类比探究专题

类比探究专题

例1如图1，在等腰直角△ABC和等腰直角△CDE中，CD>BC，点C，B，D在同一直线上，M是AE的中点，易证MD⊥MB，MD=MB．

（1）如图2，将图1中的△CDE绕点C顺时针旋转45°，使△CDE的斜边CE恰好与△ABC的边BC垂直，题干中的其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？

（2）将图2中的△ABC绕点C逆时针旋转大于0°且小于45°的角，如图3所示，请直接写出你的结论．

例2如图1

⑵若将图1

不必说明理由。

2，试回答⑴中的结论是否成立？并说明理由。

例3（1）操作发现：如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F 在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论．（2）类比探究：

如图2，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

图1 图2

例4已知：如图所示，直线MA NB MAB ∠∥，与NBA ∠的平分线交于点C ，过点C 作一条直线l 与两条直线MA NB 、分别相交于点D E 、．

（1）如图1所示，当直线l 与直线MA 垂直时，猜想线段AD BE AB 、、之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明；

（2）如图2所示，当直线l 与直线MA 不垂直且交点D E 、都在AB 的同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；

（3）当直线l 与直线MA 不垂直且交点D E 、在AB 的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段AD BE AB 、、之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系．

A

B

M

N

C

C N

M

B

A

A

B

C

D

E

M

N

l l

N

M

E

D

C

B A

图1 图2 备用图 备用图

例5在△ABC 中，∠A ＝90°，点D 在线段BC 上，∠EDB ＝1

2∠C ，BE ⊥DE ，垂足为E ，DE 与AB 相交于

点F ．

（1）当AB ＝AC 时（如图1）， ①∠EBF ＝_______°；

②探究线段BE 与FD 的数量关系，并加以证明；

（2）当AB ＝kAC 时（如图2），求BE

FD 的值（用含k 的式子表示）．

图1 图2

例6如图1

ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE

交AB于点F，AC=mBC，CE=nEA（m，n为实数）.试探究线段EF与EG的数量关系．

（1）如图2，当m=1，n=1时，求EF与EG的数量关系．

（2）如图3，当m=1，n为任意实数时，求EF与EG的数量关系．

（3）如图1，当m，n均为任意实数时，求EF与EG的数量关系．

例7在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC．以点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BD E=90°，且点D在直线MN上（不与点A重合）．如图1，DE与AC交于点P，易证：BD=DP．（1）在图2中，DE与CA的延长线交于点P，则BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．

（2）在图3中，DE与AC的延长线交于点P，BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明．

例8如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO，交AD于点F，OE⊥OB交BC于点E．

（1

（

2）如图2

（

3）如图3

例9如图1，已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN，∠ABC=∠ADC=90°，可以证明：

①DC=BC；②AC = AB+AD．

（1）如图2，把题干中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC+∠ADC=180°，其他条件不变，证明结论①和结论②仍然成立．

（2）如图3，如果D在AM的反向延长线上，把题干中的条件

“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC=∠ADC，其他条件不变，结论①和②是否仍然成立？成立，请证明；

例10 如图，在等边三角形ABC 中，点D 在直线BC 上，连接AD ，作∠ADN=60°，直线DN 交射线AB 于点E ，过点C 作CF ∥AB 交直线DN 于点F ．

（1）当点D 在线段BC 上，∠NDB 为锐角时，如图1，求证：CF+BE=CD ．（提示：过点F 作FM ∥BC 交射线AB 于点M ）

（2）当点D 在线段BC 的延长线上，∠NDB 为锐角时，如图2；当点D 在线段CB 的延长线上，∠NDB 为钝角时，如图3，请分别写出线段CF ，BE ，CD 之间的数量关系，不需要证明． （3）在（2）的条件下，若∠ADC=30°，

43

ABC S △，则BE=_________，CD=________．

图1

N M

F

E

D

C

B A

D

C

A

B

F

E

N

图2

例11已知，△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B 、C 重合）．以AD 为边作菱形ADEF ，使∠DAF=60°，连接CF ． （1）如图1，当点D 在边BC 上时， ①求证：∠ADB=∠AFC ；

②请直接判断结论∠AFC=∠ACB ＋∠DAC 是否成立；

（2）如图2，当点D 在边BC 的延长线上时，其他条件不变，结论∠AFC=∠ACB ＋∠DAC 是否成立？请写出∠AFC 、∠ACB 、∠DAC 之间存在的数量关系，并写出证明过程；

（3）如图3，当点D 在边CB 的延长线上时，且点A 、F 分别在直线BC 的异侧，其他条件不变，请补全图形，并直接写出∠AFC 、∠A CB 、∠DAC 之间存在的等量关系．

D

C

B

A

A B

C

D

E

F

F

E

D

C B

A

图1 图2 图3

D C

A

B

F

E

N

图3