电子测量 第2章 习题参考答案

第二章误差与测量不确定度
2.10用图2.22中（a ）、（b ）两种电路测电阻R x ，若电压表的内阻为R V ，电流表的内阻为R I ，求测量值受电表影响产生的绝对误差和相对误差，并讨论所得结果。

图2.22 题2.10图 解：(a)v
X v x v x x R R R R I I
R R I
V R +=
=
=
)//('
∆ R=V
X X
x x R R R
R R +-
=-2'
R r =
％10011100
100
⨯+
-
=⨯+-
=⨯∆X
V V
X X X
R R R R R R R
在R v 一定时被测电阻R X 越小，其相对误差越小,故当R X 相对R v 很小时,选此方法测量。

(b)I x I x x
R R I
R R I I
V R
+=+⨯=
=
)
(' I x x
R R R
R =-=∆'
R r 0
100
100
⨯=
⨯∆=
X
I X
R R R R
在R I 一定时，被测电阻R X 越大.其相对误差越小,故当R X 相对RI 很大时,选此方法测量。

2.11 用一内阻为R i 的万用表测量下图所示电路A 、B 两点间电压，设E ＝12V ，R1＝5k Ω ，R2＝20k Ω，求：
（1）如E 、R1、R2都是标准的，不接万用表时A 、B 两点间的电压实际值U A 为多大? （2）如果万用表内阻R I ＝20k Ω，则电压U A 的示值相对误差和实际相对误差各为多大？
（3）如果万用表内阻R I ＝lM Ω，则电压U A 的示值相对误差和实际相对误差各为多大？
（a ）
（b ）
R 1 5K Ω
解：（1）A 、B 两点间的电压实际值V 6.9k 20k
20k 512E 22
1=+=
+=
R R R U
A
（2）U A 测量值为：k 20//k 20k
20//k 20k 512
////E 221+=
+=
I I A
R R R R R U
V 0.8k 10k
10k 512
=+=
所以U A 的示值相对误差%200.86.90.8-=-=
∆=Ux U x
γ
U A 的实际相对误差为%176
.96
.90.8-=-=
∆=
UA
U A
γ
（3）U A 测量值为：M 1//k 20M
1//k 20k 512////E 221+=
+=
I I
A
R R R R R U
V 56.9k 6.19k
6.19k 512
=+=
所以U A 的示值相对误差%42.056
.96
.956.9-≈-=∆=Ux U x γ U A 的实际相对误差为%42.06
.96
.956.9-≈-=
∆=
UA
U A
γ
由此可见，当电压表内阻越大，测量结果越准确。

2.12 CD —13型万用电桥测电感的部分技术指标如下：
5μH —1.1mH 挡：±2％(读数值)±5μH ；
10mH —110mH 挡：±2％(读数值)±0.4％(满度值)。

试求被测电感示值分别为10μH ，800μH ，20mH ，100mH 时该仪器测量电感的绝对误差和相对误差。

并以所得绝对误差为例，讨论仪器误差的绝对部分和相对部分对总测量误差的影响。

解：根据误差公式计算各电感误差如下： （1）10μH
H
2.5H 5H 2.0H 5H 10%2μμμμμ±=±±=±⨯±=∆L
%52H
10H 2.5±=±=
∆=
μμγL
L L
（2）800μH
H
21H 5H 16H 5H 800%2μμμμμ±=±±=±⨯±=∆L
%6.2H
800H 21±=±=
∆=
μμγL
L L
（3）20mH
mH
94.0mH 55.0mH 4.0mH 110%5.0mH 20%2±=±±=⨯±⨯±=∆L
%7.4mH
20mH 94.0±=±=
∆=
L
L L
γ
（4）100mH
mH
55.2mH 55.0mH 2mH 110%5.0mH 100%2±=±±=⨯±⨯±=∆L
%6.2mH
100mH 55.2±=±=
∆=
L
L L
γ
由以上计算过程中的绝对误差，可知当被测电感较小时仪器误差的绝对部分对总误差影响大，而被测电感较大时仪器误差的相对部分对总误差影响大。

这里对每个量程都有一个临界值：
5μH —1.1mH 档：临界值L 1，H 5%21μ±=⨯±L ，H 2501μ=L 即当被测电感L 小于250μH 时：仪器误差的绝对部分对总误差影响大。

即当被测电感L 大于250μH 时：仪器误差的相对部分对总误差影响大。

10mH —110mH 档：临界值L 2，mH 110%5.0%22⨯±=⨯±L ，mH 5.272=L 即当被测电感L 小于27.5mH 时：仪器误差的绝对部分对总误差影响大。

即当被测电感L 大于27.5m H 时：仪器误差的相对部分对总误差影响大。

2.13 检定一只2.5 级电流表3mA 量程的满度相对误差。

现有下列几只标准电流表，问选用哪只最适合，为什么？
（1）0.5 级10mA 量程； （2）0.2 级10mA 量程；
（3）0.2 级15mA 量程；
（4）0.1 级100mA 量程。

解：2.5 级电流表3mA 量程的绝对误差为2.5％×3mA ＝0.075mA （1）0.5 级10mA 量程的绝对误差为0.5％×10mA ＝0.05mA （2）0.2 级10mA 量程的绝对误差为0.2％×10mA ＝0.02mA
（3）0.2 级15mA 量程的绝对误差为0.2％×15mA ＝0.03mA （4）0.1 级100mA 量程的绝对误差为0.1％×100mA ＝0.1mA
由以上结果可知（1），（2），（3）都可以用来作为标准表，而（4）的绝对误差太大， 其中（1），（2）量程相同，而（3）的量程比（1），（2）大，在绝对误差满足要求的情况下，应尽量选择量程接近被检定表量程，但（2），（3）准确度级别高，较贵，所以最适合用作标准表的是0.5 级10mA 量程的。

2.14 检定某一信号源的功率输出，信号源刻度盘读数为90μW ，其允许误差为±30％，检定时用标准功率计去测量信号源的输出功率，正好为75μW 。

问此信号源是否合格? 解：信号源频率的测量绝对误差为75μW －90μW ＝－15μW
相对误差为%30%7.1690
15<-=-=
γ，所以此信号源合格。

x U )(U s 解：U x 的算术平均值
005.50054
.5)7110941526113(10
1001.0000.510
1
≈=+-++-+-++⨯
+=∑=i U
标准偏差估值∑=-=
10
1
2
)(9
1
)(i U Ui U s
∑=-⨯+-+++-++-+++-=
10
1
2
32222222222
)
10
(]6.1)4.6(6.46.3)4.9(6.9)4.7(6.06.5)4.2[(9
1
i
∑=-⨯+++++++++=
10
1
2
3
)
10(]56.296.4016.2196.1236.8816.9276.5736.036.3176.5[9
1
i V 006.00062.010
4.3539
16
≈=⨯⨯=
-
2.21设两个电阻R l ＝(150±0.6)Ω，R 2＝62Ω±0.4%，试求此两电阻分别在串联和并联时的总电阻值及其相对误差，并分析串并联时对各电阻的误差对总电阻的相对误差的影响? 解：（1）串联时，总电阻值Ω=+=+2126215021R R R ＝串
21212211)()()(R R R R R R R R R ∆±∆±=+-∆±+∆±∆＝串 Ω±=±±=⨯±±=748
.0248.05.0%4.0625.0 0.35%212
748.0±±∆＝＝
＝
串
串串R R R γ
（2）并联时，总电阻值Ω=+⨯=
+=
9.4362
150621502
121R R R R R 并
因式中含有两个变量的乘积项且含有分母，所以用相对误差传递公式较方便，得22
11
ln ln R R R R R R R ∆∂∂+
∆∂∂=
并并
并γ )l n (ln ln ln 2121R R R R R +-+=并
221212111
111R R R R R R R R r R ∆⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=并 %)4.0(62
150150150
5.062
150622
22
111
12
12±⨯+±⨯
+=
∆⋅
++
∆⋅
+=
＋
R R R R R R R R R R
%38.0212
6.0212
2046.0212
%
4.0150212
0033
.062±=±±=
⨯±⨯±=
＋＋
由以上计算结果可知，串联时大电阻R 1对总电阻误差影响大，并联时小电阻R 2对总电
阻误差影响大。

2.24 采用微差法测量一个10V 电源，使用标准为标称相对误差为±0.1％的9V 稳压电源。

若要求测量误差ΔU o/U o ＜±0.5％，电压表量程为3V ，问选用几级电表? 解：由题意及微差法误差公式得
B
A A A
B B U U ⨯∆+∆=∆0
这里标准量B 为9V ，微差A 为1V ，标准相对误差为±0.1％ %5.09
11%1.0.0
0±=⨯∆+
±=∆A U U
可得
%6.3=∆A %2.13
%6.3==∆Um
A
所以选用3V 量程的1级电压表即可。

2.25 按公式R
d L
2
4πρ=
测量金属导线的电导率，式中L 为导线长度(cm)，d 为截面直径(cm)，
R 为被测导线的电阻(Ω)。

试说明在什么测量条件下ρ误差最小？对哪个参量要求最高？ 解：因为公式中含有分子和分母，用相对误差传递公式较方便。

R R
d d
L L
∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂=ρρργρln ln ln
R d L ln ln 2ln ln 4ln ln ---+=πρ
R d L ln ln 2ln --=
R
R d
d L
L ∆-
∆-∆=
2
ρ
γ
由上式可知对截面直径d 的要求最高。

2.26 通过电桥平衡法测量某电阻，由电桥平衡条件得出2
43C C R Rx =
，已知电容C 2的允许
误差为±5％，电容C 4的允许误差为±2％，R 3为精密电位器，其允许误差为±1％，试计算R x 的相对误差为多少？
解：因为公式中含有分子和分母，用相对误差传递公式较方便。

22
44
33
ln ln ln C C Rx C C Rx R R Rx Rx ∆∂∂+
∆∂∂+
∆∂∂=
γ
243ln ln ln ln C C R Rx -+=
2
24
43
3C C C C R R Rx ∆-
∆+
∆=
γ
%)5(%2%1±-±±= %8±=。