哈尔滨工业大学考研数学专业大纲

2011年哈尔滨工业大学数学系硕士研究生入学考试
[612] 数学分析考试大纲
考试科目名称：数学分析考试科目代码：[612]
一、考试要求：
1）要求考生熟练撑握数学分析的基本概念、基本理论和基本方法。

2）要求考生具有严格的数学论证能力、举反例能力和基本计算能力。

3）要求考生了解数学分析中的基本概念、理论、方法的实际来源和历史背景，清楚它们的几何意义和物理意义，初步具备应用数学分析解决实际问题能力。

二、考试内容：
1)、极限和连续
a．熟练掌握数列极限与函数极限的概念，包括数列的上、下极限和函数的左、右极限。

b．掌握极限的性质及四则运算性质，特别要能够熟练运用两面夹原理和两个特殊极限。

c．熟练掌握实数系的基本定理：区间套定理，确界存在定理，单调有界原理，Bolzano-Weierstrass定理，Heine-Borel有限覆盖定理，Cauchy收敛准则；并理解相互关系。

d．熟练掌握函数连续性的概念及相关的不连续点类型。

能够运用函数连续的四则运算与复合运算性质以及相对应的无穷小量的性质；并理解两者的相互关系。

e．熟练掌握闭区间上连续函数的性质：有界性定理、最值定理、介值定理和Contor定理。

2)、一元函数微分学
a．理解导数和微分的概念及其相互关系，理解导数的几何意义和物理意义，理解函数可导性与连续性之间的关系。

b．熟练掌握函数导数与微分的运算法则，包括高介导数的运算法则，会求分段函数的导数。

c．熟练掌握Rolle中值定理，Lagrange中值定理和平共处Cauchy中值定理以及Taylor公式。

d．能够用导数研究函数的单调性、极值，最值和凸凹性。

e．掌握用L’Hospital法则求不定式极限的方法。

3)、一元函数积分学
a．理解不定积分的概念。

掌握不定积分的基本公式，换元积分法和分部积分法，会求有理函数、三角有理函数和简单元理函数的积分。

b．掌握定积分的概念，包括Darboux和，上、下积分及可积条件与可积函数类。

c．掌握定积分的性质，熟练掌握微积分基本定理，定积分的换元积分法和分部积分法。

d．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积，平面贡线的弧长，旋转体的体积与侧面积，平行截面面积已知的立体体积，变力做功和物体的质量与质心）。

e．理解广义积分的概念。

熟练掌握判断广义积分收敛的比较判别法，Abel判别法和Dirichlet判别法；其中包括积分第二中值定理。

4)、无穷级数
a．理解数项级数敛散性的概念，掌握数项级数的基本性质。

b．熟练掌握正项级数敛散的必要条件，比较判别法，Cauchy判别法，D’Alembert 判别法与积分判别法。

c．熟练掌握任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念及其相互关系。

熟练掌握交错级数的Leibnitz判别法。

掌握绝对收敛级数的性质。

d．熟练掌握函数项级数一致收敛性的概念以及判断一致收敛性的Weierstrass 判别法。

Abel判别法和Dirichlet判别法。

熟练掌握一致收敛级数的性质。

e．掌握幂级数及其收敛半径的概念，包括Cauchy-Hadamard定理和Abel第一定理。

f．熟练掌握幂级数的性质。

能够将函数展开为幂级数。

了解Weierstrass逼近定理。

g．了解Fourier级数的概念与性质以及敛散性的判别法。

5)、多元函数微分学与积分学
a．理解多元函数极限与连续性，偏导数和全微分的概念，会求多元函数的偏导数与全微分。

b．掌握隐函数存在定理。

c．会求多元函数极值和无条件极值，了解偏导数的几何应用。

d．掌握重积分、曲线积分和曲面积分的概念与计算。

e．熟练掌握Gauss公式、Green公式和Stoks公式及其应用。

6)、含参变量积分
a．了解含参变量常义积分的概念与性质。

b．掌握含参变量广义积分的一致收敛性的概念及其判别法。

掌握一致收敛的含参变量广义积分的性质。

三、试卷结构：
1) 考试时间：180分钟，满分：150分
2) 题型结构
a: 论证与举反例(105-135分)
b: 基本计算(15-45分)
四、参考书目：
1．《数学分析》（上、下册），复旦大学数学系编，高等教育出版社，2007年，第二版
2．《数学分析习题集》，北京大学数学系编，高等教育出版社。

2011年哈尔滨工业大学数学系硕士研究生入学考试
[831] 高等代数考试大纲
考试科目名称：高等代数考试科目代码：[831]
一、考试要求
（一）多项式
1.理解数域，多项式，整除，最大公因式，互素，不可约，k重因式，重因式的概念。

了解多项式环，微商，本原多项式，字典排序法，对称多项式，初等对称多项式，齐次多项式，多项式函数等概念。

2.掌握整除的性质，带余除法定理，最大公因式定理，互素多项式的判别与性质，不可约多项式的判别与性质，多项式唯一因式分解定理，余式定理，因式定理、代数基本定理，Vieta定理，高斯引理，Eisenstein判别定理，对称多项式基本定理。

3.掌握无重因式的充要条件，的判别条件，Lagrange插值公式，复数域、实数域及有理数域上多项式因式分解理论，有理多项式的有理根范围。

4.掌握辗转相除法，综合除法。

掌握化对称多项式为初等对称多项式的多项式的方法。

(二)行列式
1.了解行列式的概念，理解行列式的子式，余子式及代数余子式的概念。

2.掌握行列式的性质，按行、列展开定理，Cramer法则，Laplace定理，行列式乘法公式。

3.会用行列式的性质及展开定理计算行列式，掌握计算行列式的基本方法。

（三）线性方程组
1.理解向量线性相关，向量组等价，极大无关组，向量组的秩，矩阵的秩，基础解系，解空间等概念。

2.掌握线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构。

3.掌握用行初等变换求解线性方程组的方法。

(四)矩阵
1.理解矩阵的概念、了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称阵、反对称阵的概念及其性质。

2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律。

3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充要条件。

理解伴随矩阵的概念，掌握伴随矩阵的性质。

4.掌握矩阵的初等变换、掌握初等矩阵的性质，理解矩阵等价的概念，会用初等变换法求矩阵的秩及逆矩阵。

5.理解分块矩阵，掌握分块阵的运算及初等变换。

（五）二次型
1.二次型的概念及二次型的矩阵表示，了解二次型秩的概念，掌握二次型的标准形、规范形的概念及惯性定律。

2.掌握用合同变换、正交变换化二次型为标准形的方法。

3.掌握二次型和对应矩阵的正定、半正定、负定、半负定及其判别法。

(六)线性空间
1.理解线性空间，子空间，生成子空间，基底，维数，坐标，过渡矩阵，子空间的和与直和等概念。

了解线性空间同构的概念。

2.掌握基扩张定理，维数公式，掌握直和的充要条件。

3.会求基底，维数，坐标，过渡矩阵。

（七）线性变换
1.理解线性变换，特征值，特征向量，特征多项式，特征子空间，不变子空间，线性变换的矩阵，相似变换，相似矩阵，线性变换的值域与核，Jardan标准形，最小多项式等概念。

2.掌握线性变换的性质，相似矩阵的性质，特征值、特征向量的性质，核空间与值域的性质，不变子空间的性质。

掌握Hamilton-Cayley定理及将线性空间V分解成A－不变子空间的条件和方法，了解最小多项式理论。

3.掌握线性变换的矩阵表示方法，求线性变换的特征值、特征向量的方法，矩阵可相似对角化的条件与方法。

掌握线性变换与矩阵“互化”的思想方法，会用各种特殊子空间解决相关问题。

（八）矩阵
1.理解矩阵、可逆矩阵、矩阵的行列式因子、不变因子、初等因子等概念，了解矩阵的标准形。

2.掌握矩阵可逆的充要条件，矩阵等价的充要条件，数字矩阵相似的充要条件，了解Jordan标准形的理论推导。

3.会求矩阵的标准形及不变因子。

会求数字矩阵的Jordan标准形。

(九)欧几里得空间
1.掌握内积，欧氏空间，向量长度、夹角、距离，度量矩阵，标准正交基、正交补，正交变换，正交阵，对称变换，同构等概念。

2.掌握Schmidt正交化方法。

掌握标准正交基的性质，正交变换的性质，正交阵的性质，对称变换的性质及标准形。

3.掌握实对称阵的特征值、特征向量的性质。

会用正交相似变换将实对称阵相似（合同）对角化。

二、考试内容
注：本文中“章”、“节”均指《高等代数》（北大数学系几何与代数教研室，高等教育出版社，第三版，2003年）中的“章”、“节”
1) 多项式（第一章1-11节）
2) 行列式（第二章1-8节）
3) 线性方程组（第三章1-6节）
4) 矩阵（第四章1-7节）
5) 二次型（第五章1-4节）
6) 线性空间（第六章1-8节）
7) 线性变换（第七章1-9节）
8) 矩阵（第八章1-6节）
9) 欧几里得空间（第九章1-6节）
三、试卷结构
1) 考试时间：180分钟，满分：150分
2) 题型结构
a: 填空与选择20%左右
b: 解答题(包括计算题和证明题) 80%左右
四、参考书目
《高等代数》，北大数学系几何与代数教研室，高等教育出版社，2003年，第三版。