2021届湖南长郡中学新高考原创预测试卷(二十)数学
2021届湖南长郡中学新高考原创预测试卷(二十)化学
2021届湖南长郡中学新高考原创预测试卷（二十）化学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 O-16 Na-23 P-31 Cl-35.5 Fe-56一、选择题：本题共14小题，每小题2分，共28分。
每小题只有一个选项符合题目要求。
1．实验室中下列做法错误的是（）A．用冷水贮存白磷B．用浓硫酸干燥二氧化硫C．用酒精灯直接加热蒸发皿D．用二氧化碳灭火器扑灭金属钾的燃烧12．下列叙述不涉及氧化还原反应的是（）A．谷物发酵酿造食醋 B．小苏打用作食品膨松剂C．含氯消毒剂用于环境消毒D．大气中NO2参与酸雨形成3. 在一密闭容器中有CO、H2、O2共16.5 g和足量的Na2O2，用电火花引燃，使其完全反应，Na2O2增重7.5 g，则原混合气体中O2的质量分数是( )A．54.5% B．40%C．36% D．33.3%4. 铋(Bi)位于元素周期表中第ⅤA族，其价态为＋3时较稳定，铋酸钠(NaBiO3)溶液呈无色。
2021届湖南长郡中学新高三原创预测试卷(九)数学
2021届湖南长郡中学新高三原创预测试卷（十）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。
1. 已知集合{-1,0,1,2}A =,{|lg(1)}B x y x ==-，则AB =A. {2}B. {1,0}-C. {1}-D. {1,0,1}-2. 已知复数z 满足i z11=-，则z =A.i 1122+B.i 1122-C. i 1122-+ D. i 1122-- 3. 已知向量a b (3,1),(3,3)=-=，则向量b 在向量a方向上的投影为A.B.C. 1-D. 14. 已知m n ,为两条不重合直线，,αβ为两个不重合平面，下列条件中，αβ⊥的充分条件是A. m ∥n m n ,,αβ⊂⊂B.m ∥n m n ,,αβ⊥⊥C. m n m ,⊥∥n ,α∥βD. m n m ,⊥n ,αβ⊥⊥5. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为A. 103B. 3C. 83D.736. 函数f x x 2()cos(2)3π=+的对称轴不可能为A.x 56π=-B.x 3π=-C. x 6π=D. x 3π=7. 已知f x ()为定义在R 上的奇函数，且满足f x f x (4)(),+=当x (0,2)∈时，f x x 2()2=, 则f (3)=A. 18-B. 18C. 2-D. 28. 已知数列n a {}为等比数列，若a a a 76826++=，且a a 5936⋅=，则a a a 768111++=A.1318 B. 1318或1936 C. 139 D. 136 9. 椭圆x y 22192+=的焦点为F F 12,，点P 在椭圆上，若PF 2||2=，则F PF 12∠的大小为A. 150︒B. 135︒C. 120︒D. 90︒10. 已知b a b c a 0.2121()2,log 0.2,===，则a b c ,,的大小关系是A. a b c <<B. c a b <<C. a c b <<D. b c a <<11. 赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时， 介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三正视图俯视图侧视图角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1）），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如 图（2）所示的图形，它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正 六边形，设A F F A 2'''=,若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为A.B.413C.D.4712. 已知F F 12,分别为双曲线x y C a b2222:1-=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以F F 12为直径的圆经过点P ，若PF F 12∆2，则双曲线的离心率为A.B. 2C.D. 3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13. 二项式x 5(2)-的展开式中x 3的系数为（用数字作答） . 14. 已知两圆相交于两点A a B (,3),(1,1)-，若两圆圆心都在直线x y b 0++=上，则a b +的值是 .15. 若点P (cos ,sin )αα在直线y x 2=上，则cos(2)2πα+的值等于 .16. 已知数列n a {}的前n 项和n n S a 14λ=-+且114a =，设x x f x e e 2()1-=-+，则 f a f a f a 721222(log )(log )(log )+++的值等于 .三、解答题：共70分。
2021届湖南长郡中学新高三原创预测试卷(二十四)数学
2021届湖南长郡中学新高三原创预测试卷（二十四）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一､选择题(共12小题).1.若复数z1i i=-(i是虚数单位)，则|z|=（）A. 12B.22C. 1D. 2【答案】B【解析】分析】利用复数的除法运算化简后利用模的公式计算.【详解】z()()()1111 111222i ii iii i i+-+====-+ --+.所以|z|2==. 故选：B.【点睛】本题主要考查复数的运算及模的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2.已知集合{}0,1,2A =，集合102x B x x -⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ）A. {}0,1B. {}1,2C. {}1D. {}2【答案】C 【解析】 【分析】由分式不等式的解法可求得集合B ，根据交集定义可求得结果. 【详解】由102x x -≤-得：()()12020x x x ⎧--≤⎨-≠⎩，解得：12x ≤<，{}12B x x ∴=≤<， {}1A B ∴⋂=.故选：C .【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，涉及到分式不等式的求解，属于基础题. 3.已知平面α∩β=l ，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误的是（ ） A. 若m ∥β，则m ∥l B. 若m ∥l ，则m ∥β C. 若m ⊥β，则m ⊥l D. 若m ⊥l ，则m ⊥β【答案】D 【解析】 分析】A 由线面平行的性质定理判断.B 根据两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面判断.C 根据线面垂直的定义判断.D 根据线面垂直的判定定理判断. 【详解】A 选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行；B 选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面；C 选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线；D 选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面； 故选：D.【点睛】本题主要考查线线关系和面面关系，还考查了推理论证的能力，属于中档题. 4.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n +1=a n +a (n ∈N *，a 为常数)，若平面内的三个不共线的非零向量OAOB OC ，，满足10051006OC a OA a OB =+，A ，B ，C 三点共线且该直线不过O 点，则S 2010等于（ ） A. 1005 B. 1006C. 2010D. 2012【答案】A 【解析】 【分析】根据a n +1=a n +a ，可判断数列{a n }为等差数列，而根据10051006OC a OA a OB =+，及三点A ，B ，C 共线即可得出a 1+a 2010=1，从而根据等差数列的前n 项和公式即可求出S 2010的值. 【详解】由a n +1=a n +a ，得，a n +1﹣a n =a ； ∴{a n }为等差数列；由10051006OC a OA a OB =+， 所以A ，B ，C 三点共线； ∴a 1005+a 1006=a 1+a 2010=1， ∴S 2010()12010201020101100522a a +⨯===. 故选：A.【点睛】本题主要考查等差数列的定义，其前n 项和公式以及共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.5.已知向量m =(1,cosθ)，(sin ,2)n θ=-，且m ⊥n ，则sin 2θ+6cos 2θ的值为（ ）A.12B. 2D. ﹣2【答案】B 【解析】 【分析】根据m ⊥n 可得tanθ，而sin 2θ+6cos 2θ22226sin cos cos sin cos θθθθθ+=+，分子分母同除以cos 2θ，代入tanθ可得答案.【详解】因为向量m=(1，cosθ)，n=(sinθ，﹣2)，所以sin2cosm nθθ⋅=-因为m⊥n，所以sin2cos0θθ-=，即tanθ=2，所以sin2θ+6cos2θ22222626226141sin cos cos tansin cos tanθθθθθθθ++⨯+====+++2.故选：B.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积与三角恒等变换，还考查运算求解的能力，属于中档题.6.执行如图所示的程序框图，令()y f x=，若()1f a>，则实数a的取值范围是（）A. (,2)(2,5]-∞⋃ B. (,1)(1,)-∞-+∞C. (,2)(2,)-∞⋃+∞ D. (,1)(1,5]-∞-⋃【答案】D【解析】分析：先根据程序框图得()f x解析式，再根据分段函数解三个不等式组，求并集得结果. 详解：因为2,2()=23,251,5x xf x x xxx⎧⎪≤⎪-<≤⎨⎪⎪>⎩，所以由()1f a>得25225112311aa aa aa>⎧≤<≤⎧⎧⎪⎨⎨⎨>->>⎩⎩⎪⎩或或所以11225115a a a a a<-<≤<≤∴<-<≤或或或，因此选D.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.7.已知m ∈R ，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在(0,)+∞上是减函数”的（ ）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，由函数有零点可得，，而由函数在上为减函数可得，因此是必要不充分条件，故选B ．考点：1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.充分必要条件.8.已知某班学生的数学成绩x (单位:分)与物理成绩y (单位:分)具有线性相关关系，在一次考试中，从该班随机抽取5名学生的成绩，经计算:5511475?320i ii i x y====∑∑，，设其线性回归方程为:ˆˆ 0.4yx a =+.若该班某学生的数学成绩为105，据此估计其物理成绩为（ ） A. 66 B. 68C. 70D. 72【答案】B 【解析】 【分析】由题意求出x ､y ，代入线性回归方程求得a ，再计算x =105时y 的值.【详解】由题意知，511 5i x ==∑x i 15=⨯475=95，511 5i y ==∑y i 15=⨯320=64， 代入线性回归方程y =0.4x a +中，得64=0.4×95a +，解a =26； 所以线性回归方程为y =0.4x +26， 当x =105时，y =0.4×105+26=68，即该班某学生的数学成绩为105时，估计它的物理成绩为68. 故选：B.【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解及应用，还考查运算求解的能力，属于基础题. 9.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22S =，36S =-，则5S =（ ） A. 18 B. 10C. -14D. -22【答案】D 【解析】 【分析】由求和公式可得关于1a 和q 的值，再代入求和公式可得. 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，显然1q ≠， 由求和公式可得()212121a q S q-==-①，()313161a q S q-==--②②①可得3221163112q q q q q -++-===--+，解得2q =-， 代回①可得12a =-，()()()55152********a q S q⎡⎤----⎣⎦∴===----故选D ．【点睛】本题考查等比数列的求和公式，属基础题 ． 10.函数()24sin f x x x =-，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象大致是( ) A. B.C. D.【答案】D 【解析】∵函数f （x ）=2x ﹣4sinx ，∴f（﹣x ）=﹣2x ﹣4sin （﹣x ）=﹣（2x ﹣4sinx ）=﹣f （x ），故函数f （x ）为奇函数，所以函数f （x ）=2x ﹣4sinx 的图象关于原点对称，排除AB ， 函数f′（x ）=2﹣4cosx ，由f′（x ）=0得cosx=，故x=2k （k∈Z），所以x=±时函数取极值，排除C ，故选D ．点睛：本题主要考查函数的性质，结合函数的奇偶性得出函数图象的对称性，是解决函数图象选择题常用的方法．11.已知12,F F 是双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点，设双曲线的离心率为e ．若在双曲线的右支上存在点M ，满足212||||MF F F =，且12sin 1e MF F ∠=，则该双曲线的离心率e 等于 A.54B.535 D.52【答案】B 【解析】依题设，2122MF F F c ==， ∵12sin 1e MF F ∠=， ∴1212sin 2a MF F e c∠==， ∴等腰三角形12MF F ∆底边上的高为2a ， ∴底边1MF 的长为4b ， 由双曲线的定义可得422b c a -=，∴2b a c =+，∴()224b a c =+，即22242b a ac c =++， ∴23250e e --=，解得53e =. 点晴:本题考查的是双曲线的定义和双曲线离心率的求法.解决本题的关键是利用题设条件2122MF F F c ==和双曲线的定义可得422b c a -=，即2b a c =+在三角形中寻找等量关系()224b a c =+，运用双曲线的a,b,c 的关系和离心率公式即可求出双曲线的离心率53e =.12.定义在R 上的可导函数()f x 满足()11f =，且()2'1f x >，当3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，不等式23(2cos )2sin22x f x +>的解集为( ) A 4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭B. 4,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭C. 0,3π⎛⎫⎪⎝⎭D.,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】构造函数()()1122g x f x x =--，可得()g x 在定义域内R 上是增函数，且()10g =，进而根据23(2cos )2sin022x f x +->转化成()(2cos )1g x g >，进而可求得答案 【详解】令11()()22g x f x x =--，则1()'()0'2g x f x =->，()g x ∴在定义域R 上是增函数，且11(1)(1)022g f =--=，1(2cos )(2cos )cos 2g x f x x ∴=--23=(2cos )2sin 22x f x +-，∴23(2cos )2sin 022x f x +->可转化成()(2cos )1g x g >，得到2cos 1x >，又3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可以得到,33x ππ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭故选D【点睛】本题考查利用函数的单调性求取值范围，解题的难点在于如何合理的构造函数，属于中档题二､填空题(共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.)13.已知实数x 、y 满足50{30x y x x y -+≥≤+≥，则目标函数2z x y =+的最小值为_____________．【答案】3- 【解析】满足条件的点(,)x y 的可行域如下：由图可知，目标函数2z x y =+在点(3,3)-处取到最小值-314.已知x >0，y >0，且x +2y =xy ，若x +2y >m 2+2m 恒成立，则xy 的最小值为_____，实数m 的取值范围为_____.【答案】 (1). 8 (2). (4,2)- 【解析】 【分析】 x +2y =xy 等价于21x y+=1，根据基本不等式得出xy ≥8，再次利用基本不等式求出x +2y 的最小值，进而得出m 的范围.【详解】∵x >0，y >0，x +2y =xy ， ∴21x y+=1， ∴121212x y x y=+≥⋅ ∴xy ≥8，当且仅当x =4，y =2时取等号， ∴x +2y =xy ≥8(当x =2y 时，等号成立)， ∴m 2+2m <8，解得﹣4<m <2. 故答案为：8；(﹣4，2)【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题.15.已知圆M ：224x y +=，在圆M 上随机取一点P ，则P 到直线2x y +=的距离大于22的概率为 . 【答案】14【解析】【详解】试题分析：作出示意图，由题意P 到直线2x y +=的距离大于22，则P 在阴影部分所对的劣弧上，由几何概型的概率计算公式知，所求概率为考点：几何概型16.平面四边形ABCD 中，AB =AD =CD =1，BD 2=，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体A ′﹣BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，若四面体A ′﹣BCD 顶点在同一个球面上，则该球的表面积_____.【答案】3π 【解析】 【分析】根据BD ⊥CD ，BA ⊥AC ，BC 的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的表面积. 【详解】因为平面A′BD ⊥平面BCD ， BD ⊥CD ， 所以CD ⊥平面ABD ，∴CD ⊥BA ，又BA ⊥AD ，∴BA ⊥面ADC ，所以BA ⊥AC ，所以△BCD 和△ABC 都是直角三角形， 由题意，四面体A ﹣BCD 顶点在同一个球面上，所以BC 的中点就是球心，所以BC =2所以球的表面积为：242π⋅=3π. 故答案为：3π.【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理和球的外接问题，还考查空间想象和运算求解的能力，属于中档题.三､解答题(共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.)17.已知向量(sin ,cos ),(3cos ,cos ),()a x x b x x f x a b ===⋅. （1）求f (x )的单调递增区间；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3a sinB sinC ==，若f (A )=1，求△ABC 的周长.【答案】（1）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）4【解析】 【分析】（1）利用平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换可求函数解析式f (x )=sin (2x 6π+)12+，再利用正弦函数的单调性即可计算得解.（2）由题意可得sin (2A 6π+)12=，结合范围0<A <π，可求A 的值，由正弦定理利用sinB =3sinC ，可得b =3c ，根据余弦定理可求c 的值，进而可求b 的值，从而可求三角形的周长.【详解】（1）因为a =(sinx ，cosx)，b =( ，cosx )，f (x )a =•3b =sinxcosx +cos 2x =2x 12+cos 2x 12+=sin (2x 6π+)12+，由2π-+2kπ≤2x 62ππ+≤+2kπ，k ∈Z ，可得：3π-+kπ≤x 6π≤+kπ，k ∈Z ，可得f (x )的单调递增区间是：[3π-+kπ，6π+kπ]，k ∈Z ， （2）由题意可得：sin (2A 6π+)12=，又0<A <π， 所以6π<2A 1366ππ+<， 所以2A 566ππ+=，解得A 3π=，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ， 所以a =BC 7=，又sinB =3sinC ，可得b =3c ， 故7=9c 2+c 2﹣3c 2，解得c =1，所以b =3，可得△ABC 的周长为47+.【点睛】本题主要考查平面向量与三角恒等变换以及正弦定理，余弦定理的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题.18.某单位N 名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)，第4组[40,45)，第5组[45,50]，得到的频率分布直方图如图所示．下表是年龄的频率分布表.区间[25,30)[30,35) [35,40) [40,45) [45,50]人数25a b(1)求正整数a ，b ，N 的值；(2)现要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？(3)在(2)的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．【答案】（1）25,100，250； （2）1人，1人，4人； （3）815. 【解析】 【分析】⑴根据频率分布直方图的意义并结合表格内的已知数可以求得25a =，100b =，250N = ⑵先求出这三组的总人数，根据分层抽样的取样方法求得每组取样的人数⑶利用列举法列出所有的组合方式共有15种，其中满足条件的组合有8种，利用古典概型概率公式求得结果【详解】(1)由频率分布直方图可知，[25,30)与[30,35)两组的人数相同，所以25a =. 且0.08251000.02b =⨯= 总人数252500.025N ==⨯ (2)因为第1,2,3组共有2525100150++=人，利用分层抽样在150名员工中抽取6人，每组抽取的人数分别为： 第1组的人数为2561150⨯=， 第2组的人数为2561150⨯=，第3组的人数为10064150⨯=， 所以第1,2,3组分别抽取1人，1人，4人．(3)由(2)可设第1组的1人为A ，第2组的1人为B ，第3组的4人分别为1C ，2C ，3C ，4C 则从6人中抽取2人的所有可能结果为：()A B ，，()1A C ，，()2A C ，，()3A C ，，()4A C ，，()1B C ，，()2B C ，，()3B C ，，()4B C ，，()12C C ，，()13 C C ，，()14C C ，，()()2324 C C C C ，，，，()34C C ，共有15种．其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：()1AC ，，()2A C ，，()3A C ，，()4A C ，，()1B C ，，()2B C ，，()3B C ，，()4B C ，，共有8种．所以恰有1人年龄在第3组的概率为815.【点睛】本题主要考查了频率分布表和频率分布直方图的应用，还考查了利用古典概型概率公式求概率，熟练掌握各个定义，是解题的关键，属于基础题．19.如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上(如图1)，且BE=BF，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′(如图2).（1）求证：A′D⊥EF；（2）BF13=BC时，求点A′到平面DEF的距离.【答案】（1）证明见解析.（2）375【解析】【分析】（1）推导出A′E⊥A′D，A′F⊥A′D，由线面垂直的判定定理得到A′D⊥平面A′EF，由此得证.（2）设点A′到平面DEF的距离为d，由V A′﹣DEF=V D﹣A′EF，能求出点A′到平面DEF的距离. 【详解】（1）由ABCD 是正方形及折叠方式，得：A′E⊥A′D，A′F⊥A′D ，∵A′E∩A′F=A′，∴A′D⊥平面A′EF，∵EF⊂平面A′E F，∴A′D⊥EF. （2）∵113BE BF BC===，∴223A E A F EF A D'''====，，，∴'72A EF S=，∴DE=DF13=52DEF S=，设点A′到平面DEF的距离为d，∵V A′﹣DEF =V D ﹣A′EF ， ∴'11'33DEFA EFd SA D S ⨯⨯=⨯⨯，解得d =.∴点A′到平面DEF . 【点睛】本题主要考查线线垂直，线面垂直的转化以及等体积法球点到面的距离，还考查转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.20.已知P 是圆221:(1)16F x y ++=上任意一点，F 2(1,0)，线段PF 2的垂直平分线与半径PF 1交于点Q ，当点P 在圆F 1上运动时，记点Q 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）过点()M 的直线l 与（1）中曲线相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求△AOB 面积的最大值及此时直线l 的方程.【答案】（1）22143x y +=.（2）AOB 面积的最大值为，此时直线l 的方程为3x y =±. 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的性质，利用椭圆定义法可求得曲线C 的方程；（2）设直线l 的方程为x =ty 22143x y +=交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线与椭圆的方程消去x ，利用韦达定理结合三角形的面积，利用换元法以及基本不等式求解最值，然后推出直线方程.【详解】（1）由已知|QF 1|+|QF 2|=|QF 1|+|QP |=|PF 1|=4， 所以点Q 的轨迹为以为1F ，2F 焦点，长轴长为4的椭圆， 则2a =4且2c =2，所以a =2，c =1，则b 2=3，所以曲线C 的方程为22143x y +=；（2）设直线l 的方程为x =ty 与椭圆22143x y +=交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线与椭圆的方程消去x ，得(3t 2+4)y 2﹣﹣3=0， 则y 1+y2234t =+，y 1y 22334t =-+， 则S △AOB 12=|OM |•|y 1﹣y 2|2=2==u =，则u ≥1，上式可化为26633u u u u=≤=++ 当且仅当u =t时等号成立， 因此△AOB，此时直线l 的方程为xy 【点睛】本题主要考查椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系以及基本不等式的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题.21.设函数()()2ln f x x ax x a R =-++∈.（1）当1a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）ln 31,33⎛⎤- ⎥⎝⎦ 【解析】 【分析】（1）求出()'f x ，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（2）由()2ln 0f x x ax x =-++=，可得ln x a x x =-，1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令()ln x g x x x =-，利用导数可得 ()g x 的减区间为1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭，增区间为(]1,3，求得函数的极值与最值，从而可得结果.【详解】（1）因为()()2ln f x x ax x a =-++∈R ，所以函数()f x 的定义域为()0,∞+，当1a =-时，()212121x x f x x x x--+=--+='，令()0f x '=，得12x =或1x =-（舍去）. 当102x <<时，()0f x '>，当12x >时，()0f x '<，所以()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）令()2ln 0f x x ax x =-++=，1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，ln xa x x =-，令()ln x g x x x =-，其中1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()2221ln ln 11x xx x x g x x x ⋅-+-=-='，令()0g x '=，得=1x ， 当113x ≤<时，()0g x '<，当13x <≤时，()0g x '>， ()g x ∴的单调递减区间为1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭，单调递增区间为(]1,3，()()min 11g x g ∴==，又113ln333g ⎛⎫=+⎪⎝⎭，()ln3333g =-，且1ln33ln3333+>-， 由于函数()f x 在1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，故实数a 的取值范围是ln31,33⎛⎤-⎥⎝⎦. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值以及利用导数研究函数的零点，属于中档题. 导数问题有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.22.在直角坐标系xOy 中，已知圆C ：2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，点P 在直线l ：40x y +-=上，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求圆C 和直线l 的极坐标方程；（2）射线OP 交圆C 于R ，点Q 在射线OP 上，且满足2OP OR OQ =⋅，求Q 点轨迹的极坐标方程．【答案】（1）2ρ=,4sin cos ρθθ=+；（2）812sin ρθ=+. 【解析】试题分析：（1）圆2cos :(2x C y sin θθθ=⎧⎨=⎩为参数），利用平方法消去参数可得直角坐标方程：224x y +=，利用互化公式可得圆C 的极坐标方程以及直线l 的极坐标方程；（2）)设,,P Q R 的极坐标分别为()()()12,,,,,ρθρθρθ，由124,2sin cos ρρθθ==+，又2OP OR OQ =⋅，即可得出.试题解析：（1）圆C 的极坐标方程2ρ=，直线l 的极坐标方程ρ＝.(2)设,,P Q R 的极坐标分别为()()()12,,,,,ρθρθρθ，因为124,2sin cos ρρθθ==+又因为2OP OR OQ =⋅，即 212ρρρ=⋅()21221612sin cos ρρρθθ∴==⨯+，.23.已知函数()12f x x x =--+.（Ⅰ）若不等式()1f x m ≥-有解，求实数m最大值M ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数a ，b 满足223a b M +=，证明：34a b +≤. 【答案】(Ⅰ)4M =；(Ⅱ)证明见解析. 【解析】 试题分析：(Ⅰ)原问题等价于()1max f x m ≥-.由绝对值三角不等式可得123x x --+≤=，则13m -≤，实数m 的最大值4M =.(Ⅱ)根据(Ⅰ)知正实数a ，b 满足2234a b +=，由柯西不等式可知()()()2223313ab a b ++≥+，即34a b +≤(当且仅当1a b ==时取“=”).试题解析：(Ⅰ)若不等式()1f x m ≥-有解，只需()f x 的最大值()1max f x m ≥-即可. 因为()()12123x x x x --+≤--+=，所以13m -≤，解得24m -≤≤， 所以实数m 的最大值4M =.(Ⅱ)根据(Ⅰ)知正实数a ，b 满足2234a b +=，由柯西不等式可知()()()2223313a b a b ++≥+，所以，()2316a b +≤，因为a ，b 均为正实数，所以34a b +≤(当且仅当1a b ==时取“=”).。
2021届湖南长郡中学新高考原创预测试卷(三)数学
（1）化简 ；
（2）若 ，求 的值．
19.（本小题满分12分）
已知函数 .
（1）求 的单调减区间；
（2）当 时，求 的最大值和最小值.
20．（本小题满分12分）
如图，在 中， ，点 在 边上，
（1）求 的度数；
（2）求 的长度.
21.（本小题满分12分）
已知函数 图象上在点 处的切线与直线 平行，
C．向右平移 个单位长度D．向右平移 个单位长度
6．在△ABC中，a2tanB=b2tanA，则△ABC是（）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
7．已知函数 的导函数为 ，且满足关系式 ，则 的值等于（）
A．2B． C． D．
8．已知函数的定义域为R，且对任意的 且 都有 成立，若 对 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
2．设 则“ ”是“ ”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要
3．已知函数 ，若 ，则 的值为（）
A． B． C． D．
4．函数 的部分图象大致为（）
A． B．
C． D．
5．为了得到函数 的图象，只需把函数 图象上所有的点（）
A．向左平移 个单位长度B．向左平移 个单位长度
（2）①若 ，则 恒成立， 在 上单调递增．
②若 ，令 ，得 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增．
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。请把答案填涂在答题卷相应位置上。
2021届湖南长郡中学新高三原创预测试卷(二十一)物理
2021届湖南长郡中学新高三原创预测试卷（二十一）物理★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题6分。
其中8、9、10、11题有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分；其余小题只有一个选项符合题目要求。
1.质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上。
用另一轻绳OC系在AB绳上O点，轻绳OC保持水平向右拉O点使OA与竖直方向有一定角度，物体处于平衡状态。
现保持O点不变，使轻绳OC逆时针缓慢转至与OA绳垂直，如图所示，用T和F分别表示绳OA段和OC段拉力的大小，在缓慢转动过程中（）A. F逐渐变大，T逐渐变大B. F逐渐变小，T逐渐变小C. F逐渐变小，T逐渐变大D. F逐渐变大，T逐渐变小【答案】B【解析】【详解】对O点受力分析，如图，由图可知，保持O点不变，使轻绳OC逆时针缓慢转至与OA 绳垂直时，F逐渐变小，T逐渐变小，故B正确，ACD错误。
2021届湖南长郡中学新高考模拟试卷(二十)物理试题
2021届湖南长郡中学新高考模拟试卷（二十）物理试卷★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题1.一串质量为50g 的钥匙从橱柜上1.8m 高的位置由静止开始下落，掉在水平地板上，钥匙与地板作用的时间为0.05s ，且不反弹。
重力加速度210m/s g =，此过程中钥匙对地板的平均作用力的大小为（ ） A. 5N B. 5.5N C. 6N D. 6.5N【答案】D 【解析】【详解】钥匙自由落体到地面的速度为22v gh =解得6m/s v =取向上方向为正方向，根据冲量等于动量的变化量可得()0F mg t mv -=-解得6.5N F =故选D 。
2021届湖南长郡中学新高三原创预测试卷(二)数学
2021届湖南长郡中学新高三原创预测试卷（二）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数z 满足，i iiz +=++12，则复数z= A ．2+i B ．1 +2i C ．3 +i D ．3-2i 2．已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+-=031x x xA ，{}2<=x x B ，则A∩B=A ．{}12<<-x xB ．{}23<<-x xC ．{}12≤<-x xD ．{}12≤≤-x x 3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，21=a ，02432=++a a a ，则5S =A ．2B ．0C ． -2D ． -4 4．若某几何体的三视图如下，则该几何体的体积为 A ．2 B ．4C ．24D ．D ．34 5．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布)0)(,1(2>σσN ，若ξ在（0，2）内取值的概率为0.8，则ξ在),0(+∞内取值的概率为A ．0.9B ．0.1C ．0.5D ．0.4 6．已知函数)22)(3cos()(πϕπϕ<<-+=x x f 图象关于直线185π=x 对称，则函数f （x ）在区间[0，π]上零点个数为A ．1B ．2C ．3D ．47．已知向量，是互相垂直的单位向量，向量满足1=⋅，1=⋅= A ．2 B ．5 C ．3 D ．78．已知等差数列{}n a 满足：82521=+a a ，则21a a +的最大值为A ．2 C ．4B ．3 D ．5 9．已知直线21-=x y PQ ：与y 轴交于P 点，与曲线)0(:2≥=y x y C 交于M Q ，成为线段PQ 上一点，过M 作直线t x =交C 于点N ，则△MNP 面积取到最大值时，t 的值为 A ．161 B ．41 C ．1 D ．45 10．已知函数)(1)(1R a eax ex f x ∈--=-的图象与x 轴有唯一的公共点，则实数a 的取值范围为A ．{}0≤a a B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧=≤e a a a 10，或C ．{}e a a a =≤，或0D ．{}10=≤a a a ，或11．已知A ，B 分别为双曲线1322=-Γy x ：实轴的左右两个端点，过双曲线Γ的左焦点F 作直线PQ 交双曲线于P ，Q 两点（点P ，Q 异于A ，B ） ，则直线AP ，BQ 的斜率之比BQ AP k k := A ．31-B ．3-C ．32-D ．23- 12．在四棱锥ABCD P -中，2=PA ，7===PD PC PB ，7==AD AB ，2==CD BC ，则四棱锥ABCD P -的体积为A ．32B ．3C ．5D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13．函数ln 1xy x =+在点P （1，0）处的切线方程为 ． 14．一种药在病人血液中的量保持1500 mg 以上才有疗效；而低于500 mg 病人就有危险。
2021年湖南省长沙市长郡中学高考数学考前冲刺试卷(附答案详解)
2021年湖南省长沙市长郡中学高考数学考前冲刺试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合A={x|y=√x−2}，B={y|y=√x−2}，C={(x,y)|y=√x−2}，则下列集合不为空集的是()A. A∩BB. A∩CC. B∩CD. A∩B∩C2.已知一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不同的实数根x1，x2，则“x1⋅x2>4且x1+x2>4”的_____________是“x1>2且x2>2”.()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知数列{a n}，a n=1f(n)，其中f(n)为最接近√n的整数，若{a n}的前m项和为20，则m=()A. 15B. 30C. 60D. 1104.《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有这样一道题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠亦日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢？”题意为：有一堵墙厚五尺，有两只老鼠从墙的正对面打洞穿墙.大老鼠第一天打进一尺，以后每天打进的长度是前一天的2倍；小老鼠第一天也打进一尺，以后每天打进的长度是前一天的一半.若这一堵墙厚16尺，则几日后两鼠相逢()A. 3B. 4C. 5D. 65.如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线(也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线)，它对应的方程为|y|=(2−12[2xπ])|sinωx|(0≤x≤2π，其中记[x]为不超过x的最大整数)，且过点P(π4,2)，若葫芦曲线上一点M到y轴的距离为5π3，则点M到x轴的距离为()A. 14B. √34C. 12D. √326.某地举办“迎建党100周年”乒乓球团体赛，比赛采用新斯韦思林杯赛制(5场单打3胜制，即先胜3场者获胜，比赛结束).现有两支球队进行比赛，前3场依次分别由甲、乙、丙和A、B、C出场比赛.若经过3场比赛未分出胜负，则第4场由甲和B进行比赛；若经过4场比赛仍未分出胜负，则第5场由乙和A进行比赛，假设甲与A或B比赛，甲每场获胜的概率均为0.6；乙与A或B比赛，乙每场获胜的概率均为0.5；丙与C比赛，丙每场获胜的概率均为0.5；各场比赛的结果互不影响，那么，恰好经过4场比赛分出胜负的概率为()A. 0.24B. 0.25C. 0.38D. 0.57.如表所示是采取一项单独防疫措施感染COVID−19的概率统计表：单独防疫措施戴口罩勤洗手接种COVID−19疫苗感染COVID−19的概率p 145(1−p)p100一次核酸检测的准确率为1−10p.某家有3人，他们每个人只戴口罩，没有做到勤洗手也没有接种COVID−19疫苗，感染COVID−19的概率都为0.01.这3人不同人的核酸检测结果，以及其中任何一个人的不同次核酸检测结果都是互相独立的.他们3人都落实了表中的三项防疫措施，而且共做了10次核酸检测.以这家人的每个人每次核酸检测被确诊感染COVID−19的概率为依据，这10次核酸检测中，有X 次结果为确诊，X的数学期望为()A. 1.98×10−6B. 1.98×10−7C. 1.8×10−7D. 2.2×10−78.如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面CDD1C1上有一个小孔E，E点到CD的距离为3，若该正方体水槽绕CD倾斜(CD始终在桌面上)，则当水恰好流出时，侧面CDD1C1与桌面所成角的正切值为()A. √55B. 12C. 2√55D. 2二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是()A. i +i 2+i 3+i 4=0B. 复数z =3−i 的虚部为−iC. 若z =(1+2i)2，则复平面内z −对应的点位于第二象限D. 已知复数z 满足|z −1|=|z +1|，则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线10. 函数f(x)的定义域为I.若∃M >0使得∀x ∈I 均有|f(x)|<M ，且函数f(x +1)是偶函数，则f(x)可以是( )A. f(x)=|ln x2−x | B. f(x)=sin(π2x)+cos(2πx) C. f(x)=12x +2−14D. f(x)={0,∁R Q1,x ∈Q11. 已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，C 的一条渐近线l 的方程为y =√3x ，且F 1到l 的距离为3√3，点P 为C 在第一象限上的点，点Q 的坐标为(2,0)，PQ 为∠F 1PF 2的平分线，则下列正确的是( )A. 双曲线的方程为x 29−y 227=1 B. |PF 1||PF 2|=2 C. |PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√6D. 点P 到x 轴的距离为3√15212. 将平面向量a ⃗ =(x 1,x 2)称为二维向量，由此可推广至n 维向量a⃗ =(x 1,x 2,⋯,x n ).对于n 维向量a ⃗ ，b ⃗ ，其运算与平面向量类似，如数量积a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cosθ=∑x i n i=1y i (θ为向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角)，其向量a ⃗ 的模|a ⃗ |=√∑x i 2n i=1，则下列说法正确的有( )A. 不等式(∑x i 2n i=1)(∑y i 2n i=1)≤(∑x i n i=1y i )2可能成立 B. 不等式(∑x i 2n i=1)(∑y i 2n i=1)≥(∑x i n i=1y i )2一定成立 C. 不等式n ∑x i 2n i=1<(∑x i n i=1)2可能成立D. 若x i >0(i =1,2，⋯，n)，则不等式∑1x in i=1∑x i n i=1≥n 2一定成立 三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设(x −√x )6的展开式中x 3的系数为a ，则a 的值为______ ．14. 锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2+c 2=a 2+bc ，b =2，则△ABC 的面积的取值范围是______ ．15. 如果数列{a n }满足a 1=2，a 2=1，且a n−1−ana n−1a n =a n −a n+1a n a n+1(n ≥2)，则这个数列的第2021项等于______ ．16. 函数f(x)=(x 2−10x +26)e x ，若∀x 1，x 2∈I ，x 1≠x 2，都有f(x 1+x 22)>f(x 1)+f(x 2)2成立，则满足条件的一个区间I 可以是______ (填写一个符合题意的区间即可)．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 如图，在梯形ABCD 中，AB//CD ，AB =2，CD =5，∠ABC =2π3．(1)若AC =2√7，求梯形ABCD 的面积； (2)若AC ⊥BD ，求tan∠ABD ．18. 已知数列{a n }中，a 1=1，a 2=2，且a n+2=2a n+1+3a n ，设数列b n =a n+1+a n ．(1)求证：数列{b n }是等比数列，并求数列{b n }的通项公式； (2)若数列{b n }的前n 项和为S n ，数列{94b nS n ⋅S n+1}的前n 项和为T n ，求证：T n <14．19. 某商城玩具柜台元旦期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送元旦礼品.而每个甲系列盲盒可以开出玩偶A 1，A 2，A 3中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶B 1，B 2中的一个．(1)记事件E n ：一次性购买n 个甲系列盲盒后集齐A 1，A 2，A 3玩偶；事件F n ：一次性购买n 个乙系列盲盒后集齐B 1，B 2玩偶；求概率P(E 6)及P(F 5)；(2)礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为15，购买乙系列的概率为45；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为14，购买乙系列的概率为34；前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为12，购买乙系列的概率为12；如此往复，记某人第n 次购买甲系列的概率为Q n ． ①Q n ；②若每天购买盲盒的人数约为100，且这100人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个．20. 如图所示的几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成，点G 为弧CD⏜的中点，且C 、E 、D 、G 四点共面． (1)证明：平面BFD ⊥平面BCG ；(2)若平面BDF 与平面ABG 所成锐二面角的余弦值为√155，求直线DF 与平面ABF 所成角的大小．21. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，O 为坐标原点，直线l ：x =1与C 的两个交点和O ，B 构成一个面积为√6的菱形． (1)求C 的方程；(2)圆E 过O ，B ，交l 于点M ，N ，直线AM ，AN 分别交C 于另一点P ，Q ，点S ，T 满足AS⃗⃗⃗⃗⃗ =13SP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AT ⃗⃗⃗⃗⃗ =13TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求O 到直线ST 和直线PQ 的距离之和的最大值．22. 已知函数f(x)=12e 2x +be x +ax 在x =0处取得极值f′(x)为f(x)的导数．(1)若a >0，讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)<f′(x)−x ，a 的取值集合是A ，求A 中的最大整数值与最小整数值． 参考数据：ln16∈(2.77,2.78)，ln17∈(2.83,2.84)，ln18∈(2.89,2.90)答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合A={x|y=√x−2}={x|x≥2}，B={y|y=√x−2}={y|y≥0}，C={(x,y)|y=√x−2}，∴A∩B=[2,+∞)，A∩C=⌀，B∩C=⌀，A∩B∩C=⌀，故选：A．求出集合A，B，利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．2.【答案】A【解析】解：已知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个不同的实数根，①当x1>2且x2>2时，可得x1⋅x2>4，x1+x2>4，②当x1=10，x2=0.5时，满足x1⋅x2>4且x1+x2>4，此时不满足x1>2且x2>2，∴x1⋅x2>4且x1+x2>4的充分不必要条件为x1>2且x2>2，故选：A．利用不等式的性质和充分条件和必要条件的应用求出结果．本题考查不等式的性质，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：由题意可得f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2，f(4)=2，f(5)=2，f(6)=2，f(7)=3，f(8)=3，f(9)=3，f(10)=3，f(11)=3，f(12)=3，...，可得依次为2个1，4个2，6个3，8个4，10个5，...，因此a1+a2=2×1=2，a3+a4+a5+a6=4×12=2，a7+a8+...+a12=6×13=2，a13+a14+...+a20=8×14=2，...，由20=10×2，可得m=2+4+6+8+...+20=12×10×(2+20)=110．故选：D．写出f(n)的前几项，求出一些项的和，由等差数列的求和公式，可得所求值．本题考查数列的求和，注意总结规律，考查归纳推理能力，属于中档题．4.【答案】B【解析】解：根据题意，大老鼠每天打进的长度是首项为1，公比为2的等比数列，设该数列为{a n}，前n项和为S n，小老鼠每天打进的长度是首项为1，公比为12的等比数列，设该数列为{b n}，前n项和为T n，则S n=1×(1−2n)1−2=2n−1，T n=1×(1−12n)1−12=2−12n−1，若S n+T n=(2n−1)+(2−12n−1)≥16，即2n−12n−1)≥15，又由n≥1且n∈Z，必有n≥4，故选：B．根据题意，分析可得大老鼠每天打进的长度是首项为1，公比为2的等比数列，小老鼠每天打进的长度是首项为1，公比为12的等比数列，由等比数列的前n项和公式可得S n+T n=(2n−1)+(2−12n−1)≥16，分析可得n的取值范围，即可得答案．本题考查等比数列的应用，涉及等比数列的求和，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：∵|y|=(2−12[2xπ])|sinωx|(0≤x≤2π)，过点P(π4,2)，∴2=(2−12[2π×π4])|sinπ4ω|，∴2=(2−12[12])|sinπ4ω|，∴|sinπ4ω|=1，即sinπ4ω=±1，∴π4ω=π2+kπ(k∈Z)，∴ω=2+4k(k∈Z)，由图像|y|上下对称可知：T=π4×4=π，∴k=0，ω=2，∴|y|=(2−12[2xπ])|sin2x|(0≤x≤2π)，∵点M到y轴的距离为5π3，∴x=5π3，当x=5π3时，|y|=(2−12[2π×5π3])|sin2×5π3|=(2−12×3)|sin10π3|=12×√32=√34，∴点M到x轴的距离为√34．故选：B．由|y|=(2−12[2xπ])|sinωx|(0≤x≤2π)，过点P(π4,2)，可求出ω的值，从而得到|y|的解析式，再令x=5π3求出|y|的值即可求出结果．本题主要考查了三角函数的图像和性质，考查了学生的运算能力，是基础题．6.【答案】C【解析】解：记“恰好经过4场比赛分出胜负”、“恰好经过4场比赛甲所在球队获胜”、“恰好经过4场比赛A所在球队获胜”的事件分别为D、E、F，由E，F互斥，且P(D)=P(E)+P(F)，若事件E发生，则第四场比赛甲获胜，且前3场比赛甲所在球队恰有一场比赛失利，由于甲对A，B比赛每场获胜的概率均为0.6，乙与A或B比赛，乙每场获胜的概率均为0.5，丙与C比赛，丙每场获胜的概率均为0.5，各场比赛的结果互不影响，∴甲所在球队恰好经过4场比赛获得胜利的概率为：P(E)=0.6×(0.4×0.5×0.5+0.6×C21×0.5×0.5)=0.24，若事件F发生，则第四场比赛B获胜，且前3场比赛A所在球队恰有一场比赛失利，由于甲对A，B比赛每场获胜的概率均为0.6，乙与A或B比赛，乙每场获胜的概率均为0.5，丙与C比赛，丙每场获胜的概率均为0.5，各场比赛的结果互不影响，∴A所在球队恰好经过4场比赛获利胜利的概率为：P(F)=0.4×(0.6×0.5×0.5+0.4×C21×0.5×0.5)=0.14，∴恰好经过4场比赛分出胜负的概率为：P(D)=P(E)+P(F)=0.38．故选：C．记“恰好经过4场比赛分出胜负”、“恰好经过4场比赛甲所在球队获胜”、“恰好经过4场比赛A所在球队获胜”的事件分别为D、E、F，由E，F互斥，且P(D)=P(E)+P(F)，若事件E发生，则第四场比赛甲获胜，且前3场比赛甲所在球队恰有一场比赛失利，求出甲所在球队恰好经过4场比赛获得胜利的概率；若事件F发生，则第四场比赛B获胜，且前3场比赛A所在球队恰有一场比赛失利，求出A所在球队恰好经过4场比赛获利胜利的概率．由此能求出恰好经过4场比赛分出胜负的概率．本题考查概率的运算，涉及到相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．7.【答案】B【解析】解：由题意可知p=0.01，3人都落实了表中的三项防疫措施，也被感染的概率为：0.01×145(1−0.01)×0.01100=2.2×10−8，又因一次核酸检测的准确率为1−10×0.01=0.9，所以这3人一次检测能确诊的概率为：2.2×10−8×0.9=1.98×10−8，∴10次检测中确诊的期望为：10×1.98×10−8=1.98×10−7，故选：B．利用题中的条件确定3人落实三项防疫措施任然被感染的概率，进而确定数学期望．本题考查了统计与概率，二项分布的数学期望，学生的数学运算能力，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：由题意知，水的体积为4×4×2=32，如图所示，设正方体水槽倾斜后，水面分别与棱AA1，BB1，CC1，DD1交于M，N，P，Q，则PC=3，水的体积为S BCPN⋅CD=32，∴BN+CP2⋅BC⋅CD=32，即BN+32×4×4=32，∴BN=1．在平面BCC1B1内，过点C1作C1H//NP，交BB1于H，则四边形NPC1H是平行四边形，NH=C1P=1，∴B1H=BB1−NH−BN=4−1−1=2，∵侧面CDD1C1与桌面所成的角即侧面CDD1C1与水面MNPQ所成的角，即侧面CDD1C1与平面HC1D1所成的角，∴∠HC1C即为所求，而∠HC1C=∠B1HC1，在Rt△B1HC1中，tan∠B1HC1=B1C1B1H =42=2，∴侧面CDD1C1与桌面所成角的正切值为2．故选：D．由题意知，水的体积为32，设正方体水槽倾斜后，水面分别与棱AA1，BB1，CC1，DD1交于M，N，P，Q，则PC=3，此时水的体积为S BCPN⋅CD，从而求得BN=1；在平面BCC1B1内，过点C1作C1H//NP，交BB1于H，侧面CDD1C1与桌面所成的角即侧面CDD1C1与水面MNPQ所成的角，即侧面CDD1C1与平面HC1D1所成的角，故∠HC1C即为所求，再在Rt△B1HC1中，由tan∠HC1C=tan∠B1HC1=B1C1B1H即可得解．本题考查二面角的求法，将所求的角逐步转化为边长已知的直角三角形中的角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．9.【答案】AD【解析】解：对于A：i+i2+i3+i4=i−1−i+1=0，故A正确；对于B：复数z=3−i的虚部为−1，故B错误；对于C：若z=(1+2i)2=1+4i−4=−3+4i，所以z−=−3−4i，则复平面内z−对应的点位于第三象限，故C错误；对于D：复数z满足|z−1|=|z+1|，表示z到A(1,0)和B(−1,0)两点的距离相等，即z 的轨迹为线段AB的垂直平分线，故D正确．故选：AD．直接利用复数的定义，复数的运算和几何意义判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：复数的定义，复数的运算和几何意义，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10.【答案】BD【解析】解：当x →0时，x2−x →0，则ln x2−x →−∞，f(x)→+∞，f(x)无界，A 错误； f(x +1)=sin(π2x +π2)+cos(2πx +2π)=cos π2x +cos2πx 为偶函数，且|f(x +1)|≤2，B 正确；因为2x >0，2+2x >2， 所以−14<12+2x <14，所以|f(x)|<14，存在符合题意的M ， 因为f(x +1)=12x+1+2−14， f(−x +1)=12−x+1+2−14=2x 2+2x+1−14， 所以f(−x +1)+f(x +1)=12x+1+2−14+2x2+2x+1−14=1+2x2+2x+1−12=0， 故f(x +1)为奇函数，不符合题意； f(x)={0,∁R Q1,x ∈Q，则|f(x)|≤1，因为−x +1与x +1要么都是有理数，要么都是无理数， 所以f(x +1)=f(−x +1)， 故f(x +1)为偶函数，符合题意． 故选：BD ．结合选项分析各函数的取值范围，然后检验f(x +1)与f(−x +1)的关系进行判断即可． 本题以新定义为载体，主要考查了函数的值域的求解及函数奇偶性的判断，属于中档题．11.【答案】ABD【解析】解：∵渐近线l 的方程为y =√3x ，∴ba =√3， ∵F 1(−c,0)到l 的距离为3√3，∴3√3=|b a⋅(−c)|√1+(ba )2=b ，∴a =3，∴双曲线的标准方程为x 29−y 227=1，即选项A 正确；∵c =√a 2+b 2=√9+27=6， ∴F 1(−6,0)，F 2(6,0)，由角分线定理知，|PF 1||PF 2|=|F 1Q||QF 2|=84=2，即选项B 正确；由双曲线的定义知，|PF 1|−|PF 2|=2a =6， ∴|PF 1|=12=|F 1F 2|，|PF 2|=6， 在等腰△PF 1F 2中，cos∠PF 2F 1=12|PF 2||F 1F 2|=312=14， ∴sin∠PF 2F 1=√1−cos 2∠PF 2F 1=√154， ∴x P =|OF 2|−|PF 2|⋅cos∠PF 2F 1=6−6×14=92， y P =|PF 2|⋅sin∠PF 2F 1=6×√154=3√152，即选项D 正确；∴|OP|=(92)(3√152)=3√6，∴|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|OP|=6√6，即选项C 错误． 故选：ABD ．选项A ，易知b =3√3，a =3，从而写出双曲线的标准方程； 选项B ，由角分线定理知，|PF 1||PF 2|=|F 1Q||QF 2|；选项D ，结合选项B 中结论和双曲线的定义，可得|PF 1|=12，|PF 2|=6，再利用三角函数，求得点P 的坐标；选项C ，由|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |，得解．本题考查双曲线的定义与几何性质，角分线定理，三角函数的简单计算，考查数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．12.【答案】ABD【解析】解：对于A ，构造a ⃗ =(x 1,x 2,⋯,x n )，b ⃗ =(y 1,y 2,⋯,y n )， 所以|a ⃗ ⋅b ⃗ |≤|a ⃗ ||b⃗ |⇒|x 1y 1+x 2y 2+⋯+x n y n |≤√x 12+x 22+⋯+x n n √y 12+y 22+⋯+y n n ⇒(∑x i n i=1y i )²≤∑x i n i=1²∑y i n i=1²，当且仅当x 1y 1=x 2y 2=⋯=xny n 时取“=”，例如(a²+1)(b²+1)≥(ab +1)²，当a =b =1时取“=”，故A 正确； 对于B ，由A 的分析过程知，B 正确；对于C ，构造a ⃗ =(x 1,x 2,⋯,x n )，b ⃗ =(1,1，⋯，1)，知|a ⃗ ⋅b ⃗ |≤|a ⃗ ||b ⃗ |⇒|x 1+x 2+⋯+x n |≤√x 12+x 22+⋯+x n n ⋅√n ， 所以n ∑x i n i=1²≥(∑x i ni=1)²，故C 错误；对于D ，构造a ⃗ =(√1x 1,√1x 2,⋯,√1x n)，b ⃗ =(√x 1,√x 2,…,√x n )，所以|a ⃗ ⋅b ⃗ |≤|a ⃗ ||b ⃗ |⇒√1x 1+1x 2+⋯+1x n√x 1+x 2+⋯+x n ≥n ⇒∑1x in i=1⋅∑x i ni=1≥n²，D 正确． 故选：ABD ．构造a ⃗ =(x 1,x 2,⋯,x n )，b ⃗ =(y 1,y 2,⋯,y n )，利用平面向量的推广运算即可判断选项A ，B ；构造a ⃗ =(x 1,x 2,⋯,x n )，b ⃗ =(1,1，⋯，1)，利用平面向量的推广运算即可判断选项C ；构造a ⃗ =(√1x 1,√1x 2,⋯,√1x n)，b ⃗ =(√x 1,√x 2,…,√x n )，利用平面向量的推广运算即可判断选项D ．本题主要考查类比推理，向量的数量积公式以及向量模的公式，考查逻辑推理与运算求解能力，属于中档题．13.【答案】60【解析】解：二项式(x −√x )6的展开式为：T r+1=C 6r x 6−r ⋅(−2)r ⋅(x)−r2=C 6r ⋅(−2)r ⋅x6−32r ，所以6−32r =3，解得r =2， 故x 3的系数为a =15×4=60。
2021届湖南长郡中学新高考原创预测试卷(十四)数学
2021届湖南长郡中学新高考原创预测试卷（十四）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2=|20M x x -<，{}2,1,0,1,2N =--，则MN =（ ）A. ∅B. {}1C. {}0,1D. {}1,0,1-【答案】B 【解析】 【分析】化简集合M ，按交集定义，即可求解.【详解】由220x x -<，得()0,2x ∈，所以{}1M N ⋂=，故选：B ．【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题. 2.已知i 为虚数单位，复数12iz i i +=--，则z =（ ）. A.1255i - B. 2155i - C. 1255i +D.2551i + 【答案】C 【解析】 【分析】先根据复数的除法计算出z ，然后根据复数的共轭复数的概念直接写出z . 【详解】因为()()()()1211312222555i i ii z i i i i i i i ++++=-=-=-=---+， 所以1255z i =+. 故选：C.【点睛】本题考查复数的除法运算以及共轭复数的求法，难度较易.互为共轭复数的两个复数实部相同虚部互为相反数.3.设x ∈R ，则“20x x ->”是“12x -<”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据20x x ->、12x -<中x 范围的互相推出情况，确定出20x x ->是12x -<的何种条件.【详解】因为20x x ->，所以()10x x -<，所以01x <<， 因为12x -<，所以212x -<-<，所以13x，根据小范围推出大范围可知：01x <<能推出13x ，但13x 不能推出01x <<，所以20x x ->是12x -<的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】本题考查一元二次不等式和绝对值不等式的求解以及充分、必要条件的判断，难度较易.注意小范围推出大范围的情况.4.已知向量()()(),1,21,30,0m a n b a b =-=->>，若//m n ，则21a b+的最小值为（ ）. A. 12B. 8+C. 16D.10+【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的平行关系，得到,a b 间的等量关系，再根据“1”的妙用结合基本不等式即可求解出21a b+的最小值. 【详解】因为//m n ，所以3210a b +-=，所以321a b +=， 又因为()21213432888a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭取等号时34321a b b a a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩即14a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以min218a b ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭故选：B .【点睛】本题考查利用基本不等式求解最小值，难度一般.本题是基本不等式中的常见类型问题：已知()1,,,0ma nb m n a b +=>，则()p q p q mqa npb ma nb mp nq a b a b b a ⎛⎫+=++=+++≥ ⎪⎝⎭),0mp nq mp nq p q ++=++>，取等号时22mqa npb =. 5.将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 1()22g π=B. ()g x 的最小正周期是4πC. ()g x 在区间[0，]3π上单调递增D. ()g x 在区间[3π，5]6π上单调递减 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的平移变换求出()g x 的解析式，再一一对照选项验证是否成立. 【详解】函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度得：()sin(2)3g x x π=-.对A ，sin()3()2g πππ-==，故A 错误； 对B ，最小正周期为π，故B 错误；对C ，当023333x x ππππ<-<-<⇒<，因为(,)33ππ-是(,)22ππ-的子区间，故C 正确；对D ，当54263333x x πππππ<<<⇒-<，4(,)33ππ不是3(,)22ππ的子区间，故D 错误； 故选：C.【点睛】本题考查三角函数的平移变换及三角函数的图象与性质，考查数形结合思想和运算求解能力.6.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，若639S S =，562S =，则1a =（ ）B. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分析可得等比数列{}n a 的公比1q ≠±，进而由等比数列的通项公式可得()()631111911a q a q qq--=⨯--，解可得2q，又由()5151131621a q S aq-===-，解可得1a 的值，即可得答案．【详解】根据题意，等比数列{}n a 中，若639S S =，则1q ≠±，若639S S =，则()()631111911a q a q qq--=⨯--，解可得38q =，则2q ，又由562S =，则有()5151131621a q S aq-===-，解可得12a =；故选B ．【点睛】本题考查等比数列的前n 项和公式的应用，关键是掌握等比数列的前n 项和的性质． 7.已知三棱锥D ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，2AB BC ==，22AC =，若三棱锥D ABC -体积的最大值为2，则球O 的表面积为( ) A. 8π B. 9πC.25π3D.1219π【答案】D 【解析】分析：根据棱锥的最大高度和勾股定理计算球的半径，从而得出外接球的表面积． 详解：因为2,22AB BC AC ===，所以AB BC ⊥，过AC 的中点M 作平面ABC 的垂下MN ，则球心O 在MN 上， 设OM h =，球的半径为R ，则棱锥的高的最大值为R h +，因为1122()232D ABC V R h -=⨯⨯⨯⨯+=，所以3R h +=， 由勾股定理得22(3)2R R =-+，解得116R =，所以球的表面积为1211214369S ππ=⨯=，故选D ．点睛：本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，根据勾股定理列出方程求解球的半径．8.已知函数())ln f x x =，设()3log 0.2a f =，()0.23b f -=，()1.13c f =-，则（ ） A. a b c >>B. b a c >>C. c b a >>D.c a b >>【答案】D 【解析】∵())lnf x x =∴()ln()f x x ==∴())f x x -=∵当0x >1x >；当0x <时，01x <<∴当0x >时，())))f x x x x ==-=，())f x x -=；当0x <时()))f x x x ==；()))f x x x -=-=.∴()()f x f x =- ∴函数()f x 是偶函数∴当0x >时，易得())f x x =为增函数∴33(log 0.2)(log 5)a f f ==， 1.1 1.1(3)(3)c f f =-=∵31log 52<<，0.2031-<<， 1.133>∴ 1.10.23(3)(log 5)(3)f f f ->>∴c a b >> 故选D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（ ） A. 方程12yx =-表示一条直线 B. 到x 轴的距离为2的点的轨迹方程为2y =C. 方程()()2222140x y -+-=表示四个点D. a b >是22ac bc >的必要不充分条件 【答案】CD 【解析】 【分析】A ．根据特殊点进行分析并判断对错；B ．注意多解的情况并判断对错；C ．根据平方和为零的特殊性进行分析并判断对错；D ．根据不等式互相推出的情况判断对错. 【详解】A ．因为12yx =-，所以()202x y x --=≠，表示直线20x y --=去掉点()2,0，故错误；B ．根据题意可知，满足要求的的轨迹方程为2y =±，故错误；C ．因()()2222140x y -+-=，所以2214x y ⎧=⎨=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩或12x y =⎧⎨=-⎩或12x y =-⎧⎨=⎩或12x y =-⎧⎨=-⎩，表示四个点，故正确； D ．因为0c时，22a b ac bc >⇒=，所以充分性不满足，又因为22ac bc >时，根据不等式性质可知a b >，所以必要性满足，所以a b >是22ac bc >的必要不充分条件，故正确. 故选：CD.【点睛】本题考查曲线与方程以及充分、必要条件的判断，属于综合题型，难度一般.（1）判断曲线所表示的方程时，注意分析一些特殊点或者特殊取值；（2）充分、必要条件的判断，根据互相推出的情况即可判断.10.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 为双曲线上一点，且122PF PF =，若12sin F PF ∠= ）A. 6e= B. 2e= C. 5b a=D. 3b a=【答案】ABCD【解析】【分析】根据1215sin4F PF∠=对12F PF∠分类讨论，利用双曲线的定义以及122PF PF=，再结合12F PF∠对应的余弦定理，即可计算出离心率的值，从而可求,a b的关系.【详解】若12F PF∠为锐角时，12215114os4c F PF⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭∠，如图所示，因为122PF PF=，122PF PF a-=，所以124,2PF a PF a==，所以222222121221212cos164412164PF PF F F a a cPF FPFPF a+-+-===⋅∠，所以224c a=，所以2c a=，所以2e=，所以2224a b a+=，3b a=，故BD正确；若12F PF∠为钝角时，12215114os4c F PF⎛⎫=--=-⎪⎪⎝⎭∠，如图所示，因为122PF PF=，122PF PF a-=，所以124,2PF a PF a==，所以222222121221212cos 164412164PF PF F F a a c PF F P PF F a +-+-===-⋅∠， 所以226c a =，所以6c a =，所以6e =，所以2226a b a +=，5b a =，故AC 正确. 故选：ABCD.【点睛】本题考查双曲线性质的综合应用，着重考查了离心率以及根据离心率求等量关系，强调了分类讨论的思想，难度一般.双曲线中的焦点三角形要注意利用定义以及顶角的余弦定理进行问题分析.11.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点E 在线段11A C 上，F 、M 分别是AD 、CD 的中点，则下列结论中正确的是（ ）A. 11//FM ACB. BM ⊥平面1CC FC. 存在点E ，使得平面//BEF 平面11CC D DD. 三棱锥B CEF -的体积为定值【答案】ABD 【解析】 【分析】对A,根据中位线的性质判定即可.对B,利用平面几何方法证明BM CF ⊥再证明BM ⊥平面1CC F 即可. 对C,根据BF 与平面11CC D D 有交点判定即可.对D,根据三棱锥B CEF -以BCF 为底,且同底高不变,故体积不变判定即可. 【详解】在A 中,因为,F M 分别是,AD CD 的中点,所以11////FM AC AC ,故A 正确;在B 中,因为tan 2BC BMC CM ∠==,tan 2CDCFD FD∠==,故BMC CFD ∠=∠, 故2BMC DCF CFD DCF π∠+∠=∠+∠=.故BM CF ⊥,又有1BM C C ⊥,所以BM ⊥平面1CC F ,故B 正确；在C 中,BF 与平面11CC D D 有交点,所以不存在点E ,使得平面//BEF 平面11CC D D ,故C 错误.在D 中,三棱锥B CEF -以面BCF 为底,则高是定值,所以三棱锥B CEF -的体积为定值,故D 正确. 故选：ABD.【点睛】本题主要考查了线面垂直平行的证明与判定,同时也考查了锥体体积等问题.属于中档题.12.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L .E . J . Brouwer ），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ） A. ()2xf x x =+B. ()23g x x x =--C. ()221,12,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩D. ()1f x x x=- 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知定义，将问题转化为方程()f x x =有解，然后逐项进行求解并判断即可. 【详解】根据定义可知：若()f x 有不动点，则()f x x =有解.A ．令2x x x +=，所以20x =，此时无解，故()f x 不是“不动点”函数；B ．令23x x x --=，所以3x =或1x =-，所以()f x 是“不动点”函数；C ．当1x ≤时，令221x x -=，所以12x =-或1x =，所以()f x 是“不动点”函数；D ．令1x x x -=，所以x =，所以()f x 是“不动点”函数. 故选：BCD.【点睛】本题考查新定义的函数问题，难度较难.解答本题的关键是能通过定义将问题转化为方程是否有解的问题，对于转化能力要求较高.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.7人并排站成一行，如果甲乙两人不相邻，那么不同的排法种数是____________（用数字作答）. 【答案】3600 【解析】 【分析】采用插空法，先排列除甲乙以外的5个人，然后将甲乙两人插入到5个人形成的6个空位中，根据排列数计算种数即可.【详解】第一步：先排列除甲乙以外的5个人，方法数为55120A =，第二步：将甲乙插入到5个人形成的6个空位中，方法数为2630A =，所以总的排法种数为：52563600A A ⨯=.故答案为：3600.【点睛】本题考查排列的简单应用，难度一般.求解排列组合的相关问题时，可根据分步或分类计数原理完成进行分析计算.14.已知等差数列{}n a 的首项及公差均为正数，令)*,2020n b n n =∈<N ，当k b 是数列{}n b 的最大项时，k = __________. 【答案】1010 【解析】 【分析】设x=，y= ，根据基本不等式()222222222()22x y x y xy x y x y x y +=++≤+++=+和等差数列的性质202010102n n a a a -=+得()()222020101010102224n n n b a a a a -=≤+==，由此可得解.x =，y = ，根据基本不等式()222222222()22x y x y xy x y x y x y +=++≤+++=+，又由等差数列{}n a 的首项及公差均为正数，得202010102n n a a a -=+，所以()()222020101010102224n n n b a a a a -=≤+==，当且仅当2020n n a a -=时，n b 取得最大值，此时1010n =，所以1010k =， 故答案为1010.【点睛】本题考查等差数列的基本性质和 基本不等式及其应用，关键在于运用换元法，简化已知式与基本不等式建立联系，属于中档题. 15.过点()2,1N -作抛物线21:4C y x =的两条切线，切点分别为A 、B ，则该抛物线C 的焦点坐标为：_______________，AB 所在的直线方程为_______________. 【答案】 (1). ()0,1 (2). 10x y -+= 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准形式即可计算出焦点坐标；设出切点坐标，利用导数以及切线方程得到交点N 的坐标与切点坐标的关系，化简直线AB 的方程即可得到结果.【详解】因为抛物线C 的方程：22x py =，所以2p =，所以焦点坐标为()0,1；设221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2x y '=， 所以A 处切线方程()211124x x y x x =-+，B 处切线方程()222224x x y x x =-+，所以()()211122222424x x y x x x x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得121224x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以12122214x x x x +⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，所以121244x x x x +=⎧⎨=-⎩，又因为AB 的方程为()222121121444x x x y x x x x -=-+-，即211244x x x x y x +=-， 所以AB 的方程为1y x =+，即10x y -+=. 故答案为：()0,1；10x y -+=.【点睛】对于焦点在y 轴的标准形式的抛物线，其也是函数，涉及到切线问题时可以利用导数的几何意义进行相关分析.16.函数()21,1,{ln ,1,x x f x x x -≤=>若方程()12f x mx =-恰有四个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】1,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭e 【解析】作出函数()21,1,,1,x x f x lnx x ⎧-≤=⎨>⎩与函数()12f x mx =-的图象，如图所示：由题意,直线()12f x mx =-过(1,0)时,12k =， x >1时,()()1,'f x lnx f x x==，直线与y =ln x 相切时,设切点坐标为(a ,ln a ), 则切线方程为()1y lna x a a -=-,即11y x lna a=-+，令112lna -+=-,则a =1k a ==， ∴函数()21,1,,1,x x f x lnx x ⎧-≤=⎨>⎩若方程()12f x mx =-恰有四个不相等的实数根，实数m 的取值范围是12⎛ ⎝⎭.点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin sin sin sin sin sin sin sin A B C BC A B C-+=+-．（1）求角A ；（2）若△ABC 的外接圆半径为1，求△ABC 的面积S 的最大值． 【答案】（1）3A π= ; （2）4. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将角化为边可得222a b c bc =+-，再由余弦定理即可得A ；（2）由正弦定理2aR sinA=，可得a ，由基本不等式利用余弦定理可得222b c bc bc bc bc +-≥-=，从而由12S bscinA =可得解.【详解】（1）设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．根据sin sin sin sin sin sin sin sin A B C BC A B C-+=+-，可得222a b c ba b c bc c a b c-+=⇒=+-+-， 所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，又因为0A π<<，所以3A π=．（2）22sin 2sin sin 3a R a R A A π=⇒===所以2232b c bc bc bc bc =+-≥-=，所以11sin 322S bc A =≤⨯=b c =时取等号）．【点睛】本题主要考查了正余弦定理及三角形的面积公式的应用，涉及基本不等式求最值，属于基础题.18.已知数列{}n a 的各项均为正数，对任意的*n N ∈，它的前n 项和n S 满足2111623n n n S a a =++，并且249,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11(1)n n n n b a a ++=-⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2n T . 【答案】（1）*32,n a n n N =-∈；（2）2186n n --【解析】 【分析】（1）根据已知等式再写出一个关于1n S -的等式，两式作差得到{}n a 的通项公式，并根据已知条件对通项公式进行取舍；（2）写出2n T 的表达式，将其化简，并根据等差数列的求和公式完成求解即可. 【详解】解（1）∵对任意*n N ∈，有2111623n n n S a a =++① ∴当1a =时，有21111111623S a a a ==++，解得11a =或2. 当2n ≥时，有2111111623n n n S a a ---=++②①②并整理得()()1130n n n n a a a a --+--=. 而数列{}n a 的各项均为正数，∴13n n a a --=.当11a =时，13(1)32n a n n =+-=-，此时2429a a a =成立；当12a =时，23(1)31n a n n =+-=-，此时2429a a a =，不成立，舍去.∴*32,n a n n N =-∈.（2）212212233445221n n n n T b b b a a a a a a a a a a +=+++=-+-+⋯-.()()()21343522121242666n n n n a a a a a a a a a a a a -+=-+-+⋯+-=---⋯-()2426n a a a =-++⋯+2(462)61862n n n n +-=-⨯=--【点睛】本题考查利用递推关系求解通项公式、等比数列概念理解、公式法求和，属于综合问题，难度一般.注意利用()12n n n a S S n -=-≥求解通项公式. 19.如图，三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，3PC =，2ACB π∠=．,D E 分别为线段,AB BC 上的点，且2,22CD DE CE EB ====．(1)证明：DE ⊥平面PCD ； (2)求二面角A PD C --的余弦值． 【答案】（1）见解析；（23【解析】【详解】试题分析：（1）要证线面垂直，就是要证线线垂直，题中由PC ⊥平面ABC ，可知PC DE ⊥，再分析已知由2,2DC DE CE ===得CD DE ⊥，这样与DE 垂直的两条直线都已找到，从而可得线面垂直；（2）求二面角的大小，可心根据定义作出二面角的平面角，求出这个平面角的大小，本题中，由于2ACB π∠=，PC ⊥平面ABC ，因此,,CA CB CP 两两垂直，可以他们为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，写出图中各点的坐标，求出平面APD 和平面CPD 的法向量12,n n ，向量12,n n 的夹角与二面角相等或互补，由此可得结论． 试题解析：（1）证明：由PC ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ＡＢＣ，故PC ⊥DE由CE ＝２，CD=DE＝２得∆ＣＤＥ为等腰直角三角形，故CD ⊥DE 由PC CD=C ，DE 垂直于平面PCD 内两条相交直线，故DE ⊥平面PCD （2）解：由（１）知，∆CDE 为等腰直角三角形，∠DCE ＝4,π，如（１９）图，过点Ｄ作DF 垂直CE 于Ｆ，易知DF ＝FC ＝EF ＝１，又已知EB ＝１，故FB ＝２． 由∠ACB ＝2,π得DF //AC ，23DF FB AC BC ==，故AC ＝32DF ＝32． 以Ｃ为坐标原点，分别以,CA CB CP ， 的方程为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则Ｃ（0,0,0,），Ｐ（0,0,3），Ａ（32,0,0）,Ｅ（0,2,0），Ｄ（1,1,0），(1,1,0),ED =- (1,1,3)(,1,0)DP DA １，２=--=-设平面PAD 的法向量111,,)n x y z １＝（， 由0n DP ⋅=１，0n DA ⋅=１，得11111130{(2,1,10+)12x y z n x y 故可取--==-=.由（1）可知DE ⊥平面PCD ，故平面PCD 的法向量2n 可取为ED ,即2(1,1,0)n =-. 从而法向量1n ，2n 的夹角的余弦值为1212123,=||||n n cos nn n n ⋅〈〉=⋅，故所求二面角A-PD-C 考点：考查线面垂直，二面角．考查空间想象能力和推理能力．20.已知椭圆2222:1(0)x y C a ba b+=>>的离心率为12，左、右焦点分别是12,F F ，椭圆C 上（1）求椭圆C 的方程；（2）过1F 作垂直于x 轴的直线l 交椭圆C 于,A B 两点（点A 在第二象限），,M N 是椭圆上位于直线l 两侧的动点，若MAB NAB ∠=∠，求证：直线MN 的斜率为定值.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据离心率和三角形面积可构造关于,,a b c 的方程，解方程可求得,,a b c ，进而得到椭圆方程；（2）假设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理得到12x x +和12x x ；根据MAB NAB ∠=∠知0AM AN k k +=，从而可利用韦达定理形式表示出等式，化简可得()()212230k m k +--=；当2230m k --=时，可知过A 点，不符合题意；所以可知12k =-.【详解】（1）由题意可得：12c a =且bc =又222a b c =+得：24a =，23b =，21c =∴椭圆C 的方程为22143x y +=（2）证明：由（1）可得：直线l ：1x =-，31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭设直线MN 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程 消y 可得()2223484120kxkmx m +++-=设()11,M x y ，()22,N x y ，则()2248430k m ∆=-+>则122834km x x k +=-+，212241234m x x k-=+ MAB NAB ∠=∠ 0AM ANk k ∴+= 12123322011y y x x --∴+=++ 即()()12213311022kx m x kx m x ⎛⎫⎛⎫+-+++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()21212222412338223230234234k m km kx x m k x x m m k m k k -⎛⎫⎛⎫∴++-++-=-+-⋅+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭化简可得()()212230k m k +--=12k ∴=-或2230m k --=当2230m k --=时，直线MN 的方程为()312y k x =++则直线MN 经过点31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，不满足题意12k ∴=-即直线MN 的斜率为定值12-【点睛】本题考查椭圆标准方程求解、椭圆中的定值问题的求解.对于定值问题，关键是能够通过已知条件建立起与参数有关的等量关系式，通过整理化简将关系式变为恒等式，或通过消元得到所求定值. 21.已知函数()12ln f x x a x x=-+⋅. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设()2ln g x x bx cx =--，若函数()f x 的两个极值点()1212,x x x x <恰为函数()g x 的两个零点，且()12122x x y x x g +⎛⎫'=-⋅⎪⎝⎭的范围是2ln 2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）当1a ≤时，单调递减区间为()0,∞+，无单调递增区间；当1a >时，单调递减区间为(()0,,a a +∞；单调递增区间为(a a ；（2）⎫+∞⎪⎪⎣⎭【解析】 【分析】（1）求解导函数，根据导函数的分子（二次函数）分类讨论()f x '与0的关系，从而可分析出函数的单调性； （2）根据已知条件构造关于12x x 的新函数，根据新函数的单调性分析出12x x 的取值范围，然后根据a 与12x x 的关系即可求解出a 的取值范围. 【详解】解：（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()22212211a x ax f x x x x--+'=-+=-. （i ）若1a ≤，则()0f x '≤，当且仅当1a =，1x =时，()0f x '= （ii ）若1a >，令()0f x '=得12x a x a ==当(()20,x a a a ∈++∞时，()0f x '<；当(x a a ∈时，()0f x '>，所以，当1a ≤时，()f x 单调递减区间为()0,∞+，无单调递增区间； 当1a >时，()f x 单调递减区间为(()0,,aa+∞；单调递增区间为(a a . （2）由（1）知：1a >且12122,1x x a x x +==. 又()12g x b cx x '=--，∴()12121222x x g b c x x x x +⎛⎫'=--+ ⎪+⎝⎭，由()()120g x g x ==得()()22112122ln x b x x c x x x =-+-， ∴()()()()()121222121112121212121212222122ln ln 21x x x x x x x x x y x x g b x x c x x x x x xx x x x x ⎛⎫- ⎪--+⎛⎫⎝⎭'=-=----=-=- ⎪++⎝⎭+. 令12(0,1)x t x =∈，∴2(1)ln 1t y t t -=-+， ∴22(1)0(1)t y t t --'=<+，所以y 在()0,1上单调递减. 由y 的取值范围是2ln 2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，得t 的取值范围是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦， ∵122x x a +=，∴()222222211221212112212212(2)242x x x x x xa x x x x x x a x x x x ++=+=++===++，∴2122119422,2x x a t x x t ⎡⎫=++=++∈+∞⎪⎢⎣⎭， 又∵1a >，故实数a的取值范围是4⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭. 【点睛】（1）含参函数的单调性分析，要注意抓住参数的临界值进行分类讨论；（2）利用导数求解双变量问题，多数情况下需要构造关于12x x （或21x x ）的新函数，借助新函数的单调性分析问题.22.红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害，每只红铃虫的平均产卵数y 和平均温度x 有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.（表中711ln ,7i i i z y z z ===∑）平均温度/x C ︒21 23 25 27 29 3235平均产卵数y /个7 11 21 24 66 115325x yz()()1ni i i x x z z =--∑()21ni i x x =-∑27.429 81.286 3.612 40.182 147.714（1）根据散点图判断，y a bx =+与dxy ce =（其中e 2.718=自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数y 关于平均温度x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出y 关于x 的回归方程.（计算结果精确到小数点后第三位）（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到28℃以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28℃以上的概率为()01p p <<. ①记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为()f p ，求()f p 的最大值，并求出相应的概率p .②当()f p 取最大值时，记该地今后5年中，需要人工防治的次数为X ，求X 的数学期望和方差.附：线性回归方程系数公式()()()121ˆˆˆ,niii nii x x y y bay bx x x ==-⋅-==--∑∑.【答案】（1）dxy ce =更适宜，0.272 3.849ˆx y e -=；（2）①()max 216625f p =，35p =；②()3E X =，6()5D X =【解析】 【分析】（1）根据散点图选择合适函数模拟，利用变量z ，构造线性回归方程，利用已知量求解出z 关于x 的线性回归方程，即可求解出y 关于x 的回归方程；（2）①先表示出()f p ，然后根据()f p '分析出()f p 的最大值以及p 的值； ②根据p 的值以及二项分布的均值与方差的计算方法求解出结果即可. 【详解】解：（1）根据散点图可以判断，dxy ce =更适宜作为平均产卵数y 关于平均温度x 的回归方程类型；对dxy ce =两边取自然对数，得ln ln y c dx =+； 令ln ,ln ,z y a c b d ===，得z a bx =+；因为()()()7121740.182ˆ0.272147.714iii i i x x zz bx x ==--==≈-∑∑，ˆˆ 3.6120.27227.429 3.849az bx =-=-⨯≈-； 所以z 关于x 的回归方程为ˆ0.272 3.849zx =-； 所以y 关于x 的回归方程为0.272 3.849ˆx ye -=；（2）（i ）由5332()(1)f p C p p =⋅⋅-，得()325(1)(35)f C p p p p '=⋅--，因为01p <<，令()0f p '>，得350p ->，解得305p <<； 所以()f p 在30,5⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,15⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f p 有唯一的极大值为35f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，也是最大值；所以当35p =时，()max 32165625f p f ⎛⎫== ⎪⎝⎭； （ii ）由（i ）知，当()f p 取最大值时，35p =，所以3~5,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭， 所以X 的数学期望为3()535E X =⨯=， 方差为326()5555D X =⨯⨯=. 【点睛】本题考查线性回归方程的求解、独立重复试验的概率与函数的综合应用、二项分布的均值与方差计算，难度较难.已知()~,X B n p ，则()()(),1E X np D X np p ==-.。
2021届湖南长郡中学新高考原创预测试卷(二十一)数学
2021届湖南长郡中学新高考原创预测试卷（二十一）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.设集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，B ＝{x |2﹣x ＞0},则A ∩B ＝（ ） A. [﹣3，2） B. （2，3]C. [﹣1，2）D. （﹣1，2）【答案】C 【解析】 【分析】求得集合{|13},{|2}A x x B x x =-≤≤=<，根据集合的交集运算，即可求解． 【详解】由题意，集合2{|230}{|13},{|20}{|2}A x x x x x B x x x x =--≤=-≤≤=->=<，所以{|12}[1,2)AB x x =-≤<=-．故选C ．【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确求解集合,A B ，再根据集合的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 2.0cos570=（ ）B. C.12D. 12-【答案】B 【解析】 【分析】直接利用诱导公式化简得解. 【详解】()000cos570cos 360210cos210=+=()000cos 18030cos302=+=-=-故选B【点睛】本题主要考查了利用诱导公式化简及特殊角的三角函数值，属于基础题． 3.已知()2,1a =，()11b =-,，则a 在b 上的投影的数量为（ ） A.2B. 2-C. 5-【答案】B 【解析】 【分析】根据一个向量在另一个向量上投影的概念，可得结果. 【详解】由题意知1a b ⋅=-，2b =，a ∴在b 上的投影的数量为22a b b⋅==-，故选：B.【点睛】本题主要考查一个向量在另一个向量上的投影，属基础题. 4.在ABC ∆中，若sin2sin2A C =，则ABC ∆的形状是（ ）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形【答案】D 【解析】 【分析】sin 2sin 2sin 2sin(2)A C A C π=⇒=-，两种情况对应求解.【详解】sin 2sin 2sin 2sin(2)A C A C π=⇒=- 所以A C =或2A C π+=故答案选D【点睛】本题考查了诱导公式，漏解是容易发生的错误. 5.下列关于平面向量的说法中不正．．确．的是（ ） A. 已知a ，b 均为非零向量，则//a b ⇔存在唯一的实数λ，使得b a λ= B. 若向量AB ，CB 共线，则点A ，B ，C ，必在同一直线上 C. 若a c b c ⋅=⋅且0c ≠，则a b =D. 若点G 为△ABC 的重心，则0GA GB GC ++= 【答案】C 【解析】 【分析】A. 由向量共线定理判断；B.由向量共线定理判断；C.由数量积的运算性质判断；D.由向量的中点表示与三角形的重心性质判断. 【详解】A. 由向量共线定理知正确；B.若向量AB ，CB 共线，则AB ，CB 所在直线互相平行或重合，因为有公共点B ，则重合，所以点A ，B ，C ，必在同一直线上，故正确；C.若a c b c ⋅=⋅，则()0c a b -=，因为0c ≠，则a b =或c 与a b -垂直，故错误； D.若点G 为△ABC 的重心，延长AG 与BC 交与M ，则M 为BC 的中点，所以()1222AG GM GB GC GB GC ==⨯⨯+=+，所以0GA GB GC ++=，故正确.故选：C【点睛】本题主要考查平面的共线定理，数量积的性质以及向量的加减运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.6.若向量(,6)()a x x R =∈，则“||10a =”是“8x =”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由于向量(,6)()a x x R =∈，若“8x =” 可知向量||10a =，可以推出结论，反之结论不一定推出条件，因为8x =-也满足长度为10 【详解】(,6)()a x x R =∈，则“8x =” 则向量22||6+8=10a =,必要条件成立；若||10a =， 22||6+=10a x = ，=8x ，充分条件不成立. 故选:B【点睛】本题考查平面向量和常用逻辑用语等基础知识 7.函数2ln ||()x f x x=的图象大致是（ ） A. B.C. D.【答案】C 【解析】 分析】先判断函数为偶函数，再分段讨论函数值的情况，即可判断. 【详解】解：函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，因为22ln ln ()()()x x f x f x x x --===-，所以()f x 为偶函数，所以()f x 的图像关于y 轴对称， 当01x <<时，ln 0x < 所以()0f x <， 当1x >时，ln 0x > 所以()0f x > 当1x =时，()0f x = 故选：C【点睛】此题考查了函数图像的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数值的变化趋势，属于中档题.8.函数()cos f x x x =在点(,())f ππ处的切线方程为（ ） A. 0y = B. 20x y -=C. 0x y +=D. 0x y -=【答案】C 【解析】 【分析】对函数函数()cos f x x x =求导，利用切线方程公式得到答案. 【详解】函数()()cos 'cos sin f x x x f x x x x =⇒=-'()1k f π==-()f ππ=-切点：(),ππ-切线方程为：0x y += 故答案选C【点睛】本题考查了曲线的切线方程，意在考查学生的计算能力.9.已知曲线2yx 和曲线y = （ ）A. 1B.12C.2D.13【答案】D【解析】【分析】先作出两个函数的图像，再利用定积分求面积得解.【详解】由题得函数的图像如图所示，联立2y xy x⎧=⎪⎨=⎪⎩1,1）所以叶形图面积为312312211)=()|333x x dx x x-=⎰（.故选D【点睛】本题主要考查定积分的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.10.设0.5323,?log2,?cos3a b cπ===，则A. c b a<< B. c a b<<C. a b c<< D. b c a<<【答案】A【解析】0.53213(1,2),?log 2(0,1),?cos 32a b c π===∈==-，所以c b a <<，故选A11.已知函数()()sin 202A x f x A πϕϕ⎛⎫=+≠< ⎪⎝⎭，，若23x π=是()f x 图象的一条对称轴的方程，则下列说法正确的是（ ） A. ()f x 图象的一个对称中心5012π⎛⎫⎪⎝⎭， B. ()f x 在36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上是减函数 C. ()f x 的图象过点102⎛⎫ ⎪⎝⎭， D. ()f x 的最大值是A【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦函数对称轴位置特征，可得ϕ值，从而求出解析式() Asin 26x f x π⎛+=⎫⎪⎝⎭，利用()f x 的图像与性质逐一判断即可．【详解】∵23x π=是()f x 图象的一条对称轴的方程， ∴()2232k k Z ππϕπ⨯+=+∈，又2πϕ<，∴6π=ϕ，∴() Asin 26x f x π⎛+=⎫ ⎪⎝⎭.()f x 图象的对称中心为()0212k f k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭，，故A 正确； 由于A 的正负未知，所以不能判断()f x 的单调性和最值，故B ，D 错误；()1022A f =≠，故C 错误.故选A. 【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质．12.中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行数里，请公仔细算相还”.其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问从第几天开始，走的路程少于30里（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】B【解析】 【分析】由题意知，本题考查等比数列问题，此人每天的步数构成公比为12的等比数列，由求和公式可得首项，进而求得答案．【详解】设第一天的步数为1a ，依题意知此人每天的步数构成公比为12的等比数列， 所以61112378112a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-，解得1192a =，11119238422n nn a -⎛⎫⎛⎫∴=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 由1384302nn a ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，212.8n ∴>，解得4n ≥,故选B ． 【点睛】本题主要考查学生的数学抽象和数学建模能力．二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.已知{}n a 是等差数列，246816a a a a +++=，则9S ＝_________． 【答案】36 【解析】 【分析】利用284652a a a a a +==+，求出54a =，然后利用等差数列求和公式即可求解【详解】{}n a 是等差数列，246816a a a a +++=，284652a a a a a +==+，得出54a =，又由()19992a a S ⋅+=5936a ==【点睛】本题考查利用等差数列的性质求和，属于基础题 14.若1sin cos 3αα+=-，则sin 2α=_______. 【答案】89- 【解析】 【分析】对1sin cos 3αα+=-两边平方整理即可得解. 【详解】由1sin cos 3αα+=-可得：()221sin cos 3αα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，整理得：221sin 2sin cos cos 9αααα++=所以82sin cos sin 29ααα=-= 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系及二倍角的正弦公式，考查观察能力及转化能力，属于较易题．15.在等比数列{}n a 中，253,81a a ==，则n a =_________. 【答案】13n - 【解析】因为在等比数列{}n a 中，1254133,81,{81a q a a a q ===∴=，解得111,3,3n n a q a -==∴= ，故答案为13n - .16.已知定义在R 上的奇函数()f x ，它的图象关于直线2x =对称．当02x <≤时，()1f x x =+，则()()100101f f -+-=______．【答案】2 【解析】【详解】由()f x 为奇函数，且其图象关于直线2x =对称， 知()()f x f x -=-，且()()22f x f x -=+，所以()()()4f x f x f x +=-=-，()()()84f x f x f x +=-+=．()f x 是以8为周期的周期函数．又()()312f f ==，()()400f f ==，所以()()()()10010143022f f f f -+-=+=+=．三、解答题17.在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，且满足222sin sin sin sin A A C B C =-.（1）求角B 的大小；（2）若6A π=，BC 边上的中线AM ，求ABC ∆的面积.【答案】（1）6B π=（2【解析】 【分析】（1）先后利用正弦定理余弦定理化简得到cos 2B =，即得B 的大小；（2）设AC m =，()0m >则BC m =，所以12CM m =，利用余弦定理求出m 的值，再求ABC ∆的面积.【详解】解：（1）因为222sin sin sin sin A A C B C =-，由正弦定理，得222a b c -=-，即222a c b +-=.由余弦定理，得222cos 222a cb B ac ac +-===. 因为0B π<<，所以6B π=.（2）因为6A π=，所以23C A B ππ=--=. 设()0AC m m =>，则BC m =，所以12CM m =. AMC ∆中，由余弦定理得，得22222cos3AM CM AC CM AC π=+-⋅⋅，即2221112422=m m m m ⎛⎫+-⋅⋅⋅- ⎪⎝⎭， 整理得24m =，解得2m =.所以121sin 22232ABC S CA CB π∆=⋅=⨯⨯=【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.18.已知向量a ，b 满足||2a =，||3b =，且2()1a b +=.（1）求,a b ;（2）在ABC ∆中，若AB a =，AC b =，求BC .【答案】(1) 5,6a b π= (2) 13BC = 【解析】【分析】 （1）将2()1a b +=展开得到答案.（2）BC AC AB b a =-=-，平方计算得到答案.【详解】解：（1）因为()2222a ba b a b +=++⋅22221a b =++⋅= 所以，3a b ⋅=-，所以，cos ,23a b a b a b ⋅<>===⨯， 又夹角在[0,]π上，∴5,6a b π<>=； （2）因为BC AC AB b a =-=-，所以，()22222BC b a b a b a =-=+-⋅()2222313=+-⨯-=，所以，BC 边的长度为13BC =【点睛】本题考查了向量的夹角，向量的加减计算，意在考查学生的计算能力.19.已知公差不为零的等差数列{}n a 满足535S =，且2a ，7a ，22a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若()()413n n n b a a =-+，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：34n T <. 【答案】(1)21n a n =+.(2)见详解.【解析】【分析】(1)设公差为d ，由已知条件列出方程组，解得1,a d ，解得数列{}n a 的通项公式.(2)得出()1111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，可由裂项相消法求出其前n 项和n T ，进而可证结论. 【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d (0d ≠).由题意得52722235,,S a a a =⎧⎨=⎩则()()1211154535,2(6)21,a d a d a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=++⎩化简得1127,23,a d a d +=⎧⎨=⎩解得13,2,a d =⎧⎨=⎩ 所以()32121n a n n =+-=+.(2)证明：()()()()44111113224222n n n b a a n n n n n n ⎛⎫====- ⎪-++++⎝⎭， 所以111111111112132435112n T n n n n ⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪-++⎝⎭ 1111311131221242124n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+< ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的基本量运算、裂项相消法求和、不等式的证明.通项公式形如()1111n a n n d d n n d ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭的数列，可由裂项相消法求和. 20.设函数()()sin (,,f x A x A ωφωφ=+为常数，且0,0,0)A ωφπ>><<的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的表达式；（2）求函数()f x 的单调减区间；（3）若()f α=，求cos(2)6πα-的值.【答案】（1）()3)3f x x π=+（2）7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（3）14 【解析】试题分析：（1）由图可以得到3A =T π=，故2ω=，而()f x 的图像过(,0)6π-，故而303πφ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，结合()0,φπ∈得到3πφ=.（2）利用复合函数的单调性来求所给函数的单调减区间，可令3222232k x k πππππ+≤+≤+，解得函数的减区间为7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（3）由3()f α=得1sin(2)34πα+=，而cos(2)sin(2)63ππαα-=+，所以1cos(2)64πα-=. 解析：（1）根据图象得3A =37()4126T ππ=--T π⇒=，所以2ω=. 又()f x 过点(,0)6π-，303πφ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又()0,φπ∈，所以2()06πφ⋅-+=得：3πφ=. （2）由3222232k x k πππππ+≤+≤+得：7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈.即函数()f x 的单调减区间为7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. （3）由3()f α=33)3πα+=，所以1sin(2)34πα+=. 1cos(2)sin (2)sin(2)62634ππππααα⎡⎤-=+-=+=⎢⎥⎣⎦. 21.已知函数1()ln f x x ax x =+-.（1）若()f x 在1x =处的切线与x 轴平行，求a 的值；（2）当2a =-时，求()f x 的单调区间.【答案】（1）2a =-（2）函数()f x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减【解析】【分析】（1）求导数，将1x =代入导函数，值为0，解得a .（2）当2a =-时，代入函数求导，根据导数的正负确定函数单调性.【详解】解：（1）函数()y f x =的定义域为()0,∞+又()222111(0)ax x f x a x x x x++=+'+=>， 依题有()10f '=，解得2a =-．（2） 当2a =-时，()22211212(0)x x f x x x x x -++-'=+=>， 令()0f x '=，解得 1x =，12x =-（舍） 当()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 递增，()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 递减；所以函数()f x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减．【点睛】本题考查了函数的切线，函数的单调性，意在考查学生的计算能力.22.设函数()ln 1f x x ax =--，a R ∈.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当0a >时，若函数()f x 没有零点，求a 的取值范围.【答案】()1 当0a ≤时，()f x 的增区间是()0,+∞，当0a >时，()f x 的增区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间是1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭；()2 21,.e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）求函数f （x ）的导数，利用导数和单调性之间的关系即可求函数的单调区间；（2）根据函数f （x ）没有零点，转化为对应方程无解，即可得到结论．【详解】()()1ln 1f x x ax =--，()11'ax f x a x x-=-=，(0)x >， ①当0a ≤时，()'0f x >，()f x 在区间()0,∞+上单调递增，②当0a >时，令()'0f x <，解得1x a>； 令()'0f x >，解得10x a<<， 综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的增区间是()0,∞+，当0a >时，函数()f x 的增区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间是1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； ()2依题意，函数()f x 没有零点，即()ln 10f x x ax =--=无解，由(1)知：当0a >时，函数()F x 在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，区间1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数， 只需111ln 1ln 20f a a a a a ⎛⎫=-⋅-=--< ⎪⎝⎭， 解得2a e ->．∴实数a 的取值范围为21,.e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查函数的单调性和导数之间的关系，函数的零点，考查学生的运算能力，是中档题。
2021届湖南长郡中学新高考模拟考试(二十)数学(文)试题
2021届湖南长郡中学新高考模拟考试（二十）数学（文）试卷★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，2121z i i⋅=+-，则复数z 的虚部是（ ） A.32B. 32iC. 12iD.12【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的乘法法则将复数z 化为一般形式，进而可得出复数z 的虚部. 【详解】2121z i i ⋅=+-，()()11231222i i z i -+∴==+，所以z 的虚部是12． 故选：D ．【点睛】本题考查复数虚部的求解，考查了复数乘法运算的应用，考查计算能力，属于基础题. 2.全集U =R ，集合04xA x x ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，集合{}2log (1)2B x x =->，则()UA B 为（ ）A. [](,0)4,5-∞⋃ B. (,0)(4,5]-∞⋃ C. (,0)[4,5]-∞⋃D. (,4])(5,)-∞⋃+∞【答案】C 【解析】 【分析】解分式不等式以及对数不等式，得出集合,A B ，再结合集合的运算，即可得出答案.【详解】(4)00404x x xx x -≤⎧≤⇔⎨-≠-⎩，解得04x ≤<214log (1)210x x x ->⎧->⇔⎨->⎩，解得5x >[0,4),(5,)A B ∴==+∞ [0,4)(5,)A B ∴⋃=⋃+∞()(,0)[4,5]U A B ∴⋃=-∞⋃故选：C【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，涉及了解分式不等式以及对数不等式，属于基础题. 3.已知互相垂直的平面α，β交于直线l ，若直线m ，n 满足//m α，n β⊥，则（ ） A. //l m B. //m nC. n l ⊥D. m n ⊥【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意在长方体中画出已知条件，根据图形即可得到选项A ，B ，D 错误，再利用线面垂直的性质即可判断选项C 正确.【详解】对选项A ，如图所示：，在长方体中，满足l αβ⊥=，//m α，但此时m 和l 不平行，故A 错误. 对选项B ，如图所示：，在长方体中，满足l αβ⊥=，//m α，n β⊥，但此时m 和n 相交，故B 错误. 对选项D ，如图所示：，在长方体中，满足l αβ⊥=，//m α，n β⊥，但此时m 和n 平行，故D 错误.对选项C ，n n l l ββ⊥⎧⇒⊥⎨⊂⎩，故C 正确.故选：C【点睛】本题主要考查线面垂直的性质，同时考查了线线的位置关系，属于简单题. 4.已知一个四棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为A. B. C. D.【答案】A 【解析】由正视图和俯视图可知，则该几何体P -ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，P A ⊥面ABCD ，其直观图如图所示，由三视图知识知，其侧视图如A 所示，故选A ．5.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ） A.310B.15C.110D.120【答案】C 【解析】【详解】试题分析：从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5，故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为110，故选C. 考点：古典概型6.已知等差数列{}n a 中，11a =，前10项的和等于前5项的和，若70m a a +=，则m =（ ） A. 10 B. 9C. 8D. 2【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列{}n a 公差为d ,再用基本量法求解即可.【详解】设等差数列{}n a 公差为d ,则由题意可知111095410522a d a d ⨯⨯+=+,代入11a =有1045510d d +=+,解得17d =-.又70m a a +=,即()10725m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭+=,解得9m =.故选：B【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量计算,同时也考查了等差数列的求和公式.属于基础题. 7.函数sin ln ||=+y x x 在区间[3,3]-的图像大致为（ ）．A. B.C. D.【答案】A 【解析】分析：判断()f x 的奇偶性，在(0,1)上的单调性，计算()1f 的值，结合选项即可得出答案. 详解：设()sin ln f x x x =+，当0x > 时，()()1sin ln cos f x x x f x x x=+⇒=+'， 当(0,1)x ∈时，()0f x '>，即函数()f x 在(0,1)上为单调递增函数，排除B ； 由当1x =时，()1sin10f =>，排除D ；因为()()()sin()ln sin ln f x x x f x x x f x -=-+-==-+≠±， 所以函数()f x 为非奇非偶函数，排除C ，故选A.点睛：本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中涉及到函数的单调性、函数的奇偶性和函数值的应用，试题有一定综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力.8.若“122x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得2210x x λ-+<成立”是假命题，则实数λ的取值范围为（ ） A. (2-∞B. 22⎡⎤⎣⎦， C. 22，⎡⎤-⎣⎦D. 3λ=【答案】A 【解析】因为命题“1[,2]2x ∃∈，使得2210x x λ-+<成立”为假命题，所以该命题的否定“1[,2]2x ∀∈，使得2210x x λ-+≥恒成立成立”，即221x xλ+≤对于1[,2]2x ∀∈恒成立，而221112222x x x x x x +=+≥⋅=12x x =，即22x =时取等号），即22λ≤ A. 9.在梯形ABCD 中，已知AB CD ∥,2AB DC =,点P 在线段BC 上，且2BP PC =,则（ ）A. 2132AP AB AD =+ B. 1223AP AB AD =+ C. 32AD AP AB =-D. 23AD AP AB =-【答案】C 【解析】 【分析】根据向量加法的三角形法则求解.【详解】因为1122BC AB AD DC AB AD AB AD AB =-++=-++=-， 221333BP BC AD AB ==-， 所以2122++3333AP AB BP AB AD AB AB AD =-=+=，所以32AD AP AB =-.故选C.【点睛】本题考查向量加法的三角形法则.10.已知变量x ，y 满足约束条件2240240x y x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若222z x y x =++，则z 的最小值为（ ）A. 40B. 9C. 8D.72【答案】D 【解析】 【分析】画出不等式表示的平面区域，将222z x y x =++()2211z x y +=++1z +的几何意义，即可得出答案.【详解】该不等式表示的平面区域，如下图所示222z x y x =++()2211z x y +=++1z +(1,0)D -到该平面区域内点的距离由图可知，点D 到直线2x y +=1z +(min1232122z --+==，即2min 32712z =-=⎝⎭故选：D【点睛】本题主要考查了求平方和型目标函数的最值，属于中档题.11.已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线E 右支上一点，M 是线段1F P 的中点，O 是坐标原点，若1OF M △周长为3c a +（c 为双曲线的半焦距），13F MO π∠=，则双曲线E的渐近线方程为（ ） A. 2y x =± B. 12y x =±C. 2y x =D. 22y x =±【答案】C 【解析】 【分析】从1OF M 周长为3c a +，M 是线段1F P 的中点入手，结合双曲线的定义，将已知条件转为焦点三角形中12||,||PF PF 与a 关系，求出123F PF π∠=，用余弦定理求出,a c 关系，即可求解.【详解】连接2PF ，因为M 是线段1F P 的中点， 由三角形中位线定理知21,2OM PF =2//OM PF ， 由双曲线定义知122PF PF a -=， 因为1OF M 周长为111211322OF OM F M c PF PF c a ++=++=+，所以126PF PF a +=，解得124,2PF a PF a ==，在12PF F 中， 由余弦定理得22212121212||||2cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠， 即()()()222242242cos3c a a a a π=+-⨯⨯，整理得，223c a =，所以22222b c a a =-=，所以双曲线E 的渐近线方程为y =. 故选:C .【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，考查三角形中位线定理、双曲线定义以及余弦定理的应用，属于中档题.12.已知函数ln ()1x xf x x =-+在0x x =处取得最大值，则下列选项正确的是（ ） A. ()0012f x x =< B. ()0012f x x =>C. ()0012f x x ==D. ()0012f x x <<【答案】A 【解析】 【分析】 先求()()2ln 11x x f x x ++'=-+，令()ln 1h x x x =---，则()h x 在()0,∞+上单调递减，分析出010,,2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使()00h x =，且()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，即可证明()0012f x x =<. 【详解】函数的定义域为()0,∞+，而()()2ln 11x x f x x ++'=-+，令()ln 1h x x x =---，则()h x 在()0,∞+上单调递减， 且()221133110,ln 2ln 02222h eh e e -⎛⎫=->=-<-=-< ⎪⎝⎭， 010,,2x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭使()00h x =，从而()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，()f x 在0x x =处取得最大值，00ln 10x x ∴++=，()0000000ln 1ln 1,12x x x x f x x x ∴=--∴=-=<+.故选：A【点睛】本题主要考查了函数的导数应用，函数的单调性，函数的最值等问题.二、填空题：13.若210a =，5log 10b =，则11a b+=________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据对数运算与指数运算是互为逆运算，求出a ，再利用换底公式求出1a 与1b，进行对数运算可求. 【详解】2210,log 10,a a =∴=又5log 10b =，251111lg 2lg 5lg101log 10log 10a b ∴+=+=+==. 故答案为：1【点睛】本题主要考查了指数与对数的互化，考查了对数的运算公式及换底公式，熟练运用换底公式化同底数的对数是进行对数运算的关键.14.某公司共有3个部门，第1个部门男员工60人､女员工40人，第2个部门男员工150人､女员工200人，第3个部门男员工240人､女员工160人.若按性别用分层抽样的方法从这3个部门选取51人参加公司年会表演节目，则应选取的女员工的人数为______. 【答案】24 【解析】 【分析】根据女员工在总体中所占比例，求得抽样比，进而求得抽取校本中女员工的人数. 【详解】应选取的女员工的人数为4020016051244020016060150240++⨯=+++++.故答案为：24.【点睛】本题考查分层抽样的应用，考查数据处理能力，属于基础题. 15.执行如图所示的程序框图，输出S 的值是__________．【答案】0 【解析】 【分析】模拟运行程序，得出该程序框图S 的值会以3为周期循环出现，根据20193673=⨯，即可得出答案. 【详解】1,0tan33n S π==+=22,3tan 03n S π==+= 33,0tan03n S π==+= 44,0tan 33n S π==+=55,3tan 03n S π==+=6,0tan 603n S π==+=由于()tan 3f n n π=的周期33T ππ==，则tan 3n π的值以3为周期循环出现即该程序框图S的值会以3为周期循环出现因为20193673=⨯，所以2019n =时，0S =，此时循环终止，输出的0S = 故答案为：0【点睛】本题主要考查了由程序框图计算输出值，属于中档题.16.如图所示，某几何体由底面半径和高均为3的圆柱与半径为3的半球对接而成，在该封闭几何体内部放入一个正四棱柱，且正四棱柱的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则正四棱柱体积的最大值为__________.【答案】64. 【解析】【分析】设正四棱柱在半球中的高为x ,画出沿正四棱柱对角面的截面,再根据平面几何关系求出正四棱柱的底面边长和高,进而求得正四棱柱的体积关于x 的表达式,再利用导数分析最大值即可.【详解】设正四棱柱在半球中的高为x ,画出沿正四棱柱对角面的截面.则易得正四棱柱的底面边长为2223x ⋅-,正四棱柱的高为3x+,故正四棱柱的体积为()()()()2222233293V xx x x =⋅-⋅+=-+.设()()()2293f x xx =-+,则()()()()()()2'22329613f x x x x x x =-++-=--+.因为03x <<,故当()'0f x =时1x =.且在()0,1上()'0f x >,()f x 单调递增；在()1,3上()'0f x <,()f x 单调递减. 故()()()()max 12913164f x f ==⨯-+=故答案为：64【点睛】本题主要考查了利用导数求解立体几何中的最值问题,需要根据题意设合适的线段长度,再表达出体积的关系式,求导分析函数的单调性与最值即可.属于中档题.三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：17.在ABC ∆中，设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3c =（1）若a ，b ，c 成等比数列，求证：60B ≤︒； （2）若1cos23A =-（A 为锐角），1sin 3C =.求ABC ∆中AB 边上的高h . 【答案】（1）见解析（256【解析】 【分析】（1）由a ，b ，c 成等比数列得2b ac =，再利用余弦定理及基本不等式求出cos B 的范围，从而证明60B ≤︒；（2）先利用二倍角公式解1cos23A =-得sin 3A =；再由正弦定理求得a ；下面可采用种方法求解.方法一：由余弦定理求得b ，再利用AB 边上的高sin h b A =代入即得；方法二：先由同角的三角函数的基本关系算出cos ,cos A C ，进而算出sin B ，再利用AB 边上的高sin h a B =代入即得 【详解】解：（1）证明：因为a ，b ，c 成等比数列，所以2b ac =而22222cos 22a c b a c ac B ac ac+-+-==11122a c c a ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭（当且仅当a c =时取等号） 又因为B 为三角形的内角，所以60B ≤︒（2）在ABC 中，因为21cos 212sin 3A A =-=-，所以sin 3A =.又因为c =1sin 3C =，所以由正弦定理sin sin a cA C=，解得a =法1：由sin 3A =，02A π<<得cos A =由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得22150b b --=. 解得5b =或3b =-（舍）所以AB 边上的高sin 533h b A ==⋅=.法2：由sin 3A =，02A π<<得cos 3A =.又因为1sin 3C =，所以cos 3C =±所以sin sin()sin cos cos sin B A C A C +A C =+=133=+=或sin sin()sin cos cos sin B A C A C +A C =+=13==（舍）（或：因a c =>=02A π<<，所以C 为锐角，）又因为1sin 3C =所以cos C =∴sin sin()sin cos cos sin B A C A C +A C =+=133339=+⋅=所以AB 边上的高sin 93h a B ===. 【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，同角的三角函数基本关系式，二倍角公式等知识，考查了学生综合应用公式的计算能力.18.某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量y （单位：万件）与月销售单价x （单位：元/件）之间的关系，对近6个月的月销售量i y 和月销售单价i x (1,2,3,,6)i =数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示：（1）若用线性回归模型拟合y 与x 之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归直线方程分别为：ˆ4105yx =-+，ˆ453y x =+和1ˆ304y x =-+，其中有且仅有一位实习员工的计算结果是正确的．请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确的，并说明理由；（2）若用2y ax bx c =++模型拟合y 与x 之间的关系，可得回归方程为20.3750.87590.25ˆyx x =-++，经计算该模型和（1）中正确的线性回归模型的相关指数2R 分别为0.9702和0.9524，请用2R 说明哪个回归模型的拟合效果更好；（3）已知该商品的月销售额为z （单位：万元），利用（2）中的结果回答问题：当月销售单价为何值时，商品的月销售额预报值最大？（精确到0.01）80.91≈.【答案】（1）甲；（2）20.3750.87590.25ˆy x x =-++；（3）9.77【解析】 【分析】（1）根据数据知,x y 负相关，排除乙，计算中心点验证排除丙得到答案.（2）2R 越大，残差平方和越小，拟合效果越好，00.9524.9702>，得到答案.（3）32ˆ0.3750.87590.25z xyx x x ==-++，求导得到单调区间，得到答案. 【详解】（1）根据数据知,x y 负相关，排除乙.456789 6.56x +++++==，898382797467796y +++++==.代入验证知，丙不满足，故甲计算正确.（2）2R 越大，残差平方和越小，拟合效果越好，00.9524.9702>，故选用20.3750.87590.25ˆyx x =-++更好. （3）根据题意：32ˆ0.3750.87590.25z xyx x x ==-++，故297361844z x x '=-++. 令'0z =，则65477x -+=（舍去）或65477x +=. 故当654770,9x ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，函数单调递增，当65477,9x ⎛⎫+∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，函数单调递减. 故当654779.779x +=≈时，商品的月销售额预报值最大. 【点睛】本题考查了回归方程，意在考查学生的计算能力和应用能力. 19.如图，四边形ABCD 为矩形，ABE ∆和BCF ∆均为等腰直角三角形，且90BAE BCF DAE ∠=∠=∠=︒，//EA FC .（1）求证：//ED 平面BCF ； （2）BC AB λ=，问是否存在λ，使得棱锥A BDF -的高恰好等于33BC ？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）存在，1λ= 【解析】【分析】（1）通过证明平面//ADE 平面BCF 来证明//ED 平面BCF ；（2）设AB a ，BC b =，则λ=b a ，利用等体积法，则A BDF F ADB V V --=三棱锥三棱锥，可得关于λ的方程，求解可得.【详解】解：（1）因为//AD BC ，所以//AD 平面BCF 因为//EA FC ，所以//EA 平面BCF 所以平面//ADE 平面BCF 故//ED 平面BCF （2）90,BAE AE AB ∠=∴⊥，又//,//EA FC CD AB CF CD ∴⊥，,,BC CF BC CD C ⊥⋂=CF ∴⊥平面ABCD ，设AB a ，BC b =，则λ=b a在矩形ABCD 和BCF ∆中，易得BD DF ===，BF =所以在BDF ∆中，BF 边上的高h ===又21122ABD S ab a λ∆== 所以，由等体积法得21122a b λ⋅=⋅==1λ=所以存在正实数1λ=，使得三棱锥A BDF -的高恰好等于3BC .【点睛】本题主要考查了直线与平面的平行，棱锥体积的计算，采用了等体积法求解参数，考查了学生的空间想象能力和运算求解能力.20.已知1F ，2F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，离心率为12，M ，N 是平面内两点，满足122F F F M =，线段1NF 的中点P 在椭圆上，1F MN △周长为12． （1）求椭圆C 的方程；（2）若过(0,2)的直线l 与椭圆C 交于A ，B ，求OA OB ⋅（其中O 为坐标原点）的取值范围．【答案】（1）22143x y +=（2）133,4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）连接2PF ，根据中位线定理结合椭圆的定义得出4412a c +=，再由椭圆的性质，即可得出椭圆C 的方程；（2）当直线l 的斜率不存在时，将直线l 的方程代入椭圆方程，得出3OA OB ⋅=-，当直线l 的斜率存在时，设出直线l 的方程并代入椭圆方程，结合韦达定理以及向量的数量积公式，得出225343O OB k A ⋅=-++，根据k 的范围，即可得出OA OB ⋅的取值范围． 【详解】（1）连接2PF ，∵122F F F M = ∴2F 是线段1F M 的中点∵P 是线段1F N 的中点，∴2//PF MN ，且21=2PF MN由椭圆的定义知，122PF PF a +=∴1F MN △周长为，()11121224412NF MN F M F P PF F F a c ++=++=+= 由离心率为12知，12c a =，解得2a =，1c =，∴2223b a c =-= ∴椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）当直线l 的斜率不存在时，直线0x =代入椭圆方程22143x y +=，解得3y =此时3OA OB ⋅=-当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =+椭圆C 的方程2234120x y +-=整理得，()22341640kxkx +++=设()11,A x y ，()22,B x y ，则1221634k x x k +=-+，122434x x k =+ ()()222(16)443448410k k k ∆=-⨯⨯+=->，解得214k >∴()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++22222243212124343434k k k k k k-=-+=+++ 22212122222241212161212162533434344343k k k OA OB x x y y k k k k k ---⋅=+=+==-=-++++++ ∵214k >，∴2434k +>，∴2110434k <<+，∴225250434k <<+∴1334OA OB -<⋅<综上所述，OA OB ⋅的取值范围为133,4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题主要考查了求椭圆的标准方程，椭圆中的向量的点乘问题，属于中档题. 21.已知函数()ln f x x ax =-.（1）若函数()f x 在定义域上的最大值为1，求实数a 的值；（2）设函数()(2)()x h x x e f x =-+，当1a ≥时，()h x b ≤对任意的1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，求满足条件的实数b 的最小整数值.【答案】（1）2a e -=（2）3-. 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，得到()1f x a x'=-，分别讨论0a ≤，0a >两种情况，判定函数单调性，根据函数的最大值，即可求出结果；（2）先由题意，将问题转化为：得到()2ln xb x e x ax ≥-+-，对任意的1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立；再由()()2ln 2ln x x x e x ax x e x x -+-≤-+-，转化为：只需()2ln xb x e x x ≥-+-对任意的1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立即可，令()()2ln xg x x e x x =-+-，用导数的方法求其最大值，即可得出结果.【详解】（1）由题意，函数的定义域为()0,∞+，()1f x a x'=- 当0a ≤时，()10f x a x'=->，()f x 在区间()0,∞+上单调递增， ∴()f x 在定义域上无最大值． 当0a >时，令()10f x a x '=-=，1x a=， 由()0f x '>，得10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x '<，1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()f x 的单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，所以函数max 2111()()=()ln11f x f x f a a a e==-=⇒=极大值，即2a e -=为所求．（2）由()()2ln xh x x e x ax =-+-，因为()h x b ≤对任意的1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，即()2ln xb x e x ax ≥-+-，当1a ≥时，对任意的1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，∵1a ≥，0x >．∴()()2ln 2ln xxx e x ax x e x x -+-≤-+-，只需()2ln xb x e x x ≥-+-对任意的1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立即可．构造函数()()2ln xg x x e x x =-+-，()()()11111x x g x x e x e x x⎛⎫'=-+-=-- ⎪⎝⎭，∵1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴10x -<，且()1xt x e x=-单调递增， ∵121202t e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()110t e =->，∴一定存在唯一的01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00t x =即001x ex =，00ln x x =-．∴()g x 单调递增区间为01,3x ⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减区间为()0,1x ． ∴()()()()000000max 012ln 124,3x g x g x x e x x x x ⎛⎫==-+-=-+∈-- ⎪⎝⎭，∴b的最小整数值为3-．【点睛】本题主要考查已知函数最值求参数的问题，以及导数的方法研究不等式恒成立的问题，属于常考题型.（二）选考题：请考生从第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4－4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴，长度单位相同，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2247cos2ρθ=-，直线l 过点(1,0)，倾斜角为34π. （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，写出直线l 的参数方程的标准形式； （2）已知直线l 交曲线C 于,A B 两点，求||AB .【答案】（1）22143x y +=，12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数）（2）247 【解析】 【分析】（1）将曲线C 用二倍角余弦整理，222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==代入，即可求出其直角坐标方程；根据条件，写出直线参数方程的标准形式；（2）将直线参数方程的标准形式代入椭圆方程，利用直线参数的几何意义，结合根与系数关系，即可求出结论.【详解】（1）由2247cos2ρθ=-得，222227cos sin 240ρρθρθ-+-=，将222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==代入上式整理得22143x y +=，∴曲线C 的直角坐标方程为22143x y +=，由题知直线l的标准参数方程为122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数）.（2）设直线l 与曲线C 交点,A B 对应的参数分别为12,t t ，将直线l 的标准参数方程为12x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数）代入曲线C 方程22143x y +=整理得，27180t --=，12121877t t t t ∴+==-， 12247AB t t ∴=-===. 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查应用直线参数标准方程的几何意义求相交弦长，考查计算求解能力，属于中档题.[选修4－5：不等式选讲]23.已知函数()21f x x x =---，函数()421g x x x m =---+-．（1）当()0f x >时，求实数x 的取值范围；（2）当()g x 与()f x 的图象有公共点时，求实数m 的取值范围．【答案】（1）1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；（2）[)1,+∞． 【解析】【分析】（1）去绝对值，转化为分段函数，解不等式即可；（2）函数()y g x =与()y f x =的图象有公共点，则方程()()f x g x =有解，利用参变量分离法得出224m x x =-+-有解，利用绝对值三角不等式可求得m 的取值范围.【详解】（1）当()0f x >时，即21x x ->+.当2x ≥时，则21x x ->+，此时x ∈∅；当2x <时，则21x x ->+，解得12x <，此时12x <. 综上所述，实数x 的取值范围为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭； （2）因为函数()421g x x x m =---+-与函数()y f x =的图象有公共点， 则42121x x m x x ---+-=---有解．即224m x x =-+-有解， 由绝对值三角不等式得()24242x x x x -+-≥---=，所以22m ≥，m 1≥．所以当()y g x =与()y f x =的图象有公共点时，实数m 的取值范围为[)1,+∞．【点睛】本题考查解绝对值不等式，以及函数图象有交点的问题，考查绝对值三角不等式以及分类讨论思想的应用，属于中档题．。
2021届湖南长郡中学新高考原创预测试卷(四)数学
2021届湖南长郡中学新高考原创预测试卷（四）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、单选题1．已知集合A ＝{x |y ，B ＝{y |y ＝2x }，则A ∩B ＝（ ） A ．（1，+∞） B ．[1，+∞）C ．（0，+∞）D ．（0，1]2．已知1:02p x <+，:lg(2)q x +有意义，则p ⌝是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．已知复数5121i z i i=++-，则||z 值为（ ）A ．1B C ．2D ．24．已知点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭在幂函数y ＝f（x ）的图象上，设()0.5log 0.3a f =，()0.30.5b f =，c ＝f （0.30.5），则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b ＜c ＜aB ．c ＜b ＜aC ．a ＜c ＜bD ．a ＜b ＜c5．已知函数()g x 为一次函数，若,m n R ∀∈，有()()()3g m n g m g n +=+-，当[2,2]x ∈-时，函数2()log (2()f x x g x =++的最大值与最小值之和是（ ） A ．10B ．8C ．7D ．66．已知函数11()(04x f x a a +=->，且a ≠1）的图象过定点（m ，n ），则mn1681⎛⎫ ⎪⎝⎭=（ ）A ．32B ．23C ．827D ．2787．函数()212y log x 2x 15=--的单调递增区间为( )A ．()1,∞+B ．(),1∞-C ．(),3∞--D ．()5,∞+8．已知函数()y f x =是奇函数，当[]0,1x ∈时，()0f x =，当1x >时，2()log (1)f x x =-，则(1)0f x -<的解集是（ ） A ．(,1)(2,3)-∞-⋃ B ．(1,0)(2,3)- C ．(2,3)D ．(,3)(0,1)-∞-⋃9．已知函数()f x 为R 上的单调函数，1()f x -是它的反函数，点(2,3)A -和点(2,1)B 均在函数()f x 的图像上，则不等式1|(3)|2x f -<的解集为（ ）A ．(0,1)B ．(1,3)C ．(1,1)-D ．(0,3)10．已知函数()2,01ln ,0x x f x x x-⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，()()g x f x x a =--.若()g x 有2个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,0-B ．[)0,+∞C ．[)1,-+∞D ．[)1,+∞11．已知1a >，设函数()4x f x a x =+-的零点为m ，()log 4a g x x x =+-的零点为n ，则mn 的最大值为( ) A ．8B ．4C ．2D ．112．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且其图象关于直线1x =对称，若当[]0,1x ∈时，()f x x =，则()()()()917.8422F x f x x x =--∈--的零点的个数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．8二、填空题13．若三角形的周长为L ，面积为S ，内切圆半径为r ，则有2Sr L=，类比此结论，在四面体中，设其表面积为S ，体积为V ，内切球半径为R ，则有_________________.14．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n k =时成立推导1n k =+时成立时，()11112321n f n =++++-增加的项数是_______ 15．某方程在区间()24D =，内有无理根,若用二分法求此根的近似值,要使所得的近似值的精确度达到0.1,则应将区间D 等分的次数至少是_______.16．已知函数22log ,04()2708,433x x f x x x x ⎧<⎪=⎨-+>⎪⎩，若关于x 的方程2[()]2()20f x mf x m -++=有6个不同实根，则m 的取值范围是_________.三、解答题17．已知函数())2log f x x =是R 上的奇函数，()2g x t x a =--.（1）求a 的值；（2）记()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为M ，若对任意的3,24x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()M g x ≤恒成立，求t 的取值范围.18．已知函数()()4412log 2log 2f x x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭． （1）当[]1,16x ∈时，求该函数的值域； （2）求不等式()2f x >的解集；（3）若()4log f x m x <对于[]4,16x ∈恒成立，求m 的取值范围． 19．已知函数()2x f x =，2()log g x x =.（1）若0x 是方程3()2f x x =-的根，证明02x 是方程3()2g x x =-的根； （2）设方程5(1)2f x x -=-，5(1)2g x x -=-的根分别是1x ，2x ，求12x x +的值.20．已知函数()ln f x x ax =+()a R ∈． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，设函数()()(2)5g x f x k x =-++．若函数()g x 在区间0,)+∞（上有两个零点，求实数k 的取值范围．21．已知函数()ln f x x =，()g x x m =+.()Ⅰ若()()f x g x ≤恒成立，求m 的取值范围；()Ⅱ已知1x ，2x 是函数()()()F x f x g x =-的两个零点，且12xx <，求证：121x x <.22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22413sin ρθ=+. （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）若C 上恰有2个点到l l 的斜率. 23．已知函数()21f x x m x =++-（0m >）．（1） 当1m =时，解不等式()2f x ≥；（2） 当2,2x m m ⎡⎤∈⎣⎦时，不等式1()12f x x ≥+恒成立，求实数m 的取值范围．答案1．已知集合A ＝{x |y ，B ＝{y |y ＝2x }，则A ∩B ＝（ ） A ．（1，+∞） B ．[1，+∞）C ．（0，+∞）D ．（0，1]【答案】B 2．已知1:02p x <+，:lg(2)q x +有意义，则p ⌝是q 的（ ） A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C3．已知复数5121i z i i=++-，则||z 值为（ ）A ．1B C ．2D ．2【答案】D4．已知点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭在幂函数y ＝f （x ）的图象上，设()0.5log 0.3a f =，()0.30.5b f =，c ＝f （0.30.5），则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b ＜c ＜a B ．c ＜b ＜aC ．a ＜c ＜bD ．a ＜b ＜c【答案】D设幂函数y ＝f （x ）为()f x x α=，因为点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭在幂函数y ＝f （x ）的图象上，所以124α=，解得2α=-，所以()2f x x -=，且函数()2f x x -=在()0+∞，上单调递减， 又0.5log 0.3>1，0.300.51<<，0.50310.<<，且0.0.50.30.30.30.30.5<<，所以0.50.30.5log 0.30.50.3<< ，所以a ＜b ＜c ，5．已知函数()g x 为一次函数，若,m n R ∀∈，有()()()3g m n g m g n +=+-，当[2,2]x ∈-时，函数2()log (2()f x x g x =++的最大值与最小值之和是（ ）A ．10 B ．8 C ．7D ．6【答案】D由题意，设一次函数()g x ax b =+，因为()()()3g m n g m g n +=+-，可得()3a m n b am b an b ++=+++-，解得3b =，所以()3g x ax =+，故()g x 的图象关于(0,3)对称，又设2()log (2h x x =+，可得函数()h x 为单调递增函数，且22()log (2log ()h x x h x -=-+==-，即()()h x h x -=-，所以()h x 是奇函数，则min max ()()0h x h x +=， 则()min min min ()()f x h x g x =+，()max max max ()()f x h x g x =+，所以()()min max min max min max (()())()()066f x f x h x h x g x g x +=+++=+= 即为()g x 的最大值与最小值之和6.6．已知函数11()(04x f x aa +=->，且a ≠1）的图象过定点（m ，n ），则mn1681⎛⎫ ⎪⎝⎭=（ ）A ．32B ．23C ．827D ．278【答案】D 解：函数11()(04x f x aa +=->，且1)a ≠中，令10x +=，得1x =-，所以13(1)144y f =-=-=， 所以()f x 的图象过定点31,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以1m =-，34n =； 所以334416168127()()()8181168mn -===．7．函数()212y log x 2x 15=--的单调递增区间为( ) A ．()1,∞+ B ．(),1∞- C ．(),3∞-- D ．()5,∞+【答案】C8．已知函数()y f x =是奇函数，当[]0,1x ∈时，()0f x =，当1x >时，2()log (1)f x x =-，则(1)0f x -<的解集是（ ）A ．(,1)(2,3)-∞-⋃B ．(1,0)(2,3)-C ．(2,3)D ．(,3)(0,1)-∞-⋃【答案】A数形结合可知，()0f x <的解集为()(),21,2-∞-⋃，故()10f x -<的解集为()(),12,3-∞-⋃.9．已知函数()f x 为R 上的单调函数，1()f x -是它的反函数，点(2,3)A -和点(2,1)B 均在函数()f x 的图像上，则不等式1|(3)|2x f -<的解集为（ ）A ．(0,1)B ．(1,3)C ．(1,1)-D ．(0,3)【答案】A 由311222AB k -==---和()f x 为R 上的单调函数，可得()f x 为R 上的单调递减函数，则1()f x -在定义域内也为单调递减函数；原函数过点(2,3)A -和点(2,1)B ，则1()f x -过()()1,2,3,2-则11|(3)|22(3)2133x x x f f --<⇔-<<⇔<<，解得(0,1)x ∈10．已知函数()2,01ln ,0x x f x x x-⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，()()g x f x x a =--.若()g x 有2个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)1,0- B ．[)0,+∞ C ．[)1,-+∞ D ．[)1,+∞【答案】D令()0g x =可得()f x x a =+，作出函数()y f x =与函数y x a =+的图象如下图所示：由上图可知，当1a ≥时，函数()y f x =与函数y x a =+的图象2个交点，此时，函数()y g x =有2个零点.因此，实数a 的取值范围是[)1,+∞.11．已知1a >，设函数()4x f x a x =+-的零点为m ，()log 4a g x x x =+-的零点为n ，则mn 的最大值为( )A ．8 B ．4 C ．2 D ．1【答案】B【解析】试题分析：由()40xf x a x =+-=得4x a x =-，函数()4xf x a x =+-的零点为m ，即,4x y a y x ==-的图象相交于点(,4)m m -；由()log 40a g x x x =+-=得log 4a x x =-，函数()log 4a g x x x =+-的零点为n ，即log ,4a y x y x ==-的图象相交于点(,4)n n -因为,log xa y a y x ==互为反函数，所以4m n =-，即4m n +=且0,0m n >>，由基本不等式得2()42m n mn +≤=，当且仅当2m n ==时“=”成立， 所以mn 的最大值为4.12．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且其图象关于直线1x =对称，若当[]0,1x ∈时，()f x x =，则()()()()917.8422F x f x x x =--∈--的零点的个数为（ ）A ．4 B ．5C ．6D ．8【答案】C解：由()0F x =得()91422f x x =+-，令()91422g x x =+-，∵函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且其图象关于直线1x =对称， 又当[]0,1x ∈时，()f x x =，∴由此作出函数()f x 和()g x 的图象如图，由图可知，函数()f x 和()g x 的图象有6个交点，∴函数()F x 的零点的个数为6，13．若三角形的周长为L ，面积为S ，内切圆半径为r ，则有2Sr L=，类比此结论，在四面体中，设其表面积为S ，体积为V ，内切球半径为R ，则有_________________. 【答案】3V R S=设四面体的内切球的球心为O ，则球心到四个面的距离都为R所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和 设四面体的体积为V ，其表面积为S则13V SR =，即3V R S =故答案为：3V R S =14．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n k =时成立推导1n k =+时成立时，()11112321nf n =++++-增加的项数是_______【答案】2k 【解析】当n k =时成立，即()11112321kk f =++++-， 则1n k =+成立时，有()111111222113212k kk k f k =+++++++-++-，所以增加的项数是()()221212k kkk+---=. 故答案为：2k .15．某方程在区间()24D =，内有无理根,若用二分法求此根的近似值,要使所得的近似值的精确度达到0.1,则应将区间D 等分的次数至少是_______.【答案】5解：每一次二等分，区间长度变为原来的12，由112210n⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ 且*n N ∈，解得5n ，16．已知函数22log ,04()2708,433x x f x x x x ⎧<⎪=⎨-+>⎪⎩，若关于x 的方程2[()]2()20f x mf x m -++=有6个不同实根，则m 的取值范围是_________. 【答案】(2,)+∞作出函数22log ,04()2708,433x x f x x x x ⎧<⎪=⎨-+>⎪⎩的图象，如图，(4)2f =，2(6)3f =-，作出直线y t =，由图可知，当23t <-时，()f x t =无实解，当23y =-时，()f x t =有一解， 当203t -<<或2t >时，()f x t =有二解，当0y =或2t =时，()f x t =有三解， 当02t <<时，()f x t =有四解，∴若关于x 的方程2[()]2()20f x mf x m -++=有6个不同实根，则方程2220t mt m -++=(*)首先必有两个不等的实根，即244(2)0m m ∆=-+>，1m <-或2m >，其次，方程(*)的两根12,t t 满足10t =，22t =或者102t <<，2203t -<<或22t >． 若10t =，22t =，则202202m m =+⎧⎨+=⨯⎩，无解，记2()22g t t mt m =-++若102t <<，2203t -<<， 则(0)2024420393(2)4420g m g m m g m m =+<⎧⎪⎪⎛⎫-=+++>⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪=-++>⎩，无解，若102t <<，22t >，则(0)20(2)4420g m g m m =+>⎧⎨=-++<⎩，解得2m >，综上，2m >．故答案为：(2,)+∞． 17．已知函数())2log f x x =是R 上的奇函数，()2g x t x a =--.（1）求a 的值；（2）记()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为M ，若对任意的3,24x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()M g x ≤恒成立，求t 的取值范围.【答案】(1) 1a = (2) [)4,+∞ （1）因为())2log f x x =是R 上的奇函数，所以()00f = ，即log 0=，解得1a =. （2）由（1）可得())2log f x x =，()212121x t g x t x x t -++⎧=--=⎨+-⎩ 1,21,2x x ≥< .因为奇函数())22log log f x x ==()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，则()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为233log 144M f ⎫⎛⎫⎛⎫⎪=-=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭，因为()2121x t g x x t -++⎧=⎨+-⎩ 1,21,2x x ≥<，所以()g x 在31,42⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上是增函数，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，则()g x 的最小值为34g ⎛⎫-⎪⎝⎭和()2g 中的较小的一个. 因为33521442g t t ⎛⎫⎛⎫-=⨯-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22213g t t =-⨯++=-， 所以()()min 23g x g t ==-，因为对任意的3,24x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()M g x ≤恒成立，所以13t ≤-， 解得4t ≥.18．已知函数()()4412log 2log 2f x x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭． （1）当[]1,16x ∈时，求该函数的值域； （2）求不等式()2f x >的解集；（3）若()4log f x m x <对于[]4,16x ∈恒成立，求m 的取值范围．【答案】（1）9,58⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）1{|04x x <<或8}x >（3）52（1）令4log t x =，[]1,16x ∈，则[]0,2t ∈，函数()f x 转化为()1222y t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[]0,2t ∈，则二次函数()1222y t t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，在10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在124⎛⎤⎥⎝⎦，上单调递增， 所以当14t =时，y 取到最小值为98-，当2t =时，y 取到最大值为5， 故当[]1,16x ∈时，函数()f x 的值域为9,58⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（2）由题得()4412log 2log 202x x ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭，令4log t x =， 则()122202t t ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭，即2230t t -->,解得32t >或1t <-， 当32t >时，即43log 2x >，解得8x >， 当1t <-时，即4log 1x <-，解得104x <<， 故不等式()2f x >的解集为1{|04x x <<或8}x >. （3）由于()44412log 2log log 2x x m x ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭对于[]4,16x ∈上恒成立， 令4log t x =，[]4,16x ∈，则[]1,2t ∈即()1222t t mt ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭在[]1,2t ∈上恒成立， 所以121m t t>--在[]1,2t ∈上恒成立，因为函数1y t=-在[]1,2上单调递增，2y t =也在[]1,2上单调递增，所以函数121y t t=--在[]1,2上单调递增，它的最大值为52，故52m >时，()4log f x m x <对于[]4,16x ∈恒成立． 19．已知函数()2x f x =，2()log g x x =.（1）若0x 是方程3()2f x x =-的根，证明02x 是方程3()2g x x =-的根； （2）设方程5(1)2f x x -=-，5(1)2g x x -=-的根分别是1x ，2x ，求12x x +的值. 【答案】（1）证明见解析（2）72解：（1）证明：因为0x 是方程3()2f x x =-的根， 所以00322x x =-，即00322x x =-()0002032log 222x x x g x ===-所以，02x 是方程3()2g x x =-的根. （2）由题意知，方程1522x x -=-，25log (1)2x x -=-的根分别是1x ，2x ， 即方程132(1)2x x -=--，23log (1)(1)2x x -=--的根分别为1x ，2x ， 令1t x =-设方程322tt =-，23log 2t t =-的根分别为111t x =-，221t x =-， 由（1）知1t 是方程322tt =-的根，则12t 是方程23log 2t t =-的根.令23()log 2h t t t =+-，则12t 是()h t 的零点， 又因为()h t 是(0,)+∞上的增函数，所以，12t 是()h t 的唯一零点，即12t 是方程23log 2t t =-的唯一根. 所以122tt =，所以1121322tt t t +=+=，即()()123112x x -+-=，所以1237222x x +=+= 20．已知函数()ln f x x ax =+()a R ∈． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，设函数()()(2)5g x f x k x =-++．若函数()g x 在区间0,)+∞（上有两个零点，求实数k 的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）01k <<． 解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞'11()ax f x a x x+=+= 当0a ≥时，'()0f x >恒成立，即()f x 在(0,)+∞上单调递增当0a <时，由'()0f x >得：10x a<<-，由'()0f x <得：1x a >-()f x 在1(0,)a -单调递增，在1(,)a-+∞单调递减 综上可知：当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增当0a <时，()f x 在1(0,)a -单调递增，在1(,)a-+∞单调递减 （2）函数()g x 在区间0,)+∞（上有两个零点，等价于方程ln 52x x k x ++=+有两解令ln 5()2x x p x x ++=+，22ln 2()(2)x x p x x --+'= 令2()ln 2h x x x =--，221()0h x x x'=--<在(0,)+∞上恒成立 ()h x 在(0,)+∞单调递减又(1)0h =，则()0p x '>，01x <<，()0p x '<，1x >所以()p x 在(0,1)单增，在(1,)+∞单减，max ()(1)2p x p ==，1x >时，ln 3()112x p x x +=+>+，即x →+∞时，()1p x →， 当30x e -<<时，()1p x <，∴ln 5()2x x p x x ++=+的图象与直线y k =有两个交点，则01k <<．21．已知函数()ln f x x =，()g x x m =+.()Ⅰ若()()f x g x ≤恒成立，求m 的取值范围；()Ⅱ已知1x ，2x 是函数()()()F x f x g x =-的两个零点，且12xx <，求证：121x x <.【答案】（1）1m ≥-（2）见解析解析：()1令()()()ln (0)F x f x g x x x m x =-=-->，有()111xF x x x-=-='，当1x >时，()0F x '<，当01x <<时，()0F x '>，所以()F x 在()1,+∞上单调递减，在()0,1上单调递增，()F x 在1x =处取得最大值，为1m --，若()()f x g x ≤恒成立，则10m --≤即1m ≥-.()2方法一：120x x <<，211x x ∴>， 112211220,ln ln 0lnx x m x x x x lnx x m --=⎧∴-=-⎨--=⎩， 即2121ln ln x x x x -=-21211ln ln x x x x -∴=-，欲证：121x x <21211ln ln x x x x -<=-，只需证明21ln ln x x -<只需证明21lnx x <设1t =>，则只需证明12ln ,(1)t t t t<->， 即证：12ln 0,(1)t t t t-+<>.设()12ln (1)H t t t t t =-+>，()()22212110t H t t t t-=--=-<'， ()H t ∴在()1,+∞单调递减，()()12ln1110H t H ∴<=-+=，12ln 0t t t∴-+<，所以原不等式成立.方法二：由（1）可知，若函数()()()F x f x g x =- 有两个零点，有()10F >，则1m <-，且1201x x <<<，要证121x x <，只需证211x x <，由于()F x 在()1,+∞上单调递减，从而只需证()211F x F x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由()()120F x F x ==，只需证111111ln 0F m x x x ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，又()111ln 0F x x x m =--=，11ln m x x ∴=-即证1111111111lnln ln 0m x x x x x x --=-+-< 即证11112ln 0x x x -+-<，1(01)x <<. 令()12ln (01)h x x x x x =-+-<<，()222122110x x h x x x x-+=+-=>'， 有()h x 在()0,1上单调递增，()()10h x h <=，()111112ln 0h x x x x ∴=-+-<. 所以原不等式121x x <成立.22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22413sin ρθ=+. （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）若C 上恰有2个点到ll 的斜率.【答案】(1) l 的普通方程为tan y x α=, C 的直角坐标方程为2214x y +=(2) 2±（1）当cos 0α=，即()2k k Z παπ=+∈时，l 的普通方程为0x =当cos 0α≠，即()2k k Z παπ≠+∈时，l 的普通方程为tan y x α=由x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩，及22413sin ρθ=+，得2244x y += 即C 的直角坐标方程为2214x y +=（2）依题意，设:l y kx =所以C 上恰有2个点到l等价于C 上的点到l设C 上任一点()2cos ,sin P ββ，则P 到l 的距离d==sinϕ=，cos ϕ=()sin 1βϕ+=±时，max d ==解得：k =，所以l 的斜率为{ x cos y sin ρθρθ==， 222{?x y y tan xρθ+==等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，本题这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题． 23．已知函数()21f x x m x =++-（0m >）． （1） 当1m =时，解不等式()2f x ≥；（2） 当2,2x m m ⎡⎤∈⎣⎦时，不等式1()12f x x ≥+恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）(]2,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭；（2）32m ≥ （1）当1m =时，()121f x x x =++-，当12x ≥时，不等式()2f x ≥可化为32x ≥，解得：23x ≥，所以23x ≥；当112x -≤<时，不等式()2f x ≥可化为22x -≥，解得：0x ≤，所以10x -≤≤； 当1x <-时，不等式()2f x ≥可化为32x -≥，解得：23x ≤-，所以1x <-； 综上，不等式的解集为：(]2,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭； （2）由题意可得：220m m m ⎧≥⎨>⎩，解得：12m ≥，则不等式1()12f x x ≥+可化为2122x m x x ++-≥+， 即3x m ≥-对任意2,2x m m ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，所以只需3m m ≥-，解得：32m ≥， 即实数m 的取值范围为：32m ≥.。
2021届湖南长郡中学新高考原创预测试卷(二十二)物理
2021届湖南长郡中学新高考原创预测试卷（二十二）物理★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ｉ卷（选择题共126分）二、选择题（本题共8小题,每小题6分.在每小题给出的四个选项中,第14～18题只有一项符合题目要求,第19～21题有多项符合题目要求,全部选对的得6分,选对但不全的得3分,有选错的得0分）14．以下关于光子说的基本内容，不正确的说法是（）A．光子的能量跟它的频率有关B．紫光光子的能量比红光光子的能量大C．光子是具有质量、能量和体积的实物微粒D．在空间传播的光是不连续的，而是一份一份的，每一份叫一个光子15．如图所示，一机械臂铁夹竖直夹起一个金属小球，小球在空中处于静止状态，铁夹与球接触面保持竖直，则（）A．小球受到的摩擦力方向竖直向下B．小球受到的摩擦力与重力大小相等C．若增大铁夹对小球的压力，小球受到的摩擦力变大D．若铁夹水平移动，小球受到的摩擦力变大16．如图所示，a、b两点位于以负点电荷－Q（Q>0）为球心的球面上，c点在球面外，则（）A．a点场强的大小比b点大B．b点场强的大小比c点小C．a点电势比b点高D．b点电势比c点低17．2018年12月8日，肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射，“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测，率先在月背刻上了中国足迹”。
2021届湖南长郡中学新高三原创预测试卷(八)数学
2021届湖南长郡中学新高三原创预测试卷（八）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U=R.集合A={0,1，2，3，4，5}，B={x|x≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为()A. {0,1}B. {1}C.{1,2} D. {0,1，2}2.在复平面内与复数z=2i所对应的点关于实轴对1+i称的点为A，则A对应的复数为()A. 1+iB. 1-iC. -1-iD. -1+i3.执行如图所示的程序框图，输出S的值为()A. 3+12log 23B. log 23C. 3D. 24. 阿基米德(公元前287年−公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C 的焦点在x 轴上，且椭圆C 的离心率为√74，面积为12π，则椭圆C 的方程为( )A.x 23+y 24=1B.x 29+y 216=1C.x 24+y 23=1D. x 216+y 29=15. 已知f(k)=k +(k +1)+(k +2)+⋯…+2k(k ∈N ∗)，则( )A. f(k +1)−f(k)=2k +2B. f(k +1)−f(k)=3k +3C. f(k +1)−f(k)=4k +2D. f(k +1)−f(k)=4k +36. 已知数列{a n }为等比数列，且a 2a 3a 4=−a 72=−64，则tan (√2a 53⋅π)=( )A. −√3B. √3C. ±√3D. −√337. 设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为−√33，那么|PF|=( )A. 2√3B. 43C. √3D. 28. 若sinθ−cosθ=43，且θ∈(34π,π)，则sin (π−θ)−cos (π−θ)=( )A. −√23B. √23C. −43D. 439. 已知三棱锥A −BCD 中，AB =CD =√5,AC =BD =2,AD =BC =√3，若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为( )A. 3π2B. 24πC. √6πD. 6π10. 在Rt △ABC 中，已知∠C =90°，CA =3，CB =4，P 为线段AB 上的一点，且CP⃗⃗⃗⃗⃗ =x ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ |CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+y ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ |CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则1x +1y 的最小值为( )A. 76B. 712C. 712+√33D. 76+√3311. 已知函数y =f(x)是(−1,1)上的偶函数，且在区间(−1,0)上是单调递增的，A ，B ，C 是锐角三角形△ABC 的三个内角，则下列不等式中一定成立的是( )A. f(sinA)>f(sinB)B. f(sinA)>f(cosB)C. f(cosC)>f(sinB)D. f(sinC)>f(cosB)12. 已知定义在R 上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)<f(x)，且f(x +2)为偶函数，f(4)=1，则不等式f(x)<e x 的解集为( )A. (−∞,0)B. (0,+∞)C. (−∞,e 4)D. (e 4,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知椭圆x 2a 2+y 24=1(a >0)与双曲线x 29−y 23=1有相同的焦点，则a 的值为______14. 已知实数x ，y 满足不等式组{x −y −2≤0,x +2y −5≥0,y −2≤0,且z =2x −y 的最大值为a ，则∫ax e 1 dx =______．15. 已知点A(−2,0)、B(0,4)，点P 在圆C(x −3)2+(y −4)2=5上，则使∠APB =90°的点P 的个数为______． 16. 已知函数f(x)={|log 2x|,0<x ≤2(x −3)2,x >2，若方程f(x)=a 有4个不同的实数根x 1，x 2，x 3，x 4(x 1<x 2<x 3<x 4)，则x 4x 1x 2x 3+x 3+x 4的取值范围是______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知等差数列{a n }满足：a 4=7，a 10=19，其前n 项和为S n ．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式a n 及S n ； (Ⅱ)若b n =1an a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ．18. 已知函数f(x)=2√3sinxcosx +2sin 2x −1．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f(A)=2,C =π4,c =2，求△ABC 的面积．19. 如图，在四边形ABCD 中，AB//CD ，∠BCD =2π3，四边形ACFE 为矩形，且CF ⊥平面ABCD ，AD =CD =BC =CF ．(1)求证：EF ⊥平面BCF ；(2)点M 在线段EF 上运动，当点M 在什么位置时，平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y2b 2=1(a >√2)的右焦点为F ，P 是椭圆C 上一点，PF ⊥x 轴，|PF|=√22． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若点线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，且|OM|=√2，求△AOB 面积的最大值．21. 已知函数f(x)=lnx +x −a √x(a ∈R)有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2．(1)若a =5，求曲线y =f(x)在点(4,f(4))处的切线方程；(2)记g(a)=f(x 1)−f(x 2)，求a 的取值范围，使得0<g(a)≤154−4ln2．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =cos θy =3sinθ(θ∈[0,2π))，曲线C 2的参数方程为{x =−2−12ty =√32t(t 为参数)． (1)求曲线C 1，C 2的普通方程；(2)求曲线C 1上一点P 到曲线C 2距离的取值范围． 23. 已知f(x)=|x −a|x +|x −2|(x −a)．(1)当a =1时，求不等式f(x)<0的解集; (2)若x ∈(−∞,1)时，f(x)<0，求a 的取值范围．数学试卷参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） ABDDB BBACC CB二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13【答案】4 14【答案】6 15【答案】1 16【答案】(7,8)三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17【答案】解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则{a 1+3d =7a 1+9d =19，解得：a 1=1，d =2，∴a n =1+2(n −1)=2n −1，S n =n(1+2n−1)2=n 2．(2)b n =1an a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，∴数列{b n }的前n 项和为T n =12[(1−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)] =12(1−12n+1)=n2n+1．18【答案】解：(1)∵f(x)=2√3sinxcosx +2sin 2x −1=√3sin2x −cos2x =2sin(2x −π6)，令2kπ−π2≤2x −π6≤2kπ+π2，k ∈Z ，解得kπ−π6≤x ≤kπ+π3，k ∈Z ， ∴函数f(x)的单调递增区间为：[kπ−π6,kπ+π3]，k ∈Z ． (2)∵f(A)=2sin(2A −π6)=2，∴sin (2A −π6)=1，∵A ∈(0,π)，2A −π6∈(−π6,11π6)，∴2A −π6=π2，解得A =π3， ∵C =π4，c =2，∴由正弦定理asinA =csinC ，可得a =c⋅sinA sinC=2×√32√22=√6，∴由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA ，可得6=b 2+4−2×b ×2×12，解得b =1+√3，(负值舍去)，∴S △ABC =12absinC =12×√6×(1+√3)×√22=3+√32．19【答案】(1)证明：在梯形ABCD 中，∵AB//CD ，设AD =CD =BC =1， 又∵∠BCD =2π3，∴AB =2，∴AC 2=AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cos60°=3．∴AB 2=AC 2+BC 2.则BC ⊥AC ． ∵CF ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC ⊥CF ，而CF ∩BC =C ， ∴AC ⊥平面BCF ． ∵EF//AC ，∴EF ⊥平面BCF ；(2)解：分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设AD =CD =BC =CF =1，令FM =λ(0≤λ≤√3)， 则C(0,0，0)，A(√3,0，0)，B(0,1，0)，M(λ,0，1)， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1，0)，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ,−1,1)，设n⃗ =(x,y ，z)为平面MAB 的一个法向量， 由{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0得{−√3x +y =0λx −y +z =0，取x =1，则n ⃗ =(1,√3,√3−λ)，∵m ⃗⃗ =(1,0，0)是平面FCB 的一个法向量， ∴cos <n ⃗ ,m ⃗⃗ >=n ⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ |n⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=√1+3+(√3−λ)2×1=√(λ−√3)2+4．∵0≤λ≤√3，∴当λ=0时，cosθ有最小值为√77，∴点M 与点F 重合时，平面MAB 与平面FCB 所成二面角最大，此时二面角的余弦值为√77． 20【答案】解：(1)由题知，点P(c,√22)，b =√2，则有c2a2+(√22)22=1，又a 2=b 2+c 2=2+c 2，解得a 2=8，c 2=6，故椭圆C 的方程为x 28+y 22=1．(2)当AB ⊥x 轴时，M 位于x 轴上，且OM ⊥AB ， 由|OM|=√2可得|AB|=√6， 此时S △AOB =12|OM|⋅|AB|=√3．当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为y =kx +t ，与椭圆交于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 由{x 28+y 22=1y =kx +t ，得(1+4k 2)x 2+8ktx +4t 2−8=0．∴x 1+x 2=−8kt1+4k 2，x 1x 2=4t 2−81+4k ，从而M(−4kt1+4k 2,t1+4k 2)，已知|OM|=√2，可得t 2=2(1+4k 2)21+16k 2．∵|AB|2=(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=(1+k 2)[(−8kt 1+4k 2)2−4×4t 2−81+4k 2]=(1+k 2)16(8k 2−t 2+2)(1+4k 2)2．设O 到直线AB 的距离为d ，则d 2=t 21+k 2，S △AOB 2=14(1+k 2)16(8k 2−t 2+2)(1+4k 2)2⋅t 21+k 2．将t 2=2(1+4k 2)21+16k 2代入化简得S △AOB2=192k 2(4k 2+1)(1+16k 2)2．令1+16k 2=p ，则S △AOB2=192k 2(4k 2+1)(1+16k 2)2=12(p−1)(p−14+1)p 2=3[−3(1p −13)2+43]≤4，当且仅当p =3时取等号，此时△AOB 的面积最大，最大值为2． 21【答案】解：(1)当a =5时，f(x)=lnx +x −5√x ， f′(x)=1x +1−2√x ，f(4)=ln4−6，f′(4)=0．所以，点(4,f(4))处的切线方程是y =ln4−6．(2)f′(x)=1x+12x=2x−a √x+22x ，由已知得，√x 1+√x 2=a2，√x 1⋅√x 2=1，且a >4． 令√x 2√x =t ，得(1+t)2t=a 24，且t >1．∵f(x 1)=lnx 1+x 1−a √x 1=lnx 1−x 1−2.f(x 2)=lnx 2−x 2−2． ∴g(a)=ln (x 1x 2)+(x 2−x 1)=t −1t −2lnt ．令ℎ(t)=t −1t −2lnt ． 则ℎ′(t)=1+1t 2−2t=t 2−2t+1t 2>0∴ℎ(t)在(1,+∞)上单调递增． ∵ℎ(4)=154−4ln2，∴1<t ≤4． 又∵(1+t)2t在(1,4)上单调递增，∴4<a ≤5．22【答案】解：(1)由{x =cos θy =3sinθ(θ∈[0,2π))得cosθ=x ，sinθ=y 3， ∴cos 2θ+sin 2θ=x 2+y 29=1，即C 1：x 2+y 29=1，由{x =−2−12ty =√32t消去t 得y =√3(x +2)，即√3x +y +2√3=0， 即C 2：√3x +y +2√3=0； (2)设P(cosθ,3sinθ)， 则P 到C 2的距离d =|√3cosθ+3sinθ+2√3|2=|2√3sin (θ+π6)+2√3|2，∵θ∈[0,2π)，当sin (θ+π6)=1时，即θ=π3时，d max =2√3， 当sin (θ+π6)时，即θ=4π3时，d min =0∴曲线C 1上一点P 到曲线C 2距离的取值范围是[0,2√3].23【答案】解：(1)当a =1时，f(x)=|x −1|x +|x −2|(x −1)， ∵f(x)<0，∴当x <1时，f(x)=−2(x −1)2<0，恒成立， ∴x <1；当x ≥1时，f(x)=(x −1)(x +|x −2|)≥0恒成立， ∴x ∈⌀；综上，不等式的解集为(−∞,1)．(2)∵x∈(−∞,1)时，f(x)=|x−a|x−(x−2)(x−a)．当a≥1时，f(x)=2(a−x)(x−1)<0在x∈(−∞,1)上恒成立；当a<1时，若x∈(−∞,a)，f(x)=2(a−x)(x−1)<0，∴f(x)<0，成立;若x∈(a,1)，则f(x)=2(x−a)>0，不满足题意；所以当a<1时，不满足题意；综上，a的取值范围为[1,+∞)．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2021届湖南长郡中学新高考原创预测试卷（二十）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、单选题 本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。
1. 设i 为虚数单位,,“复数m(m-1)+i 是纯虚数”是“m=1”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2.若向量a 与b 满足()a b a +⊥，且12a b ==，，则向量a 在b 方向上的投影为（ ）A 3B ．12-C ．1-D 3 3.已知集合A ＝{x∈R |x 2－x －2＜0}，B ＝{x∈Z |x ＝2t ＋1，t∈A}，则A∩B 等于( )A.{－1，0，1}B.{－1，0}C.{0，1}D.{0}4.在锐角ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若cos cos 33sin B C Ab c C+=，cos 2B B +=，则+a c 的取值范围（ ）A.B. 32（C.D. 32[ 5. 若()523450123451x a a x a x a x a x a x -=+++++，则012345a a a a a a -+-+-=（ ）A. 0B. 1C. 32D. 1-6．若实数x ，y 满足20x y y x y x b -≥≥≥-+⎧⎪⎨⎪⎩且2z x y =+的最小值为3，则实数b 的值为（ ）A ．1BC ．94D ．527.已知函数f(x)＝⎩⎨⎧log 2()2－x ，0≤x＜k ，x 3－3x 2＋3，k≤x≤a，若存在实数k ，使得函数f(x)的值域为[－1，1]，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1＋3 B.[]2，1＋3 C.[]1，3 D.[]2，3 8．对于数列{}n a ,定义1122......2n nn a a a H n-++=为{}n a 的“优值”，现已知某数列的“优值”=2nn H ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2019=2019S （ ） A ．2022 B ．1011 C ．2020 D ．1010二、多选题 本大题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全对得5分，选对但不全得2.5分，有选错的得0分。
9.设,A B 是抛物线2y x =上的两点，O 是坐标原点，若OA OB ⊥，则以下结论恒成立的结论是（ ）A. ||||2OA OB ⋅≥B.直线AB 过定点（1，0）C. O 到直线AB 的距离不大于1.D.(-1,2)在抛物线上10．气象意义上从春季入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22C ︒”.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27,总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8. 则肯定进入夏季的地区有（ ） A ．①②③B ．②C ．③D ．①11.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为，且，定义X 的信息熵.（ ）A. 若n=1，则H(X)=0B. 若n=2，则H(X)随着的增大而增大C. 若，则H(X)随着n 的增大而增大D.若n=2m ，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y)12.若存在m,使得f(x) ≥m 对任意x ∈ D 恒成立，则函数f(x)在D 上有下界，其中m 为函数f(x)的一个下界;若存在M,使得f(x)≤M 对任意x ∈ D 恒成立，则函数f(x)在D 上有上界，其中M 为函数f(x)的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界.下列四个结论中所有正确结论的编号为A.1不是函数1()(0)f x x x x=+>的一个下界;B.函数f(x)= xlnx 有下界，无上界;C.函数2()xe f x x=有上界,无下界;D.函数2sin ()1xf x x =+有界. 三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.已知函数()sin(2)3f x x πω=-(,0)x R ω∈>图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π，则ω= .14.已知函数21(10)()1(01)x x f x x x +-≤≤⎧=-<≤, 则11()f x dx -⎰的值为15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过x 轴上点P 的直线与双曲线的右支交于M ，N 两点（M 在第一象限），直线MO 交双曲线左支于点Q （O 为坐标原点），连接QN ．若∠MPO=120°，∠MNQ=150°，则该双曲线的渐近线方程为______ ． 16．某几何体的三视图如图所示，主视图是直角三角形，侧视图是等腰三角形，俯视图是边长为32的等边三角形，若该几何体的外接球的体积为36π，则该几何体的体积为__________．四、简答题（综合题） 本大题共70分。
简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，设S 为△ABC 的面积，满足.（Ⅰ）求B ； （Ⅱ）若，设，，求函数的解析式和最大值.18．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足4422S a =-，3322S a =-. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记()2-1log n n n b a a =⋅，数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求使177-260n nT >成立的正整数n 的最小值.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为边长为2的菱形，60DAB ∠=︒，90ADP ∠=︒，面ADP ⊥面ABCD ，点F 为棱PD 的中点．（1）在棱AB 上是否存在一点E ，使得AF ∥面PCE ，并说明理由； （2）当二面角D FC B --的余弦值为2时，求直线PB 与平面ABCD 所成的角．20．为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价．阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如表： 阶梯级别第一阶梯水量第二阶梯水量第三阶梯水量月用水量范围（单位：立方米）[0,10) [10,15) [15,)+∞从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图：（1）现要在这10户家庭中任意选取3家，求取到第二阶梯水量的户数X 的分布列与数学期望；（2）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到k 户月用水量为一阶的可能性最大，求k 的值．21．已知点F 是椭圆)0(11222>=++a y ax 的右焦点，点(,0)M m 、(0,)N n 分别是x 轴、y 轴上的动点，且满足0=⋅NF MN ．若点P 满足PO ON OM +=2．(Ⅰ)求点P 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)设过点F 任作一直线与点P 的轨迹交于A 、B 两点，直线OA 、OB 与直线a x -=分别交于点S 、T （O 为坐标原点），试判断以线段S T 为直径的圆是否经过点F ？请说明理由．22．已知函数()(1)f x a x =-，()(1),xg x ax e a R =-∈（Ⅰ）若直线()y f x =与曲线()y g x =相切于点00(,)P x y ，证明：001x <<； （Ⅱ）若不等式()()f x g x >有且仅有两个整数解，求a 的取值范围.数 学参考答案二、单选题 本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。
2. 设i 为虚数单位,,“复数m(m-1)+i 是纯虚数”是“m=1”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B解：复数m(m-1)+i 是纯虚数,则m=0或m=1,所以“复数m(m-1)+i 是纯虚数”不是“m=1”的充分条件；当m=1时,复数为i ,是纯虚数,“复数m(m-1)+i 是纯虚数”是“m=1”的必要条件, 所以“复数m(m-1)+i 是纯虚数”是“m=1”的必要不充分条件．故选B ．2.若向量a 与b 满足()a b a +⊥，且12a b ==，，则向量a 在b 方向上的投影为（ ）A 3．12- C ．1- D ．33【答案】B【解析】利用向量垂直的充要条件有： ()2=+=0,1a b a a a b a b +⋅⋅∴⋅=-,向量a 在b 方向上的投影为12ba b⋅=-.3.已知集合A ＝{x∈R |x 2－x －2＜0}，B ＝{x∈Z |x ＝2t ＋1，t∈A}，则A∩B 等于( ) A.{－1，0，1} B.{－1，0} C.{0，1} D.{0} 【答案】 C【解析】 A ＝{x ∈R |x 2－x －2＜0}＝{x|－1＜x ＜2}， 则x ＝2t ＋1∈(－1，5)，所以B ＝{0，1，2，3，4}， 所以A∩B＝{0，1}，故选C.4.在锐角ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若cos cos 23sin 3sin B C Ab c C+=，cos 3sin 2B B +=，则+a c 的取值范围（ ）A.33]2（， B. 33]2（， C. 33]2[， D. 33]2[， 【答案】B 【解析】由题意cos cos 23sin 3sin B C Ab c C+=可得：,,2032C A ππ<=-<,0,262A A πππ<<∴<< ,23,3)36236326A A A ππππππ<<∴<+<∴<+≤ 故答案选B5. 若()523450123451x a a x a x a x a x a x -=+++++，则012345a a a a a a -+-+-=（）A. 0B. 1C. 32D. 1-【答案】A【解析】由二项展开式的通项公式155()(1)r r r r rrT C x C x+=-=-，可知135,,a a a都小于0，则012345a a a a a a-+-+-=012345+++++a a a a a a，在原二项展开式中令1x=，可得012345+++++=0a a a a a a.故选A6．若实数x，y满足20x yy xy x b-≥≥≥-+⎧⎪⎨⎪⎩且2z x y=+的最小值为3，则实数b的值为（）A．1B．2C．94D．52【答案】C【解析】画出可行域，当目标函数2z x y=+过点B时取得最小值，由20y x bx y=-+⎧⎨-=⎩得2,33b bB⎛⎫⎪⎝⎭，则22333b b⨯+=，解得94b=．故选C7.已知函数f(x)＝⎩⎨⎧log2()2－x，0≤x＜k，x3－3x2＋3，k≤x≤a，若存在实数k，使得函数f(x)的值域为[－1，1]，则实数a的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1＋3 B.[]2，1＋3 C.[]1，3 D.[]2，3【答案】 B【解析】由于y＝log2(2－x)在[0，k)上是单调递减函数，当x＝0时，y＝1，当x＝32时，y＝－1，所以0＜k≤32.令g(x)＝x 3－3x 2＋3，则g′(x)＝3x 2－6x ＝0， 解得x ＝0或x ＝2，当x ＝2时，函数取得极小值－1，当x 3－3x 2＋3＝1时，解得x 1＝1，x 2＝1＋3，x 3＝1－3＜0(舍)， 所以2≤a≤1＋3，故选B.8．对于数列{}n a ,定义1122......2n nn a a a H n-++=为{}n a 的“优值”，现已知某数列的“优值”=2nn H ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2019=2019S （ ） A ．2022 B ．1011 C ．2020 D ．1010 【答案】B【解析】由1122......2=2n nn n a a a H n -++=，得1122......2=2n n n a a a n -++⋅……①, 2-112-12......2=-12n n n a a a n -++⋅（）……②,①-②得1112=2-1)2=1)2n n n n n a n n n ---⋅-+（（，即=1n a n +，(3)=2n n n S +，所以 2019=10112019S .故选B.二、多选题 本大题共4小题，每小题5分，共20分。