哈工大天线原理-马汉炎习题答案

第一章

1-1 试用对偶原理，由电基本振子场强式（1-5）和式（1-7），写出磁基本振子的场表示式。 对偶原理的对应关系为：

E e ——H m

H e ——-E m

J ——J m

ρ——ρm

μ——ε

ε——μ 另外，由于ωεω=k ，所以有k ——k

式（1-5）为⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+===-jkr r e jkr r Idl j H H H 11sin 200θλϕθ

式（1-7）为⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--0111sin 211cos 22200002ϕ

θθεμλθεμπE e r k jkr r Idl j E e jkr r Idl E jkr jkr r 因此，式（1-5）的对偶式为⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-=-=--jkr m r e jkr r dl I j E E E 11sin 200θλϕθ

式（1-7）的对偶式为⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--0111sin 211cos 22200002ϕ

θθμελθμεπH e r k jkr r dl I j H e jkr r dl I H jkr m jkr m r

结合I m dl=jωμ0IS

有磁基本振子的场表示式为：

可以就此结束，也可以继续整理为

1-3 若已知电基本振子辐射电场强度大小θηλθsin 20r

Il E =

，天线辐射功率可按穿过以源为球心处于远区的封闭球面的功率密度的总和计算，即s S d r P S

⋅=⎰∑),,(ϕθ，ϕθθd d r ds sin 2=为面积元。试计算该电基本振子的辐射功率和辐射电阻。

【解】首先求辐射功率

辐射电阻为 注意：此题应用到了3

4sin 03=⎰θθπ

d

1-5 若已知电基本振子辐射场公式θηλθsin 20r

Il E =，试利用方向性系数的定义求其方向性系数。

【解】方向性系数的定义为：在相同辐射功率、相同距离条件下，天线在某辐射方向上的功率密度S max （或场强E max 的平方），与无方向性天线在该方向上的功率密度S 0（或场强E 0的平方）之比。

首先求辐射功率

令该辐射功率为

其中E 0是无方向性天线的辐射场强。 因此，可以求得2

2202400⎪⎭

⎫ ⎝⎛=r Il E λπ 所以方向性系数5.1202max ==E E D

1-6 设小电流环电流为I ，环面积S 。求小电流环天线的辐射功率和辐射电阻表示式。若1m 长导线绕成小圆环，波源频率为1MHz ，求其辐射电阻值。

电小环的辐射场幅度为：

首先求辐射功率

辐射电阻为

当圆环周长为1m 时，其面积为2m 41π

=

S ，波源频率为1MHz 时，波长为λ=300m 。 所以，辐射电阻为R Σ=2.4×10-8 Ω。

1-7 试证明电基本振子远区辐射场幅值E θ与辐射功率P Σ之间的关系为 【证明】电基本振子远区辐射场幅值θλπθηλθsin 60sin 20r

Il r Il E == 根据题目1-3可知电基本振子辐射功率为2

240⎪⎭

⎫ ⎝⎛=∑λπIl P ， 所以πλ40∑

=P Il

代入到E θ表达式中可以得到：r P r Il E θππθλπθsin 4060sin 60⨯⨯==

∑ 所以有：r

P E θθsin 49.9∑≈

1-9 试求证方向性系数的另一种定义：在最大辐射方向上远区同一点具有相同电场强度的条件下，无方向天线的辐射功率比有方向性天线辐射功率增大的倍数，记为

【证明】方向性系数的定义为：相同辐射功率、相同距离条件下，天线在某辐射方向上的功率密度S max （或场强E max 的平方），与无方向性天线在该方向上的功率密度S 0（或场强E 0的平方）之比。

假设有方向性天线的辐射功率为P Σ，最大辐射方向的辐射场为E max ，无方向性天线的辐射功率为P Σ0，辐射场大小为E 0，则有如下关系：

22004240r E P ππ⨯=∑=>2

02060r P E ∑= 如果有方向性天线的方向性系数为D ，则根据定义，当其辐射功率为P Σ时，有 所以，当有E max =E 0时，则有0

max 0

E E P P D =∑∑=

1-11 一个电基本振子和一个小电流环同时放置在坐标原点，如图示，若S I l I 212λπ=

，试证明远区任意点的辐射场均是圆极化的。

【证明】如图示的电基本振子和小电流环的辐射场分别为： 令A S I l I ==212λπ

则远区任一点辐射场为：jkr e r A a r A j

a E -⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=θηλθηλϕθsin 2sin 200 这是一个右旋圆极化的电磁波。

1-13 设收发两天线相距r ，处于极化匹配和阻抗匹配的最佳状态，且最大方向对准。若工作波长为λ，发射天线输入功率P tin ，发射和接收天线增益系数分别为G t 、G r ，试证明接收功率为r t tin r G G P r P 2

max 4⎪⎭

⎫ ⎝⎛=πλ 【证明】满足题设三条件的情况下，根据天线增益的定义，可以得到发射天线在接收天线处产生的辐射场的最大功率密度为 接收天线的有效面积为r e G S π

λ42

= 因此接收天线得到的最大接收功率为r t tin e r G G P r S S P 2

max max 4⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯=πλ