作业一参考答案

¡
U 00 x = ®: U0
两者的关系是： 相对风险回避系数由绝对风险回避系数乘以财富量得到， 是在绝对风险 厌恶的度量基础上考虑了财富水平后得到的风险厌恶的度量。 (3) 在何情况下，上述函数具有递减的绝对风险回避系数？ 对于效用函数 U (x) = Abx ; A; b 2 R，其绝对风险回避系数为常数；对于效用函数
支付 100 元获得利润的概率为
¡ ¢ 1 P3 (X > 100) = P3 X > 26 = : 64
1
(2) 假定你的期望效用函数为 a): u( x) ln x ；b): u ( x) x 3 ，这两种情况下，你分 别愿意为参加这一赌博支付多少费用？其中的某个效用函数是否符合你对该赌博的主 观感受？ 当效用函数为U (x) = ln(x)时，假设人们愿意为此赌博付出x 1元，那么有
ln (x1 ) 6
解得 x1 6 4:
1 X i=1
1 ¡ ¢ ¡ ¢ X P X = 2i U 2i = i=1
µ ¶i ¡ ¢ 1 ¢ ln 2i = 2ln2: 2
当效用函数为U (x) = x 3 时,假设人们愿意为此赌博付出x 2元,那么有
1
(x2 ) 6
解得 x2 6 4:93.
1 3
ln(11:5 ¡ x) 6 25% £ ln (6) + 50% £ ln(10) + 25% £ ln(20) ;
即 x 6 1:034，即我至多愿意支付 1.034 元.
(2)该投资计划的普拉特 -阿罗风险溢价是多少？这是否能够很好地反映你对该计划的 厌恶程度？ 该投资计划的收益的方差为
2 ¾h = 25% £ (11:5 ¡ 6)2 + 50% £ (11:5 ¡ 10)2 + 25% £ (11:5 ¡ 20)2 = 26:75:
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0 < Ab < 1
Ab > 1
注：把 Ab 作为一个整体来考虑是最为有效的分类方法。 对于效用函数U (x) = (1 ¡ ®) x1¡®; ® 2 R; ® 6= 1：函数的大致图像为
®<0
®=0
0<®<1
®>1
(2) 求绝对风险回避系数和相对风险回避系数，并说明二者之间的关系。 对于效用函数U (x) = Abx ; A; b 2 R： 绝对风险回避系数为
3、考虑以下冯纽曼—摩根斯坦效用函数：
u(x ) A bx
u( x) (1 ) x1
A, b R
R, 1
(1) 画出不同参数值的这些函数的简图。 对于效用函数U (x) = Abx ; A; b 2 R： 当 A = 0时，函数值恒为 0；当A = 1或b = 0时，函数值恒为 1。当A < 0 时，函数没有 定义。因此这些情况都不考虑。 对于其他的情况，函数的大致图像为
E (U) = 75% £ ln(100) + 25% £ ln(100 ¡ 20) = 4:549:
(2) 如果保险公司的管理费用为零，则他为参加全额公平保险应该支付多少保险费？此 时期望效用是多少？境况改善了吗？ 对保险公司而言，公平保险就是期望收益为 0 的保险。如果他参加公平保险，那么应缴 纳保费20 £ 25% = 5万元，其效用为ln(100 ¡ 5) = 4:554，境遇改善了。 (3) 如果参加保险，他最愿意支付多少保险费？ 设其愿意出价x万元，则
¡
相对风险回避系数为
U 00 b2 (lnA)2 Abx = ¡ = ¡blnA; U0 blnAAbx
U 00 x = ¡bxlnA: U0
¡
对于效用函数U (x) = (1 ¡ ®) x1¡®; ® 2 R; ® 6= 1： 绝对风险回避系数为
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¡
相对风险回避系数为
U 00 (1 ¡ ®)2 (¡®) x¡®¡1 ® = ¡ = ; 2 0 U x (1 ¡ ®) x¡®
该计划的普拉特-阿罗风险溢价为
1 2 U 00 1 21 ¼P A = ¡ ¾h = ¾h = 1:16: 2 U0 2 x
普拉特-阿罗风险溢价适用于投资收益方差较小的情况，此处风险较大，可能无法精确 反映厌恶程度。
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® U (x) = (1 ¡ ®) x1¡®; ® 2 R; ® 6= 1，其绝对风险回避系数递减要求 为减函数，即 x
® > 0:
4、某甲拥有财富 100 万元，明年他有 25％的可能性会丢失一辆价值 20 万元的小汽车，假 设的效用函数为 V(w)=lnw, w 为他的财富总量，请解答以下问题： (1) 如果他不参加明年的保险，他的期望效用为多少？ 假设某甲不参加保险，他的期望效用为
2、 理解冯纽曼—摩根斯坦效用函数存在性的证明， 并独立设计某个实验或者某个实例来反 驳期望效用函数的存在性。 期望效用函数的存在性需要三个条件： 1） 偏好需要满足自反性，传递性和完全性； 2） 偏好的独立性； 3） 阿基米德公理。 定理证明参见教材 P44-46
实验设计可参考第二次课课件 4.4 部分内容，从阿莱斯悖论、偏好逆转、心理账户等角 度出发，注意对照实验组的设定。
1 X i=1
1 ¡ ¢ ¡ ¢ X P X = 2i U 2i = i=1
µ ¶i ¡ ¢1 : 1 ¢ 2i 3 = 1:702: 2
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两个函数都满足效用函数的一般特征（一阶导数大于 0，二阶导数小于 0） ，主观感受 因人而异。值得注意的是当 0<x<1 时 ln(x)<0，不太符合实际情况。 (3) 简单说明彼得堡悖论产生的原因和解决办法。 ①无穷大的不可行性：赌博机制设计不合理，既不可能在现实中真的掷无穷次等待正面 出现，也不可能有博彩公司能拿出无穷大的财富来支付。 ②使用了最大期望收益准则：忽视了人们对财富边际效用递减的规律。 解决办法：使用最大期望效用准则，通过不同的效用函数形式来模拟不同人群的风险偏 好。
µ ¶n 1 = ; n = 1; 2::: 2
P (X > 2 ) = 1 ¡
n
n µ ¶n X 1 i=1
2
因而根据上式，支付 10 元获得利润的概率为
¡ ¢ 1 P1 (X > 10) =Байду номын сангаасP1 X > 23 = ; 8
支付 50 元获得利润的概率为
¡ ¢ 1 P2 (X > 50) = P2 X > 25 = ; 32
ln (100 ¡ x) > 4:549;
得到 x 6 5:46，即某甲至多愿意支付 5.46 万元。 5、设你的效用函数为 u( x) ln x ，请关注下面的投资计划： 6 10 20 0.25 0.5 0.25
(1) 你为了规避不确定性，最多愿意付出多少钱的费用？
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投资的期望收益为25% £ 6 + 50% £ 10 + 2% £ 20 = 11:5.设我愿意支付x 元，那么
金 融 经 济 学 导 论 作 业 （一）
1、 考虑彼得堡悖论中的赌博，并完成以下问题： (1) 用 x 表示你愿意为参加赌博支付的费用，对下面的 x，计算你获得利润的概率： x=10, 50, 100.
假设在一次赌博中的收益为 X，则
P (X = 2n) =
容易得到
µ ¶n 1 ; n = 1; 2::: 2