圆锥曲线中焦点三角形问题

圆锥曲线中焦点三角形问题

焦点三角形是圆锥曲线的两个焦点与圆锥曲线上任意一点组成的三角形，以这个三角形的某些元素作为条件的圆锥曲线问题称为焦点三角形问题。焦点三角形是圆锥曲线中的重要内容，本文将介绍一些关于焦点三角形问题的解法。

一、周长问题

例1 12F F 、是椭圆22

221x y a b

+=(0)a b >>的两个焦点，A 是椭圆上任一点，求12AF F ∆的

周长。

分析 由于12AF F ∆的三边由1122AF F F AF 、、构成，故考虑运用椭圆的定义。

解 据椭圆的定义有||||12AF +AF =2a ，12||||2F F c +=，则12AF F ∆的周长为22a c +。

变式 12F F 、是椭圆22

221x y a b

+=(0)a b >>的两个焦点，A 是椭圆上任一点，1AF 的延长

线交椭圆于点B ，求2ABF ∆的周长。 解 12||||2AF AF a +=Q ,12||||2BF BF a +=,

2221212||||||||||||||224ABF AB AF BF AF AF BF BF a a a ∴∆=++=+++=+=

小结：解此类题关键是运用圆锥曲线的定义。

二、面积问题

例2 12F F 、是椭圆22

221x y a b

+=(0)a b >>的两个焦点，P 是椭圆上任一点，12F PF θ∠=

求12AF F ∆的面积。 解 设12||,||PF m PF n == 由椭圆定义可知，2m+n=a 。 在12PF F ∆中，运用余弦定理有

可得221cos b mn θ=+，122222sin 2sin tan 1cos 2

PF F b S mn b θ

θθθ∆∴==⨯⨯=+。（1）

由此类比双曲线可得到

12F F 、是椭圆22

221x y a b -=(0)a b >>的两个焦点，P 是椭圆上任一点，12F PF θ∠= 求

12AF F ∆的面积。

122cot

2

PF F S b θ

∆∴=（2）

公式（1）、（2）对于焦点在y 轴上的椭圆和双曲线同样成立。

小结：此结论一般称为焦点三角形的面积公式，一般运用于客观题的解题。求解圆锥曲线中的面积问题一般会利用余弦定理来求解。在解圆锥曲线的问题中，有些选择题或填空题，如果用常规方法去解题，无疑是小题大做,这在考试特别是高考中，是非常不可取的。运用特殊解法，不但可以节省时间，还可提高准确率。

例3 已知双曲线方程为22

143x y -=，12F F 、是双曲线的两个焦点，P 是双曲线上任一点，1260F PF ︒∠= 求12AF F ∆的面积。

分析 若是客观题，可直接代入焦点三角形面积公式得：

三、最值问题

例4 已知椭圆方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>，12F F 、分别为其左右两焦点，P 为椭圆上

任意一点，12=F PF θ∠， 求（1）θ的最大值；

（2）12PF F ∆面积的最大值； （3）12PF F ∆的周长的最大值。

解 （1）法一 设12||,||PF m PF n == 由椭圆定义可知，2m+n=a 。 在12PF F ∆中，运用余弦定理有 2

22212

2cos 4m n mn F F c θ+-==

又2a m n =+≥Q 2mn a ∴≤ （当且仅当m n =时等号成立）

又因当(0,)θπ∈ 时，cos y θ=单调递减，2

2arccos(21)b a θ∴≤-

且在m n =时，θ取得最大值22arccos(21)b a -或者2

2arccos(21)b a

π+-

又2a m n =+Q m n a ∴==时，θ取得最大值。 即P 位于椭圆短轴端点时，θ取得最大值。

法二 设),(o o y x P ,由焦半径公式可知：o ex a PF +=1，o ex a PF -=1 在21PF F ∆中，2

12

2

121212cos PF PF F F PF PF -+=

θ2

12

21221242)(PF PF c PF PF PF PF --+=

1))((2412442

2122--+=--=o o ex a ex a b PF PF c a =122

22

2--o

x e a b 即P 位于椭圆短轴端点时，θ取得最大值。 （2）过点P 作12F F 的垂线，垂足为H 。令PH h =。

12||2F F c =Q ，∴ 当h 为最大时，三角形的面积取得最大值。

即当P 位于椭圆短轴端点时，三角形面积取得最大值。

（3）据椭圆的定义有||||12PF +PF =2a ，12||2F F c =，则12PF F ∆的周长为22a c +。

即12PF F ∆的周长无最大值。

小结:解焦点三角形有关的最值问题，主要是利用圆锥曲线的第一定义，并借助正弦定理、余弦定理以及均值定理和函数的单调性等来解决。

四、离心率问题

例5 12F F 、是椭圆22

221x y a b +=(0)a b >>的两个焦点，P 是椭圆上任一点，

1221,PF F PF F αβ∠=∠=，求椭圆的离心率。

解 121212

sin sin sin()sin sin PF PF F F PF PF βααβαβ

+===++Q