2013年全国高考新课标1卷理科数学试题和答案
2013年四川省高考数学试卷及答案 word版(理)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。
满分150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项;必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1、设集合}02|{=+=x x A ，集合}04|{2=-=x x B ，则=⋂B A（A ）}2{- (B){ 2 } (C) {-2，2} （D ）φ2、如图在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（A ） A （B ） B (C) C （D ） D3、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是4、设则：是偶数集，若命题是奇数集，集合集合,2,p B A ,B x A x Z x ∈∈∀∈（A ）B x A x p ∉∈∀⌝2,: （B ）B x A x p ∉∉∀⌝2:，(C) B x A x p ∈∉∀⌝2:，（D ）B x A x p ∉∈∀⌝2:，5、函数)220)(sin(2)(πϕπωϕω<<->+=，x x f 的部分图像如图所示，则ϕω、的值分别是（A ） 2，3-π （B ） 2，6-π(C) 4，6-π （D ）4，3π6、抛物线x y42=的焦点到双曲线1322=-yx的渐近线的距离是（A ）21 （B ）23(C) 1 （D ）37、函数133-=x xy 的图像大致是8、从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a 、b ，共可得到b a lg lg -的不同值的个数是（A ） 9 （B ） 10 (C) 18 （D ） 209、节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（A ）41 （B ）21 (C)43 （D ）8710、设函数为自然对数的底数），e R a a x x f x∈-+=(e)(若曲线x y sin =上存在点)(00y x ，使得00))((y y f f =，则a 的取值范围是（A ） ]e ,1[ （B ）]11e[1，-- (C) [] （D ） [1-]第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。
2013年高考理科数学全国卷1-答案
故选A．故选A．综上可知：[,0]2a ∈-．（步骤4）【提示】由1n n a a +=可知n n n A B C △的边n n B C 为定值1a ，由111112(2)2n n n n b c a b c a +++=+--及1112b c a +=得12n n b c a +=，则在n n n A B C △中边长1n n B C a =为定值，另两边n n n n A C A B 、的长度之和12n n b c a +=为定值，由此可知顶点n A 在以n n B C 、为焦点的椭圆上，根据111()2n n n n b c b c ++=---，得1111()2n n n b c b c -⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，可知n →+∞时n n b c →，据此可判断n n n A B C △的边n n B C 的高n h 随着n 的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．51111得1AB AC ⊥； （Ⅱ）易证OA ，1OA ，OC 两两垂直．以O 为坐标原点，OA u u u r的方向为x 轴的正向，||OA u u u r 为单位长，建立r u u u r【提示】（Ⅰ）设动圆的半径为R ，由已知动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，可得1212()()|+|+++4PM PN R r r R r r ==-=||，而||2NM =，由椭圆的定义可知：动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；（Ⅱ）设曲线C 上任意一点,()P x y ，由于||2222PM PN R ≤|-|=-，所以2R ≤，当且仅当圆P 的圆心为所以可设l ：4)+(y k x =，与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出． 【考点】圆的标准方程及其性质，椭圆的的定义及其几何性质，直线与双曲线的位置关系． 21.【答案】（Ⅰ）4a =2b = 2c = 2d =（Ⅱ）2[1,]e【解析】（Ⅰ）由已知得(0)2f =，(0)2g =，(0)4f '=，(0)4g '=．（步骤1）而+()2f x x a ='，((+))+xg x e cx d c '=，故2b =，2d =，4a =，+4d c =.（步骤2）从而4a =，2b =，2c =，2d =．（步骤3）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2()+4+2f x x x =，()21)+(x g x e x =．设函数2()()()2()+142x F x kg x f x ke x x x =-=---，则()2+()2242+1(2())x x F x ke x x x ke '=--=-．由题设可得(0)0F ≥，即1k ≥（步骤4）令()0F x '=得1ln x k =-，22x -=．（步骤5）①若21k e ≤<，则120x <≤-．从而当12(),x x ∈-时，()0F x '<；当1(),+x x ∈∞时，()0F x '>．即()F x 在1()2,x -单调递减，在1(),+x ∞单调递增．故()F x 在[)2,+-∞的最小值为1()F x ．（步骤6）而1111211()2+24+0)22(F x x x x x x =--=-≥-．故当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f kg x x ≤恒成立．（步骤7）②若2k e =，则2222+()()()2x F e x e e x -'=-．从而当2x >-时，)0(F x '>，即F (x )在()2,+-∞单调递增．而()20F -=，故当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f kg x x ≤恒成立．（步骤8）③若2k e >，则22222+220()()F ke e k e ---=-=-<-．从而当2x ≥-时，()()f kg x x ≤不可能恒成立．综上，k 的取值范围是2[1,]e ．（步骤9）【提示】（Ⅰ）对()f x ，()g x 进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点(0,2)P ，从而解出a ，b ，c ，d 的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）得出()f x ，()g x 的解析式，再求出()F x 及它的导函数，通过对k 的讨论，判断出()F x 的【提示】（Ⅰ）对于曲线1C 利用三角函数的平方关系式22sin cos 1t t +=即可得到圆1C 的普通方程；再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到1C 的极坐标方程；（Ⅱ）先求出曲线2C 的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极坐标与直角坐标3⎝⎦21||23|2|x x y x +-=---，画出函数y 的图象，数形结合可得结论．。
高考全国卷1理科数学试题及答案
普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前, 考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案标号。
回答非选择题时, 将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分。
在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1．设1i2i 1iz -=++, 则||z = A ．0 B ．12C ．1D ．22．已知集合{}220A x x x =-->, 则A =R ð A ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤C ．}{}{|1|2x x x x <->UD ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥U3．某地区经过一年的新农村建设, 农村的经济收入增加了一倍, 实现翻番, 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况, 统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例, 得到如下饼图：建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是A ．新农村建设后, 种植收入减少B ．新农村建设后, 其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后, 养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后, 养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和, 若3243S S S =+, 12a =, 则=5a A ．12-B ．10-C ．10D ．125．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+, 若()f x 为奇函数, 则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =6．在ABC △中, AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点, 则EB =u u u rA ．3144AB AC-u u ur u u u rB ．1344AB AC -u u ur u u u rC ．3144AB AC +u u ur u u u rD ．1344AB AC +u u ur u u u r7．某圆柱的高为2, 底面周长为16, 其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A , 圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B , 则在此圆柱侧面上, 从M 到N 的路径中, 最短路径的长度为A ．172B ．52C ．3D ．28．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F , 过点（–2, 0）且斜率为23的直线与C 交于M , N 两点, 则FM FN ⋅u u u u r u u u r=A ．5B ．6C ．7D ．89．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点, 则a 的取值范围是 A ．[–1, 0）B ．[0, +∞）C ．[–1, +∞）D ．[1, +∞）10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成, 三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC , 直角边AB , AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I, 黑色部分记为II, 其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点, 此点取自I, II,III 的概率分别记为p 1, p 2, p 3, 则A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 311．已知双曲线C ：2213x y -=, O 为坐标原点, F 为C 的右焦点, 过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若△OMN 为直角三角形, 则|MN |= A ．32B ．3C ．3D ．412．已知正方体的棱长为1, 每条棱所在直线与平面α所成的角相等, 则α截此正方体所得截面面积的最大值为 A 33B 23C 32D 3 二、填空题：本题共4小题, 每小题5分, 共20分。
2013年北京高考数学理科试卷(带详解)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学（理）本试卷共5页，150分.考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效．考试结束后，将本卷和答题卡一并交回．第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题．每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1.已知集合{1,0,1}A =-，{|11}B x x =-<…，则A B = （ ）A.{0}B.{1,0}-C.{0,1}D.{1,0,1}-【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】给出两个集合求两者交集. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】{－1,0,1} {x |－1…x ＜1}＝{－1,0}．2.在复平面内，复数2(2i)-对应的点位于 （ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【测量目标】复数代数形式的四则运算，复平面.【考查方式】给出复数的代数形式先化简再判断该复数对应的点所在的复平面. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】∵(2－i)2＝3－4i ，∴该复数对应的点位于第四象限，故选D.3.“πϕ=”是“sin(2)y x ϕ=+过坐标原点”的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【测量目标】四种命题及其之间的关系.【考查方式】给出两个命题判断其之间的关系. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】∵φ＝π，∴y ＝sin(2x ＋π)＝－sin 2x ， ∴曲线过坐标原点，故充分性成立；（步骤1）∵y ＝sin(2x ＋φ)过原点，∴sin φ＝0，∴φ＝k π，k ∈Z . （步骤2） 故必要性不成立．故选A. 4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （ ）第4题图 JC93A.1B.23C.1321D.610987【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】阅读题中所给的循环结构的程序框图，运行并得出所需结果. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】依次执行的循环为S ＝1，i ＝0；23S =，i ＝1；1321S =，i ＝2.故选C. 5.函数()f x 的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线e x y =关于y 轴对称，则()f x =（ ）A.1ex + B.1ex - C.1ex -+ D.1ex --【测量目标】指数函数的图象及其性质.【考查方式】给出函数的图像进过平移所得与另一函数图像关于轴对称求原函数的解析式. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】依题意，f (x )向右平移1个单位之后得到的函数应为y ＝e x -，于是f (x )相当于y＝e x-向左平移1个单位的结果，∴f (x )＝1ex --，故选D.6.若双曲线22221x y a b-=则其渐近线方程为 （ ）A.2y x =±B.y =C.12y x =±D.2y x =± 【测量目标】双曲线的简单几何性质.【考查方式】已知双曲线的离心率求解双曲线的渐近线方程. 【难易程度】容易 【参考答案】Bc ，∴b .∴渐近线方程为by x a=±=，故选B.7.直线l 过抛物线2:4C x y =的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于（ ）A.43B.2C.83【测量目标】直线与抛物线的位置关系及抛物线的简单几何性质.【考查方式】已知直线与抛物线的位置关系求解直线与抛物线所围面积. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】由题意可知，l 的方程为y ＝1.如图，B 点坐标为(2,1)，∴所求面积S ＝4－2202d 4x x ⎰＝4－3202|12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝83，故选C.第7题图 JC1008.设关于,x y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点00(,)P x y ，满足0022x y -=，求得m 的取值范围是 （ ） A.4(,)3-∞ B.1(,)3-∞C.2(,)3-∞-D.5(,)3-∞-【测量目标】判断不等式组表示的平面区域.【考查方式】给出一个不等式组求在其所表示的平面区域内的点所满足的方程的未知参数. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】图中阴影部分表示可行域，要求可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需要可行域的边界点(－m ，m )在y ＝12x －1下方，也就是m ＜12-m －1，即23m <-.故选C.第8题图 JC101第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6题，每小题5分，共30分．9.在极坐标系中，点π(2,)6到直线sin 2ρθ=的距离等于_____． 【测量目标】极坐标系，点到直线的距离.【考查方式】直接求极坐标系中的点到直线的距离. 【难易程度】中等 【参考答案】1【试题解析】在极坐标系中，点π2,6⎛⎫⎪⎝⎭对应直角坐标系中坐标为1)，直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中的方程为y ＝2，所以点到直线的距离为1.10.若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比q =__________;前n 项n S =_____．【测量目标】等比数列的性质及其前n 项和.【考查方式】已知等比数列中项之间的关系求解其公比与及其前n 项和. 【难易程度】中等 【参考答案】2 12n +－2【试题解析】由题意知352440220a a q a a +===+.由a 2＋a 4＝a 2(1＋q 2)＝a 1q (1＋q 2)＝20，∴a 1＝2.∴S n ＝21212n (-)-＝12n +－2.11.如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，若3PA =，:9:16PD DB =，则PD =__________，AB =__________.第11题图 JC94【测量目标】切割线定理.【考查方式】给出圆与有关该圆的某些直线，运用切割线定理求解线段的长度. 【难易程度】容易 【参考答案】954【试题解析】设PD ＝9k ，则DB ＝16k (k ＞0)．由切割线定理可得，P A 2＝PD PB ， 即32＝9k 25k ，可得15k =.∴PD ＝95，PB ＝5. 在Rt △APB 中，AB＝4.12.将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是__________．【测量目标】排列组合的实际应用.【考查方式】运用排列组合的相关性质求解实际问题. 【难易程度】容易 【参考答案】96(种)【试题解析】连号有4种情况，从4人中挑一人得到连号参观券，其余可以全排列，则不同的分法有4×1343C A ＝96(种)．13.向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示，若λμ=+c a b (,)λμ∈R ，则λμ=__________．第13题图 JC95【测量目标】平面向量的数量积的综合应用.【考查方式】已知平面向量之间的关系求解未知量. 【难易程度】容易 【参考答案】4【试题解析】可设a ＝－i ＋j ，i ，j 为单位向量且i ⊥j ，则b ＝6i ＋2j ，c ＝－i －3j , （步骤1由c ＝λa ＋μb ＝(6μ－λ)i ＋(λ＋2μ)j ，∴6123,μλλμ-=-⎧⎨+=-⎩，解得21.2λμ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴4λμ=.（步骤2） 14.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E 为BC 的中点，点P 在线段1D E 上，点P 到直线1CC 的距离的最小值为__________.第14题图 JC96【测量目标】立体几何体中点到直线的距离.【考查方式】已知几何体中点与线之间的关系求解点到直线的距离. 【难易程度】中等【试题解析】过E 点作EE 1垂直底面A 1B 1C 1D 1，交B 1C 1于点E 1，连接D 1E 1，过P 点作PH 垂直于底面A 1B 1C 1D 1，交D 1E 1于点H ，P 点到直线CC 1的距离就是C 1H ，故当C 1H 垂直于D 1E 1时，P 点到直线CC 1距离最小，此时，在Rt △D 1C 1E 1中，C 1H ⊥D 1E 1，D 1E 1 C 1H ＝C 1D 1C 1E 1，∴C 1H=第14题图 JC97三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）在ABC △中，3a =，b =2B A ∠=∠． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求c 的值．【测量目标】正弦定理，解三角形.【考查方式】已知三角形中的角与边运用正弦定理求解未知的角与边. 【难易程度】容易【试题解析】（Ⅰ）因为a ＝3，b =B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin sin 2A A=.所以2sin cos sin 3A A A =.故cos A ＝3（步骤1）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，cos A ＝3sin A 3=.（步骤2）又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B 3=.（步骤3）在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B .所以c ＝sin sin a CA＝5. （步骤4）16.(本小题共13分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天到达该市，并停留2天．第16题图 JC113（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率；（Ⅱ）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）【测量目标】离散型随机变量的分布列，期望和方差；用样本数字特征估计总体数字特征. 【考查方式】运用概率的相关知识提取实际问题中的关键要素构成分布列求其数学期望并解答.【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）设i A 表示事件“此人于3月i 日到达该市”(i ＝1,2，…，13)． 根据题意，P (i A )＝113，且i j A A ＝∅(i ≠j )． 设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B ＝58A A . 所以P (B )＝P (58A A )＝P (5A )＋P (8A )＝213.（步骤1） （Ⅱ）由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2，且P (X ＝1)＝()()()()()3671136711413P A A A A P A P A P A P A =+++= ， P (X ＝2)＝()()()()()121213121213413P A A A A P A P A P A P A =+++=P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝513.所以X 的分布列为：2）故X 的期望EX ＝0×513＋1×413＋2×413＝1213.（步骤3） （Ⅲ）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．17.（本小题共14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AAC C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =． （Ⅰ）求证：1AA ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求二面角111A BC B --的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段1BC 上存在点D ，使得1AD A B ⊥，并求1BDBC 的值．第17题图 JC98【测量目标】线面垂直，异面直线所成的角，线线垂直的判断.【考查方式】运用线面垂直的相关判定求解线面垂直与异面直线所成的角. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）因为11AAC C 为正方形，所以1AA AC ⊥. 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且1AA 垂直于这两个平面的交线AC ， 所以1AA ⊥平面ABC . （步骤1） （Ⅱ）由(1)知1AA ⊥AC ，1AA ⊥AB .由题知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，所以AB ⊥AC . （步骤2） 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz ， 则B (0,3,0)，1A (0,0,4)，1B (0,3,4)，1C (4,0,4)．设平面11A BC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则1110,0,A B A C ⎧=⎪⎨=⎪⎩ n n 即340,40.y z x -=⎧⎨=⎩ 令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以n ＝(0,4,3)． 同理可得，平面11B BC 的法向量为m ＝(3,4,0)．（步骤3）所以cos 〈n ，m 〉＝16||||25= n m n m .（步骤4）由题知二面角111A BC B --为锐角，所以二面角111A BCB --的余弦值为1625.（步骤5）第17题（Ⅱ）图 JC99（Ⅲ）设D (x ，y ，z )是直线1BC 上一点，且BD ＝λ1BC ，所以(x ，y －3，z )＝λ (4，－3,4)． 解得x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ.所以AD＝(4λ，3－3λ，4λ)．（步骤6） 由AD 1A B ＝0，即9－25λ＝0，解得925λ=. 因为925∈[0,1]，所以在线段1BC 上存在点D ，使得AD ⊥1A B .此时，1925BD BC λ==.（步骤7） 18.（本小题共13分）设l 为曲线ln :xC y x=在点(1,0)处的切线． （Ⅰ）求l 的方程；（Ⅱ）证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线l 的下方． 【测量目标】利用导数求直线方程，导数的几何意义.【考查方式】已知直线是另一曲线在某点处的切线，求解直线方程. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）设()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=.所以()11f '=. 所以l 的方程为y ＝x －1.（步骤1）（Ⅱ）令g (x )＝x －1－f (x )，则除切点之外，曲线C 在直线l 的下方等价于g (x )＞0(∀x ＞0，x ≠1)．（步骤2）g (x )满足g (1)＝0，且()g x '＝1－()f x '＝221ln x x x -+.当0＜x ＜1时，2x －1＜0，ln x ＜0，所以()g x '＜0，故g (x )单调递减；当x ＞1时，2x －1＞0，ln x ＞0，所以()g x '＞0，故g (x )单调递增．所以，g (x )＞g (1)＝0(∀x ＞0，x ≠1)． （步骤3） 所以除切点之外，曲线C 在直线l 的下方．（步骤4）19.（本小题共14分）已知A ，B ，C 是椭圆22:14x W y +=上的三个点， O 为坐标原点． （Ⅰ）当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；（Ⅱ）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由． 【测量目标】椭圆的简单几何性质.【考查方式】已知椭圆的基本量，利用椭圆的简单几何性质判定椭圆内四边形是否存在以及其面积的求解. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）椭圆W ：24x ＋y 2＝1的右顶点B 的坐标为(2,0)．因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．所以可设A (1，m )，代入椭圆方程得14＋m 2＝1，即m＝±（步骤1）所以菱形OABC 的面积是12OB AC ＝12×2×2m （步骤2） （Ⅱ）假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．（步骤3）由2244,x y y kx m⎧+=⎨=+⎩消y 并整理得()2214k x +＋8kmx ＋24m －4＝0. 设()()1122,,,A x y C x y ，则1224214x x km k +=-+，121222214y y x x mk m k++=+=+ . 所以AC 的中点为M 224,1414kmm k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.（步骤4） 因为M 为AC 和OB 的交点，所以直线OB 的斜率为14k-.因为k 14k ⎛⎫- ⎪⎝⎭≠－1，所以AC 与OB 不垂直．所以OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．（步骤5）20.（本小题共13分）已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后各项12,,n n a a ++⋅⋅⋅的最小值记为n B ，n n n d A B =-．（Ⅰ）若{}n a 为2,1,4,3,2,1,4,3,⋅⋅⋅，是一个周期为4的数列，（即对任意n *∈N ，4n n a a +=），写出1d ，2d ，3d ，4d 的值；（Ⅱ）设d 是非负整数，证明：n d d =-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅的充分必要条件为{}n a 是公差为d 的等差数列．（Ⅲ）证明：若12a =，1n d =(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，则{}n a 的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．【测量目标】数列的综合运用，数列的性质.【考查方式】给出一个数列，运用其相关性质求解未知数. 【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）1d ＝2d ＝1，3d ＝4d ＝3.（步骤1） （Ⅱ）(充分性)因为{}n a 是公差为d 的等差数列，且d …0， 所以12n a a a ……剟.剟因此1,,n n n n A a B a +==，1n n n d a a +=- ＝－d (n ＝1,2,3，…)．（步骤2） (必要性)因为n d ＝－d …0(n ＝1,2,3，…)，所以n n n n A B d B =+….（步骤3） 又因为1,,n n n n a A a B +剠所以1n n a a +….于是1,n n n n A a B a +==，因此1n n n n n a a B A d d +-=-=-=， 即{}n a 是公差为d 的等差数列．（步骤4） （Ⅲ）因为112,1a d ==，所以111112,1A a B A d ===-=. 故对任意11,1n n a B =厖.（步骤5） 假设{}n a (n …2)中存在大于2的项． 设m 为满足m a ＞2的最小正整数， 则m …2，并且对任意1…k ＜m ，2k a ….（步骤6） 又因为12a =，所以12,m A -=2m m A a =>. 于是m m m B A d =-＞2－1＝1，{}1min ,2m m m B a B -=…. 故111220m m m d A B ---=--=…，与1m d -＝1矛盾． 所以对于任意1n …，有2n a …，即非负整数列{}n a 的各项只能为1或2. （步骤7） 因为对任意1n …，2n a …＝1a ，所以2n A =.（步骤8） 故211n n n B A d =-=-=.因此对于任意正整数n ，存在m 满足m ＞n ，且1m a =， 即数列{}n a 有无穷多项为1. （步骤9）。
2013年高考数学全国卷1(完整版试题+答案+解析)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．考试时间120分钟．满分150分．答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在第Ⅰ卷答题卡和第Ⅱ卷答题纸规定的位置． 参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差nx x x x x x s n 22221)()()(-++-+-=其中x 为样本平均数球的面积公式24R S π=第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． 2．第Ⅰ卷只有选择题一道大题．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.复数ii++121（i 是虚数单位）的虚部是 A ．23 B ．21C ．3D ．1 2.已知R 是实数集，{}11,12+-==⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=x y y N x xM ，则=M C N R A ．)2,1(B ．[]2,0C .∅D ．[]2,13.现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这个数组的标准差是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．44.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，0852=-a a ，则=24S S A ．5 B ．8 C ．8- D ．15 5.已知函数)62sin()(π-=x x f ，若存在),0(π∈a ，使得)()(a x f a x f -=+恒成立，则a的值是A ．6π B ．3π C ．4π D ．2π 6.已知m 、n 表示直线，γβα,,表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为 （1）βααβα⊥⊥⊂=则,,,m n n m （2）m n n m ⊥==⊥则,,,γβγαβα （3）,,βα⊥⊥m m 则α∥β （4）βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,n m n mA ．（1）、（2）B ．（3）、（4）C ．（2）、（3）D ．（2）、（4）7.已知平面上不共线的四点C B A O ,,,，若||,23BC AB OC OB OA -=等于A ．1B ．2C ．3D ．4 8.已知三角形ABC ∆的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为23，则这个三角形的周长是A ．18B ．21C ．24D ．15 9.函数xx x f 1lg )(-=的零点所在的区间是 A ．(]1,0 B ．(]10,1 C ．(]100,10 D ．),100(+∞ 10.过直线y x =上一点P 引圆22670x y x +-+=的切线，则切线长的最小值为A ．22 B ． 223 C ．210 D ．211.已知函数b ax x x f 2)(2-+=.若b a ,都是区间[]4,0内的数，则使0)1(>f 成立的概率是A ．43 B ．41 C ．83D ．8512.已知双曲线的标准方程为116922=-y x ，F 为其右焦点，21,A A 是实轴的两端点，设P 为双曲线上不同于21,A A 的任意一点，直线P A P A 21,与直线a x =分别交于两点N M ,,若0=⋅FN FM ,则a 的值为A ．916 B ．59 C ．925 D ．516题图第13第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1． 请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ卷答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．2． 不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效． 3． 第Ⅱ卷共包括填空题和解答题两道大题． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13.如图所示的程序框图输出的结果为__________.14. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示，其在一个球面上，则该球的表面积为__________.15.地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为)4.11(lg 32-=E R ．2011年3月11日，日本东海岸发生了9.0级特大地震，2008年中国汶川的地震级别为8.0级，那么2011年地震的能量是2008年地震能量的 倍． 16.给出下列命题： ①已知,,a b m都是正数，且bab a >++11，则a b <； ②已知()f x '是()f x 的导函数，若,()0x R f x '∀∈≥，则(1)(2)f f <一定成立； ③命题“x R∃∈，使得2210x x -+<”的否定是真命题； ④“1,1≤≤y x 且”是“2≤+y x ”的充要条件.其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上)第14题图三、解答题：本大题共６小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知向量),2cos 2sin 3()2cos ,1(y xx b x a +==→→与共线，且有函数)(x f y =．（Ⅰ）若1)(=x f ，求)232cos(x -π的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，角C B A ,,,的对边分别是c b a ,,，且满足b c C a 2cos 2=+，求函数)(B f 的取值范围.18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T .已知四棱锥BCDE A -，其中1====BE AC BC AB ，2=CD ，ABC CD 面⊥，BE∥CD ，F 为AD 的中点. （Ⅰ）求证：EF ∥面ABC ； （Ⅱ）求证：面ACD ADE 面⊥； （III ）求四棱锥BCDE A -的体积.20.（本小题满分12分）在某种产品表面进行腐蚀性检验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间x 之间对应的一组数据：现确定的研究方案是：先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（Ⅰ）求选取的2组数据恰好不相邻的概率；（Ⅱ）若选取的是第2组和第5组数据，根据其它4组数据，求得y 关于x 的线性回归方程26139134ˆ+=x y，规定由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2微米，则认为得到的线性回归方程是可靠的，判断该线性回归方程是否可靠．AB CDEF已知函数1)(2++=x bax x f 在点))1(,1(--f 的切线方程为03=++y x . （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设x x g ln )(=，求证：)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立.22.（本小题满分14分）实轴长为34的椭圆的中心在原点，其焦点1,2,F F 在x 轴上.抛物线的顶点在原点O ，对称轴为y 轴，两曲线在第一象限内相交于点A ,且12AF AF ⊥，△12AF F 的面积为3. （Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程；（Ⅱ）过点A 作直线l 分别与抛物线和椭圆交于C B ,,若AB AC 2=,求直线l 的斜率k .参考答案及评分标准一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）B D B A D B B D BC C B二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）13．2 14.π31915. 2310 16. ①③三．解答题17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵→a 与→b 共线∴yxx x 2cos 2cos2sin 31=+21)6sin()cos 1(21sin 232cos 2cos 2sin 32++=++=+=πx x x x x x y …………3分∴121)6sin()(=++=πx x f ，即21)6sin(=+πx …………………………………………4分211)6(sin 21)3(cos 2)3(2cos )232cos(22-=-+=--=-=-ππππx x x x…………………………………………6分 （Ⅱ）已知b c C a 2cos 2=+由正弦定理得：CA C A C C A C ABC C A sin cos 2cos sin 2sin cos sin 2)sin(2sin 2sin cos sin 2+=++==+∴21cos =A ，∴在ABC ∆中 ∠3π=A …………………………………………8分 21)6sin()(++=πB B f∵∠3π=A ∴320π<<B ,6566πππ<+<B …………………………………………10分∴1)6sin(21≤+<πB ,23)(1≤<B f ∴函数)(B f 的取值范围为]23,1( …………………………………………12分18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）依题意得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⨯++⨯+)12()3(5025452233112111d a a d a d a d a …………………………………………2分 解得⎩⎨⎧==231d a ， …………………………………………4分 1212)1(23)1(1+=+=-+=-+=∴n a n n d n a a n n 即，．……………………………6分(Ⅱ)13-=n nna b ，113)12(3--⋅+=⋅=n n n n n a b …………………………………………7分 123)12(37353-⋅+++⋅+⋅+=n n n T n n n n n T 3)12(3)12(3735333132⋅++⋅-++⋅+⋅+⋅=- ……………………9分n n n n T 3)12(3232323212+-⋅++⋅+⋅+=--nnn n n 323)12(31)31(3231⋅-=+---⋅+=- ∴nn n T 3⋅= …………………………………………12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）取AC 中点G,连结FG 、BG ， ∵F,G 分别是AD,AC 的中点∴FG ∥CD,且FG=21DC=1 ．∵BE ∥CD ∴FG 与BE 平行且相等∴EF ∥BG ． ……………………………2分ABC BG ABC EF 面面⊂⊄,∴EF ∥面ABC ……………………………4分 （Ⅱ）∵△ABC 为等边三角形 ∴BG ⊥AC 又∵DC ⊥面ABC,BG ⊂面ABC ∴DC ⊥BGABCDEF G∴BG 垂直于面ADC 的两条相交直线AC,DC ，∴BG ⊥面ADC ． …………………………………………6分 ∵EF ∥BG ∴E F ⊥面ADC∵EF ⊂面ADE ，∴面ADE ⊥面ADC ． …………………………………………8分 （Ⅲ）连结EC,该四棱锥分为两个三棱锥E －ABC 和E －ADC ．43631232313114331=+=⨯⨯+⨯⨯=+=---ACD E ABC E BCDE A V V V ．………………………12分另法：取BC 的中点为O ，连结AO ，则BC AO ⊥，又⊥CD 平面ABC ,∴C CD BC AO CD =⊥ , , ∴⊥AO 平面BCDE ，∴AO 为BCDE A V -的高，43232331,2321)21(,23=⨯⨯=∴=⨯+==-BCDE A BCDE V S AO ． 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设6组数据的编号分别为1,2,3,4,5,6.设抽到不相邻的两组数据为事件A ，从6组数据中选取2组数据共有15种情况：（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6）（3,4）（3,5）（3,6）（4,5）（4,6）（5,6），其中事件A 包含的基本事件有10种． …………………………………………3分所以321510)(==A P ．所以选取的2组数据恰好不相邻的概率是32． ………………………6分(Ⅱ) 当10=x 时，;2|1026219|,262192613910134ˆ<-=+⨯=y……………………………………9分 当30=x 时，;2|1626379|,263792613930134ˆ<-=+⨯=y所以，该研究所得到的回归方程是可靠的． …………………………………………12分 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）将1-=x 代入切线方程得2-=y ∴211)1(-=+-=-ab f ，化简得4-=-a b ． …………………………………………2分 222)1(2)()1()(x xb ax x a x f +⋅+-+='12424)(22)1(-===-+=-'bb a b a f ． …………………………………………4分解得：2,2-==b a∴122)(2+-=x x x f ． …………………………………………6分 （Ⅱ）由已知得122ln 2+-≥x x x 在),1[+∞上恒成立化简得22ln )1(2-≥+x x x即022ln ln 2≥+-+x x x x 在),1[+∞上恒成立 ． …………………………………………8分 设22ln ln )(2+-+=x x x x x h ，21ln 2)(-++='xx x x x h ∵1≥x ∴21,0ln 2≥+≥xx x x ，即0)(≥'x h ． …………………………………………10分 ∴)(x h 在),1[+∞上单调递增，0)1()(=≥h x h∴)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立 ． …………………………………………12分22．（本小题满分14分）解（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，12,AF m AF n ==由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=+6344222mn n m c n m …………………………………………2分解得92=c ，∴39122=-=b ．∴椭圆的方程为131222=+y x …………………………………………4分 ∵3=⨯c y A ，∴1=A y ,代入椭圆的方程得22=A x ，将点A 坐标代入得抛物线方程为y x 82=． …………………………………………6分（2）设直线l 的方程为)22(1-=-x k y ，),(),,(2211y x C y x B2013年高考数学全国卷1(完整版试题+答案+解析)- 11 - / 11 由AB AC 2= 得)22(22212-=-x x ， 化简得22221=-x x …………………………………………8分 联立直线与抛物线的方程⎪⎩⎪⎨⎧=-=-yx x k y 8)22(12， 得0821682=-+-k kx x ∴k x 8221=+① …………………………………………10分 联立直线与椭圆的方程⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-124)22(122y x x k y 得0821632)2168()41(2222=--+-++k k x k k x k ∴22241821622kk k x +-=+② …………………………………………12分 ∴2222418216)228(222221=++---=-kk k k x x 整理得：0)4121)(2416(2=+--k k k ∴42=k ，所以直线l 的斜率为42 ． …………………………………………14分。
2013年高考数学全国卷1(完整试题+答案+解析)
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．考试时间120分钟．满分150分．答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在第Ⅰ卷答题卡和第Ⅱ卷答题纸规定的位置． 参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差nx x x x x x s n 22221)()()(-++-+-=其中x 为样本平均数球的面积公式24R S π=第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． 2．第Ⅰ卷只有选择题一道大题．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.复数ii++121（i 是虚数单位）的虚部是 A ．23 B ．21C ．3D ．1 2.已知R 是实数集，{}11,12+-==⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=x y y N x xM ，则=M C N R A ．)2,1(B ．[]2,0C .∅D ．[]2,13.现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这个数组的标准差是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．44.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，0852=-a a ，则=24S S A ．5 B ．8 C ．8- D ．155.已知函数)62sin()(π-=x x f ，若存在),0(π∈a ，使得)()(a x f a x f -=+恒成立，则a的值是 A ．6π B ．3π C ．4π D ．2π(想不到更好的方法时，不妨逐项代入)6.已知m 、n 表示直线，γβα,,表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为 （1）βααβα⊥⊥⊂=则,,,m n n m （2）m n n m ⊥==⊥则,,,γβγαβα （3）,,βα⊥⊥m m 则α∥β （4）βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,n m n mA ．（1）、（2）B ．（3）、（4）C ．（2）、（3）D ．（2）、（4）7.已知平面上不共线的四点C B A O ,,,，若||,23BC -=等于（)(20OC OB B OA →→→→-=-）A ．1B ．2C ．3D ．48.已知三角形ABC ∆的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为23，则这个三角形的周长是A ．18B ．21C ．24D ．15（余弦定理） 9.函数xx x f 1lg )(-=的零点所在的区间是（根的存在性定理） A ．(]1,0 B ．(]10,1 C ．(]100,10 D ．),100(+∞ 10.过直线y x =上一点P 引圆22670x y x +-+=的切线，则切线长的最小值为A ．22 B ． 223 C ．210 D ．2（解题前应多想想几何定理）11.已知函数b ax x x f 2)(2-+=.若b a ,都是区间[]4,0内的数，则使0)1(>f 成立的概率是A ．43 B ．41 C ．83D ．85题图第1312.已知双曲线的标准方程为116922=-y x ，F 为其右焦点，21,A A 是实轴的两端点，设P 为双曲线上不同于21,A A 的任意一点，直线P A P A 21,与直线a x =分别交于两点N M ,,若0=⋅,则a 的值为(_此题若画图像，有两种情况。
2013年高考理科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷I)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )． A ．A ∩B ＝ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆A D ．A ⊆B2．(2013课标全国Ⅰ，理2)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )．A ．－4B ．45-C ．4D ．45 3．(2013课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样4．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x± D ．y ＝±x5．(2013课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]6．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．A ．500π3cm3B ．866π3cm3C ．1372π3cm3D ．2048π3cm37．(2013课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．68．(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π9．(2013课标全国Ⅰ，理9)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )．A ．5B ．6C ．7D ．8 10．(2013课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A ．22=14536x y +B ．22=13627x y +C ．22=12718x y + D ．22=1189x y +11．(2013课标全国Ⅰ，理11)已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]12．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n n b a +，则( )． A ．{Sn}为递减数列 B ．{Sn}为递增数列C ．{S2n －1}为递增数列，{S2n}为递减数列D ．{S2n －1}为递减数列，{S2n}为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝__________.14．(2013课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的前n 项和2133n n S a =+，则{an}的通项公式是an ＝_______.15．(2013课标全国Ⅰ，理15)设当x ＝θ时，函数f(x)＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝__________.16．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax ＋b)的图像关于直线x ＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，ABBC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求PA ； (2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA.18．(2013课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．(2013课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．20．(2013课标全国Ⅰ，理20)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|. 21．(2013课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)．若曲线y ＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(2013课标全国Ⅰ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．(2013课标全国Ⅰ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．(2013课标全国Ⅰ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲：已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x ＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a＞－1，且当x∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：B解析：∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2.∴集合A 与B 可用图象表示为：由图象可以看出A ∪B ＝R ，故选B.2．答案：D解析：∵(3－4i)z ＝|4＋3i|， ∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+. 故z 的虚部为45，选D. 3．答案：C解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．4．答案：C解析：∵c e a ==，∴22222254c a b e a a +===. ∴a 2＝4b 2，1=2b a ±. ∴渐近线方程为12b y x x a =±±.5．答案：A解析：若t ∈[－1,1)，则执行s ＝3t ，故s ∈[－3,3)．若t ∈[1,3]，则执行s ＝4t －t 2，其对称轴为t ＝2.故当t ＝2时，s 取得最大值4.当t ＝1或3时，s 取得最小值3，则s ∈[3,4]．综上可知，输出的s ∈[－3,4]．故选A.6．答案：A解析：设球半径为R ，由题可知R ，R －2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA 为直角三角形，如图．BC ＝2，BA ＝4，OB ＝R －2，OA ＝R ，由R 2＝(R －2)2＋42，得R ＝5， 所以球的体积为34500π5π33=(cm 3)，故选A. 7．答案：C解析：∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，∴a m ＝S m －S m －1＝0－(－2)＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3－0＝3.∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.∵S m ＝ma 1＋12m m (-)×1＝0，∴112m a -=-. 又∵a m ＋1＝a 1＋m ×1＝3，∴132m m --+=. ∴m ＝5.故选C.8．答案：A解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r ＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr 2×4×12＋4×2×2＝8π＋16.故选A. 9．答案：B解析：由题意可知，a ＝2C m m ，b ＝21C m m +，又∵13a ＝7b ，∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+)， 即132171m m +=+.解得m ＝6.故选B. 10．答案：D解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上， ∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ①－②，得1212121222=0x x x x y y y y a b(+)(-)(+)(-)+， 即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2， 而1212y y x x --＝k AB ＝011=312-(-)-，∴221=2b a . 又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9. ∴椭圆E 的方程为22=1189x y +.故选D. 11．答案：D解析：由y ＝|f (x )|的图象知：①当x ＞0时，y ＝ax 只有a ≤0时，才能满足|f (x )|≥ax ，可排除B ，C.②当x ≤0时，y ＝|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x .故由|f (x )|≥ax 得x 2－2x ≥ax .当x ＝0时，不等式为0≥0成立．当x ＜0时，不等式等价于x －2≤a .∵x －2＜－2，∴a ≥－2.综上可知：a ∈[－2,0]．12．答案：B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：2解析：∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )|b |2.又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60°，b ⊥c ，∴0＝t |a ||b |cos 60°＋(1－t )，0＝12t ＋1－t . ∴t ＝2.14．答案：(－2)n －1解析：∵2133n n S a =+，① ∴当n ≥2时，112133n n S a --=+.② ①－②，得12233n n n a a a -=-， 即1n n a a -＝－2. ∵a 1＝S 1＝12133a +， ∴a 1＝1.∴{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，a n ＝(－2)n －1.15．答案：5- 解析：f (x )＝sin x －2cos xx x ⎫⎪⎭， 令cos αsin α＝- 则f (x )α＋x )，当x ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )时，sin(α＋x )有最大值1，f (x )即θ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )， 所以cos θ＝πcos 2π+2k α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝πcos 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin α＝=. 16．答案：16解析：∵函数f (x )的图像关于直线x ＝－2对称，∴f (x )满足f (0)＝f (－4)，f (－1)＝f (－3)，即15164,0893,b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩解得8,15.a b =⎧⎨=⎩∴f (x )＝－x 4－8x 3－14x 2＋8x ＋15.由f ′(x )＝－4x 3－24x 2－28x ＋8＝0，得x 1＝－2x 2＝－2，x 3＝－2易知，f (x )在(－∞，－2)上为增函数，在(－22)上为减函数，在(－2，－2上为增函数，在(－2∴f (－2＝[1－(－22][(－22＋8(－2)＋15]＝(－8－－＝80－64＝16.f (－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15]＝－3(4－16＋15)＝－9.f (－2)＝[1－(－22][(－22＋8(－2＋15]＝(－8＋＋＝80－64＝16.故f (x )的最大值为16.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：(1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝11732cos 30424+-︒=.故PA . (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA 中，由正弦定理得sin sin150sin(30)αα=︒︒-，cos α＝4sin α.所以tan α＝4，即tan ∠PBA ＝4. 18．(1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B .因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .(2)解：由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB .又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，|OA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题设知A (1,0,0)，A 1(0，3，0)，C (0,0，B (－1,0,0)．则BC ＝(1,0，1BB ＝1AA ＝(－1，0)，1AC ＝(0，． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，2013 全国新课标卷1理科数学 第11页 则10,0,BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,30.x x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩可取n ＝1，－1)．故cos 〈n ，1AC 〉＝11A CA C ⋅n n ＝5-. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为5. 19．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)，且A 1B 1与A 2B 2互斥，所以 P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2) ＝41113161616264⨯+⨯=. (2)X 可能的取值为400,500,800，并且 P (X ＝400)＝41111161616--=，P (X ＝500)＝116，P (X ＝800)＝14. 所以X 的分布列为EX ＝1111400+500+80016164⨯⨯⨯＝506.25. 20．解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2的椭圆(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP R QM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y＝k (x ＋4)．由l 与圆M ， 解得k ＝当k y x =代入22=143x y +， 并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x1,2＝47-±.所以|AB|2118|7x x-=.当k=|AB|＝187.综上，|AB|＝|AB|＝187.21．解：(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝e x(cx＋d＋c)，故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2e x(x＋1)．设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2k e x(x＋1)－x2－4x－2，则F′(x)＝2k e x(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(k e x－1)．由题设可得F(0)≥0，即k≥1.令F′(x)＝0得x1＝－ln k，x2＝－2.①若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0.从而当x∈(－2，x1)时，F′(x)＜0；当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0.即F(x)在(－2，x1)单调递减，在(x1，＋∞)单调递增．故F(x)在[－2，＋∞)的最小值为F(x1)．而F(x1)＝2x1＋2－21x－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．②若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(e x－e－2)．从而当x＞－2时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，＋∞)单调递增．而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．③若k＞e2，则F(－2)＝－2k e－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0.从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上，k的取值范围是[1，e2]．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(1)证明：连结DE，交BC于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因为DB⊥BE，所以DE为直径，∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC.(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂线，所以BG设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°.从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF.23．解：(1)将45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.2013 全国新课标卷1理科数学第12页2013 全国新课标卷1理科数学 第13页 将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由2222810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩ 解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩ 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 24．解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0.所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立． 故2a -≥a －2，即43a ≤. 从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.。
2013年高考真题解析分类汇编(理科数学)含解析
2013高考试题解析分类汇编（理数）5：平面向量一、选择题1 ．（2013年高考上海卷（理））在边长为1的正六边形ABCDEF中,记以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为;以D为起点,其余顶点为终点的向量分别为.若分别为的最小值、最大值,其中,,则满足（）A． B． C． D．D．【解答】作图知，只有，其余均有，故选D．2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））已知点（）A． B． C． D．A，所以，所以同方向的单位向量是，选A.3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））设是边上一定点,满足,且对于边上任一点,恒有.则（）A． B． C． D．D以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设AB=4，C（a，b），P（x，0）则BP0=1，A（﹣2，0），B（2，0），P0（1，0）所以=（1，0），=（2﹣x，0），=（a﹣x，b），=（a﹣1，b）因为恒有所以（2﹣x）（a﹣x）≥a﹣1恒成立整理可得x2﹣（a+2）x+a+1≥0恒成立所以△=（a+2）2﹣4（a+1）≤0即△=a2≤0所以a=0，即C在AB的垂直平分线上所以AC=BC故△ABC为等腰三角形故选D4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））在四边形ABCD中,,,则四边形的面积为（）A． B． C．5 D．10C由题意，容易得到．设对角线交于O点，则四边形面积等于四个三角形面积之和即S= ．容易算出，则算出S=5．故答案C5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））在平面直角坐标系中,是坐标原点,两定点满足则点集所表示的区域的面积是（）A． B． C． D．D.在本题中，.建立直角坐标系，设A(2,0),所以选D6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））在平面上,,,.若,则的取值范围是（）A． B． C． D．D【命题立意】本题考查平面向量的应用以及平面向量的基本定理。
2013年辽宁高考数学理科试卷(带详解)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（卷）数 学（理）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1．复数的1i 1z =-模为 ( ) A.12B.22C.2D.2【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】直接给出复数，利用2i 1=-对复数进行化简，然后再求模.【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】111112i,i i 12222z z ==--∴=--=-. 2．已知集合{}4|0log 1A x x =<<，{}|2B x x =，则 A B = （ ）A ．()01，B ．(]02，C ．()1,2D ．(]12， 【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】考查了对数不等式及交集运算. 【难易程度】容易 【参考答案】D 【试题解析】{}{}4|0log 1|14A x x x x =<<=<<，{}|2B x x =，{}{}{}14212A B x x x x x x ∴=<<=<.3．已知点()1,3A ，()4,1B -，则与向量AB 同方向的单位向量为 （ ）A.3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-B.4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-C.3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D.4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，【测量目标】向量的基本概念.【考查方式】给出两点坐标及方向，求同方向的单位向量. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】()3,4AB =-，则与其同方向的单位向量34(,)55ABAB==-e . 4．下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：1p ：数列{}n a 是递增数列； 2p ：数列{}n na 是递增数列；3p ：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列； 4p ：数列{}3n a nd +是递增数列；其中的真命题为 （ ）A.12,p pB.34,p pC.23,p pD.14,p p【测量目标】等差数列的性质.【考查方式】给出d >0的等差数列，求数列的增减性. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】根据等差数列的性质判定.0d >,∴1n n a a +>,∴1p 是真命题， （步骤1）1n n +>,但是n a 的符号不知道，∴2p 是假命题. （步骤2）同理3p 是假命题.13(1)340n n a n d a nd d +++--=>,∴4p 是真命题. （步骤3）5．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[)[)20,40,40,60， [)[)60,80,80,100，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是 （ ） A.45 B.50 C.55 D.60第5题图【测量目标】频率分布直方图.【考查方式】给出频率分布直方图及某一频数，求总体频数. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】根据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是00050012003...+⨯=（），所以该班的学生人数是15500.3=. 6．在ABC △上，角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且,a b >则B ∠= ( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【测量目标】正弦定理，两角和的正弦，诱导公式.【考查方式】给出三角形各边长及角和边长的公式，求角. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】根据正弦定理与和角公式求解.由正弦定理可得sin sin cos A B C +1sin sin cos sin 2C B A B =, （步骤1）又sin 0B ≠,∴ sin cos A C +1sin cos 2C A =,∴1sin sin 2(A C )B +==.（步骤2）a b >,∴π6B ∠=. （步骤3） 7．使得()3nx n x x +⎛+∈ ⎪⎝⎭N 的展开式中含有常数项的最小的n 为 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【测量目标】二项式定理.【考查方式】考查了二项展开式的通项公式. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】根据二项展开式的通项公式求解.()521=C 3C 3rn r n rr r n r r nn T x x x x ---+= ⎪⎝⎭，当1r T +是 常数项时，502n r -=，当2r =，5n =时成立. 8．执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出的S = （ ）A ．511B ．1011C ．3655D ．7255第8题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出输入值10n =，求输出值S . 【难易程度】中等 【参考答案】A 【试题解析】13S =，410i =<， 21123415S ∴=+=-，610i =<，（步骤1）22135617S ∴=+=-， 8<10i =，23147819S ∴=+=-，1010i ==，2415910111S ∴=+=-，1210i =>，输出S . （步骤2）9．已知点()()()30,0,0,,,.O A b B a a 若OAB △为直角三角形，则必有 （ ）A ．3b a =B ．31b a a=+ C ．()3310b ab a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a-+--= 【测量目标】直线的倾斜角与斜率.【考查方式】给出三点坐标，由三角形l 的边的性质，求出,a b 之间的关系.【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】根据直角三角形的直角的位置求解.若以O 为直角顶点，则B 在x 轴上，则a 必为0，此时O ，B 重合，不符合题意；（步骤1）若π2A ∠=，则30b a =≠，若π2B ∠=，根据斜率关系可知 321a b a a -=-，3()1a a b ∴-=-，即310b a a--=.以上两种情况皆有可能，故只有C 满足条件.（步骤2）10．已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若34AB AC ==，，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为（ ）A．2 B ．．132D ．【测量目标】立体几何的综合问题.【考查方式】给出三条棱长及两棱垂直关系，求三棱柱外接球的半径. 【难易程度】较难 【参考答案】C【试题解析】根据球的接三棱柱的性质求解.直三棱柱中13412AB ,AC ,AA ,===AB AC ⊥,∴5BC =,且BC 为过底面ABC 是截面圆的直径，取BC 中点D ，则OD ⊥底面ABC ，则O 在侧面11BCC B ，矩形11BCC B 的对角线长即为球直径，∴213R =,即132R =.11．已知函数()()2222f x x a x a =-++，()()22228g x x a x a =-+--+.设1()H x ()(){}max ,f x g x =，()()(){}2min ,H x f x g x =，{}max ,p q 表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 的最小值为A ，()2H x 的最小值为B ，则A B -=( )A.2216a a --B.2216a a +- C.16- D.16【测量目标】二次函数的图象与性质.【考查方式】给出两函数解析式，设出较大值、较小值、最大值、最小值，求最值. 【难易程度】较难 【参考答案】C【试题解析】根据二次函数图象的特征解决.由()()f x g x =，得2()4x a -= ， （步骤1）∴当2x a =-和2x a =+时，两函数值相等.()f x 图象为开口向上的抛物线，()g x 图象为开口向下的抛物线，两图象在2x a =-和2x a =+处相交，则1()H x =()(2),()(22),()(2),f x x ag x a x a f x x a -⎧⎪-<<+⎨⎪+⎩2()(2),()()(22),()(2),g x x a H x f x a x a g x x a -⎧⎪=-<<+⎨⎪+⎩ （步骤2）∴1min ()(2)44A H x f a a ==+=--，2max ()(2)412B H x g a a ==-=-+，∴16.A B -=-（步骤3）12．设函数()f x 满足()()2e 2x xf x xf x x '+=，()2e 28f =，则0x >时，()f x （ ）A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值【测量目标】利用导数求函数的极值.【考查方式】通过构造函数，将问题转化，考查转化能力.通过导数判断函数单调性，考查知识的 灵活应用能力. 【难易程度】较难 【参考答案】D【试题解析】由题意知2'33e 2()e 2()()x x f x x f x f x x x x-=-=.（步骤1） 令2()e 2()x g x x f x =-，则()222e 2()e 2()4()e 2()2()e e 1x xxxx g x x f x xf x x f x xf x x x ⎛⎫'''=--=-+=-=- ⎪⎝⎭.（步骤2）由()0g x '=得2x =，当2x =时，222mine ()e 2208g x =-⨯⨯=，即()0g x ，则当0x >时，3()()0g x f x x'=，（步骤3） 故()f x 在()0,+∞上单调递增，既无极大值也无极小值.（步骤4） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .第13题图【测量目标】由三视图求几何体的体积.【考查方式】给出三视图，求体积. 【难易程度】容易 【参考答案】16π16-【试题分析】由三视图可知该几何体是一个圆柱部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为2，高为 4，故体积为16π；正四棱柱底面边长为2，高为4，故体积为16，故题中几何体的体积为16π16.- 14.已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和，若13a a ，是方程2540x x -+=的两个根，则6S = .【测量目标】等比数列及其性质，等比数列的前n 项和.【考查方式】给出方程，已知等比数列为递增数列，先求等比数列中两项值，即方程的两根，再由数 列为递增数列求出数列的前n 项和. 【难易程度】中等 【参考答案】63 【试题分析】13,a a 是方程2540x x -+=的两个根，且数列｛}n a 是递增的等比数列，∴131,4,2,a a q ===661263.12S -==-15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F 椭圆C 与过原点的直线相交于,A B 两点，连接,AF BF ，若410,6,cos 5AB AF ABF ==∠=，则C 的离心率e = . 【测量目标】余弦定理，椭圆的简单几何性质.【考查方式】画图表示椭圆及直线位置，通过数量关系确定三角形形状以及椭圆系数，考查数形结合的能力.【难易程度】中等 【参考答案】57【试题解析】根据椭圆的定义及性质和余弦定理求解.设椭圆的右焦点为1F ，直线过原点，16AF BF ∴==,BO AO =.（步骤1）在ABF △中，设BF x =，由余弦定理得24361002105x x =+-⨯⨯，（步骤2） 解得8x =，即8BF =.90BFA ∴∠=,ABF ∴△是直角三角形，（步骤3）26814a ∴=+=,即7a =.（步骤4）又在Rt ABF △中，BO AO =，152OF AB ∴==，即5c =，（步骤5） 57e ∴=.（步骤6） 16．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组 的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的 最大值为 .【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征.【考查方式】给出样本平均数、样本方差样本组数，求样本数据中的最大值. 【难易程度】较难 【参考答案】10【试题解析】设5个班级中参加的人数分别为12345,,,,,x x x x x 则由题意知2222212345123457,(7)(7)(7)(7)(7)20,5x x x x x x x x x x ++++=-+-+-+-+-=五个整数的平方和为20，则必为0119920++++=，由73x -=可得10x =或4x =，由71x -=可得8x =或6x =，由上可知参加的人数分别为4，6，7，8，10，故样本数据中的最大值为10.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）设向量)()π,sin ,cos ,sin ,0,.2x x x x x ⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦a b（I ）若=a b 求x 的值； （Ⅱ）设函数()f x =a b ，求()f x 的最大值.【测量目标】平面向量的基本概念、向量的数量积运算、两角和与差的正弦和三角函数的最值. 【考查方式】给出两向量坐标，两向量模的关系，函数与向量的关系，求x 的值，函数的最大值. 【难易程度】容易 【试题解析】（Ⅰ）2222222(3sin )sin 4sin ,cos sin 1,x x x x x =+==+=a b ,=a b∴24sin 1.x = （步骤1）又x ∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴1sin ,2x =∴π6x =. （步骤2）（Ⅱ）()3sin f x x ==a b 2311π1cos sin sin 2cos 2sin(2),2262x x x x x +=-+=-+ ∴当π3x =∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，πsin(2)6x -取最大值1. （步骤3） ∴()f x 的最大值为32. （步骤4）18．（本小题满分12分）如图，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点. （I ）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（II ）若2AB AC PA ===，1，1,求证：二面角C PB A --的余弦值.第18题图【测量目标】面面垂直的判定，二面角，空间直角坐标系和空间向量及其运算.【考查方式】面面垂直的判定及二面角的平面角的确定考查定理的灵活应用能力，空间直角坐标系的建立考查空间想象能力及运算求解能力. 【难易程度】中等【试题解析】(Ⅰ)由AB 是圆的直径,得AC BC ⊥,（步骤1） 由PA ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,得PA BC ⊥,又PA AC A =,PA ⊂平面PAC ,AC ⊂平面PAC ,BC ∴⊥平面PAC BC ⊂平面PBC ∴平面PBC ⊥平面PAC .（步骤2）(Ⅱ)解法一：如图（1），以点C 为坐标原点，分别以直线CB ,CA ,CM 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系. 在Rt ABC △中,2AB =,1AC =,3BC ∴=又1PA =,()0,1,0A ∴,)3,0,0B,()0,1,1P .（步骤3）故()3,0,0CB =,()0,1,1CP =.设平面BCP 的法向量为()1111,,x y z =n ，则110,0,CB CP ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩n n 11130,0,x y z ⎧=⎪∴⎨+=⎪⎩不妨令11y =，则()10,1,1=-n .（步骤4）()0,0,1AP =,()3,1,0AB =-,设平面ABP 的法向量为()2222,,x y z =n ,则220,0,AP AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 2220,30,z x y =⎧⎪∴⎨-=⎪⎩（步骤5） 不妨令21x =，则()21,3,0=n . 于是1236cos ,422==n n . 由图（1）知二面角C —PB —A 为锐角，故二面角C —PB —A 的余弦值为64.（步骤6）第18题图（1）解法二：如图（2），过C 作CM AB ⊥于M ，PA ⊥平面ABC ,CM ⊂平面ABC ,PA CM ∴⊥.又PA AB A =,且PA ⊂平面PAB ,AB ⊂平面PAB ,CM ∴⊥平面PAB . 过M 作MN PB ⊥于N ,连接NC ,由三垂线定理得CN PB ⊥ CNM ∴∠为二面角C —PB —A 的平面角.（步骤3） 在Rt ABC △中,由2AB =,1AC =,得3BC =,32CM =,32BM =. 在Rt PAB △中,由2AB =,1PA =,得5PB =.Rt BNM △∽Rt BAP △,3215MN∴=,35MN ∴=.（步骤4） ∴在Rt CNM △中,30CN =,6cos CNM ∴∠=,∴二面角C —PB —A 的余弦值为6.（步骤5）第18题图（2）19．（本小题满分12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，同学从中任取3道题解答.（I ）求同学至少取到1道乙类题的概率；（II ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题.设同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立.用X 表示同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望.【测量目标】古典概型，互斥事件与对立事件的概率，离散型随机变量的分布列及期望.【考查方式】至少类问题反面求解考查转化化归能力，分布列及数学期望的求解考查运算求解能力. 【难易程度】中等【试题解析】 (1)设事件A =“同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A = “同学所取的3道题都是甲类题”．()36310C 1C 6P A ==，()()516P A P A ∴=-=.（步骤1）(2)X 所有的可能取值为0,1,2,3.（步骤2）()020232140=C 555125P X ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（步骤3） ()11021022321324281C +C 555555125P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（步骤4） ()2112122321324572C +C 555555125P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（步骤5） ()222324363C 555125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（步骤6） X ∴的分布列为：X 0 12 3P4125 28125 5712536125（步骤7）()428573601232125125125125E X ∴⨯⨯⨯⨯=＝＋＋＋.（步骤8）20．（本小题满分12分）如图，抛物线()2212:4,:20C x y C x py p ==->，点()00,M x y 在抛物线2C 上，过M 作1C 的切线，切点为,A B （M 为原点O 时，,A B 重合于O ），012x =-，切线MA的斜率为12-.（I ）求p 的值；（II ）当M 在2C 上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程.(),,.A B O O 重合于时中点为第20题图【测量目标】导数的几何意义，圆锥曲线的轨迹方程.【考查方式】给出两抛物线方程，利用导数的几何意义及坐标中点与直线的关系求解；利用椭圆与直 线的位置关系及待定系数法求解. 【难易程度】中等 【试题解析】（Ⅰ）抛物线21:4C x y =上任意一点（,)x y 的切线斜率为'2xy =，且切线MA 的斜率为12-，∴A 点坐标为（1-，14）， （步骤1） ∴切线MA 的方程为11(1)24y x =-++. (步骤2).点M （01)y 在切线MA 及抛物线2C 上，∴0113(2244y -=--+=-①20(1322y p p-=-=-② （步骤3）由①②得2p =. （步骤4）（Ⅱ）设22121212(,),(,),(,),,44x x N x y A x B x x x ≠N 为线段AB 中点∴122x x x +=，③22128x x y +=.④ （步骤5） ∴切线MA,MB 的方程为2111()24x x y x x =-+，⑤2222()24x x y x x =-+.⑥ （步骤6）由⑤⑥得MA,MB 的交点M （00,)x y 的坐标为121200,.24x x x xx y +== （步骤7）点M （00,)x y 在2C 上，即200,4x y =-∴221212.6x x x x +=-⑦ （步骤8） 由③④⑦得24,0.3x y x =≠ （步骤9）当12x x =时，A,B 重合于原点O,AB 中点N 为O ，坐标满足24.3x y =∴AB 中点N 的轨迹方程为24.3x y = （步骤10）21．（本小题满分12分）已知函数()()21e xf x x -=+，()312cos 2x g x ax x x =+++.当[]0,1x ∈时， （I ）求证：()111x f x x-+ ；（II ）若()()f x g x 恒成立，数a 取值围.【测量目标】利用导数求函数的单调区间，不等式恒成立问题.【考查方式】第一问不等式的证明利用构造函数法，通过导数证明，考查简单的转化化归能力；第二问的两种解法都对转化化归能力进一步升级考查，解法一利用第一问的结论进行转化，解法二通过构造函数，两次利用导数转化. 【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)证明：要证[]0,1x ∈时，()21e 1xx x -+-，只需证明()()1e 1e x x x x -+-.（步骤1） 记()()(1)e 1e xx h x x x -=--＋，则()()e e x x h x x -'=-，（步骤2） 当()0,1x ∈时，()0h x '>，因此()h x 在[]0,1上是增函数，（步骤3） 故()()00h x h =.所以()[]10,1f x x x ∈－，．（步骤4） 要证[]0,1x ∈时，21(1)e 1xx x-+＋，只需证明e1x x ＋.（步骤5）记()e 1x K x x =--，则()e 1x K x '=-，（步骤6）当()0,1x ∈时，()0K x '>，因此()K x 在[]0,1上是增函数，（步骤7） 故()()00K x K =.所以()11f x x+，[]0,1x ∈．（步骤8） 综上，()111xf x x-+，[]0,1x ∈．（步骤9） (Ⅱ)解法一：()()32(1)e 12cos 2xx f x g x x ax x x -⎛⎫-=-+++ ⎪⎝⎭＋3112cos 2x x ax x x -----2(12cos )2x x a x =-＋＋＋．（步骤10）设()22cos 2x G x x =＋，则()2sin G x x x '=-.（步骤11） 记()2sin H x x x =-，则()12cos H x x '=-，（步骤12）当()0,1x ∈时，()0H x '<，于是()G x '在[]0,1上是减函数，（步骤13）从而当()0,1x ∈时，()()00G x G ''<=，故()G x 在[]0,1上是减函数．（步骤14） 于是()()02G x G =，从而()13a G x a ＋＋＋.（步骤15）所以，当3a-时，()()f x g x 在[]0,1上恒成立．（步骤16） 下面证明当3a >-时，()()f x g x 在[]0,1上不恒成立．()()3112cos 12x f x g x ax x x x -----+ 32cos 12x x ax x x x -=---+ 212cos 12x x a x x ⎛⎫=-+++ ⎪+⎝⎭，（步骤17）记()2112cos ()121x I x a x a G x x x =+++=++++， 则()21()(1)I x G x x -''=++，（步骤18） 当()0,1x ∈时，()0I x '<，故()I x 在[]0,1上是减函数，（步骤19）于是()I x 在[]0,1上的值域为[12cos 13]a a ＋＋，＋．（步骤20）因为当3a >-时，3>0a ＋，()00,1x ∴∃∈，使得()00I x >，（步骤21） 此时()()00f x g x <，即()()f x g x 在[]0,1上不恒成立．（步骤22） 综上，实数a 的取值围是(],3-∞-．（步骤23） 解法二：先证当[]0,1x ∈时，22111cos 124x xx --.（步骤10）记()21cos 12F x x x =-＋，则()sin F x x x '=-＋.（步骤11）记()sin G x x x =-＋，则()cos 1G x x '=-＋，（步骤12） 当()0,1x ∈时，()0G x '>，于是()G x 在[]0,1上是增函数，（步骤13）因此当()0,1x ∈时，()()00G x G >=，从而()F x 在[]0,1上是增函数．（步骤14）因此()()00F x F =，所以当[]0,1x ∈时，211cos 2x x -.（步骤15）同理可证，当[]0,1x ∈时，21cos 14x x -.（步骤16）综上，当[]0,1x ∈时，22111cos 124x x x --.（步骤17）当[]0,1x ∈时，()()()321e 12cos 2xx f x g x x ax x x -⎛⎫-=+-+++ ⎪⎝⎭321(1)12124x x ax x x ⎛⎫------ ⎪⎝⎭()3a x =-+.（步骤18）所以当3a-时，()()f x g x 在[]0,1上恒成立．（步骤19） 下面证明当3a >-时，()()f x g x 在[]0,1上不恒成立．()()()321e 12cos 2xx f x g x x ax x x -⎛⎫-=+-+++ ⎪⎝⎭3211121122x ax x x x ⎛⎫----- ⎪+⎝⎭ 23(3)12x x a x x =+-++ 32(3)23x x a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，（步骤20） ()00,1x ∴∃∈ (例如0x 取33a +和12中的较小值)满足()()00f x g x <．（步骤21） 即()()f x g x 在[]0,1上不恒成立．（步骤22）综上，实数a 的取值围是(],3-∞-．（步骤23）请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB 为半圆O 的直径，直线CD 与半圆O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 与F ，连接,AE BE .证明：（I ）FEB CEB ∠=∠； （II ）2.EF AD BC =⋅第22题图【测量目标】几何证明选讲.【考查方式】给出点、线、面之间的各种关系，根据圆中直线的垂直等角关系证明；根据圆中三角形 的全等和线段间的关系求解. 【难易程度】容易【试题解析】(Ⅰ)直线CD 与⊙O 相切，∴.CEB EAB ∠=∠ （步骤1）AB 为⊙O 的直径，∴AE EB ⊥,∴π2EAB EBF ∠+∠=； （步骤2） 又EF AB ⊥,∴π2FEB EBF ∠+∠=. （步骤3） ∴FEB EAB ∠=∠.∴.FEB CEB ∠=∠ （步骤4）（Ⅱ）BC CE ⊥,EF AB ⊥,,FEB CEB BE ∠=∠是公共边， ∴Rt BCE △≌Rt BFE △,∴BC BF =. （步骤5）类似可证Rt ADE △≌Rt AFE △,得AD AF =. （步骤6）又在Rt AEB △中，EF AB ⊥,∴2EF AF BF =，∴2EF AD BC =. （步骤7）23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为π4sin ,cos 2 2.4ρθρθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（I ）求1C 与2C 交点的极坐标；（II ）设P 为1C 的圆心，Q 为1C 与2C 交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为3312x t a b y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t ∈R 为参数），求,a b 的值.【测量目标】极坐标与参数方程.【考查方式】给出各直线的极坐标方程或参数方程，联立1C 与2C 方程求交点；由参数方程的性质求 解.【难易程度】容易【试题解析】(Ⅰ)圆1C 的直角坐标方程为2224x y +-=（），直线2C 的直角坐标方程为40x y -+=. 解222440x y x y ⎧+-=⎨+-=⎩（），，得1104x y =⎧⎨=⎩，，2222x y =⎧⎨=⎩， (步骤1) ∴1C 与2C 交点的极坐标为ππ42224⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，. （步骤2） 注：极坐标系下点的表示不是唯一的.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为()()0213，，，.∴直线PQ 的直角坐标方程为20x y -+=， (步骤3)由参数方程可得b aby x 22=-+1. （步骤4）∴12122b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，，解得12a b =-⎧⎨=⎩，. （步骤5）24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()f x x a =-，其中1a >. （I ）当=2a 时，求不等式()fx 4x a --的解集；（II ）已知关于x 的不等式(2)2()f x a f x +-2的解集为{1xx}2，求a 的值.【测量目标】绝对值不等式的解法，含参不等式的解法.【考查方式】给出函数方程，求不等式的解集.再给出不等式的解集，求未知数a 的值. 【难易程度】中等【试题解析】（1）当2a =时，2624224264x x fx x x x x .-+⎧⎪+-=<<⎨⎪-⎩，，（），，， (步骤1) 当2x时，由4f x x -（）4-得264x -+，解得1x ； （步骤2） 当24x <<时，44f x x --（）无解； （步骤3） 当4x时，由44f x x --（）得264x -，解得5x. （步骤4）∴44f x x --（） 的解集为{1x x或}5x. （步骤5）（2）记22h x f x a f x =+-（）（）（），则204202a x h x x a x a a x a.-⎧⎪=-<<⎨⎪⎩，，（），，， （步骤6）由2h x （），解得1122a a x-+. （步骤7） 又2h x （）的解集为{}12x x ，∴112122a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，， ∴3a =. （步骤8）。
2013年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含答案及解析)
2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4B．C．4D．3．（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=5．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5] 6．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A．B．C．D．7．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3B．4C．5D．68．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π9．（5分）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）A．5B．6C．7D．810．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0] 12．（5分）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，，，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=．14．（5分）若数列{a n}的前n项和为S n=a n+，则数列{a n}的通项公式是a n=．15．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=．16．（5分）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．20．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|．21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．24．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B【考点】1D：并集及其运算；73：一元二次不等式及其应用．【专题】59：不等式的解法及应用；5J：集合．【分析】根据一元二次不等式的解法，求出集合A，再根据的定义求出A∩B和A∪B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x＞0}={x|x＞2或x＜0}，∴A∩B={x|2＜x＜或﹣＜x＜0}，A∪B=R，故选：B．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，以及并集的定义，属于基础题．2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4B．C．4D．【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】由题意可得z==，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i，由此可得z的虚部．【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，∴z====+i，故z的虚部等于，故选：D．【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．3．（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样【考点】B3：分层抽样方法．【专题】21：阅读型．【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．5．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5]【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；EF：程序框图．【专题】27：图表型；5K：算法和程序框图．【分析】本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t＜1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式．【解答】解：由判断框中的条件为t＜1，可得：函数分为两段，即t＜1与t≥1，又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；不满足条件时，即t≥1时，函数的解析式为：s=4t﹣t2故分段函数的解析式为：s=，如果输入的t∈[﹣1，3]，画出此分段函数在t∈[﹣1，3]时的图象，则输出的s属于[﹣3，4]．故选：A．【点评】要求条件结构对应的函数解析式，要分如下几个步骤：①分析流程图的结构，分析条件结构是如何嵌套的，以确定函数所分的段数；②根据判断框中的条件，设置分类标准；③根据判断框的“是”与“否”分支对应的操作，分析函数各段的解析式；④对前面的分类进行总结，写出分段函数的解析式．6．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A．B．C．D．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M，可得圆心M为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R=5，用球的体积公式即可算出该球的体积．【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R﹣2）2+42，解出R=5，∴根据球的体积公式，该球的体积V===．故选：A．【点评】本题给出球与正方体相切的问题，求球的体积，着重考查了正方体的性质、球的截面圆性质和球的体积公式等知识，属于中档题．7．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3B．4C．5D．6【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由a n与S n的关系可求得a m+1与a m，进而得到公差d，由前n项和公式及S m=0可求得a1，再由通项公式及a m=2可得m值．【解答】解：a m=S m﹣S m﹣1=2，a m+1=S m+1﹣S m=3，所以公差d=a m﹣a m=1，+1S m==0，m﹣1＞0，m＞1，因此m不能为0，得a1=﹣2，所以a m=﹣2+（m﹣1）•1=2，解得m=5，另解：等差数列{a n}的前n项和为S n，即有数列{}成等差数列，则，，成等差数列，可得2•=+，即有0=+，解得m=5．又一解：由等差数列的求和公式可得（m﹣1）（a1+a m﹣1）=﹣2，m（a1+a m）=0，（m+1）（a1+a m+1）=3，可得a1=﹣a m，﹣2a m+a m+1+a m+1=+=0，解得m=5．故选：C．【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式及通项a n与S n的关系，考查学生的计算能力．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】16：压轴题；27：图表型．【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，依据三视图的数据，得出组合体长、宽、高，即可求出几何体的体积．【解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4．∴长方体的体积=4×2×2=16，半个圆柱的体积=×22×π×4=8π所以这个几何体的体积是16+8π；故选：A．【点评】本题考查了几何体的三视图及直观图的画法，三视图与直观图的关系，柱体体积计算公式，空间想象能力9．（5分）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）A．5B．6C．7D．8【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】根据二项式系数的性质求得a和b，再利用组合数的计算公式，解方程13a=7b求得m的值．【解答】解：∵m为正整数，由（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，以及二项式系数的性质可得a=，同理，由（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，可得b==．再由13a=7b，可得13=7，即13×=7×，即13=7×，即13（m+1）=7（2m+1），解得m=6，故选：B．【点评】本题主要考查二项式系数的性质的应用，组合数的计算公式，属于中档题．10．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．【考点】K3：椭圆的标准方程．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，==．∴，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．∴椭圆E的方程为．故选：D．【点评】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．11．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0]【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】16：压轴题；59：不等式的解法及应用．【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可得a的范围．【解答】解：由题意可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为y=x2﹣2x，求其导数可得y′=2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]故选：D．【点评】本题考查其它不等式的解法，数形结合是解决问题的关键，属中档题．12．（5分）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，，，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列【考点】82：数列的函数特性；8H：数列递推式．【专题】16：压轴题；54：等差数列与等比数列；55：点列、递归数列与数学归纳法．=a n可知△A n B n C n的边B n C n为定值a1，由b n+1+c n+1﹣【分析】由a n+12a1=及b1+c1=2a1得b n+c n=2a1，则在△A n B n C n中边长B n C n=a1为定值，另两边A n C n、A n B n的长度之和b n+c n=2a1为定值，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，根据b n+1﹣c n+1=，得b n﹣c n=，可知n→+∞时b n→c n，据此可判断△A n B n C n的边B nC n的高h n随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．【解答】解：b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴，由题意，+a n，∴b n+1+c n+1﹣2a n=（b n+c n﹣2a n），∴b n+c n﹣2a n=0，∴b n+c n=2a n=2a1，∴b n+c n=2a1，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，﹣c n+1=，∴=a1﹣b n，又由题意，b n+1﹣a1=，∴b n﹣a1=，∴b n+1∴，c n=2a1﹣b n=，∴[][]=[﹣]单调递增（可证当n=1时＞0）故选：B．【点评】本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式，综合考查学生分析解决问题的能力，有较高的思维抽象度，是本年度全国高考试题中的“亮点”之一．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=2．【考点】9H：平面向量的基本定理；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】由于•=0，对式子=t+（1﹣t）两边与作数量积可得=0，经过化简即可得出．【解答】解：∵，，∴=0，∴tcos60°+1﹣t=0，∴1=0，解得t=2．故答案为2．【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键．14．（5分）若数列{a n}的前n项和为S n=a n+，则数列{a n}的通项公式是a n=（﹣2）n﹣1．【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】把n=1代入已知式子可得数列的首项，由n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，可得数列为等比数列，且公比为﹣2，代入等比数列的通项公式分段可得答案．【解答】解：当n=1时，a1=S1=，解得a1=1当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（）﹣（）=，整理可得，即=﹣2，故数列{a n}从第二项开始是以﹣2为首项，﹣2为公比的等比数列，故当n≥2时，a n=（﹣2）n﹣1，经验证当n=1时，上式也适合，故答案为：（﹣2）n﹣1【点评】本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的判定，属基础题．15．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=﹣．【考点】GP：两角和与差的三角函数；H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】16：压轴题；56：三角函数的求值．【分析】f（x）解析式提取，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x=θ时，函数f（x）取得最大值，得到sinθ﹣2cosθ=，与sin2θ+cos2θ=1联立即可求出cosθ的值．【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x﹣α）（其中cosα=，sinα=），∵x=θ时，函数f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=，又sin2θ+cos2θ=1，联立得（2cosθ+）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．16．（5分）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为16．【考点】57：函数与方程的综合运用；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】11：计算题；16：压轴题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】由题意得f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，由此求出a=8且b=15，由此可得f（x）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15．利用导数研究f（x）的单调性，可得f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数，结合f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，即可得到f（x）的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，∴f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，即[1﹣（﹣3）2][（﹣3）2+a•（﹣3）+b]=0且[1﹣（﹣5）2][（﹣5）2+a•（﹣5）+b]=0，解之得，因此，f（x）=（1﹣x2）（x2+8x+15）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15，求导数，得f′（x）=﹣4x3﹣24x2﹣28x+8，令f′（x）=0，得x1=﹣2﹣，x2=﹣2，x3=﹣2+，当x∈（﹣∞，﹣2﹣）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2﹣，﹣2）时，f′（x）＜0；当x∈（﹣2，﹣2+）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2+，+∞）时，f′（x）＜0∴f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数．又∵f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，∴f（x）的最大值为16．故答案为：16．【点评】本题给出多项式函数的图象关于x=﹣2对称，求函数的最大值．着重考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】（I）在Rt△PBC，利用边角关系即可得到∠PBC=60°，得到∠PBA=30°．在△PBA中，利用余弦定理即可求得PA．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，可得PB=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化简即可求出．【解答】解：（I）在Rt△PBC中，=，∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．在△PBA中，由余弦定理得PA2=PB2+AB2﹣2PB•ABcos30°==．∴PA=．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，PB=BCcos（90°﹣α）=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化为．∴．【点评】熟练掌握直角三角形的边角关系、正弦定理和余弦定理是解题的关键．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．【考点】LW：直线与平面垂直；LY：平面与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，由已知可证OA1⊥AB，AB ⊥平面OA1C，进而可得AB⊥A1C；（Ⅱ）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立坐标系，可得，，的坐标，设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，可解得=（，1，﹣1），可求|cos ＜，＞|，即为所求正弦值．【解答】解：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB，又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立如图所示的坐标系，可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），则=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，），设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，即，可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：．【点评】本题考查直线与平面所成的角，涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定，属难题．19．（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，由概率得加法公式和条件概率，代入数据计算可得；（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，分别求其概率，可得分布列，进而可得期望值．【解答】解：（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，所以P（A）=P（A1B1）+P（A2B2）=P（A1）P（B1|A1）+P（A2）P（B2|A2）==（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，并且P（X=800）=，P（X=500）=，P（X=400）=1﹣﹣=，故X的分布列如下：X 400 500 800P故EX=400×+500×+800×=506.25【点评】本题考查离散型随机变量及其分布列涉及数学期望的求解，属中档题．20．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|．【考点】J3：轨迹方程；J9：直线与圆的位置关系．【专题】5B：直线与圆．【分析】（I）设动圆的半径为R，由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2，所以R ≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．分①l的倾斜角为90°，此时l与y轴重合，可得|AB|．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，根据，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出．【解答】解：（I）由圆M：（x+1）2+y2=1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（x﹣1）2+y2=9，圆心N（1，0），半径3．设动圆的半径为R，∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，∴a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3．∴曲线C的方程为（x≠﹣2）．（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|=．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，则，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），由l于M相切可得：，解得．当时，联立，得到7x2+8x﹣8=0．∴，．∴|AB|===由于对称性可知：当时，也有|AB|=．综上可知：|AB|=或．【点评】本题综合考查了两圆的相切关系、直线与圆相切问题、椭圆的定义及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等基础知识，需要较强的推理能力和计算能力及其分类讨论的思想方法．21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）对f（x），g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f （x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），从而解出a，b，c，d的值；（Ⅱ）由（I）得出f（x），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的导函数，通过对k的讨论，判断出F（x）的最值，从而判断出f（x）≤kg（x）恒成立，从而求出k的范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，而f′（x）=2x+a，g′（x）=e x（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，从而a=4，b=2，c=2，d=2；（Ⅱ）由（I）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2e x（x+1）设F（x）=kg（x）﹣f（x）=2ke x（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，则F′（x）=2ke x（x+2）﹣2x﹣4=2（x+2）（ke x﹣1），由题设得F（0）≥0，即k≥1，令F′（x）=0，得x1=﹣lnk，x2=﹣2，①若1≤k＜e2，则﹣2＜x1≤0，从而当x∈（﹣2，x1）时，F′（x）＜0，当x∈（x1，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，x1）上减，在（x1，+∞）上是增，故F（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为F（x1），而F（x1）=﹣x1（x1+2）≥0，x≥﹣2时F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．②若k=e2，则F′（x）=2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），从而当x∈（﹣2，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，+∞）上是增，而F（﹣2）=0，故当x≥﹣2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．③若k＞e2时，F′（x）＞2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），而F（﹣2）=﹣2ke﹣2+2＜0，所以当x＞﹣2时，f（x）≤kg（x）不恒成立，综上，k的取值范围是[1，e2]．【点评】此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，考查分类讨论思想，解题的关键是能够利用导数工具研究函数的性质，此题是一道中档题．四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【专题】5B：直线与圆．【分析】（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=．设DE的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到Rt△BCF的外接圆的半径=．【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G．由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE=90°．∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．（II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC．故DG是BC的垂直平分线，∴BG=．设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．∴CF⊥BF．∴Rt△BCF的外接圆的半径=．【点评】本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等边三角形的性质、三角形全等、三角形的外接圆的半径等知识，需要较强的推理能力、分析问题和解决问题的能力．23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）曲线C1的参数方程消去参数t，得到普通方程，再由，能求出C1的极坐标方程．（2）曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程，与C1的普通方程联立，求出C1与C2交点的直角坐标，由此能求出C1与C2交点的极坐标．【解答】解：（1）将，消去参数t，化为普通方程（x﹣4）2+（y﹣5）2=25，即C1：x2+y2﹣8x﹣10y+16=0，将代入x2+y2﹣8x﹣10y+16=0，得ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0．∴C1的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0．（2）∵曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴曲线C2的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0，。
2013年高考安徽理科数学试题及答案解析版
2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2013年安徽，理1，5分】设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数．若·i+2=2z z z ，则z =（ ）（A ）1i + （B ）1i - （C ）1i -+ （D ）1i -- 【答案】A【解析】设()i z a b a b =+∈R ,，则由·i+2=2z z z 得()()i i i 2i (2)a b a b a b +-+=+，即22i (2i )22a b a b ++=+， 所以22a =，222a b b +=，所以1a =，1b =，即i 1i z a b =+=+，故选A ．（2）【2013年安徽，理2，5分】如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）（A ）16 （B ）2524（C ）34 （D ）1112【答案】D【解析】开始28<，11022s =+=，224n =+=；返回，48<，113244s =+=，426n =+=；返回，68<，31114612s =+=，628n =+=；返回，88<不成立，输出1112s =，故选D ．（3）【2013年安徽，理3，5分】在下列命题中，不是．．公理的是（ ） （A ）平行于同一个平面的两个平面相互平行 （B ）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C ）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内（D ）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】A 【解析】由立体几何基本知识知，B 选项为公理2，C 选项为公理1，D 选项为公理3，A 选项不是公理，故选A ． （4）【2013年安徽，理4，5分】“0a ≤”是“函数()1|()|f x ax x =-在区间(0)+∞，内单调递增”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】函数()f x 的图象有以下三种情形：0a = 0a > 0a < 由图象可知()f x 在区间(0)+∞，内单调递增时，0a ≤，故选C ．（5）【2013年安徽，理5，5分】某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93．下列说法一定正确的是（ ）（A ）这种抽样方法是一种分层抽样 （B ）这种抽样方法是一种系统抽样 （C ）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 （D ）该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 【答案】C【解析】解法一：对A 选项，分层抽样要求男女生总人数之比=男女生抽样人数之比，所以A 选项错； 对B 选项，系统抽样要求先对个体进行编号再抽样，所以B 选项错； 对C 选项，男生方差为40，女生方差为30．所以C 选项正确；对D 选项，男生平均成绩为90，女生平均成绩为91．所以D 选项错，故选C ． 解法二：五名男生成绩的平均数为869488920150(9)9++++=，五名女生成绩的平均数为()18893938893915++++=，五名男生成绩的方差为22222218690949088909290909085s (-)+(-)+(-)+(-)+(-)==，五名女生成绩的方差为2222288913939165s (-)+(-)==，所以2212s s >，故选C ．（6）【2013年安徽，理6，5分】已知一元二次不等式()0f x <的解集为112x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或，则()100x f ＞的解集为（ ）（A ）{|}1lg2x x x <->-或 （B ）lg |}12{x x -<<- （C ）l 2|g {}x x >- （D ）l 2|g {}x x <- 【答案】D【解析】由题意知11012x -<<，所以1lg lg 22x =-<，故选D ．（7）【2013年安徽，理7，5分】在极坐标系中，圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）（A ）()0cos 2θρρθ=∈=R 和 （B ）)s (co 2θρρθ=∈=R 和（C ）)s (co 1θρρθ=∈=R 和 （D ）()0cos 1θρρθ=∈=R 和 【答案】B【解析】由题意可知，圆2cos ρθ=可化为普通方程为2211()x y -+=．所以圆的垂直于x 轴的两条切线方程分别为0x =和2x =，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为()θρ=∈R 和cos 2ρθ=，故选B ． （8）【2013年安徽，理8，5分】函数()y f x =的图象如图所示，在区间[]a b ,上可找到()2n n ≥个不同的数12n x x x ⋯,，,，使得1212===n nf x f x f x x x x ()()()，则n 的取值范围是（ ） （A ）{}3,4 （B ）{}2,3,4 （C ）{}3,4,5 （D ）{}2,3 【答案】B【解析】1212===n n f x f x f x x x x ()()()可化为1212000===00n n f x f x f x x x x ()-()-()----，故上式可理解为()y f x =图象上一点与坐标原点连线的斜率相等，即n 可看成过原点的直线与()y f x =的交点个数． 如图所示，由数形结合知识可得，①为2n =，②为3n =，③为4n =，故选B ．（9）【2013年安徽，理9，5分】在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足=2OA OB OA OB =⋅=，则点集{}=+,1,P OP OA OB λμλμμ+≤∈R 所表示的区域的面积是（）（A ）（B ）（C ） （D ） 【答案】D【解析】以OA ，OB 为邻边作一个平行四边形，将其放置在如图平面直角坐标系中，使A ，B两点关于x 轴对称，由已知=2OA OB OA OB =⋅=，可得出60AOB ∠=︒，点)A ，点)1B -，点()D ，现设()P x y ，，则由=+OP OA OB λμ得())),1x y λμ=+-，即x y λμλμ+)=-=⎪⎩，由于1λμ+≤，λμ∈R ，，可得11x y ⎧≤⎪⎨-≤≤⎪⎩画出动点()P x y ，满足的可行域为如图阴影部分，故所求区域的面积为，故选D ．（10）【2013年安徽，理10，5分】若函数()32f x x ax bx c =+++有极值点1x ，2x ，且()11f x x =，则关于x 的方程()()()2320f x af x b ++=的不同实根个数是（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】A【解析】由()2320f x x ax b '=++=得，1x x =或2x x =，即()()()2320f x af x b ++=的根为()1f x x =或()2f x x =的解．如图所示12x x < 21x x <由图象可知()1f x x =有2个解，()2f x x =有1个解，因此()()()2320f x af x b ++=的不同实根个数为3， 故选A ．第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）【2013年安徽，理11，5分】若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是 ． 【答案】12【解析】∵8x ⎛+ ⎝的通项为1838C ()r r r r x a x --883388=C C r rr r r r r r a x x a x ----=，∴843r r --=，解得3r =．∴338C 7a =， 得12a =．（12）【2013年安徽，理12，5分】设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ．若2b c a +=，3sin 5sin A B =，则角C = ．【答案】2π3【解析】∵3sin 5sin A B =，∴35a b =．① 又∵2b c a +=，②∴由①②可得，53a b =，73c b =，∴22222257133cos 52223b b b b ac C ab b b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===-⨯⨯，∴2π3C =．（13）【2013年安徽，理13，5分】已知直线y a =交抛物线2y x =于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得ACB ∠为直角，则a 的取值范围为 ．【答案】[1)+∞，【解析】如图，设20200()()C x x x a ≠,，()A a ，(),B a a ，则()200,CA x a x =--，()200,CB a x a x =-．∵CA CB ⊥，∴0CA CB ⋅=，即()()222000a x a x --+-=，()()2210a x a x --+-=，∴210xa =-≥，∴1a ≥．（14）【2013年安徽，理14，5分】如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n ，…分别在角O的两条边上，所有n n A B 相互平行，且所有梯形11nnn n A B B A ++的面积均相等．设n n OA a =．若11a =，22a =，则数列{}n a 的通项公式是 ．【答案】n a =【解析】设11OA B S S ∆=，∵11a =，22a =，n n OA a =，∴11OA =，22OA =．又易知1122OA B OA B ∆∆∽，∴1122221221124OA B OA B S OA S OA ∆∆()⎛⎫=== ⎪()⎝⎭．∴11112233OA B A B B A S S S ∆==梯形．∵所有梯形11n n n n A B B A ++的面积 均相等，且11n n OA B OA B ∆∆∽，∴1n OA OA ．∴1n a a =∴n a（15）【2013年安徽，理15，5分】如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q为线段1CC 上的动点，过点A P Q ，，的平面截该正方体所得的截面记为S ．则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号)．①当012CQ <<时，S 为四边形；②当12CQ =时，S 为等腰梯形；③当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足113C R =；④当341CQ <<时，S 为六边形；⑤当1CQ =时，S【答案】①②③⑤【解析】当12CQ =时，222111154D Q D C C Q =+=，22254AP AB BP =+=，所以1D Q AP =，又因为1//2AD PQ ，所以②正确；当012CQ <<时，截面为APQM ，且为四边形，故①也正确，如图（1）所示；如（2）图，当34CQ =时，由1QCN QC R ∆∆∽得11C Q C RCQ CN =，即114314C R =，113C R =，故③正确；如图（3）所示，当341CQ <<时，截面为五边形APQMF ，所以④错误；当1CQ =时，截面为1APC E ，可知1AC =EP =1APC E 为菱形，S四边形1APC E =，故⑤正确．图（1） 图（2） 图（3）三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．（16）【2013年安徽，理16，12分】已知函数()4cos πsin ()4·0x f x x ωωω⎛⎫ ⎪⎝⎭=>+的最小正周期为π． （1）求ω的值；（2）讨论f (x )在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性．解：（1）())2π4cos sin cos sin2c os24f x x x x x x x x ωωωωωωω=⋅⋅⎛⎫+=+ =⎝⎭+⎪+π2sin 24x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因为()f x 的最小正周期为π，且0ω>，从而有2π=π2ω，故1ω=．（2）由（1）知，()π2sin 24f x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=0π2x ≤≤，则ππ5π2444x ≤+≤．当πππ2442x ≤+≤即π08x ≤≤时，()f x 单调递增；当ππ5π2244x ≤+≤即ππ82x ≤≤时，()f x 单调递减． 综上可知，()f x 在区间π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．（17）【2013年安徽，理17，12分】设函数()()221f x ax a x =-+，其中0a >，区间(){}|0I x f x =>．（1）求I 的长度(注：区间()αβ，的长度定义为βα-；（2）给定常数()0,1k ∈，当11k a k -≤≤+时，求I 长度的最小值． 解：（1）因为方程()()22100ax a x a -+=>有两个实根10x =，221ax a =+，故()0f x >的解集为{}12|x x x x <<． 因此区间20,1a I a ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，I 的长度为21a a +． （2）设()21d a aa=+，则()22211a a a d -(+')=．令()0d a '=，得1a =．01k <<，故当11k a -≤<时，()0d a '>， ()d a 单调递增；当11a k <≤+时，()0d a '<，()d a 单调递减．所以当11k a k -≤≤+时，()d a 的最小 值必定在1a k =-或1a k =+处取得．而23223211211111211kd k k k k k d k k k k -(-)--+(-)==<+(+)-++(+)，故()()11d k d k -<+． 因此当1a k =-时，()d a 在区间[]1,1k k -+上取得最小值2122kk k --+．（18）【2013年安徽，理18，12分】设椭圆E ：2222=11x y a a +-的焦点在x 轴上．（1）若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；（2）设12F F ，分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线2F P 交y 轴于点Q ，并且11F P FQ ⊥．证明：当a 变化时，点P 在某定直线上． 解：（1）因为焦距为1，所以22141a -=，解得258a =．故椭圆E 的方程为2288=153x y +．（2）设00()P x y ,，()1,0F c -，()2,0F c ，其中c =．由题设知0x c ≠，则直线1F P 的斜率100F P y k x c=+， 直线2F P 的斜率200F P y k x c =-，故直线2F P 的方程为00()y y x c x c =--．当0x =时，0cy y c x =-， 即点Q 坐标为00(0,)cy c x -．因此，直线1F Q 的斜率为100F Q yk c x =-． 由于11F P FQ ⊥，所以1100001F P F Q y yk k x c c x ⋅=⋅=-+-．化简得22200(21)y x a =--．① 将①代入E 方程，由于点00()P x y ，在第一象限，解得20x a =，201y a =-，即点P 在定直线1x y +=上．（19）【2013年安徽，理19，13分】如图，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，其母线与底面所成的角为22.5︒，AB和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60︒． （1）证明：平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面； （2）求cos COD ∠． 解：（1）设面PAB 与面PCD 的交线为l ．//AB CD ，AB 不在面PCD 内，所以//AB 面PCD ．又因为AB 面PAB ，面PAB 与面PCD 的交线为l ，所以//AB l ． 由直线AB 在底面上而l 在底面外可知，l 与底面平行．（2）设CD 的中点为F ．连接OF ，PF ．由圆的性质，2COD COF ∠=∠，OF CD ⊥．因为OP ⊥底面，CD ⊂底面，所以OP CD ⊥．又OP OF O =，故CD ⊥面OPF ．又CD ⊂面PCD ，因此面OPF ⊥面PCD ．从而直线OP 在面PCD 上的射影为直线PF ， 故OPF ∠为OP 与面PCD 所成的角．60OPF ∠=︒．设OP h =，则tan tan60OF OP OPF h h =⋅∠=⋅︒=．根据题设有22.5OCP ∠=︒，得tan tan 22.5OP h OC OCP ==∠︒．由22tan 22.51tan 22.51tan45︒-=︒=︒和tan22.50︒>，得tan22.51︒，因此1)OC h ==．在Rt OCF ∆中，os c OF OC OF C ===∠，故22cos cos 22co ()2s 1=171COD COF COF ∠=∠=∠---=（20）【2013年安徽，理20，13分】设函数()2322*21()23n nf x x n x x x x n-++++∈∈+=R N ，．证明：（1）对每个*n ∈N ，存在唯一的2,13n x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∈，满足()0n n f x =；（2）对任意*p ∈N ，由（1）中n x 构成的数列{}n x 满足10n n p x x n+<-<．解：（1）对每个*n ∈N ，当0x >时，()11+02n n x f x x n -++'=>，故()n f x 在(0)+∞，内单调递增． 由于()110f =，当2n ≥时，()2221110231n f n=+++>，故()10n f ≥．又21122222213322112111231 ()0233343343313n k n k n n n k k f k --==⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎣⎦=-++≤-+=-+⋅=-⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-∑∑，所以存在唯一的2,13n x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∈，满足()0n n f x =．（2）当0x >时，()()()1121n n n n f x f x x f x n ++(+)=+>，故()()()1110n n n n n n f x f x f x +++>==． 由()1n f x +在(0)+∞，内单调递增知，1n n x x +<，故{}n x 为单调递减数列，从而对任意*n p ∈N ，，n p n x x +<． 对任意*p ∈N ，由于()222102n nn n n n f x x x x n-++++==，①()2122221+021n n n pn p n p n p n p p n p n n p x x x x x n n n f x p ++++++++-++++++=(+)(+=)＋．②①式减去②式并移项，利用01n p n x x +<<≤，得222211k kk k n pn pnn p n n p n n n p p k k n k n x x x x k x x k k +++++==+=++=-+≤-∑∑∑21111(1)n pn pk n k n k k k ++=+=+≤<-∑∑111n n p n =-<+．因此，对任意*p ∈N ，都有01n n p n x x +<-<．（21）【2013年安徽，理21，13分】某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有n 位学生，每次活动均需该系k 位学生参加(n 和k 都是固定的正整数)．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生，且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X ． （1）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； （2）求使()P X m =取得最大值的整数m ．解：（1）因为事件A ：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B ：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，所以A 与B 相互独立．由于()()11C C k n k n P A B k n P --===，故()()=1k P A P B n=-，因此学生甲收到活动通知信息的概率222211k kn k P n n -⎛⎫=--= ⎪⎝⎭． （2）当k n =时，m 只能取n ，有()()1P X m P X n ====．当k n <时，整数m 满足k m t ≤≤，其中t 是2k和n 中的较小者．由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k 位同学”所包含的基本事件总数为2(C )k n ．当X m =时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2k m -．仅收到李老师或 仅收到张老师转发信息的学生人数均为m k -．由乘法计数原理知：事件{}X m =所含基本事件数为 2C CCC CCk k m m k k m k m k nkn kn kn k------=．此时()22C C C C C (C )C k k m m k m k m k n k n k kn k k kn nP X m ------===． 当k m t ≤<时，()()1P X m P X m =≤=+⇔C C m k m k k n k ---≤11C C m k m kkn k +-+--⇔()()()212m k n m k m -+≤-- ⇔ 2(1)22k m k n +≤-+．假如2(1)22k k k t n +≤-<+成立，则当()21k +能被2n +整除时， 22(1)(1)22122k k k k k t n n ++-<≤+-≤++．故()P X m =在2(1)22k k n m +-+=和2(1)212k m k n ++-+=处达最大值； 当()21k +不能被2n +整除时，()P X m =在2(1)22m k k n ⎡⎤+-⎢⎥+⎣⎦=处达最大值．(注：[]x 表示不超过x 的最大整数)，下面证明2(1)22k t n k k ≤+-<+．因为1k n ≤<，所以22(1)1222k kn k k k n n +----=++2111022k k k k n n (+)---≥=≥++．而22(1)12<022k n k k n n n +(-+)--=-++，故()2122k k n n +-<+． 显然2(1)222k k k n +-<+．因此2(1)22k t n k k ≤+-<+．。
2013全国高考1卷理科数学试题及答案解析
切点
直线
坐标原点到 距离的比值为 。
（21）【解析】（1）
例：瓶子里的水渐渐升高了。令 得：
得：
六、看图写话
在 上单调递增
红火——红红火火许多——许许多多来往——来来往往
9、区分以下形近字或音近字：得： 的解析式为
三、词语。且单调递增区间为 ，单调递减区间为
金黄的秋天大大的公园绿色的小伞（2） 得
（8）等轴双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上， 与抛物线 的准线交于 两点， ，则 的
实轴长为
（A） （B） （C）4（D）8
（9）已知 ，函数 在 单调递减，则 的取值范围
(A) (B) (C) (D)
（10）已知函数 ，则 的图像大致为
（11）已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 是边长为 的正三角形， 为 的直径，且 ，则此棱锥的体积为
（1）【解析】选
， ， ， 共10个
（2）【解析】选
甲地由 名教师和 名学生： 种
（3）【解析】选
， ， 的共轭复数为 ， 的虚部为
（4）【解析】选
是底角为 的等腰三角形
（5）【解析】选
， 或
（6）【解析】选
（7）【解析】选
该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为
此几何体的体积为
（8）【解析】选
设 交 的准线 于
（14）设 满足约束条件 则 的取值范围为__________.
（15）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件正常工作，则部件正常工作。设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布 ，且各个元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为_________________.
(完整版)历年高考数学真题(全国卷整理版)
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013大纲全国，理1)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为( )．A ．3B ．4C ．5D ．62．(2013大纲全国，理2)3＝( )．A ．－8B ．8C ．－8iD ．8i3．(2013大纲全国，理3)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－14．(2013大纲全国，理4)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )．A ．(－1,1)B ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．(－1,0) D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 5．(2013大纲全国，理5)函数f (x )＝21log 1x ⎛⎫+⎪⎝⎭(x ＞0)的反函数f －1(x )＝( )． A ．121x -(x ＞0) B ．121x-(x≠0) C ．2x －1(x ∈R) D ．2x －1(x ＞0)6．(2013大纲全国，理6)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝43-，则{a n }的前10项和等于( )． A ．－6(1－3－10) B ．19(1－310) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)7．(2013大纲全国，理7)(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是( )．A ．56B ．84C ．112D ．1688．(2013大纲全国，理8)椭圆C ：22=143x y +的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )．A ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 9．(2013大纲全国，理9)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是增函数，则a 的取值范围是( )． A ．[－1,0] B ．[－1，＋∞) C ．[0,3] D ．[3，＋∞)10．(2013大纲全国，理10)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )．A ．23 B．3 C．3 D ．1311．(2013大纲全国，理11)已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若0MA MB ⋅=，则k ＝( )．A ．12 B．2 CD ．212．(2013大纲全国，理12)已知函数f (x )＝cos x sin 2x ，下列结论中错误的是( )．A ．y ＝f(x)的图像关于点(π，0)中心对称B ．y ＝f(x)的图像关于直线π=2x 对称C ．f(x)的最大值为2 D ．f(x)既是奇函数，又是周期函数二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013大纲全国，理13)已知α是第三象限角，sin α＝13-，则cot α＝__________. 14．(2013大纲全国，理14)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有__________种．(用数字作答)15．(2013大纲全国，理15)记不等式组0,34,34x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为D .若直线y ＝a (x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是__________．16．(2013大纲全国，理16)已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，OK ＝32，且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O 的表面积等于__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013大纲全国，理17)(本小题满分10分)等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝22a ，且S 1，S 2，S 4成等比数列，求{a n }的通项公式．18．(2013大纲全国，理18)(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac . (1)求B ； (2)若sin A sin C＝14，求C .19．(2013大纲全国，理19)(本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形．(1)证明：PB⊥CD；(2)求二面角A－PD－C的大小．20．(2013大纲全国，理20)(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．21．(2013大纲全国，理21)(本小题满分12分)已知双曲线C：2222=1x ya b(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y＝2与C.(1)求a，b；(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．22．(2013大纲全国，理22)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝1ln(1+)1x xxxλ(+)-+.(1)若x≥0时，f(x)≤0，求λ的最小值；(2)设数列{a n}的通项111=1+23nan+++，证明：a2n－a n＋14n＞ln 2.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 答案：B解析：由题意知x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，则x 的可能取值为5,6,7,8.因此集合M 共有4个元素．故选B. 2． 答案：A解析：323=13=8-.故选A.3． 答案：B解析：由(m ＋n )⊥(m －n )⇒|m |2－|n |2＝0⇒(λ＋1)2＋1－[(λ＋2)2＋4]＝0⇒λ＝－3.故选B. 4． 答案：B解析：由题意知－1＜2x ＋1＜0，则－1＜x ＜12-.故选B. 5． 答案：A解析：由题意知11+x＝2y⇒x ＝121y -(y ＞0)，因此f －1(x )＝121x -(x ＞0)．故选A. 6． 答案：C解析：∵3a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋1＝13n a -.∴数列{a n }是以13-为公比的等比数列．∵a 2＝43-，∴a 1＝4. ∴S 10＝101413113⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+＝3(1－3－10)．故选C.7．答案：D解析：因为(1＋x )8的展开式中x 2的系数为28C ，(1＋y )4的展开式中y 2的系数为24C ，所以x 2y 2的系数为2284C C 168=.故选D. 8． 答案：B解析：设P 点坐标为(x 0，y 0)，则2200=143x y +， 2002PA y k x =-，1002PA y k x =+，于是12220222003334244PA PA x y k k x x -⋅===---.故12314PA PA k k ＝－. ∵2PA k ∈[－2，－1]， ∴133,84PA k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选B.9． 答案：D解析：由条件知f ′(x )＝2x ＋a －21x ≥0在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，即212a x x ≥-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立．∵函数212y x x =-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数，∴max 211<23212y -⨯=⎛⎫⎪⎝⎭.∴a ≥3.故选D. 10． 答案：A解析：如下图，连结AC 交BD 于点O ，连结C 1O ，过C 作CH ⊥C 1O 于点H .∵11BD ACBD AA AC AA A ⊥⎫⎪⊥⎬⎪=⎭1111BD ACC A CH ACC A ⊥⎫⎬⊂⎭平面平面11=CH BDCH C O BD C O O ⊥⎫⎪⊥⎬⎪⎭CH ⊥平面C 1BD ，∴∠HDC 为CD 与平面BDC 1所成的角．设AA 1＝2AB ＝2，则=2AC OC，1C O =由等面积法，得C 1O ·CH ＝OC ·CC 12CH ， ∴2=3CH . ∴sin ∠HDC ＝223==13HC DC .故选A.11． 答案：D解析：由题意知抛物线C 的焦点坐标为(2,0)，则直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，将其代入y 2＝8x ，得k 2x 2－4(k2＋2)x ＋4k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2242k k (+)，x 1x 2＝4.①由112222y k x y k x =(-)⎧⎨=(-)⎩∵0MA MB ⋅=，∴(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝0. ∴(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0， 即x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0.④ 由①②③④解得k ＝2.故选D. 12． 答案：C解析：由题意知f (x )＝2cos 2x ·sin x ＝2(1－sin 2x )sin x . 令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]， 则g (t )＝2(1－t 2)t ＝2t －2t 3. 令g ′(t )＝2－6t 2＝0，得=t ±. 当t ＝±1时，函数值为0；当t =；当t =.∴g (t )max ，即f (x )的最大值为9.故选C. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：解析：由题意知cos α＝3==-.故cot α＝cos sin αα14．答案：480解析：先排除甲、乙外的4人，方法有44A 种，再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有25A 种排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有4245A A 480⋅=(种)．15．答案：1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析：作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示． ∵直线y ＝a (x ＋1)过定点C (－1,0)，由图并结合题意可知12BC k =，k AC ＝4，∴要使直线y ＝a (x ＋1)与平面区域D 有公共点， 则12≤a ≤4. 16．答案：16π解析：如下图，设MN 为两圆的公共弦，E 为MN 的中点， 则OE ⊥MN ，KE ⊥MN ，结合题意可知∠OEK ＝60°.又MN ＝R ，∴△OMN 为正三角形．∴OE ＝2R .又OK ⊥EK ，∴32＝OE ·sin 60°＝22R ⋅∴R ＝2.∴S ＝4πR 2＝16π.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：设{a n }的公差为d .由S 3＝22a 得3a 2＝22a ，故a 2＝0或a 2＝3. 由S 1，S 2，S 4成等比数列得22S ＝S 1S 4. 又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ， 故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )．若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，所以d ＝0，此时S n ＝0，不合题意； 若a 2＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )，解得d ＝0或d ＝2. 因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1. 18．解：(1)因为(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝－ac .由余弦定理得cos B ＝222122a cb ac +-=-， 因此B ＝120°.(2)由(1)知A ＋C ＝60°，所以cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝cos A cos C －sin A sin C ＋2sin A sin C ＝cos(A ＋C )＋2sin A sin C＝11+2242⨯=， 故A －C ＝30°或A －C ＝－30°， 因此C ＝15°或C ＝45°. 19．(1)证明：取BC 的中点E ，连结DE ，则ABED 为正方形． 过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O .连结OA ，OB ，OD ，OE .由△PAB 和△PAD 都是等边三角形知PA ＝PB ＝PD ， 所以OA ＝OB ＝OD ，即点O 为正方形ABED 对角线的交点， 故OE ⊥BD ，从而PB ⊥OE .因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE ∥CD .因此PB ⊥CD .(2)解法一：由(1)知CD ⊥PB ，CD ⊥PO ，PB ∩PO ＝P ，故CD ⊥平面PBD .又PD ⊂平面PBD ，所以CD ⊥PD .取PD 的中点F ，PC 的中点G ，连结FG ，则FG ∥CD ，FG ⊥PD .连结AF ，由△APD 为等边三角形可得AF ⊥PD .所以∠AFG 为二面角A －PD －C 的平面角．连结AG ，EG ，则EG ∥PB .又PB ⊥AE ，所以EG ⊥AE .设AB ＝2，则AE ＝，EG ＝12PB ＝1，故AG 3.在△AFG 中，FG ＝12CD =，AF =AG ＝3，所以cos ∠AFG ＝22223FG AF AG FG AF +-=-⨯⨯因此二面角A －PD －C 的大小为π-解法二：由(1)知，OE ，OB ，OP 两两垂直．以O 为坐标原点，OE 的方向为x 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .设|AB |＝2，则A (，0,0)，D (0，，0)，C (，0)，P (0,0)．PC ＝(，)，PD ＝(0，，)．AP ＝，0)，AD ＝，，0)．设平面PCD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则n 1·PC ＝(x ，y ，z )·(，)＝0，n 1·PD ＝(x ，y ，z )·(0，，)＝0，可得2x －y －z ＝0，y ＋z ＝0.取y ＝－1，得x ＝0，z ＝1，故n 1＝(0，－1,1)．设平面PAD 的法向量为n 2＝(m ，p ，q )，则n 2·AP ＝(m ，p ，q ，0)＝0，n 2·AD ＝(m ，p ，q ，，0)＝0，可得m＋q＝0，m－p＝0.取m＝1，得p＝1，q＝－1，故n2＝(1,1，－1)．于是cos〈n1，n2〉＝1212||||3=-·n nn n.由于〈n1，n2〉等于二面角A－PD－C的平面角，所以二面角A－PD－C的大小为π-20．解：(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A表示事件“第4局甲当裁判”．则A＝A1·A2.P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝14.(2)X的可能取值为0,1,2.记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．则P(X＝0)＝P(B1·B2·A3)＝P(B1)P(B2)·P(A3)＝18，P(X＝2)＝P(1B·B3)＝P(1B)P(B3)＝14，P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1151848--=，EX＝0·P(X＝0)＋1·P(X＝1)＋2·P(X＝2)＝98.21．(1)解：由题设知ca＝3，即222a ba+＝9，故b2＝8a2.所以C的方程为8x2－y2＝8a2.将y＝2代入上式，求得x=由题设知，=a2＝1.所以a＝1，b＝(2)证明：由(1)知，F1(－3,0)，F2(3,0)，C的方程为8x2－y2＝8.①由题意可设l的方程为y＝k(x－3)，k(k2－8)x2－6k2x＋9k2＋8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≤－1，x2≥1，x1＋x2＝2268kk-，x1·x2＝22988kk+-.于是|AF1|＝－(3x1＋1)，|BF1|3x2＋1.由|AF1|＝|BF1|得－(3x1＋1)＝3x2＋1，即x1＋x2＝23 -.故226283kk=--，解得k2＝45，从而x1·x2＝199-.由于|AF2|＝1－3x1，|BF2|3x2－1，故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4，|AF2|·|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16. 因而|AF2|·|BF2|＝|AB|2，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．22．(1)解：由已知f(0)＝0，f′(x)＝22121x xxλλ(-)-(+)，f′(0)＝0.若12λ<，则当0＜x＜2(1－2λ)时，f′(x)＞0，所以f(x)＞0.若12λ≥，则当x＞0时，f′(x)＜0，所以当x＞0时，f(x)＜0.综上，λ的最小值是12.(2)证明：令12λ=.由(1)知，当x＞0时，f(x)＜0，即2ln(1) 22x xxx(+)>++．取1xk=，则211>ln21k kk k k++(+).于是212111 422(1)n n n k n a a n k k -=⎡⎤-+=+⎢⎥+⎣⎦∑ ＝2121211ln 21n n k n k n k k k k k --==++>(+)∑∑ ＝ln 2n －ln n ＝ln 2.所以21ln 24n n a a n-+>. 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷I)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )．A ．A ∩B ＝ B ．A ∪B ＝RC ．B ⊆AD ．A ⊆B2．(2013课标全国Ⅰ，理2)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )．A ．－4B ．45-C ．4 D ．45 3．(2013课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样4．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x± D ．y ＝±x 5．(2013课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]6．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．A ．500π3cm3B ．866π3cm3C ．1372π3cm3D ．2048π3cm37．(2013课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．68．(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π9．(2013课标全国Ⅰ，理9)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )．A ．5B ．6C ．7D ．8 10．(2013课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A ．22=14536x y +B ．22=13627x y +C ．22=12718x y +D ．22=1189x y +11．(2013课标全国Ⅰ，理11)已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]12．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n n b a +，则( )． A ．{Sn}为递减数列 B ．{Sn}为递增数列C ．{S2n －1}为递增数列，{S2n}为递减数列D ．{S2n －1}为递减数列，{S2n}为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t ＝__________.14．(2013课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的前n项和2133n nS a=+，则{an}的通项公式是an＝_______.15．(2013课标全国Ⅰ，理15)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝__________.16．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.(1)若PB＝12，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.18．(2013课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．(2013课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．20．(2013课标全国Ⅰ，理20)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.21．(2013课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(2013课标全国Ⅰ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．(2013课标全国Ⅰ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．(2013课标全国Ⅰ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲：已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a＞－1，且当x∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：B解析：∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2.∴集合A 与B 可用图象表示为：由图象可以看出A ∪B ＝R ，故选B.2．答案：D解析：∵(3－4i)z ＝|4＋3i|， ∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+. 故z 的虚部为45，选D. 3．答案：C 解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．4．答案：C解析：∵c e a ==，∴22222254c a b e a a +===. ∴a 2＝4b 2，1=2b a ±. ∴渐近线方程为12b y x x a =±±. 5．答案：A解析：若t ∈[－1,1)，则执行s ＝3t ，故s ∈[－3,3)．若t ∈[1,3]，则执行s ＝4t －t 2，其对称轴为t ＝2.故当t ＝2时，s 取得最大值4.当t ＝1或3时，s 取得最小值3，则s ∈[3,4]．综上可知，输出的s ∈[－3,4]．故选A.6．答案：A解析：设球半径为R ，由题可知R ，R －2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA 为直角三角形，如图．BC ＝2，BA ＝4，OB ＝R －2，OA ＝R ，由R 2＝(R －2)2＋42，得R ＝5， 所以球的体积为34500π5π33=(cm 3)，故选A. 7．答案：C解析：∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，∴a m ＝S m －S m －1＝0－(－2)＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3－0＝3.∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.∵S m ＝ma 1＋12m m (-)×1＝0，∴112m a -=-. 又∵a m ＋1＝a 1＋m ×1＝3，∴132m m --+=. ∴m ＝5.故选C.8．答案：A 解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r ＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr 2×4×12＋4×2×2＝8π＋16.故选A. 9．答案：B解析：由题意可知，a ＝2C m m ，b ＝21C m m +，又∵13a ＝7b ，∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+)，即132171m m +=+.解得m ＝6.故选B. 10．答案：D解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上， ∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ①－②，得1212121222=0x x x x y y y y a b(+)(-)(+)(-)+， 即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2， 而1212y y x x --＝k AB ＝011=312-(-)-，∴221=2b a . 又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9. ∴椭圆E 的方程为22=1189x y +.故选D. 11．答案：D解析：由y ＝|f (x )|的图象知：①当x ＞0时，y ＝ax 只有a ≤0时，才能满足|f (x )|≥ax ，可排除B ，C.②当x ≤0时，y ＝|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x .故由|f (x )|≥ax 得x 2－2x ≥ax .当x ＝0时，不等式为0≥0成立．当x ＜0时，不等式等价于x －2≤a .∵x －2＜－2，∴a ≥－2.综上可知：a ∈[－2,0]．12．答案：B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：2解析：∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )|b |2.又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60°，b ⊥c ，∴0＝t |a ||b |cos 60°＋(1－t )，0＝12t ＋1－t . ∴t ＝2.14．答案：(－2)n －1 解析：∵2133n n S a =+，① ∴当n ≥2时，112133n n S a --=+.② ①－②，得12233n n n a a a -=-， 即1n n a a -＝－2. ∵a 1＝S 1＝12133a +， ∴a 1＝1. ∴{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，a n ＝(－2)n －1. 15．答案：5- 解析：f (x )＝sin x －2cos xx x ⎫⎪⎭， 令cos αsin α＝则f (x )α＋x )，当x ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )时，sin(α＋x )有最大值1，f (x ) 即θ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )，所以cos θ＝πcos 2π+2k α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝πcos 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin α＝5=-. 16．答案：16解析：∵函数f (x )的图像关于直线x ＝－2对称，∴f (x )满足f (0)＝f (－4)，f (－1)＝f (－3)，即15164,0893,b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩解得8,15.a b =⎧⎨=⎩∴f (x )＝－x 4－8x 3－14x 2＋8x ＋15.由f ′(x )＝－4x 3－24x 2－28x ＋8＝0，得x 1＝－2x 2＝－2，x 3＝－2易知，f (x )在(－∞，－2上为增函数，在(－2，－2)上为减函数，在(－2，－2)上为增函数，在(－2∴f (－2＝[1－(－22][(－2)2＋8(－2＋15]＝(－8－－＝80－64＝16.f (－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15]＝－3(4－16＋15)＝－9.f (－2＝[1－(－22][(－22＋8(－2)＋15]＝(－8＋＋＝80－64＝16.故f (x )的最大值为16.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：(1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝11732cos 30424+-︒=. 故PA＝2. (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA中，由正弦定理得sin sin150sin(30)αα=︒︒-，cos α＝4sin α.所以tan α＝4，即tan ∠PBA＝4. 18． (1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B .因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .(2)解：由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB .又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，|OA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz . 由题设知A (1,0,0)，A 1(0，0)，C (0,0，B (－1,0,0)．则BC ＝(1,0，1BB ＝1AA ＝(－10)，1AC ＝(0，． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，则10,0,BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,0.x x ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩可取n ＝，1，－1)．故cos 〈n ，1AC 〉＝11A CA C⋅n n ＝. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C 19．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)，且A 1B 1与A 2B 2互斥，所以P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2)＝41113161616264⨯+⨯=. (2)X 可能的取值为400,500,800，并且 P (X ＝400)＝41111161616--=，P (X ＝500)＝116，P (X ＝800)＝14. 所以X 的分布列为EX ＝1111400+500+80016164⨯⨯⨯＝506.25. 20． 解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2的椭圆(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP R QM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M，解得k＝4±. 当k＝4时，将4y x =代入22=143x y +， 并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝47-±. 所以|AB |2118|7x x -=.当k =时，由图形的对称性可知|AB |＝187. 综上，|AB |＝|AB |＝187. 21． 解：(1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2，f ′(0)＝4，g ′(0)＝4.而f ′(x )＝2x ＋a ，g ′(x )＝e x (cx ＋d ＋c )，故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d ＋c ＝4.从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝x 2＋4x ＋2，g (x )＝2e x (x ＋1)．设函数F (x )＝kg (x )－f (x )＝2k e x (x ＋1)－x 2－4x －2，则F ′(x )＝2k e x (x ＋2)－2x －4＝2(x ＋2)(k e x－1)．由题设可得F (0)≥0，即k ≥1.令F ′(x )＝0得x 1＝－ln k ，x 2＝－2.①若1≤k ＜e 2，则－2＜x 1≤0.从而当x ∈(－2，x 1)时，F ′(x )＜0；当x ∈(x 1，＋∞)时，F ′(x )＞0.即F (x )在(－2，x 1)单调递减，在(x 1，＋∞)单调递增．故F (x )在[－2，＋∞)的最小值为F (x 1)．而F (x 1)＝2x 1＋2－21x －4x 1－2＝－x 1(x 1＋2)≥0.故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．②若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(e x－e－2)．从而当x＞－2时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，＋∞)单调递增．而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．③若k＞e2，则F(－2)＝－2k e－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0.从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上，k的取值范围是[1，e2]．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(1)证明：连结DE，交BC于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因为DB⊥BE，所以DE为直径，∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC.(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂线，所以BG＝2.设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°.从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于2.23．解：(1)将45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将cos,sinxyρθρθ=⎧⎨=⎩代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0. 由2222810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩ 解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 24．解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0.所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立． 故2a -≥a －2，即43a ≤. 从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦. 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷II)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( )．A ．{0,1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－1,0,2,3}D ．{0,1,2,3} 2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )．A ．－1＋iB ．－1－IC ．1＋iD ．1－i3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )．A ．13B ．13-C ．19D ．19-4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，lα，l β，则( )．A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－16．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )．A ．1111+2310+++B ．1111+2!3!10!+++C ．1111+2311+++D ．1111+2!3!11!+++7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )． 8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )．A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1,3,3.x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )．A．14 B．12 C．1 D．210．(2013课标全国Ⅱ，理10)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )．A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝011．(2013课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )．A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x12．(2013课标全国Ⅱ，理12)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )．A．(0,1) B．1122⎛⎫-⎪⎪⎝⎭ C．1123⎛⎤-⎥⎝⎦ D．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。
2011—2020年十年新课标全国卷高考数学分类汇编——1
2011—2020年十年新课标全国卷高考数学分类汇编——1.集合2011年至2020年的新课标全国卷数学试题共包含8套全国卷，包括全国Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷、新高考Ⅰ卷和新高考Ⅱ卷。
本资料根据全国卷的特点编写，共包含14个专题，包括集合、复数、逻辑、数学文化、新定义、平面向量、不等式、数列、三角函数与解三角形、解析几何、概率与统计、程序框图、坐标系与参数方程、不等式选讲。
通过掌握各种题型，可以把握全国卷命题的灵魂。
集合与简易逻辑是数学试题中的一个重要专题。
以下是一些选择题的例子：2020年新高考Ⅰ卷第一题：设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=（）A．{x|2<x≤3} B．{x|2≤x≤3} C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4}2020年全国卷Ⅰ理科第二题：设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（）A．–4 B．–2 C．2 D．42020年全国卷Ⅰ文科第一题：已知集合A={x|x23x40}，B={4,1,3,5}，则B={x|1<x<4}。
2020年全国卷Ⅱ理科第一题：已知集合U={−2，−1.1，2，3}，A={−1.1}，B={1，2}，则CUAA．{−2，3} B．{−2，2，3} C．{−2，−1.3} D．{−2，−1.2，3}2020年全国卷Ⅱ文科第一题：已知集合A={x||x|1，x∈Z}，则A∩B={–2，2}。
2020年全国卷Ⅲ理科第一题：已知集合A{(x,y)|x,y N*,y x}，B{(x,y)|x y8}，则A∩B中元素的个数为3.2020年全国卷Ⅲ文科第一题：已知集合A1，2，3，5，7，11，B x|3x15，则A∩B中元素的个数为4.2019·全国卷Ⅰ，理1)已知集合M={x|-4<x<2}，N={x|x^2-x-6<0}，则M的正确表示为A。
2013年高考安徽理科数学试题及答案(word解析版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学(理科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2013年安徽，理1，5分】设i 是虚数单位,z 是复数z 的共轭复数．若·i+2=2z z z ，则z =（ ）（A)1i + （B ）1i - （C)1i -+ (D ）1i -- 【答案】A【解析】设()i z a b a b =+∈R ,，则由·i+2=2z z z 得()()i i i 2i (2)a b a b a b +-+=+，即22i (2i )22a b a b ++=+， 所以22a =，222a b b +=，所以1a =，1b =，即i 1i z a b =+=+，故选A ．（2)【2013年安徽，理2，5分】如图所示，程序框图(算法流程图）的输出结果是( ）(A)16 （B ）2524（C ）34 （D)1112【答案】D【解析】开始28<，11022s =+=，224n =+=；返回，48<，113244s =+=，426n =+=;返回,68<，31114612s =+=，628n =+=；返回,88<不成立,输出1112s =,故选D ．（3）【2013年安徽，理3,5分】在下列命题中，不是．．公理的是（ ） (A)平行于同一个平面的两个平面相互平行 (B ）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C ）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 （D ）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】A【解析】由立体几何基本知识知，B 选项为公理2，C 选项为公理1,D 选项为公理3，A 选项不是公理，故选A ． （4）【2013年安徽，理4，5分】“0a ≤”是“函数()1|()|f x ax x =-在区间(0)+∞，内单调递增”的( ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】函数()f x 的图象有以下三种情形：0a = 0a > 0a < 由图象可知()f x 在区间(0)+∞，内单调递增时,0a ≤，故选C ．（5)【2013年安徽，理5,5分】某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93，93,88，93．下列说法一定正确的是（ )（A ）这种抽样方法是一种分层抽样 (B ）这种抽样方法是一种系统抽样 （C ）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 （D ）该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 【答案】C【解析】解法一：对A 选项，分层抽样要求男女生总人数之比=男女生抽样人数之比，所以A 选项错; 对B 选项，系统抽样要求先对个体进行编号再抽样，所以B 选项错； 对C 选项，男生方差为40，女生方差为30．所以C 选项正确;对D 选项，男生平均成绩为90，女生平均成绩为91．所以D 选项错，故选C ． 解法二：五名男生成绩的平均数为869488920150(9)9++++=，五名女生成绩的平均数为()18893938893915++++=，五名男生成绩的方差为22222218690949088909290909085s (-)+(-)+(-)+(-)+(-)==,五名女生成绩的方差为2222288913939165s (-)+(-)==，所以2212s s >，故选C ．（6)【2013年安徽，理6，5分】已知一元二次不等式()0f x <的解集为112x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或，则()100x f ＞的解集为（ )（A ）{|}1lg2x x x <->-或 （B)lg |}12{x x -<<- （C ）l 2|g {}x x >- (D ）l 2|g {}x x <- 【答案】D【解析】由题意知11012x -<<,所以1lg lg 22x =-<,故选D ．(7)【2013年安徽，理7，5分】在极坐标系中，圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）(A ）()0cos 2θρρθ=∈=R 和 （B))s (co 2θρρθ=∈=R 和(C))s (co 1θρρθ=∈=R 和 （D ）()0cos 1θρρθ=∈=R 和 【答案】B【解析】由题意可知,圆2cos ρθ=可化为普通方程为2211()x y -+=．所以圆的垂直于x 轴的两条切线方程分别为0x =和2x =，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为()θρ=∈R 和cos 2ρθ=，故选B ． （8）【2013年安徽，理8，5分】函数()y f x =的图象如图所示，在区间[]a b ,上可找到()2n n ≥个不同的数12n x x x ⋯,，,，使得1212===n nf x f x f x x x x ()()()，则n 的取值范围是（ ) （A ）{}3,4 （B){}2,3,4 (C ）{}3,4,5 （D ）{}2,3 【答案】B【解析】1212===n n f x f x f x x x x ()()()可化为1212000===00n n f x f x f x x x x ()-()-()----，故上式可理解为()y f x =图象上一点与坐标原点连线的斜率相等,即n 可看成过原点的直线与()y f x =的交点个数． 如图所示，由数形结合知识可得，①为2n =，②为3n =，③为4n =,故选B ．（9）【2013年安徽，理9，5分】在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ,B 满足=2OA OB OA OB =⋅=，则点集{}=+,1,P OP OA OB λμλμμ+≤∈R 所表示的区域的面积是( ) （A)(B ）（C ） (D ）【答案】D【解析】以OA ，OB 为邻边作一个平行四边形，将其放置在如图平面直角坐标系中，使A ，B 两点关于x 轴对称，由已知=2OA OBOA OB =⋅=，可得出60AOB ∠=︒，点)A，点)1B -，点()D ,现设()P x y ，，则由=+OP OA OB λμ得())),1x y λμ=+-，即x y λμλμ+)=-=⎪⎩，由于1λμ+≤,λμ∈R ，，可得11x y ⎧≤≤⎪⎨-≤≤⎪⎩()P x y ，满足的可行域为如图阴影部分，故所求区域的面积为，故选D ．（10)【2013年安徽，理10，5分】若函数()32f x x ax bx c =+++有极值点1x ，2x ，且()11f x x =,则关于x 的方程()()()2320f x af x b ++=的不同实根个数是( )（A)3 (B)4 （C ）5 (D ）6 【答案】A【解析】由()2320f x x ax b '=++=得，1x x =或2x x =，即()()()2320f x af x b ++=的根为()1f x x =或()2f x x =的解．如图所示12x x < 21x x <由图象可知()1f x x =有2个解，()2f x x =有1个解,因此()()()2320f x af x b ++=的不同实根个数为3， 故选A ．第Ⅱ卷(非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分．把答案填在答题卡的相应位置．（11)【2013年安徽，理11，5分】若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ个单位,所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是 ． 【答案】12【解析】∵8x ⎛+ ⎝的通项为1838C ()r r r r x a x --883388=C C r rr r r r r r a x x a x ----=，∴843r r --=，解得3r =．∴338C 7a =， 得12a =．（12）【2013年安徽,理12,5分】设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ,b ，c ．若2b c a +=，3sin 5sin A B =，则角C = ．【答案】2π3【解析】∵3sin 5sin A B =,∴35a b =．① 又∵2b c a +=，②∴由①②可得，53a b =，73c b =，∴22222257133cos 52223b b b b ac C ab b b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===-⨯⨯,∴2π3C =．（13)【2013年安徽，理13，5分】已知直线y a =交抛物线2y x =于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得ACB ∠为直角,则a 的取值范围为 ．【答案】[1)+∞，【解析】如图，设20200()()C x x x a ≠,，()A a ，(),B a a ,则()200,CA x a x =--，()200,CB a x a x =-．∵CA CB ⊥,∴0CA CB ⋅=,即()()222000a x a x --+-=，()()2210a x a x --+-=，∴210xa =-≥，∴1a ≥．(14）【2013年安徽，理14，5分】如图，互不相同的点A 1,A 2，…，A n ，…和B 1，B 2,…，B n ，…分别在角O 的两条边上,所有n n A B 相互平行，且所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等．设n n OA a =．若11a =,22a =，则数列{}n a 的通项公式是 ．【答案】n a =【解析】设11OA B S S ∆=，∵11a =,22a =，n n OA a =,∴11OA =，22OA =．又易知1122OA B OA B ∆∆∽，∴1122221221124OA B OA B S OA S OA ∆∆()⎛⎫=== ⎪()⎝⎭．∴11112233OA B A B B A S S S ∆==梯形．∵所有梯形11n n n n A B B A ++的面积 均相等,且11n n OA B OA B ∆∆∽，∴1n OA OA =．∴1n a a =∴n a（15）【2013年安徽，理15，5分】如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q为线段1CC 上的动点,过点A P Q ，，的平面截该正方体所得的截面记为S ．则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号)．①当012CQ <<时，S 为四边形；②当12CQ =时，S 为等腰梯形;③当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足113C R =；④当341CQ <<时,S 为六边形；⑤当1CQ =时，S【答案】①②③⑤【解析】当12CQ =时，222111154D Q D C C Q =+=，22254AP AB BP =+=，所以1D Q AP =，又因为1//2AD PQ ,所以②正确；当012CQ <<时，截面为APQM ，且为四边形，故①也正确，如图（1）所示；如(2）图，当34CQ =时，由1QCN QC R ∆∆∽得11C Q C RCQ CN =,即114314C R =，113C R =，故③正确;如图（3）所示，当341CQ <<时，截面为五边形APQMF ，所以④错误;当1CQ =时，截面为1APC E ，可知1AC =EP =1APC E 为菱形,S四边形1APC E =，故⑤正确．图（1） 图(2） 图（3）三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．（16）【2013年安徽，理16，12分】已知函数()4cos πsin ()4·0x f x x ωωω⎛⎫ ⎪⎝⎭=>+的最小正周期为π． （1）求ω的值；(2)讨论f （x )在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性．解：(1)())2π4cos sin cos sin2c os24f x x x x x x x x ωωωωωωω=⋅⋅⎛⎫+= =⎝⎭+⎪+π2sin 24x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因为()f x 的最小正周期为π，且0ω>，从而有2π=π2ω,故1ω=．（2）由（1）知,()π2sin 24f x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=0π2x ≤≤，则ππ5π2444x ≤+≤．当πππ2442x ≤+≤即π08x ≤≤时，()f x 单调递增；当ππ5π2244x ≤+≤即ππ82x ≤≤时，()f x 单调递减． 综上可知,()f x 在区间π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在区间ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．(17）【2013年安徽，理17，12分】设函数()()221f x ax a x =-+，其中0a >,区间(){}|0I x f x =>．（1)求I 的长度(注:区间()αβ，的长度定义为βα-;（2)给定常数()0,1k ∈，当11k a k -≤≤+时，求I 长度的最小值． 解：（1)因为方程()()22100ax a x a -+=>有两个实根10x =,221ax a =+，故()0f x >的解集为{}12|x x x x <<． 因此区间20,1a I a ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，I 的长度为21a a +． （2）设()21d a aa=+，则()22211a a a d -(+')=．令()0d a '=,得1a =．01k <<，故当11k a -≤<时，()0d a '>, ()d a 单调递增；当11a k <≤+时，()0d a '<，()d a 单调递减．所以当11k a k -≤≤+时，()d a 的最小 值必定在1a k =-或1a k =+处取得．而23223211211111211kd k k k k k d k k k k -(-)--+(-)==<+(+)-++(+)，故()()11d k d k -<+． 因此当1a k =-时，()d a 在区间[]1,1k k -+上取得最小值2122kk k --+．（18）【2013年安徽，理18，12分】设椭圆E ：2222=11x y a a +-的焦点在x 轴上．（1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；(2)设12F F ，分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线2F P 交y 轴于点Q ，并且11F P FQ ⊥．证明：当a 变化时，点P 在某定直线上． 解：（1)因为焦距为1，所以22141a -=，解得258a =．故椭圆E 的方程为2288=153x y +．（2）设00()P x y ,，()1,0F c -,()2,0F c，其中c =．由题设知0x c ≠，则直线1F P 的斜率100F P y k x c=+， 直线2F P 的斜率200F P y k x c =-，故直线2F P 的方程为00()y y x c x c =--．当0x =时，0cy y c x =-， 即点Q 坐标为00(0,)cy c x -．因此,直线1F Q 的斜率为100F Q yk c x =-． 由于11F P FQ ⊥，所以1100001F P F Q y yk k x c c x ⋅=⋅=-+-．化简得22200(21)y x a =--．① 将①代入E 方程，由于点00()P x y ，在第一象限,解得20x a =，201y a =-，即点P 在定直线1x y +=上．（19）【2013年安徽,理19，13分】如图，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，其母线与底面所成的角为22.5︒，AB和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60︒． (1）证明：平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面; （2）求cos COD ∠．解:（1）设面PAB 与面PCD 的交线为l ．//AB CD ，AB 不在面PCD 内，所以//AB 面PCD ．又因为AB 面PAB ，面PAB 与面PCD 的交线为l ,所以//AB l ． 由直线AB 在底面上而l 在底面外可知，l 与底面平行．（2）设CD 的中点为F ．连接OF ，PF ．由圆的性质，2COD COF ∠=∠，OF CD ⊥．因为OP ⊥底面，CD ⊂底面，所以OP CD ⊥．又OP OF O =，故CD ⊥面OPF ．又CD ⊂面PCD ,因此面OPF ⊥面PCD ．从而直线OP 在面PCD 上的射影为直线PF , 故OPF ∠为OP 与面PCD 所成的角．60OPF ∠=︒．设OP h =，则tan tan60OF OP OPF h h =⋅∠=⋅︒=．根据题设有22.5OCP ∠=︒，得tan tan 22.5OP h OC OCP ==∠︒．由22tan 22.51tan1tan45︒-=︒=和tan22.50︒>， 得tan22.51︒,因此1)OCh =．在Rt OCF ∆中，os c OF OC OF C ===∠, 故22cos cos 22co ()2s 1=171COD COF COF ∠=∠=∠----=（20）【2013年安徽，理20，13分】设函数()2322*21()23n nf x x n x x x x n-++++∈∈+=R N ，．证明： (1）对每个*n ∈N ，存在唯一的2,13n x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∈，满足()0n n f x =;（2)对任意*p ∈N ，由（1)中n x 构成的数列{}n x 满足10n n p x x n+<-<． 解：(1）对每个*n ∈N ,当0x >时，()11+02n n x f x x n -++'=>，故()n f x 在(0)+∞，内单调递增． 由于()110f =，当2n ≥时,()2221110231n f n=+++>，故()10n f ≥．又21122222213322112111231 ()0233343343313n k n k n n n k k f k --==⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎣⎦=-++≤-+=-+⋅=-⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-∑∑,所以存在唯一的2,13n x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∈，满足()0n n f x =．(2）当0x >时，()()()1121n n n n f x f x x f x n ++(+)=+>，故()()()1110n n n n n n f x f x f x +++>==． 由()1n f x +在(0)+∞，内单调递增知，1n n x x +<，故{}n x 为单调递减数列，从而对任意*n p ∈N ，，n p n x x +<． 对任意*p ∈N ，由于()222102n nn n n n f x x x x n-++++==,①()2122221+021n n n pn p n p n p n p p n p n n p x x x x x n n n f x p ++++++++-++++++=(+)(+=)＋．②①式减去②式并移项，利用01n p n x x +<<≤，得222211k kk k n pn pnn p n n p n n n p p k k n k n x x x x k x x k k +++++==+=++=-+≤-∑∑∑21111(1)n pn pk n k n k k k ++=+=+≤<-∑∑111n n p n =-<+．因此，对任意*p ∈N ，都有01n n p n x x +<-<．（21）【2013年安徽,理21，13分】某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有n 位学生，每次活动均需该系k 位学生参加(n 和k 都是固定的正整数）．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生,且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X ． （1）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率; （2）求使()P X m =取得最大值的整数m ．解:（1)因为事件A ：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B ：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，所以A 与B 相互独立．由于()()11C C k n k n P A B k n P --===，故()()=1k P A P B n=-，因此学生甲收到活动通知信息的概率222211k kn k P n n -⎛⎫=--= ⎪⎝⎭． (2）当k n =时，m 只能取n ，有()()1P X m P X n ====．当k n <时，整数m 满足k m t ≤≤，其中t 是2k和n 中的较小者．由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k 位同学”所包含的基本事件总数为2(C )k n ．当X m =时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2k m -．仅收到李老师或 仅收到张老师转发信息的学生人数均为m k -．由乘法计数原理知：事件{}X m =所含基本事件数为 2C CCC CCk k m m k k m k m k nkn kn kn k------=．此时()22C C C C C (C )C k k m m k m k m k n k n k kn k k kn nP X m ------===． 当k m t ≤<时，()()1P X m P X m =≤=+⇔C C m k m k k n k ---≤11C C m k m kkn k +-+--⇔()()()212m k n m k m -+≤-- ⇔ 2(1)22k m k n +≤-+．假如2(1)22k k k t n +≤-<+成立，则当()21k +能被2n +整除时， 22(1)(1)22122k k k k k t n n ++-<≤+-≤++．故()P X m =在2(1)22k k n m +-+=和2(1)212k m k n ++-+=处达最大值； 当()21k +不能被2n +整除时，()P X m =在2(1)22m k k n ⎡⎤+-⎢⎥+⎣⎦=处达最大值．(注:[]x 表示不超过x 的最大整数），下面证明2(1)22k t n k k ≤+-<+．因为1k n ≤<，所以22(1)1222k kn k k k n n +----=++2111022k k k k n n (+)---≥=≥++．而22(1)12<022k n k k n n n +(-+)--=-++，故()2122k k n n +-<+． 显然2(1)222k k k n +-<+．因此2(1)22k t n k k ≤+-<+．。
2013全国高考1卷理科数学试题及答案解析
WORD 格式整理2012 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 第 I 卷一、选择题： 本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合 A {1,2,3,4,5} ， B {( x, y) | xA, y A, x y A} ，则 B 中所含元素的个数为（A ） 3（B ） 6（C ） 8（D ） 10（2）将 2 名教师， 4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组有1名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有 （A ） 12 种 （B ） 10 种（C ） 9 种（D ）8 种（3）下面是关于复数z 2 1 i的四个命题p ： |z | 2p 2 :122zip 3 : z 的共轭复数为 1 i p 4 ： z 的虚部为1其中真命题为(A )p ,p 3（B ） p 1 ,p 2（C ）p 2 ， p 4 （D ） p 3 , p 42（4）设FF 是椭圆 1, 222x yE : 1(a b 0)22ab的左、右焦点， P 为直线3ax上的一点，2F PF 是底角为 30 的等腰三角形，则21E的离心率为(A)1 2(B)23(C)3 4(D)45（5）已知 {a } 为等比数列， a 4a 72， a 5a 68 ，则 a 1 a 10n(A)7(B)5(C)5(D)7（6）如果执行右边的程序图，输入正整数N (N 2)和实数 a 1,a 2 ,..., a N 输入 A, B , 则(A) A B 为 a 1,a 2,..., a N 的和（B ） A B 2为a a a 的算式平均数1, 2 ,..., N（C ） A和B 分别是a 1,a 2,..., a N 中最大的数和最小的数专业技术参考资料WORD 格式整理（D）A和B分别是a1,a2,..., a N 中最小的数和最大的数（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（A）6 (B)9 （C）12 （D）18（8）等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在x轴上，C 与抛物线 2 16y x的准线交于A, B 两点，| AB | 4 3 ，则C 的实轴长为（A） 2 （B）2 2 （C）4 （D）8（9）已知0，函数( ) sin( )f x x 在,4 2单调递减，则的取值范围(A)1 5[ , ]2 4(B)1 3[ , ]2 4(C)1(0, ]2(D) (0, 2]（10）已知函数 f (x)1ln( x 1) x，则y f ( x) 的图像大致为（11）已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，ABC 是边长为1的正三角形，SC 为 O 的直径，且SC 2 ，则此棱锥的体积为(A)26(B)36(C)23(D)22（12）设点P 在曲线1xy e 上，点Q 在曲线y ln(2 x) 上，则| PQ |的最小值为2(A) 1 ln 2 (B) 2(1 ln 2) (C) 1 ln 2 (D) 2(1 ln 2)专业技术参考资料WORD 格式整理第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
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2013年全国新课标1卷高考理科数学试题，本试题适用于河南、河北、山西几个省份。
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2013年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、 选择题共12小题。
每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的一项。
1、已知集合A=｛x |x 2
－2x ＞0｝，B=｛x |－5＜x ＜5｝，则 ( B ) A 、A∩B= B 、A ∪B=R C 、B ⊆A D 、A ⊆B
2、若复数z 满足 (3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为 ( D ) A 、－4
（B ）－4
5
（C ）4
（D ）45
3、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该
地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( C )
A 、简单随机抽样
B 、按性别分层抽样
C 、按学段分层抽样
D 、系统抽样
4、已知双曲线C:x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为5
2
，则C 的渐近线方程为
( C )
A 、y =±1
4
x
（B ）y =±1
3
x
（C ）y =±1
2
x
（D ）y =±x
5、执行右面的程序框图，如果输入的t ∈[－1，3]，则输出的s 属于 ( A
)
A 、[－3,4]
B 、[－5,2]
C 、[－4,3]
D 、[－2,5]
6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，
当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( A )
A 、500π3cm 3
B 、866π3
cm 3
C 、1372π3
cm 3
D 、2048π3
cm 3
7、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝ ( C )
A 、3
B 、4
C 、5
D 、6
8、某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为( A ) A 、18+8π B、8+8π C 、16+16π D 、8+16π
9、设m 为正整数，(x ＋y )2m
展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )
2m ＋1
展开式的二项式系数的最大值为
b ，若13a =7b ，则m ＝ ( B ) A 、5 B 、6 C 、7 D 、8
10、已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点。
若AB 的中点坐标为
(1，－1)，则E 的方程为 ( D ) A 、x 245＋y 2
36
＝1 B 、x 236＋y 227
＝1
C 、x 227＋y 2
18
＝1
D 、x 218＋y 2
9
＝1 11、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
－x 2
＋2x x ≤0ln(x ＋1) x ＞0
，若| f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是(D
)
A 、（－∞，0]
B 、（－∞，1]
C 、[－2，1]
D 、[－2，0]
12、设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n =1,2,3,…
若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝
c n ＋a n
2
，c n ＋1＝b n ＋a n
2
，则( B )
A 、{S n }为递减数列
B 、{S n }为递增数列
C 、{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列
D 、{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分。
第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。
第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。
二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。
13、已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t)b ，若b ·c =0，则t =__2___. 14、若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23a n ＋1
3，则数列{a n }的通项公式是a n =______.
15、设当x =θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cosθ=______
侧视图
俯视图
16、若函数f (x )=(1－x 2)(x 2
＋ax ＋b )的图像关于直线x =－2对称，则f (x )的最大值是__16____. 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17、（本小题满分12分）
如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB= 3 ，BC=1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°
(1)若PB=1
2，求PA ；
(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA
18、（本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CA=CB ，AB=A A 1，∠BA A 1=60°. （Ⅰ）证明AB ⊥A 1C;
19、（本小题满分12分）
一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n 。
如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。
假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立
（1）求这批产品通过检验的概率；
（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X （单位：元），求X 的分布列及数学期望。
A
B
C
P
(20)(本小题满分12分)
已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2=1，圆N ：(x －1)2＋y 2
=9，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线 C （Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.
（21）（本小题满分共12分）
已知函数f (x )＝x 2
＋ax ＋b ，g (x )＝e x
(cx ＋d )，若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P(0，2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x +2 （Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值
（Ⅱ）若x ≥－2时，f (x )≤kgf (x )，求k 的取值范围。
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。
注意：只能做所选定的题目。
如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。
（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于D 。
（Ⅰ）证明：DB=DC ；
（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=3，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径。
（23）（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨
⎪
⎧
x =4+5cost y =5+5sint
（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐
标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sinθ。
（Ⅰ）把C 1的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π） （24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g(x )=x +3. （Ⅰ）当a =-2时，求不等式f (x )＜g(x )的解集；
（Ⅱ）设a ＞－1，且当x ∈[－a 2，1
2
)时，f (x )≤g(x )，求a 的取值范围.。