8.7 泰勒级数和麦克劳林级数 托马斯微积分

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例7. 将
展成 x－1 的幂级数.
1 1 解: 2 x 4 x 3 ( x 1)( x 3)
x 1 2 x 1 4
2
( x 1 2 )
n
x 1 ( x 1) n ( x 1) (1) 1 2 n 2 2 2
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思考与练习
1. 函数 数” 有何不同 ? 处 “有泰勒级数” 与 “能展成泰 勒级
n
提示: 后者必需证明 lim Rn ( x) 0, 前者无此要求.
2. 如何求
的幂级数 ?
1 1 1 1 n 1 提示: y cos 2 x (1) 2 2 2 2 n 0 ( 2n) !
由泰勒级数理论可知, 函数 f ( x) 展开成幂级数的步
骤如下 :
第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ; 第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ;
第三步 判别在收敛区间(－R, R) 内 lim Rn ( x) 是否为 0.
n
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例1. 将函数
例5. 将函数
展开成 x 的幂级数.
上式右端的幂级数在 x ＝1 收敛 , 而 ln(1 x) 在 x 1 有 定义且连续, 所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收敛 区间为 利用此题可得
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例6. 将
展成
的幂级数.
解: sin x sin ( x ) 4 4
) 1 cos( x ) sin( x 4 4
2
) cos sin( x ) sin cos( x 4 4 4 4


1 3 1 5 ( x ) ( x ) ( x ) 4 5! 4 4 3! 1 1 2 1 3 1 ( x ) ( x ) ( x ) 2 4 2! 4 3! 4
随着n变大,更近似，局部范围
还有什么办法可以从上式推出这个式子?
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截断误差
3 n x x x ex 1 x Rn ( x) 2 ! 3! n! 2
其中
当n =9 时
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2. 间接展开法 利用已知函数的展开式及幂级数的运算性质,
f ( n 1) ( ) Rn ( x) ( x x0 ) n 1 ( 在 x 与 x0 之间) (n 1) ! 称为拉格朗日余项 . f ( x) Pn ( x) Rn ( x)
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若函数
的某邻域内具有任意阶导数 ) 2 f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 2! f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n n! 为f (x) 的泰勒 (Taylor)级数.
将所给函数展开成 幂级数.
例4. 将函数
展开成 x 的幂级数.
解: 因为 1 2 n n 1 x x (1) x ( 1 x 1 ) 1 x
把 x 换成 x 2 , 得 1 2 4 n 2n 1 x x ( 1 ) x 2 1 x
展开成 x 的幂级数.
解: f ( n) ( x) e x , f ( n) (0) 1 (n 0 ,1,), 故得级数 1 n 1 2 1 3 1 x x 3! x x n! 2! 1 1 R lim 其收敛半径为 n n ! ( n 1) ! 对任何有限数 x , 其余项满足
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( 1 x 1 )
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1 解: f ( x) (1) n x n ( 1 x 1 ) 1 x n 0 从 0 到 x 积分, 得 x n ( 1 ) ln(1 x) (1) n x n d x x n 1 , 1 1 x x 1 1 n 0 n 0 n 1 0
n 1 4 (1) n x 2n , 2 n 1 ( 2n) !
x ( , )
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作业
P703 从1到33的单数题
第五节 目录
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备用题 1. 将下列函数展开成 x 的幂级数

解:

(1) n x 2 n ,
n 0
x (1,1)
第七节 函数的泰勒级数
第八章
一个幂级数的和函数在其收敛区间内是任意阶可导的， 反问题: 函数在一个区间上任意阶可导，如何将其表示 成为幂级数； 这个幂级数收敛吗？此级数的和函数与 这个函数相等吗? 求和 展开 和函数
用处：用多项式逼近一般函数，近似计算。
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一、泰勒 ( Taylor ) 级数
sin( (n 1) ) 2
(n 1)!
x
n 1
n
1 x 3 1 x 5 (1) n 1 1 x 2n 1 sin x x 3 ! 5! ( 2n 1) !
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P701 例9
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类似的，可推出: 1 2 1 4 n 1 1 2n cos x 1 x x (1) x 2! 4! ( 2n) !
a0 f (0) a1 f (0)
f ( x) a1 2a2 x nan x n 1 ;
1 f (0) f ( x) 2!a2 n(n 1)an x n 2 ; a 2 2 !
f
( n)
( x ) n ! an ;

n 0

n x 2n (1) x 0

(1) n 2 n 1 x d x n 0 2n 1
x＝±1 时, 此级数条件收敛, f (0)

4
, 因此
(1) n 2n 1 f ( x) x , x [1, 1] 4 n 0 2n 1


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若函数 该邻域内有 : 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在
f f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x0 ) ( x x0 ) 2 2! (n) f ( x0 ) n ( x x0 ) Rn ( x) n! 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 , 其中
n

n
f ( x) S n 1 ( x) Rn ( x)
n
lim Rn ( x) lim f ( x) S n 1 ( x) 0 ,
n
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x ( x0 )
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定理2. 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是 唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同. 证: 设 f (x) 所展成的幂级数为 则
1 f ( n ) (0) an n !
显然结论成立 .
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泰勒（中值）定理 :
时, 有 f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! (n) f ( x0 ) n ( x x0 ) Rn ( x) ① n! 其中 Rn ( x) 阶的导数 , 则当
f ( x) limn Pn ( x)
定理1 . 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域
内具有
各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: lim Rn ( x) 0 .
f ( n ) ( x0 ) n f ( x ) ( x x ) , x ( x0 ) 证明: n! 0 n 0 f ( k ) ( x0 ) k ( x x0 ) 令 S n 1 ( x) k! k 0
e n n 1 x x e (n 1)! ( 在0与x 之间) 1 1 1 x 2 3 故 e 1 x x x x n , 2! 3! n!
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例2. 将
解: f
(n)
展开成 x 的幂级数.
( x)
f
(n)
1 8
(1)
n 0 n


1 2
n2

1 2
2n 3
( x 1) n
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( 1 x 3 )
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内容小结
1. 函数的幂级数展开法 (1) 直接展开法 — 利用泰勒公式 ; (2) 间接展开法 — 利用幂级数的性质及已知展开 式的函数 . 2. 常用函数的幂级数展开式 1 2 1 n x e 1 x x x , 2! n!
x ( , )
n ( 1 ) ln(1 x) x 1 x 2 1 x 3 1 x 4 x n 1 n 1 2 3 4 x (1, 1]
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2 n 1 x3 x5 x7 x n ( 1 ) sin x x 3! 5! 7 ! (2n 1) ! x ( , ) 2n x2 x 4 x6 x n ( 1 ) cos x 1 2 ! 4 ! 6! ( 2n) ! x ( , ) m(m 1) 2 m (1 x) 1 m x x 2! m(m 1) (m n 1) n x x (1, 1) n! 当 m = –1 时 1 1 x x 2 x 3 (1) n x n , x (1, 1) 1 x
当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林(Maclaurin)级数 . 教材上称生成
求由函数
在 a = 2 生成的泰勒级数，
级数在其收敛域上是否收敛于f (x)。
给定一个无穷可微函数，就可以生成其泰勒级数。 待解决的问题 :
1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ? 函数在区间上可展开成泰勒级数是指: 由函数生成的幂级数(幂级数的部分和是多项式)， 在此区间上收敛，且收敛于原函数。
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2. 将
解:
在x = 0处展为幂级数.
xn ln(1 x) n 1 n
ln(1 3 x ) 2
n 1


(1 x 1)
2 x 3x 2 (1 x)(2 3x)


( 1) n1 3 n ( 2 x) n
0, n 2k (0) (1) k , n 2 k 1
(k 0 , 1, 2 ,)
n 1 1 2n 1 3 1 5 1 x 3! x 5! x (1) ( 2n 1)! x 得级数:
其收敛半径为 R , 对任何有限数 x , 其余项满足
f ( n1) ( ) (n 1) !
( x x0 ) n1 ( 在 x0 与 x 之间) ②
公式 ① 称为
的 n 阶泰勒公式 .
公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .
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二、函数展开成幂级数
展开方法 直接展开法 — 利用泰勒公式 间接展开法 — 利用已知其级数展开式 的函数展开 1. 直接展开法