18.1.2_平行四边形的判定2---三角形中位线定理

O G B F C
E
平行四边形的判定方法 回顾与联想：
(1) AB∥CD, BC∥AD (2) AB=CD，BC=AD (3) AB∥CD,AB=CD (4) ∠A= ∠C ， ∠ B=∠ D (5) AO=OC, BO=OD
A O B C D
□ ABCD
现有一张三角形纸片，你能通过裁剪，将它拼 成一个平行四边形吗？ 问题1：需要把三角形剪成几块？ 问题2：如何将剪开的部分拼成一个平行四边形？
∴四边形DBCF是平行四边形。 ∴DE 1 ∴DF BC 又DE= DF， 12 ∴DE∥BC，且DE= BC 2
1 BC 2
定义：
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线
A
三角形中位线定理
D E
三角形的中位线平行于三角形的 第三边，并且等于第三边的一半
B
C
DE是ABC的中位线 DE是△ABC的中位线 1 DE // BC , DE BC . 2
F
A E D F
A
D
B
C
E
B
C
练习： 1、如图，AB ∥ DC，ED ∥ BC，AE ∥ BD， 那么图中和△ABD面积相等的三角形有 （ ）个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
D C
E A B
练习： 2、如图，在□ABCD中，AE⊥BC于E， AF⊥CD于F，∠ADC＝60°，BE＝2， CF＝1. 求△DEC的面积.
2
A E
F
C
DE
2
DF
DE
2
BC
还有另外的 证法吗？
证法二
例1、如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC 1 的中点，求证DE∥BC且DE= BC A
2
证明：延长DE到F，使EF=DE， 连接FC、DC、AF。 ∵AE=EC，又EF=DE ∴CF DA，即CF BD
B
D
E
F
C
∴四边形ADCF 是平行四边形
2.如图， A 、B两点被池塘隔开，在AB外选 一点C，连接AC和BC，怎样测出A、B两点 的实际距离？根据是什么？ A
C
B
如图，在平行四边形ABCD的一组对边AD、 BC上截取EF＝MN，连接EM、FN，EM和 FN有怎样的关系？为什么？
A
E
F
D来自百度文库
B
M
N
C
（1）如图，S BC AE CD AF （2）同底（等底）同高（等高）的 平行四边形面积相等。
E
A E
C
5
10 O C
D
D B F
2、填空题 1 1 （5）如图：如果AD= AB，AE= AC， 4 4 DE=2cm，那么BC= 8 cm。 （6）在△ABC中，E、F、G、H分别为AC、 CD、 BD、 AB的中点，若AD=3，BC=8，则 A 四边形EFGH的周长是 11 。
A
G
B
D 2 4 8
F
C
2、填空题 （1）△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点， 5cm BC=10cm，则DE=______.
（2） △ABC中,D、E分别是AB、AC的中点， ∠A=50°, ∠B=70°,则∠AED=_____. 60°
A D
B
A 50° 60°E D
5 10
(1)
E
C
B
70°
(2)
60° C
D A E C
6.如图,已知△ABC中, AB = 3㎝,BC=3.4 ㎝ AC=4㎝ 且D,E,F分别为 AB,BC,AC边的 中点,则△DEF的周长 A
是
5.2
㎝.
C
D
E
F
B
7、如下图：在Rt △ ABC中， ∠A=90°,D、E、F分别是各边 中点, AB=6cm，AC=8cm，则 △DEF的周长= 12 cm。 B D A F C
2、填空题 （3）如图，E是平行四边形ABCD的AB边上的 中点，且AD=10cm，那么OE= 5 cm. （4）三角形的周长为18cm，面积为48cm2 ， 这个三角形的三条中位线围成三角形的周长 2 9cm 12cm 是 ，面积是 .
①图中有几个平行四边形？ 思考: ②图中有几个三角形？它们有什么关系？ A E B
A M
D
B
N
C
练习： 5、如图，在□ABCD中，延长AD到F，使 DF＝AD，连结BF交CD于点E . 求证：点E平分CD与BF.
F
D
E
C
A
B
练习： 6、如图，已知E为□ABCD中DC延长线上的 一 点，且CE＝DC，连结AE，分别交BC、 BD于点F、G，连结AC交BD于点O，连结 OF . A D 求证：AB＝2OF.
1、一个三角形有几条中位线？ 2.三角形的中位线与三角形的中线有什么区别？ A E D C F
B
三角形的中位线与三角形的中线有什么区别？
A
D B
A
E
C B
F
C
中位线是两个中点的连线， 而中线是一个顶点和对边中点的连线。
三角形中位线定理
三角形的中位线平行于三角形的第三边， 并且等于第三边的一半
DE是ABC的中位线 1 DE // BC , DE BC . 2 三角形中位线定理有何作用？
A D
F B E C
练习： 3、如图，O是□ABCD的对角线AC的中点， 过点O的直线EF分别交AB、CD于E、F两 点 . 求证：四边形AECF 是平行四边形. F
D C
O A E B
练习： 4、如图， AC是□ABCD的一条对角线， BM⊥AC， ND⊥AC，垂足分别是M、N . 求证：四边形BMDN是平行四边形.
A D B E F C
例1、如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC 1 的中点，求证DE∥BC且DE= BC 2DE=BC
证明：如 图，延 长DE 到 F，使 位置关系 数量关系 EF=DE ，连 结CF. ∵ DE=EF 、∠ AED= ∠ CEF 、 D AE=EC∴△ADE ≌ △CFE ∴AD=FC 、∠A=∠ECF ∴AB∥FC B 又AD=DB ∴BD∥ CF且 BD =CF 所以 ，四边形BCFD是平行四边形 ∴DF∥BC，DF＝BC 即DE∥BC 1 1 又∵
新人教版八(下)第18章四边形课件
三角形中位线定理
平行四边形的判定方法
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形 从边来判定 2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形 3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
从角来判定
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
从对角线来判定
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
E
H
C
四边形EFGH 是平行四边形吗?
E
3
F
4
G G
H
1.5
C
F
4D
8
1.5
B
D
例2、求证：
顺次连结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形
已知：E、F、G、H分别是四 边形ABCD中AB、 BC、 CD、DA的中点。 A 求证：EFGH是平行四边形。
E G F C
H
D
B
3、如图， A 、B两点被池塘隔开，在AB外 选一点C，连接AC和BC，怎样测出A、B两 点的实际距离？根据是什么？ A D
D
C
E
B
挑战自我:
4.已知：如图，△ABC是锐角三角形。分别
以AB，AC为边向外侧作等边三角形ABM和等边
三角形CAN。D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，
连结DE，EF。 求证：DE=EF
M A D F
B N
E
C
1.三角形的中位线定义. 2.三角形的中位线定理. 3. 在三角形中给出一边的中点时，通常要转化 为中位线来解题.
4.线段的倍分要转化为相等问题来解决. 5.三角形的中位线定理的发现过程所用到的数学 方法（包括画图、实验、猜想、分析、归纳等.)
A D B E
巩固新知
平行于 第三边,并 １.三角形的中位线_______ 等于 第三边的____________ 一半 且______
2．如图：在△ABC中，DE是中 位线。 C （1）若∠ADE=60°，则∠B= 60° ; （2）若BC=8cm，则DE= 4 cm.
（3）DE +BC=12cm,则BC=8cm —— 3．若等腰△ABC的周长是 40cm,AB=AC=14cm,则中位线DE ６cm ＝———
D
4.如图, MN 为△ABC 的中位线,若 ∠ABC =61°则∠AMN = , 61° 若MN =12 ,则BC = 24 .
A M B
N
C
5. 如图, △ABC 中, D ,E 分别为AB, AC 的中点,当BC =10㎝时 , 则 B DE = 5㎝ .
B
A
D
E
C
1、已知，如图AD是△ABC的中线，EF是 中位线，求证：AD与EF互相平分
证明：连接DE、DF ∵AD是△ABC的中线，EF是中位线， A ∴点D、E、F分别是BC、AB、AC的中点 ∴ DE、DF也是△ABC的中线 ∴DE∥AC，DF∥ AB E （三角形的中位线的定义） ∴四边形AEDF是平行四边形 （平行四边形的定义） B D ∴ AD与EF互相平分 （平行四边形的对角线互相平分）