数学北师大版选修1-1 第一章3.2 存在量词与特称命题 作业1

[基础达标]1.下列命题为特称命题的是()A．偶函数的图像关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在实数大于或等于3解析：选D.选项D中的命题含有存在量词“存在”||，因此它是特称命题．2.下列命题中是全称命题并且是真命题的是()A．每一个二次函数的图像都是开口向上B．存在一条直线与两个相交平面都垂直C．存在一个实数x||，使x2－3x＋6＜0D．对任意c≤0||，若a≤b＋c||，则a≤b解析：选D.对A当二次项系数小于零时不成立||，A为假命题；B、C均为特称命题．故选D.3.下列命题中||，真命题是()A．存在m∈R||，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数B．存在m∈R||，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数C．对任意m∈R||，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数D．对任意m∈R||，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数解析：选A.由于当m＝0时||，函数f(x)＝x2＋mx＝x2为偶函数||，故“存在m∈R||，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)为偶函数”是真命题．4.下列命题是假命题的为()A．存在x∈R||，lg e x＝0B．存在x∈R||，tan x＝xC．任意x∈(0||，π2)||，1tan x＞cos xD．任意x∈R||，e x＞x＋1解析：选D.对A||，x＝0时成立||，为真命题；对B||，当x＝0时成立||，为真命题；对C||，∵x∈(0||，π2)||，cos x＞0||，0＜sin x＜1||，∴1tan x＝cos xsin x＞cos x||，为真命题||，故选D.5.下列命题：①存在x＜0||，使|x|＞x；②对于一切x＜0||，都有|x|＞x；③已知a n＝2n||，b n＝3n||，对于任意n∈N＋||，都有a n≠b n；④已知A＝{a|a＝2n}||，B＝{b|b＝3n}||，对于任意n∈N＋||，都有A∩B＝∅.其中||，所有正确的命题为()A．①②B．②③C．①②③D．①②③④解析：选C.命题①②显然为真命题；③由于a n－b n＝2n－3n＝－n＜0||，对于任意n∈N ＋||，都有a n＜b n||，即a n≠b n||，故为真命题；④已知A＝{a|a＝2n}||，B＝{b|b＝3n}||，如n ＝1||，2||，3时||，A∩B＝{6}||，故为假命题．6.若“存在x ∈R ||，x 2＋2x ＋2＝m ”是真命题||，则实数m 的取值范围是________． 解析：由题意知x 2＋2x ＋2－m ＝0有实根||，∴Δ＝22－4(2－m )≥0||，∴m ≥1. 答案：[1||，＋∞)7.若对任意x ∈R ||，都有ax 2＋2x ＋a ＜0||，则实数a 的取值范围是________．解析：命题为真命题时||，有⎩⎨⎧a ＜0，Δ＝4－4a 2＜0.解得a ＜－1.即a 的取值范围是(－∞||，－1)．答案：(－∞||，－1)8.命题“对任意x ∈R ||，存在m ∈Z ||，使m 2－m ＜x 2＋x ＋1”是________命题．(填“真”或“假”)解析：由于对任意x ∈R ||，x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34≥34||，所以只需m 2－m ＜34||，即－12＜m ＜32.所以当m ＝0或m ＝1时||，对任意x ∈R ||，m 2－m ＜x 2＋x ＋1成立||，因此该命题是真命题．答案：真9.判断下列命题是全称命题还是特称命题||，并判断真假．(1)任意x ∈(－1||，2)||，x 2－x ＜2；(2)存在x ∈{x |x ＞1}||，log 2x ＋log x 2＜2；(3)指数函数都是单调函数；(4)至少有一个整数||，它既能被2整除||，又能被5整除．解：(1)全称命题．由于x 2－x ＜2⇔x 2－x －2＜0⇔－1＜x ＜2||，所以任意x ∈(－1||，2)||，x 2－x ＜2成立．真命题．(2)特称命题．当x ∈{x |x ＞1}时||，log 2x ＞0||，故log 2x ＋log x 2＝log 2x ＋1log 2x≥2||，当且仅当x ＝2时||，(log 2x ＋log x 2)min ＝2||，所以不存在x ∈{x |x ＞1}||，使log 2x ＋log x 2＜2成立．假命题．(3)全称命题．当a ＞1时||，指数函数f (x )＝a x 为增函数||，当0＜a ＜1时||，指数函数f (x )＝a x 为减函数||，所以指数函数都是单调函数．真命题．(4)特称命题．例如||，10既能被2整除||，又能被5整除||，真命题．10.不等式x 2－2mx －1＞0对一切1≤x ≤3都成立||，求m 的取值范围．解：法一：∵Δ＝4m 2＋4＞0恒成立||，∴设方程x 2－2mx －1＝0的两根为x 1||，x 2||，且x 1＜x 2 .∵{x |1≤x ≤3}⊆{x |x 2－2mx －1＞0}＝{x |x ＞x 2或x ＜x 1}||，∴方程x 2－2mx －1＝0的两根x 1||，x 2都大于3或都小于1.∵x 1x 2＝－1＜0||，∴两根都小于1.令y ＝x 2－2mx －1||，则⎩⎨⎧m ＜1，f （1）＞0，解得m ＜0.∴m 的取值范围为{m |m ＜0}．法二：∵1≤x ≤3||，x 2－2mx －1＞0||，∴m ＜x 2－12x ＝12⎝⎛⎭⎫x －1x .当x ∈[1||，3]时||，函数y ＝x －1x单调递增||， ∴12⎝⎛⎭⎫x －1x ∈⎣⎡⎦⎤0，43||，∴m ＜0. [能力提升]1.下列命题中||，真命题是( )A ．存在x 0∈R ||，e x 0≤0B ．任意x ∈R ||，2x >x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是a b＝－1 D ．a >1||，b >1是ab >1的充分条件解析：选D.对于A||，∵e x >0恒成立||，∴A 选项不正确．对于B||，当x ＝2时||，22＝22||，∴B 不正确．对于C||，当a ＝b ＝0时||，a b无意义||，∴C 不正确． 对于D||，当a >1||，b >1时||，ab >1显然成立||，反之||，当ab >1时||，以a ＝12||，b ＝4为例||，易知推不出a >1且b >1. 2.有四个关于三角函数的命题：p 1：存在x ∈R ||，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12； p 2：存在x ||，y ∈R ||，sin(x －y )＝sin x －sin y ；p 3：任意x ∈[0||，π]||， 1－cos 2x 2＝sin x ； p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2||，其中的假命题是________． 解析：由于对任意x ∈R ||，sin 2x 2＋cos 2x 2＝1||，故p 1是假命题； 当x ||，y ||，x －y 有一个为2k π(k ∈Z )时||，sin x －sin y ＝sin(x －y )成立||，故p 2是真命题．对于p 3：任意x ∈[0||，π]||， 1－cos 2x 2＝2sin 2x 2＝|sin x |＝sin x 为真命题． 对于p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2为假命题||，例如x ＝π||，y ＝π2||，满足sin x ＝cos y ＝0||，而x ＋y ＝3π2. 答案：p 1||，p 43.若不等式t 2－2at ＋1≥sin x 对一切x ∈[－π||，π]及a ∈[－1||，1]都成立||，求t 的取值范围．解：因为x ∈[－π||，π]||，所以sin x ∈[－1||，1]||，于是由题意可得对一切a ∈[－1||，1]不等式t 2－2at ＋1≥1恒成立．由t 2－2at ＋1≥1得2t ·a －t 2≤0.令f (a )＝2t ·a －t 2||，则f (a )在t ≠0时是关于a 的一次函数||，当t ＝0时||，显然f (a )≤0成立||，当t ≠0时||，要使f (a )≤0在a ∈[－1||，1]上恒成立||，则⎩⎨⎧f （1）＝2t －t 2≤0，f （－1）＝－2t －t 2≤0， 即⎩⎨⎧t 2－2t ≥0，t 2＋2t ≥0，解得t ≤－2或t ≥2. 故t 的取值范围是t ≤－2或t ＝0或t ≥2.4．若x ∈[－2||，2]||，不等式x 2＋ax ＋3≥a 恒成立||，求a 的取值范围． 解：设f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ||，则问题转化为当x ∈[－2||，2]时||，[f (x )]min ≥0即可．①当－a 2＜－2||，即a ＞4时||，f (x )在[－2||，2]上单调递增||，[f (x )]min ＝f (－2)＝7－3a ≥0||，解得a ≤73||，又a ＞4||，所以a 不存在． ②当－2≤－a 2≤2||，即－4≤a ≤4时||， [f (x )]min ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝12－4a －a 24≥0||， 解得－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4||，所以－4≤a ≤2.③当－a 2＞2||，即a ＜－4时||，f (x )在[－2||，2]上单调递减||，[f (x )]min ＝f (2)＝7＋a ≥0||，解得a ≥－7||，又a ＜－4||，所以－7≤a ＜－4.故a 的取值范围是{a |－7≤a ≤2}．。