高中数学排列组合及概率的基本公式概念及应用

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高中数学排列组合及概率的基本公式、概念及应用

1 分类计数原理(加法原理):12n N m m m =+++.

分步计数原理(乘法原理):12n N m m m =⨯⨯

⨯.

2 排列数公式 :m

n A =)1()1(+--m n n n =!

!)(m n n -.(n ,m ∈N *,且m n ≤).规定1!0=.

3 组合数公式:m

n

C =m n m m

A A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=!!!)(m n m n -⋅(n ∈N *

,m N ∈,且m n ≤).

组合数的两个性质:(1)m n C =m

n n

C - ;(2) m n C +1

-m n

C =m n C 1+.规定10

=n C .

4 二项式定理 n

n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ; 二项展开式的通项公式r

r n r n r b a C T -+=1)210(n r ,,, =.

2012()()n n n f x ax b a a x a x a x =+=++++的展开式的系数关系:

012(1)n a a a a f ++++=; 012(1)(1)n n a a a a f -++

+-=-;0(0)a f =。

5 互斥事件A ,B 分别发生的概率的和:P(A +B)=P(A)+P(B). n 个互斥事件分别发生的概率的和:P(A 1+A 2+…+A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ).

6 独立事件A ,B 同时发生的概率:P(A ·B)= P(A)·P(B). n 个独立事件同时发生的概率:P(A 1· A 2·…· A n )=P(A 1)· P(A 2)·…· P(A n ).

7 n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率:()(1).k k n k

n n P k C P P -=-

8 数学期望:1122n n E x P x P x P ξ=++++

数学期望的性质

(1)()()E a b aE b ξξ+=+. (2)若ξ~(,)B n p ,则E np ξ=. (3) 若ξ服从几何分布,且1

()(,)k P k g k p q p ξ-===,则1E p

ξ=

. 9方差:()()()2

2

2

1122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-⋅+-⋅+

+-⋅+

标准差:σξ=ξD . 方差的性质:

(1)()2D a b a D ξξ+=;

(2)若ξ~(,)B n p ,则(1)D np p ξ=-.

(3) 若ξ服从几何分布,且1()(,)k P k g k p q p ξ

-===,则2

q D p ξ=

. 方差与期望的关系:()2

2D E E ξξξ=-.

10正态分布密度函数:(

)()()2

2

26,,x f x x μ--

=

∈-∞+∞,

式中的实数μ,σ(σ>0)是参数,分别表示个体的平均数与标准差. 对于2

(,)N μσ,取值小于x 的概率:()x F x μσ-⎛⎫

⎪⎝⎭

.

()()()12201x x P x x P x x x P <-<=<<

11 )(x f 在0x 处的导数(或变化率):

00000()()()lim

lim x x x x f x x f x y

f x y x x

=∆→∆→+∆-∆''

===∆∆. 瞬时速度:00()()

()lim lim

t t s s t t s t s t t t

υ∆→∆→∆+∆-'===∆∆. 瞬时加速度:00()()

()lim lim

t t v v t t v t a v t t t

∆→∆→∆+∆-'===∆∆. 12 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义:

函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率

)(0x f ',相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.

13 几种常见函数的导数:

(1) 0='C (C 为常数).(2) 1

()()n n x nx

n Q -'=∈.(3) x x cos )(sin ='.

(4) x x sin )(cos -='. (5) x x 1

)(ln =';1(log )log a a x e x

'=.

(6) x x e e =')(; a a a x

x ln )(='.

14 导数的运算法则:

(1)'

'

'

()u v u v ±=±.(2)'

'

'

()uv u v uv =+.(3)''

'2

()(0)u u v uv v v v

-=≠. 15 判别)(0x f 是极大(小)值的方法:

当函数)(x f 在点0x 处连续时,

(1)如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ,右侧0)(<'x f ,则)(0x f 是极大值; (2)如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ,右侧0)(>'x f ,则)(0x f 是极小值. 16 复数的相等:,a bi c di a c b d +=+⇔==.(,,,a b c d R ∈)

17 复数z a bi =+的模(或绝对值)||z =||a bi +18 复平面上的两点间的距离公式:

12||d z z =-=(111z x y i =+,222z x y i =+).

19实系数一元二次方程的解

实系数一元二次方程20ax bx c ++=,

①若2

40b ac ∆=->,则1,2x =;

②若240b ac ∆=-=,则122b

x x a

==-;

③若240b ac ∆=-<,它在实数集R 内没有实数根;在复数集C 内有且仅有两个共轭

复数根2

40)x b ac =-<.

20解排列组合问题的依据是:分类相加,分步相乘,有序排列,无序组合.

21解排列组合问题的规律是:相邻问题捆绑法;不邻问题插空法;多排问题单排法;定位问题优先法;多元问题分类法;有序分配问题法;选取问题先排后排法;至多至少问题间接法,还记得什么时候用隔板法?

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