第7章-轨道结构力学分析
铁道工程电子教材-3.轨道结构力学分析
第一节概述轨道结构力学分析，就是应用力学的基本理论，结合轮轨相互作用的原理，分析轨道在机车车辆不同的运营条件下所发生的动态行为，即它的内力和变形分布；对主要部件进行强度检算，以便加强轨道薄弱环节，优化轨道工作状态、提高轨道承载能力，最大眼度地发挥既有轨道的潜能，以尽可能少的投入取得尽可能高的效益。
此项工作还可以对轨道结构参数进行最佳匹配设计，为轨道结构的合理配套和设计开发新型轨道结构类型及材料提供理论依据。
因此，轨道结构力学分析是设计、检算和改进轨道结构的理论基础。
随着铁路运输向高速、重载方向的发展，运量大、密度高的状况都将对轮轨运输系统提出更多、更新的要求。
行车速度愈高，安全问题愈突出，要保证高速列车运行平稳、舒适、不颠覆、不说轨。
运载重量愈大，轮轨之间的动力作用越强，对轨道结构的破坏作用也越严重。
因此，进一步深入研究轮轨相互动力作用规律，寻求降低轮轨相互作用的途径，对于保证轨道的强度和稳定，减少维修工作量，延长设备使用寿命都具有十分重要的现实意义。
分析轮轨相互作用的动力响应，首先应建立一个能较真实地反映轨道结构和机车车辆相互作用基本力学特征的模型，模型的选用取决于研究问题的侧重点及分析的目的，抓住主要环节，略去次要因素，既要求计算简单又要求有必要的精度，历来是简化分析模型的一条根本原则。
在研究轨道结构的动力响应时，人们往往以轨道部分为主体，在模型中反映得要详细些，而对机车车辆部分则简化作为一个激扰源向主系统输入，按照激扰输入--传递函数(系统特性)--响应输出的模式来分析轨道系统的振动。
结构物的动力行为根本不同于其静力行为，前考比后者要复杂的多。
由于机车车辆簧上及簧下部分质量的振动而产生的，作用于轨道上的动荷载，其频率较整个轨道，尤其是较钢轨的自振频率低很多，且碎石道床具有很高的阻尼消振作用，故而不能充分激发起轨道的振动，这种动荷载对轨道所产生的作用基本上相当于静荷载，基于这种认识，发展起来的传统的轨道强度计算理论与方法已形成比较成热的体系。
轨道结构力学分析
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赫兹理论计算公式
3 P Mpa max 2 ab 式中P 轮载 N ；
ab 椭圆形面积；
a 椭圆形长半轴； b 椭圆形短半轴。
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椭圆长、短半轴计算
3P 1 a m 2 E A B n b a m
1 1 2 2 3 3
P4 ( x4 ) P5 ( x5 )
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x3 1
x3 0, x3 0,
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二、轨道强度动力计算 ——准静态计算
三个系数：
1）速度系数 2）偏载系数 3）横向水平力系数
p
f
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1、速度系数
dy dx
k 令 4 m m1 4 EJ 钢轨基础与钢轨刚比系 数 式（ 1 ）变为：
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d4y 4 4 y 0 4 dx
2 d y M EJ 2 dx 3 d y Q EJ 3 dx 4 dy q EJ 4 dx
1）轨道强度静力计算；
2）轨道强度动力计算——准静态计算； 3）轨道各个部件强度检算。
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一、轨道静力计算
计算模型：有两种 1）连续弹性基础梁模型；
2）连续弹性点支承梁模型。
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弹性点支承模型
图示 假设 计算方法：有限元
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弹性基础梁法
d2y M EJ 2 dx 3 d y Q EJ 3 dx 4 dy q EJ 4 dx 26
轨道结构力学分析及脱轨原因分析
2）横向水平力 横向水平力包括直线轨道上，因车辆蛇行运动，车轮 轮缘接触钢轨顺产生的往复周期性的横向力；轨道方向不 平顺处，车轮冲击钢轨的横向力，在曲线轨道上，主要是 因转向架转向，车轮轮缘作用于钢轨侧面上的导向力，此 项产生的横向力较其他各项为大。还有未被平衡的离心力 等。
3）纵向水平力 纵向水平力包括列车的起动、制动时产生的纵向水平力； 坡道上列车重力的水平分力；爬行力以及钢轨因温度变化不 能自由伸缩而产生的纵内水平力等，温度对无缝线路的稳定 性来说是至关重要的。
二、基本假设和计算模型
1 基本假设
① 轨道和机车车辆均处于正常良好状态，符合铁路技术 管理规程和有关的技术标推。 ② 钢轨视为支承在弹性基础上的等载面无限长梁；轨枕 视为支承在连续弹性基础上的短梁。基础或支座的沉落值与 它所受的压力成正比。 ③ 轮载作用在钢轨的对称面上，而且两股钢轨上的荷载 相等；基础刚度均匀且对称于轨道中心线。 ④ 不考虑轨道本身的自重。
由于钢轨的抗弯刚度很大，而轨枕铺的相对较密，这样 就可近似地把轨枕的支承看作是连续支承、从面进行解析 性的分析。图中的u＝D/a，即把离散的支座刚度D折合成连 续的分布支承刚度u，称之为钢轨基础弹性模量。
三、轨道的基本力学参数
1 钢轨的抗弯刚度EI 2 钢轨支座刚度D
采用弹性点支承梁模型时，钢轨支座刚度表示支座的 弹性持征，定义为使钢轨支座顶面产生单位下沉时，所需 施加于座顶面的力。量纲为力／长度。可把支座看成为 一个串联弹簧。
u=D/a
5 轨道刚度Kt 整个轨道结构的刚度Kt定义为使钢轨产生单 位下沉所需的竖直荷载。
四、结构动力分析的准静态计算
所谓结构动力分析的准静态计算，名义上是动力计算， 而实质上则是静力计算。当由外荷载引起的结构本身的惯 性力相对较小(与外力、反力相比)，基本上可以忽略不计， 而不予考虑时，则可基本上按静力分析的方法来进行，这 就是准静态计算，而相应的外荷载则称为准静态荷载。 由于机车车辆的振动作用，作用在钢轨上的动荷载要 大于静荷载，引起动力增值的主要因素是行车速度、钢轨 偏载和列车通过曲线的横向力，分别用速度系数、偏载系 数和横向水平力系数加以考虑，统称为荷载系数。
中南大学教学课件《铁道工程》之轨道工程-第七章 轨道结构力学
3. 纵向水平荷载
包括钢轨爬行力；列车起动、制动时产生的纵向水平力；坡道 上列车重力的水平分力；温度力；摩擦纵向力；钢轨焊接造成 的收缩应力。其中，温度力对无缝线路的稳定性至关重要。
二、作用在轨道结构上的力
1. 竖向荷载
（1）静载：自重+载重 中-活载、ZK标准活载 （2）动载：附加动压力（动力附加值） 1）机车车辆构造与状态原因引起： a）车轮扁瘢、擦伤——冲击荷载 b）车轮不圆顺——冲击 2）轨道构造与状态引起： a）接头(轨缝、错牙、台阶、折角)——冲击 b）焊缝和轨面短波不平顺——冲击 c）轨道不平顺 3）机车车辆在轨道上的运动方式引起 a）蛇行——偏载 b）曲线——偏载
��轨道上的水平荷载������rs ������rs<0.85(10+ )
������ ������
二、作用在轨道结构上的力
3. 纵向荷载
（1）轨道爬行
轨道爬行的产生是由于钢轨相对轨枕或轨枕相对于道床在运行方向上逐 渐产生了位移。在双向行车的单线铁路上，爬行发生的次数要少些。在 坡道上，无论行车方向如何，轨道均向下爬行。轨道爬行有如下弊端： ①无缝线路上钢轨纵向力会增加； ②有缝线路上钢轨伸缩缝太大或太小； ③由于水平弯矩施加在轨排上，钢轨的不均匀爬行会导致轨枕不方正； ④轨枕发生位移，将降低道床的稳定性。
Q
q
Q+dQ
d2y M EJ 2 EJy (3-1) dx dM 3
dy dx
(3-0)
Q
dx dQ q EJy4 dx
EJy
(3-2) (3-3)
式中 : E为钢轨钢的弹性模量； J为钢轨截面对水平中性轴的惯性矩； θ钢轨转
角 ； M为钢轨截面弯矩； Q为钢轨截面剪力；q为基础分布反力
第七讲 轨道结构受力计算7
本讲习题
– 轨道结构的计算模型有哪些？ – 轨道基本力学参数有哪些？ – 轨道动力响应的准静态计算是如何计算的？
四、计算模型
– 点支承模型（a） – 连续支承模型（b）
五、轨道基本力学参数
– 钢轨抗弯刚度EI – 钢轨支座刚度D – 道床系数C – 钢轨基础弹性模量u – 刚比系数k – 轨道刚度Kt
六、轨道动力响应的准静态计算
– 计算方法：由于机车车辆的振动作用，作 用在钢轨上动荷载要大于静荷载，引起动 力增值的主要因素是行车速度、钢轨偏载 和列车通过曲线的横向力，分别用速度系 数、偏载系数和横向水平力系数加以考虑， 统称为荷载系数。
– 速度系数α
它是动载增量与静轮重之比。 它与轨道状态、机车类型等有关。 经验采用的速度系数如下表
– 偏载系数β
概念：由于存在未被平衡的超高（欠超高或余 超高），产生偏载，使外轨或内轨轮载增加， 其增量与静轮载的比值称为偏载系数。 计算公式
P1 − P0 β = P0 P0 — —静轮载
曲线半径(m) 600 500 400 300 1.60 1.70 1.80 2.00
– 准静态计算公式
钢轨动挠度yd： yd＝y j (1 + α + β ) 钢轨动弯矩M d： M d = M j (1 + α + β ) ⋅ f 枕上动压力Rd： Rd = R j (1 + α + β ) 式中 yj、Mj、Rj分别为钢轨的静挠度、 静弯矩和静压力。
二、轨道结构的受力情况
– 竖向力
静轮重 附加动压力
– 横向力
蛇行运动产生的周期性横向力 曲线上车轮导向力 未被平衡的离心力
– 纵向水平力
列车起动、制动时产生的纵向水平力 坡道上列车重力的分力 爬行力 温度力 注：温度力对无缝线路的稳定性至关重要。
轨道力学分析
EIy(x)(4) uy(x)
即
y (4)＋ u y＝0
Байду номын сангаас
EI
这是一个四阶常系数线性齐次微分方程。
➢ 2．边界条件
•
在单个荷载作用下，由于假定钢轨无
限长，总可把荷载作用点看作是对称点，
边界条件为
• ① 在钢轨两端无穷远处位移有界
• ② 在荷载作用点钢轨无转角：dy/dx=0
• ③ 轨下基础反力的总和与钢轨荷载相等
• 枕上压力变化曲线与钢轨位移一样。
• 在荷载作用点，各函数取最大值，分别为：
ymax
P0 k 2u
M max
P0 4k
Rm ax
aP0 k 2
➢ 4．轨道刚度Kt
•
轨道刚度Kt定义为使钢轨产生单位下
沉所需的竖直荷载。在荷载作用点，令钢
轨的位移y＝1cm，则所需荷载即为Kt， 由式（3-19）可得：
轨道力学分析
本章要求： ������ 了解轨道结构力学分析的目的、意义和轨 道结构的受力特点； 掌握轨道强度理论（主要是连续弹性基础梁 理论及准静态计算方法）以及轨道部件的强度计 算原理。 了解列车脱轨条件； 了解轨道动力学的发展动态。 重点：轨道强度理论（主要是连续弹性基础梁 理论）
• ������ 难点：轨道强度理论。
上，增加了120km/h<V≤160km/h和
160km/h<V≤200km/h两种情况速度修正系
数。
速度系数
1
2
速度系数
速度范围
牵引种类
电力
内燃
v 120
0.6V/100 0.4V/100
120 v 160
轨道工程复习提纲(同济土木轨交)
轨道工程复习题2013~2014第II学期用第一章绪论1、交通运输体系是由哪些运输方式组成的？水路，铁路，公路，航空2、铁路运输有哪些优越性？城市轨道交通有哪些优越性？铁路：运量大、速度快、能耗低、运价低、安全可靠、污染小、全天候、；城市轨道交通：1输送能力大2快速准时3节省土地资源4节省能源和大气污染程度低5安全性高6建设费用昂贵7引导城市结构合理布局的重要手段3、目前世界上有哪些国家的高速铁路已投入运行？日本，法国，德国，西班牙，瑞典，韩国，中国，意大利，英国，前苏联，中国台湾4、何谓摆式列车？一种能够在普通路轨上的弯曲路段高速驶过而无需减速，车体转弯时可以侧向摆动的列车。
5、詹天佑主持修建的我国第一条由中国人自主设计施工的铁路是哪一条？1905年，京张铁路。
北京到张家口。
6、什么样的铁路运输可称为重载铁路？世界上哪些国家开行重载列车？至少应满足以下3个条件中的2个：①列车牵引质量不少于8000t；②车列中车辆轴重到达或超过27t；③线路长度不少于150 km的区段，年计费货运量不低于4 000万吨。
印度、美国、瑞典、加拿大、澳大利亚、巴西等7、铁路发展经过了哪些时期？目前要振兴铁路发要在哪二方面着手？8、近年来我国铁路在哪些方面有重大发展？铁路路网建设，重载运输方面，客运专线〔高速铁路〕建设方面，铁路技术方面。
9、铁路轨道在铁路运输中的地位和作用。
地位：是列车运行的基础，是铁路运输中不可替代的基础设备，是机车车辆荷载的承载结构和导向系统，作用:引导机车车辆运行;直接承受由车轮传来的荷载，并把它分布传递给路基或桥隧构筑物。
10、何谓准轨？窄轨？宽轨？目前世界哪些国家用准轨？哪些国家用窄轨？哪些国家用宽轨？世界铁路的标准规矩为1435mm，小于的为窄轨；大于为宽轨。
标准轨国家：中欧一些国家、美国、加拿大、中国、日本〔高铁〕。
窄轨国家：南非、日本、瑞典、挪威、印度尼西亚、新西兰、中国台湾以及一些非洲国家。
轨道结构力学分析
1、概述轨道结构力学分析，就是应用力学的基本原理，结合轮轨互相作用理论，用各种计算模型来分析轨道及其各部件在机车车辆荷载作用下产生的应力、变形及其他动力响应，对轨道结构的主要部件进行强度检算。
在提速、重载和高速列车运行的条件下，通过对轨道结构的力学分析、轨道结构的稳定性分析，行车的平稳性和安全性等进行评估等，确定路线允许的最高运行速度和轨道结构强度储备。
轨道结构力学分析主要目的为：1)确定机车车辆作用于轨道上的力，并了解这些力的形成及其相应的计算方法。
2)确定在一定的运行条件下，轨道结构的承载力。
轨道结构的承载能力包括以下三方面：1)强度计算。
在最大可能荷载条件下，轨道各部分应具有抗破坏的强度。
2)寿命计算。
在重复荷载作用下，轨道各部分的疲劳寿命。
3)残余变形计算。
在重复荷载作用下，轨道整体结构的几何形位破坏的速率，进而估算轨道的日常维修工作量。
2、轨道的结构形式和组成轨道结构由钢轨、轨枕、连接零件、道床、防爬器、轨距拉杆、道岔、道碴等所组成，不同的轨道部件，其功用和受力条件也不一样。
目前世界铁路基本上都采用工字形截面钢轨，只是单位长度重量有所不同。
轨枕主要有木枕，混凝土枕和钢枕，基本上都是横向轨枕。
道碴基本都用碎石。
1)钢轨。
我国铁路所使用的钢轨类型有43kg/m，45kg/m，50kg/m，60kg/m和75kg/m。
钢轨刚度大小直接影响到轨道总刚度的大小轨道总刚度越小，在列车动荷载作用下钢轨挠度就越大，对于低速列车来说，不影响行车的要求，但对于高速列车，则就会影响到列车的舒适度和列车速度的提高。
在本毕业设计中，我使用的是60kg/m型钢轨。
2)接头联结零件。
钢轨接头的联结零件由夹板、螺栓、螺母、弹簧垫圈组成。
接头夹板的作用是夹紧钢轨。
螺栓需要有一定的直径，螺栓直径愈大，紧固力愈强。
在普通的有缝路上，为防止螺栓松动，要加弹簧垫圈，在无缝线路伸缩区的钢轨接头加设高强度平垫圈。
3)扣件。
扣件是联结钢轨和轨枕的中间联结零件。
结构力学 朱慈勉 第7章课后答案全解
结构力学第7章位移法习题答案7-1 试确定图示结构的位移法基本未知量数目，并绘出基本结构。
(a) (b) (c)1个角位移3个角位移，1个线位移4个角位移，3个线位移(d) (e) (f)3个角位移，1个线位移2个线位移3个角位移，2个线位移(g) (h)(i)一个角位移，一个线位移一个角位移，一个线位移三个角位移，一个线位移7-2 试回答：位移法基本未知量选取的原则是什么？为何将这些基本未知位移称为关键位移？是否可以将静定部分的结点位移也选作位移法未知量？7-3 试说出位移法方程的物理意义，并说明位移法中是如何运用变形协调条件的。
7-4 试回答：若考虑刚架杆件的轴向变形，位移法基本未知量的数目有无变化？如何变化？7-5 试用位移法计算图示结构，并绘出其内力图。
(a)解：（1）确定基本未知量和基本结构有一个角位移未知量，基本结构见图。
Z 1M 图（2）位移法典型方程11110p r Z R +=（3）确定系数并解方程iql Z ql iZ ql R i r p 24031831,821212111==-∴-==（4）画M 图M 图(b)4m 4m4m解：（1）确定基本未知量1个角位移未知量，各弯矩图如下1Z =1M 图32EIp M 图（2）位移法典型方程11110p r Z R +=（3）确定系数并解方程1115,352p r EI R ==- 153502EIZ -=114Z EI=（4）画M 图()KN mM ⋅图(c)解：（1）确定基本未知量一个线位移未知量，各种M 图如下6m 6m 9m1M 图1243EI 2243EI 1243EI p M 图F R（2）位移法典型方程11110p r Z R +=（3）确定系数并解方程1114,243p p r EI R F ==- 140243p EIZ F -=12434Z EI=（4）画M 图94M 图(d)解：（1）确定基本未知量一个线位移未知量，各种M 图如下a 2aa2aaF P11Z=1111r 252/25EA a 简化图1pR pp M（2）位移法典型方程11110p r Z R +=（3）确定系数并解方程11126/,55p p r EA a R F ==- 126055p EA Z F a -=13a Z EA=（4）画M 图图M(e)l解：（1）确定基本未知量两个线位移未知量，各种M 图如下图1=11211 EA r l r ⎛⇒=⎝⎭1M221EA r l ⎛=⎝⎭图12 0p p p R F R ⇒=-=p M pF（2）位移法典型方程1111221211222200p p r Z r Z R r Z r Z R ++=++= （3）确定系数并解方程11122122121,4414,0p p p EA r r r l l EA r l R F R ⎛=+== ⎝⎭⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=-=代入，解得12p p lZ F EAlZ F EA=⋅=⋅（4）画M 图图M p7-6 试用位移法计算图示结构，并绘出M 图。
第7章-轨道结构力学分析
曲线半径（m）
直线
线路平面
4、准静态计算公式
动力计算方法：准静态
计算步骤： 1）计算静态情况下的y、M、R 2）计算系数 3）计算准静态的yd、Md、Rd 4）各部件强度检算
轨道各部件的强度检算
准静态计算方法
1) 静力计算 y,M,R 2) 各种系数 3) 准静态计算 4) 各部件强度检算
轨道结构承载能力计算包括三个方面： （1）强度计算； （2）寿命计算； （3）残余变形计算。
第二节 作用在轨道上的力
1.垂向力 2.横向水平力 3.纵向水平力
三部分：
一、垂向力
静载：自重+载重 动载：附加动压力（动力附加值） 1）机车车辆构造与状态原因引起： a）车轮扁瘢、擦伤——冲击荷载； b）车轮不圆顺——冲击 2）轨道构造与状态引起： a）接头——冲击 b）焊缝——冲击 c）轨道不平顺 3）机车车辆在轨道上的运动方式引 a）蛇行——偏载 b）曲线——偏载
1） 摩擦中心理论 2） 蠕滑中心理论 3） 机车车辆非线性动态曲线通关理论
第六节 机车车辆-轨道动力作用的仿真计算概算
国内外铁路仿真计算情况 目前世界是应用的车辆-轨道动力软件学软件类型较多，主要有NUCARS、SIMPACK、Adams/rail、MEDYNA、AGEM、AutoDYN、SIDIVE、VAMPIRE、VOCO、VICT、TTISIM等。
轨道结构力学分析前沿研究
1 浮置板轨道结构振动力学特性分析的研究 2 高速铁路轨道结构力学模型参数研究 3 路基上双块式无砟轨道道床板空间力学特性研究
单位：
2、钢轨支点弹性系数D
定义：使钢轨支点顶面产生单位下沉而作 用在钢轨支点顶面上的钢轨压力。 公式： 单位：
轨道结构力学分析
1d
图6-6 弹性基础上梁的挠曲
轨头：
2014-11-21
2d
K s t K
t
s
为允许应力， s为屈服枀限，K为安全系数，
新轨K 1.3 ，旧轨K 1.35
41
（2）钢轨局部接触应力计算
计算模型：赫兹接触理论：两个垂直圆 柱体，接触面为椭圆。
M d M 1 p f Rd R1 p yd y 1 p
式中y、M、R分别为钢轨的静挠度、 静弯矩、静压力。
2014-11-21
36
动力计算方法：准静态
计算步骤：
1）计算静态情况下的y、M、R
2）计算系数 、 p、f
2 d y M EJ 2 dx 3 d y Q EJ 3 dx 4 dy q EJ 4 dx
27
解四阶微分方程，利用特征根
通解为：y Ae1i x Be1i x Ce 1i x De1i x 应用欧拉公式
0.45v 100 0 .6 v 100
33
2、偏载系数
P P0 P 定义： p P P 式中：P 外轨偏载值； P 车轮静载；
p
P0 车轮作用于外轨上的轮 载。
p 0.002h
h 允许欠超高。
2014-11-21 34
3、横向水平力系数 f
定义：轨底外缘弯曲应力与轨底中心弯 曲应力的比值。 公式： 式 中 轨 底 外 缘 弯 曲 应 力 ； 0
1）钢轨与车辆符合标准要求； 2）钢轨是支承在弹性基础上的无限长梁； 3）轮载作用在钢轨对称面上，两股荷载相等； 4）两股钢轨分开计算；
第七讲 轨道结构受力计算7
四、计算模型
– 点支承模型（a） – 连续支承模型（b）
五、轨道基本力学参数
– 钢轨抗弯刚度EI – 钢轨支座刚度D – 道床系数C – 钢轨基础弹性模量u – 刚比系数k – 轨道刚度Kt
六、轨道动力响应的准静态计算
– 计算方法：由于机车车辆的振动作用，作 用在钢轨上动荷载要大于静荷载，引起动 力增值的主要因素是行车速度、钢轨偏载 和列车通过曲线的横向力，分别用速度系 数、偏载系数和横向水平力系数加以考虑， 统称为荷载系数。
第七讲 轨道结构受力计算7-1
前讲回顾
– 曲线轨距加宽的原因 – 曲线轨距加宽的确定原则
以车辆条件为计算依据 以机车条件为检算依据
– 曲线外轨超高的原因及如何设置 – 缓和曲线的长度确定
保证行车安全 满足旅客舒适度要求
本讲主要内容
– 轨道结构力学分析的主要内容 – 轨道结构的受力情况 – 轨道结构受力的基本假设和计算模型 – 轨道动力响应的准静态计算
式中 P1 — —外轨或内轨上的轮载
– 横向水平力系数f
概念：考虑横向水平力和偏心竖直力联合作用 下，使钢轨承受横向水平弯曲，由此引起轨头 及轨底的边缘弯曲应力增大而引入的系数，它 等于钢轨底部外缘弯曲应力与中心应力的比值。 实测资料统计所得横向水平力系数如下表
线路平面 直线 800以上 横向水平 1.25 1.45 力系数
本讲习题
– 轨道结构的计算模型有哪些？ – 轨道基本力学参数有哪些？ – 轨道动力响应的准静态计算是如何计算的？
一、轨道结构力学分析的主要内容
– 应用力学的基本理论，结合轮轨相互作用的原理， 分析轨道在机车车辆不同运营条件下所发生的动 态行为，即它的内力和变形分布 – 对主要部件进行强度检算，以加强轨道的薄弱环 节，优化轨道工作状态，提高轨道承载能力，最 大限度地发挥既有轨道的潜能，尽可能少的投入 取得尽可能高的经济效益。
结构力学第7章
EI l
称杆件的线刚度。
M
F AB
,M
为由荷载和温度变化引起的 杆端弯矩，称为固端弯矩。
同理，另两类杆的转角位移方程为
A端固定B端铰支
M
AB
3 i
A
3i l
AB M
F AB
A端固定B端定向
M M
AB
i A M
F AB F BA
BA
i A M
§7-3
无侧移刚架的计算
附加 刚臂
P A
C
θA
A
θA
C
附加刚臂限制结点
位移，荷载作用下
B 附加刚臂上产生附 加力矩
施加力偶使结点产生的 B角位移，以实现结点位 移状态的一致性。
P
θA
A
θA
C
实现位移状态可 分两步完成： 1）在可动结点上附加约束， 限制其位移，在荷载作用下， 附加约束上产生附加约束力；
B
分析：
2）在附加约束上施加外力， 使结构发生与原结构一致的结 点位移。
BA
1
同理可得
B
1 6i
M
AB
1 3i
M
BA
MAB
A
A
1 3i
1
M
AB
1 6i
1
M
BA
E I l
B
B
M
6i
AB
M
3i
BA
MBA
（2）由于相对线位移引起的A和B
A B
l
MAB
A
B
以上两过程的叠加
MBA
A
1 3i
结构力学教学课件第7章
(c) M P 图
B
C
D
A
(d) M 图
例7-5-4
求:
A,B两端点的相对竖向位移AB
q=5kN/m
B
(a)
C
D 2m 2m
10kNm
12kNm B C
2kNm
D
(b) M P 图
B C
D
(c) M 图
§7.6 温度改变时静定结构的
位移计算
A B B`
静定结构受到温度改变的影响时，发 生满足约束允许的变形和位移，为零 内力状态。
虚力方程——求位移。
虚位移方程及应用 虚位移方程
使体系上真实的平衡力系，在体系 可能的任意微小的刚体虚位移上， 所作的外力总虚功等于零的方程。
虚位移方程用于求真实的未知力 （内力、约束力、支座反力）。
如图7-2-2(a)所示以杠杆（机构）， B端上有一集中荷载FP，求A端需用 多大的力FA，该杠杆体系能平衡。
1 F Ri ci ( 10) 2.5rad 4 1
2
()
§7.3 结构位移计算公式
变形体可分两大类 非线性变形体
线性弹性体
物理线性——材料的应力与应变 成正比例，即服从虎克定律。 几何线性——结构的变形（或位 移）是微小的，在进行结构的内 力和位移分析计算中，可按其原 有的几何尺寸考虑。
FA c FP a
B c A a
(↓)
例7-2-1试用单位位移法（虚位移
法）求图(a)所示简支梁的支座B的约 束反力。
(a)
a L
C
B
b
(b)
C` C
P
B` B ( B =1) B
分析：
结构力学电子教案第七章静定结构位移计算ppt课件
第七章 静定结构位移计算
作虚拟状态的 M 1 、 N 1 图。
1
N1
N1 图
第20页
结构力学电子教案
第七章 静定结构位移计算
第21页
计算D点竖向位移。图乘时可将CD 段的 M P 图分解成一 个梯形和一个二次标准抛物线。AC段的 M P 图同样分解成
两部分。BC 杆为轴力杆，由此可得
1
NP
N1
结构力学电子教案
4EI 2
33 2
33
(2 4 4)(8 4)]
3
2
1088 () 3EI
结构力学电子教案
第七章 静定结构位移计算
例3 试求图示结构D点的竖向位移 Dy 。
第18页
结构力学电子教案
第七章 静定结构位移计算
解 此结构为一组合，作实际状态的 M P、NP 图。
第19页
NP NP 图
结构力学电子教案
根据上面的推证过程，可知在使用图乘法时应注意下列各
点：
（1）必须符合上述三个条件；
（2）纵距 y
（3） 与y
c c
只能取自直线图形； 若在杆件的同侧则乘积取正号，否则取负
号位移计算中常见的几种图形的面积和形心的位置
1lh
2
结构力学电子教案
h
2
第七章 静定结构位移计算
第5页
2lh
顶点
3
在抛物线图形中，注意顶
72
2 16 4
8
20
2 16 4 8
MP图
第16页
y5 y4 y3
y1 y2
结构力学电子教案
第七章 静定结构位移计算
第17页
Cy
yc
结构力学第7章课后答案全解
由图可知，得到各系数：
求解得：
（2）求解最终弯矩图
7-11试利用对称性计算图示刚架，并绘出M图。
(a)
解：（1）利用对称性得：
（2）由图可知：
可得：
（3）求最终弯矩图
(b)
解：（1）利用对称性，可得：
（2）由图可知，各系数分别为：
解得：
（3）求最终弯矩图如下
(c)
解：（1）在D下面加一支座，向上作用1个单位位移，由于BD杆会在压力作用下缩短，所以先分析上半部分，如下图。
(a)
解：（1）确定基本未知量和基本结构
有一个角位移未知量，基本结构见图。
（2）位移法典型方程
（3）确定系数并解方程
（4）画M图
(b)
解：（1）确定基本未知量
1个角位移未知量，各弯矩图如下
（2）位移法典型方程
（3）确定系数并解方程
（4）画M图
(c)
解：（1）确定基本未知量
一个线位移未知量，各种M图如下
7-12试计算图示结构在支座位移作用下的弯矩，并绘出M图。
(a)
代入，解得
（4）求最终弯矩图
7-7试分析以下结构内力的特点，并说明原因。若考虑杆件的轴向变形，结构内力有何变化？
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
7-8试计算图示具有牵连位移关系的结构，并绘出M图。
(a)
解：（1）画出 图
由图可得：
由图可知：
（2）列方程及解方程组
解得：
（3）最终弯矩图
(b)
7-2试回答：位移法基本未知量选取的原则是什么？为何将这些基本未知位移称为关键位移？是否可以将静定部分的结点位移也选作位移法未知量？
轨道力学分析(高铁轨道构造与施工课件)
解：
道床刚度：
Db
Clb
2
1.0120 2.6 0.3 2
46.8 MN
m
钢轨支座刚度： 1 1 1 1 1
D D扣 Db 75 46.8
D 28.8 MN m
基础弹性模量： u D 28.8 48.0 MN m2
a 0.6
刚比系数：k 4
u 4EI
4
48.0 106 4 210109 3217108
2
4
6
0.25π，0
η(kx)
8
① 为kx的无量纲函数 ②随kx的增大， y、M、R的值
μ(kx) 均有不同程度减小
弯矩
③当kx≥5时，轮载的影响已非
位移，反力
常小，通常可忽略不计
y、M、R 随k 的变化
7
y(mm) 6
M(×104N.m) 5
R(×104N) 4
3
ymax
P0k 2u
P0 8EIk 3
钢轨 a
P 钢轨支点 弹性系数 a
点支承梁模型
P
连续支承梁模型
模型比较
点支承梁模型更接近 于实际结构物，但求 解相对繁琐，目前在 动力学分析及特殊问 题求解中应用较多
连续支承梁模型有 应用简单方便、直 观等特点，对工程 应用有较高的应用 价值
在实用的基础刚度范围内，点支承法计算钢轨 弯矩比连续支承法约大5~10%，而钢轨下沉约 小1~2%。两者计算结果均满足工程精度要求
（1）钢轨抗弯刚度EI
使钢轨产生单位曲率所需的力矩，量纲：力·长度2
M EIy ''
钢轨竖向受力及变形 EI 钢轨竖向抗弯刚度； E 钢轨钢弹性模量，E 2. 058×105 MPa； I 钢轨截面对水平轴惯性矩。
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yp 支点下沉量（mm）。
单位：N / mm
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3、钢轨基础弹性系数k
ห้องสมุดไป่ตู้
定义：使钢轨产生单位下沉而必须作用 在单位长度钢轨上的压力。
公式：
k R ayp
a 轨枕间距（mm）。
单位： N / mm 2或Mpa
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（3）计算公式推导
钢轨在集中荷载作用下发生挠曲变形
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8
（2）速度系数法确定垂向力
速度系数
偏载系数 p
计算垂向动轮载Pd
Pd P 1 p
P为静轮载
左侧的系数分别可由实 验或计算来确定，这将 在后面的轨道强度计算 中详细介绍。
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9
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3 ）计算模型
图为复杂车辆一轨道 模型，利用这种模型 可以计算车辆通过轨 道时，因轨道不平顺 或车轮扁瘢或钢轨低 接头等原因产生的垂 向力。 这种方法日益受到大 家的重视。
0
（1）
式中EJ 钢轨的竖向抗弯刚度； k 钢轨基础弹性系数； y 钢轨挠度。
令 4 k mm1 4EJ
钢轨基础与钢轨刚比系数
式（1）变为：
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d4y dx4
4
4
y
0
dy
dx
M
EJ
d2y dx2
Q EJ
d3y
dx3
q
EJ
d 4y dx4
27
推导过程
通解为：y Ae1ix Be1ix Ce1ix De1ix
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3
轨道结构力学分析目的：
（1）确定机车车辆作用于轨道上的力；并了解这 些力的形成及其相应的计算方法。
（2）在一定运行条件下，确定轨道结构的承载能 力；
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4
轨道结构承载能力计算包括三个方面：
（1）强度计算； （2）寿命计算； （3）残余变形计算。
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应用欧拉公式
eix cosx i sin x
最后得：
y C1ex cosx C2ex sin x C3ex cosx C4ex sin x
5
第二节 作用在轨道上的力
三部分：
1.垂向力 2.横向水平力 3.纵向水平力
图7-1 轮轨之间作用力
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6
一、垂向力
垂向力的主要组成部分是车轮的轮载
静载：自重+载重 动载：附加动压力（动力附加值）
1）机车车辆构造与状态原因引起：
a）车轮扁瘢、擦伤——冲击荷载；
b）车轮不圆顺——冲击
10
二、横向水平力
1、定义：轮缘作用在轨头侧面的横向水平力
2、产生原因
导向力——最主要的原因 蛇行力 曲线上未被平衡的离心力 轨道方向不平顺
图7-1 轮轨之间作用力
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三、纵向水平力
1）爬行力——钢轨在动载作用下波浪形挠曲 2）坡道上列车重力的纵向分力 3）制动力——9.8Mpa 4）温度力 5）摩擦力纵向分力
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反映轨道基础弹性的参数
了解基础弹性的特点
道床系数
C
钢轨支点刚度系数 D
钢轨基础弹性系数 k
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1、道床系数C
定义：作用在道床单位面积上使道床顶 面产生单位下沉的压力。
单位：N / mm3
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C R
bl 2
y0
R 轨座上的压力（N）；
17
（1）基本假设
1）钢轨与车辆符合标准要求； 2）钢轨是支承在弹性基础上的无限长梁； 3）轮载作用在钢轨对称面上，两股荷载相等； 4）两股钢轨分开计算； 5）不考虑轨道自重。
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（2）基本参数1
EJ x 钢轨竖向抗弯刚度；
E 钢轨钢弹性模量，E 2.1105 Mpa J x 钢轨截面对水平轴惯性矩，查表6 1
y0 道床平均下沉量（mm）； bl 道床有效支承面积（mm）2 。
y0 yp 轨枕挠度系数
b 轨枕宽度（mm）；
l 轨枕支承长度（mm）。
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2、钢轨支点弹性系数D
定义：使钢轨支点顶面产生单位下沉而作
用在钢轨支点顶面上的钢轨压力。
公式：D
R yp
支点刚度
R 作用在支点上的钢轨压力（N）；
第七章轨道结构力学分析
第一节 概述 第二节 作用于轨道上的力 第三节 轨道结构垂向受力分析及计算方法 第四节 无砟轨道弹性支承叠合梁计算 第五节 曲线轨道横向受力分析 第六节 机车车辆—轨道动力作用的仿真计算概
述
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1
本章重难点
1.轨道结构力学分析的目的是什么？轨道结构 承载力的计算包括哪三方面？
弹性曲线方程为 y yx
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由材料力学可知：
钢轨各截面的转角、弯矩M，剪力Q和
基础反力强度q分别为
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dy
dx
M
EJ
d2y dx2
Q EJ
d3y dx3
d 4y q EJ dx4
26
根据Winkler假定
q ky
得：
EJ
d4y dx4
ky
2）轨道构造与状态引起：
a）接头——冲击
b）焊缝——冲击
c）轨道不平顺
3）机车车辆在轨道上的运动方式引
a）蛇行——偏载
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b）曲线——偏载
7
2、确定垂向力的方法
1）概率组合：用概率组合的方法将上述诸原因引起的 垂向力组合起来，求得概率为最大的垂向力。
这方法是前苏联学着把由弹簧振动、轨道不平 顺、车轮单独不平顺、车轮连续不平顺等原 因引起的各垂向力用概率组合起来求得最大 值。
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12
第三节 轨道结构竖向受力分析及计算方法
计算在垂直动荷载作用下，各部件的应力
准静态计算方法：
1）轨道强度静力计算；
2）轨道强度动力计算——准静态计算；
3）轨道各个部件强度检算。
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一、轨道静力计算
计算模型：有两种 1）连续弹性基础梁模型；
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2）连续弹性点支承梁模型
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弹性基础梁法
钢轨：支承在弹性基础上的无限长梁 垫板＋轨枕+道床+路基=弹性基础 符合Winkler假设
q ky
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Winkler 假定
作用于弹性基础单位面积上的压力，和压 力所引起的沉陷之间成直线比例关系。
q ky
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2.轨道结构垂向受力分析及计算方法
3.曲线轨道横向受力分析
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2
第一节 概述
轨道结构力学分析：
轨道结构力学分析，就是应用力学的基本原理， 结合轮轨相互作用理论，运用设计模型来进行分析。 应用力学的基本原理，在轮轨相互作用理论的指导 下，用各种计算模型来分析轨道及其各个部件在机 车车辆荷载作用下产生应力、变形及其他动力响应。