经济应用数学习题及答案

经济应用数学习题

第一章 极限和连续 填空题

1. sin lim

x x

x

→∞=

0 ；

2.函数 x y ln =是由 u y =，v u ln =，x v =复合而成的； 3当 0x → 时，1cos x - 是比 x 高 阶的无穷小量。 4. 当 0x → 时， 若 sin 2x 与 ax 是等价无穷小量，则 a =

2

5.

2lim(1)x x x →∞-=2

-e

选择题

1.02lim

5arcsin x x

x →= （ C ）

（A ） 0 （B ）不存在 （C ）

2

5

（D ）1

2.()f x 在点 0x x = 处有定义，是 ()f x 在 0x x =处连续的（ A ）

（A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）无关条件

计算题

1.

求极限 20cos 1

lim

2x x x →-

解：20cos 1lim 2x x x →-＝41

4sin lim 0-

=-→x x x 2. x x x 1

0)41(lim -→＝41

)

41

(4

0)

4

1(lim ---→=-e x x x 3.

2

01

lim x x e x x →--112lim 0-=-=→x e x x

导数和微分 填空题

1若 )(x u 与 )(x v 在 x 处可导，则 ])()(['x v x u =2

'')]

([)

()()()(x v x v x u x v x u - 2.设)(x f 在0x 处可导，且A x f =')(0，则h

h x f h x f h )

3()2(lim

000

--+→用A 的

代数式表示为

A 5 ；

32

)(x e x f =，则x

f x f x )

1()21(lim

--→= 4e - 。

2

(12)(1)

'()2,lim

2'(1)4x x f x f f x xe f e

x →--==-=-解

选择题

1. 设 )(x f 在点 0x 处可导，则下列命题中正确的是 （ A ） （A ） 0

00()()lim

x x f x f x x x →-- 存在 （B ） 000

()()

lim x x f x f x x x →--不存在

（C ） 00()()lim

x x f x f x x →+

-存在 （D ） 00()()

lim x f x f x x

∆→-∆不存在

2. 设)(x f 在0x 处可导，且0

001

lim

(2)()4

x x f x x f x →=--，则0()f x '等于

（ D ）

（A ） 4 （B ） –4 （C ） 2 （D ） –2 3. 3设 ()y f x = 可导，则 (2)()f x h f x -- = （ B ）

（A ） ()()f x h o h '+ （B ） 2()()f x h o h '-+ （C ） ()()f x h o h '-+ （D ） 2()()f x h o h '+ 4.

设 (0)0f = ，且 0()lim

x f x x → 存在，则 0()

lim x f x x

→ 等于（ B ）

（A ）()f x ' （B ）(0)f ' （C ）(0)f （D ）1

(0)2

f '

5.

函数 )(x f e y =，则 ="y （ D ）

（A ） )(x f e （B ） )(")(x f e x f

（C ） 2)()]('[x f e x f （D ） )}(")]('{[2)(x f x f e x f +

6函数 x x x f )1()(-=的导数为（ D ）

（A ）x x x )1(- （B ） 1)1(--x x （C ）x x x ln （D ） )]1ln(1

[

)1(-+--x x x

x x

7函数 x

x x f =

)( 在 0=x 处（ D ）

（A ）连续但不可导 （B ） 连续且可导

（C ）极限存在但不连续 （D ） 不连续也不可导

计算与应用题

1. 设 ln()y xy = 确定 y 是 x 的函数，求 dx

dy 解： )(1)(1)][ln(''''xy y xy

xy xy xy y +==

= )

1(''

'-=

+=⋅y x y

y xy y y xy

2. 2设 x y e y ln = 确定 y 是 x 的函数，求 dx

dy 解：''ln (ln )

y y y dy y e y y x x

dx x e x ⋅=⋅+

=- 3. 3求 13cos x y e x -= 的微分

解：'131313(3cos sin )(3cos sin )x x x dy y dx e x e x dx e x x dx ---==--=-+

4. 4求 2x

e y x

= 的微分；

解：222'

222(21)x x x e x e e x y x x --== 22

(21)

x e x dy dx x -= 5设sin 1

0()20ax x e x f x x

a x ⎧+-≠⎪

=⎨⎪=⎩

在(,)-∞+∞上连续，求a 的值。 00sin 1

lim ()lim

ax x x x e f x x

→→+-= 0

lim(cos )ax

x x ae →=+…………………………2分

1a =+………………………………………2分

又

()f x 在(,)-∞+∞上连续，即0

lim ()(0)2x f x f a →==…………2分

21a a ∴=+

1a ∴=……………………………………………………1分