湖南名校联考联合体2021届高三上学期12月联考数学试卷
湖南省湘中名校教研教改联合体高三上学期12月联考理数试题 含参考答案.
数学（理）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的.1.若复数()()11z m m m i =-+-是纯虚数，其中m 是实数，则1z=（ ）． A ． i B ．i - C ．2i D ．2i -2.已知集合{}(){}2|11120,|231,A x x x B x x n n Z =--<==+∈，则A B 等于（ ）．A ．{}2B ．{}2,8C ．{}4,10D ．{}2,4,8,10 3. 下列说法正确的是（ ）．A ．a R ∈，“11a<”是“1a >”的必要不充分条件 B ．“p 且q 为真命题”是“p 或q 为真命题” 的必要不充分条件C ．命题“x R ∃∈，使得2230x x ++<”的否定是：“2,230x R x x ∀∈++>”D ．命题p ：“,s i n c o s 2x R x x ∀∈+≤，则p ⌝是真命题4. 利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定“X 和Y 有关系”的可信度．如果 3.84k >，那么有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为（ ）．A ． 5%B ． 75%C ． 99.5%D ．95%5.已知向量()(),3,,3a x b x ==-，若()2a b b +⊥，则a =（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．26.设()[)[]21,11,1,2x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则()21f x dx -⎰的值为（ ）．A ．423π+B ．32π+C ．443π+ D ．34π+7.《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织多少尺布．（ ） A ．12 B ． 1629 C ． 1631 D ．8158. 一个凸多面体，其三视图如图，则该几何体体积的值为（ ）．A ．．．9 D ．10 9.若正数,a b 满足：121a b +=，则2122a b +--的最小值为（ ）． A ．2 B．2 C ．52D．14+ 10.已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()6f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭对x R ∈恒成立，且()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则()f x 的单调递增区间是（ ）． A ．(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．(),2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C ． ()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ．(),2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦11.已知函数()xf x e x =+，对于曲线()y f x =上横坐标成等差数列的三个点,,A B C ，给出以下判断：①ABC ∆一定是钝角三角形 ②ABC ∆可能是直角三角形 ③ABC ∆可能是等腰三角形 ④ABC ∆不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是（ ）．A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 12.已知函数()3213f x x ax bx c =-+++有两个极值点12,x x ，若()112x f x x <<，则关于x 方程()()()220f x af x b --=的实根个数不可能为（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷（非选择题，90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若实数,x y 满足不等式组023010y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则2z y x =-的最小值是____________．14.设()()()25501251111x a a x a x a x +=+-+-++-，则0125a a a a ++++=____________．15.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，ABC ∆的顶点都在抛物线上，且满足0FA FB FC ++=，则111AB AC BCk k k ++=____________． 16.定义在x R ∈上的函数()f x 在(),2-∞-上单调递增，且()2f x -是偶函数，若对一切实数x ，不等式()()2sin 2sin 1f x f x m ->--恒成立，则实数m 的取值范围为____________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,2sin a b c a b A =. （1）求B 的大小；（2）求cos sin A C +的取值范围.18.（本小题满分12分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为：商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元. η表示经销一件该商品的利润.（1）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ； （2）求η的分布列及期望E η. 19.（本小题满分12分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中，0//,90,PA AD BC ABC ∠=⊥平面,4,2,6ABC PA AD AB BC ====.（1）求证：BD ⊥平面PAC ； （2）求二面角A PC D --的余弦值. 20.（本小题满分12分）如图，曲线C 由上半椭圆()22122:10,0y x C a b y a b+=>>≥和部分抛物线()2:10C y x y =-+≤连接而成，1C 与2C 的公共点为,A B ，其中1C（1）求,a b 的值；（2）过点B 的直线l 与12,C C 分别交于点,P Q (均异于点,A B )，是否存在直线l ，使得以PQ 为直径的圆恰好过A 点，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 21.（本小题满分12分） 设函数()()1ln f x x a x a R x=--∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点1x 和2x ，记过点()()()()1122,,,A x f x B x f x 的直线的斜率为k ，问：是否存在a ，使得2k a =-？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一个题记分. 22.（本小题满分10分）(选修4-4：坐标系与参数方程) 已知曲线1C 的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的极坐标系方程是2ρ=，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，其中点A 的极坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭.（1）求点,,,A B C D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求2222PA PB PC PD +++的取值范围. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}|24x x <<． （1）求实数,a b 的值；（2参考答案一、选择题二、填空题13. -1 14. 33 15.0 16. 2m <-或4m > 三、解答题17.解：（1）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，∴1sin 2B =， 由ABC ∆为锐角三角形得6B π=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分∴1sin 232A π⎛⎫<+<⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分3Aπ⎛⎫<+<⎪⎝⎭cos sinA C+的取值范围为322⎛⎫⎪⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．12分18.解：（1）由A表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”．知A表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”．()()()()310.40.216,110.2160.784P A P A P A=-==-=-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）η的可能取值为200元，250元，300元，()()()()()()()()20010.4250230.20.20.4300120025010.40.40.2P PP P PP P Pηξηξξηξη=======+==+===-=-==--=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分η的分布列为：2000.42500.43000.2240Eη=⨯+⨯+⨯=元．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分19．解法一：（1）∵PA⊥平面,ABCD BD⊂平面ABCD，∴BD PA⊥，又tan tanAD BCABD BACAB AB∠==∠==∴0030,BAC60ABD∠=∠=，∴090AEB∠=，即BD AC⊥（E 为AC与BD交点）．又PA AC，∴BD⊥平面PAC．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）过E作EF PC⊥，垂足为F，连接DF．∵DE⊥平面,PAC EF是DF在平面PAC上的射影，由三垂线定理知PC DF⊥，∴EFD ∠为二面角A PC D --的平面角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 8分 又09030DAC BAC ∠=-∠=，∴sin 1DE AD DAC =∠=，sin AE AB ABE =∠=又AC =PC 8EC ==，由Rt EFC Rt PAC ∆∆得332PA EC EF PC ==． 在Rt EFD ∆中，tan DE EFD EF∠== ∴二面角APC D --．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 解法二：（1）如图，建立坐标系，则()()()()()0,0,0,,,0,2,0,0,0,4A B C D P ，∴()()()0,0,4,23,6,0,23,2,0AP AC BD ===-，∴0,0BD AP BD AC ==， ∴,BD AP BD AC ⊥⊥， 又PAAC A =，∴BD ⊥平面PAC ．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）设平面PCD 的法向量为(),,1n x y =， 则0,0CD n PD n ==，又()()23,4,0,0,2,4CD PD =--=-，∴2340240x y y ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩，解得42xy ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴2,13n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分平面PAC 的法向量取为()m BD ==-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分393cos ,31m n m n m n==+．∴二面角A PC D --的余弦值为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20.解：（1）在12,C C 的方程中，令0y =，可得1b =，且()()1,0,1,0A B -是上半椭圆1C 的左、右顶点，设1C 半焦距为c ，由c a =2221a c b -==可得2a =，∴2,1a b ==．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）方法一：由（1）知，上半椭圆1C 的方程为()22104y x y +=≥， 易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为()()10y k x k =-≠， 代入1C 的方程，整理得：()22224240k x k x k +-++-=（*）设点P 的坐标为(),P P x y ，∵直线l 过点B ，∴1x =是方程（*）的一个根，由求根公式，得2244P k x k -=+，从而284P ky k -=+，∴点P 的坐标为22248,44k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，同理，由()()()21010y k x k y x y =-≠⎧⎪⎨=-+≤⎪⎩，得点Q 的坐标为()21,2k k k ----．．．．．．．8分 依题意可知AP AQ ⊥，∴()()22,4,1,24kAP k AQ k k k =-=-++． ∵AP AQ ⊥，∴0AP AQ =，即()2224204k k k k --+=⎡⎤⎣⎦+， ∵0k ≠，∴()420k k -+=，解得83k =-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 经检验，83k =-符合题意，故直线l 的方程为()813y x =--．．．．．．．．．．．．12分 方法二：若设直线l 的方程为：()10x my m =+≠，比照方法一给分．21．解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()2222111a x ax f x x x x -+'=+-=，令()21g x x ax =-+，其判别式24a ∆=-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分①当2a ≤时，()0,0f x '∆≤>，故()f x 在()0,+∞上单调递增，②当2a <-时，()0,0g x ∆>>的两根都小于0，在()0,+∞上，()0f x '>， 故()f x 在()0,+∞上单调递增，③当2a >时，()0,0g x ∆>=的两根为12x x ==，当10x x <<时，()0f x '>；当12x x x <<时，()0f x '<；当2x x >时，()0f x '>， 故()f x 分别在()()120,,x x +∞，上单调递增，在()12,x x 上单调递减．．．．．．．．．．．．．6分 （2）由（1）知，2a >． 因为()()()()1212121212ln ln x x f x f x x x a x x x x --=-+--， 所以()()1212121212ln ln 11f x f x x x k ax x x x x x --==+---， 又由（1）知，121x x =．于是1212ln ln 2x x k ax x -=--．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分若存在a ，使得2k a =-．则1212ln ln 1x x x x -=-．即1212ln ln x x x x -=-，亦即()222212ln 01x x x x --=>（*）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 再由（1）知，函数()12ln h t t t t=--在()0,+∞上单调递增，而21x >， 所以222112ln 12ln101x x x -->--=．这与（*）式矛盾，故不存在a ，使得2k a =-．．．．．12分 选做题22．解：（1）因为点,,,A B C D 的极坐标为54112,,2,,2,,2,3636ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 所以点,,,A B C D的直角坐标为(()(),,1,,1--．．．．．．．．．．．．．5分 （2）设()00,P x y ：则()002cos 3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数， []22222220044405620sin 32,52t PA PB PC PD x y ϕ=+++=++=+∈．．．．．．．．．10分23．解：（1）由x a b +<，则b a x b a --<<-，所以2b a --=且4b a -=， 得3,1a b =-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）=≤==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分=，即2t =时取等号；如果采用平方或换元也可，参照给分．。
2020-2021学年湖南省名校联考联合体高一(上)大联考数学试卷(12月份)
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A．5
B．6
C．7
D．8
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分．
9．（5 分）给出下面四个结论，其中正确的是（ ）
1 1
A．设正实数 a，b 满足 a+b＝1，则 + 有最大值 4
A．f（1）＝1
B．f（x）＝2x2﹣1
C．f（x）是偶函数
D．f（x）有唯一零点
11．（5 分）给出下面四个结论，其中正确的是（ ）
A．函数() = ( + 2)是奇函数，且 f（x）的最小正周期为 2
B．函数 f（x）＝﹣2sin（2x+φ），x∈R 的最大值为 2，当且仅当 = 2 +， ∈ 时 f
A．（2，+∞）
B．[2，+∞）
C．
（5，+∞）
D．[5，+∞）
5．（5 分）如图，一高为 H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从
孔中匀速流出，水流完所用时间为 T．若鱼缸水深为 h 时，水流出所用时间为 t，则函数
h＝f（t）的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（5 分）达•芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名．如图，画中女子神秘的微笑，数百
公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾
醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾
驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表．经过反复试验，一般情况下，
高中等湘豫名校高三数学12月联考试题 文含解析 试题
长郡中学、雅礼中学、一中、高中等湘豫名校2021届高三数学12月联考试题 文〔含解析〕一、选择题〔此题一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.〕6|,,3M y y x N y N x ⎧⎫==∈∈⎨⎬+⎩⎭的元素个数是〔 〕A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】A 【解析】 【分析】根据136x ≤+≤及x ∈N 即可求出y 的所有可能取值. 【详解】因为6|,,3M y y x N y N x ⎧⎫==∈∈⎨⎬+⎩⎭，所以当0x =时，2y N =∈；当1x =时，32y N =∉；当2x =时，65y N =∉；当3x =时，1y N =∈；当4x ≥时，01y <<，∴y N ∉.综上{}6|,,1,23M y y x N y N x ⎧⎫==∈∈=⎨⎬+⎩⎭，元素个数是2个. 应选：A.【点睛】此题主要考察集合的表示中描绘法和列举法的互相转化问题，属根底题.2019(12)z i i =--的一共轭复数为〔 〕A. 2i -B. 2i +C. 2i --D. 2i -+【答案】C【分析】 直接计算即可. 【详解】2019(12)(12)2z i i i i i =--=---=-+，2z i =--，应选：C.【点睛】此题主要考察复数的运算，关键是求出2019i i =-，属根底题.ABC ∆中，2AB =，1AC =，D 为BC 边上一点，且DC BD =，那么AD BC ⋅=〔 〕 A. －3 B. 32-C. 3D.32【答案】B 【解析】 【分析】先由DC BD =得出D 为BC 边上的中点，即1()2AD AC AB =+，然后再根据BC AC AB =-，即可得出AD BC ⋅的值.【详解】∵DC BD =，∴D 为BC 边上的中点，1()2AD AC AB =+， ∴()()12AD BC AC AB AC AB ⋅=+⋅-()()222211312222AC AB =-=-=-， 应选：B.【点睛】此题主要考察平面向量的运算，关键是把AD 、BC 用基底AB 、AC 表示，属常规考题.4.cos 33πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，(0,)θπ∈，那么sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭〔 〕B. 3±D. 3±【答案】C【分析】 由sin sin cos 6233ππππθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦即可求值. 【详解】因为362πππθθ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以由诱导公式知sin sin cos 62333ππππθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 应选：C.【点睛】此题主要考察诱导公式sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭的灵敏应用，属根底题. 23a =，3log b e =，3118c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，那么有〔 〕 A. a b c >> B. a c b >>C. c b a >>D.c a b >>【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的知识先估算23a =，3logb e =，3118c -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值或者范围，即可比拟大小. 【详解】)2121032333331a ⨯===>=，且11133333822⨯<==，∴12a <<，33log e log 31b =<=，113331228c -⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故c a b >>.应选：D.【点睛】此题主要考察利用指数函数、对数函数的性质比拟大小的问题，属常规考题.x 与加工时间是y 的统计数据如表：现已求得上表数据的回归方程y bx a =+中的值是b 1.6，那么据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间是约为〔 〕 A. 155分钟 B. 156分钟C. 157分钟D. 158分钟 【答案】A 【解析】 【分析】先求出样本中心点(),x y ，然后代入y bx a =+求出a ，从而求出回归方程及可作出预测. 【详解】由题意得：122331223x ++==，153045303y ++==，回归直线过样本中心点(22,30)，故有3022 1.6a =⨯+，∴ 5.2a =-， 故 1.6 5.2y x =-，当100x =时，154.8155y =≈. 应选：A.【点睛】此题主要考察线性回归方程的求解及应用，其中回归直线过样本中心点(),x y 是解题的关键，属常规考题.7.?易传·系辞上?有“河出图，洛出书〞之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方〞，是中华文化、阴阳术数之源，其中河图的排列构造是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数，假设从阳数和阴数中各取一数，那么其差的绝对值为3的概率为〔 〕A.15B.625C.725D.825【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概型的概率计算公式逐步求解即可.【详解】因为阳数：1，3，5，7，9，阴数：2，4，6，8，10，所以从阳数和阴数中各取一数有：5525⨯=种，满足差的绝对值为3的有：(1,4)，(3,6)，(5,2)，(5,8)，(7,10)，(7,4)，(9,6)一共7种，那么725P =. 应选：C.【点睛】此题主要考察古典概型的问题，属根底题.421()1x f x x+=+的最小值为a ，将函数1()sin ()3g x x x a π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R 的图象向左平移2π个单位长度得到函数()h x 的图象，那么下面结论正确的选项是〔 〕 A. 函数()h x 是奇函数B. 函数()h x 在区间[,]-ππ上是增函数C. 函数()h x 图象关于(2,0)π对称D. 函数()h x 图象关于直线3x π=对称【答案】D 【解析】 【分析】先利用根本不等式求出a 的值，再利用图象变换的知识求出函数()h x 的解析式，最后根据函数()h x 的性质逐个判断即可.【详解】∵422222111()11213x f x x x x x x+=+=++⋅=，当且仅当221x x =，即1x =±时，等号成立，∴3a =.那么1()sin 33g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，将函数()g x 的图象向左平移2π个单位长度，得到函数()h x 的图象，那么111()sin sin cos 323323h x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 对于A 选项，∵11()cos cos ()33h x x x h x ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭，∴函数()h x 是偶函数，A 选项错误；对于B 选项，∵x ππ-，∴1333x ππ-，∴函数()h x 在[,]-ππ上不单调，B 选项错误；对于C 选项，∵21(2)cos 032h ππ==-≠，∴函数()h x 图象不关于(2,0)π对称，C 选项错误；对于D 选项，∵(3)cos 1h ππ==-，∴函数()h x 图象关于直线3x π=对称，D 选项正确. 应选：D.【点睛】此题主要考察根本不等式、三角函数的图像变换、三角函数的性质的应用等问题，属综合题，难度中等.9.执行如下图的程序框图，假设输出的值是5，那么框图中①处可以填入〔 〕A. 6?SB. 10?SC. 15?SD.21?S【答案】C 【解析】 【分析】按循环构造的知识依次执行相关步骤即可.【详解】第一次循环：1S =，不满足条件，2i =； 第二次循环：3S =，不满足条件，3i =； 第三次循环：6S =，不满足条件，4i =； 第四次循环：10S =，不满足条件，5i =； 第五次循环：15S =，满足条件，输出的值是5. 所以判断框中的条件可填写上“15?S 〞 应选：C.【点睛】此题主要考察循环构造中输出的结果求出判断框中的内容的问题，属常规考题.C 的焦点在y 轴上，离心率为72，点P 是抛物线24y x =上的一动点，P 到双曲线C 的上焦点1(0,)F c 的间隔 与到直线1x =-的间隔 之和的最小值为2，那么该双曲线的方程为〔 〕A. 22143x y -= B. 22143y x -=C. 22134x y -= D.22134y x -= 【答案】B 【解析】 【分析】设F 为抛物线24y x =的焦点，那么P 到双曲线C 的上焦点1(0,)F c 的间隔 与到直线1x =-的间隔 之和等于1PF PF +，根据11PF PFF F +得1F F =求出c =2求出2a 、2b 即可. 【详解】设F 为抛物线24y x =的焦点，那么(1,0)F ，拋物线：24y x =准线方程为1x =-，因此P 到双曲线C 的上焦点1(0,)F c 的间隔 与到直线1x =-的间隔 之和等于1PF PF +，因为11PF PFF F +，所以1F F ==∴c =又c a =，∴24a =，23b =， 即双曲线的方程为22143y x -=.应选：B.【点睛】此题主要考察双曲线的HY 方程的求法，此题关键是根据11PF PFF F +先求出c 的值，试题综合性强，属中等难度题.11.中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家张遂在编制?大衍历?中创造了一种二次不等距插值算法:假设函数()y f x =在123,,x x x x x x ===()123x x x <<处的函数值分别为()()()112233,,y f x y f x y f x ===，那么在区间[]13,x x 上()f x 可以用二次函数来近似代替:()()()11121f x y k x x k x x =+-+-()2x x -，其中3221112213231,,y y y y k k k k k x x x x x x ---===---.假设令120,2x x π==，3x π=，请根据上述算法，估算sin5π的值是( ) A.1425 B.35C.1625D.1725【答案】C 【解析】 【分析】设()sin y f x x ==，利用120,2x x π==，3x π=然后分别求出1230,1,0y y y ===，进而代入3221112213231,,y y y y k k k k k x x x x x x ---===---，求出k ，最后即可求解sin 5π的值【详解】设()sin y f x x ==，120,2x x π==，3x π=，那么有1230,1,0y y y ===，那么11022k ππ-==-，0122k πππ-==--，224k π=-，由()()()()2111212244f x y k x x k x x x x x x ππ≈+-+--=-+，可得2244sin x x x ππ≈-+16sin525π≈，答案选C 【点睛】此题考察函数近似值的求解，代入运算即可，属于难题R 的函数()f x ，对任意的x ∈R 都有()2f x x '<，且1122f ⎛⎫=⎪⎝⎭.当[0,2]απ∈时，不等式13(sin )cos 2024f αα+->的解集为〔 〕 A. 2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭B. 20,,233πππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C. 5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭D. 50,,266πππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】构造函数2()()g x f x x =-，根据()()20g x f x x ''=-<得出()g x 是单调递减函数，再将等式13(sin )cos 2024f αα+->变形为1(sin )2g g α⎛⎫> ⎪⎝⎭，利用()g x 的单调性可得1sin 2α<，解之即可. 【详解】设2()()g x f x x =-，()()20g x f x x ''=-<，∴()g x 是单调递减函数，不等式13(sin )cos 2024f αα+->变形为()213(sin )12sin 24f αα+->，即为21(sin )sin 4f αα->，∵211112224g f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，那么有1(sin )2g g α⎛⎫> ⎪⎝⎭，又∵()g x 是单调递减函数，∴1sin 2α<. ∵[0,2]απ∈，∴06πα<或者526παπ<，即50,,266ππαπ⎡⎫⎛⎤∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦应选：D.【点睛】此题主要考察构造函数并利用其单调性解不等式问题，涉及导数、三角函数等知识，综合性强，对计算才能要求较高，属中等难度题.二、填空题〔木题一共4小题，每一小题5分，一共20分.〕222,1()log (1),1x x x f x x x ⎧-≤-=⎨+>-⎩，那么((1))f f -=__________．【答案】2 【解析】先求()1f -，进而求出答案．【详解】因为222,1()log (1),1x x x f x x x ⎧-≤-=⎨+>-⎩，所以2(1)(1)2(1)3f -=--⨯-=那么2((1))(3)log (31)2f f f -==+=.【点睛】此题考察分段函数求值问题，属于简单题．14.假设特称命题：“0x R ∃∈，使得2004430mx mx +-成立〞是假命题，那么实数m 的取值范围是______. 【答案】(3,0]- 【解析】 【分析】由全称命题：“x ∀∈R ，24430mx mx +-<成立〞是真命题，将问题转化为不等式24430mx mx +-<恒成立，再分情况讨论即可.【详解】此题等价为全称命题：“x ∀∈R ，24430mx mx +-<成立〞是真命题. 当0m =时，原不等式化为“30-<〞，x ∀∈R 显然成立；当0m ≠时，只需0,0,m <⎧⎨∆<⎩即20,30,m m m <⎧⎨+<⎩解得30m -<<.综合①②，得30m -<.故答案为：(3,0]-.【点睛】此题主要考察特称命题的真假求参数的取值范围问题，属常规考题.ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，假设cos sin =+b a C c A ，且a ，b ，c 成等比数列，那么sin =b Bc______.【解析】先将cos sin =+b a C c A 化边为角求出角A ，再根据a ，b ，c 成等比数列和正弦定理将sin b B c 变形为sin sin sin b B a BA c b==即可求解. 【详解】由正弦定理可知，sin sin()sin cos sin cos =+=+B A C A C C A ，易得ccos sin =A c A ，4A π=，又a ，b ，c 成等比数列，所以=b ac b，sin sin sin ===b B a B A c b，那么sin b B c =.故答案为：2【点睛】此题主要考察利用正弦定理进展边角互化问题，解三角形的问题关键是灵敏变形，属中等难度题.ABCD，其三对棱长分别AB CD ==AD BC ==，AC BD ==，那么此四面体的体积为______. 【答案】2 【解析】 【分析】将四面体ABCD 放在长方体内，求出长方体的长、宽、高，再利用割补发即可求得四面体的体积.【详解】设四面体ABCD 所在的长方体棱长分别为a ，b ，c ，那么2222225,13,10,a b a c b c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩解得2,1,3,a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以四面体的体积11142323V abc abc abc =-⨯⨯==，故答案为：2.【点睛】此题主要考察空间几何体的体积的计算，关键是把四面体ABCD 放在的长方体考虑问题，属常规考题.三、解答题〔一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答题，第22、23题为选考题，考生根据要求答题.〕 〔一〕必考题〔一共60分.〕{}n a 的公比0q >，其前n 项和为n S ，且4120S=，3a 与4a 的等差中项为26a .〔1〕求数列{}n a 的通项公式； 〔2〕设()()3311log log n n n b a a +=⋅，数列{}n b的前n 项和为n T ，求n T .【答案】〔1〕3nn a =；〔2〕1n nT n =+ 【解析】 【分析】〔1〕先由3a 与4a 的等差中项为26a 求出公比q ，再由4120S =求出首项1a 即可；〔2〕将n a 代入()()3311log log n n n b a a +=⋅求出n b ，再由裂项相消法求和即可.【详解】〔1〕因为34226a a a +=⨯，所以2311112a q a q a q +=，又0q >，那么2120q q +-=，即3q =或者4q =-〔舍〕.所以()41141(181)120113a q a S q--===--，解得13a =，所以3nn a =.〔2〕因为()()3311log log n n n b a a +=⋅，所以111(1)1nb n n nn ，所以1211111111223111n n n T b b b n n n n =++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++.【点睛】此题主要考察等比数列通项公式的求解及裂项相消法求和问题，属常规考题. 18.世界HY人运动会，简称“HY运会〞，每四年举办一届，会期7到10天，比赛设有27个大项，参赛规模约100多个国家近10000余人，规模仅次于奥运会，根据各方达成一共识，HY运会于2021年10月18日至27日在举行，赛期10天，为了HY运会顺利召开，特招聘了3万名志愿者.某部门为了理解志愿者的根本情况，调查了其中100名志愿者的年龄，得到了他们年龄的中位数为34岁，年龄在[40,45)岁内的人数为15人，并根据调查结果画出如下图的频率分布直方图：〔1〕求m，n的值并估算出志愿者的平均年龄〔同一组的数据用该组区间的中点值代表〕；〔2〕这次HY运会志愿者主要通过直接到HY运会执委会志愿者部现场报名和登录第七届世界HY运会官网报名，即现场和网络两种方式报名调查.这100位志愿者的报名方式局部数据如下表所示，完善下面的表格，通过计算说明能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“选择哪种报名方式与性别有关系〞？男性女性总计现场报名50网络报名31总计50参考公式及数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.)20k【答案】〔1〕0.020m =，0.025n =，平均年龄为34岁；〔2〕不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为选择哪种报名方式与性别有关系 【解析】 【分析】〔1〕由中位数为34岁，年龄在[40,45)岁内的人数为15人，结合频率分布直方图可得(0.020240.010)50.151m n +++⨯+=，0.0205252(3430)0.5m n ⨯+⨯+⨯-=，联立解方程组可得m ，n 的值，再利用公式估选算志愿者的平均年龄即可；〔2〕先把列联表补充完好，再由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++计算即可.【详解】〔1〕∵志愿者年龄在[40,45)内的人数为15人， ∴志愿者年龄在[40,45)内的频率为：150.15100=； 由频率分布直方图得：(0.020240.010)50.151m n +++⨯+=，化简得：20.07m n +=.①由中位数为34可得：0.0205252(3430)0.5m n ⨯+⨯+⨯-=，化简得：540.2m n +=，②由①②解得：0.020m =，0.025n =. 志愿者的平均年龄为(22.50.02027.50.04032.50.05037.50.05042.50.03047.50.010)534⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=〔2〕根据题意得到列联表： 男性女性 总计现场报名 193150 网络报名 311950总计 50 50 100∴22100(19193131) 5.7610.82850505050K ⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯，∴不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为选择哪种报名方式与性别有关系. 【点睛】此题主要考察频率分布直方图的应用及HY 性检验的有关计算问题，试题贴近生活，属根底题.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，2AB =，60BAD ∠=︒，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD ∆为等边三角形，O 为AD 的中点.〔1〕求证：平面PAD ⊥平面POB ；〔2〕假设E 是PC 的中点，求证：//PA 平面BDE ，并求四面体P BDE -的体积.【答案】〔1〕见解析；〔2〕12【解析】〔1〕先证明AD ⊥平面POB ，再利用面面垂直的断定定理即可证明平面PAD ⊥平面POB ；〔2〕连结AC 交BD 于点F ，连结EF ，那么先证明//EF PA 即可证明//PA 平面BDE ，四面体P BDE -的体积要通过等积法转化求得，即P BDE A BDE E ABD V V V ---==，而四面体E ABD -的底面积，高为12PO 容易求得. 【详解】〔1〕证明：因为O 为等边PAD ∆边AD 的中点，所以AD PO ⊥， 又因为在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，所以ABD ∆为等边三角形， 又O 为AD 的中点，所以AD BO ⊥.而POBO O =，所以AD ⊥平面POB ，又AD ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面POB . 〔2〕连结AC 交BD 于点F ，连结EF ，如下图.因为底面ABCD 为菱形，E 为PC 中点，F 为AC 中点，所以//EF PA ， 又EF ⊂平面BDE ，所以//PA 平面BDE .故P 点到平面BDE 的间隔 等于A 点到平面BDE 的间隔 ，即P BDE A BDE E ABD V V V ---==. 由〔1〕知AD PO ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥底面ABCD ， 因为等边PAD ∆的边长为2，所以3PO =.又因为E 为PC 中点，所以点E 到底面ABCD 的间隔 为132PO =， 易知ABD ∆为边长为2的等边三角形，所以三棱锥E ABD -的体积为：21112332E ABD ABD V h S -∆=⋅⋅==.故所求四面体P BDE -的体积为12. 【点睛】此题主要考察面面垂直、线面平行的断定及利用等积法求四面体的体积问题，属常规考题.C ：22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为2，以椭圆C的长轴为直径的圆与直线0x y +-=相切.〔1〕求椭圆C 的HY 方程；〔2〕斜率为1的直线l 交椭圆C 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，且12x x >，假设直线3x =上存在点P ，使得PMN ∆是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，求直线l 的方程.【答案】〔1〕2213x y +=；〔2〕1y x =- 【解析】 【分析】〔1〕先由短轴长求出b 的值，再根据点到直线的间隔 公式求出a 的值即可；〔2〕设直线l 的方程为y x m =+，先由221,3x y y x m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2246330x mx m ++-=，那么1232x x m +=-，()212314x x m =-，再根据直线3x =上存在点P ，使得PMN ∆是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，得出2132x x +=，最后由方程组()12212213231432x x m x x m x x ⎧+=-⎪⎪⎪=-⎨⎪+⎪=⎪⎩即可求出m 的值进而求出直线l 的方程.【详解】〔1〕由题意得1b =，a ==23a =，所以椭圆C 的方程为2213x y +=. 〔2〕设直线l 的方程为y x m =+，()3,P P y ，由221,3x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2246330x mx m ++-=. 令223648480m m ∆=-+>，得22m -<<，那么1232x x m +=-，()212314x x m =-. 因为PMN ∆是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，所以NP 平行于x 轴，过M 作NP 的垂线，那么垂足Q 为线段NP 的中点. 设点Q 的坐标为(),Q Q x y ，那么2132Q M x x x x +===. 由方程组()12212213231432x x m x x m x x ⎧+=-⎪⎪⎪=-⎨⎪+⎪=⎪⎩解得2210m m ++=，即1m =-. 而()12,2m =-∈-，所以直线l 的方程为1y x =-.【点睛】此题主要考察求椭圆的HY 方程及直线与椭圆相交时根据有关条件求直线的方程问题，试题综合性强，计算量大，属中等难度题.()sin x f x e x =+，[,)x π∈-+∞.〔1〕假设()sin xf x e x =+，当[0,)x ∈+∞时，解关于x 的不等式()221()f x f x ->；〔2〕证明：()f x 有且仅有2个零点. 【答案】〔1〕(1,)+∞；〔2〕见解析 【解析】 【分析】〔1〕先由导数的知识判断出()f x 在[0,)+∞上单调递增，再由不等式()221()f x f x ->得22210,0,21,x x x x ⎧-⎪⎨⎪->⎩，解之即可；〔2〕由〔1〕可知函数()f x 在[0,)+∞上没有零点， 当[,0)x π∈-时，令()()e cos xg x f x x '==+，那么()e sin xg x x '=-，易知()0g x '>，那么()f x '在[,0)π-上单调递增，再根据()0f π'-<、(0)0f '>得出0[,0)x π∃∈-，使得()00f x '=，得()f x 在[]0,x π-上单调递减，在[)0,0x 上单调递增，然后由()0f π->、02f π⎛⎫-< ⎪⎝⎭、(0)0f >并结合函数的零点存在性定理可得()f x 在,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上分别有一个零点. 【详解】〔1〕当0x ≥时，0()e cos e cos 1cos 0xf x x x x '=++=+.故()f x 在[0,)+∞上单调递增，∴不等式等价于22210,0,21,x x x x ⎧-⎪⎨⎪->⎩解得1x >.故关于x 的不等式的解集为(1,)+∞.〔2〕证明：由〔1〕知函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，且min ()(0)10f x f ==>. ∴函数()f x 在[0,)+∞上没有零点.设()()e cos xg x f x x '==+，()e sin xg x x '=-，当[,0)x π∈-时，sin 0x ，e 0x >，∴()0g x '>.∴()g x 在[,0)π-上单调递增.易知()f x '在[,0)π-上单调递增，且0()e 1e 10f ππ-'-=-<-=，(0)20f '=>.故0[,0)x π∃∈-，使得()00f x '=，所以()f x 在[]0,x π-上单调递减，在[)0,0x 上单调递增.又因为()e0f ππ--=>，2e 102f ππ-⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，(0)10=>f .所以()f x 在,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上分别有一个零点. 综上所述：()f x 有且仅有2个零点.【点睛】此题主要考察利用导数研究函数的单调性并利用函数的单调性解不等式问题，同时考察了利用函数的单调性及函数的零点存在性定理研究函数零点个数问题，试题综合性强，属中等难度题.〔二〕选考题〔一共10分，请考生在第22、23题中任选一题答题，假设多做，那么按所做的第一题计分.〕xOy 中，曲线C的参数方程为1,x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩〔α为参数〕，直线l的方程为：20x +-=，以坐标原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 〔1〕求曲线C 的普通方程和直线l 的极坐标方程；〔2〕射线:3OA πθ=与曲线C 和直线l 分别交于M 和N 两点，求线段MN 的长.【答案】〔1〕曲线：22(1)3x y -+=，直线：sin 16πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；〔2〕1 【解析】【分析】〔1〕消参即可得曲线C 的普通方程，将cos x ρθ=、sin y ρθ=代入20x +-=即可得出直线l 的极坐标方程；〔2〕求出M 和N 两点的极坐标M ρ、N ρ，再通过M N MN ρρ=-计算即可.【详解】〔1〕由1x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，〔α为参数〕得曲线C 的普通方程为22(1)3x y -+=. 由直线l的方程为：20x -=sin cos 20θρθ+-=，即sin 16πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.〔2〕曲线C 的极坐标方程是22cos 20ρρθ--=， 把3πθ=代入曲线C 的极坐标方程得220ρρ--=，解之得2M ρ=或者1M ρ=-〔舍〕. 把3πθ=代入直线l 的极坐标方程得1N ρ=，所以M N |21|1MN ρρ=-=-=.【点睛】此题主要考察参数方程、普通方程、极坐标方程的互化及利用极坐标的概念求线段的长度问题，属中等难度题.x 的不等式||20x m x -+≤的解集为(,1]-∞-，其中0m >.〔1〕求m 的值；〔2〕假设正数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：2221b c a a b c++. 【答案】〔1〕1m =；〔2〕见解析【解析】【分析】〔1〕解出不等式||20x m x -+≤即可求出m 的值；〔2〕利用根本不等式先证明22b a b a +、22c b c b +、22a c a c +，三式相加即可. 【详解】〔1〕由||20x m x -+，得,20,x m x m x ⎧⎨-+⎩或者,20,x m m x x <⎧⎨-+⎩ 化简得：,3x m m x ⎧⎪⎨⎪⎩或者,,x m x m <⎧⎨-⎩由于0m >，所以不等式组的解集为(,]m -∞-. 由题设可得1m -=-，故1m =.〔2〕由〔1〕可知，1a b c ++=，又由均值不等式有：22b a b a +，22c b c b +，22a c a c+， 三式相加可得：222222b c a a b c b c a a b c+++++++，所以2221 b c aa b ca b c++++=.【点睛】此题主要考察绝对值不等式的解法及利用根本不等式证明不等式问题，属中等难度题.。
2021届湖南省三湘名校教育联盟高三上学期第一次大联考数学(理)试题Word版含解析
2021届湖南省三湘名校教育联盟高三上学期第一次大联考数学（理）试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{|(2)0}A x x x =-，{1,0,1,2,3}B =-，则()U A B 的子集个数为（） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16【答案】B【解析】先求出U C A ,再求出()U C A B ⋂,然后利用公式2n 进行计算可得. 【详解】(,0)(2,)U C A =-∞+∞，∴(){1,3}U C A B =-，∴子集个数为4．故选B. 【点睛】本题考查了集合的运算,集合子集的个数问题，属基础题.2．若复数z 满足()112i z i -=+，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【解析】先由复数的除法得1322z i =-+，再求其共轭复数即可得解.【详解】由()112i z i -=+，可得12(12)(1)1321312222i i i i z i i ++++-====-+-. 1322z i =--在复平面内对应的点为13(,)22--位于第三象限.故选：C. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及共轭复数的概念，属于基础题.3．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，丙所得为（ ）A ．23钱 B ．1钱 C ．43钱 D ．53钱【答案】B【解析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a ﹣2d ，a ﹣d ，a ，a +d ，a +2d ，由题意求得a ＝﹣6d ，结合a ﹣2d +a ﹣d +a +a +d +a +2d ＝5a ＝5即可得解． 【详解】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a ﹣2d ，a ﹣d ，a ，a +d ，a +2d ， 则由题意可知，a ﹣2d +a ﹣d ＝a +a +d +a +2d ，即a ＝﹣6d ， 又a ﹣2d +a ﹣d +a +a +d +a +2d ＝5a ＝5，∴a ＝1， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了等差数列的应用，属于基础题.4．已知函数2()2cos f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数，则函数()y f x '=的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因为()22sin 2(sin )f x x x x x '=-=-，显然()f x '是奇函数，求导易得()f x '在R 上单调递增. 【详解】因为()22sin 2(sin )f x x x x x '=-=-，显然()f x '是奇函数， 又()22cos 0f x x ''=-≥,所以()f x '在R 上单调递增.只有C 符合,【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及利用导数判断函数的单调性,属中档题. 5．已知，均为单位向量，，则A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由已知结合向量数量积的性质可求，代入即可求解．【详解】 解：，均为单位向量，且，，，则，故选：B ． 【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．6．ABC ∆内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“ABC ∆为锐角三角形”是“222a b c +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由余弦定理可知222a b c +>时C 一定为锐角，进而由充分必要条件的定义判断即可得解. 【详解】当△ABC 为锐角三角形时，C 一定为锐角，此时222a b c +>成立，当222a b c +>成立时，由余弦定理可得cos C ＞0，即C 为锐角，但此时△ABC 形状不能确定， 故ABC ∆为锐角三角形”是“222a b c +>”的充分不必要条件，【点睛】本题主要考查了充分必要条件的判断及余弦定理的应用，属于基础题. 7．在ABC ∆中，1AB =，3AC =，1AB BC ⋅=，则ABC ∆的面积为（ ） A ．12B ．1C ．5 D ．5【答案】C【解析】由()AB BC AB AC AB ⋅=⋅-可得2cos 3A =，进而得5sin 3A =，再利用面积公式即可得解. 【详解】因为2()13cos 11AB BC AB AC AB AB AC AB A ⋅=⋅-=⋅-=⨯-=，解得2cos 3A =. 所以25sin 1cos A A =-=. 所以ABC ∆的面积为1155sin 1322AB AC A ⋅⋅=⨯⨯⨯=. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算及三角形的面积公式，属于基础题. 8．要得到函数的图象，只需将函数的图象A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向右平移个单位【答案】D【解析】利用三角恒等变换、函数的图象变换规律，得出结论．【详解】， 故将函数的图象向右平移个单位，可得的图象，故选：D ． 【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，函数的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题． 9．设4log 3a =，8log 6b =，0.10.5c -=，则（） A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】D【解析】通过对数的运算性质对对数的底数变形,化为同底,利用对数函数2log y x =的单调性可得1a b << ,通过指数函数的性质可得1c > . 【详解】2log 3a =32log 6b =663(3)6)0-<，∴1a b <<，0.121c =>，故选D ． 【点睛】本题考查了利用指数函数和对数函数的性质比较大小,属基础题.10．定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当[0,1]x ∈时，()(32)f x x x =-，则29()2f =（） A ．1- B ．12-C ．12D ．1【答案】A【解析】根据函数的奇偶性和(1)(1)f x f x -=+可推出函数的周期为4,再根据周期性可求得. 【详解】∵()()f x f x -=-，(1)(1)f x f x -=+， ∴(1)(1)(3)f x f x f x +=--=-，4T=，29293111()(16)()()(32)1222222f f f f =-=-=-=--⨯=-． 故选A. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性,对称性,周期性,属中档题.11．设函数2e 1,0(),0x x f x x ax x ⎧-=⎨->⎩，若关于x 的方程()0f x m +=对任意的(0,1)m ∈有三个不相等的实数根，则a 的取值范围是（） A ．(,2]-∞- B ．[2,)+∞ C ．[2,2]- D ．(,2][2,)-∞-+∞【答案】B【解析】将问题转化为当0x >时，2x ax m -=-恒有两个正根,再根据二次方程实根分布列式可解得. 【详解】因为关于x 的方程()0f x m +=对任意的(0,1)m ∈有三个不相等的实数根 所以当0x 时，(0,1)m ∀∈ ，1x e m -=-有一根，当0x >时，2x ax m -=-恒有两个正根，由二次函数的图象可知20240a a m ⎧>⎪⎨⎪=->⎩ 对任意的(0,1)m ∈恒成立，所以24a ≥ 解得2a ．故选B ． 【点睛】本题考查了函数与方程,不等式恒成立,属中档题. 12．若(0,)x ∀∈+∞，1ln(1)1x kx x ++>+恒成立，则整数k 的最大值为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】1ln(x 1)kx x 1++>+恒成立，即(1)[1ln(1)]()x x h x k x +++=>恒成立, 即h(x)的最小值大于k,再通过,二次求导可求得. 【详解】1ln(x 1)kx x 1++>+恒成立，即(1)[1ln(1)]()x x h x k x +++=>恒成立，即h(x)的最小值大于k ，2x 1ln(x 1)h (x)x --+'=，令g(x)x 1ln(x 1)(x 0)=--+>，则()01xg x x '=>+，∴g(x)在(0,)+∞上单调递增，又(2)1ln30g =-<，(3)22ln20g =->，∴g(x)0=存在唯一实根a ，且满足(2,3)a ∈，1ln(1)a a =++．当x a >时，g(x)0>，h (x)0'>；当0x a <<时，g(x)0<，()0h x '<，∴(1)[1ln(1)]()()1(3,4)min a a h x h a a a+++===+∈，故整数k 的最大值为3．故选C ．【点睛】本题考查了转化思想,构造法,以及不等式恒成立和利用导数求函数的最值,属难题.二、填空题13．由曲线22y x x =-+与直线y x =围成的封闭图形的面积为___________．【答案】16【解析】将直线方程与曲线方程联立可得交点坐标为(0,0)，(1,1)，结合图像可知围成的封闭图形的面积. 【详解】将直线方程与曲线方程联立可得交点坐标为(0,0)，(1,1)， 如图:结合图像可知围成的封闭图形的面积为1123200111(2)()326x x x dx x x -+-=-+=⎰．【点睛】本题考查了定积分的几何意义,属基础题.14．已知向量()2,sin a α=，()1,cos b α=，且//a b ，则()sin cos 2παπα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭______.【答案】45【解析】由向量平行可得2cos sin αα=，结合221sin cos αα=+可得24sin 5α=，结合诱导公式化简得()2sin cos sin 2παπαα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭即可得解.【详解】向量()2,sin a α=，()1,cos b α=，且//a b ，所以2cos sin αα=.()2sin cos (sin )(sin )sin 2παπαααα⎛⎫-+=--= ⎪⎝⎭.由22222sin 5sin 1sin cos sin 44ααααα=+=+=，所以24sin 5α=.故答案为：45.【点睛】本题主要考查了向量共线的向量表示及同角三角函数关系，属于基础题. 15．已知()ln(e 1)(0)ax f x bx b =+-≠是偶函数，则ab=__________． 【答案】2【解析】根据偶函数的定义,由()()f x f x -= 恒成立可得. 【详解】由()()f x f x =-得1ln(1)ln(1)ln ln(1)ax axaxax ax e e bx ebx bx e ax bx e-++-=++=+=+-+，∴2ax bx = ，2ab=． 【点睛】本题考查了偶函数的性质,属基础题. 16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，132020a =，()*12,n n n a S S n n N -=≥∈，则当n S 取最大值时，n 的值为______.【答案】674【解析】化简条件可得()*11112,n n n n N S S --=-≥∈，进而得120233n S n=-，利用反比例函数的性质分析数列的单调性即可得解. 【详解】由()*12,n n n a S S n n N -=≥∈，可得()*112,n n n n S S S S n n N ---=≥∈.所以()*11112,n n n n N S S --=-≥∈. 从而有：1{}n S 是以1120203S =为首项，-1为公差的等差数列. 所以120202023(1)(1)33n n n S =+-⋅-=-，所以120233n S n=-. 当1674n ≤≤时，n S 递增，且0n S >； 当675n ≤时，n S 递增，且0n S <.所以当674n =时，n S 取最大值. 故答案为：674. 【点睛】本题主要考查了n a 和n S 的递推关系，考查了数列的单调性，属于中档题.三、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，519a =，555S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）41n a n =-（2）()343nn +【解析】（1）由等差数列的基本量表示项与和，列方程组求解即可；（2）先求得1111144143n n a a n n +⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，再利用裂项求和即可得解. 【详解】解析：（1）设公差为d ，则1141951055a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得134a d =⎧⎨=⎩，∴()34141n a n n =+-=-.（2）()()111111414344143n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， ∴11111114377114143n T n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭()343n n =+. 【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量运算及裂项求和，属于基础题.18．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，222()2cos a b ac B bc -=+． （1）求A ；（2）D 为边BC 上一点，3BD DC =，2DAB π∠=，求tan C ．【答案】（1）23π；（2. 【解析】【详解】分析：（1）由余弦定理可得222a b c bc --=，从而可得cos A ，进而得解； （2）在ABC △中，由正弦定理可得：sin sin120c BC C =,①，在Rt ABC 中， ()sin 30c C BD+=,②，联立①和②可得解.详解：（1）由已知条件和余弦定理得：222222222a c b a b ac bc ac+--=⋅+即： 222a b c bc --=则2221cos 22b c a A bc +-==-又0A π<<，23A π∴=. （2）在ABC △中，由正弦定理可得：sin sin120c BC C =,① 在Rt ABD △中， ()sin 30cC BD+=,② 由①②可得：()sin 30sin CC+=1cos 22sin C C C +=,化简可得：tan 7C =. 点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 19．已知函数()()cos sin f x x x α=+-，0απ<<，曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为12y x b =+. （1）求α与b 的值；（2）求()f x 的最大值及单调递增区间.【答案】（1）3πα=,b =（2）最大值12，单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.【解析】（1）求函数的导数得()'cos(2)f x x α=+，由()1'02f =得3πα=，从而得解； （2）由1()sin 223f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭结合三角函数性质利用整体代换可求最值和单调区间. 【详解】（1）()()()'sin sin cos cos f x x x x x αα=-+++()cos 2x α=+，()1'02f =，3πα=，()0f =，b =.（2）()21sin cos 2f x x x x =+11sin 22sin 2423x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 当2232x k πππ+=+，k Z ∈时，()f x 取得最大值12. 由222232k x k πππππ-≤+≤+得5,1212x k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， ∴()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简和性质及利用导数求函数切线，属于中档题.20．已知数列{}n a 满足1n a >且()()()22221222log log log n a a a ++⋅⋅⋅+()()11216n n n =++.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n n b a a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）2nn a =（2）()1122n n T n +=-⋅+【解析】（1）先令1n =得12a =，再由()()()222212221log log log n a a a -++⋅⋅⋅+()()11216n n n =--，与条件作差得2nn a =；（2）由2nn b n =⋅，利用错位相减法求和即可.【详解】解析：（1）当1n =时，()221log 1a =，由1n a >得12a =.当2n ≥时，()()()222212221log log log n a a a -++⋅⋅⋅+()()11216n n n =--，∴()()()()()2211log 12112166n a n n n n n n =++---2n =，∴2nn a =，∵1n =也适合，∴2nn a =. （2）2nn b n =⋅，∴1212222n n T n =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，231212222n n T n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，两式相减得1212222n n n T n +-=++⋅⋅⋅+-⋅()1122n n +=-⋅-，∴()1122n n T n +=-⋅+.【点睛】本题主要考查了和与项的递推关系及错位相减法求和，属于中档题.21．已知函数()2xf x e ax a =+++.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≤时，()2f x ≥，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）见解析（2）[]1,0-【解析】（1）求函数导数得()'xf x e a =+，分别讨论0a ≥和0a <时导数的正负从而得函数的单调性；（2）令()xh x e ax a =++，则()00h ≥，1a ≥-，讨论0a =，0a >和10a -≤<时，利用导数研究函数的单调性进而得解. 【详解】（1）()'xf x e a =+，若0a ≥，则()'0f x >，()f x 在R 上单调递增；若0a <时，由()'0f x >得()ln x a >-，由()'0f x <得()ln x a <-，∴()f x 在()(),ln a -∞-上单调递减，在()()ln ,a -+∞上单调递增.（2）当0x ≤时，22x e ax a +++≥，即0x e ax a ++≥，令()xh x e ax a =++，则()00h ≥，1a ≥-， 当0a =时，()0xh x e =>，满足题意；当0a >时，()'0xh x e a =+>，∴()h x 在(],0-∞上递增，由x y e =与()1y a x =-+的图像可得()0h x ≥在(],0-∞上不恒成立；当10a -≤<时，由()'0xh x e a =+=解得()ln x a =-，当()ln x a <-时，()'0h x <，()h x 单调递减； 当()ln 0a x -<≤时，()'0h x >，()h x 单调递增.∴()h x 在(],0-∞上的最小值为()()ln h a -，∴()()()ln ln 0h a a a -=-≥，解得10a -≤<. 综上可得实数a 的取值范围是[]1,0-. 【点睛】本题主要考查了函数导数的应用及分类讨论的思想，利用导数研究函数最值解决恒成立问题，属于难题.22．已知函数()ln 1,f x x ax a =-+∈R ． （1）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围；（2）设11(,())A x f x ，22(,())B x f x ，直线AB 的斜率为k ，若120x x k ++>恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）(0,1)（2）(2]-∞【解析】(1)求导得1()f x a x'=-,当0a ≤时,可得()f x 在(0,)+∞上是增函数，不可能有两个零点, 当0a >时,利用导数可以求得函数()f x 在定义域内的最大值为1()f a ,由11()ln 0f a a=>，解得01a <<.然后根据1()0f a >,1()0f e < 得到()f x 在11(,)e a 上有1个零点；根据1()0f a >,22f ()0e a <,得到()f x 在221(,)ea a上有1个零点,可得a 的取值范围. (2)利用斜率公式将120x x k ++>恒成立,转化为2222211121ln ln 0x x ax x x ax x x +---+>-,即2()ln m x x x ax =+-在(0,)+∞上是增函数,再求导后,分离变量变成min 1(2)a x x+,最后用基本不等式求得最小值,代入即得. 【详解】 （1）1()f x a x'=-，0x >， ①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上是增函数，不可能有两个零点；②当0a >时，在区间1(0,)a上，()0f x '>；在区间1(,)a +∞上，()0f x '<．∴()f x 在1(0,)a 是增函数，在1(,)a +∞是减函数，11()ln 0f a a =>，解得01a <<，此时2211ee a a<<，且1()110a a f e e e =--+=-<，∴()f x 在11(,)e a上有1个零点；2222()22ln 132ln (01)e e e f a a a a a a=--+=--<<， 令2()32ln e F a a a =--，则222222()0e e aF x a a a-'=-+=>，∴()F a 在(0,1)上单调递增， ∴2()()130F a F e <=-<，即22f ()0e a <，∴()f x 在221(,)ea a上有1个零点．∴a 的取值范围是(0,1)． （2）由题意得22111221ln ln 0x ax x ax x x x x --+++>-，∴2222211121ln ln 0x x ax x x ax x x +---+>-， ∴2()ln m x x x ax =+-在(0,)+∞上是增函数， ∴1()20m x x a x'=+-在(0,)+∞上恒成立，∴min 1(2)a x x +，∵0x >，∴11222x x x x +⋅=12x x =时，即x =取等号，∴22a ．∴a 的取值范围是(-∞． 【点睛】本题考查了函数的零点,零点存在性定理,不等式恒成立,以及用基本不等式求最值,属难题.。
2021年高三数学12月联考试题 理(含解析)
2021年高三数学12月联考试题理（含解析）本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第I卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2-x）}，则P∩Q=(1)设集合P={y|y =2cosx}，Q={x∈N|y =log5A.{x|-2≤x≤2)B.{x|-2≤x<2} C．{0,1,2} D.{0,1}(2)命题p：存在x∈[0，]，使sinx +cosx>；命题q：命题“x o∈(0，+∞)，lnx o=x o-1”的否定是 x∈(0，+∞)，lnx≠x-1，则四个命题(p) V(q)、pq、(p) q、p V（q）中，正确命题的个数为A.l B．2 C．3 D．4(3)已知数列{a n}的首项为2，且数列{a n}满足，数列{a n}的前n项的和为S n,则S xx为A.504B.588C.-588D.-504(4)在△ABC中，已知向量=(2，2)， =2，= -4，则△ABC的面积为A.4 B．5 C．2 D.3(5)定义在[-2，2]上的函数f(x)满足（x1- x2）[f(x1)-f(x2)]>0，x1≠x2，且f(a2-a>[(2a -2)，则实数a的范围为A.[一l,2)B.[0,2)C.[0,1)D.[一1,1)(6)设f(x)= sinx+cosx，则函数f(x)在点（-，0）处的切线方程为A． B．C． D.(7)已知函数y=Acos（ax+）+b（a>0，0<<）的图象如图所示，则该函数的解析式可能是A．y=2cos（2x+）-1 B．y=2cos（x一）-1C．y=2cos（x+）-1 D．y=2cos（2x一）一1(8)已知S n是各项为正数的等比数列{a n}的前n项和，a2·a4 =16，S3 =7，则a8=A．32 B．64 C．128 D．256(9)已知函数f(x）=e x- 2ax，函数g（x）=-x3-ax2. 若不存在x1，x2∈R，使得f'(x1）=g'（x2），则实数a的取值范围为A．（-2,3) B．（-6,0) C.[-2,3] D．[-6,0](10)已知锐角△ABC中，角a+的终边过点P( sinB - cosA,cosB - sinA)，且cos（a+）=，则cos2a的值为A． B． C． D．(11)已知实数x，y满足，若目标函数z= ax+by +5（a>0，b>0）的最小值为2，则的最小值为A． B． C． D．(12)若y=ax+b为函数f(x）=图象的一条切线，则a+b的最小值为A．-4 B．-1 C．1 D．2第Ⅱ卷（非选择题共90分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试卷上作答无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．(13)奇函数f(x）的周期为4，且x∈[0，2]，f(x)=2x-x2，则f(xx)+f(xx)+f(xx)的值为．(14)在平面直角坐标系内，已知B(-3，一3)，C（3，-3），且H(x，y)是曲线x2 +y2 =1任意一点，则的最大值为．(15)已知函数f(x）=sinx+cosx的图象关于x=对称，把函数f(x）的图象向右平移个单位，再将横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g(x)的图象，则函数g(x)在x∈[-，]上的单调递减区间为__ 。
高三数学2021-2022学年湖南省五市十校高一上学期12月联考数学试题解析
第1篇随着社会经济的快速发展，用电设备在人们的生活和生产中扮演着越来越重要的角色。
然而，由于用电不当、设备老化、维护不到位等原因，导致用电安全事故频发，给人民群众的生命财产安全带来严重威胁。
为加强用电安全管理，保障人民群众生命财产安全，特制定本用电安全导则。
二、用电安全导则规定第一章总则第一条为加强用电安全管理，保障人民群众生命财产安全，根据《中华人民共和国安全生产法》、《中华人民共和国电力法》等法律法规，结合我国实际情况，制定本导则。
第二条本导则适用于我国境内各类用电单位、个人和用电设施。
第三条用电安全工作应当遵循“预防为主、综合治理”的方针，坚持“安全第一、预防为主、综合治理”的原则，落实用电安全责任制。
第二章用电安全基本原则第四条用电安全基本原则包括：（一）安全第一：在用电过程中，始终把人身安全放在首位，确保用电安全。
（二）预防为主：加强用电安全管理，预防事故发生，减少事故损失。
（三）综合治理：加强用电安全管理，综合治理，形成齐抓共管的良好局面。
（四）以人为本：尊重和保障人民群众的生命财产安全，关心员工身心健康。
第三章用电安全基本要求第五条用电单位应当建立健全用电安全管理制度，明确用电安全管理职责，加强用电安全教育培训。
第六条用电单位应当加强用电设备的管理和维护，确保设备安全可靠运行。
第七条用电单位应当定期对用电设施进行检查、试验和维护，发现问题及时整改。
第八条用电单位应当采取有效措施，防止用电设施受到自然灾害、人为破坏等因素的影响。
第九条用电单位应当加强用电设备操作人员的安全管理，严格执行操作规程，确保操作安全。
第十条用电单位应当加强对用电设施的接地保护，防止电气设备发生漏电事故。
第十一条用电单位应当加强对用电设施的防雷、防静电措施，确保用电安全。
第十二条用电单位应当加强对用电设施的防火、防爆措施，防止火灾、爆炸事故的发生。
第十三条用电单位应当加强对用电设施的防腐蚀、防磨损措施，延长设备使用寿命。
湖南省长郡、雅礼、一中2021届高三上学期联合考试理科数学试题 Word版含答案
湖南省长郡、雅礼、一中2021届高三月考试卷一（全国卷）数学（理科）一、选择题A ．AB ⊆ B ．B A ⊆B ⋂=∅R2．若复数z 满足()1i 2i z -=，则下列说法正确的是（ ） 的虚部为iA ．5-B ．20-C ．15D ．5，若单位向量1e ，2e 满足：12e e ⊥且向量123e e +与12e e λ-的夹角为则λ=（ ）6．随机变量X 的分布列如表：若()2E ξ=，则()D ξ=（ ）A ．32B ．43C ．54D ．657．设3535a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，353log 2b =，3532c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．<<a b cB ．<<a c bC ．<<b a cD ．<<b c a8．函数()3sin 6x f x x =+的图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．9．如图，已知三棱锥V ABC -，点P 是VA 的中点，且2AC =，4VB =，过点P 作一个截面，使截面平行于VB 和AC ，则截面的周长为（ ）A ．12B ．10C ．8D ．610．5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+⎪⎝⎭．它表示：在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信A ．10%B ．30%C ．50%D ．100%（ ）则E 的离心率为（ ）二、填空题13．甲、乙、丙、丁4名学生参加体育锻炼，每人在A ，B ，C 三个锻炼项目中恰好选择一项进行锻炼，则甲不选A 项、乙不选B B 项的概率为______．底面圆上异于A ，B 的动点，则S 、A 、B 、C 四点所在球面的半径是______． 16．已知点()5,0A ，()0,4B ，动点P ，Q 分别在直线2y x =+和y x =上，且PQ 与两三、解答题（一）必考题17．圆O 的内接四边形ABCD 中，3AD BC ==，3BAD π∠=，sin 3sin ABD DBC ∠=∠．（1）求AB 的长度； （2）求圆O 的半径．18．三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，且1AB BC ==，12AA =，120ABC ∠=︒，D 为1CC 中点．（1）求四面体1A ABD -的体积；（2）求平面ABD 与1ACB 所成锐二面角的余弦．19．已知椭圆E 的离心率为32e =，且经过点31,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． （1）求椭圆E 的方程．（2）设()00,P x y 为椭圆E 上非顶点的任意一点，若A 、B 分别为椭圆E 的左顶点和上顶点，直线PA 交y 轴于D ，直线PB 交x 轴于C ，W AC BD =，问：W 的值是不是定值？若为定值，求之，若不为定值，说明理由．性的）经过一条边到达另一顶点，设该蚂蚁经过n步回到点A的概率为np．（1）分别写出1p，2p的值；（2）设一只蚂蚁从顶点A出发经过n步到达点C的概率为n q，求3n np q+的值；（3）求np．21．（1）求()lnf x x x=-的最大值；（2）若()2ln21x t x x+≤++对0x≥恒成立，求实数t的取值范围．（二）选考题22．选修4-4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为2,2242x ty t⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t为参数），在极坐标系（以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴）中，曲线2C的方程为()2sin2cos>0p pρθθ=，曲线1C，2C交于A，B两点，其中定点()0,4M-．（1）若2p=，求MA MB+的值；（2）若MA，AB，MB成等比数列，求p的值．23．选修4-5：不等式选讲()（2）当<2a 时，函数()f x 的最小值为2，求实数a 的值．2021届高三月考试卷一（全国卷）数学（理科）参考答案1．【答案】B 【解析】故选B ． 2．【答案】C 【解析】【解答】解：因为()1i 2i z -=，故选C ． 3．【答案】B 【解析】【解答】解：()51x -展开式中2x 项的系数：()3351C 10-=-；()51x -展开式中4x 项的系数：()151C 5-⋅=-；故选B ． 4．【答案】A 【解析】()()(1231,3e e +=，()12,1e e λλ-=-故选A ． 5．【答案】D 【解析】故选D 6．【答案】A 【解析】7．【答案】C 【解析】∴<<b a c ． 故选C ． 8．【答案】A 【解析】所以函数()f x 为奇函数，排除选项D ；综上可知，()f x 在()0,+∞上单调递增，排除选项B 和C ． 故选A ． 9．【答案】D 【解析】【解答】如图所示，过点P 作//PF AC ，交VC 于点F ，过点F 作//FE VB 交BC 于点E ，过点E 作//EQ AC ，交AB 于点Q ； 由作图可知：//EQ PF ，所以四边形EFPQ 是平行四边形； 所以截面四边形EFPQ 的周长为()2216⨯+=．10．【答案】A 【解析】【解答】解：将信噪比SN从1000提升至2000时， ()()2222log 12000log 2001log 11000log 1001W W +=+()lg 2001lg 200013lg 2 1.1lg1001lg10003=≈=+≈， 故C 大约增加了10%． 故选A ． 11．【答案】D 【解析】【解答】解：问题等价于函数sin y x =在区间,66x ππω⎛⎫+⎪⎝⎭恰有3个零点，故3<46ππωππ+≤，于是可得1723<66ω≤．故选D ． 12．【答案】A 【解析】【解答】解：由题意可知：双曲线的右焦点1F ，由P 关于原点的对称点为Q ，则|OP OQ =， ∴四边形PFQF 为平行四边形，则1PF FQ =，1PF QF =，由3PF FQ =，根据双曲线的定义12PF PF a -=，∴190OPF ∠=︒，在1QPF △中，2PQ b =，13QF a =，1PF a =， ∴()()22223b a a +=，整理得：222b a =，则双曲线的离心率2213c b e a a==+=．故选A ．13．【答案】49【解析】【解答】解：法一：每位学生选择三个锻炼项目有13C 种，则4人总的选择方式共有()4143C 3=种，其中甲、乙的选择方式有()2122C2=种，其余两人仍有()2123C3=种，故甲不选A 、乙不选B 项目的概率为22423439⨯=． 法二：只考虑甲、乙的选择，不加限制均为3种，受到限制后均为2种， 而甲乙的选择相互独立，故甲不选A 、乙不选B 项目的概率为49． 故答案为49． 14．【答案】18【解析】∵α，β均为锐角，∴>0x ，>0y ，故答案为18． 15．【答案】2 【解析】【解答】解：如图，设底面圆的圆心为O ，S 、A 、B 、C 四点所在球面的球心为1O ，连接SO ，设球1O 的半径为R ，故答案为2．16．【答案】52+【解析】【解答】解：设(),Q x x ，由于PQ 与两直线垂直且2PQ =，则()1,1P x x -+，故()()()2222513AQ BP x x x x +=-++-+-．此式可理解为点(),Q x x 到()5,0A 及()1,3C 的距离之和，其最小值即为5AC =． 故所求最小值为52+．故答案为52+．17．【答案】（1）设圆O 半径为R ，由正弦定理，2sin AD R ABD=∠，2sin CDR DBC =∠， ∴sin sin AD CDABD DBC=∠∠， 又sin 3sin ABD DBC ∠=∠．故3AD CD =．而3AD =．∴1CD =． 设AB x =，则2222119233123122BD x x ⎛⎫=+-⋅⋅⋅=+-⋅⋅⋅- ⎪⎝⎭． ∴2340x x --=．∴4x =．即4AB =．【解析】（2）设O 为AC 中点，1O 为11A C 中点，以射线OB ，OC ，1OO 为非负x ，y ，z 轴． 建立空间直角坐标系，∴1,2AB ⎛= ，(0,AD =，(0,AC =，11,2AB ⎛= 设(1,m x y =00m AB m AD ⎧⋅=⇒⎪⎨⋅=⇒⎪⎩取(3,m =-设(22,,n x y =100n AC n AB ⎧⋅=⇒⎪⎨⋅=⇒⎪⎩取(4,0,1n =-3,11917m n =【解析】设椭圆方程为22244x y b +=， 将M点坐标代入可得1b =，由于220044x y +=，【解析】（2）由于从顶点A 出发经过n 步到达点C 的概率为n q ， 则由A 出发经过n 步到达点1B ，1D 的概率也是n q ，n 为奇数时0n n p q ==，所以30n n p q +=，n 为偶数时，由A 出发经过n 步不可能到1A ，B ，D ，1C 这四个点，31n n p q +=．由A 出发经过n （n 为偶数）步再回到A 的路径分为以下四类：【解析】令()0f x '≥得0<1x ≤．故()f x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减， ∴()()max 11f x f ==-．（2）设()()2ln 21g x x t x x =+---，①若1e t ≤≤，则0x ≥时，240x -≤，()410t x -+≤，10t -≤，>0x t +， 此时()0g x '≤对0x ≥恒成立，故()g x 在[)0,+∞单调递减，()()0ln 10g x g t ≤=-≤， 故[]1,e t ∈符合要求．②若0<<1t ，由于()ln 1f x x x =-≤-故ln 1x x ≤-，∴()ln 1x t x t +≤+-，而()()22211222>0x x x t x t t ++-+-=-+≥-对0x ≥恒成立， ∴()2211ln x x x t x t ++≥+-≥+．∴()0,1t ∈符合要求， 综上，t 的取值范围为(]0,e ． 【解析】22．【答案】（1）∵曲线2C 的方程为()2sin2cos >0p p ρθθ=，∴22sin 2cos p ρθρθ=，即()22>0y px p =．∴曲线2C 的直角坐标方程为()22>0y px p =，又已知2p =，∴曲线2C 的直角坐标方程为24y x =．【解析】∴实数a 的取值范围是()(),04,-∞⋃+∞．∴2<2a =-符合题意，∴2a =-．。
2021年高三上学期12月联考试题 数学(文) 含答案
2021年高三上学期12月联考试题 数学（文） 含答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数满足，则的共轭复数的虚部是 （ ）A ．1B ．C ．D ．2．已知集合，，则( )A ． B. C. D.3．已知向量，若与平行，则实数的值是（ ）A ．4B ．1C ．D ．4．设，则“”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数的零点的个数为（ ）A ．0 B. 1 C ． 2 D ． 36．已知等比数列为递增数列．若a 1>0，且2(a n ＋a n ＋2) ＝5a n ＋1，则数列的公比q ＝（ ）A ．2或12 B. 2 C ．12D ．-2 7．若,则,则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．8．执行如右图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．B ．C ．D ．9．欧拉是科学史上一位多产的、杰出的数学家！ 他1707年出生在瑞士的巴塞尔城，渊博的知识，无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作，都令人惊叹不已。
特别是，他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，即使在他双目失明以后，也没有停止对数学的研究。
在失明后的17年间，他还口述了几本书和400篇左右的论文。
如果你想在欧拉的生日、大学入学日、大学毕业典礼日、第一篇论文发表日、逝世日这5个特别的日子里（这五个日子均不相同），任选两天分别举行班级数学活动，纪念这位伟大的科学家，则欧拉的生日入选的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知三棱锥外接球的表面积为，底面为正三角形，其正视图和侧视图如图所示，则此三棱锥的侧面积为（ ）A ．B ．C ．D ．正视图 侧视图 411．已知函数，若，则a的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知是椭圆和双曲线的一个交点，是椭圆和双曲线的公共焦点，分别为椭圆和双曲线的离心率，则的最大值是（）A． B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）Array二、填空题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南省湖湘名校教育联合体2021届上学期高三年级入学考试数学试卷
湖南省湖湘名校教育联合体2021届上学期高三年级入学考试数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 设全集{|13}U AB x x ==-≤<，(){|23}U AC B x x =<<，则集合B =（ ）A ．{|12}x x -≤<B ．{|12}x x -≤≤C ．{|23}x x <<D ．{|23}x x ≤< 2 设复数=1z i -，则3z =（ ）A ．22i -+B ．22i +C ．22i --D ．22i - 3 以长方体的顶点为顶点的三棱锥共有（ ）个A ．70B ．64C ．60D ．584 为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量(/)P mg L 与时间(h)t 的关系为0=ktP P e -．如果在前5个小时消除了10%的污染物,那么污染物减少27%需要花的时间约为（ ） A ．13小时 B ．15小时 C ．17小时 D ．19小时 5 已知tan 2α=，则sin()sin()44ππαα-+=（ ） A ．310-B ．310C ．35-D ．356大摆锤是一种大型游乐设备（如图），游客坐在圆形的座舱中，面向外，通常大摆锤以压肩作为安全束缚，配以安全带作为二次保险，座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动．假设小明坐在点A 处，“大摆锤”启动后，主轴OB 在平面α内绕点O 左右摆动，平面α与水平地面垂直，OB 摆动的过程中，点A 在平面β内绕点B 作圆周运动，并且始终保持OB β⊥，B β∈ 设4OB AB =，在“大摆锤”启动后，下列结论错误的是（ ）A ．点A 在某个定球面上运动B ．β与水平地面所成锐角记为θ，直线OB 与水平地面所成角记为δ，则θδ+为定值；C ．可能在某个时刻，//AB αD ．直线OA 与平面α 7 已知点P 是边长为1的正方形ABCD 所在平面上一点，满足()0PA PB PC PD ⋅++=，则||PD 的最小值是（ ）A C D 8 已知函数22,(2)()(2),(2)x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩若函数()(2)()y f x f x m m R =+--∈恰有2个零点，则m 的取值范围是A ．(2,)+∞B ．7(,2)4C ． (0,2)D ．(,2)-∞二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分，A 是圆O 所在平面内一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和直线OP 相交于点Q ．当点P 在圆上运动时，下列判断正确的是A 当点A 在圆O 内（不与圆心重合）时，点Q 的轨迹是椭圆B 点Q 的轨迹可能是一个定点C 当点A 在圆O 外时，点Q 的轨迹是双曲线的一支D 点Q 的轨迹不可能是抛物线102020年3月15日，某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查,5家商场的售价x （元）和销售量y （件）之间的一组数据如表所示：按公式计算，y 与x 的回归直线方程是： 3.2y x a =-+，相关系数0.986r =，则下列说法正确的有A ．变量,x y 线性负相关且相关性较强；B ．40a =；C ．当8.5x =时,y 的估计值为12.8；D ．相应于点(10.5,6)的残差约为0.4． 11 已知函数()sin cos f x x x ωω=+的最小正周期是π，则下列判断正确的有（ ）A ．函数()f x 的图象可由函数2y x =的图象向左平移4π个单位得到； B ．函数()f x 在区间5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数；C ．函数()f x 的图象关于点,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；D ．函数()f x 取得最大值时x 的取值集合为{|+}8，x x k k Z ππ=∈．12．下列说法正确的是A ．若0a b <<，则“1a b +=”是“22log log 2a b +<-”的充要条件B ．*32n N ,(n 2)(3)n n n ++∀∈+>+C ．22(0,),sin 241xx x xπ∃∈>+ D ．ABC ∆中，若C ∠为钝角，则()()cos sin cos cos A B > 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13 61()x x-展开式的常数项为________．14 在四面体S ABC -中，SA ⊥平面ABC，120,2,BAC SA BC ∠=︒==面积为________．15 设双曲线C ：22221(0,0)y x a b a b-=>>的中心为O ，上、下焦点分别为F 1，F 2，过F 1作以实轴为直径的圆的切线，切点为T ，与C 的一条渐近线交于x 轴下方的点P ．若2//O F P T ，则C 的离心率为_______． 16九连环是中国的一种古老智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．长期以来，这个益智游戏是数学家及现代电子计算机专家们用于教学研究的课题和例子．中国的末代皇帝溥仪（1906–1967）也曾有一个精美的由九个翡翠缳相连的银制的九连环（如图）．现假设有n 个圆环，用n a 表示按某种规则解下n 个圆环所需的最小移动次数．已知数列{}n a 满足下列条件：1*122=122(3,)n n n a a a a n n N --==+≥∈，，，记{}n a 的前项和为n S ，则：19a =________； 2100S =________．四、解答题：本题共6小题，共70分。
湖南省长郡中学、师大附中、长沙市一中联合体2021届高三12月联考 数学(含答案)
长郡中学师大附中 联考联合体2020年高三12月联考长沙一中数 学时量：120分钟满分：150 分得分一、单项选择题(本题共8 小题 ，每小题 5 分，共 40 分．在每小题 给出的 四个选项中，只有一项符合题目要求．)1.设集合A = {x |x 2- x - 2> 0} ,B ={x |0 < x < 3} , 则A ∩B =A. (0,2)B.(1,2)C. 0,3)D. (2,3)2.若i 32ia -+为纯虚数，则实数a 的值为A ．－B. －C.D. 322323323.平面向量 a = ( l , 2) ,| b |=3, a • b =－6，则向量 a , b 夹角的余弦值为A ．－ B. － C. D.5525515454.《易经》是中国文化中的精髓，右图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(——表示一根阳线， 一一表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有 1 根阳线和 2 根阴线的概率为A. B.1814C. D. 38125.已知两个变量具备线性相关性，现通过最小二乘法求回归直线方程ˆˆˆybx a =+, 将已知数据代入公式 Q =21()ni i i y bx a =--∑计算后得到的代数式为：223131223a b ab b ++-+,使上述代数式取值最小的a , b 的值即为回归方程的系数，则回归直线方程为A ˆ2yx =-+ B. ˆ2y x =--C . ˆ2y x =+ D. ˆ2yx =-6.某单位有 6 名员工，2020 年国庆节期间，决定从 6人中留 2人值班，另外 4人分别去张 家界 、南岳衡山、凤凰古城、岳阳楼旅游．要求每个景点有 1 人游览，每个人只游览一个景点 ，且这 6 个人中甲、乙不去衡山，则不同的选择方案共有A. 120 种B. 180 种C . 240 种D . 320 种7.已知数列{a n }前 n 项和为S n ，命题p : 1()2n n n a a S +=,命题q : {a n } 为等差数列 ，则p 是 q 成立的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知 A . B 分别为椭圆22:14x C y +=的 左 、右 顶 点 ，P 为椭圆 C 上一动点，PA , PB 与直线x = 3 交于 M , N 两点，△PMN 与△P A B 的外接圆的周长分别为L 1,L 2，则12L L 的最小值为A. B. C. D. 54342414二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．)9.空气质量指数大小分为五级 ．指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大．指数范围在： [0, 50]， [51, 100]， [101, 200] , [ 201, .300 ] , [ 301, 500 ] 分别对应“优”、“良”、“ 轻(中 )度 污染”、“ 中度(重)污染”、“重污染”五个等级．下面是某市连续 14 天的空气质量指数趋势图，下列说法正确的有A ． 这14 天中有 4 天空气质 量指数 为“良”B . 这 1 4天中空气 质量指数的中位数是 103C.从 2 日到 5日空气质量越来越差D.连续三天中空气质量指数方差最小的是 9日 到 11日10.设动点 P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1上(含内部)，且11D P D B λ= ，当∠APC 为锐角时，实 数λ可能的取值是A.B.1213C.D.141511.在∆ABC 中，下列说法正确的是A.若 A > B , 则 sin A > sin BB. 存在△ABC 满 足cos A + cos B ≤0C.若 s in A <cos B , 则△ABC 为钝角三角形D.若π2C > ，则22sin sin sin C A B >+12.已知220,()e e ,()()sin πx x a m x f x am x x -->=-=-，若f (x )存在唯一零点，下列说法正确的有A..m (x )在 R 上递增B .m (x )图象关于点( 2 . 0)中心对称C .任取不相等的实数x 1,x 2∈R 均有1212()()()22m x m x x x m ++<D .π2a ≥三 填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共20 分．)13.已知函数2log ,0,()22,0,x x x f x x ->⎧=⎨+⎩≤，则1(())2f f = ．! Z-'· + 2 ,.r O ,14. 某圆锥母线长为4，其侧面展开图 为半圆面，则该圆锥高为 ．15.已知三棱锥 P -ABC 外接球的表面积为 100π， PB ⊥平面ABC , PB =8，∠HAC = 120°, 则三 棱锥体积的最大值为 ．16.如图，已知F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，过点F 的直线交两渐近线于A ，B两点．若∠AOB =120°，△OAB 内切圆的半径r =则双曲线的离心率为 ．四、解答题(本题共 6 小题 ．共 70 分．解答应写 出 文字说 明、证明过程或 演算步骤．)17.( 本题满分 10 分)在①212(1)n n n S S S --+=+；②1212n n n S S a ++++=-；③1(1)n n S a n n+=-+这三个条件中任选一个，补充在下面的问 题中，并解答该问题．问题：已知数列{a n }的 前 n 项 和为 S n , a 1 = 1， ，若确定{a n }是等差数列，求{a n }的通项公式，否则，说明理由．(注： 如果选择多个条件分别解答．按第一个解答计分)18.( 本题满分 12 分)在△ABC 中，∠B =， AB =l5，点 D 在边BC 上，π3CD = l , cos ∠ADC =.126(1) 求 sin ∠BAD ;(2) 求△ABC 的面积.19.(本题满分 12 分)四棱锥 P -ABCD 的底面 ABCD 是边长为2 的菱形，∠BAD = 120°, PA ⊥底面ABCD ,P A = 2，E , F 分别是3P C ,P D 的中点．(1 ) 已知BG BC λ= , 若平面 EFG //平面PAB ,求λ的值；(2) 在(1)的条件下，求平面 EFG 与平面PCD 所成二面角的正弦值．20.( 本题满分 12 分)已知 A , B 分别 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点 ，过点 M ( 2,0)任作一条非水平直线交椭圆于 P , Q 两点，若椭圆长轴长为 8,且过点．(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 记直线 AP , BQ 的斜率分别为k 1，k 2，则12k k 是否为定值，若是，求出该定值．若不是，请说明理由．21. ( 本题满分 12 分)有编号为 1 , 2, 3 的三只小球，和编号为 1, 2 , 3 , 4 的四个盒子，将三个小球逐个随机的放入四个盒子中、每只球的放置相互独立．(1) 求三只小球恰在两个盒子中的概率；(2) 求三只小球在三个不同的盒子，且至少有两个球的编号与所在盒子编号不同的概率；(3) 记录至少有一只球的盒子．以X 表示这些盒子编号的最大值，求EX .22. ( 本题满分 12 分)已知2()e (21)e x x f x a a x =+--, a 为常数．(1) 讨论 f ( x )的单调性；(2) 若x ≥0 时，()(31)cos f x a x -≥恒成立，求实数a 的取值范围．。
湖南名校2021届高三第二次(12月)联考数学试卷
绝密★启用前湖南名校2021届高三第二次（12月）联考数学试卷学校：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.设集合{}2 2 0 ,0{|}| 3A x x x B x x =-->=<< , 则A B ⋂=（ ） A. ()0,2 B.()1,2C. (0,3)D. ()2,32.若i32ia -+为纯虚数,则实数a 的值为（ ） A.32-B.23-C.23D.323.平面向量 1,2 ,()||3,6==⋅=-a b a b ，则向量,a b 夹角的余弦值为（ ）A. B. C.15D.454.《易经》是中国传统文化中的精髓，右图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为（ ）A.18B.14 C. 38D.125.已知两个变量具备线性相关性，现通过最小二乘法求回归直线方程ˆˆˆy bx a =+, 将已知数据代入公式 Q =21()nii i ybx a =--∑计算后得到的代数式为：223131223a b ab b ++-+, 使上述代数式取值最小的,a b 的值即为回归方程的系数，则回归直线方程为（ ）A.ˆ2y x =-+B.ˆ2y x =--C.ˆ2yx =+D.ˆ2yx =- 6.某单位有 6 名员工,2020 年国庆节期间,决定从 6人中留 2人值班,另外 4人分别去张家界 、南岳衡山、凤凰古城、岳阳楼旅游.要求每个景点有 1 人游览,每个人只游览一个景点 ,且这 6 个人中甲、乙不去衡山,则不同的选择方案共有（ ） A.120种B.180种C.240种D.320种7.已知数列{}n a 前 n 项和为n S ,命题()1:2n n n a p S α+=,命题:{}n q a 为等差数列 ,则p 是 q 成立的（ ） A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知 ,A B 分别为椭圆22:14x C y +=的 左 、右顶 点 ,P 为椭圆 C 上一动点,, PA PB 与直线3x =交于 , M N 两点,PMN △与PAB △的外接圆的周长分别为12,L L ,则12L L 的最小值为（ ）D.14二、填空题9.已知函数2log ,0,()22,0,x x x f x x ->⎧=⎨+⎩≤，则1(())2f f = ．10.某圆锥母线长为4，其侧面展开图 为半圆面，则该圆锥高为 ．11.已知三棱锥 P ABC -外接球的表面积为 100π,PB ⊥平面,8 120ABC PB HAC =∠=︒，, 则三 棱锥 P ABC -体积的最大值为 ．12.如图，已知F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，过点F 的直线交两渐近线于A B ，两点．若120AOB OAB ∠=︒，△内切圆的半径r=5b-，则双曲线的离心率为 ．三、多项选择题13.空气质量指数大小分为五级 ．指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大．指数范围在：[][][][][] 0, 5051, 100101, 200 , 201, .300 , 301,500，， 分别对应“优”、“良”、“ 轻(中 )度 污染”、“ 中度(重 )污染”、“重污染”五个等级．下面是某市连续 14 天的空气质量指数趋势图，下列说法正确的有（ ）A.这14 天中有 4 天空气质 量指数 为“良”B.这 1 4天中空气 质量指数的中位数是 103C.从 2 日到 5日空气质量越来越差D.连续三天中空气质量指数方差最小的是 9日 到 11日14.设动点 P 在正方体1111ABCD A B C D -上(含内部),且11D P D B λ= ,当APC ∠为锐角时,实数λ可能的取值是（ ） A.12B.13C.14 D.1515.在ABC △中，下列说法正确的是（ ） A.若 A B >, 则 sin sin A B >B. 存在ABC △满 足cos cos 0A B +≤C.若 sin cos A B <, 则ABC △为钝角三角形D.若π2C >，则22sin sin sin C A B >+ 16.已知220,()e e ,()()sin πx x a m x f x am x x -->=-=-，若()f x 存在唯一零点，下列说法正确的有（ ）A.()m x 在 R 上递增B.()m x 图象关于点(2,0)中心对称C.任取不相等的实数12,x x R ∈ 均有1212()()()22m x m x x xm ++<D.2a π≥四、解答题17.在①212(1)n n n S S S --+=+；②1212n n n S S a ++++=-；③1(1)nn S a n n+=-+这三个条件中任选一个，补充在下面的问 题中，并解答该问题．问题：已知数列{}n a 的 前 n 项 和为 1,1n S a =， ，若确定{}n a 是等差数列，求{}n a 的通项公式，否则，说明理由．18.在ABC △中，,153B AB π∠==，点 D 在边BC 上，11,cos 26CD ADC =∠=.(1) 求 sin BAD ∠; (2) 求ABC △的面积.19.四棱锥 P ABCD - 的底面 ABCD 是边长为2 的菱形， 120,BAD PA ∠=︒⊥底面,ABCD PA=, E F 分别是,PC PD 的中点．(1 ) 已知BG BC λ=, 若平面 //EFG 平面PAB ,求l 的值；(2) 在(1)的条件下，求平面 EFG 与平面PCD 所成二面角的正弦值．20.已知 ,A B 分别 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点 ，过点()2,0M 任作一条非水平直线交椭圆于 ,P Q 两点，若椭圆长轴长为 8,且过点． (1) 求椭圆 C 的方程；(2) 记直线 ,AP BQ 的斜率分别为12k k ，，则12k k 是否为定值，若是，求出该定值．若不是，请说明理由．21.有编号为 1 , 2, 3 的三只小球，和编号为 1, 2 , 3 , 4 的四个盒子，将三个小球逐个随机的放入四个盒子中、每只球的放置相互独立． (1) 求三只小球恰在两个盒子中的概率；(2) 求三只小球在三个不同的盒子，且至少有两个球的编号与所在盒子编号不同的概率； (3) 记录至少有一只球的盒子．以X 表示这些盒子编号的最大值，求EX . 22.已知2()e (21)e x x f x a a x =+--, a 为常数．(1) 讨论()f x 的单调性；(2) 若0x ≥时，()(31)cos f x a x -≥恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案1.答案：D解析：{2A x x =>∣或1}x <-，则(2,3)A B =∩. 2.答案：C 解析：(i)(32i)(32)(23)i i 32i (32i)(32i)13a a a a ----+-==++-,则320(23)0a a -=⎧⎨-+≠⎩，所以23a =. 3.答案：B解析：cos ||||θ⋅===a b a b 4.答案：C 解析：38m p n ==. 5.答案：D解析：222231312233(2)(1)2a b ab b a b b ++-+=++-+,当2010a b b +=⎧⎨-=⎩，即21a b =-⎧⎨=⎩时上式最小，故ˆ2yx =-. 6.答案：C解析：以地点为对象，依次考虑各景点可能人数：4543240N =⨯⨯⨯=. 7.答案：C解析：若p 成立，则()12n n n a a S +=，则()111(1)2n n n a a S ++++=，两式相减得：()()1111(1)22n n n n a a n a a a +++++=-，即11(1)0n n n a na a +--+=，于是，211(1)0n n na n a a ++-++=，再将以上两式相减得：2120n n n na na na ++-+=， 即2120n n n a a a ++-+=，所以{}n a 为等差数列，故命题q 成立；而q 成立，p 显然成立. 8.答案：A解析：容易知道14PA PB k k ⋅=-，设1:(2),:(2)4PA PB l y k x l y x k=+=--，令3x =得15,4M N y k y k ==-，不妨设0k >，则154MN k k=+，设PMN △和PAB △外接圆的半径分别为12,r r ，由正弦定理得122,2sin sin MN ABr r MPN APB ==∠∠，又180MPN APB ︒∠+∠=，所以111222125524424k k L r r MN kL r r ABππ⋅+=====9.答案：4解析：(1)2111log 1,(1)224222f f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 10.答案：解析：圆锥底面半径2,r h ===11.答案：解析：设ABC △三边的长分别为11,,,sin120832a b c V bc ︒=⋅⋅=，设球的半径为R ，由24100R π=π，得225R =，设ABC △外接圆的半径为r ，由正弦定理得2sin120a r ︒=，即222,425r R ⎫==+⎪⎪=⎝⎭，所以22272cos120a b c bc ︒==+-⋅，即222723b c bc bc bc bc =+++=，故23239,963bc V bc =⨯=，当且仅当3b c ==时取等号. 12.解析：由焦点F 到渐近线的距离为,120b OAB ︒∠=知AF =， 在OAF △中，由余弦定理得2222cos120OF OA AFOA AF ︒=+-⋅⋅⋅，即2222cos120c OA OA ︒⎫=+-⋅⋅⎪⎪⎝⎭，解得OA a =-， 设OAB △内心为M ，作MN OA ⊥于N ，显然60,MAO MN r ︒∠===， 则AN ==ON OA AN a=-=-，tan MNMON ON ∠===b e a ==. 13.答案：ACD解析：14天中有：1日，3日，12日，13日空气质量指数为良，共4天，故A 对； 14天中的中位数为86121103.52+=，故B 错误；从2日到5日空气质量指数越来越高，故空气质量越来越差，故C 对；D 答案显然成立. 14.答案：CD解析：设1,AP x D P t ==，设正方体的棱长为1，则AC APC △中，由余弦定理得2222221cos 2x x x APC x x +--∠==，若APC ∠为锐角，则2210x x ->，则21x >，在1AD P △中，11cos AD AD P =∠=2222x t t =+-⋅于是2221t t +->，即2330t -+>，解之得：t >t <，由1D B =1λ>（舍）或103λ<<.15.答案：ACD 解析： 16.答案：ABD 解析：17.答案：若选①，由()2121n n n S S S --+=+成立，则必须n ≥3， 此时1122n n n n S S S S ----=-+，即12(3)n n a a n -=+， 这只能说明数列{}n a 从第2项开始构成等差数列， 数列通项公式无法确定。
2021-2022学年湖南五市十校教研教改共同体高三(上)第二次大联考数学试卷(12月份)(附详解)
2021-2022学年湖南省五市十校教研教改共同体高三（上）第二次大联考数学试卷（12月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知复数z满足(3−4i)z=25，则z对应的点位于复平面的()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.若sin(α+π6)=35，则sin(2α−π6)=()A. 725B. 2425C. −725D. −24253.(x3+2)(2x−1x2)6的展开式中常数项为()A. 80B. 160C. 240D. 3204.已知a=21.3，b=40.7，c=ln6，则a，b，c的大小关系为()A. a<b<cB. b<c<aC. c<a<bD. c<b<a5.若不等式ae x−lnx+lna≥0恒成立，则a的取值范围是()A. [1e ,+∞) B. [2e,+∞) C. [e2,+∞) D. [e,+∞)6.集合A={x∈N|−1<x≤4}，B={−1,1,3}，则A∩B等于()A. {−1,1,3}B. {1,3}C. {0,1,2,3,4}D. (−1,4]7.函数f(x)=(x3+3x)cosx的部分图象是()A.B.C.D.8. 骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A(前轮)，圆D(后轮)的直径均为2，△ABE ，△BEC ，△ECD 均是边长为2的等边三角形．设点P 为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A. 12B. 2√3C. 6+2√3D. 12+2√3二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知向量a ⃗ =(1,√3)，b ⃗ =(√3,t)，则下列说法正确的是( )A. 若a ⃗ //b ⃗ ，则t =3B. 若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则t =−1C. 若a⃗ 与b ⃗ 的夹角为120°，则t =0或t =−3 D. 若a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为锐角，则t >−110. 早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称a+b2为正数a，b的算术平均数，√ab为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式√ab≤a+b2(a>0,b>0)叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是()A. 若ab=4，则a+b≥4B. 若a>0，b>0，则(a+2b)(1a +1b)最小值为4√2C. 若a，b∈(0,+∞)，2a+b=1，12a +1b≥4D. 若实数a，b满足a>0，b>0，a+b=4，则a2a+1+b2b+1的最小值是8311.已知函数f(x)=−2sin2x+sin2x+1，则()A. f(x)的图象可由y=√2sin2x的图象向右平移π8个单位长度得到B. f(x)在(0,π8)上单调递增C. f(x)在[0,π]内有2个零点D. f(x)在[−π2,0]上的最大值为√212.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，F在侧面CDD1C1上运动，且满足B1F//平面A1BE.以下命题正确的有()A. 点F的轨迹长度为√2B. 直线B1F与直线BC所成角可能为45°C. 平面A1BE与平面CDD1C1所成锐二面角的正切值为2√2D. 过点E，F，A的平面截正方体所得的截面面积最大为2√6三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f(x)=e xx+k(lnx−x)，若f′(x)存在唯一零点，则k的最大值为______．14.已知F1，F2分别为双曲线x22−y26=1的左、右焦点，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点(其中点A位于第一象限)，圆C与△AF1F2内切，半径为r，则r的取值范围是______．15.在等差数列{a n}中，a4=0，如果a k是a8与a k+8的等比中项，那么k=______．16.生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“五经”是儒家典籍《周易》、《尚书》、《诗经》、《礼记》、《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校在周末兴趣活动中开展了“五经”知识讲座，每经排1节，连排5节，则满足《诗经》必须排在后2节，《周易》和《礼记》必须分开安排的情形共有______种．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.新型冠状病毒肺炎，简称“新冠肺炎”，是指2019新型冠状病毒感染导致的肺炎．某定点医院对来院就诊的发热病人的血液进行检验，随机抽取了1000份发热病人的血液样本，其中感染新型冠状病毒的有200份，以频率作为概率的估计值．(1)某时间段内来院就诊的5名发热病人中，恰有3人感染新型冠状病毒的概率是多少？(2)治疗重症病人需要使用呼吸机，若该呼吸机的一个系统G由3个电子元件组成，，且每个电子元件能否正常工作相互独各个电子元件能否正常工作的概率均为12立．若系统G中有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作．为提高G系统正常工作概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p(0<P<1)，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作，问：p满足什么条件时，可以提高整个G系统的正常工作概率？=bsinA．18.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A+C2(1)求B；(2)若2a+c=8，且△ABC的面积为2√3，求△ABC的周长．19.若f(x)=12x2+bx+2alnx．(1)当a>0，b=−a−2时，讨论函数f(x)的单调性；(2)若b=−2，且f(x)有两个极值点x1，x2，证明：f(x1)+f(x2)>−3．20.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点(−1,√32)，且焦距为2√3．(1)求椭圆E的方程；(2)P为椭圆C上一点，F1，F2分别为椭圆E的左、右焦点，射线PF1，PF2分别交椭圆C于点A，B，试问|PF1||AF1|+|PF2||BF2|是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21.在①a4是a3与a5−8的等差中项；②S2，S3+4，S4成等差数列中任选一个，补充在下列横线上，并解答．在公比为2的等比数列{a n}中，S n为数列{a n}的前n项和，若_____．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n =(n +1)log 2a n ，求数列{1b n}的前n 项和T n ．22. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点M 在棱PC 上，且PB ⊥DM ，PA =AB =3． (1)证明：EF//平面PAB ；(2)求DM 与平面BEF 所成角的正弦值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：复数z满足(3−4i)z=25，可得z=253−4i =25(3+4i)(3−4i)(3+4i)=3+4i.对应点为：(3,4)，在第一象限．故选：A．求出复数z，得到对应点的坐标即可判断选项．本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∵sin(α+π6)=35，∴cos(2α+π3)=1−2sin2(α+π6)=1−2×925=725，∴sin(2α−π6)=sin[(2α+π3)−π2]=−cos(2α+π3)=−725．故选：C．根据已知条件，结合二倍角公式，以及诱导公式，即可求解．本题主要考查二倍角公式，以及诱导公式，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：(2x−1x2)6的展开式的通项T r+1=C6r⋅(−1)r26−r x6−3r(r=0,1,2,3,4,5,6)，令6−3r=−3，可得r=3，令6−3r=0，可得r=2，所以(x3+2)(2x−1x2)6的展开式中常数项为C63(−1)3⋅23+2C62(−1)224=320．故选：D．求出(2x−1x2)6的展开式的通项公式，即可求解．本题主要考查二项式定理的应用，考查二项展开式的通项公式，特定项的求法，考查运算求解能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵c=ln6<2<a=21.3<b=40.7=21.4，∴c<a<b．故选：C．由c=ln6<2<a=21.3<b=40.7=21.4，即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：设f(x)=ae x−lnx+lna，则x>0，a>0，∴f′(x)=ae x−1x，易知f′(x)在(0,+∞)上为增函数，存在x0∈(0,+∞)，使得f′(x0)=ae x0−1x=0，即ae x0=1x，两边取对数，可得lna+x0=−lnx0，当0<x<x0时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x>x0时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，∴f(x)min=f(x0)=ae x0−lnx0+lna=1x0+x0+2lna，∵不等式ae x−lnx+lna≥0恒成立，∴1x0+x0+2lna≥0恒成立，∴1x0+x0≥−2lna恒成立，∵1x0+x0≥2√x0⋅1x0=2，当且仅当x0=1时取等号，∴−2lna≤2，即a≥1e，故a的取值范围是[1e,+∞)．故选：A．构造函数f(x)=ae x−lnx+lna，先求导，判断导函数的单调性，即可求出函数f(x)的最小值，根据基本不等式即可求出a的取值范围．本题考查了导数和函数单调性，以及导数和函数的最值的关系，考查了函数恒成立，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题．6.【答案】B【解析】解：集合A={x∈N|−1<x≤4}={0,1,2,3,4}，B={−1,1,3}，∴A∩B={1,3}．故选：B．利用交集定义直接求解．本题考查交集定义的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】B【解析】解：对于函数f(x)=(x3+3x)cosx，设g(x)=x3+3x，ℎ(x)=cosx，由于函数g(−x)=−g(x)，ℎ(−x)=ℎ(x)，故函数g(x)为奇函数，函数ℎ(x)为偶函数，故f(x)为奇函数，故排除C、D，当x=0时，f(0)=0，当0<x<π时，f(x)>0，故排除A；2故选：B．直接利用排除法和函数奇偶性的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：排除法，函数的性质单调性和奇偶性，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：以D为坐标原点，AD为x轴，过D作AD的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(−4,0)，B(−3,√3)，C(−1,√3)，圆D 的方程为x 2+y 2=1，可设P(cosα,sinα)， ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosα+4,sinα)，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−√3)， ∴AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3×(cosα+4)−√3sinα=3cosα−√3sinα+12=2√3cos(α+π6)+12， ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为12+2√3． 故选：D ．以D 为坐标原点，AD 为x 轴，过D 作AD 的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A(−4,0)，B(−3,√3)，C(−1,√3)，圆D 的方程为x 2+y 2=1，可设P(cosα,sinα)，从而AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosα+4,sinα)，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−√3)，由此能求出AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值． 本题考查向量的数量积的最大值的求法，考查坐标法求向量的数量积、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9.【答案】AB【解析】解：向量a ⃗ =(1,√3)，b ⃗ =(√3,t)，对于A ，若a ⃗ //b ⃗ ，则√3=√3t，解得t =3，故A 正确；对于B ，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则1×√3+√3t =0，解得t =−1，故B 正确； 对于C ，若a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为120°，则cos120°=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b⃗ |=√3+√3t2√3+t 2=−12，解得t =−3，故C 错误；对于D ，若a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为锐角，则a ⃗ ⋅b ⃗ >0，且a ⃗ ,b ⃗ 不共线， 解得t >−1且t ≠3，故D 错误． 故选：AB ．利用向量平行、向量垂直、向量夹角余弦公式直接求解．本题考查命题真假的判断，考查向量平行、向量垂直、向量夹角余弦公式等基础知识，考查空间想象能力，是基础题．10.【答案】CD【解析】解：对于A，若a=−2，b=−2，则a+b=−4<4，故A错误；对于B，∵a>0，b>0，∴ab>0，∴(a+2b)(1a +1b)=3+ab+2ba≥3+2√ab⋅2ba=3+2√2，(当目仅当ab =2ba，即a=√2b时取等号)，即(a+2b)(1a +1b)的最小值为3+2√2，故B错误；对于C，∵a，b∈(0,+∞)，∴ab >0,ba>0．又2a+b=1，∴12a +1b=(12a+1b)(2a+b)=2+b2a+2ab≥2+2√b2a⋅2ab=4，(当且仅当b2a =2ab，即b=2a=12时取等号)，故C正确；对于D，令a+1=m>1，b+1=n>1，则m+n=6，∴a2a+1+b2b+1=(m−1)2m+(n−1)2n=m+n+1m+1n−4=2+1m+1n=2+6mn≥2+6(m+n2)2=83，(当且仅当m=n=3时取等号)，即a2a+1+b2b+1的最小值是83，故D正确．故选：CD．通过反例可知A错误；根据基本不等式“1“的应用可求得BC正误；令a+1=m>1，b+1=n>1，将所求式子化为2+6mn，利用基本不等式可知D正确．本题考查基本不等式的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．11.【答案】BC【解析】解：函数f(x)=−2sin2x+sin2x+1=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π4)，对于A，y=√2sin2x的图象向右平移π8个单位长度得到y=√2sin2(x−π8)=√2sin(2x−π4)，故A错误；对于B，x∈(0,π8)时，2x+π4∈(π4,π2)，所以f(x)在(0,π8)上单调递增，故B正确；对于C，令f(x)=0，可得sin(2x+π4)=0，又x∈[0,π]，则x=3π8或x=7π8，故C正确；对于D，x∈[−π2,0]时，2x+π4∈[−3π4,π4]，sin(2x+π4)∈[−1,√22]，所以(x)在[−π2,0]上的值域为[−√2,1]，故f(x)在[−π2,0]上的最大值为1，故D错误．故选：BC．利用三角恒等变化化简f(x)=√2sin(2x+π4)，再利用函数图象的平移变换，正弦函数的性质逐一判断即可．本题主要考查三角恒等变换，函数图象的平移变换，正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．12.【答案】ACD【解析】解：对于A，取CC1和C1D1的中点分别为N，M，连接B1M，B1N，MN，则MN//CD1//BA1，B1N//A1E，B1N∩MN=N，BA1∩A1E=A1，B1N，MN⊂平面B1MN，BA1，A1E⊂平面A1BE，所以平面B1MN//平面A1BE，因为F在侧面CDD1C1上运动，且满足B1F//平面A1BE，所以点F在线段MN上，故点F运动的轨迹长度为MN=12CD1=√2，故选项A正确；对于B，因为B1C1//BC，则B1F与直线B1C1所成的角即为B1F于直线BC所成的角，所以∠C1B1F即为异面直线所成的角，在Rt△C1B1F中，tan∠C1B1F=C1FC1B1，因为正方体的棱长为2，在Rt△C1B1F中，tan∠C1B1F=C1FC1B1=C1F，若所成的角为45°，则C1F=2，又C1F的最大值为C1M=C1N=1，矛盾，所以所成的角不可能为45°，故选项B错误；对于C，因为平面B1MN//平面A1BE，所以平面A1BE与平面CDD1C1所成的锐二面角，即为平面B1MN与平面CDD1C1所成的锐二面角，因为平面B1MN∩平面CDD1C1=MN，B1M=B1N=√5，C1M=C1N=1，当F为线段MN的中点，可得B1F⊥MN，C1F⊥MN，故∠B1FC1即为二面角的平面角，且C1F=12MN=√22，B1C1=2，所以tan∠B1FC1=B1C1C1F=√22=2√2，故选项C正确；对于D，当F为C1E与MN的交点时过点E，F，A的平面截正方体所得的截面面积最大，取BB1的中点P，因为C1E//AP，C1E=AP，则截面APC1E为菱形，所以AC1=2√3，PE=2√2，其面积为12⋅AC1⋅PE=12×2√3×2√2=2√6，故选项D正确．故选：ACD．先证明平面B1MN//平面A1BE，确定点F在线段MN上，求解即可判断选项A，利用异面直线所成的角的定义，假设所成的角为45°，即可推出矛盾，即可判断选项B，利用二面角的定义确定所成的求解，即可判断选项C，确定当F为C1E与MN的交点时过点E，F，A的平面截正方体所得的截面面积最大，求解即可判断选项D．本题以命题的真假判断为载体，考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，空间角的计算等知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，属于中档题．13.【答案】e【解析】解：由f(x)=e xx +k(lnx−x)，得f′(x)=xe x−e xx2+kx−k=(e x−kx)(x−1)x2，∵f′(x)存在唯一零点，∴x=1是y=f′(x)的唯一零点，则g(x)=e x−kx在(0,+∞)上无变号零点，g′(x)=e x−k，当k≤0时，g′(x)>0恒成立，g(x)在(0,+∞)上是单调递增的，g(x)的最小值为g(0)=1，g(x)=0无解，符合题意；k>0时，g′(x)=0有解为x=ln(k)，当0<x<ln(k)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x>ln(k)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，∴g(x)的最小值为g(ln(k))=k−kln(k)，则k−kln(k)≥0，∴0<k≤e．∴k的最大值为e．故答案为：e．求出原函数的导函数，问题转化为g(x)=e x−kx在(0,+∞)上无变号零点，利用导数求其最小值，再由最小值大于等于0可得k的最大值．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点与方程根的关系，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．14.【答案】(√63,√6)【解析】解：由双曲线的方程可知，实半轴长为a=√2，虚半轴长为b=√6，F2(c,0)且c=2√2，设圆C与△AF1F2分别切于点M，N，E，如图所示，由圆的切线性质可知，AN=AM，F 1N =F 1E ，F 2M =F 2E ，由双曲线的定义可知，AF 1−AF 2=2a =F 1N −F 2M ，即F 1E −F 2E =2a ， 设E(x 0,0)，则x 0+c −(c −x 0)=2a ，解得x 0=a ， 由切线性质可知，点C 与点E 横坐标都为a ，由三角形内切圆的性质可知，CF 2为∠AF 2F 1的角平分线， 设直线AB 的倾斜角为θ， 则∠CF 2E =π−θ2，因为EF 2=c −a =√2，所以r =CE =EF 2⋅tan∠CF 2E =(c −a)tan(π−θ2)=√2⋅1tanθ2，因为双曲线线x 22−y 26=1的渐近线为y =±√3x ，则其倾斜角分别为60°和120°，又直线AB 与双曲线的右支交于点A ，B 两点， 所以直线AB 的倾斜角θ的取值范围为(π3,2π3)，则θ2∈(π6,π3)， 所以tan θ2∈(√33,√3)，则r =CE =√2⋅1tan θ2∈(√63,√6)，所以r 的取值范围是(√63,√6)．设圆C 与△AF 1F 2分别切于点M ，N ，E ，利用圆的切线性质和双曲线的定义求出点E ，同时可得CF 2为∠AF 2F 1的角平分线，设直线AB 的倾斜角为θ，表示出r ，结合双曲线渐近线的倾斜角可确定θ的取值范围，由此可得r 的取值范围．本题考查了直线与双曲线位置关系的应用，双曲线标准方程的理解与应用，双曲线几何性质的应用以及直线倾斜角定义的理解与应用，正切函数单调性的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．15.【答案】12【解析】解：∵在等差数列{a n }中，a 4=0， ∴a 1+3d =0，∴a 1=−3d ，∵a k 是a 8与a k+8的等比中项，∴a k 2=a 8⋅a k+8，即[a 1+(k −1)d]2=(a 1+7d)[a 1+(k +7)d]，∴[(k −4)d]2=4d ⋅(k +4)d ， 解得k =0(舍)或k =12． 故答案为：12．在等差数列{a n }中，a 4=0，求出a 1=−3d ，由a k 是a 8与a k+8的等比中项，得到[(k −4)d]2=4d ⋅(k +4)d ，由此能求出结果．本题考查实数值的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】28【解析】解：当《诗经》位于第5节时，《周易》和《礼记》相邻有3种情形，且《周易》和《礼记》排序有A 22种，剩下的排序也有A 22种， 因此满足条件的情形有A 44−C 31A 22A 22种；当《诗经》位于第4节时，《周易》和《礼记》相邻有2种情形，《周易》和《礼记》排序有A 22种，剩下的排序也有A 22种， 此时满足条件的情形有A 44−C 21A 22A 22种，所以满足条件的情形共有A 44−C 31A 22A 22+A 44−C 21A 22A 22=28种．故答案为：28．由《诗经》必须排在后2节，分两种情况分别计算．本题考查排列组合知识的应用，考查学生的应用意识及数学运算．17.【答案】解：(1)某定点医院对来院就诊的发热病人的血液进行检验，随机抽取了1000份发热病人的血液样本，其中感染新型冠状病毒的有200份， 以频率作为概率的估计值，每名发热病人感染新型冠状病毒的概率为：2001000=15， ∴某时间段内来院就诊的5名发热病人中，恰有3人感染新型冠状病毒的概率是：P =C 53×(15)3×(45)2=32625．(2)当系统G 有5个电子元件时，原来3个电子元件中至少有1个元件正常工作，G 系统的才正常工作． 若前3个电子元件中有1个正常工作，同时新增的两个必须都正常工作，则概率为C 31⋅12⋅(12)2⋅p 2=38p 2； 若前3个电子元件中有两个正常工作，同时新增的两个至少有1个正常工作，则概率为C 32⋅(12)2⋅12⋅C 21⋅p ⋅(1−p)+C 32⋅(12)2⋅12p 2=38(2p −p 2)； 若前3个电子元件中3个都正常工作，则不管新增两个元件能否正常工作，系统G 均能正常工作，则概率为C 33⋅(12)3=18． 所以新增两个元件后系统G 能正常工作的概率为38p 2+38(2p −p 2)+18=34p +18， 于是由34p +18−12=38(2p −1)知，当2p −1>0时，即12<p <1时， 可以提高整个G 系统的正常工作概率．【解析】(1)估计每名发热病人感染新型冠状病毒的概率为：2001000=15，利用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次概率计算公式能求出某时间段内来院就诊的5名发热病人中，恰有3人感染新型冠状病毒的概率．(2)按照原来和后来增加的原件中正常工作的个数分类讨论，利用独立重复试验的概率公式计算可得．本题考查概率的求法及应用，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算能力，是中档题．18.【答案】解：(1)∵A ，B ，C 为△ABC 的内角，∴A +C =π−B ， 则sinA+C 2=sinπ−B 2=cos B2，∵asinA+C 2=bsinA ，∴sinAcos B2=sinBsinA ， ∵sinA ≠0，∴cos B2=sinB =2sin B2cos B2， ∵0<B 2<π2，∴sin B2=12，解得B =π3．(2)由题意可得，S △ABC =12ac ⋅√32=2√3，∴ac =8①，∵2a +c =8②，∴联立①②可得，a =2，c =4，由余弦定理可得，b 2=a 2+c 2−2ac ⋅cosB =22+42−2×2×4×12=12，解得b =2√3，故△ABC 的周长a +b +c =2+2√3+4=6+2√3．【解析】(1)根据已知条件，结合正弦定理，以及三角函数的诱导公式，即可求解． (2)根据已知条件，结合余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解． 本题主要考查正余弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)因为f(x)=12x 2+bx +2alnx ．当a >0，b =−a −2时，f′(x)=x −a −2+2a x=x 2−(a+2)x+2ax=(x−a)(x−2)x(x >0)，令f′(x)=0，解得x =a 或2，当a >2时，则当0<x <2或x >a 时，f′(x)>0，当2<x <a 时，f′(x)<0， 即函数f(x)在(0,2)，(a,+∞)上单调递增，在(2,a)上单调递减， 当a =2时，f′(x)=(x−2)2x>0，故函数在(0,+∞)上单调递增，当0<a <2时，当0<x <a 或x >2时，f′(x)>0，当a <x <2时，f′(x)<0， 即函数f(x)在(0,a)，(2,+∞)上单调递增，在(a,2)上单调递减； 证明：(2)当b =−2时，f′(x)=x −2+2a x=x 2−2x+2ax(x >0)，因为函数有两个极值点，所以方程x²−2x +2a =0有两个正根x 1，x 2， 则{x 1+x 2=2x 1x 2=2a >0，且Δ=4−8a >0，解得0<a <12， 由题意得f(x 1)+f(x 2)=12x 1²−2x 1+2alnx 1+12x 2²−2x 2+2alnx 2 =12(x 1²+x 2²)−2(x 1+x 2)+2alnx 1x 2 =12(x 1+x 2)²−x 1x 2−2(x 1+x 2)+2alnx 1x 2=2aln2a −2a −2，令ℎ(a)=2aln2a −2a −2，(0<a <12)，则ℎ′(a)=2ln2a <0， 所以y =ℎ(a)在(0,12)上单调递减， 所以ℎ(a)>ℎ(12)=−3，即f(x 1)+f(x 2)>−3．【解析】(1)首先求出函数的导函数，再对a 分类讨论，分别求出函数的单调区间； (2)首先求出函数的导函数，依题意方程x²−2x +2a =0有两个正根x 1，x 2，利用韦达定理得到不等式组，即可求出a 的取值范围，从而得到f(x 1)+f(x 2)=2aln2a −2a −2，再令ℎ(a)=2aln2a −2a −2，利用导数说明函数单调性，即可得证．本题考查导数的综合应用，利用导数证明不等式，含参分类讨论求函数的单调区间，属于难题．20.【答案】解：(1)因为椭圆的焦距为2√3，所以c 2=a 2−b 2=(2√32)2=3，又点(−1,√32)在椭圆上，所以1a 2+34b 2=1， 解得a =2，b =1， 故椭圆E 的标准方程为x 24+y 2=1；(2)①当点P 在x 轴上，由对称性不妨设点P(−2,0)，此时A ，B 两点重合， 则|PF 1|=|F 2B|=2−√3，|AF 1|=|PF 2|=2+√3， 故|PF 1||AF 1|+|PF 2||BF 2|=14；②当点P 不在x 轴上，由对称性不妨设P(x 0,y 0)，y 0>0，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 3)， 则直线PA 的方程为y =0x+√3+√3)，联立方程组{x =x 0+√3y 0y −√3x 2+4y 2=4，可得(x 0+√3y 0y −√3)2+4y 2−4=0，又x 02+4y 02=4，故7+2√3x 0y 02y 2−2√3(x 0+√3)y 0y −1=0，由韦达定理可得，y 0y 1=027+2√3x ，故y 1=07+2√3x ， 同理可得y 2=07−2√3x ，则|PF 1||AF 1|+|PF 2||BF 2|=|y 0y 1|+|yy 2|=|7+2√3x 0|+|7−2√3x 0|=7+2√3x 0+7−2√3x 0=14．【解析】(1)利用焦距求出c的值，由点在椭圆上，建立关于a，b的方程组，求解即可；(2)分点P在x轴上和点P不在x轴上两种情况，设P(x0,y0)，y0>0，A(x1,y1)，B(x2,y3)，设直线PA的方程，联立方程组，利用韦达定理分别求出y1，y2，再表示出|PF1||AF1|+|PF2||BF2|，化简求值即可．本题考查了椭圆标准方程的求解，直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．21.【答案】解：(1)选①：因为a3，a4，a5−8成等差数列，所以2a4=a3+a5−8，所以16a1=4a1+16a1−8，解得a1=2，所以a n=2n．选②：因为S2，S3+4，S4成等差数列，所以2(S3+4)=S2+S4，即2(a1(1−23)1−2+4)=a1(1−22)1−2+a1(1−24)1−2，所以14a1+8=18a1，解得a1=2，所以a n=2n；(2)因为a n=2n，所以b n=(n+1)log2a n=(n+1)log22n=n(n+1)，所以1b n =1n(n+1)=1n−1(n+1)，所以T n=(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1(n+1))=(1−12+12−13+⋯+1n−1(n+1))=1−1n+1=nn+1．【解析】(1)若选①根据等差中项的性质及等比数列的通项公式得到方程，求出a1，即可得到数列的通项公式；若选②根据等差中项的性质及等比数列的前n项和公式得到方程，求出a1，即可得到数列的通项公式；(2)由(1)可得b n =n(n +l)，即可得到1b n 的通项公式，再利用裂项相消法计算可得． 本题考查等差数列和等比数列的综合应用，考查学生的综合能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)证明：取PA 上一点N ，使PA =3PN ，连接FN ，NB ，如图：因为PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以NF//AD 且NF =13AD ， 由CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以NF//BE 且NF =BE ，所以四边形BEFN 为平行四边形， 所以EF//BN ，又BN ⊂面PAB ，所以EF//平面PAB ，(2)因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，所以PA ⊥AB ，∵底面ABCD 为正方形，所以AD ⊥AB ，AB ∩PA =A ，∴AD ⊥面PAB ，又PB ⊂面PAB ，所以AD ⊥PB ，又因为PA =PB ，所以取PB 中点Q ，连接AQ ，MQ ，MD ，如图，∴AQ ⊥PB ，AQ ∩AD =A ，所以PB ⊥面AQD ，因为DM ⊥PB ，所以M 在面AQD 内，又因为点M 在棱PC 上，所以M 为PC 中点， 以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，B(3,0,0)，E(3,1,0)，D(0,3,0)，F(0,1,2)，M(32,32,32)，设面BEF 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,1,2)，DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,−32,32)，{n ⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{y =0−3x +y +2z =0，不妨令x =2，则z =3，所以面BEF 的一个法向量为n⃗ =(2,0,3)， cos <n ⃗ ⋅DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=3+92√4+9×√94×3=5√3939，所以DM 与平面BEF 所成角的正弦值为5√3939．【解析】(1)取PA 上一点N ，使PA =3PN ，连接FN ，NB ，由PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可证明出四边形BEFN 为平行四边形，即可求证；(2)由题可先证明出平面AQD ⊥PB ，进而得到点M 与A ，Q ，D 三点共面，所以得到M 为PC 中点，再以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可．本题考查了空间中线面平行的判定，考查了直线与平面所成角，属于中档题．。
2021年高三上学期12月联考试题 数学 含答案
2021年高三上学期12月联考试题 数学 含答案一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．已知集合{1,3},{0,1,},{0,1,3},A B a A B a ==⋃==则 ▲ ．2．如果复数为纯虚数，则= ▲ ． 3．如右图程序运行的结果是 ▲ ．4．小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面． 他把4枚硬币叠成一摞（如右图），则所有相邻两枚硬币中 至少有一组同一面不相对的概率是 ▲ ．5．甲､乙两个样本数据的茎叶图（如右图），则甲､乙两样 本方差中较小的一个方差是 ▲ ． 6．已知三个球的半径、、满足， 记它们的表面积分别为、、，若， 则 ▲ ．7．经过函数上一点引切线与轴、轴分别交于点和点，为坐标原点,记的面积为,则= ▲ ． 8．函数f(x)＝Asin (ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A>0，ω>0)的图象如右图所示，若，则= ▲ ．9．在△ABC 中，所对边的长分别为a ，b ，c ． 已知a ＋2c ＝2b ，sinB ＝2sinC ，则＝ ▲ ．10．如右图，线段的长度为，点分别在轴的正半轴和轴的正半轴上滑动，以线段为一边，在第一象限内作等边三角形，为坐标原点，则的取值范围是 ▲ ．11．已知动圆与直线相切于点，圆被轴所截得的弦长为，则满足条件的所有圆的半径之积是 ▲ ． 12．已知函数，则不等式的解集为 ▲ ．(第10题图 )BO CAy x(第4题图 )(第8题图 )（第3题WhileEnd WhilePrint b(第5题图)13．集合{}1007*(,)(1)(2)()6,,A m n m m m n m Z n N =++++++=∈∈，则集合中的元素个数为 ▲ ． 14．实数，满足如果它们的平方组成公差的等差数列，当 取最小值时，= ▲ ．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点的坐标为，点的坐标为，其中，设（为坐标原点）. （Ⅰ）若，为的内角，当时，求的大小；（Ⅱ）记函数的值域为集合，不等式的解集为集合.当时，求实数的最大值.16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为A 1C 1，BB 1的中点，B 1C ⊥AB ，侧面BCC 1B 1为菱形．求证：（Ⅰ）DE ∥平面ABC 1； （Ⅱ）B 1C ⊥DE ．17．（本小题满分14分）某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前个月的需求总量（万吨）与的函数关系为，若区域外前4个月的需求总量为20万吨．（Ⅰ）试求出当第个月的石油调出后，油库内储油量（万吨）与的函数关系式；（Ⅱ）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定的取值范围．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆：的离心率为，且右焦点F 到左准线l 的距ABCDA 1B 1C 1E离为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）（1）设椭圆上的任一点，从原点向圆引两条切线，设两条切线的斜率分别为，当为定值时求的值；（2）在（1）的条件下，当两条切线分别交椭圆于时，试探究是否为定值，若是，求出其值；若不是，请说明理由． 19．（本小题满分16分）设函数．（Ⅰ）若，函数在的值域为，求函数的零点； （Ⅱ）若，，．（1）对任意的,恒成立, 求实数的最小值； (2)令,若存在使得,求实数的取值范围.20．（本小题满分16分）已知数列为等差数列，，的前和为，数列为等比数列，且2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+对任意的恒成立.（Ⅰ）求数列、的通项公式；（Ⅱ）是否存在非零整数，使不等式112111(1)(1)(1)cos 2n n a a a a πλ+--⋅⋅⋅⋅⋅⋅-<对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.（Ⅲ）各项均为正整数的无穷等差数列，满足，且存在正整数k ，使成等比数列，若数列的公差为d ，求d 的所有可能取值之和．高三数学附加题 xx.12.1821．（选修4－2 矩阵与变换）（本小题满分10分）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．22．（选修4－4 坐标系与参数方程）（本小题满分10分）在极坐标系中，直线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数），求直线与曲线的交点P 的直角坐标.23．（本小题满分10分）抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记底面上所得的数字分别为x ，y ．记表示的整数部分，如：，设为随机变量，． （Ⅰ）求概率；（Ⅱ）求的分布列，并求其数学期望．24．（本小题满分10分）数学运算中，常用符号来表示算式，如=，其中，. （Ⅰ）若，，，…，成等差数列，且，公差，求证：； （Ⅱ）若，，记，且不等式对于恒成立，求实数的取值范围.高三数学质量检测参考答案 xx.12.18一、填空题：1． 3 2． 3． 96 4． 5．23 6． 7． 8． 9．2410． 11． 12． 13． xx 14． 二、解答题：15．解：(Ⅰ)由题意()⎪⎭⎫⎝⎛+=+=+=⋅=32sin 22cos 32sin cos 3sin πωωx x x x x ON OM x f 3分当时，，75130,2,2333366A A A πππππππ<<∴<+<∴+=或， . ……7分（Ⅱ）由()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=3sin 2cos 3sin πωωωx x x x f 得，的值域， ……10分 又的解为，故要使恒成立，只需，所以的最大值为2. ……14分16．解：（Ⅰ）如图，取AA 1的中点F ，连DF ，FE ． 又因为D ，E 分别为A 1C 1，BB 1的中点， 所以DF ∥AC 1，EF ∥AB ．因为DF 平面ABC 1，AC 1平面ABC 1，故DF ∥平面ABC 1． ……3分 同理，EF ∥平面ABC 1．因为DF ，EF 为平面DEF 内的两条相交直线，所以平面DEF ∥平面ABC 1． ……5分 因为DE 平面DEF ，所以DE ∥平面ABC 1． ……7分 （Ⅱ）因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1为菱形， 故B 1C ⊥BC 1． ……9分又B 1C ⊥AB ，且AB ，BC 1为平面ABC 1内的两条相交直线，所以B 1C ⊥平面ABC 1． ……12分 而平面DEF ∥平面ABC 1，所以B 1C ⊥平面DEF ，因为DE 平面DEF ，所以B 1C ⊥DE ． ……14分 17．解：（Ⅰ）由条件得，所以 2分，（）． ……4分 （Ⅱ）因为，所以()*100116,1030mx x x x mx x ⎧+--≥⎪≤≤∈⎨+--≤⎪⎩N 恒成立， ……6分()*101116,201m x x x m x ⎧≥-++⎪⎪⇒≤≤∈⎨⎪≤++⎪⎩N 恒成立， ……8分 设，则：，恒成立， ……10分由221711010110()1224m t t t t ⎛⎫≥-++=--+≤≤ ⎪⎝⎭恒成立得（时取等号）， 恒成立得（时取等号）． ……13分答：的取值范围是． ……14分 18．解：（Ⅰ）依题意，，解得则，所以椭圆的方程为． ……4分 （Ⅱ）（1）依题意，两条切线方程分别为，11由,化简得， 同理．所以是方程的两个不相等的实数根， . ……7分 因为，所以，所以.据,为定值得：. ……10分 （2）由（1）得，，设,则,所以，因为，所以， ……13分 所以，所以，，所以． ……16分 19．解：（Ⅰ）当时，① 若，则恒成立，函数单调递减， 又函数在的值域为，，此方程无解．……2分② 若，则．（i ）若，即时，，此方程组无解； （ii ），即时，，所以c=3； （iii ），即时，，此方程无解．由①、②可得，c=3．的零点为：． ……6分 (Ⅱ) 由，得：，， ……7分 又，对任意的,恒成立．当时，， ……8分 又时，对任意的,))2221)12121x x x ⎡⎤-+=-⎣⎦，即时，，实数的最小值是1，即． ……10分 (Ⅲ) 法1：由题意可知， 在上恒成立，在上恒成立； ……12分由(Ⅱ)得：在上恒成立， ……13分 ．又因为当时,，)111)(1)1x x -+≤≤-+．()()()()11)13(1)13(1136136+--++-≤≤+-++x x x x x ϕ， 即，，，……15分 .. ……16分 法2：]21)1(21[21)1(212)(2222+-++=+-++=x x x x x ϕ，……12分 设，则，由下图得： ， ∴，，． ……16分20．解：（Ⅰ）法1：设数列的公差为，数列的公比为.因为2112233(1)24()n n n a b a b a b a b n n +*+++⋅⋅⋅+=-⋅+∈N令分别得，，，又 所以即，得或，经检验符合题意，不合题意，舍去.所以. ……4分法2：因为2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+ ①对任意的恒成立则1112233-1-1(2)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+（） ②①②得，又，也符合上式，所以 由于为等差数列，令，则， 因为为等比数列，则（为常数），即2(2)(22)0qk k n bq kq b k n qb -+--+-=对于恒成立， ，所以．又，所以，故． ……4分 （Ⅱ）由，得， 设，则不等式等价于．∵，且，∴，数列单调递增. ……6分假设存在这样的实数，使得不等式对一切都成立，则 ①当为奇数时，得； ② 当为偶数时，得，即．综上，，由是非零整数，可知存在满足条件． ……9分 （Ⅲ）易知d =0，成立． ……10分 当d>0时，3911382014201438c c d c d =+=⇒=-， ，[][]22391(201438)2014(39)2014,38(53)2014(39)20142014,k c c c d k d d k d =⇒-+-=⇒-+-=⨯()()53201439532014d k d ⇒-+-=⨯⎡⎤⎣⎦，()23953(77)0(39)53(77)k d k d k d k ⇒--+-=⇒-=-，395353107(53)395377kd d k d k d ⇒-=-⨯⇒-=-⨯， ……12分*39537739(53)5339537753385338393953535353d d k N d d d d-⨯-+⨯-⨯⨯⨯===-=+∈----，又120143838(53)0530c d d d d =-=->⇒->⎧⎨>⎩，， ，，所以公差d 的所有可能取值之和为．……16分高三数学附加题试卷参考答案 xx.12.1821．解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11可得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，即c ＋d ＝6； ……3分 由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，即3c －2d ＝－2． ……6分解得⎩⎨⎧c ＝2，d ＝4．即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 2 4， A 的逆矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －12－13 12 ． ……10分 22．解：因为直线的极坐标方程为，所以直线的普通方程为， 3分又因为曲线的参数方程为（为参数）， 所以曲线的直角坐标方程为， ……6分 联立解方程组得或．根据的范围应舍去,故点的直角坐标为． ……10分23．解：（Ⅰ）依题意，实数对（x ，y ）共有16种，使的实数对（x ，y ）有以下6种： ，所以； ……3分（Ⅱ）随机变量的所有取值为0，1，2，3，4. 有以下6种：，所以； 有以下2种：，所以； 有以下1种：，所以；有以下1种：，所以； ……7分 所以的分布列为：0 1 2 34()331111701234888161616E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， ……9分答：的数学期望为． ……10分24．解：（Ⅰ）由已知得，等差数列的通项公式为，则01120()(2)n nnn n n n n a C C C C C nC =+++++++因为，所以，所以=. ……4分 （Ⅱ）令，则223202(14)22222421n nnn i i a =-=++++==⋅--∑，令，则，所以， ……6分根据已知条件可知，012233(41)(41)(41)(1)(41)n n nn nn n n n d C C C C C =--+---++--01223301234[(4)(4)(4)(4)][(1)]1n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C =+-+-+-++---+-+++-+精品文档，所以，……8分将、代入不等式得，，当为偶数时，，所以；当为奇数时，，所以；综上所述，所以实数的取值范围是. ……10分I29428 72F4 狴gs22730 58CA 壊$22368 5760 坠H.39082 98AA 颪20582 5066 偦a40059 9C7B 鱻U实用文档。
2021年高三数学上学期12月联考试题 理
2021年高三数学上学期12月联考试题 理一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知，则复数 是虚数的充分必要条件是 （ ） A. B. C. D. 且 2．函数的定义域是 （ ） A ．[-1，4]B ．C ．[1，4]D ．3．已知集合A={0,1,2,3}，B={x|x=2a ，a ∈A}，则A ∩B 中元素的个数为（ ）A.0B.1C.2D.34、设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，a 3=5，S k+2﹣S k =36，则k 的值为（ ）A.8B.7C.6D.55.已知函数是上的奇函数,且在区间上单调递增,若255(sin),(cos ),(tan )777a fb fc f πππ===,则 （ ） A. B. C. D.6 ．由直线,,曲线及轴所围成的封闭图形的面积是 （ ） A. B. C. D. 7．已知点分别是正方体的棱的中点，点分别在 线段上. 以为顶点的三棱锥的俯视图不可能是（ ）8、运行如左下图所示的程序，如果输入的n 是6，那么输出的p 是 （ ）EF 11A 1D C A NM QINPUT “n=”；k=1p=1WHILE K <= np=p * kk=k+1WENDPRINT pENDA.120B.720C.1440D.50409、函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如右上图所示，其中A，B两点之间的距离为5，则f（x）的递增区间是（）A.[6K-1，6K+2](K∈Z)B. [6k-4,6k-1] (K∈Z)C.[3k-1,3k+2] (K∈Z)D.[3k-4,3k-1] (K∈Z)10、已知，曲线恒过点，若是曲线上的动点，且的最小值为，则( ).A. B.-1 C.2 D.1二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11、已知各项均为正数的等比数列中，则。
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长郡中学
师大附中联考联合体2020年高三12月联考长沙一中
数学
时量：120分钟满分：150分
得分
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四
个选项中，只有一项符合题目要求．)
1.设集合A ={x |x 2-x -2>0},B ={x |0<x <3},则A ∩B =
A.(0,2)
B.(1,2)
C.0,3)
D.(2,3)
2.若
i
32i
a -+为纯虚数，则实数a 的值为A ．－
32
B.－
23
C.23
D.32
3.平面向量a =(l ,2),|b |=3,
a •
b =－6，则向量a ,b 夹角的余弦值为A ．－
55
B.－
255
C.15
4.《易经》是中国文化中的精髓，右图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(——表示一根阳线，一一表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有1根阳线和2根阴线的概率为A.1
8
B.14
C.38
D.
12
5.已知两个变量具备线性相关性，现通过最小二乘法求回归直线方程ˆˆˆ y
bx a =+,将已知
数据代入公式Q =21
()n
i i i y bx a =--∑计算后得到的代数式为：223131223a b ab b ++-+,
使上述代数式取值最小的a ,b 的值即为回归方程的系数，则回归直线方程为
A ˆ2y x =-+ B.ˆ2y x =--C .ˆ2y
x =+ D.ˆ2y
x =-6.某单位有6名员工，2020年国庆节期间，决定从6人中留2人值班，另外4人分别去
张家界、南岳衡山、凤凰古城、岳阳楼旅游．要求每个景点有1人游览，每个人
只游览一个景点，且这6个人中甲、乙不去衡山，则不同的选择方案共有A.120种
B.180种
C .240种
D .320种
7.已知数列{a n }前n 项和为S n ，命题p :1()
2
n n n a a S +=,命题q :{a n }为等差数列，则p 是q 成立的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8.已知A .B 分别为椭圆2
2:14
x C y +=的左、右顶点，P 为椭圆C 上一动点，PA ,PB
与直线x =3交于M ,N 两点，△PMN 与△P A B 的外接圆的周长分别为L 1,L 2，则1
2
L L 的最小值为A.54
B.34
C.24
D.14
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．)
9.空气质量指数大小分为五级．指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大．指数范围在：[0,50]，[51,100]，[101,200],[201,.300],[301,500]分别对应“优”、
“良”、“轻(中
)度污染”、“中度(重)污染”、“重污染”
五个等级．下面是某市连续14
天的空气质量指数趋势图，下列说法正确的有
A ．这14天中有4天空气质量指数为“良”
B .这14天中空气质量指数的中位数是103C.从2日到5日空气质量越来越差
D.连续三天中空气质量指数方差最小的是9日到11日
10.设动点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1上(含内部)，且11D P D B λ=
，当∠APC 为锐角时，实
数λ可能的取值是A.12
B.13
C.14
D.
15
11.在∆ABC 中，下列说法正确的是
A.若A >B ,则sin A >sin B
B.存在△ABC 满足cos A +cos B ≤0
C.若s in A <cos B ,则△ABC 为钝角三角形
D.若π
2
C >
，则22sin sin sin C A B >+12.已知220,()e e ,()()sin πx x a m x f x am x x -->=-=-，若f (x )存在唯一零点，下列说法正确的有
A..m (x )在R 上递增
B .m (x )图象关于点(2.0)中心对称
C .任取不相等的实数x 1,x 2∈R 均有1212()()()
22
m x m x x x
m ++<D .π
2
a ≥
三填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)
13.已知函数2log ,0,()22,0,
x x x f x x ->⎧=⎨+⎩≤，则1
(())2f f =
．
!Z-'·+2,.r
O ,
14.某圆锥母线长为4，其侧面展开图为半圆面，则该圆锥高为．
15.已知三棱锥P -ABC 外接球的表面积为100π，PB ⊥平面ABC ,PB =8，∠HAC =120°,则三
棱锥体积的最大值为
．
16.如图，已知F 为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的
右焦点，过点F 的直线交两渐近线于A ，B 两点．若∠AOB =120°，△OAB 内切圆的半径r =
35
a b
-，则双曲线的离心率为．
四、解答题(本题共6小题．共70分．解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤．)
17.(本题满分10分)
在①212(1)n n n S S S --+=+；②1212n n n S S a ++++=-；③
1(1)n
n S a n n
+=-+这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．
问题：已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1，，若确定{a n }是等差数
列，求{a n }的通项公式，否则，说明理由．
(注：如果选择多个条件分别解答．按第一个解答计分)
在△ABC中，∠B=π
3，AB=l5，点D在边BC上，
CD=l,cos∠ADC=1
26
.
(1)求sin∠BAD;
(2)求△ABC的面积.
四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD =120°,PA ⊥底面ABCD ,P A =23，E ,F 分别是P C ,P D 的中点．
(1)已知BG BC λ=
,若平面EFG //平面PAB ,求λ的值；
(2)在(1)的条件下，求平面EFG 与平面PCD 所成二面角的正弦值．
20.(本题满分12分)
已知A ,B 分别椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右顶点，过点M (2,0)任作一条
非水平直线交椭圆于P ,Q 两点，若椭圆长轴长为8,且过点(3,)4
．(1)求椭圆C 的方程；
(2)记直线AP ,BQ 的斜率分别为k 1，k 2，则
1
2
k k
是否为定值，若是，求出该定值．若不是，请说明理由．
有编号为1,2,3的三只小球，和编号为1,2,3,4的四个盒子，将三个小球逐个随机的放入四个盒子中、每只球的放置相互独立．
(1)求三只小球恰在两个盒子中的概率；
(2)求三只小球在三个不同的盒子，且至少有两个球的编号与所在盒子编号不同的概率；
(3)记录至少有一只球的盒子．以X表示这些盒子编号的最大值，求EX.
已知2()e (21)e x x f x a a x =+--,a 为常数．(1)讨论f (x )的单调性；
(2)若x ≥0时，()(31)cos f x a x -≥恒成立，求实数a 的取值范围．。