高中数形结合问题总结知识讲解

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高中数学中数形结合思想的运用

高中数学中数形结合思想的运用作者：景丽丽来源：《读写算》2013年第48期【摘要】数学作为一门重要的学科，被人们誉为人类最古老的科学领域之一。

数学特别是高中数学在教学过程中存在着很难让同学们理解等一系问题。

就此，本文从数形结合思想的运用来说明一下如何学好高中数学。

【关键词】数学数形结合高中前言：在数学教学中有反证法、归纳法、配方法等教学方法。

然而，本人认为在高中教学中应该适当地运用数形结合的方法。

这种种教学思想的运用不仅可以很好地学习好数学，且在对以后的生活产生深远的影响。

一、数形结合的概念数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题。

数字和图形两个原本毫不相干的物体，融洽的存在于数学这一教学载体中。

高中，是教学过程中比较重要的阶段。

数学，作为高中比较重要的一门学科，如何学好它至关重要。

众所周知，数学是研究我们在实际生活中遇到的一些问题和数量之间关系的科学。

由此可见，“数”和“形”是我们要进行数学教学所要研究的两大对象。

怎样把现实生活中如此庞大的“形”和虚拟世界中的数字进行连接，这便是数形结合这一思想能存在与数学发展长河中的主要解决的问题。

二、解决教学重点和难点在进行课件使用的过程中，是否能够更好地解决教学中的重点和难点，直接影响到了教学效果，这里我们举实例说明。

比如说在人教版高中数学教学课程当中，对于《椭圆定义》讲解的时候，在课程导入的过程中，我在播放行星运行的过程中，引导学生观察，并且进行任务的布置工作，从而引入相关的理念，在进行动手实践的时候，提出了相关的思考题，最后观察了屏幕的各种建系并且在黑板上推导出了公式，得出了椭圆的标准方程。

进行例子的讲解，并进行了课堂习题的训练。

从而经过了一系列的过程，充分发挥了现代教学中的优点，得到了最优秀的教学成果。

三、数形结合思想的运用高中数学，一直被很多考生称之为老大难。

真可谓：听起来难，学起来更难，想要考好难上加难。

高中数学几何解题技巧之数形结合策略

高中数学几何解题技巧之"数""形"结合策略摘要："数""形"结合策略是高中数学几何解题的重要技巧，通过将几何形状与数学关系相结合，利用数学方法解决几何问题。

关键词：高中数学；几何解题技巧；数""形"结合策略前言在高中数学几何解题中，"数""形"结合策略是一种重要的技巧。

通过将几何形状与数学关系相结合，可以更好地理解和解决几何问题。

一、介绍"数""形"结合策略的概念和重要性"数""形"结合策略是在解决高中数学几何问题时常用的一种方法。

它结合了数学的抽象思维和几何的形象思维，通过数学的计算和几何的图形分析相互支持，从而更全面地理解和解决问题。

这种策略的重要性在于它能够帮助我们从不同的角度来理解几何问题。

几何问题通常涉及到图形的形状、大小、位置等方面的特征，而数学则提供了精确的计算和推理工具。

通过将数学和几何结合起来，我们可以更好地理解几何问题的本质，并找到解决问题的有效方法。

"数""形"结合策略的基本思路是将几何问题转化为数学问题，然后利用数学的方法进行计算和推理，最后再将结果转化回几何语言。

这种策略使我们能够通过数学的计算和推理来揭示几何问题的隐藏规律和性质，从而更深入地理解几何概念。

例如，在解决三角形的问题时，我们可以利用角度和边长的关系，通过数学计算来推导出三角形的性质和关系。

同时，我们也可以通过几何图形的分解和组合，利用图形的对称性和变换来简化问题的解决过程。

这种数形结合的策略使我们能够更全面地理解和解决几何问题[1]。

二、解释为什么这种策略在解决几何问题时很有用"数""形"结合策略在解决几何问题时非常有用，原因如下：首先，几何问题通常涉及到图形的形状、大小、位置等方面的特征。

高中数学高考二轮复习数形结合思想教案

第二讲数形结合思想对应学生用书P1291数形结合的含义(1)数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法．数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合．(2)数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数形之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．2数形结合的途径(1)通过坐标系“形题数解”借助于直角坐标系、复平面，可以将几何问题代数化．这一方法在解析几何中体现得相当充分(在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考查的)．值得强调的是，“形题数解”时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧(这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理)．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义．如等式(x －2)2＋(y －1)2＝4，表示坐标平面内以(2,1)为圆心，2为半径的圆．(2)通过转化构造“数题形解”许多代数结构都有着相对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化．例如，将a (a >0)与距离互化；将a 2与面积互化，将a 2＋b 2＋ab ＝a 2＋b 2－2|a ||b |cos θ(θ＝60°或θ＝120°)与余弦定理沟通；将a ≥b ≥c >0且b ＋c >a 中的a 、b 、c 与三角形的三边沟通；将有序实数对(或复数)和点沟通；将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等．这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形(平面的或立体的)．另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常相互渗透，演绎出解题捷径．例1 已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎭⎪⎫2ωx ＋π3的相邻两条对称轴之间的距离为π4，将函数f (x )的图象向右平移π8个单位后，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到g (x )的图象，若g (x )＋k ＝0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2有且只有一个实数根，则k 的取值范围是( )A.k ≤12B ．－1≤k <－12 C.－12<k ≤12 D ．－12<k ≤12或k ＝－1解析因为f (x )相邻两条对称轴之间的距离为π4，结合三角函数的图象可知T 2＝π4.又T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3. 将f (x )的图象向右平移π8个单位得到f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍得到g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 所以方程为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋k ＝0. 令2x －π6＝t ，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以－π6≤t ≤5π6. 若g (x )＋k ＝0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2有且只有一个实数根，即g (t )＝sin t 与y ＝－k 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6有且只有一个交点. 如图所示，由正弦函数的图象可知－12≤－k <12或－k ＝1，即－12<k ≤12或k ＝－1.利用数形结合求方程解应注意两点(1)讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解．(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合．模拟演练1 已知函数f (x )满足f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1,1]上方程f (x )－mx －m ＝0有两个不同的实根，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 答案 D解析方程f (x )－mx －m ＝0有两个不同的实根等价于方程f (x )＝m (x ＋1)有两个不同的实根，等价于直线y ＝m (x ＋1)与函数f (x )的图象有两个不同的交点．因为当x ∈(－1,0)时，x ＋1∈(0,1)，所以f (x )＋1＝1f (x ＋1)＝1x ＋1，所以f (x )＝1x ＋1－1，所以f (x )＝⎩⎨⎧ x ，x ∈[0，1]1x ＋1－1，x ∈(－1，0).在同一平面直角坐标系内作出直线y ＝m (x＋1)与函数f (x )，x ∈(－1,1]的图象，由图象可知，当直线y ＝m (x ＋1)与函数f (x )的图象在区间(－1,1]上有两个不同的公共点时，实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.例2 (1)使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是________．(2)若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．。

高中数学数形结合思想

第二讲数形结合思想知识整合数形结合思想的实质是把抽象的数学语言与直观的图形语言有机结合，达到抽象思维和形象思维的和谐统一．通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决．数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数形之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．1.数形结合思想在方程的根或函数零点中的应用典题例析例1 若f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1,1]内，g (x )＝f (x )－mx－m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( D )A ．[0，12)B ．[12，＋∞)C ．[0，13)D ．(0，12][解析] 当x ∈(－1,0]时，x ＋1∈(0,1]， ∵当x ∈(0,1]时，f (x )＝x ，∴f (x ＋1)＝x ＋1．而由f (x )＋1＝1f (x ＋1)，可得f (x )＝1f (x ＋1)－1＝1x ＋1－1(x ∈(－1,0])．如图所示，作出函数f (x )在区间(－1,1]内的图象，而函数g (x )零点的个数即为函数f (x )与y ＝mx ＋m 图象交点的个数，显然函数y ＝mx ＋m 的图象为经过点P (－1,0)，斜率为m 的直线．如图所示，f (1)＝1，故B (1,1)．直线PB 的斜率k 1＝1－01－(－1)＝12，直线PO 的斜率为k 2＝0.由图可知，函数f (x )与y ＝mx ＋m 的图象有两个交点，则直线y ＝mx ＋m 的斜率k 2<m ≤k 1，即m ∈(0，12]．规律总结利用数形结合求方程解应注意两点1．讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性、否则会得到错解．2．正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x ＋1|，x <1，log 2(x －m )，x >1，若f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，且x 1＋x 2＋x 3的取值范围为(1,8)，则实数m 的值为__1__.[解析] 作出f (x )的图象，如图所示，可令x 1<x 2<x 3，则由图知点(x 1,0)，(x 2,0)关于直线x ＝－12对称，所以x 1＋x 2＝－1．又1<x 1＋x 2＋x 3<8，所以2<x 3<9.由f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，结合图象可知点A 的坐标为(9,3)，代入函数解析式，得3＝log 2(9－m )，解得m ＝1．2．(2019·辽宁模拟)f (x )＝2sinπx －x ＋1的零点个数为( B ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7[解析] 令2sinπx －x ＋1＝0，则2sinπx ＝x －1，令h (x )＝2sinπx ，g (x )＝x －1，则f (x )＝2sinπx －x ＋1的零点个数问题就转化为两个函数h (x )与g (x )图象的交点个数问题．h (x )＝2sinπx 的最小正周期为T ＝2ππ＝2，画出两个函数的图象，如图所示，因为h (1)＝g (1)，h (52)>g (52)，g (4)＝3>2，g (－1)＝－2，所以两个函数图象的交点一共有5个，所以f (x )＝2sinπx －x ＋1的零点个数为5.故选B.2.数形结合化解不等式问题典题例析例2 (1)(2019·四川模拟)若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( D ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)[解析] 方法一：不等式2x (x －a )<1可变形为x －a <(12)x .在同一平面直角坐标系内作出直线y ＝x －a 与y ＝(12)x 的图象，如图，由题意，知在(0，＋∞)上，直线y ＝x －a 有一部分在曲线y ＝(12)x 的下方．观察可知，有－a <1，所以a >－1，故选D.方法二：不等式2x (x －a )<1可变形为a >x －(12)x .记g (x )＝x －(12)x (x >0)，易知g (x )为增函数，又g (0)＝－1，所以g (x )∈(－1，＋∞)．故a >－1．故选D.(2)已知关于x 的不等式x >ax ＋32的解集为{x |4<x <b }，则ab ＝ 92 .[解析] 设f (x )＝x ，g (x )＝ax ＋32(x ≥0)．因为x >ax ＋32的解集为{x |4<x <b }，所以两函数图象在4<x <b 上有f (x )>g (x )，如图所示．当x ＝4，x ＝b 时，由f (x )＝g (x )，可得⎩⎨⎧4＝4a ＋32，b ＝ab ＋32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝18，b ＝36，所以ab ＝18×36＝92. 规律总结1．数形结合思想解决参数问题的思路(1)分析条件所给曲线．(2)画出图象．(3)根据图象求解． 2．常见的数与形的转化(1)集合的运算及韦恩图．(2)函数及其图象．(3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图象．(4)方程(多指二元方程)及方程的曲线．1．(2019·太原模拟)不等式2x －x 2≤x ＋b 恒成立，则实数b 的取值范围是( C ) A ．(－∞，－2－1] B ．(－∞，2－1] C ．[2－1，＋∞)D ．[－2－1，2－1][解析] 设y ＝2x －x 2＝1－(x －1)2，整理得(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，表示以A (1,0)为圆心，半径为1的上半圆；而y ＝x ＋b 表示斜率为1，在y 轴上的截距为b 的直线．如图所示，要使不等式恒成立，则直线y ＝x ＋b 在半圆的上方，即圆心到直线的距离不小于圆的半径，故|1＋b |2≥1，解得b ≥2－1或b ≤－2－1．而当b ≤－2－1时，直线y＝x ＋b 在半圆的下方，所以不满足条件．所以实数b 的取值范围是[2－1，＋∞)．故选C.2．对∀x ∈(0，13)，8x <log a x ＋1恒成立，则实数a 的取值范围是 13≤a <1 .[解析] 当0<x <13时，函数y ＝8x －1的图象如图中实线所示．∵对∀x ∈(0，13)，8x <log a x ＋1恒成立，∴当x ∈(0，13)时，y ＝log a x 的图象恒在y ＝8x －1的图象的上方(如图中虚线所示)．∵y ＝log a x 的图象与y ＝8x －1的图象交于点(13，1)时，a ＝13，∴13≤a <1．3.利用数形结合思想解决不等式、参数问题典题例析例3 (1)(2017·全国卷Ⅰ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( B )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1[解析] 方法1：(解析法)建立坐标系如图所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (0，3)，B (－1,0)，C (1,0)．设P 点的坐标为(x ，y )，则P A →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )， ∴P A →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2(x 2＋y 2－3y )＝2[x 2＋(y －32)2－34]≥2×(－34)＝－32. 当且仅当x ＝0，y ＝32时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为－32.故选B. 方法2：(几何法)如图所示，PB →＋PC →＝2PD →(D 为BC 的中点)，则P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PD →.要使P A →·PD →最小，则P A →与PD →方向相反，即点P 在线段AD 上，则(2P A →·PD →)min ＝－2|P A →||PD →|，问题转化为求|P A →||PD →|的最大值．又|P A →|＋|PD →|＝|AD →|＝2×32＝3，∴|P A →||PD →|≤(|P A →|＋|PD →|2)2＝(32)2＝34，∴[P A →·(PB →＋PC →)]min ＝2(P A →·PD →)min ＝－2×34＝－32.故选B.(2)给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB ︵上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值为__2__.[解析] 如题图所示，则A (1,0)，B (－12，32)．设∠AOC ＝α(α∈[0，2π3])，则C (cos α，sin α)．由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎨⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，解得⎩⎨⎧x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin(α＋π6)．又α∈[0，2π3]，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.规律总结建坐标系可以实现平面向量问题的全面运算，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，化繁为简，轻松破解．1．(2019·福建模拟)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t .若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于( A )A ．13B ．15C ．19D ．21[解析] 以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则B (1t ，0)(t >0)，C (0，t )，P (1,4)，PB →·PC →＝(1t －1，－4)(－1，t －4)＝17－(4t ＋1t )≤17－2×2＝13.当且仅当t ＝12时，PB →·PC →最大为13，故选A ．2．(2019·西安高新模拟)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝2，∠BAD ＝π4，若AB →·AC→＝2AB →·AD →，则AD →·AC →＝__12__.[解析] 方法一：因为AB →·AC →＝2AB →·AD →，所以AB →·AC →－AB →·AD →＝AB →·AD →，所以AB →·DC →＝AB →·AD →.因为AB ∥CD ，CD ＝2，∠BAD ＝π4，所以2|AB →|＝|AB →||AD →|cos π4，化简得|AD →|＝2 2.故AD →·AC →＝AD →·(AD →＋DC →)＝|AD →|2＋AD →·DC →＝(22)2＋22×2cos π4＝12.方法二：如图，建立平面直角坐标系xAy .依题意，可设点D (m ，m )，C (m ＋2，m )，B (n,0)，其中m >0，n >0，则由AB →·AC →＝2AB →·AD →，得(n,0)·(m ＋2，m )＝2(n,0)·(m ，m )，所以n (m ＋2)＝2nm ，化简得m ＝2.故AD →·AC →＝(m ，m )·(m ＋2，m )＝2m 2＋2m ＝12.4.数形结合化解圆锥曲线问题典题例析例4 (1)(2019·武汉模拟)已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( A )A ．(14，－1)B ．(14，1)C ．(1,2)D ．(1，－2)[解析] 点P 到抛物线焦点的距离等于点P 到抛物线准线的距离，如图所示，设焦点为F ，过点P 作准线的垂线，垂足为S ，则|PF |＋|PQ |＝|PS |＋|PQ |，故当S ，P ，Q 三点共线时取得最小值，此时P ，Q 的纵坐标都是－1，设点P 的横坐标为x 0，代入y 2＝4x ，得x 0＝14，故点P 的坐标为(14，－1)，故选A ．(2)已知A (1,1)为椭圆x 29＋y 25＝1内一点，F 1为椭圆的左焦点，P 为椭圆上一动点，求|PF 1|＋|P A |的最大值和最小值．[解析] 由x 29＋y 25＝1可知a ＝3，b ＝5，c ＝2，左焦点F 1(－2,0)，右焦点F 2(2,0)．由椭圆定义，知|PF 1|＝2a －|PF 2|＝6－|PF 2|， ∴|PF 1|＋|P A |＝6－|PF 2|＋|P A |＝6＋|P A |－|PF 2|.如图，由||P A |－|PF 2||≤|AF 2|＝(2－1)2＋(0－1)2＝2，知－2≤|P A |－|PF 2|≤ 2.当点P 在AF 2的延长线上的点P 2处时，取右“＝”，当点P 在AF 2的反向延长线上的点P 1处时，取左“＝”，即|P A |－|PF 2|的最大、最小值分别为2，－ 2. 于是|PF 1|＋|P A |的最大值是6＋2，最小值是6－ 2. 规律总结(1)在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，这样使数更形象，更直白，充分利用图象的特征，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，避免一些复杂的计算，给解题提供方便．(2)应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离．1．(2019·南宁模拟)椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是( C )A ．55B ．655C ．855D ．455[解析]如图，设椭圆的右焦点为F′，连接MF′，NF′.因为|MF|＋|NF|＋|MF′|＋|NF′|≥|MF|＋|NF|＋|MN|，所以当直线x＝m过椭圆的右焦点时，△FMN的周长最大．此时|MN|＝2b2a＝855，又c＝a2－b2＝5－4＝1，所以此时△FMN的面积S＝12×2×855＝855.故选C.2．(2019·广西模拟)设P为双曲线x2－y215＝1右支上一点，M，N分别是圆C1：(x＋4)2＋y2＝4和圆C2：(x－4)2＋y2＝1上的点，设|PM|－|PN|的最大值和最小值分别为m，n，则|m －n|＝(C)A．4 B．5C．6 D．7[解析]由题意得，圆C1：(x＋4)2＋y2＝4的圆心为(－4,0)，半径为r1＝2；圆C2：(x －4)2＋y2＝1的圆心为(4,0)，半径为r2＝1．设双曲线x2－y215＝1的左、右焦点分别为F1(－4,0)，F2(4,0)．如图所示，连接PF1，PF2，F1M，F2N，则|PF1|－|PF2|＝2.又|PM|max＝|PF1|＋r1，|PN|min＝|PF2|－r2，所以|PM|－|PN|的最大值m＝|PF1|－|PF2|＋r1＋r2＝5.又|PM|min＝|PF1|－r1，|PN|max＝|PF2|＋r2，所以|PM|－|PN|的最小值n＝|PF1|－|PF2|－r1－r2＝－1，所以|m－n|＝6.故选C.。

高中化学解题方法指导4数形结合思想

高中化学解题方法指导4：数形结合思想我国著名数学家华罗庚先生曾形象地描述数形结合思想的特点：“数缺形，少直观，形缺数，难入微。

”具体地说，就是在解决问题时，根据问题的背景、关系、图形特征或使“数”的问题借助于“形”去观察，或将“形”的问题借助于“数”去思考，这种解决问题的思想称为数形结合思想。

“数形结合百般好，割裂分家万事非。

”这就明确告诉我们：在解决问题时，数与形这一对应关系犹如形影不可分离一样，“数”的问题借助于“形”去观察，以形解数；“形”的问题借助于“数”去思考，以数赋形。

这种数形结合的思想也常常用于解决化学问题，直观形象，化难为易，优化解题。

1.1 以形赋数先给出图形，然后根据图形寻找出有用的数据，最后进行计算。

这种方法是将复杂问题以图形方式表示出来，考查学生的识图能力和综合应用知识能力。

第一步：析图形，明意义分析图形的特点及变化趋势，明晰各种点（起点、拐点、极点、终点等）的意义第二步：找数据，定反应在图形中找出各段线发生的反应及离子的变化情况第三步：用原理，作判断利用化学反应原理或化学方程式进行计算并判断正误向FeI2、FeBr2的混合溶液中通入适量氯气，溶液中某些离子的物质的量随通入Cl2的物质的量的变化如图所示。

已知：2Fe2＋＋Br22Fe3＋＋2Br－，2Fe3＋＋2I－2Fe2＋＋I2。

则下列有关说法中，不正确的是A．线段BD表示Fe3＋的物质的量的变化B．原混合溶液中FeBr2的物质的量为6 molC．当通入2 mol Cl2时，溶液中已发生的离子反应可表示为2Fe2＋＋2I－＋2Cl22Fe3＋＋I2＋4Cl－D．原溶液中n(Fe2＋)∶n(I－)∶n(Br－)＝2∶1∶3【思路点拨】第一步，依据溶液中各离子还原性强弱顺序确定反应发生的先后顺序；第二步，对照反应发生的先后顺序从图形中找出各线段对应的发生反应的各种物质及其物质的量；第三步，结合题意，判断选项正误。

【试题解析】通过题给信息可知，发生反应的先后顺序为2I－＋Cl2I2＋2Cl－，2Fe2＋＋Cl22Fe3＋＋2Cl－，2Br－＋Cl2Br2＋2Cl－。

高中数学数形结合_巧解“与圆有关的最值问题” 知识点+例题

数形结合，巧解“与圆有关的最值问题”例1 平面上有两点A （1-，0），B （1，0），P 为圆x y x y 2268210+--+=上的一点，试求S AP BP =+||||22最小值．解析：把已知圆的一般方程化为标准方程得()()x y -+-=34422，设点P 的坐标为(,)x y 00,则2222220000||||(1)(1)S AP BP x y x y =+=+++-+222002(1)2(1)x y OP =++=+ 要使22||||BP AP S +=最小,需||OP 最小,即使圆上的点到原点的距离最小.结合图形,容易知道325||min =-=-=r OC OP ,所以20)13(22min =+=S ．点评：设 P （x ，y ），使要求的式子转化为求圆上的点到原点的距离问题，利用数形结合法求最值，实质上是利用初中学过的“连结两点的线段中，直线段最短”这一性质．例２点A 在圆()()x y -+-=53922上，则点A 到直线3420x y +-=的最短距离为（）A. 9B. 8C. 5D. 2解析：过C 作CD ⊥直线3420x y +-=于D ，交圆C 于A ，则AD CD r =-为所求．∴AD例３ )0,3(P 在圆0122822=+--+y x y x 内一点．求（1）过P 的圆的最短弦所在直线方程（2）过P 的圆的最长弦所在直线方程解析：圆方程可以化成5)1()4(22=-+-y x ，圆心)1,4(O 1=OP k∴ 短l ：)3(--=x y 即 03=-+y x ；长l ：)3(-=x y 即03=--y x ．点评：最长弦当然是直径了，而最短弦是与直径垂直的弦．例４已知实数x ，y 满足方程22(2)3x y -+=．（1）求y x的最大值与最小值；（2）求y x -的最大值与最小值；（3）求22x y +的最大值和最小值．分析：22(2)3x y -+=为圆的方程，(,)P x y 是圆心为（2，0）点．y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，y x -的几何意义是直线y x b =+在轴上的截距，22x y +的几何意义是圆上一点到原点距离的平方．解：（1）设y k x=，即y kx =．当直线y kx =与圆相切时，斜率k 取最大值与最小值，=k =．所以y xk = （2）设y x b -=，当直线y x b -=与圆相切时，纵截距b 取得最大值与最小值，=解得2b =-所以y x -的最大值为2-，最小值2-．（3表示圆上一点到原点距离，由平面几何知识知，其最大值为圆心到原点的距离加上圆的半径，其最小值为圆心到原点的距离减去圆的半径，分别是2与222x y +的最大值和最小值分别为7+7-．例5 过直线1y =上一点P （x ，y ）作圆22(1)(1)1x y +++=的切线，求切线长的最小值．解析：如图所示，切线长2221PM PC CM PC =-=-，所以要求PM 的最小值，只需求PC 的最小值．PC 是直线上一点到圆心的距离，由于经直线外一点所引直线的垂线段的长度是该点到直线的距离的最小值，所以当PC 垂直于直线时，min 2PC =，此时，切线长最小，为3．小结与提升：圆的知识在初中与高中都要学习，是一典型的知识交汇点．现在的数学高考非常重视初高中知识的衔接问题，所以同学们在处理与圆有关的小题时，一定要数形结合，多联想一下与之有关的平面几何知识，以免“小题大作”．。

数形结合的思想在高中数学解题中的应用

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数形结合的思想在高中数学解题中的应用
作者：刘锋
来源：《理科考试研究·高中》2013年第09期
数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.利用它可使复杂问题简单化、抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长，是优化解题过程的重要途径之一，是一种基本的数学方法.
一、利用数形结合思想解决集合的问题
1.利用韦恩图法解决集合之间的关系问题
二、运用数形结合思想解三角函数题
纵观近三年的高考试题，巧妙地运用数形结合的思想方法来解决一些问题，可以简化计算，节省时间，提高考试效率，起到事半功倍的效果.
三、利用单位圆中的有向线段解决三角不等式问题
在教材中利用单位圆的有向线段表示角的正弦线，余弦线，正切线，并利用三角函数线可作出对应三角函数的图象.如果能利用单位圆中的有向线段表示三角函数线，应用它解决三角
不等式问题，简便易行.
总之，由于数形结合的思想在高考中考查的比重很大，因而要花大力气，循序渐进地使学生建立数形结合的对应转化和应用，既要借助形的直观性来阐明数之间的关系，也要借助于数的精确性来阐明形的某些属性，使学生抓住数形结合本质，在解题中自觉地运用数形结合的思想，以提高解题的能力和速度.。

高中数学二轮专题复习——数形结合思想

思想方法专题数形结合思想【思想方法诠释】一、数形结合的思想所谓的数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。

数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合．数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．二、数形结合思想解决的问题常有以下几种：1．构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；2．构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；3．构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；4．构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；5．构建立体几何模型研究代数问题；6．构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；7．构建方程模型，求根的个数；8．研究图形的形状、位置关系、性质等。

三、数形结合思想是解答高考数学试题的一种常见方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥奇特功效，具体操作时，应注意以下几点：1．准确画出函数图象，注意函数的定义域；2．用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图）然后作出两个函数的图象，由图求解。

四、在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：1．要清楚一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；2．要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；3．要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；4．精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解。

数形结合思想在高中数学中的应用

数形结合思想在高中数学中的应用数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学,数学中的两大研究对象“数”与“形”的矛盾统一是数学发展的内在因素。

数形结合思想,就是把问题的数量关系和空间形式结合起来考察的思想,其实质就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,通过对图形的处理,发挥直观对抽象的支柱作用,实现抽象概念与具体形象、表象的联系和转化。

数形结合思想是贯穿高中数学的主线,是贯穿高中课程的主要脉络,纵观历年高考试题,用数形结合的思想方法巧妙解决的问题比比皆是,本文从以下七个方面介绍运用数形结合思想解决高中数学问题。

1 函数中的数形结合思想如果说坐标系是数与形结合的纽带,那么函数图象则是数的直观形象的反映。

新课标中有这样的话:“遇到一个新的函数,非常自然的是画出它的图象,观察图象的形状,看看有没有特殊点,并借助图象研究一下它的性质,在数学教学中要注意培养学生看见函数式立即想到它的图象,结合实际图象记性质、用性质的好习惯。

数形要结合,关键在于能根据函数式(或方程)画出图形和根据代数式分析其表示的几何意义。

例1使log2(-x)0-x0或x.>0f(x)<0再结合单调性也可解决问题。

显然麻烦得多。

2 运用数形结合思想解决与圆有关的问题例3: 求函数f(x)=2xx+1+x+2x+1的值域.分析注意到f(x)≥0,因而可以先求[f (x)]2的值域,再求f(x)的值域,平方后解析式变得十分复杂,是否还有其他方法呢?我们不妨用换元法试一试,如令u=xx+1,v =x+2x+1,则u2+v2=2(u≥0,v≥0),由此可联想到其几何图形.解: 令u=xx+1,v =x+2x+1,则u2+v2=2(u≥0,v≥0),它表示以原点为圆心,2为半径的一段圆弧(在第一象限内),又2u+v=y,即v=-2u + y,故点P(u, v)又在直线v=-2u +y上,那么y的几何意义即为直线在y轴上的截距,因而原问题转化为”当直线与这段圆弧有交点时,求直线的纵截距的取值范围“.由图易知此范围为[2,6],故所求的值域为[2,6].例4:已知集合M={(x,y)|y=x=a|},N={(x,y)|y=1-x2|},若集合交集合有两个不同的公共元素,求的取值范围.分析:由于集合不是整个圆,而仅是圆的一部分,应用数形结合思想处理.解:如图2所示,集合M是斜率为1的平行直线系,集合N表示单位圆位于x 轴及其上方的半圆,当l通过A(-1,0)、B(0,1)时,l与半圆有两个交点,此时a=1,l记为l1;当l与半圆相切时,切线l记为l2;当l夹在l1与l2之间时, 与半圆有两个不同的公共元素,因此1a<2.3 数形结合思想在对数中的应用例5:已知函数f(x)=1gx,x≥321g(3-x),x<32,若方程无实数根,则实数k的取值范围是()A.(-∞,0)B.(-∞,1)C.(-∞,1g32)D.(1g32,+∞)解析:所给的函数f(x)是分段函数,而方程f(x)=k无实数根,可利用数形结合法转化为两函数图象无交点.解:在同一坐标系内作出函数y=f(x)与y=k的图象,如图1,∴若两函数图象无交点,则k<1g32,故选C.例6:已知x1是方程x+1gx=3的根,x2是方程x+10x=3的根,那么x1+x2的值为()A.6B.3C.2D.1解:∵1gx=3-x,10x=3-x,令y1=1gx,y2=3-x,y3=10x,在同一坐标系中作出它们的简图,如图2.∵x1是方程x+1gx=3的解,x2是方程x+10x=3的解,∴x1,x2分别对应图中A,B两点的横坐标.∵函数y=1gx与y=10x的图象关于y=x对称,∴线段AB的中点C在直线上y=x.∴由y=x,y=3-x解得x=32.∴x1+x2=3,故选B.4 数形结合思想解决复数模长最值问题例7:设复数z满足|z+i|+|z-i| = 2,求|z+ +1|的最小值.解:由题设知,复数z在复平面内对应的点集是线段AB,如图所示,线段AB上B点到C点距离最短.∵|BC |=1,∴|z+i+1|的最小值为1.点评:在分析问题和解决问题时,要注意解析语言的意义及运用,要掌握图形语言、符号语言及文字语言的互化,自觉地由“形”到“数”与由“形”变“数”.例8:已知复数z = 2+ai(a∈R),求|z+1-i|+|z-1+i|的最小值.解:∵|z+1-i|+|z-1+i| = |z-(-1+i)|+|z-(1-i)|,设z1=-1+i,z2=1-i在复平面上对应的点分别为A(-1,1),B(1,-1).z = 2+ai在直线:x = 2上,B点关于直线l的对称点为C(3,-1),连AC,交于D,则|z+1-i|+|z-1+i|的最小值为:|BD|+|AD| = |AC| =25.5 数形结合思想解决数列问题数列可看成以n为自变量的函数,等差数列可看成自然数n的“一次函数”,前n项和可看成自然数n的缺常数项的“二次函数”,等比数列可看成自然数n的“指数函数”,在解决数列问题时可借助相应的函数图象来解决。

高中数学数形结合思想在解题中的应用

中学数学数形结合思想在解题中的应用一、学问整合1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，运用数形结合的方法，许多问题能迎刃而解，且解法简捷。

所谓数形结合，就是依据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。

数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使困难问题简洁化，抽象问题详细化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与敏捷性的有机结合。

2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

如等式()()x y -+-=214223．纵观多年来的高考试题，奇妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是探讨“以形助数”。

4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发觉解题途径，而且能避开困难的计算与推理，大大简化了解题过程。

这在解选择题、填空题中更显其优越，要留意培育这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。

二、例题分析例1.的取值范围。

之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322-=++ 分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >，()()02bf f k a-=-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故，例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法：原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>⎧⎨⎪⎩⎪<+≥⎧⎨⎩02020202解，得；解，得()()I x II x 0220≤<-≤<综上可知，原不等式的解集为或{|}{|}x x x x x -≤<≤<=-≤<200222 法二、数形结合解法：令，，则不等式的解，就是使的图象y x y x x x y x 121222=+=+>=+在的上方的那段对应的横坐标，y x 2=如下图，不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。

高中数学思想中数形结合

高中数学思想中的数形结合纵观整个中学数学可以看到，中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形。

数是数量关系的体现，形是空间形式的体现，两者是对立统一的，我们在探讨数量关系时常常借助于图形直观地去研究；而在研究图形时，又常借助于图形间隐含的数量关系去求解。

即将数与形灵活地转换，运用彼此间的相互联系和作用，去有效地探求问题的解答，我认为这就是数形结合的思想方法。

华罗庚教授曾精彩地诠释：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。

”由此可见，数形结合的巧与妙，数形结合的思想方法能扬数之长，取形之优，使得数量关系与空间形式珠联壁合，相映生辉。

因此它足以成为高中数学思想方法的一朵奇葩。

数形结合思想在高中数学新课程教材中渗透之深是显而易见的,新教材之中的每一章节内容几乎都有以数形结合的形式出现的题目，这样能很好地培养和发展学生的数形结合思想。

新教材中渗透这一方法，对发展学生的解题思路、寻找最佳解题方法明显带有指导性作用，通过对问题进行正确的分析、比较、合理联想，训练学生思维、拓宽视野，逐步形成正确的解题观；还可在学习中引导学生对抽象概念给予形象化的理解和记忆，提高数学认知能力，并提升对现实世界的认识能力，从而提高数学素养，不断完善自己。

在运用数形结合思想解题时，应必须关注以下几个方面：（1）由数想形时，要注意“形”的准确性，这是数形结合的基础。

（2）数形结合，贵在结合，要充分发挥两者的优势。

“形”有直观、形象的特点，但代替不上具体的运算和证明，在解题中往往提供一种数学解题的平台或模式，而“数”才是其真正的主角，若忽视这一点，很容易造成对数形结合的谬用。

下面我将通过几个模块习题的讲解来感受一下数形结合思想的灵活应用。

一、数形结合在函数问题中应用例题：已知奇函数f(x)的定义域是{x|x≠0,x∈r}，且在(0,+∞）上单调递增，若f(1)=0,满足xf(x)<0的x的取值范围是。

数形结合必考题型全梳理!(附例题)

高中数学：数形结合必考题型全梳理！（附例题）一、数形结合的三个原则一、等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．首先，由代数式、方程、不等式构造函数时一要注意变量(包括自变量和因变量)的取值范围。

二、双向性原则既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，直观的几何说明不能代替严谨的代数推理.另一方面，仅用直观分析，有时反倒使问题变得复杂，比如在二次曲线中的最值问题，有时使用三角换元，反倒简单轻松.三、简单性原则不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，确定好主元；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线(直线中含有参数)与定二次曲线．二、数形结合的应用一、利用数轴、韦恩图求集合利用数形结合的思想解决集合问题，常用的方法有数轴法、韦恩图法等。

当所给问题的数量关系比较复杂，不好找线索时，用韦恩图法能达到事半功倍的效果。

二、数形结合在解析几何中的应用解析几何问题往往综合许多知识点，在知识网络的交汇处命题，备受出题者的青睐，求解中常常通过数形结合的思想从动态的角度把抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来，达到研究、解决问题的目的.构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有：（一）与斜率有关的问题（二）与距离有关的问题三、数形结合在函数中的应用（一）利用数形结合解决与方程的根有关的问题【点拨】数形结合可用于解决方程的根的问题，准确合理地作出满足题意的图象是解决这类问题的前提.（二）利用数形结合解决函数的单调性问题（三）利用数形结合解决比较数值大小的问题（四）函数的最值问题（五）利用数形结合解决抽象函数问题四、运用数形结合思想解不等式（一）解不等式（二）求参数的取值范围五、运用数形结合思想解决三角函数问题时间，提高考试效率，起到事半功倍的效果.六、借助向量的图象解决几何问题利用向量可以解决线段相等，直线垂直，立体几何中空间角（异面直线的角、线面角、二面角）和空间距离（点线距、线线距、线面距、面面距），利用空间向量解决立体几何问题，将抽象的逻辑论证转化为代数计算，以数助形，大大降低了空间想象能力，是数形结合的深化。

高中数学常用的数学思想——数形结合

高中数学常用的数学思想一、数形结合思想方法中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。

数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。

恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。

”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。

“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。

华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。

在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。

数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。

如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。

Ⅰ、再现性题组：1.设命题甲：0<x<5；命题乙：|x－2|<3，那么甲是乙的_____。

高中数学讲义微专题23 恒成立问题——数形结合法

f x a 为 f x向左平移 a 个单位，观察图像可得
不存在满足条件的 a ，当 a 0 时， y ax2 x 开口
向下，且 f x a 为 f x 向右平移 a 个单位，观察可得只需 x 1 , x 1 ，
2
2
f xa
f x ，即可保证
x
1 2
（3）对点评（2）的推广：已知一个函数连续且单调，若两个端点在坐标轴的一侧，则曲线
上所有点均与端点同侧
例 5：已知函数 f x x2 mx 1 ，若对任意的 x m,m 1 ，都有 f x 0 成立，则实
数 m 的取值范围是_____________
思路：恒成立的不等式为 x2 mx 1 0 ，如果进行参变分离，虽可解决问题，但是因为 x
所在区间含参， m 的取值将决定分离时不等号
方向是否改变，需要进行分类讨论，较为麻烦。
换一个角度观察到 f x 是开口向上的抛物线，
m m+1
若要 f x 0 ，只需端点处函数值小于零即可
（无论对称轴是否在区间内），所以只需
f f
m 2m2 1 m 1 2m2
0 3m
0
2 2 3 2
函数对称轴的位置； ③ 图像变换中决定平移的方向与幅度，所以要进行符号的分类讨论。
例
7：已知函数
f
x
a
1 2
x2
2ax
ln
x
.当
x
1,+ 时，不等式
f
x
0 恒成立，
则实数 a 的取值范围是________
思路：所证不等式可转化为
a
1 2
x2
2ax
ln
x

运用数形结合思想巧解高中数学题例析

运用数形结合思想巧解高中数学题例析正文高中数学题目往往给学生带来了很大的困扰，尤其是在运用数形结合思想巧解题目时更是难上加难。

今天我们将通过几个例子来演示如何运用数形结合思想巧解高中数学题目。

例一：已知一个等边三角形的边长为a，求其高和面积。

解题思路：首先我们可以通过数学公式得出等边三角形的高和面积，公式如下：1. 等边三角形的高为：sqrt(3)/2*a2. 等边三角形的面积为：sqrt(3)/4*a^2接着我们可以通过数形结合思想来验证这两个公式。

我们可以画出等边三角形的图形，然后利用勾股定理来计算三角形的高和面积。

解题过程：首先我们画出一个等边三角形ABC，边长为a，然后我们假设高为h。

根据勾股定理，我们可以得到：a^2 = h^2 + (a/2)^2通过这个等式，我们可以求解出h的值，即：h = sqrt(3)/2 * a接着我们计算三角形的面积，根据公式S=1/2*底*高，我们可以得到三角形的面积为：S = sqrt(3)/4*a^2。

通过这种数形结合思想，我们不仅验证了等边三角形的高和面积的公式，而且更加深入地理解了这些公式的意义。

例二：已知梯形的上底长为a，下底长为b，高为h，求其面积。

解题思路：梯形的面积公式为：S=(a+b)*h/2我们可以通过数形结合思想，将梯形拆分成两个三角形和一个矩形，然后分别计算它们的面积来求解梯形的面积。

解题过程：首先我们将梯形拆分成上下两个三角形和一个矩形。

然后我们分别计算这两个三角形和一个矩形的面积，然后相加起来就是梯形的面积。

三角形1的底长为a，高为h，面积为：Sa=1/2*a*h三角形2的底长为b，高为h，面积为：Sb=1/2*b*h矩形的长为(a+b)，宽为h，面积为：Sc=(a+b)*h最后将这三个部分的面积相加起来就是梯形的面积，即：S=Sa+Sb+Sc=(a+b)*h/2通过这种数形结合思想，我们可以更加直观地理解梯形的面积公式，并且能够灵活地应用到解题过程中。

高中数学解题中数形结合思想的应用分析

中学教学2020年第5期在学习数学知识的过程中运用数形结合思想，能够将较为抽象的数学语言，以更加直观、形象的方式展现出来，属与一种能够将数字和图形进行完美结合的教学方式，同时也可以作为学生的学习方式，提高学生的解题效率。

使用数形结合思想能够实现数字和图形之间的转换，将较为复杂的数学问题变得简单，既能够保证数学题目的严谨性，还能对解题方式和解题流程进行有效优化，因此，深入研究数形结合在数学教学中的应用方式对提高教学质量具有很大帮助。

一、利用数形结合思想解决高中数学集合问题韦恩图法则作为数形结合思想中重要的组成部分，对解决高中阶段数学教学内容中的集合类为题具有有效作用，能够帮助学生更好的理解和分析问题，使学生掌握正确的学习方式。

在数学题目中，通常会使用圆形来代表一个集合，如果在题目中有两个圆，则代表有两个集合，这两个圆如果存在相交区域，证明两个集合之间存在公共元素，通过结合韦恩图法则解释数学集合问题，可以更加直观的对题目内容进行观察和分析。

例如，数学题目为：班级内共有48名同学，如果每个学生必须参加最少一个兴趣小组，其中参加数学兴趣小组、物理兴趣小组和化学兴趣小组的学生数量分别为28（人）、25（人）、15（人）同时参加了数学兴趣小组和物理兴趣小组的学生共有8（人）同时参加了数学兴趣小组和化学兴趣小组的同学共有6（人）同时参加了物理兴趣小组和化学兴趣小组的同学共有7（人）。

提问：同时参加三个兴趣小组的学生共有多少人？在这道数学题目当中，可以分别使用三个圆形来代表参加不同小组的学生数量，这三个圆可以分别用A、B、C来命名，在三个圆形相交的区域就可以代表参加了三个兴趣小组的学生数量，使用n来表示集合元素，如图1所示，则可以得到以下信息：n（A）+n（B）+n（C）-n（A∩B）-n（A∩C）-n（B∩C）+n（A∩B∩C）=48；28+25+15-8-6-7+n（A∩B∩C）=48，因此得出n（A∩B∩C）=1。

数形结合——定值与最值问题的“绿色通道”

数形结合——定值与最值问题的“绿色通道”作者：王佩其来源：《广东教育·高中》2010年第11期众所周知,解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一,其本质是用代数方法研究图形的几何性质,体现了数形结合的重要数学思想.“曲线”与“方程”是同一对象(即点的轨迹)的两种表现形式,曲线是轨迹的几何形式,方程是轨迹的代数形式.它们在表现和研究轨迹的性质时,各有所长.几何形式具有直观形象的优点,代数形式具有便于运算的优势,因而具有操作程序化的长处.具体解题时最好将二者结合起来,这就是“数形结合”思想.定值与最值问题,是高考中的“常客”.“数形结合”,是引领我们走向成功的“绿色通道”.一、由“形”构“数”,妙解解析几何定值问题解析几何中的定值问题,在高考中具有一定难度. 求解这类问题的关键是利用解析几何中有关曲线的定义、性质以及图形特征,转化为代数问题.例1已知如图1,椭圆的方程+=1.在椭圆上任取三个不同点P1,P2,P3,使∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP1,证明++为定值,并求此定值.点拨心里有什么,眼里就看到什么!对于本题,心里有函数的人首先看到了函数:|PF1|、|PF2|、|PF3|都是角=∠xFP1的函数.心里有方程的人,首先看到了方程:|PF1|•cos=x-c( x是点P1的横坐标).心里既有函数又有方程的人,不仅同时看到了本题中函数与方程,而且还看到了函数与方程的关系.设∠xFP1=,于是有∠xFP2=+,∠xFP3=+ .设|FP1|=r1,P1到x轴的垂线段为P1M,P1到准线l∶x=12的垂线段为P1Q,于是由图2可得|FM|=r1cos,由e=得|P1Q|=2r1,于是有方程:r1cos+2r1=12-3=9,从而有函数:r1=,即=,同理有=,=.于是有函数方程的统一体:++=[3+cos+cos(+)+cos(+)]=×3=.点评圆锥曲线定义是运用数形结合思想解题的依据,把一些代数问题通过转化,运用圆锥曲线的定义与几何性质解题是简化解题过程的最佳手段,而函数与方程思想是求解解析几何定值问题的基本策略.变式如图3,在平面直角坐标系xOy中,过定点C(0,p)作直线与抛物线x2=2py(p>0)相交于两点.则直线y=被以AC或BC为直径的圆截得的弦长恒为定值p.点拨1 设AC的中点为O′,y=与AC为直径的圆相交于点P、Q,PQ的中点为H,则O′H⊥PQ,O′点的坐标为(,).∵ |O′P|=|AC|==,|O′H|=|-|=y1,∴ |PH|2=|O′P|2-|O′H|2=(y21+p2)-y21=p2,∴ |PQ|2=(2 |PH|)2=4×p2=p2,∴ |PQ|=p为定值.同理直线y=被以BC为直径的圆截得的弦长也恒为定值p.点拨2 以AC为直径的圆的方程为(x-0)(x-x1)-(y-p)(y-y1)=0,将直线方程y=代入得x2-x1x-+y1=0,设直线y=与以AC为直径的圆的交点为P(x2,y2),Q(x3,y3),则x2+x3=x1,x2x3=-+y1,∴ |PQ|=|x2-x3|===p,∴|PQ|=p为定值.同理直线y=被以BC为直径的圆截得的弦长也恒为定值p.类题练习已知抛物线y2=2px(p>0),A、B是抛物线上异于原点O的两个不同点,直线OA和OB的倾斜角分别为和,当,变化且+为定值(0答案如图4,设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得x1≠x2(否则+=)且x1,x2≠0,所以直线AB的斜率存在,设其方程为y=kx+b,显然x1=,x2=,将y=kx+b与y2=2px(p>0)联立消去x,得ky2-2py+2pb=0,由韦达定理知y1+y2=,y1•y2=…①(1)当=时,即+=时,tan•tan=1,所以•=1,x1x2-y1y2=0,-y1y2=0,所以y1y2=4p2,由①知:=4p2,所以b=2pk.因此直线AB的方程可表示为y=kx+2pk,即k(x+2p)-y=0,所以直线AB恒过定点(-2p,0).(2)当≠时,由+=,得tan=tan(+)==,将①式代入上式整理化简可得:tan=,所以b=+2pk.此时,直线AB的方程可表示为y=kx++2pk,即k(x+2p)-(y-)=0,所以直线AB恒过定点(-2p,).所以由(1)(2)知,当=时,直线AB恒过定点(-2p,0),当≠时直线AB恒过定点(-2p,).二、由“数”构“形”,巧借解析几何求最值有些最值问题,看似与解析几何无关,但若能挖掘所给解析式的几何意义,即由“数”构“形”,那么我们就可以从解析几何的角度出发,抓住问题的本质,从而使原问题快速获解!例2已知x2+y2-6x-8y=0,则+的最小值是.点拨已知条件是圆方程,+能否转化为两段距离之和呢?因为x2+y2-6x-8y=0,所以+=+=+=+上式表示点P(x,y)到两定点A(-3,0),B(3,0)距离之和,而P(x,y)点在以(3,4)为圆心,5为半径的圆周上,故原问题等价于在圆上求一点使之到两定点A、B距离的和最小(如图5).因为圆过原点,所以原点到A、B两点的距离之和最小,最小值为|AB|=6,此时x=0,y=0.)点评利用数形结合的思想求解某些代数式的最值,关键是将代数式“改造”,或改造成两点间的距离公式,或改造成点到直线的距离公式,并挖掘出动点的几何意义,最终转化为解析几何问题,如对称问题,直线与圆(圆弧)的位置关系问题.变式求函数y=|x+2-|的最值.点拨将原函数变形为y=•,理解为动点(x,)到直线x-y+2=0的距离即可,不难看出动点(x,)的轨迹为单位圆在x轴上方的部分.如图6所示,所求函数的最小值,即为原点到直线x-y+2=0的距离与单位圆的半径之差的倍,即ymin=×(-1)=2-;而最大值为点(1,0)到直线x-y+2=0的距离的倍,即ymax=×(-1)=3.类题练习已知a、b∈R+,且a+b=1,求u=的最小值.答案设(a+2)2+(b+2)2=r2(r>0),则点(a,b)是直线x+y=1与圆(x+2)2+(y+2)2=r2在第一象限内的公共点(如图7),从而圆心(-2,-2)到直线的距离满足:d=≤r.∴ r2≥,即(a+2)2+(b+2)2≥,故umin=.责任编校徐国坚。