2 ( x- 2) +7 ,
•顶点坐标为(2, 7).
点评：本题考查了二次函数解析式与顶点坐标的关系，本题可用配方法求解，也可以用公式法求解.
28. (2分)(2005?四川)用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长x (m)与面
2 2
积y ( m )满足函数关系y= -(x - 12) +144 (0 v x v 24),则该矩形面积的最大值为144 2
m .
考点：二次函数的应用.
专题：压轴题.
分析：本题考查二次函数最大(小)值的求法.
解答：解：由函数关系y= -( x - 12) 2+144 (0 v x v 24)可知，
•/二次函数的二次项系数即-1 v 0,
•••当x=12时，y最大值=144 .
点评：求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法, 第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用
配方法较好，如y= - x2- 2x+5 , y=3x2- 6x+1等用配方法求解比较简单.
2
29. (2分)根据y=ax +bx+c的图象，思考下面五个结论①c v 0；②abc>0;③a- b+c> 0; ④2a-
3b=0;⑤c- 4b>0•正确的结论有①②③⑤.。