高中数学排列组合及概率的基本公式概念及应用

高中数学排列组合及概率的基本公式、概念及应用

1 分类计数原理（加法原理）：12n N m m m =+++.

分步计数原理（乘法原理）：12n N m m m =⨯⨯

⨯.

2 排列数公式 ：m

n A =)1()1(+--m n n n =！

！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．规定1!0=.

3 组合数公式：m

n

C =m n m m

A A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *

，m N ∈，且m n ≤).

组合数的两个性质:(1)m n C =m

n n

C - ;(2) m n C +1

-m n

C =m n C 1+.规定10

=n C .

4 二项式定理 n

n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ; 二项展开式的通项公式r

r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，， =.

2012()()n n n f x ax b a a x a x a x =+=++++的展开式的系数关系：

012(1)n a a a a f ++++=； 012(1)(1)n n a a a a f -++

+-=-；0(0)a f =。

5 互斥事件A ，B 分别发生的概率的和：P(A ＋B)=P(A)＋P(B)． n 个互斥事件分别发生的概率的和：P(A 1＋A 2＋…＋A n )=P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )．

6 独立事件A ，B 同时发生的概率：P(A ·B)= P(A)·P(B). n 个独立事件同时发生的概率：P(A 1· A 2·…· A n )=P(A 1)· P(A 2)·…· P(A n )．

7 n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率：()(1).k k n k

n n P k C P P -=-

8 数学期望：1122n n E x P x P x P ξ=++++

数学期望的性质

（1）()()E a b aE b ξξ+=+. （2）若ξ～(,)B n p ,则E np ξ=. (3) 若ξ服从几何分布,且1

()(,)k P k g k p q p ξ-===，则1E p

ξ=

. 9方差：()()()2

2

2

1122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-⋅+-⋅+

+-⋅+

标准差：σξ=ξD . 方差的性质：

(1)()2D a b a D ξξ+=；

(2）若ξ～(,)B n p ，则(1)D np p ξ=-.

(3) 若ξ服从几何分布,且1()(,)k P k g k p q p ξ

-===，则2

q D p ξ=

. 方差与期望的关系：()2

2D E E ξξξ=-.

10正态分布密度函数：(

)()()2

2

26,,x f x x μ--

=

∈-∞+∞，

式中的实数μ，σ（σ>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差. 对于2

(,)N μσ，取值小于x 的概率：()x F x μσ-⎛⎫

=Φ

⎪⎝⎭

.

()()()12201x x P x x P x x x P <-<=<<

11 )(x f 在0x 处的导数（或变化率）：

00000()()()lim

lim x x x x f x x f x y

f x y x x

=∆→∆→+∆-∆''

===∆∆. 瞬时速度：00()()

()lim lim

t t s s t t s t s t t t

υ∆→∆→∆+∆-'===∆∆. 瞬时加速度：00()()

()lim lim

t t v v t t v t a v t t t

∆→∆→∆+∆-'===∆∆. 12 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义：

函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率

)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.

13 几种常见函数的导数：

(1) 0='C （C 为常数）.(2) 1

()()n n x nx

n Q -'=∈.(3) x x cos )(sin ='.

(4) x x sin )(cos -='. (5) x x 1

)(ln ='；1(log )log a a x e x

'=.

(6) x x e e =')(; a a a x

x ln )(='.

14 导数的运算法则：

（1）'

'

'

()u v u v ±=±.（2）'

'

'

()uv u v uv =+.（3）''

'2

()(0)u u v uv v v v

-=≠. 15 判别)(0x f 是极大（小）值的方法：

当函数)(x f 在点0x 处连续时，

（1）如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，则)(0x f 是极大值； （2）如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，则)(0x f 是极小值. 16 复数的相等：,a bi c di a c b d +=+⇔==.（,,,a b c d R ∈）

17 复数z a bi =+的模（或绝对值）||z =||a bi +18 复平面上的两点间的距离公式：

12||d z z =-=（111z x y i =+，222z x y i =+）.

19实系数一元二次方程的解

实系数一元二次方程20ax bx c ++=，

①若2

40b ac ∆=->,则1,2x =;

②若240b ac ∆=-=,则122b

x x a

==-;

③若240b ac ∆=-<，它在实数集R 内没有实数根；在复数集C 内有且仅有两个共轭

复数根2

40)x b ac =-<.

20解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合．

21解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；多元问题分类法；有序分配问题法；选取问题先排后排法；至多至少问题间接法，还记得什么时候用隔板法？