高中数学排列组合及概率的基本公式概念及应用

高中数学排列组合及概率的基本公式、概念及应用
1 分类计数原理（加法原理）：12n N m m m =+++.
分步计数原理（乘法原理）：12n N m m m =⨯⨯
⨯.
2 排列数公式 ：m
n A =)1()1(+--m n n n =！
！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．规定1!0=.
3 组合数公式：m
n
C =m n m m
A A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *
，m N ∈，且m n ≤).
组合数的两个性质:(1)m n C =m
n n
C - ;(2) m n C +1
-m n
C =m n C 1+.规定10
=n C .
4 二项式定理 n
n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ; 二项展开式的通项公式r
r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，， =.
2012()()n n n f x ax b a a x a x a x =+=++++的展开式的系数关系：
012(1)n a a a a f ++++=； 012(1)(1)n n a a a a f -++
+-=-；0(0)a f =。

5 互斥事件A ，B 分别发生的概率的和：P(A ＋B)=P(A)＋P(B)． n 个互斥事件分别发生的概率的和：P(A 1＋A 2＋…＋A n )=P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )．
6 独立事件A ，B 同时发生的概率：P(A ·B)= P(A)·P(B). n 个独立事件同时发生的概率：P(A 1· A 2·…· A n )=P(A 1)· P(A 2)·…· P(A n )．
7 n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率：()(1).k k n k
n n P k C P P -=-
8 数学期望：1122n n E x P x P x P ξ=++++
数学期望的性质
（1）()()E a b aE b ξξ+=+. （2）若ξ～(,)B n p ,则E np ξ=. (3) 若ξ服从几何分布,且1
()(,)k P k g k p q p ξ-===，则1E p
ξ=
. 9方差：()()()2
2
2
1122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-⋅+-⋅+
+-⋅+
标准差：σξ=ξD . 方差的性质：
(1)()2D a b a D ξξ+=；
(2）若ξ～(,)B n p ，则(1)D np p ξ=-.
(3) 若ξ服从几何分布,且1()(,)k P k g k p q p ξ
-===，则2
q D p ξ=
. 方差与期望的关系：()2
2D E E ξξξ=-.
10正态分布密度函数：(
)()()2
2
26,,x f x x μ--
=
∈-∞+∞，
式中的实数μ，σ（σ>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差. 对于2
(,)N μσ，取值小于x 的概率：()x F x μσ-⎛⎫
=Φ
⎪⎝⎭
.
()()()12201x x P x x P x x x P <-<=<<
11 )(x f 在0x 处的导数（或变化率）：
00000()()()lim
lim x x x x f x x f x y
f x y x x
=∆→∆→+∆-∆''
===∆∆. 瞬时速度：00()()
()lim lim
t t s s t t s t s t t t
υ∆→∆→∆+∆-'===∆∆. 瞬时加速度：00()()
()lim lim
t t v v t t v t a v t t t
∆→∆→∆+∆-'===∆∆. 12 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义：
函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率
)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.
13 几种常见函数的导数：
(1) 0='C （C 为常数）.(2) 1
()()n n x nx
n Q -'=∈.(3) x x cos )(sin ='.
(4) x x sin )(cos -='. (5) x x 1
)(ln ='；1(log )log a a x e x
'=.
(6) x x e e =')(; a a a x
x ln )(='.
14 导数的运算法则：
（1）'
'
'
()u v u v ±=±.（2）'
'
'
()uv u v uv =+.（3）''
'2
()(0)u u v uv v v v
-=≠. 15 判别)(0x f 是极大（小）值的方法：
当函数)(x f 在点0x 处连续时，
（1）如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，则)(0x f 是极大值； （2）如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，则)(0x f 是极小值. 16 复数的相等：,a bi c di a c b d +=+⇔==.（,,,a b c d R ∈）
17 复数z a bi =+的模（或绝对值）||z =||a bi +18 复平面上的两点间的距离公式：
12||d z z =-=（111z x y i =+，222z x y i =+）.
19实系数一元二次方程的解
实系数一元二次方程20ax bx c ++=，
①若2
40b ac ∆=->,则1,2x =;
②若240b ac ∆=-=,则122b
x x a
==-;
③若240b ac ∆=-<，它在实数集R 内没有实数根；在复数集C 内有且仅有两个共轭
复数根2
40)x b ac =-<.
20解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合．
21解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；多元问题分类法；有序分配问题法；选取问题先排后排法；至多至少问题间接法，还记得什么时候用隔板法？
22排列数公式是： 组合数公式是： 排列数与组合数的关系是：m
n
m n C m P ⋅=！
组合数性质：
m
n
C
=
m n n
C
-
m n
C
+
1-m n C
=
m
n C
1
+ ∑=n
r r n
C
=n
2
1
1
21++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C
二项式定理：
n
n n r r n r n n n n n n
n
n
b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110
)(
二项展开式的通项公式：r
r
n r
n
r b
a
C T -+=1
)210(n r ，，， =
概率统计
23有关某一事件概率的求法：把所求的事件转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识)，转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率，利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率，看作某一事件在n 次实验中恰有k 次发生的概率，但要注意公式的使用条件。

（1）若事件A 、B 为互斥事件,则P （A+B ）=P （A ）+P （B ） （2）若事件A 、B 为相互独立事件,则P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）
（3）若事件A 、B 为对立事件,则P （A ）+P （B ）=1一般地,()
()A P A p -=1 （4）如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n 次独立重复试验中这个事恰好发生
K 次的概率： ()()k
n k
k n n
p p C K P --=1
24抽样方法主要有：简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常常用于总体个数较多时，它的主要特征就是均衡成若干部分，每一部分只取一个；分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异。

它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等。

25用总体估计样本的方法就是把样本的频率作为总体的概率。