2010年全国高考数学理科试题及答案-重庆

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2010年高考理科数学试题及答案(全国一卷)

第1/10页2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

第I 卷1至2页。

第II 卷3至4页。

考试结束后，将本草纲目试卷和答题卡一并交回。

第I 卷注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无交通工效．．．．．．．．．．．．。

3.第I 卷共12小题，第小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式)(()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 )(()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 343v R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生K 次的概率其中R 表示球的半径 ())((10,1,2,,C ηκηηρκρρκη-A A =-=⋅⋅⋅ 一．选择题（1）复数3223i i+-= （A ）．i （B ）.-i （C ）.12—13i （D ）.12+13i（2）记cos （-80°）=k ，那么tan100°=（A ）（B ）. —（C.）（D ）.第2/10页（3）若变量x ，y 满足约束条件则z=x —2y 的最大值为（A ）．4 （B ）3 （C ）2 （D ）1(4) 已知各项均为正数比数列{a n }中，a 1a 2a 3=5，a 7a 8a 9=10，则a 4a 5a 6=(B) 7 (C) 6(5)35的展开式中x 的系数是(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4(6) 某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门。

2010年高考数学理科试题及答案(全国卷1)

绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第I 卷1至2页。

第Ⅱ卷3 至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)kkn kn n P k C p p k n -=-=…一、选择题（1）复数3223i i+-=（）（A ）．i （B ）.-i （C ）.12—13i （D ）.12+13i （2）记cos （-80°）=k ，那么tan100°=（）（A ）．k（B ）. —k（C.）（D ）.—（3）若变量x ，y 满足约束条件则z=x —2y 的最大值为（）（A ）．4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 (4) 已知各项均为正数比数列{a n }中，a 1a 2a 3=5，a 7a 8a 9=10，则a 4a 5a 6=（）(A) 5(B) 7(C) 6(5) 35的展开式中x 的系数是（）(A) -4(B) -2(C) 2(D) 4(6) 某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门。

若要求两类课程中各至少一门，则不同的选法共有（）（A ）30种（B ）35种（C ）42种（D ）48种（7）正方体1111ABC D A B C D -中，1B B 与平面1A C D 所成角的余弦值为（）（A ）3（B ）3（C ）23（D ）3（8）设123102,12,5a gb nc -===则（）（A ）a b c << （B ）b c a << （C ）c a b << （D ）c b a << （9）已知1F 、2F 为双曲线22:1C χγ-=的左、右焦点，点在P 在C 上，12F PF ∠=60°，则P 到χ轴的距离为（）（A ）2（B ）2（C （D（10）已知函数()|1|f g χχ=，若0a b <<，且()()f a f b =，则2a b +的取值范围是（）（A ）)+∞ （B ）)+∞ （C ）(3,)+∞ （D ）[3,)+∞ （11）已知圆O 的半径为1，P A 、P B 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA ·PB的最小值为（）（A ）（B ）（C ）（D ）（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值（）()3A (3B (C (3D第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。

2010年重庆卷理科数学高考试卷(原卷答案)

绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)理综化学本试卷共21题，共150分。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）在等比数列}{n a 中，201020078a a =，则公比q 的值为（）A 、2B 、3C 、4D 、8（2）已知向量b a ,满足2||,1||,0===⋅b a b a ，则=−|2|b a （） A 、0B 、22C 、4D 、8（3）=⎪⎭⎫⎝⎛−−−→2144lim 22x x x （）A 、1−B 、41−C 、41 D 、1（4）设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤−+≥+−≥,03,01,0y x y x y 则y x z +=2的最大值为（）A 、2−B 、4C 、6D 、8（5）函数xx x f 214)(+=的图象（）A 、关于原点对称B 、关于直线x y =对称C 、关于x 轴对称D 、关于y 轴对称（6）已知函数sin()y x ωϕ=+（0,||2πωϕ><）的部分图象如题（6）图所示，则（）A 、6,1πϕω==B 、6,1πϕω−==C 、6,2πϕω==D 、6,2πϕω−==（7）已知0x >，0y >，228x y xy ++=，y x 2+的最小值是（）A 、3B 、4C 、29 D 、211 （8）直线233+=x y 与圆心为D的圆,1,x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（[0,2)θπ∈）A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为（）A 、π67 B 、π45 C 、π34 D 、π35（9）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天. 若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（）A 、504种B 、960种C 、1008种D 、1108种（10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（） A 、直线 B 、椭圆 C 、抛物线 D 、双曲线二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填写在答题卡相应位置上. （11）已知复数,1i z +=则=−z z2____________. （12）设}0|{},3,2,1,0{2=+∈==mx x U x A U ，若}2,1{=A C U ，则实数=m _________. （13）某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为2516，则该队员每次罚球的命中率为_____________.（14）已知以F 为焦点的抛物线x y 42=上的两点B A 、满足3AF FB =，则弦AB 的中点到准线的距离为___________.（15）已知函数)(x f 满足：1(1)4f =，4()()()()f x f y f x y f x y =++−（,x y R ∈），则=)2010(f __________. 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分.）设函数22()cos()2cos 32xf x x π=++，x R ∈. （Ⅰ）求)(x f 的值域；（Ⅱ）记ABC ∆的内角C B 、、A 的对边长分别为c b a 、、，若3,1,1)(===c b B f ，求a 的值.（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，…，6），求：（Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；（Ⅱ）甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望.M题（20）图GENHO （18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）已知函数)1ln(1)(+++−=x ax x x f ，其中实数1−≠a . （Ⅰ）若2=a ，求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程；（Ⅱ）若)(x f 在1=x 处取得极值，试讨论)(x f 的单调性.（19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）如题（19）图，四棱锥ABCD P −为矩形，⊥PA 底面ABCD ，6==AB PA ，点E 是棱PB 的中点.（Ⅰ）求直线AD 与平面PBC 的距离；（Ⅱ）若3=AD ，求二面角D EC A −−的平面角的余弦值.（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.） 25=e . 已知以原点O 为中心，)0,5(F 为右焦点的双曲线C 的离心率（Ⅰ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；（Ⅱ）如题（20）图，已知过点),(11y x M 的直线44:111=+y y x x l 与过点),(22y x N （其中12x x ≠）的直线44:222=+y y x x l 的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与两条渐近线分别交于H G 、两点，求OGH ∆的面积.（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）在数列}{n a 中，11a =，11(21)n n n a ca cn ++=++（n N *∈），其中实数0≠c . （Ⅰ）求}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若对一切*∈N k 有122−>k k a a ，求c 的取值范围.2010年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)理科数学(参考答案)1.【命题意图】本题考查等比数列的概念，基础题. 【解析】∵8320072010==q a a ，∴2q =，选A. 2.【命题意图】本题考查向量的有关概念和基本运算.【解析】∵|2|(2a b a −=−===，∴选B.3.【命题意图】本题考查函数极限的概念、运算法则、型极限的求法以及转化与化归思想. 【解析】2222241211lim lim lim 42(4)(2)24x x x x x x x x x →→→−−⎛⎫−===−⎪−−−++⎝⎭，选B. 4.【命题意图】本题考查线性规划的求解问题.作为选择题，要准确快速求解，可利用端点处取得最值（函数的思想）来求解则更好，从而要求考生对性规划的问题有较深刻的认识.【解析】不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤−+≥+−≥,03,01,0y x y x y 表示的平面区域是如图所示的ABC ∆，当直线y x z +=2过点(3,0)A 的时，z 取得最大值6，故选C. 5.【命题意图】本题考查函数的概念和奇偶性、幂的运算性质和计算能力.【解析】∵)(241214)(x f x f xxx x =+=+=−−−，∴()f x 是偶函数，图像关于y 轴对称，选D 6.【命题意图】本题考查sin()y A x ωϕ=+的图像和性质，数形结合思想等，这是高考的常考题型，但又是学生的软肋，注意复习，多加训练. 【解析】由图像可知，周期74()123T πππ=−=，∴2ω=，由五点作图法知232πϕπ=+⨯，解得6πϕ=−，所以2ω=，6πϕ=−，选D.7.【命题意图】本题考查均值不等式的灵活应用、一元二次不等式的解法以及整体思想.【解析】由均值不等式，得2228)2(82⎪⎭⎫⎝⎛+−≥⋅−=+y x y x y x ，整理，得()()0322422≥−+++y x y x ，即()()08242≥++−+yx y x ，又02>+y x ，所以24x y +≥，选B.8.【命题意图】本题考查直线的倾斜角、斜率、方程，圆的标准方程和参数方程，直线与圆的位置关系以及数形结合的思想方法.【解析】画出图形，301−=∠α，βπ−+=∠302由圆的性质可知21∠=∠βπα−+=−∴ 3030，故=+βα43π，选C. 9.【命题意图】此题是一个排列组合问题.既考查了分析问题，解决问题的能力，更侧重于考查学生克服困难解决实际问题的能力和水平.【解析】分两类：①甲乙排1、2号或6、7号，共有4414222A A A ⨯种不同的安排方法；②甲乙排中间，丙排7号或不排7号，共有)(43313134422A A A A A +种方法，故共有1008种不同的排法，选C.10.【命题意图】本题考查空间中线与线，线与面的垂直，动点的轨迹的求法，同时考查空间想象力.【解析】（直接法）记这两直线为1l ，2l ，异面直线的距离为k ，平面α为过1l 且平行于2l 的平面，设α上某个点P 满足条件。

2010年高考理科数学试题及答案(全国一卷)含答案

第1/10页2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（含答案）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

第I 卷1至2页。

第II 卷3至4页。

考试结束后，将本草纲目试卷和答题卡一并交回。

第I 卷注意事项： 1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

3.第I 卷共12小题，第小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式)(()()P A BP A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 )(()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 343v R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生K 次的概率其中R 表示球的半径 ())((10,1,2,,C ηκηηρκρρκη-AA=-=⋅⋅⋅一．选择题（1）复数3223ii+-=（A ）．i （B ）.-i （C ）.12—13i （D ）.12+13i （2）记cos （-80°）=k ，那么tan100°=（A ）（B ）. —（C.）（D ）.第2/10页（3）若变量x ，y 满足约束条件则z=x —2y 的最大值为（A ）．4 （B ）3 （C ）2 （D ）1(4) 已知各项均为正数比数列{a n }中，a 1a 2a 3=5，a 7a 8a 9=10，则a 4a 5a 6=(B) 7(C) 6(5)35的展开式中x 的系数是(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4(6) 某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门。

2010年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标版)答案与解析

2010年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标版）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={x∈R||x|≤2}}，，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2]D．{0，1，2}【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】先化简集合A和B，注意集合B中的元素是整数，再根据两个集合的交集的意义求解．【解答】解：A={x∈R||x|≤2，}={x∈R|﹣2≤x≤2}，故A∩B={0，1，2}．应选D．【点评】本题主要考查集合间的交集运算以及集合的表示方法，涉及绝对值不等式和幂函数等知识，属于基础题．2．（5分）已知复数，是z的共轭复数，则=（）A．B．C．1 D．2【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】因为，所以先求|z|再求的值．【解答】解：由可得．另解：故选A．【点评】命题意图：本题主要考查复数的运算，涉及复数的共轭复数知识，可以利用复数的一些运算性质可以简化运算．3．（5分）曲线y=在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】常规题型；计算题．【分析】欲求在点（﹣1，﹣1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=﹣1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵y=，∴y′=，所以k=y′|x=﹣1=2，得切线的斜率为2，所以k=2；所以曲线y=f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为：y+1=2×（x+1），即y=2x+1．故选A．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．4．（5分）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答案．【解答】解：通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d为，于是可以排除答案A，D，再根据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排除答案B，故应选C．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及排除法的应用和数形结合的思想，属于基础题．5．（5分）已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x在R为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x在R为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨p2和q4：p1∧（￢p2）中，真命题是（）A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q4【考点】复合命题的真假；指数函数与对数函数的关系．【专题】简易逻辑．【分析】先判断命题p1是真命题，P2是假命题，故p1∨p2为真命题，（﹣p2）为真命题，p1∧（﹣p2）为真命题．【解答】解：易知p1是真命题，而对p2：y′=2x ln2﹣ln2=ln2（），当x∈[0，+∞）时，，又ln2＞0，所以y′≥0，函数单调递增；同理得当x∈（﹣∞，0）时，函数单调递减，故p2是假命题．由此可知，q1真，q2假，q3假，q4真．故选C．【点评】只有p1与P2都是真命题时，p1∧p2才是真命题．只要p1与p2中至少有一个真命题，p1∨p2就是真命题．6．（5分）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（）A．100 B．200 C．300 D．400【考点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n次独立重复试验的模型．【专题】计算题；应用题．【分析】首先分析题目已知某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，即不发芽率为0.1，故没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B（1000，0.1）．又没发芽的补种2个，故补种的种子数记为X=2ξ，根据二项分布的期望公式即可求出结果．【解答】解：由题意可知播种了1000粒，没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B（1000，0.1）．而每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X故X=2ξ，则EX=2Eξ=2×1000×0.1=200．故选B．【点评】本题主要考查二项分布的期望以及随机变量的性质，考查解决应用问题的能力．属于基础性题目．7．（5分）如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A．B．C．D．【考点】设计程序框图解决实际问题．【专题】操作型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．∵S==1﹣=故选D．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．8．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（）A．{x|x＜﹣2或x＞4} B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|x＜﹣2或x＞2}【考点】偶函数；其他不等式的解法．【专题】计算题．【分析】由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案．【解答】解：由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，则f（x﹣2）=f（|x﹣2|）=2|x﹣2|﹣4，要使f（|x﹣2|）＞0，只需2|x﹣2|﹣4＞0，|x﹣2|＞2解得x＞4，或x＜0．应选：B．【点评】本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力，解答本题的关键是利用偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，从而简化计算．9．（5分）若，α是第三象限的角，则=（）A． B．C．2 D．﹣2【考点】半角的三角函数；弦切互化．【专题】计算题．【分析】将欲求式中的正切化成正余弦，还要注意条件中的角α与待求式中角的差别，注意消除它们之间的不同．【解答】解：由，α是第三象限的角，∴可得，则，应选A．【点评】本题主要考查三角恒等变换中的倍角公式的灵活运用、同角的三角函数关系等知识以及相应的运算能力．10．（5分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πa2B．C． D．5πa2【考点】球内接多面体．【专题】计算题．【分析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为，球的表面积为，故选B．【点评】本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力．11．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc 的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；对数的运算性质；对数函数的图像与性质．【专题】作图题；压轴题；数形结合．【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc的范围即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab=1，则abc=c∈（10，12）．故选C．【点评】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．12．（5分）已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB 的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】已知条件易得直线l的斜率为1，设双曲线方程，及A，B点坐标代入方程联立相减得x1+x2=﹣24，根据=，可求得a和b的关系，再根据c=3，求得a和b，进而可得答案．【解答】解：由已知条件易得直线l的斜率为k=k PN=1，设双曲线方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），则有，两式相减并结合x1+x2=﹣24，y1+y2=﹣30得=，从而==1即4b2=5a2，又a2+b2=9，解得a2=4，b2=5，故选B．【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设y=f（x）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组N个）区间[0，1]上的均匀随机数x1，x2，…x N和y1，y2，…y N，由此得到N个点（x i，y i）（i=1，2，…，N），再数出其中满足y i≤f（x i）（i=1，2，…，N）的点数N1，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为．【考点】模拟方法估计概率；定积分在求面积中的应用；几何概型．【专题】计算题．【分析】要求∫f（x）dx的近似值，利用几何概型求概率，结合点数比即可得．【解答】解：由题意可知得，故积分的近似值为．故答案为：．【点评】本题考查几何概型模拟估计定积分值，以及定积分在面积中的简单应用，属于基础题．14．（5分）正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案同样给分）（写出三种）【考点】简单空间图形的三视图．【专题】阅读型．【分析】三棱锥一个侧面的在正视图为一条线段的情形；圆锥；四棱锥有两个侧面在正视图为线段的情形，即可回答本题．【解答】解：正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱（放倒的情形）、圆锥、四棱锥等等．故答案为：三棱锥、圆锥、三棱柱．【点评】本题主要考查三视图以及常见的空间几何体的三视图，考查空间想象能力．15．（5分）过点A（4，1）的圆C与直线x﹣y=1相切于点B（2，1），则圆C的方程为（x﹣3）2+y2=2 ．【考点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系．【专题】压轴题．【分析】设圆的标准方程，再用过点A（4，1），过B，两点坐标适合方程，圆和直线相切，圆心到直线的距离等于半径，求得圆的方程．【解答】解：设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，则，解得，故所求圆的方程为（x﹣3）2+y2=2．故答案为：（x﹣3）2+y2=2．【点评】命题意图：本题主要考查利用题意条件求解圆的方程，通常借助待定系数法求解．16．（5分）在△ABC中，D为边BC上一点，BD=DC，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC的面积为，则∠BAC=60°．【考点】余弦定理的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据三角形的面积公式利用△ADC的面积求得DC，进而根据三角形ABC的面积求得BD和BC，进而根据余弦定理求得AB．最后在三角形ABC中利用余弦定理求得cos∠BAC，求得∠BAC的值．【解答】解：由△ADC的面积为可得解得，则．AB2=AD2+BD2﹣2AD•BD•cos120°=，，则=．故∠BAC=60°．【点评】本题主要考查解三角形中的边角关系及其面积等基础知识与技能，分析问题解决问题的能力以及相应的运算能力．三、解答题（共8小题，满分90分）17．（12分）设数列满足a1=2，a n+1﹣a n=3•22n﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）由题意得a n+1=[（a n+1﹣a n）+（a n﹣a n﹣1）+...+（a2﹣a1）]+a1=3（22n﹣1+22n﹣3+ (2)+2=22（n+1）﹣1．由此可知数列{a n}的通项公式为a n=22n﹣1．（Ⅱ）由b n=na n=n•22n﹣1知S n=1•2+2•23+3•25++n•22n﹣1，由此入手可知答案．【解答】解：（Ⅰ）由已知，当n≥1时，a n+1=[（a n+1﹣a n）+（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）]+a1=3（22n﹣1+22n﹣3+…+2）+2=3×+2=22（n+1）﹣1．而a1=2，所以数列{a n}的通项公式为a n=22n﹣1．（Ⅱ）由b n=na n=n•22n﹣1知S n=1•2+2•23+3•25+…+n•22n﹣1①从而22S n=1•23+2•25+…+n•22n+1②①﹣②得（1﹣22）•S n=2+23+25+…+22n﹣1﹣n•22n+1．即．【点评】本题主要考查数列累加法（叠加法）求数列通项、错位相减法求数列和等知识以及相应运算能力．18．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点（1）证明：PE⊥BC（2）若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．【考点】用向量证明垂直；直线与平面所成的角．【专题】计算题；作图题；证明题；转化思想．【分析】以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系．（1）表示，，计算，就证明PE⊥BC．（2）∠APB=∠ADB=60°，求出C，P的坐标，再求平面PEH的法向量，求向量，然后求与面PEH的法向量的数量积，可求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．【解答】解：以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A（1，0，0），B（0，1，0）（Ⅰ）设C（m，0，0），P（0，0，n）（m＜0，n＞0）则．可得．因为所以PE⊥BC．（Ⅱ）由已知条件可得m=，n=1，故C（﹣），设=（x，y，z）为平面PEH的法向量则即因此可以取，由，可得所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为．【点评】本题主要考查空间几何体中的位置关系、线面所成的角等知识，考查空间想象能力以及利用向量法研究空间的位置关系以及线面角问题的能力．19．（12分）为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由．附：【考点】简单随机抽样；独立性检验．【专题】计算题．【分析】（1）由列联表可知调查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供帮助，两个数据求比值得到该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值．（2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，得到观测值的结果，把观测值的结果与临界值进行比较，看出有多大把握说该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．（3）从样本数据老年人中需要帮助的比例有明显差异，调查时，可以先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．【解答】解：（1）∵调查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供帮助，∴该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值为．（2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，．∵9.967＞6.635，∴有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．（3）由（2）的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．【点评】本题主要考查统计学知识，考查独立性检验的思想，考查利用数学知识研究实际问题的能力以及相应的运算能力．20．（12分）设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1斜率为1的直线ℓ与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求E的离心率；（2）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求E的方程．【考点】椭圆的简单性质；等差数列的性质；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题．【分析】（I）根据椭圆的定义可知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，进而根据|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数表示出|AB|，进而可知直线l的方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），代入直线和椭圆方程，联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2进而根据，求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，离心率可得．（II）设AB的中点为N（x0，y0），根据（1）则可分别表示出x0和y0，根据|PA|=|PB|，推知直线PN的斜率，根据求得c，进而求得a和b，椭圆的方程可得．【解答】解：（I）由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得，l的方程为y=x+c，其中．设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点坐标满足方程组化简的（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2﹣b2）=0则因为直线AB斜率为1，|AB|=|x 1﹣x2|=，得，故a2=2b2所以E的离心率（II）设AB的中点为N（x0，y0），由（I）知，．由|PA|=|PB|，得k PN=﹣1，即得c=3，从而故椭圆E的方程为．【点评】本题主要考查圆锥曲线中的椭圆性质以及直线与椭圆的位置关系，涉及等差数列知识，考查利用方程思想解决几何问题的能力及运算能力21．（12分）设函数f（x）=e x﹣1﹣x﹣ax2．（1）若a=0，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】分类讨论．【分析】（1）先对函数f（x）求导，导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减．（2）根据e x≥1+x可得不等式f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，从而可知当1﹣2a≥0，即时，f′（x）≥0判断出函数f（x）的单调性，得到答案．【解答】解：（1）a=0时，f（x）=e x﹣1﹣x，f′（x）=e x﹣1．当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0．故f（x）在（﹣∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加（II）f′（x）=e x﹣1﹣2ax由（I）知e x≥1+x，当且仅当x=0时等号成立．故f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，从而当1﹣2a≥0，即时，f′（x）≥0（x≥0），而f（0）=0，于是当x≥0时，f（x）≥0．由e x＞1+x（x≠0）可得e﹣x＞1﹣x（x≠0）．从而当时，f′（x）＜e x﹣1+2a（e﹣x﹣1）=e﹣x（e x﹣1）（e x﹣2a），故当x∈（0，ln2a）时，f'（x）＜0，而f（0）=0，于是当x∈（0，ln2a）时，f（x）＜0．综合得a的取值范围为．【点评】本题主要考查利用导数研究函数性质、不等式恒成立问题以及参数取值范围问题，考查分类讨论、转化与划归解题思想及其相应的运算能力．22．（10分）如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）BC2=BE•CD．【考点】圆的切线的判定定理的证明；弦切角．【专题】证明题．【分析】（I）先根据题中条件：“”，得∠BCD=∠ABC．再根据EC是圆的切线，得到∠ACE=∠ABC，从而即可得出结论．（II）欲证BC2=BE x CD．即证．故只须证明△BDC～△ECB即可．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以∠BCD=∠ABC．又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE=∠ABC所以∠ACE=∠BCD．（5分）（Ⅱ）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，所以△BDC～△ECB，故．即BC2=BE×CD．（10分）【点评】本题主要考查圆的切线的判定定理的证明、弦切角的应用、三角形相似等基础知识，考查运化归与转化思想．属于基础题．23．（10分）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【考点】简单曲线的极坐标方程；轨迹方程；直线和圆的方程的应用；直线的参数方程；圆的参数方程．【专题】综合题；压轴题．【分析】（I）先消去参数将曲线C1与C2的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，（II）设P（x，y），利用中点坐标公式得P点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线．【解答】解：（Ⅰ）当α=时，C1的普通方程为，C2的普通方程为x2+y2=1．联立方程组，解得C1与C2的交点为（1，0）．（Ⅱ）C1的普通方程为xsinα﹣ycosα﹣sinα=0①．则OA的方程为xcosα+ysinα=0②，联立①②可得x=sin2α，y=﹣cosαsinα；A点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα），故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：，P点轨迹的普通方程．故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．【点评】本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程研究轨迹问题的能力．24．（10分）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数的图象；其他不等式的解法．【专题】计算题；作图题；压轴题．【分析】（I）先讨论x的范围，将函数f（x）写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；（II）根据函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知先寻找满足f（x）≤ax的零界情况，从而求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）由于f（x）=，函数y=f（x）的图象如图所示．（Ⅱ）由函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知，极小值在点（2，1）当且仅当a＜﹣2或x≥时，函数y=f（x）与函数y=ax的图象有交点．故不等式f（x）≤ax的解集非空时，a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及利用函数图象解不等式，同时考查了数形结合的数学思想，属于基础题．。

2010年高考全国数学卷(全国Ⅱ.理)(含详解答案)

2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷II ）数学(理科）【教师简评】按照“保持整体稳定，推动改革创新，立足基础考查，突出能力立意”命题指导思想，本套试卷的总体印象是:题目以常规题为主，难度较前两年困难，得高分需要扎扎实实的数学功底.1.纵观试题，小题起步较低，难度缓缓上升，除了选择题11、12、16题有一定的难度之外，其他题目难度都比较平和.2.解答题中三角函数题较去年容易，立体几何难度和去年持平，数列题的难度较去年有所提升，由去年常见的递推数列题型转变为今年的数列求极限、数列不等式的证明，不易拿满分，概率题由去年背景是“人员调配”问题，转变为今年的与物理相关的电路问题，更体现了学科之间的联系.两道压轴题以解析几何和导数知识命制，和去年比较更有利于分步得分.3.要求考生有比较强的计算能力，例如立体几何问题，题目不难，但需要一定的计算技巧和能力.不管题目难度如何变化，“夯实双基(基础知识、基本方法)”，对大多数考生来说，是以不变应万变的硬道理.（1）复数231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭（A ）34i -- （B ）34i -+ （C ）34i - （D ）34i + 【答案】A【命题意图】本试题主要考查复数的运算.【解析】231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭22(3)(1)(12)342i i i i --⎡⎤=-=--⎢⎥⎣⎦. （2）.函数1ln(1)(1)2x y x +-=>的反函数是（A ） 211(0)x y e x +=-> （B ）211(0)x y e x +=+> （C ）211(R)x y e x +=-∈ （D ）211(R)x y e x +=+∈【答案】D【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。

【解析】由原函数解得，即，又；∴在反函数中，故选D.（3）.若变量,x y 满足约束条件1,,325x y x x y -⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤，则2z x y =+的最大值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】C【命题意图】本试题主要考查简单的线性规划问题.【解析】可行域是由A(1,1),B(1,4),C(1,1)---构成的三角形，可知目标函数过C 时最大，最大值为3，故选C.（4）.如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++= （A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35 【答案】C【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质. 【解析】173454412747()312,4,7282a a a a a a a a a a a +++===∴+++=== （5）不等式2601x x x ---＞的解集为（A ）{}2,3x x x -＜或＞（B ）{}213x x x -＜，或＜＜（C ） {}213x x x -＜＜，或＞（D ）{}2113x x x -＜＜，或＜＜【答案】C【命题意图】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法.【解析】利用数轴穿根法解得-2＜x ＜1或x ＞3，故选C（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A ）12种（B ）18种（C ）36种（D ）54种【答案】B【命题意图】本试题主要考察排列组合知识，考察考生分析问题的能力.【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选B.（7）为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像（A ）向左平移4π个长度单位（B ）向右平移4π个长度单位（C ）向左平移2π个长度单位（D ）向右平移2π个长度单位【答案】B【命题意图】本试题主要考查三角函数图像的平移.【解析】s i n (2)6y x π=+=sin 2()12x π+，sin(2)3y x π=-=sin 2()6x π=-，所以将s i n (2)6y x π=+的图像向右平移4π个长度单位得到sin(2)3y x π=-的图像，故选B.（8）ABC V 中，点D 在AB 上，CD 平方ACB ∠．若C B a =u u r ，CA b =uu r，1a =，2b =，则CD =u u u r（A ）1233a b +（B ）2133a b + （C ）3455a b + （D ）4355a b + 【答案】B【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理. 【解析】因为CD 平分ACB ∠，由角平分线定理得AD CA2=DBCB 1=，所以D 为AB 的三等分点，且22AD AB (CB CA)33==- ，所以2121CD CA+AD CB CA a b 3333==+=+，故选B.（9）已知正四棱锥S ABCD -中，SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（A ）1 （B （C ）2 （D ）3【答案】C【命题意图】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.【解析】设底面边长为a ，则高所以体积，设，则，当y 取最值时，，解得a=0或a=4时，体积最大，此时，故选C.（10）若曲线12y x -=在点12,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a =（A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）8【答案】A【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力..【解析】332211',22y x k a --=-∴=-，切线方程是13221()2y a a x a ---=--，令0x =，1232y a -=，令0y =，3x a =，∴三角形的面积是121331822s a a -=⋅⋅=，解得64a =.故选A.（11）与正方体1111ABCD A BC D -的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点（A ）有且只有1个（B ）有且只有2个（C ）有且只有3个（D ）有无数个【答案】D【解析】直线上取一点，分别作垂直于于则分别作，垂足分别为M ，N ，Q ，连PM ，PN ，PQ ，由三垂线定理可得，PN ⊥PM ⊥；PQ ⊥AB ，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以，∴PM=PN=PQ ，即P 到三条棱AB 、CC 1、A 1D 1.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件，故选D.（12）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =（A ）1 （B （C （D ）2【答案】B【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.【解析】设直线l 为椭圆的有准线，e 为离心率，过A ，B 分别作AA 1，BB 1垂直于l ，A 1，B 为垂足，过B 作BE 垂直于AA 1与E ，由第二定义得，，由，得，∴即k=，故选B.第Ⅱ卷注意事项：1．用0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上作答。

2010年全国统一高考真题数学试卷(理科)(大纲版ⅱ)(含答案及解析)

2010年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）复数（）2=（）A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i2．（5分）函数的反函数是（）A．y=e2x﹣1﹣1（x＞0）B．y=e2x﹣1+1（x＞0）C．y=e2x﹣1﹣1（x∈R）D．y=e2x﹣1+1（x∈R）3．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．1B．2C．3D．44．（5分）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（）A．14B．21C．28D．355．（5分）不等式＞0的解集为（）A．{x|x＜﹣2，或x＞3}B．{x|x＜﹣2，或1＜x＜3}C．{x|﹣2＜x＜1，或x＞3}D．{x|﹣2＜x＜1，或1＜x＜3} 6．（5分）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A．12种B．18种C．36种D．54种7．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin（2x+）的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位8．（5分）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若=，=，||=1，||=2，则=（）A．+B．+C．+D．+9．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A．1B．C．2D．310．（5分）若曲线y=在点（a，）处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a=（）A．64B．32C．16D．811．（5分）与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（）A．有且只有1个B．有且只有2个C．有且只有3个D．有无数个12．（5分）已知椭圆T：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若=3，则k=（）A．1B．C．D．2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知a是第二象限的角，tan（π+2α）=﹣，则tanα=．14．（5分）若（x﹣）9的展开式中x3的系数是﹣84，则a=．15．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p=．16．（5分）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M 与圆N的公共弦，AB=4，若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN=．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）△ABC中，D为边BC上的一点，BD=33，sinB=，cos∠ADC=，求AD．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=（n2+n）•3n．（Ⅰ）求；（Ⅱ）证明：++…+＞3n．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE=3EB1．（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；（Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1﹣AC1﹣B1的大小．20．（12分）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是P，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（Ⅰ）求P；（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率．21．（12分）已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|=17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．22．（12分）设函数f（x）=1﹣e﹣x．（Ⅰ）证明：当x＞﹣1时，f（x）≥；（Ⅱ）设当x≥0时，f（x）≤，求a的取值范围．2010年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）复数（）2=（）A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，把复数整理成整式形式，再进行复数的乘方运算，合并同类项，得到结果．【解答】解：（）2=[]2=（1﹣2i）2=﹣3﹣4i．故选：A．【点评】本题主要考查复数的除法和乘方运算，是一个基础题，解题时没有规律和技巧可寻，只要认真完成，则一定会得分．2．（5分）函数的反函数是（）A．y=e2x﹣1﹣1（x＞0）B．y=e2x﹣1+1（x＞0）C．y=e2x﹣1﹣1（x∈R）D．y=e2x﹣1+1（x∈R）【考点】4H：对数的运算性质；4R：反函数．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】从条件中中反解出x，再将x，y互换即得．解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x、y换位，2、解：解出y，3、标：标出定义域，据此即可求得反函数．【解答】解：由原函数解得x=e 2y﹣1+1，∴f﹣1（x）=e 2x﹣1+1，又x＞1，∴x﹣1＞0；∴ln（x﹣1）∈R∴在反函数中x∈R，故选：D．【点评】求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y=f（x）反求出x=Ф（y）；（2）交换x=Ф（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）．3．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．1B．2C．3D．4【考点】7C：简单线性规划．【专题】31：数形结合．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点B时，从而得到m值即可．【解答】解：作出可行域，作出目标函数线，可得直线与y=x与3x+2y=5的交点为最优解点，∴即为B（1，1），当x=1，y=1时z max=3．故选：C．【点评】本题考查了线性规划的知识，以及利用几何意义求最值，属于基础题．4．（5分）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（）A．14B．21C．28D．35【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的性质求解．【解答】解：a3+a4+a5=3a4=12，a4=4，∴a1+a2+…+a7==7a4=28故选：C．【点评】本题主要考查等差数列的性质．5．（5分）不等式＞0的解集为（）A．{x|x＜﹣2，或x＞3}B．{x|x＜﹣2，或1＜x＜3}C．{x|﹣2＜x＜1，或x＞3}D．{x|﹣2＜x＜1，或1＜x＜3}【考点】73：一元二次不等式及其应用．【专题】11：计算题．【分析】解，可转化成f（x）•g（x）＞0，再利用根轴法进行求解．【解答】解：⇔⇔（x﹣3）（x+2）（x﹣1）＞0利用数轴穿根法解得﹣2＜x＜1或x＞3，故选：C．【点评】本试题主要考查分式不等式与高次不等式的解法，属于不等式的基础题．6．（5分）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A．12种B．18种C．36种D．54种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题．【分析】本题是一个分步计数问题，首先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有C42，余下放入最后一个信封，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知，本题是一个分步计数问题，∵先从3个信封中选一个放1，2，有=3种不同的选法；根据分组公式，其他四封信放入两个信封，每个信封两个有=6种放法，∴共有3×6×1=18．故选：B．【点评】本题考查分步计数原理，考查平均分组问题，是一个易错题，解题的关键是注意到第二步从剩下的4个数中选两个放到一个信封中，这里包含两个步骤，先平均分组，再排列．7．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin（2x+）的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】1：常规题型．【分析】先将2提出来，再由左加右减的原则进行平移即可．【解答】解：y=sin（2x+）=sin2（x+），y=sin（2x﹣）=sin2（x﹣），所以将y=sin（2x+）的图象向右平移个长度单位得到y=sin（2x﹣）的图象，故选：B．【点评】本试题主要考查三角函数图象的平移．平移都是对单个的x来说的．8．（5分）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若=，=，||=1，||=2，则=（）A．+B．+C．+D．+【考点】9B：向量加减混合运算．【分析】由△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，根据三角形内角平分线定理，我们易得到，我们将后，将各向量用，表示，即可得到答案．【解答】解：∵CD为角平分线，∴，∵，∴，∴故选：B．【点评】本题考查了平面向量的基础知识，解答的核心是三角形内角平分线定理，即若AD为三角形ABC的内角A的角平分线，则AB：AC=BD：CD9．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A．1B．C．2D．3【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设出底面边长，求出正四棱锥的高，写出体积表达式，利用求导求得最大值时，高的值．【解答】解：设底面边长为a，则高h==，所以体积V=a2h=，设y=12a4﹣a6，则y′=48a3﹣3a5，当y取最值时，y′=48a3﹣3a5=0，解得a=0或a=4时，当a=4时，体积最大，此时h==2，故选：C．【点评】本试题主要考查椎体的体积，考查高次函数的最值问题的求法．是中档题．10．（5分）若曲线y=在点（a，）处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a=（）A．64B．32C．16D．8【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】31：数形结合．【分析】欲求参数a值，必须求出在点（a，）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=a处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率得到切线的方程，最后求出与坐标轴的交点坐标结合三角形的面积公式．从而问题解决．【解答】解：y′=﹣，∴k=﹣，切线方程是y﹣=﹣（x﹣a），令x=0，y=，令y=0，x=3a，∴三角形的面积是s=•3a•=18，解得a=64．故选：A．【点评】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力．11．（5分）与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（）A．有且只有1个B．有且只有2个C．有且只有3个D．有无数个【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】16：压轴题．【分析】由于点D、B1显然满足要求，猜想B1D上任一点都满足要求，然后想办法证明结论．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1上建立如图所示空间直角坐标系，并设该正方体的棱长为1，连接B1D，并在B1D上任取一点P，因为=（1，1，1），所以设P（a，a，a），其中0≤a≤1．作PE⊥平面A1D，垂足为E，再作EF⊥A1D1，垂足为F，则PF是点P到直线A1D1的距离．所以PF=；同理点P到直线AB、CC1的距离也是．所以B1D上任一点与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离都相等，所以与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点有无数个．故选：D．【点评】本题主要考查合情推理的能力及空间中点到线的距离的求法．12．（5分）已知椭圆T：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若=3，则k=（）A．1B．C．D．2【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），根据求得y1和y2关系根据离心率设，b=t，代入椭圆方程与直线方程联立，消去x，根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2，进而根据y1和y2关系求得k．【解答】解：A（x1，y1），B（x2，y2），∵，∴y1=﹣3y2，∵，设，b=t，∴x2+4y2﹣4t2=0①，设直线AB方程为，代入①中消去x，可得，∴，，解得，故选：B．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．此类题问题综合性强，要求考生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知a是第二象限的角，tan（π+2α）=﹣，则tanα=．【考点】GO：运用诱导公式化简求值；GS：二倍角的三角函数．【专题】11：计算题．【分析】根据诱导公式tan（π+α）=tanα得到tan2α，然后利用公式tan（α+β）=求出tanα，因为α为第二象限的角，判断取值即可．【解答】解：由tan（π+2a）=﹣得tan2a=﹣，又tan2a==﹣，解得tana=﹣或tana=2，又a是第二象限的角，所以tana=﹣．故答案为：．【点评】本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程，考查考生的计算能力．14．（5分）若（x﹣）9的展开式中x3的系数是﹣84，则a=1．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3得展开式中x3的系数，列出方程解得．【解答】解：展开式的通项为=（﹣a）r C9r x9﹣2r令9﹣2r=3得r=3∴展开式中x3的系数是C93（﹣a）3=﹣84a3=﹣84，∴a=1．故答案为1【点评】本试题主要考查二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法．15．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p=2．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设直线AB的方程与抛物线方程联立消去y得3x2+（﹣6﹣2p）x+3=0，进而根据，可知M为A、B的中点，可得p的关系式，解方程即可求得p．【解答】解：设直线AB：，代入y2=2px得3x2+（﹣6﹣2p）x+3=0，又∵，即M为A、B的中点，∴x B+（﹣）=2，即x B=2+，得p2+4P﹣12=0，解得p=2，p=﹣6（舍去）故答案为：2【点评】本题考查了抛物线的几何性质．属基础题．16．（5分）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M 与圆N的公共弦，AB=4，若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN=3．【考点】JE：直线和圆的方程的应用；ND：球的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】根据题意画出图形，欲求两圆圆心的距离，将它放在与球心组成的三角形MNO中，只要求出球心角即可，通过球的性质构成的直角三角形即可解得．【解答】解法一：∵ON=3，球半径为4，∴小圆N的半径为，∵小圆N中弦长AB=4，作NE垂直于AB，∴NE=，同理可得，在直角三角形ONE中，∵NE=，ON=3，∴，∴，∴MN=3．故填：3．解法二：如下图：设AB的中点为C，则OC与MN必相交于MN中点为E，因为OM=ON=3，故小圆半径NB为C为AB中点，故CB=2；所以NC=，∵△ONC为直角三角形，NE为△ONC斜边上的高，OC=∴MN=2EN=2•CN•=2××=3故填：3．【点评】本题主要考查了点、线、面间的距离计算，还考查球、直线与圆的基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）△ABC中，D为边BC上的一点，BD=33，sinB=，cos∠ADC=，求AD．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；HP：正弦定理．【分析】先由cos∠ADC=确定角ADC的范围，因为∠BAD=∠ADC﹣B所以可求其正弦值，最后由正弦定理可得答案．【解答】解：由cos∠ADC=＞0，则∠ADC＜，又由知B＜∠ADC可得B＜，由sinB=，可得cosB=，又由cos∠ADC=，可得sin∠ADC=．从而sin∠BAD=sin（∠ADC﹣B）=sin∠ADCcosB﹣cos∠ADCsinB==．由正弦定理得，所以AD==．【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现．这类题型难度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变．解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=（n2+n）•3n．（Ⅰ）求；（Ⅱ）证明：++…+＞3n．【考点】6F：极限及其运算；R6：不等式的证明．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（1）由题意知，由此可知答案．（2）由题意知，==，由此可知，当n≥1时，．【解答】解：（1），所以=；（2）当n=1时，；当n＞1时，===所以，n≥1时，．【点评】本题考查数列的极限问题，解题时要注意公式的灵活运用．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE=3EB1．（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；（Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1﹣AC1﹣B1的大小．【考点】LM：异面直线及其所成的角；LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（1）欲证DE为异面直线AB1与CD的公垂线，即证DE与异面直线AB1与CD垂直相交即可；（2）将AB1平移到DG，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，作HK⊥AC1，K 为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1﹣AC1﹣B1的平面角，在三角形B1KH中求出此角即可．【解答】解：（1）连接A1B，记A1B与AB1的交点为F．因为面AA1BB1为正方形，故A1B⊥AB1，且AF=FB1，又AE=3EB1，所以FE=EB1，又D为BB1的中点，故DE∥BF，DE⊥AB1．作CG⊥AB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点．又由底面ABC⊥面AA1B1B．连接DG，则DG∥AB1，故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD．所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线．（2）因为DG∥AB1，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，∠CDG=45°设AB=2，则AB1=，DG=，CG=，AC=．作B1H⊥A1C1，H为垂足，因为底面A1B1C1⊥面AA1CC1，故B1H⊥面AA1C1C．又作HK⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH 为二面角A1﹣AC1﹣B1的平面角．B1H=，C1H=，AC1=，HK=tan∠B1KH=，∴二面角A1﹣AC1﹣B1的大小为arctan．【点评】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力．三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段．通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处．20．（12分）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是P，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（Ⅰ）求P；（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率．【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】11：计算题．【分析】（1）设出基本事件，将要求事件用基本事件的来表示，将T1，T2，T3至少有一个能通过电流用基本事件表示并求出概率即可求得p．（Ⅱ）根据题意，B表示事件：电流能在M与N之间通过，根据电路图，可得B=A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3，由互斥事件的概率公式，代入数据计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，记电流能通过T i为事件A i，i=1、2、3、4，A表示事件：T1，T2，T3，中至少有一个能通过电流，易得A1，A2，A3相互独立，且，P（）=（1﹣p）3=1﹣0.999=0.001，计算可得，p=0.9；（Ⅱ）根据题意，B表示事件：电流能在M与N之间通过，有B=A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3，则P（B）=P（A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3）=0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9=0.9891．【点评】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率，注意先明确事件之间的关系，进而选择对应的公式来计算．21．（12分）已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|=17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．【考点】J9：直线与圆的位置关系；KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．【分析】（Ⅰ）由直线过点（1，3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于BD 两点的中点为（1，3），可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出a，b的关系式即求得离心率．（Ⅱ）利用离心率将条件|FA||FB|=17，用含a的代数式表示，即可求得a，则A点坐标可得（1，0），由于A在x轴上所以，只要证明2AM=BD即证得．【解答】解：（Ⅰ）由题设知，l的方程为：y=x+2，代入C的方程，并化简，得（b2﹣a2）x2﹣4a2x﹣a2b2﹣4a2=0，设B（x1，y1），D（x2，y2），则，，①由M（1，3）为BD的中点知．故，即b2=3a2，②故，∴C的离心率．（Ⅱ）由①②知，C的方程为：3x2﹣y2=3a2，A（a，0），F（2a，0），．故不妨设x1≤﹣a，x2≥a，，，|BF|•|FD|=（a﹣2x1）（2x2﹣a）=﹣4x1x2+2a（x1+x2）﹣a2=5a2+4a+8．又|BF|•|FD|=17，故5a2+4a+8=17．解得a=1，或（舍去），故=6，连接MA，则由A（1，0），M（1，3）知|MA|=3，从而MA=MB=MD，且MA⊥x轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切，所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．【点评】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力．22．（12分）设函数f（x）=1﹣e﹣x．（Ⅰ）证明：当x＞﹣1时，f（x）≥；（Ⅱ）设当x≥0时，f（x）≤，求a的取值范围．【考点】6E：利用导数研究函数的最值．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）将函数f（x）的解析式代入f（x）≥整理成e x≥1+x，组成新函数g（x）=e x﹣x﹣1，然后根据其导函数判断单调性进而可求出函数g（x）的最小值g（0），进而g（x）≥g（0）可得证．（2）先确定函数f（x）的取值范围，然后对a分a＜0和a≥0两种情况进行讨论．当a＜0时根据x的范围可直接得到f（x）≤不成立；当a≥0时，令h（x）=axf（x）+f（x）﹣x，然后对函数h（x）进行求导，根据导函数判断单调性并求出最值，求a的范围．【解答】解：（1）当x＞﹣1时，f（x）≥当且仅当e x≥1+x令g（x）=e x﹣x﹣1，则g'（x）=e x﹣1当x≥0时g'（x）≥0，g（x）在[0，+∞）是增函数当x≤0时g'（x）≤0，g（x）在（﹣∞，0]是减函数于是g（x）在x=0处达到最小值，因而当x∈R时，g（x）≥g（0）时，即e x≥1+x所以当x＞﹣1时，f（x）≥（2）由题意x≥0，此时f（x）≥0当a＜0时，若x＞﹣，则＜0，f（x）≤不成立；当a≥0时，令h（x）=axf（x）+f（x）﹣x，则f（x）≤当且仅当h（x）≤0因为f（x）=1﹣e﹣x，所以h'（x）=af（x）+axf'（x）+f'（x）﹣1=af（x）﹣axf （x）+ax﹣f（x）（i）当0≤a≤时，由（1）知x≤（x+1）f（x）h'（x）≤af（x）﹣axf（x）+a（x+1）f（x）﹣f（x）=（2a﹣1）f（x）≤0，h（x）在[0，+∞）是减函数，h（x）≤h（0）=0，即f（x）≤；（ii）当a＞时，由y=x﹣f（x）=x﹣1+e﹣x，y′=1﹣e﹣x，x＞0时，函数y递增；x＜0，函数y递减．可得x=0处函数y取得最小值0，即有x≥f（x）．h'（x）=af（x）﹣axf（x）+ax﹣f（x）≥af（x）﹣axf（x）+af（x）﹣f（x）=（2a ﹣1﹣ax）f（x）当0＜x＜时，h'（x）＞0，所以h'（x）＞0，所以h（x）＞h（0）=0，即f（x）＞综上，a的取值范围是[0，]【点评】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力；导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力．估计以后对导数的考查力度不会减弱．作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在．。

2010年高考重庆理科数学试题及答案(精校版)

绝密★启用前解密时间：2010年6月7日17：00 【考试时间：6月7日15：00—17：00】2010年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学（理工农医类）解析数学试题卷（理工农医类）共4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）在等比数列}{n a 中，201020078a a =，则公比q 的值为（）A 、2B 、3C 、4D 、8（2）已知向量,满足2||,1||,0===⋅，则=-|2|（） A 、0B 、22C 、4D 、8（3）=⎪⎭⎫⎝⎛---→2144lim 22x x x （）A 、1-B 、41-C 、41 D 、1（4）设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥,03,01,0y x y x y 则y x z +=2的最大值为（）A 、2-B 、4C 、6D 、8（5）函数xx x f 214)(+=的图象（）A 、关于原点对称B 、关于直线x y =对称C 、关于x 轴对称D 、关于y 轴对称（6）已知函数sin()y x ωϕ=+（0,||2πωϕ><）的部分图象如题（6）图所示，则（）A 、6,1πϕω==B 、6,1πϕω-==C 、6,2πϕω==D 、6,2πϕω-==（7）已知0x >，0y >，228x y xy ++=，y x 2+的最小值是（）A 、3B 、4C 、29 D 、211 （8）直线233+=x y 与圆心为D的圆,1,x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（[0,2)θπ∈）A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为（） A 、π67B 、π45 C 、π34D 、π35（9）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天. 若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（）A 、504种B 、960种C 、1008种D 、1108种（10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（） A 、直线B 、椭圆C 、抛物线D 、双曲线二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填写在答题卡相应位置上. （11）已知复数,1i z +=则=-z z2____________. （12）设}0|{},3,2,1,0{2=+∈==mx x U x A U ，若}2,1{=A C U ，则实数=m _________.（13）某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为2516，则该队员每次罚球的命中率为_____________.（14）已知以F 为焦点的抛物线x y 42=上的两点B A 、满足3AF FB =，则弦AB 的中点到准线的距离为___________.（15）已知函数)(x f 满足：1(1)4f =，4()()()()f x f y f x y f x y =++-（,x y R ∈），则=)2010(f __________.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分.）设函数22()cos()2cos 32xf x x π=++，x R ∈.（Ⅰ）求)(x f 的值域；（Ⅱ）记ABC ∆的内角C B 、、A 的对边长分别为c b a 、、，若3,1,1)(===c b B f ，求a 的值.（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，…，6），求：（Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；（Ⅱ）甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望.（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）已知函数)1ln(1)(+++-=x ax x x f ，其中实数1-≠a . （Ⅰ）若2=a ，求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程；（Ⅱ）若)(x f 在1=x 处取得极值，试讨论)(x f 的单调性.（19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）如题（19）图，四棱锥ABCD P -为矩形，⊥PA 底面ABCD ，6==AB PA ，点E 是棱PB 的中点.（Ⅰ）求直线AD 与平面PBC 的距离；（Ⅱ）若3=AD ，求二面角D EC A --的平面角的余弦值.（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）已知以原点O 为中心，)0,5(F 为右焦点的双曲线C 的离心率25=e . （Ⅰ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；（Ⅱ）如题（20）图，已知过点),(11y x M 的直线44:111=+y y x x l 与过点),(22y x N （其中12x x ≠）的直线44:222=+y y x x l 的交点E 在双曲线OGH ∆的面积.（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）在数列}{n a 中，11a =，11(21)n n n a ca c n ++=++（n N *∈），其中实数0≠c .（Ⅰ）求}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若对一切*∈N k 有122->k k a a ，求c 的取值范围.2010年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学（理工农医类）解析数学试题卷（理工农医类）共4页。

2010年高考全国数学卷(全国Ⅰ.理)(含详解答案)

绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第I 卷1至2页。

第Ⅱ卷3 至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。

3．第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k k n kn n P k C p p k n -=-=…一．选择题 (1)复数3223ii+=- (A)i (B)i - (C)12-13i (D) 12+13i1．A 【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧.【解析1】32(32)(23)694623(23)(23)13i i i i i i i i i +++++-===--+. 【解析2】232322323i i ii i i+-+==-- (2)记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=A.kB. -kC.D.2.B 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用.【解析1】sin 80=== ,所以tan100tan80︒=-sin80cos80=-=【解析2】cos(80)k -︒=cos(80)k⇒︒=，()()00000sin 18080sin100sin80tan1001008018080oo ocon con con -︒===--k=-(3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)13.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.【解析1】画出可行域（如右图），由图可知,当直线l 经过点A(1,-1)时，z 最大，且最大值为max 12(1)3z =-⨯-=.【解析2】11222z x y y x z =-⇒=-，画图知过点()1,1-是最大，()1213Max z =--= （4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =x +20y -=(A) 4.A 【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.【解析1】由等比数列的性质知31231322()5a a a a a a a === ，37897988()a a a a a a a === 10,所以132850a a =,所以133364564655()(50)a a a a a a a ===== 【解析2】123a a a =5325a ⇒=；789a a a =103810,a ⇒=6333528456550a a a a a a a ⇒==⇒==(5)35(1(1+的展开式中x 的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4 5.C 【解析】12451335333322(1(1161281510105x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+++-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x 的系数是 -10+12=2(6)某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 (A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种6.A 【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.【解析1】:可分以下2种情况:(1)A 类选修课选1门,B 类选修课选2门,有1234C C 种不同的选法;(2)A 类选修课选2门,B 类选修课选1门,有2134C C 种不同的选法.所以不同的选法共有1234C C +2134181230C C =+=种.【解析2】33373430C C C --=(7)正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为AB C DA 1B1C 1D1 OA3B 3C 23D 37.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D 到平面AC 1D 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.与【解析1】因为BB 1//DD 1,所以B 1B 与平面AC 1D 所成角和DD 1平面AC 1D 所成角相等,设DO ⊥平面AC 1D ，由等体积法得11D ACD D ACD V V --=,即111133ACD ACD S DO S DD∆∆⋅=⋅.设DD 1=a,则122111sin 60)22ACD S AC AD ∆==⨯= ,21122ACDS AD CD a ∆== . 所以1313A C D A C D S D D D O a S ∆∆== ,记DD 1与平面AC 1D 所成角为θ,则1sin DO DD θ==,所以cos 3θ=. 【解析2】设上下底面的中心分别为1,O O ；1O O 与平面AC 1D 所成角就是B 1B 与平面AC 1D所成角，1111cos O O O OD OD ∠=== （8）设a=3log 2,b=In2,c=125-,则A a<b<c Bb<c<a C c<a<b D c<b<a8.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析1】 a=3log 2=21log 3, b=In2=21log e,而22log 3log 1e>>,所以a<b, c=125-222log 4log 3>=>,所以c<a,综上c<a<b.【解析2】a =3log 2=321log ,b =ln2=21log e, 3221log log 2e <<< ，32211112log log e <<<； c=12152-=<=，∴c<a<b (9)已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点p 在C 上，∠1F p 2F =060，则P 到x 轴的距离为(A)(C)(D) 9.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.【解析1】不妨设点P 00(,)x y 在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得21000||[()]1a PF e x a ex c =--=+=，22000||[)]1a PF e x ex a c=-=-=-.由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-,即cos 060=, 解得2052x =,所以2200312y x =-=，故P 到x轴的距离为0||2y = 【解析2】由焦点三角形面积公式得：120226011cot 1cot 22222F PF S b c h h h θ∆=====⇒=（10）已知函数F(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b 的取值范围是(A))+∞(B))+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞10.A 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a 的取值范围，而利用均值不等式求得a+2b 2a a=+>从而错选A,这也是命题者的用苦良心之处.【解析1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或1b a =，所以a+2b=2a a+ 又0<a<b,所以0<a<1<b ，令2()f a a a=+,由“对勾”函数的性质知函数()f a 在a ∈(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+21=3,即a+2b 的取值范围是(3,+∞).【解析2】由0<a<b,且f (a )=f (b )得：0111a b ab <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，利用线性规划得：0111x y xy <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，求2z x y=+的取值范围问题，11222z x y y x z =+⇒=-+，2111y y x x'=⇒=-<-⇒过点()1,1时z 最小为3,∴(C)(3,)+∞（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ∙的最小值为(A) 4-(B)3-(C) 4-+(D)3-+11.D 【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析1】如图所示：设PA=PB=x (0)x >,∠APO=α,则∠APB=2α，，sin α=||||cos2PA PB PA PB α∙=⋅ =22(12sin )x α-=222(1)1x x x -+=4221x x x -+，令PA PB y ∙= ，则4221x x y x -=+，即42(1)0x y x y -+-=，由2x 是实数，所以2[(1)]41()0y y ∆=-+-⨯⨯-≥，2610y y ++≥，解得3y ≤--3y ≥-+.故min ()3PA PB ∙=-+此时x =【解析2】法一：设,0APB θθπ∠=<<，()()2cos 1/tan cos 2PA PB PA PB θθθ⎛⎫∙== ⎪⎝⎭ 2222221sin 12sin cos 22212sin 2sin sin22θθθθθθ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=⋅-=⎪⎝⎭ 法二：换元：2sin ,012x x θ=<≤，()()1121233x x PA PB x x x --∙==+-≥ 或建系：园的方程为221x y +=，设11110(,),(,),(,0)A x y B x y P x -，()()2211101110110,,001AO PA x y x x y x x x y x x ⊥⇒⋅-=⇒-+=⇒=()222222221100110110221233PA PB x x x x y x x x x x ∙=-+-=-+--=+-≥（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为(A)3(B)3(C)(D) 312.B 【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析1】过CD 作平面PCD ，使AB ⊥平面PCD,交AB 与P,设点P 到CD 的距离为h ,则有ABCD 11222323V h h =⨯⨯⨯⨯=四面体,当直径通过AB 与CD 的中点时,max h =故max V =. 【解析2】()()22210110111001,,2PA PB x x y x x y x x x x y ∙=-⋅--=-+-绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。

2010年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)(含解析版)

2010 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）1．（5 分）已知集合A={x∈R||x|≤2}}，，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2} 2．（5分）已知复数，是z 的共轭复数，则=（）A．B．C．1 D．23．（5 分）曲线y=在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣2 4．（5分）如图，质点P 在半径为2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，-），角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为（）A．B．C．D．5．（5分）已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x 在R 为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x 在R 为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨p2 和q4：p1∧（￢p2）中，真命题是（）A．q1，q3 B．q2，q3 C．q1，q4 D．q2，q46．（5分）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2 粒，补种的种子数记为X，则X 的数学期望为（）A．100 B．200 C．300 D．4007．（5 分）如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A．B．C．D．8．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（）A．{x|x＜﹣2 或x＞4} B．{x|x＜0 或x＞4}C．{x|x＜0 或x＞6} D．{x|x＜﹣2 或x＞2}9．（5 分）若，α是第三象限的角，则=（）A．B．C．2D．﹣210．（5 分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πa2B．C．D．5πa211．（5 分）已知函数，若a，b，c 互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc 的取值范围是（）1 n +1 n A ．（1，10） B ．（5，6） C ．（10，12） D ．（20，24）12．（5 分）已知双曲线 E 的中心为原点，P （3，0）是 E 的焦点，过 P 的直线 l 与 E 相交于 A ，B 两点，且 AB 的中点为 N （﹣12，﹣15），则 E 的方程式为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13．（5 分）设 y=f （x ）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有 0≤f （x ）≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组 N 个）区间[0，1]上的均匀随机数 x 1，x 2，…x N 和 y 1，y 2，…y N ，由此得到 N 个点（x i ， y i ）（i=1，2，…，N ），再数出其中满足 y i ≤f （x i ）（i=1，2，…，N ）的点数 N 1，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为． 14．（5 分）正视图为一个三角形的几何体可以是（写出三种）15．（5 分）过点 A （4，1）的圆 C 与直线 x ﹣y=1 相切于点 B （2，1），则圆 C 的方程为．16．（5 分）在△ABC 中，D 为边 BC 上一点，BD=DC ，∠ADB=120°，AD=2，若 △ADC 的面积为，则∠BAC= ．三、解答题（共 8 小题，满分 90 分）17．（12 分）设数列满足 a =2，a ﹣a =3•22n ﹣1 （1）求数列{a n }的通项公式；（2）令 b n =na n ，求数列{b n }的前 n 项和 S n ．18．（12 分）如图，已知四棱锥 P ﹣ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为 H ，PH 是四棱锥的高，E 为 AD 中点（I ）证明：PE ⊥BC（II ）若∠APB=∠ADB=60°，求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值．19．（12 分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老年人，结果如表：性别是否需要志愿者男女需要 40 30 不需要160270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；（2）能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由．附：K 2=．20．（12 分）设 F 1，F 2 分别是椭圆的左、右焦点，过 F 1P （K 2≥k ）0.050 0.010 0.0013.8416.63510.828斜率为1 的直线ℓ 与E 相交于A，B 两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求E 的离心率；（2）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求E 的方程．21．（12分）设函数f（x）=e x﹣1﹣x﹣ax2．（1）若a=0，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥0 时f（x）≥0，求a 的取值范围．22．（10 分）如图：已知圆上的弧，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明：（I）∠ACE=∠BCD．（II）BC2=BE•CD．23．（10 分）已知直线C1（t 为参数），C2（θ为参数），（I）当α=时，求C1 与C2 的交点坐标；（II）过坐标原点O 做C1 的垂线，垂足为A，P 为OA 中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．24．（10 分）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．（I）画出函数y=f（x）的图象：（II）若不等式f（x）≤ax 的解集非空，求a 的取值范围．2010 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）1．（5 分）已知集合A={x∈R||x|≤2}}，，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题．【分析】先化简集合A 和B，注意集合B 中的元素是整数，再根据两个集合的交集的意义求解．【解答】解：A={x∈R||x|≤2，}={x∈R|﹣2≤x≤2}，故A∩B={0，1，2}．应选D．【点评】本题主要考查集合间的交集运算以及集合的表示方法，涉及绝对值不等式和幂函数等知识，属于基础题．2．（5分）已知复数，是z 的共轭复数，则=（）A．B．C．1 D．2【考点】A5：复数的运算．【分析】因为，所以先求|z|再求的值．【解答】解：由可得．另解：故选：A．【点评】命题意图：本题主要考查复数的运算，涉及复数的共轭复数知识，可以利用复数的一些运算性质可以简化运算．3．（5分）曲线y=在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=2x+1B．y=2x﹣1C．y=﹣2x﹣3D．y=﹣2x﹣2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】1：常规题型；11：计算题．【分析】欲求在点（﹣1，﹣1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=﹣1 处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵y=，∴y′=，所以k=y′|x==2，得切线的斜率为2，所以k=2；﹣1所以曲线y=f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为：y+1=2×（x+1），即y=2x+1．故选：A．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．4．（5分）如图，质点P 在半径为2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，-），角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P 的位置到到x 轴距离来确定答案．【解答】解：通过分析可知当t=0 时，点P 到x 轴距离d 为，于是可以排除答案A，D，再根据当时，可知点P 在x 轴上此时点P 到x 轴距离d 为0，排除答案B，故选：C．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及排除法的应用和数形结合的思想，属于基础题．5．（5分）已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x 在R 为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x 在R 为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨p2 和q4：p1∧（￢p2）中，真命题是（）A．q1，q3 B．q2，q3 C．q1，q4 D．q2，q4【考点】2E：复合命题及其真假；4Q：指数函数与对数函数的关系．【专题】5L：简易逻辑．【分析】先判断命题p1 是真命题，P2 是假命题，故p1∨p2 为真命题，（﹣p2）为真命题，p1∧（﹣p2）为真命题．【解答】解：易知p1 是真命题，而对p2：y′=2x ln2﹣ln2=ln2（），当x∈[0，+∞）时，，又ln2＞0，所以y′≥0，函数单调递增；同理得当x∈（﹣∞，0）时，函数单调递减，故p2 是假命题．由此可知，q1 真，q2 假，q3 假，q4真．故选：C．【点评】只有p1 与P2 都是真命题时，p1∧p2 才是真命题．只要p1 与p2 中至少有一个真命题，p1∨p2 就是真命题．6．（5分）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2 粒，补种的种子数记为X，则X 的数学期望为（）A．100 B．200 C．300 D．400【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CN：二项分布与n 次独立重复试验的模型．【专题】11：计算题；12：应用题．【分析】首先分析题目已知某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，即不发芽率为0.1，故没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B（1000，0.1）．又没发芽的补种2 个，故补种的种子数记为X=2ξ，根据二项分布的期望公式即可求出结果．【解答】解：由题意可知播种了1000 粒，没有发芽的种子数ξ 服从二项分布，即ξ～B（1000，0.1）．而每粒需再补种2 粒，补种的种子数记为X故X=2ξ，则EX=2Eξ=2×1000×0.1=200．故选：B．【点评】本题主要考查二项分布的期望以及随机变量的性质，考查解决应用问题的能力．属于基础性题目．7．（5 分）如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A．B．C．D．【考点】EF：程序框图．【专题】28：操作型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．∵S==1﹣=故选：D．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．8．（5 分）设偶函数 f （x ）满足 f （x ）=2x ﹣4（x ≥0），则{x |f （x ﹣2）＞0}=（） A ．{x |x ＜﹣2 或 x ＞4} B ．{x |x ＜0 或 x ＞4} C ．{x |x ＜0 或x ＞6}D ．{x |x ＜﹣2 或 x ＞2}【考点】3K ：函数奇偶性的性质与判断．【专题】11：计算题．【分析】由偶函数 f （x ）满足 f （x ）=2x ﹣4（x ≥0），可得 f （x ）=f （|x |）=2|x |﹣4，根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案．【解答】解：由偶函数 f （x ）满足 f （x ）=2x ﹣4（x ≥0），可得 f （x ）=f （|x |）=2|x |﹣4，则f （x﹣2）=f（|x﹣2|）=2|x﹣2|﹣4，要使|x ﹣2|＞2 解得 x ＞4，或 x ＜0．应选：B ．【点评】本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力，解答本题的关键是利用偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，从而简化计算．9．（5 分）若，α 是第三象限的角，则 =（）A ．B ．C ．2D ．﹣2【考点】GF ：三角函数的恒等变换及化简求值；GW ：半角的三角函数．【专题】11：计算题．【分析】将欲求式中的正切化成正余弦，还要注意条件中的角 α 与待求式中角的差别，注意消除它们之间的不同．【解答】解：由，α是第三象限的角，∴可得，则，应选A．【点评】本题主要考查三角恒等变换中的倍角公式的灵活运用、同角的三角函数关系等知识以及相应的运算能力．10．（5 分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πa2B．C．D．5πa2【考点】LR：球内接多面体．【专题】11：计算题．【分析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a 的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为，球的表面积为，故选：B．【点评】本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力．11．（5 分）已知函数，若a，b，c 互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc 的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）【考点】3A：函数的图象与图象的变换；3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；4H：对数的运算性质；4N：对数函数的图象与性质．【专题】13：作图题；16：压轴题；31：数形结合．【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc 的范围即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab=1，则abc=c∈（10，12）．故选：C．【点评】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．12．（5 分）已知双曲线E 的中心为原点，P（3，0）是E 的焦点，过P 的直线l 与E 相交于A，B 两点，且AB 的中点为N（﹣12，﹣15），则E 的方程式为（）A．B．C．D．【考点】KB ：双曲线的标准方程；KH ：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】已知条件易得直线 l 的斜率为 1，设双曲线方程，及 A ，B 点坐标代入方程联立相减得x 1+x2=﹣24，根据=，可求得 a 和【解答】解：由已知条件易得直线 l 的斜率为 k=k PN =1，设双曲线方程为，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有，两式相减并结合 x 1+x 2=﹣24，y 1+y 2=﹣30 得 =，从而 k==1即 4b 2=5a 2，又 a 2+b 2=9，解得 a 2=4，b 2=5，故选：B ．【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13．（5 分）设 y=f （x ）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有 0≤f （x ）≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组 N 个）区间[0，1]上的均匀随机数x1，x2，…x N 和y1，y2，…y N，由此得到N 个点（x i，y i）（i=1，2，…，N），再数出其中满足y i≤f（x i）（i=1，2，…，N）的点数N1，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为．【考点】69：定积分的应用；CE：模拟方法估计概率；CF：几何概型．【专题】11：计算题．【分析】要求∫f（x）dx 的近似值，利用几何概型求概率，结合点数比即可得．【解答】解：由题意可知得，故积分的近似值为．故答案为：．【点评】本题考查几何概型模拟估计定积分值，以及定积分在面积中的简单应用，属于基础题．14．（5 分）正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案同样给分）（写出三种）【考点】L7：简单空间图形的三视图．【专题】21：阅读型．【分析】三棱锥一个侧面的在正视图为一条线段的情形；圆锥；四棱锥有两个侧面在正视图为线段的情形，即可回答本题．【解答】解：正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱（放倒的情形）、圆锥、四棱锥等等．故答案为：三棱锥、圆锥、三棱柱．【点评】本题主要考查三视图以及常见的空间几何体的三视图，考查空间想象能力．15．（5 分）过点A（4，1）的圆C 与直线x﹣y=1 相切于点B（2，1），则圆C 的方程为（x﹣3）2+y2=2．【考点】J1：圆的标准方程；J9：直线与圆的位置关系．【专题】16：压轴题．【分析】设圆的标准方程，再用过点A（4，1），过B，两点坐标适合方程，圆和直线相切，圆心到直线的距离等于半径，求得圆的方程．【解答】解：设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，则（4﹣a）2+（1﹣b）2=r2，（2﹣a）2+（1﹣b）2=r2，=﹣1，解得a=3，b=0，r=，故所求圆的方程为（x﹣3）2+y2=2．故答案为：（x﹣3）2+y2=2．【点评】命题意图：本题主要考查利用题意条件求解圆的方程，通常借助待定系数法求解．16．（5 分）在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD=DC，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC 的面积为，则∠BAC= 60°．【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先根据三角形的面积公式利用△ADC 的面积求得DC，进而根据三角形ABC 的面积求得BD 和BC，进而根据余弦定理求得AB．最后在三角形ABC 中利用余弦定理求得cos∠BAC，求得∠BAC 的值．【解答】解：由△ADC 的面积为可得解得，则．AB2=AD2+BD2﹣2AD•BD•cos120°=，1 n +1 n n n n n n，则=．故∠BAC=60°．【点评】本题主要考查解三角形中的边角关系及其面积等基础知识与技能，分析问题解决问题的能力以及相应的运算能力．三、解答题（共 8 小题，满分 90 分）17．（12 分）设数列满足 a =2，a ﹣a =3•22n ﹣1 （1）求数列{a n }的通项公式；（2）令 b n =na n ，求数列{b n }的前 n 项和 S n ．【考点】8E ：数列的求和；8H ：数列递推式．【专题】11：计算题．【分析】（Ⅰ）由题意得 a n +1=[（a n +1﹣a n ）+（a n ﹣a n ﹣1）+…+（a 2﹣a 1）]+a 1=3（22n﹣1+22n ﹣3+…+2）+2=22（n +1）﹣1．由此可知数列{a}的通项公式为 a =22n ﹣1．（Ⅱ）由 b =na =n•22n ﹣1 知 S =1•2+2•23+3•25++n•22n ﹣1，由此入手可知答案．【解答】解：（Ⅰ）由已知，当 n ≥1 时，a n +1=[（a n +1﹣a n ）+（a n ﹣a n ﹣1）+…+（a 2﹣a 1）]+a 1=3（22n ﹣1+22n ﹣3+…+2）+2=3×+2=22（n +1）﹣1．而 a 1=2，所以数列{a n }的通项公式为 a n =22n ﹣1．（Ⅱ）由 b n =na n =n•22n ﹣1 知 S n =1•2+2•23+3•25+…+n•22n ﹣1①n n 从而 22S =1•23+2•25+…+n•22n +1② ①﹣②得（1﹣22）•S =2+23+25+…+22n ﹣1﹣n•22n +1．即．【点评】本题主要考查数列累加法（叠加法）求数列通项、错位相减法求数列和等知识以及相应运算能力．18．（12 分）如图，已知四棱锥 P ﹣ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为 H ，PH 是四棱锥的高，E 为 AD 中点（I ）证明：PE ⊥BC（II ）若∠APB=∠ADB=60°，求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值．【考点】MA ：向量的数量积判断向量的共线与垂直；MI ：直线与平面所成的角．【专题】11：计算题；13：作图题；14：证明题；35：转化思想．【分析】以 H 为原点，HA ，HB ，HP 分别为 x ，y ，z 轴，线段 HA 的长为单位长，建立空间直角坐标系．（1）表示，，计算，就证明 PE ⊥BC ．（2） ∠APB=∠ADB=60°，求出 C ，P 的坐标，再求平面 PEH 的法向量，求向量，然后求与面 PEH 的法向量的数量积，可求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值．【解答】解：以 H 为原点，HA ，HB ，HP 分别为 x ，y ，z 轴，线段 HA 的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则 A （1，0，0），B （0，1，0）（Ⅰ）设 C （m ，0，0），P （0，0，n ）（m ＜0，n ＞0）则．可得．因为所以PE⊥BC．（Ⅱ）由已知条件可得m= ，n=1 ，故 C （﹣），设=（x，y，z）为平面PEH 的法向量则即因此可以取，由，可得所以直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值为．【点评】本题主要考查空间几何体中的位置关系、线面所成的角等知识，考查空间想象能力以及利用向量法研究空间的位置关系以及线面角问题的能力．19．（12 分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500 位老年人，结果如表：性别男女是否需要志愿者需要40 30不需要160 270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由．P（K2≥k）0.050 0.010 0.0013.841 6.635 10.828附：K2=．【考点】BL：独立性检验．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】（1）由样本的频率率估计总体的概率，（2）求K2的观测值查表，下结论；（3）由99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，则可按性别分层抽样．【解答】解：（1）调查的500 位老年人中有70 位需要志愿者提供帮助，因此在该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为（2）K2的观测值因为9.967＞6.635，且P（K2≥6.635）=0.01，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．（3）根据（2）的结论可知，该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，并且从样本数据能够看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男女两层，并采取分层抽样方法比简单随机抽样方法更好．【点评】本题考查了抽样的目的，独立性检验的方法及抽样的方法选取，属于基础题．20．（12 分）设F1，F2 分别是椭圆的左、右焦点，过F1斜率为1 的直线ℓ 与E 相交于A，B 两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求E 的离心率；（2）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求E 的方程．【考点】83：等差数列的性质；K3：椭圆的标准方程；K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题．【分析】（I）根据椭圆的定义可知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，进而根据|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数表示出|AB|，进而可知直线l 的方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），代入直线和椭圆方程，联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2 和x1x2进而根据，求得a 和b 的关系，进而求得a 和c 的关系，离心率可得．（II）设AB 的中点为N（x0，y0），根据（1）则可分别表示出x0 和y0，根据|PA|=|PB|，推知直线PN 的斜率，根据求得c，进而求得a 和b，椭圆的方程可得．【解答】解：（I）由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得，l 的方程为y=x+c，其中．设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B 两点坐标满足方程组化简的（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2﹣b2）=0则，因为直线 AB 斜率为 1，|AB |=|x 1﹣x 2|=，得，故 a 2=2b 2 所以 E 的离心率（I ）设 AB 的中点为 N （x 0，y 0），由（I ）知．由|PA |=|PB |，得 k PN =﹣1，即得 c=3，从而故椭圆 E 的方程为．【点评】本题主要考查圆锥曲线中的椭圆性质以及直线与椭圆的位置关系，涉及等差数列知识，考查利用方程思想解决几何问题的能力及运算能力21．（12 分）设函数f （x ）=e x ﹣1﹣x ﹣ax 2．（1）若 a=0，求 f （x ）的单调区间；（2）若当 x ≥0 时 f （x ）≥0，求 a 的取值范围．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性．【专题】32：分类讨论．【分析】（1）先对函数 f （x ）求导，导函数大于 0 时原函数单调递增，导函数小于 0 时原函数单调递减．（2）根据 e x ≥1+x 可得不等式 f′（x ）≥x ﹣2ax=（1﹣2a ）x ，从而可知当 1﹣2a ≥0，即时，f′（x ）≥0 判断出函数 f （x ）的单调性，得到答案．【解答】解：（1）a=0 时，f （x ）=e x ﹣1﹣x ，f′（x ）=e x ﹣1．当 x ∈（﹣∞，0）时，f'（x ）＜0；当 x ∈（0，+∞）时，f'（x ）＞0．故f（x）在（﹣∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加（II）f′（x）=e x﹣1﹣2ax由（I）知e x≥1+x，当且仅当x=0 时等号成立．故f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，从而当1﹣2a≥0，即时，f′（x）≥0（x≥0），而f（0）=0，于是当x≥0 时，f（x）≥0．由e x＞1+x（x≠0）可得e﹣x＞1﹣x（x≠0）．从而当时，f′（x）＜e x﹣1+2a（e﹣x﹣1）=e﹣x（e x﹣1）（e x﹣2a），故当x∈（0，ln2a）时，f'（x）＜0，而f（0）=0，于是当x∈（0，ln2a）时，f （x）＜0．综合得a 的取值范围为．【点评】本题主要考查利用导数研究函数性质、不等式恒成立问题以及参数取值范围问题，考查分类讨论、转化与划归解题思想及其相应的运算能力．22．（10 分）如图：已知圆上的弧，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明：（I）∠ACE=∠BCD．（II）BC2=BE•CD．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明；NB：弦切角．【专题】14：证明题．【分析】（I）先根据题中条件：“”，得∠BCD=∠ABC．再根据EC 是圆的切线，得到∠ACE=∠ABC，从而即可得出结论．（II）欲证BC2=BE x CD．即证．故只须证明△BDC～△ECB 即可．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以∠BCD=∠ABC．又因为EC 与圆相切于点C，故∠ACE=∠ABC所以∠ACE=∠BCD．（5 分）（Ⅱ）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，所以△BDC～△ECB，故．即BC2=BE×CD．（10 分）【点评】本题主要考查圆的切线的判定定理的证明、弦切角的应用、三角形相似等基础知识，考查运化归与转化思想．属于基础题．23．（10 分）已知直线C1（t 为参数），C2（θ为参数），（I）当α=时，求C1 与C2 的交点坐标；（II）过坐标原点O 做C1 的垂线，垂足为A，P 为OA 中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【考点】J3：轨迹方程；JE：直线和圆的方程的应用；Q4：简单曲线的极坐标方程；QJ：直线的参数方程；QK：圆的参数方程．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（I）先消去参数将曲线C1 与C2 的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，（II）设P（x，y），利用中点坐标公式得P 点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线．【解答】解：（Ⅰ）当α=时，C1 的普通方程为，C2 的普通方程为x2+y2=1．联立方程组，解得C1 与C2 的交点为（1，0）．（Ⅱ）C1 的普通方程为xsinα﹣ycosα﹣sinα=0①．则OA 的方程为xcosα+ysinα=0②，联立①②可得x=sin2α，y=﹣cosαsinα；A 点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα），故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为：，P 点轨迹的普通方程．故P 点轨迹是圆心为，半径为的圆．【点评】本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程研究轨迹问题的能力．24．（10 分）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．（I）画出函数y=f（x）的图象：（II）若不等式f（x）≤ax 的解集非空，求a 的取值范围．【考点】3A：函数的图象与图象的变换；7E：其他不等式的解法；R5：绝对值不等式的解法．【专题】11：计算题；13：作图题；16：压轴题．【分析】（I）先讨论x 的范围，将函数f（x）写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；（II）根据函数y=f（x）与函数y=ax 的图象可知先寻找满足f（x）≤ax 的零界情况，从而求出a 的范围．【解答】解：（Ⅰ）由于f（x）=，函数y=f（x）的图象如图所示．（Ⅱ）由函数y=f（x）与函数y=ax 的图象可知，极小值在点（2，1）当且仅当a＜﹣2 或a≥ 时，函数y=f（x）与函数y=ax 的图象有交点．故不等式f（x）≤ax 的解集非空时，a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及利用函数图象解不等式，同时考查了数形结合的数学思想，属于基础题．。

2010年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)及答案(分析解答)

2010年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1. （5分）已知集合A={x € R|| x| < 2}},肛丘€打匹<漿，则A H B=（）A . （0, 2） B. [0, 2] C.{0, 2} D . {0, 1, 2}2. （5分）已知复数w _亞_，匸是z 的共轭复数，贝U 盯寸=（）（1-V3O 2A .書B ・寺C 1D . 23.（5分）曲线y= 在点（-1,- 1）处的切线方程为（）x+2A . y=2x+1B . y=2x - 1C . y=- 2x - 3D . y=- 2x - 24. （5分）如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P °（::, -一）角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为（）q 1: P 1V p 2, q 2： P 1A p 2, q 3：（「P 1）V p 2 和 q 4： P 1 A （ P 2）中，真命题是（）5. （5分）已知命题 P 1：函数y=2"- 2-x 在R 为增函数,P 2：函数 y=2"+2-x 在 R为减函数，则在命题A. q1, q3B. q2, q3C. q1, q4D. q2, q46. （5分）某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ,则X 的数学期望为（）A . 100 B. 200 C. 300 D . 4007. （5分）如果执行右面的框图，输入 N=5,则输出的数等于（）(5 分)设偶函数 f (x )满足 f (x ) =2x - 4(x >0),则{x|f (x -2) >0}=( )A . {x|x v — 2 或 x >4} B. {x|x v 0 或 x >4}C. {x| x < 0 或 x >6}D. {x| xv- 2 或 x > 2}CL4 1+19. ----------------------------------------------------------------------------- （5分）若cos Ct = - —， a 是第二象限的角，则 --------------------------- -- =（）b 1 - tan ----2A. -* B .丄 C. 2 D .- 210.（5分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（） A . nf B.丄爪 3? C.岂2 D. 5 n 2llgx |, Q<K10|11. （5分）已知函数.丄计&宾>10，若a ，b ，c 互不相等，且f （a ）8. A . B.D.4 5=f (b) =f (c),则abc的取值范围是( )A. (1, 10)B. (5, 6)C. (10, 12)D. (20, 24)12. (5分)已知双曲线E的中心为原点，P (3, 0)是E的焦点，过P的直线l 与E相交于A, B两点，且AB的中点为N (- 12, - 15),则E的方程式为( )2 2A.T-V-、填空题(共4小题，每小题5分，满分20分)13. (5分)设y=f (x)为区间［0, 1］上的连续函数，且恒有0W f (x)< 1 , 可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组(每组N个)区间［0, 1］上的均匀随机数x i，X2,…x和y i, y2,…y,由此得到N个点(X i, y i) (i=1,2, ___________________________________ …，N),再数出其中满足yWf (X i)(i=1, 2,…，N)的点数N i，那么由随机模拟方案可得积分J註心)五的近似值为. 14. _________________________________________ (5分)正视图为一个三角形的几何体可以是_________________________________ (写出三种)15. (5分)过点A (4, 1)的圆C与直线x-y=1相切于点B (2, 1),则圆C的方程为_.16. (5 分)在厶ABC 中，D 为边BC 上一点，BD—DC,/ ADB=120, AD=2,若△ ADC的面积为- 「；，则/ BAC=_ .三、解答题(共8小题，满分90分)17. (12 分)设数列满足a1=2, a n+1- a n=3?22n-1(1)求数列｛a n｝的通项公式；(2)令b n= na n,求数列｛b n｝的前n项和S n.18. (12分)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB//CD, AC丄BD, 垂足为H, PH是四棱锥的高，E为AD中点(1)证明：PE! BC(2)若/ APB=/ ADB=60，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值.19. (12分)为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了 500位老年人，结果如表：性别是否需要志愿20. (12分)设F 1, F 2分别是椭圆总！的左、右焦点，过F 1 斜率为1的直线？与E 相交于A ，B 两点，且| AF>|，|AB|，| BF ^|成等差数列. (1) 求E 的离心率；(2) 设点P (0，- 1)满足| PA=|PB ，求E 的方程. 21. (12 分)设函数 f (x ) =e x - 1 - x- ax 2. (1) 若a=0，求f (x )的单调区间；(2) 若当x > 0时f (x )> 0，求a 的取值范围. 22. (10分)如图：已知圆上的弧：「，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交需要 40 30 不需要160270(1) 估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例;(2) 能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？(3) 根据(2)的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由.附: (a+b) (c-Fd) (a+c) (b+d)P (k 2〉 0.0 0.010 0.001k )3.841 6.635 10.8282 .2于E 点，证明：(I)Z ACE=/ BCD. (n) BC 2=BE ?CD24. (10分)设函数 f (x ) =|2x — 4|+ 1. (I )画出函数y=f (x )的图象：(n )若不等式f (x )< ax 的解集非空，求a 的取值范围.x =L+-tccis 口 y=tsind(I )当a^L 时，求C i 与C 2的交点坐标；J(n)过坐标原点o 做C i 的垂线，垂足为A , P 为OA 中点，当点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.(t 为参数),Cy=sin 9a 变化时，求P2010年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1. （5 分）（2010?宁夏）已知集合 A={x € R|| x| < 2}}，「八--— ,则 A n B =（）A . （0, 2） B. [0, 2] C. {0, 2} D . {0, 1, 2}【分析】先化简集合A 和B ,注意集合B 中的元素是整数，再根据两个集合的交集的意义求解.【解答】解：A={x € R|| x| < 2, }={x € R| - 2<x <2},B= [i E Z = lx£2|0<i<16^故 A n B={0, 1 , 2}. 应选D .（）A .匚 B.亍 C. 1 D . 2【分析】因为厂匚二怯|2,所以先求|z|再求门；的值.故选A .3. （5分）（2010?宁夏）曲线目^—在点（-1,- 1）处的切线方程为（）x+2A . y=2x+1B . y=2x - 1C . y=- 2x - 3D . y=- 2x - 2【分析】欲求在点（-1,- 1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=- 1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜2. （5分）（2010?宁夏）已知复数，•:是z 的共轭复数，贝U 「•二【解答】解:| 后i |__ IV3H| 1 a-V3ii 2 "ll-V3i|2 V"2需H （徐心届法（Qi ）率•从而问题解决.【解答】解：「y=_•-y所以k=y|x=-1=2，得切线的斜率为2,所以k=2;所以曲线y=f （x）在点（-1，- 1）处的切线方程为: y+1=2X( x+1)，即y=2x+1.故选A.4. （5分）（2010?新课标）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0 （近，-血），角速度为1,那么点P到x轴距离d关于时间t的函【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答案.【解答】解：通过分析可知当t=0时，点P 到x 轴距离d 为-,于是可以排除答案 A ，D ，再根据当二—一时，可知点P 在x 轴上此时点P 到x 轴距离d 为0,排除答案B ，故应选C.p i :函数y=2x -2「x 在R 为增函数，P 2:函数y=2x +2^x 在R 为减函数，则在命题 q 4： p i A （「p 2）中，真命题是（ 6. （5分）（20i0?宁夏）某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 i000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 2粒，补种的种子数记为X ,则X 的数学期望为（）A . 100 B. 200 C. 300 D . 400【分析】首先分析题目已知某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了 1000粒，即不发芽率为0.1,故没有发芽的种子数E 服从二项分布，即 & B （1000, 0.1）.又没发芽的补种2个，故补种的种子数记为X=2g 根据二项分布的期望公式即可求出结果.【解答】解：由题意可知播种了 1000粒，没有发芽的种子数 E 服从二项分布，即& B （1000, 0.1）.5. （5分）（2010?宁夏）已知命题q i ： p i V p 2， q 2： p i A p 2，q 3： (「p i )V p 2 和 A . q i ，q 3 B . q 2， q 3 C. q i ， q 4【分析】真命题, 【解先判断命题p i 是真命题， p i A （- P 2）为真命题. 解：易知p i 是真命题，而对P 2： y ' =22 -D . q 2， q 4P 2是假命题，故p i V p 2为真命题，（-p 2）为当 x € [0，+x 「丄）,2X,又In2>0,所以y l 0,函数单调递增； In2=ln2(2 同理得当x €（-x ，0）时，函数单调递减，故P 2是假命题.由此可知，q i 真，q 2假, 故选C .q 3假，q 4真.）时,严而每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X 故 X=2g 则 EX=2圧=Z 1000X 0.1=200. 故选B .7.（ 5分）（2010?新课标）如果执行右面的框图，输入N=5,则输出的数等于（）【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知:11.1.1【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序，可知:故选D .8. (5 分)(2010?新课标)设偶函数 f (x )满足 f (x ) =2x - 4 (x > 0)，则{x| f (x -2)> 0}=( )的值.该程序的作用是累加并输出—— ——该程序的作用是累加并输出—— ———=1七的值.+2X3+3X4 ^4X5+5X6B.D .A . {x|x v — 2 或 x >4}B . {x|x v 0 或 x >4} C. {x| x < 0 或 x >6}D. {x| xv — 2 或 x> 2}【分析】由偶函数f (x )满足f (x ) =2x — 4 (x >0),可得f (x ) =f (| x| ) =2lx —4,根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案.【解答】解：由偶函数f (x )满足f (x ) =2x — 4 (x >0)，可得f (x ) =f (| x| ) =2lxl — 4,则 f (x — 2) =f (|x — 2| ) =2x —21— 4,要使 f (|x — 2| )> 0,只需 2lx —21 — 4 > 0,| x- 2| >2解得x >4,或x v 0. 应选：B.011+tan-z-9. -------------------------------------------------------------------------------------------- （ 5分）（2010?宁夏）若cos a = -^, a 是第三象限的角，贝U -------------------------- --- =（ ---------------------------------------------------------------------------------------------- ）5 1-tan —2A .-丄B .丄 C. 2 D .- 22 2CL1+tan -^-【分析】将欲求式中的正切化成正余弦，还要注意条件中的角a 与待1 - tan ----2 求式中角二的差别，注意消除它们之间的不同. 【解答】解：由casCt = - -^-, a 是第三象限的角，5 二可得 sin a 二_ 2，应选A .10. （5分）（2010?宁夏）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 a ,顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A . nFB 冷兀耳2 C. ¥心5. 5冗2a-| l -B-CLCLIi_31+ 1. tm 22 l + 5in^ -5- 1a■■a QQS a71 tan c coy 厂 sin2 225则【分析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积.【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为 a 的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为2球的表面积为兀•埸-二*兀 J ，故选B .相等，且f (a ) =f (b ) =f (c ),则abc 的取值范围是( )A . (1，10)B. (5，6)C. (10，12)D. (20，24)【分析】画出函数的图象，根据f (a ) =f (b ) =f (c )，不妨a v b v c,求出abc 的范围即可.【解答】解：作出函数f (x )的图象如图，不妨设 a v b v c ,贝U :「. I ab=1, 0丈-*c 十则 abc=c €( 10, 12).12. (5分)(2010?宁夏)已知双曲线E 的中心为原点，P (3, 0)是E 的焦点，过P 的直线I 与E 相交于A , B 两点，且AB 的中点为N ( - 12,- 15),贝U E 的方程式为( )2 ,22 2222 2A .―汽二1 B.— • J 二 C.- 岭二 1 D.3 6456 35【分析】已知条件易得直线I 的斜率为1,设双曲线方程，及A , B 点坐标代入方程联立相减得x i +x 2=- 24,根据"_ F 2，可求得a 和b 的关系，再根据衍"x2 5Jc=3,求得a 和b ，进而可得答案.11. (5 分)(2010?新课标) 已知函数,若a , b , c 互不【解答】解：由已知条件易得直线I 的斜率为k=k PN =1，2 2设双曲线方程为\ _A （x i ，y i ），B （x 2，y 2），两式相减并结合x i +x 2= - 24，y i +y 2=-30得从而=八【=15 a即厶/二厶孑，又 a 2+b 2=9，解得 a 2=4，b 2=5, 故选B .二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13. （5分）（2010?宁夏）设y=f （x ）为区间［0, 1］上的连续函数，且恒有 0W f （x ）＜ 1,可以用随机模拟方法近似计算积分『討3）旳，先产生两组（每组N个）区间［0, 1］上的均匀随机数X 1, x 2,…取和y 1, y 2,…y,由此得到N 个点（x i , y i ）（i=1, 2,…，N ）,再数出其中满足 y W f （x i ）（i=1, 2,…，N ）的点数N 1, 那么由随机模拟方案可得积分 J 扛的近似值为 £^—.【分析】要求/ -f （x ） dx 的近似值，利用几何概型求概率，结合点数比即可得.【解答】解：由题意可知导迫J 扭r皿得由讹门夺，故积分''tlv' 的近似值为*• 故答案为：善.r 2 K i 一厂 2,2 -1 3b2 2y 2 -二 1 2 ,2 I a b则有14. （5分）（2010?宁夏）正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案同样给分）（写出三种）【分析】三棱锥一个侧面的在正视图为一条线段的情形；圆锥；四棱锥有两个侧面在正视图为线段的情形，即可回答本题.【解答】解：正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱（放倒的情形）、圆锥、四棱锥等等.故答案为：三棱锥、圆锥、三棱柱.15. （5分）（2010?宁夏）过点A （4，1）的圆C与直线x-y=1相切于点B （2, 1），则圆C的方程为（x- 3）2+『=2 .【分析】设圆的标准方程，再用过点 A （4, 1）,过B,两点坐标适合方程，圆和直线相切，圆心到直线的距离等于半径，求得圆的方程.【解答】解：设圆的方程为（x-a）2+ （y-b）2=F,贝一呂二工勺二工 J 二一i,a-2解得［，故所求圆的方程为（x-3）2+y2=2.故答案为：（x- 3）2+y2=2.16. （5 分）（2010?宁夏）在厶ABC中，D 为边BC上一点，BD亍DC, / ADB=120,AD=2,若厶ADC的面积为；•；，则/ BAC= 60°.【分析】先根据三角形的面积公式利用厶ADC的面积求得DC,进而根据三角形ABC的面积求得BD和BC,进而根据余弦定理求得AB.最后在三角形ABC中利17. (12 分)(2010?宁夏)设数列满足 a i =2, a n +i - &=3?0-1 (1) 求数列｛a n ｝的通项公式；(2) 令b n = na n ，求数列｛b n ｝的前n 项和S n .【分析】(I)由题意得 a n +1=[ (a n +1 - a n ) + (a n — a n -1)+••+( a 2 — a 1)]+a 1=3 (22n-1+22n -3+..+2) +2=22(n+1)—1 .由此可知数列｛a n ｝的通项公式为 a n =22n —1.(U)由 b n =na n =n?22n —1 知 S n =1?2+2?23+3?25++n?22n -1，由此入手可知答案.【解答】解：(I )由已知，当 n 》1 时，a n +1=[ (a n +1 - a n ) + (a n - a n -1) +••+ (a 2 -a 1) ]+ a 19fl - A n \=3 (22n r+22n —3+・・+2) +2=3X ■ ■+2=22(n+1)—11-4用余弦定理求得cos / BAC,求得/ BAC 的值. 【解答】解：由△ ADC 的面积为3-V3可得-V3)=yAB-AC-sinZBAC解得 I 「二；-则二*「=：：=：* 八 AB 2=AD 2+BD ? -2AD?BD?cos120 =.：-—：.:-一 F ，AC 2=AD 2+CD 2 - 2AD p CD'cos$0* 二辭皈-1) ^ - 4(希-1)=24- 12^ AC=^/6 C73 - 1)则 cosZBAC-BA 2+-AC 2 - BC 2 _&+24 - 12V3- 9(4 - 2忑)&V3 一 &2ABrAC 2Ve p Ve (V5 -1) ~12(V3 t)飞故/BAC=60.三、解答题(共8小题，满分90分)而a i=2,所以数列｛a n｝的通项公式为a n=22n r •（U）由b n=na n=n?22n「知S n=1?2+2?23+3?25+・・+ n?22n「①从而22S n=1?23+2?25+…+n?22n+1②①—②得（1 - 22）?S=2+23+25+・・+22n r - n?22n+1.即片却⑶-1）丹1+2].18. (12分)(2010?宁夏)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB// CD, AC!BD,垂足为H, PH是四棱锥的高，E为AD中点(1) 证明：PE! BC(2) 若/ APB=/ ADB=60，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值.HA，HB, HP分别为x, y, z轴，线段HA的长为单位长,建立空间直角坐标系._ N ・ ----- --------(1)表示上，"，计算「一—就证明PE!BC.(2)Z APB=Z ADB=60，求出C, P的坐标，再求平面PEH的法向量,求向量.，然后求「与面PEH的法向量的数量积，可求直线PA与平面PEH所成角的正弦值.【解答】解：以H为原点，HA, HB, HP分别为x, y, z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则 A (1, 0, 0), B (0, 1, 0)(I )设 C (m, 0, 0), P (0, 0, n) (m v 0, n>0)则D(0* m 0), E (寺F弓，0).可得厩二出，斗-门)，瓦二-1, 0).因为厩.瓦耳,_許。

2010年重庆高考数学理科卷带详解

2010年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学试题卷(理工农医类)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中．只有一项是符合题目要求的．1.在等比数列{}n a 中，201020078a a =，则公比q 的值为 ( ) A ．2 B. 3C. 4D. 8【测量目标】等比数列的性质. 【难易程度】容易【考查方式】利用等比数列的通项公式分别表示出2010a ，2007a ，两式相除即可求得3q ，进而求得q . 【参考答案】A 【试题解析】8320072010==q a a 2=∴q 2．已知向量a ，b 满足 a b ＝0，|a |=1，|b |=2，则|2-a b |＝ ( )A ． 0C. 4D. 8【测量目标】平面向量的数量积运算. 【考查方式】把所求式平方再开方即可. 【难易程度】容易【参考答案】B 【试题解析】2-=ab === 3. 2241lim 42x x x →⎛⎫-⎪--⎝⎭＝ ( ) A ．－1B. －14C.14D.1【测量目标】极限及其运算.【考查方式】通分后消除相同因子，由此得到答案. 【难易程度】容易【参考答案】B 【试题解析】：2241lim 42x x x →⎛⎫-⎪--⎝⎭=222211lim lim 424x x x x x →→--==--+ 4. 设变量x ,y 满足约束条件01030y x y x y ⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≥≤，则z ＝2x ＋y 的最大值为 ( )A. －2B. 4C. 6D. 8【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】先根据约束条件画出可行域，利用几何意义求最值，只需求出直线过点B 时，z 最大值即可. 【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】不等式组表示的平面区域如图所示当直线过点(3,0)B 的时候，z 取得最大值6.第4题图5. 函数41()2x xf x +=的图象( )A.关于原点对称B.关于直线y ＝x 对称C.关于x 轴对称D.关于y 轴对称【测量目标】函数奇偶性的综合运用.【考查方式】先验证奇偶性，然后判断图象性质. 【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】)(241214)(x f x f xxx x =+=+=---)(x f ∴是偶函数，图象关于y 轴对称. 6. 已知函数πsin(),(0,||)2y x ωϕωϕ=+><的部分图象如图所示，则 ( )第6题图A. π1,6ωϕ==B. π1,6ωϕ==- C. π2,6ωϕ== D. π2,6ωϕ==-【测量目标】三角函数的图象、由图象求解析式.【考查方式】先求出周期，然后求出ω，由（0,1）确定ϕ. 【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】π2T ω=∴= ,由五点作图法知ππ232ϕ⨯+=，ϕ= π6-. 7. 已知0x >，0y >，228x y xy ++=，则2x y +的最小值是 ( ) A. 3B. 4C.92D.112【测量目标】基本不等式求最值.【考查方式】根据基本不等式性质逐步推导求出结果. 【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】2228(2)82x y x y x y +⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭≥，整理得()()2242320x y x y +++-≥ 即()()24280x y x y +-++≥，又02>+y x ，24x y ∴+≥8.直线3y x =+D的圆,([0,2π))1x y θθθ⎧=⎪∈⎨=⎪⎩交于A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为 ( ) A.7π6 B. 5π4C.4π3D.5π3【测量目标】圆的参数方程；直线的倾斜角.【考查方式】画出圆的图象与直线的图象，再利用圆的性质建立2个倾斜角的等量关系，化简求出结果.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】数形结合301-=∠α，230πβ∠=+-由圆的性质可知21∠=∠,3030παβ∴-=+- 故=+βα4π3第8题图9. 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有 ( )A. 504种B. 960种C. 1008种D. 1108种【测量目标】排列、组合的实际应用.【考查方式】针对实际问题运用分类原理的相关性质求解得出结果. 【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】分两类：甲乙排1、2号或6、7号共有2142442A A A ⨯种方法甲乙排中间,丙排7号或不排7号，共有24113243334A (A A A A )+种方法,故共有1008种不同的排法.10. 到两互相垂直的异面的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是A. 直线B. 椭圆C. 抛物线D. 双曲线【测量目标】抛物线的定义；双曲线的标准方程. 【考查方式】根据题意采用排除法逐个排除得到结果. 【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】排除轨迹是轴对称图形，排除A 、C ，轨迹与已知直线不能有交点，排除B. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上． 11. 已知复数1i z =+，则2z z-=____________．【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】把1i z =+代入化简计算得到结果. 【难易程度】容易【参考答案】2i - 【试题解析】21i 1i 1i 2i 1i--=---=-+. 12. 设{0,1,2,3}U =，2{|0}A x U x mx =∈+=，若{1,2}U A =ð，则实数m =________．【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】由题意分析得到A 点坐标，进而求出m 值. 【难易程度】容易【参考答案】3-【试题解析】 {1,2}U A =ð,∴{}0,3A =,故3m =-. 13. 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至少命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为____________．【测量目标】互斥事件的概率.【考查方式】根据互斥事件的性质求出结果. 【难易程度】容易【参考答案】35【试题解析】由251612=-p 得53=p 14. 已知以F 为焦点的抛物线24y x =上的两点A 、B 满足3AF FB =，则弦AB 的中点到准线的距离为____________．【测量目标】抛物线的简单几何性质；点到直线的距离公式；抛物线的定义.【考查方式】先求出1AA 和1BB ，进而判断出直线AB 斜率求出方程，联立方程求得结果.【难易程度】容易【参考答案】83【试题解析】设BF m =,由抛物线的定义知m BB m AA ==11,3ABC ∴△中，AC =2m ,AB =4m ,3=AB k （步骤1）直线AB 方程为)1(3-=x y ,与抛物线方程联立消y 得031032=+-x x 所以AB 中点到准线距离为381351221=+=++x x . （步骤2）第14题图15. 已知函数()f x 满足：1(1)4f =，4()()()(),(,)f x f y f x y f x y x y =++-∈R ，则(2010)f =____________．【测量目标】函数的周期性；抽象函数及其应用.【考查方式】先推理函数周期性，然后根据周期性求出结果. 【难易程度】容易【参考答案】12【试题解析】取1,0x y ==得21)0(=f （步骤1）法一：通过计算(2),(3),(4),f f f …，寻得周期为6 （步骤2）法二：取,1,x n y ==有()(1)(1)f n f n f n =++-, 同理(1)(2)()f n f n f n +=++（步骤3）联立得(2)(1)f n f n +=--所以6T =故()12010(0)2f f ==. （步骤4）三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16. (本小题满分13分，(Ⅰ)小问7分，(Ⅱ)小问6分．) 设函数22()cos(π)2cos ,32xf x x x =++∈R ．(Ⅰ) 求()f x 的值域；(Ⅱ) 记ABC △的内角A B C 、、的对边长分别为a b c 、、，若()1f B =，1b =，c =a 的值．【测量目标】三角函数的定义域、值域；正弦定理；余弦定理.【考查方式】化简求出()f x 最简式，然后求出值域；利用余弦定理求解. 【难易程度】中等【试题解析】(Ⅰ) 22()cos(π)2cos ,32xf x x x =++∈R =22()cos cosπsin sin πcos 133f x x x x =-++=1cos cos 12x x x -++=1cos 12x x +=5πsin()16x ++ （步骤1）因此()f x 的值域为[0,2]. （步骤2）(Ⅱ)由()1f B =得5πsin()116B ++=，即5πsin()06B +=，又因为0πB <<，故π6B =. （步骤3）解法一：余弦定理2222cos b a c ac B =+-得2320a a -+=，解得1a =或2.（步骤4）解法二：由正弦定理sin sin b c B C =，得πsin 23C C ==或2π3. （步骤5）当π3C =时，π2A =，从而2a ==；（步骤6）当2π3C =时，π6A =,又π6B =，从而1a b ==. （步骤7）17. (本小题满分13分，(Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问8分．)在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读传讲”赛出活动中，每个单位的节目集中安排在一起．若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，…，6），求：(Ⅰ) 甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； (Ⅱ) 甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望．【测量目标】排列、组合及其应用；离散型随机分布列和期望.【考查方式】根据等可能事件的概率公式求出结果；根据对立事件性质求出结果. 【难易程度】中等【试题解析】(Ⅰ)只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数. 设A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则A 表示“甲、乙的序号均为偶数”，由等可能事件的概率计算公式得()()2326C 14111C 55P A P A =-=-=-=. （步骤1）(Ⅱ)ξ的所有可能值为0，1, 2, 3, 4，且()26510C 3P ξ===,()26441C 15P ξ===,()26312C 5P ξ===, ()26223C 15P ξ===,()26114C 15P ξ===. （步骤2）从而知ξ有分布列所以01234315515153E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（步骤3） 18. (本小题满分13分，(Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问8分．)已知函数1()ln(1)x f x x x a-=+++，其中实数1a ≠-.(Ⅰ) 若2a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (Ⅱ) 若()f x 在1x =处取得极值，试讨论()f x 的单调性．【测量目标】利用导数判断函数的单调性；导数的几何意义.【考查方式】根据导数在点(0,(0))f 处值求出切线方程；先求出a 值，然后利用导数研究单调性.【难易程度】中等【试题解析】 (Ⅰ)()22(1)111=()1()1x a x a f x x a x x a x +--+'+=+++++.（步骤1）当2a =时，()221170(02)014f +'=+=++，而()102f =-，（步骤2）因此曲线()y f x =在点(0,(0)f 处的切线方程为17()(0)24y x --=- ，即7420x y --=. （步骤3）(Ⅱ)因1a ≠-，由(Ⅰ)知()2111(1)11a f a +'=+++,又因()f x 在1x =处取得极值，所以()10f '=，（步骤4）即11012a +=+，解得3a =-. （步骤5）此时()1ln(1)3x f x x x -=++-，其定义域为(1,3)(3,)-+∞ ，且()2221(1)(7)(3)1(3)(1)x x f x x x x x ---'=+=-+-+，由()0f x '=得11x =，27x =. （步骤6）当11x -<<或7x >时，()0f x '>；当17x <<且3x ≠时，()0f x '<. （步骤7）综上所述，()f x 在区间(1,1]-,[7,)+∞上是增函数，在区间[1,3)，(3,7]上是减函数.（步骤8）19. (本小题满分12分，(Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分．)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB E 是棱PB 的中点．(Ⅰ) 求直线AD 与平面PBC 的距离；(Ⅱ) 若AD A －EC －D 的平面角的余弦值．第19题图【测量目标】线面垂直的判定；点、线、面间的距离计算；二面角；空间直角坐标系. 【考查方式】先证线面垂直然后求出距离；根据法向量求出二面角余弦值. 【难易程度】中等【试题解析】解法一：(Ⅰ) 如图1 ，在矩形ABCD 中，//AD BC ，从而//AD 平面PBC ，故直线AD 与平面PBC 的距离为点A 到平面PBC 的距离. （步骤1）因⊥PA 底面ABCD ，故P A A B ⊥，由AB PA =知PAB △为等腰直角三角形，又点E 是棱PB 中点，故PB AE ⊥. （步骤2）又在矩形ABCD 中，AB BC ⊥，而AB 是PB 在底面ABCD 内的射影，由三垂线定理得PB BC ⊥，从而⊥BC 平面PAB ，（步骤3）故AE BC ⊥.从而⊥AE 平面PBC ，故AE 之长即为直线AD 与平面PBC 的距离（步骤4）在Rt PAB △中，PA PB ==12AE PB ===（步骤6）第19题图1(Ⅱ)过点D 作CE DF ⊥，交CE 于F ，过F 点作CE FG ⊥，交AC 于G ，则DFG ∠为所求的二面角的平面角.由（Ⅰ）知⊥BC 平面PAB ，又AD BC ，得⊥AD 平面PAB ，故AE AD ⊥，从而622=+=AD AE DE .（步骤7）在Rt CBE △中，622=+=BC BE CE .由6=CD ，所以CDE △为等边三角形，故F 为CE 的中点，且πsin32DF CD ==. （步骤8）因为⊥AE 平面PBC ，故CE AE ⊥，又CE FG ⊥，知12FG A E ，从而23=FG ，且G 点为AC 的中点. （步骤9）连接DG ，则在Rt ADC △中，23212122=+==CD AD AC DG .所以222cos 2DF FG DG DFG DF FG +-∠== （步骤10）解法二：（Ⅰ）如图2，以A 为坐标原点，射线AB 、AD 、AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴正半轴，建立空间直角坐标系xyz A -. （步骤11）设)0,,0(a D ，则)0,,6(),0,0,6(a C B ，)26,0,26(),6,0,0(E P . 因此)6,0,6(),0,,0(),26,0,26(-===a ，则0,0AE BC AE PC == ，所以⊥AE 平面PBC .又由BC AD //知//AD 平面PBC ，故直线AD 与平面PBC 的距离为点A 到平面PBC 的距离，即为3||=. （步骤12）第19题图2（Ⅱ）因为3||=，则)0,3,6(),0,3,0(C D . 设平面AEC 的法向量1111(,,)x y z =n ，则110,0AC AE ==n n .又)26,0,26(),0,3,6(==，故⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,02626,0361111z x y x （步骤13） DEC 所以1111,2x z x y -=-=. 可取21-=z，则(=n .设平面的法向量2222(,,)x y z =n ，则220,0DC DE ==n n .又)26,3,26(),0,0,6(-==，故222200x x z =⎧-= 所以2222,0y z x ==. 可取12=y，则2(0,1=n .故121212cos ,||||==n n n n n n （步骤14）所以二面角D EC A --的平面角的余弦值为36. （步骤15） 20. (本小题满分12分，(Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分．)已知以原点O为中心，F 为右焦点的双曲线C的离心率e =（Ⅰ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；（Ⅱ）如图，已知过点11(,)M x y 的直线1l ：1144x x y y +=与过点22(,)N x y （其中21x x ≠）的直线2l ：2244x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与双曲线的两条渐近线分别交于G 、H 两点，求OGH △的面积．第20题图【测量目标】双曲线的标准方程；双曲线的简单几何性质.【考查方式】设出标准方程，根据已知条件求出未知参数；根据直线方程联立求出面积.【难易程度】较难【试题解析】（I ）设C 的标准方程是)0,0(12222>>=-b a by a x ，(步骤1) 则由题意.25,5===a c e c 因此,1,222=-==a c b a C 的标准方程为.1422=-y x （步骤2） C 的渐近线方程为,21x y ±=即02=-y x 和02=+y x .（步骤3）（II ）解法一：由题意点),(E E y x E 在直线111:44l x x y y +=和44:122=+y y x x l 上，因此有E E E x x y y x x 211,44=+442=+E y y （步骤4）设G 、H 分别是直线MN 与渐近线02=-y x 及02=+y x 的交点，由方程组44,20E E x x y y x y +=⎧⎨-=⎩及44,20,E E x x y y x y +=⎧⎨+=⎩解得4,22,2G E E G E E x x y y x y ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩42.22H E E H E E x x y y x y ⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩ （步骤5）解得22,22G H E E E Ey y x y x y ==-+-设MN 与x 轴的交点为Q ，则在直线44E E x x y y +=中，令0y =得4Q E x x =（易知0E x ≠）.注意到2244E E x y -= 得：1411222OGH G H E E E E ES OQ y y x x y x y =-=++- △ =222424EE E Ex x x y =- .解法二：设),(E E y x E ，由方程组得⎩⎨⎧=+=+,44,442211yy x x y y x x （步骤6）解得,,)(4122121122112y x y x x x y y x y x y y x E E --=--=（步骤7）因21x x ≠，则直线MN 的斜率21214EEy y x k x x y -==--.故直线MN 的方程为11()4EEx y y x x y -=--，注意到1144x x y y +=，因此直线MN 的方程为44E E x x y y +=.下同解法一. （步骤8）21. (本小题满分12分，(Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分．)在数列{}n a 中，11a =，1*1(21),()n n n a ca c n n ++=++∈N 其中实数0c ≠．(Ⅰ) 求{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 若对一切*k ∈N 有221k k a a ->，求c 的取值范围．【测量目标】数学归纳法.【考查方式】根据归纳法求出通项公式；分类讨论求出c 的取值范围．【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)解法一：由11a =，22222133(21)a ca c c c c c =+=+=-+ . 3322323258(31)a ca c c c c c =+=+=-+ ,44324343715(41)a ca c c c c c =+=+=-+ ,猜测21*(1),n n n a n c c n -=-+∈N .下面用数学归纳法证明.当1n =时，等式成立；假设当n k =时，即21(1)k k k a k c c -=-+，（步骤1）则当1n k =+时，12111(21)(1)(21)k k k k k k a ca c k c k c c c k +-++⎡⎤=++=-+++⎣⎦21(2)k k k k c c +=++21(1)1k k k c c +⎡⎤=+-+⎣⎦. 综上，21(1)n n n a n c c -=-+对任何*n ∈N 都成立. （步骤2）解法二：由原式得11(21)n n n n a a n c c++=++. （步骤3）令n n n a b c =，则11b c =，1(21)n n b b n +=++，因此对n 2…有 112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+…1(21)(23)3n n c =-+-+++…=211n c-+，因此21(1)n n n a n c c -=-+，2n ….又当1n =时上式成立，所以21*(1),n n n a n c c n -=-+∈N . （步骤4）(Ⅱ)解法一：由221k k a a ->，得222122122(2)1(21)1k k k k k c c k c c ---⎡⎤⎡⎤-+>--+⎣⎦⎣⎦，因022>-k c ，所以01)144()14(222>-----c k k c k . （步骤5）解此不等式得：对一切k *∈N ，有k c c >或k c c '<，其中 )14(2)14(4)144()144(22222--+--+--=k k k k k k c k ，k c '=. （步骤6）易知1lim =∞→k k c ，又由144)14(4)14()14(4)144(2222222+=+-+-<-+--k k k k k k ，知12848)14(214)144(22222<--=-++--<k k k k k k k c k ，因此由k c c >对一切k *∈N 成立得1c …. （步骤7）又0k c '=<，易知k c '单调递增，故1k c c ''…对一切k *∈N 成立，因此由k c c '<对一切k *∈N 成立得116c c +'<=-从而c 的取值范围为),1[)6131,(+∞+--∞ . （步骤8）解法二：由122->k k a a ，得221221222]1)12[(]1)2[(---+-->+-k k k k c c k c c k ，因022>-k c ，所以014)(4222>-+-+-c c ck k c c 对k *∈N 恒成立.（步骤9）记14)(4)(222-+-+-=c c cx x c c x f ，下分三种情况讨论.（ⅰ）当02=-c c 即0=c 或1=c 时，代入验证可知只有1=c 满足要求. （ⅱ）当02<-c c 时，抛物线)(x f y =开口向下，因此当正整数k 充分大时，0)(<x f不符合题意，此时无解.（ⅲ）当02>-c c 即0<c 或1>c 时，抛物线)(x f y =开口向上，其对称轴 )1(21c x -=必在直线1=x 的左边. 因此，)(x f 在),1[+∞上是增函数. 所以要使0)(>k f 对k *∈N 恒成立，只需0)1(>f 即可.（步骤10）由013)1(2>-+=c c f 解得6131--<c 或6131+->c . 结合0<c 或1>c 得6131+-<c 或1>c .综合以上三种情况，c 的取值范围为),1[)6131,(+∞+--∞ （步骤11）。

2010年高考数学(理)试题(新课标)参考答案

1 2
3 。 2
（Ⅱ） C1 的普通方程为 x sin α − y cos α − sin α = 0。 A 点坐标为 sin
(
2
α − cos α sin α ) ，
故当 α 变化时，P 点轨迹的参数方程为：
1 2 sin α x = 2 (α为参数 ) 1 y = − sin α cos α 2
1 1 2 x− + y = 4 16 。 P 点轨迹的普通方程为
2
0 ，半径为故 P 点轨迹是圆心为，
（24）解：
1 4

1 的圆。 4
−2 x + 5，x < 2 f ( x) = 2 x − 3，x ≥ 2 则函数（Ⅰ）由于
y = f ( x) 的图像如图所示。
3 3
3 ,0,0) 3
D(0, −
3 1 3 , 0), E ( , − , 0), P(0, 0,1) 3 2 6
设 n = ( x, y, x) 为平面 PEH 的法向量
则
n ⋅ HE = o, o, n ⋅ HP =
1 x− 3 y= 2 6 0 即 z=0
因此可以取 n = (1, 3, 0) ，由= PA (1, 0, −1) ，
（Ⅱ）由函数 y = f ( x) 与函数 y = ax 的图像可知，当且仅当
a≥
1 2 或 a < −2 时，函数
-5-
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y = f ( x) 与函数 y = ax 的图像有交点。故不等式 f ( x) ≤ ax 的解集非空时，a 的取值范围
为
− 2) ( −∞，，
1 + ∞ 2 。

2010年重庆市高考数学试卷(理科)及答案

2010年重庆市高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）在等比数列{a n}中，a2010=8a2007，则公比q的值为（）A．2 B．3 C．4 D．82．（5分）已知向量，满足•=0，||=1，||=2，则|2﹣|=（）A．0 B．C．4 D．83．（5分）=（）A．﹣1 B．﹣ C．D．14．（5分）设变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．﹣2 B．4 C．6 D．85．（5分）函数f（x）=的图象（）A．关于原点对称B．关于直线y=x对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称6．（5分）已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则（）A．ω=1，φ= B．ω=1，φ=﹣C．ω=2，φ= D．ω=2，φ=﹣7．（5分）已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）A．3 B．4 C．D．8．（5分）直线y=与圆心为D的圆（θ∈[0，2π））交与A、B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为（）A．B．C．D．9．（5分）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（）A．504种B．960种C．1008种D．1108种10．（5分）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（）A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）已知复数z=1+i，则=．12．（5分）设U={0，1，2，3}，A={x∈U|x2+mx=0}，若∁U A={1，2}，则实数m=．13．（5分）某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为．14．（5分）已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为．15．（5分）已知函数f（x）满足：，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x﹣y）（x，y∈R），则f（2010）=．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（13分）设函数f（x）=cos（x+π）+2cos2，x∈R．（1）求f（x）的值域；（2）记△ABC内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若f（B）=1，b=1，c=，求a的值．17．（13分）在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起．若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，…，6），求：（Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率；（Ⅱ）甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率．18．（13分）已知函数，其中实数a≠1．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若f（x）在x=1处取得极值，试讨论f（x）的单调性．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=，点E是棱PB的中点．（1）求直线AD与平面PBC的距离；（2）若AD=，求二面角A﹣EC﹣D的平面角的余弦值．20．（12分）已知以原点O为中心，为右焦点的双曲线C的离心率．（1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；（2）如图，已知过点M（x1，y1）的直线l1：x1x+4y1y=4与过点N（x2，y2）（其中x2≠x1）的直线l2：x2x+4y2y=4的交点E在双曲线C上，直线MN与两条渐近线分别交与G、H两点，求△OGH的面积．21．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=ca n+c n+1（2n+1）（n∈N*），其中实数c ≠0．（1）求{a n}的通项公式；（2）若对一切k∈N*有a2k＞a zk﹣1，求c的取值范围．2010年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2010•重庆）在等比数列{a n}中，a2010=8a2007，则公比q的值为（）A．2 B．3 C．4 D．8【分析】利用等比数列的通项公式，分别表示出a2010和a2007，两式相除即可求得q3，进而求得q．【解答】解：∴q=2故选A2．（5分）（2010•重庆）已知向量，满足•=0，||=1，||=2，则|2﹣|=（）A．0 B．C．4 D．8【分析】利用题中条件，把所求|2|平方再开方即可【解答】解：∵=0，||=1，||=2，∴|2|====2故选B．3．（5分）（2010•重庆）=（）A．﹣1 B．﹣ C．D．1【分析】先进行通分，然后消除零因子，可以把简化为，由此可得答案．【解答】解：===﹣，故选B．4．（5分）（2010•重庆）设变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．﹣2 B．4 C．6 D．8【分析】先根据约束条件画出可行域，利用几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y 过点B时，z最大值即可．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，设z=2x+y，∵直线z=2x+y过可行域内B（3，0）的时候z最大，最大值为6，故选C．5．（5分）（2010•重庆）函数f（x）=的图象（）A．关于原点对称B．关于直线y=x对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称【分析】题设条件用意不明显，本题解题方法应从选项中突破，由于四个选项中有两个选项是与奇偶性有关的，故先验证奇偶性较好，【解答】解：，∴f（x）是偶函数，图象关于y轴对称故选D．6．（5分）（2010•重庆）已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则（）A．ω=1，φ= B．ω=1，φ=﹣C．ω=2，φ= D．ω=2，φ=﹣【分析】通过图象求出函数的周期，再求出ω，由（，1）确定φ，推出选项．【解答】解：由图象可知：T==π，∴ω=2；（，1）在图象上，所以2×+φ=，φ=﹣．故选D．7．（5分）（2010•重庆）已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）A．3 B．4 C．D．【分析】首先分析题目由已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用代入已知条件，化简为函数求最值．【解答】解：考察基本不等式，整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，所以x+2y≥4故选B．8．（5分）（2010•重庆）直线y=与圆心为D的圆（θ∈[0，2π））交与A、B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为（）A．B．C．D．【分析】根据题目条件画出圆的图象与直线的图象，再利用圆的性质建立两个倾斜角的等量关系，化简整理即可求出．【解答】解：数形结合，∠1=α﹣30°，∠2=30°+π﹣β，由圆的性质可知∠1=∠2，∴α﹣30°=30°+π﹣β，故α+β=，故选C．9．（5分）（2010•重庆）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（）A．504种B．960种C．1008种D．1108种【分析】本题的要求比较多，有三个限制条件，甲、乙排在相邻两天可以把甲和乙看做一个元素，注意两者之间有一个排列，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则可以甲乙排1、2号或6、7号，或是甲乙排中间，丙排7号或不排7号，根据分类原理得到结果．【解答】解：分两类：第一类：甲乙相邻排1、2号或6、7号，这时先排甲和乙，有2×种，然后排丁，有种，剩下其他四个人全排列有种，因此共有2×A22A41A44=384种方法第二类：甲乙相邻排中间，若丙排7号，先排甲和乙，因为相邻且在中间，则有4×种，然后丙在7号，剩下四个人全排列有种，若丙不排7号，先排甲和乙，因为相邻且在中间，则有4×种，然后排丙，丙不再1号和7号，有种，接着排丁，丁不排在10月7日，有种，剩下3个人全排列，有种，因此共有（4A22A44+4A22A31A31A33）=624种方法，故共有1008种不同的排法故选C．10．（5分）（2010•重庆）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（）A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线【分析】先做出两条异面直线的公垂线，以其中一条直线为x轴，公垂线与x轴交点为原点，公垂线所在直线为z轴，过x且垂直于公垂线的平面为xoy平面，建立空间直角坐标系，则两条异面直线的方程可得，设空间内任意点设它的坐标是（x，y，z）根据它到两条异面直线的距离相等，求得z的表达式，把z=0和z=a代入即可求得x和y的关系，根据其方程判断轨迹．【解答】解：先做出两条异面直线的公垂线，以其中一条直线为x轴，公垂线与x轴交点为原点，公垂线所在直线为z轴，过x且垂直于公垂线的平面为xoy平面，建立空间直角坐标系，则两条异面直线的方程就分别是y=0，z=0 和x=0，z=a（a是两异面直线公垂线长度，是个常数）空间内任意点设它的坐标是（x，y，z）那么由已知，它到两条异面直线的距离相等，即=两边平方，化简可得z=（y2﹣x2+a2）过一条直线且平行于另一条直线的平面是z=0和z=a分别代入所得式子z=0时代入可以得到y2﹣x2=﹣a2，图形是个双曲线z=a时代入可以得到y2﹣x2=a2，图形也是个双曲线故选D二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2010•重庆）已知复数z=1+i，则=﹣2i．【分析】把复数z=1+I代入要求的式子，应用复数相除的法则化简得到结果．【解答】解：=，故答案为﹣2i．12．（5分）（2010•重庆）设U={0，1，2，3}，A={x∈U|x2+mx=0}，若∁U A={1，2}，则实数m=﹣3．【分析】由题意分析，得到A={0，3}，后由根与系数直接间的关系求出m的值【解答】解；∵U={0，1，2，3}、∁U A={1，2}，∴A={0，3}，∴0、3是方程x2+mx=0的两个根，∴0+3=﹣m，∴m=﹣3，故答案为：﹣3．13．（5分）（2010•重庆）某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为．【分析】在两次罚球中至多命中一次的对立事件是两次都命中，设出命中的概率P，由对立事件的概率公式列出方程，求出命中一次的概率．【解答】解：设罚球的命中的概率为P，由两次罚球中至多命中一次的概率为，得∴，故答案为：．14．（5分）（2010•重庆）已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为．【分析】设BF=m，由抛物线的定义知AA1和BB1，进而可推断出AC和AB，及直线AB的斜率，则直线AB的方程可得，与抛物线方程联立消去y，进而跟韦达定理求得x1+x2的值，则根据抛物线的定义求得弦AB的中点到准线的距离．【解答】解：设BF=m，由抛物线的定义知AA1=3m，BB1=m∴△ABC中，AC=2m，AB=4m，直线AB方程为与抛物线方程联立消y得3x2﹣10x+3=0所以AB中点到准线距离为故答案为15．（5分）（2010•重庆）已知函数f（x）满足：，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x﹣y）（x，y∈R），则f（2010）=．【分析】由于题目问的是f（2010），项数较大，故马上判断函数势必是周期函数，所以集中精力找周期即可；周期的寻找方法可以是不完全归纳推理出，也可以是演绎推理得出．【解答】解：取x=1，y=0得法一：根据已知知取x=1，y=1得f（2）=﹣取x=2，y=1得f（3）=﹣取x=2，y=2得f（4）=﹣取x=3，y=2得f（5）=取x=3，y=3得f（6）=猜想得周期为6法二：取x=1，y=0得取x=n，y=1，有f（n）=f（n+1）+f（n﹣1），同理f（n+1）=f（n+2）+f（n）联立得f（n+2）=﹣f（n﹣1）所以f（n）=﹣f（n+3）=f（n+6）所以函数是周期函数，周期T=6，故f（2010）=f（0）=故答案为：．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（13分）（2010•重庆）设函数f（x）=cos（x+π）+2cos2，x∈R．（1）求f（x）的值域；（2）记△ABC内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若f（B）=1，b=1，c=，求a的值．【分析】（I）将f（x）=cos（x+π）+2化简，变形后可以用三角函数的有界性求值域．（II）由f（B）=1 求出∠B，利用余弦定理建立关于a的方程求出a．【解答】解：（I）f（x）=cos（x+π）+2=cosxcosπ﹣sinxsinπ+cosx+1=﹣cosx﹣sinx+cosx+1=cosx﹣sinx+1=sin（x+）+1因此函数f（x）的值域为[0，2]（II）由f（B）=1 得sin（B+）+1=1，即sin（B+）=0，即B+=0或π，B=或﹣又B是三角形的内角，所以B=由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB即1=a2+3﹣3a，整理a2﹣3a+2=0解得a=1或a=2答：（I）函数f（x）的值域为[0，2]（II）a=1或a=217．（13分）（2010•重庆）在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起．若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，…，6），求：（Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率；（Ⅱ）甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率．【分析】（1）考虑甲和乙两个单位的排列，甲、乙两个单位可能排列在6个位置中的任两个，有A62=30种等可能的结果，满足条件的事件是甲和乙的演出序号都是偶数，根据等可能事件的概率公式得到结果．（2）考虑甲和乙两个单位的排列，甲、乙两个单位可能排列在6个位置中的任两个，有A62=30种等可能的结果，甲和乙两个单位的演出序号不相邻，的对立事件是甲和乙两个单位的演出序号相邻，根据对立事件的概率公式得到结果．【解答】解：（1）考虑甲和乙两个单位的排列，甲、乙两个单位可能排列在6个位置中的任两个，有A62=30种等可能的结果，设A表示甲和乙的演出序号都是偶数，共有A32=6种结果，∴所求的概率P（A）==（2）考虑甲和乙两个单位的排列，甲、乙两个单位可能排列在6个位置中的任两个，有A62=30种等可能的结果，设B表示甲和乙两个单位的演出序号不相邻，则表示甲和乙两个单位的演出序号相邻，共有5A22=10种结果∴P（B）=1﹣P（）=1﹣=．18．（13分）（2010•重庆）已知函数，其中实数a≠1．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若f（x）在x=1处取得极值，试讨论f（x）的单调性．【分析】首先求出函数的导数及在点f（0）处的值，然后求出在该点的切线方程，第二问根据函数的导数与极值的关系求出a的值，然后根据函数的导数与单调性的关系讨论函数的单调性．【解答】解：（1）=，当a=2时，f′（0）=，而f（0）=﹣，所以曲线在点（0，f（0））处的切线方程为：y﹣（﹣）=（x﹣0），即7x﹣4y ﹣2=0．（2）因为a≠1，由（1）可知=；又因为f（x）在x=1处取得极值，所以，解得a=﹣3；此时，定义域（﹣1，3）∪（3，+∞）；=，由f′（x）=0得x1=1，x2=7，当﹣1＜x＜1或x＞7时f′（x）＞0；当1＜x＜7且x≠3时f′（x）＜0；由上讨论可知f（x）在（﹣1，1]，[7，+∞）时是增函数，在[1，3），（3，7]上是减函数．19．（12分）（2010•重庆）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=，点E是棱PB的中点．（1）求直线AD与平面PBC的距离；（2）若AD=，求二面角A﹣EC﹣D的平面角的余弦值．【分析】（1）先根据AD∥BC，推断出AD∥平面PBC，进而可知直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离，根据PA⊥底面ABCD，判断出PA⊥AB，知△PAB为等腰直角三角形，又点E是棱PB的中点，进而可知AE⊥PB，又在矩形ABCD中，BC⊥AB，而AB是PB的底面ABCD内的射影，由三垂线定理得BC ⊥PB，从而BC⊥平面PAB，故BC⊥AE，从而AE⊥平面PBC，进而可推断出AE 之长即为直线AD与平面PBC的距离．Rt△PAB中，根据PA和AB求得AE．（2）过点D作DF⊥CE，过点F做FG⊥CE，交AC于G，则∠DFG为所求的二面角的平面角．由（1）知BC⊥平面PAB，又AD∥BC，得AD⊥平面PAB，故AD⊥AE，从而求得DE在Rt△CBE中，利用勾股定理求得CE，进而可知CE=CD推断出△CDE为等边三角形，求得DF，因为AE⊥平面PBC，故AE⊥CE，又FG⊥CE，知FG平行且等于AE的一半，从而求得FG，且G点为AC的中点，连接DG，则在Rt△ADC中，求得DG，最后利用余弦定理求得答案．【解答】解：（1）在矩形ABCD中，AD∥BC，从而AD∥平面PBC，故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离，因PA⊥底面ABCD，故PA⊥AB，知△PAB为等腰直角三角形，又点E是棱PB的中点，故AE⊥PB，又在矩形ABCD中，BC⊥AB，而AB是PB 的底面ABCD内的射影，由三垂线定理得BC⊥PB，从而BC⊥平面PAB，故BC⊥AE，从而AE⊥平面PBC，故AE之长即为直线AD与平面PBC的距离，在Rt△PAB中，PA=AB=，所以AE=PB==（2）过点D作DF⊥CE于F，过点F做FG⊥CE，交AC于G，则∠DFG为所求的二面角的平面角．由（1）知BC⊥平面PAB，又AD∥BC，得AD⊥平面PAB，故AD⊥AE，从而DE==在Rt△CBE中，CE==，由CD=，所以△CDE为等边三角形，故F为CE的中点，且DF=CD•sin=因为AE⊥平面PBC，故AE⊥CE，又FG⊥CE，知FG∥AE．且FG=AE，从而FG=，且G点为AC的中点，连接DG，则在Rt△ADC中，DG==，所以cos∠DFG==20．（12分）（2010•重庆）已知以原点O为中心，为右焦点的双曲线C的离心率．（1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；（2）如图，已知过点M（x1，y1）的直线l1：x1x+4y1y=4与过点N（x2，y2）（其中x2≠x1）的直线l2：x2x+4y2y=4的交点E在双曲线C上，直线MN与两条渐近线分别交与G、H两点，求△OGH的面积．【分析】（1）设C的标准方程为（a＞0，b＞0），由题意知a=2，b=1，由此可求出C的标准方程和渐近线方程．（2）由题意知，点E（x E，y E）在直线l1：x1x+4y1y=4和l2：x2x+4y2y=4上，因此直线MN的方程为x E x+4y E y=4．设G，H分别是直线MN与渐近线x﹣2y=0及x+2y=0的交点，则，设MN与x轴的交战为Q，则，由此可求△OGH的面积．【解答】解：（1）设C的标准方程为（a＞0，b＞0），则由题意知，，∴a=2，b=1，∴C的标准方程为．∴C的渐近线方程为，即x﹣2y=0和x+2y=0．（2）由题意知，点E（x E，y E）在直线l1：x1x+4y1y=4和l2：x2x+4y2y=4上，因此有x E x+4y E y=4上，因此直线MN的方程为x E x+4y E y=4．设G，H分别是直线MN与渐近线x﹣2y=0及x+2y=0的交点，由方程组及，解得，设MN与x轴的交点为Q，则在直线x E x+4y E y=4k，令y=0得，∵x E2﹣4y E2=4，∴==．21．（12分）（2010•重庆）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=ca n+c n+1（2n+1）（n∈N*），其中实数c≠0．（1）求{a n}的通项公式；（2）若对一切k∈N*有a2k＞a zk﹣1，求c的取值范围．【分析】（1）根据a1，a2和a3猜测a n=（n2﹣1）c n+c n﹣1，进而用数学归纳法证明．（2）把（1）中求得的a n代入a2k＞a zk﹣1，整理得（4k2﹣1）c2﹣（4k2﹣4k﹣1）c﹣1＞0，分别表示c k和又c k'，根据c k＜＜1求得c≥1，再根据c k'＜0，判断出单调递增知c k'≥c1'求得＜﹣，最后综合答案可得．【解答】解：（1）由a1=1，a2=ca1+c23=（22﹣1）c2+ca3=ca2+c3•5=（32﹣1）c3+c2，猜测a n=（n2﹣1）c n+c n﹣1，下面用数学归纳法证明，当n=1是，等式成立假设当n=k，等式成立即a k=（k2﹣1）c k+c k﹣1，则当n=k+1时a k=ca k+c k+1（2k+1）=（k2+2k）c k+1+c k=[（k+1）2﹣1]c k+1+c k，+1综上a n=（n2﹣1）c n+c n﹣1，对任意n∈N都成立．（2）由a2k＞a zk﹣1得[（2k）2﹣1]c2k+c2k﹣1＞[（2k﹣1）2﹣1]c2k﹣1+c2k﹣2，因c2k﹣2＞0，所以（4k2﹣1）c2﹣（4k2﹣4k﹣1）c﹣1＞0解此不等式得c＞c k，或c＜c k'，其中c k=c k'=易知c k=1又由＜=4k2+1，知c k＜＜1因此由c＞c k对一切k∈N成立得c≥1又c k'=＜0，可知单调递增，故c k'≥c1'对一切k∈N*成立，因此由c＜c k'对一切k∈N*成立得c＜﹣从而c的取值范围是（﹣∞，﹣）∪[1，+∞]。

2010年高考理科数学试题(重庆卷)

绝密*启用前解密时间：2010年6月7日 17:00 [ 考试时间：6月7日15:00—17:00]2010年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）数学试题卷（理工农医类）共4页，满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名和考生号、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．答非选择题时必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）在等比数列{}n a 中，201020078a a = ，则公比q 的值为A. 2B. 3C. 4D. 8(2) 已知向量a ，b 满足0,1,2,a b a b ∙===，则2a b -=A. 0B.C. 4D. 8（3）2241lim 42x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭= A. —1 B. —14 C. 14 D. 1 （4）设变量x ，y 满足约束条件01030y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则z=2x+y 的最大值为A.—2B. 4C. 6D. 8(5) 函数()412x x f x +=的图象 A. 关于原点对称 B. 关于直线y=x 对称 C. 关于x 轴对称 D. 关于y 轴对称（6）已知函数()sin (0,)2y x πωϕωϕ=+><的部分图象如题（6）图所示，则 A. ω=1 ϕ= 6π B. ω=1 ϕ=- 6π C. ω=2 ϕ= 6π D. ω=2 ϕ= -6π（7）已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是A. 3B. 4C. 92D. 112(8) 直线y=3x D的圆,1x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩())0,2θπ⎡∈⎣交与A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为A. 76πB. 54πC. 43π D. 53π (9)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙部排在10月1日，也不排在10月7日，则不同的安排方案共有A. 504种B. 960种C. 1008种D. 1108种（10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是A. 直线B. 椭圆C. 抛物线D. 双曲线二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡的相应位置上。

2010年重庆市高考数学试卷(理科)

2010年重庆市高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2010•重庆）在等比数列{a n}中，a2010=8a2007，则公比q的值为（）A．2 B．3 C．4 D．82．（5分）（2010•重庆）已知向量，满足•=0，||=1，||=2，则|2﹣|=（）A．0 B． C．4 D．83．（5分）（2010•重庆）=（）A．﹣1 B．﹣C．D．14．（5分）（2010•重庆）设变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．﹣2 B．4 C．6 D．85．（5分）（2010•重庆）函数的图象（）A．关于原点对称 B．关于直线y=x对称C．关于x轴对称 D．关于y轴对称6．（5分）（2010•重庆）已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则（）A．ω=1，φ=B．ω=1，φ=﹣C．ω=2，φ=D．ω=2，φ=﹣7．（5分）（2010•重庆）已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）A．3 B．4 C．D．8．（5分）（2010•重庆）直线y=与圆心为D的圆（θ∈[0，2π））交与A、B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为（）A． B． C． D．9．（5分）（2010•重庆）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（）A．504种B．960种C．1008种D．1108种10．（5分）（2010•重庆）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（）A．直线 B．椭圆 C．抛物线D．双曲线二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2010•重庆）已知复数z=1+i，则=．12．（5分）（2010•重庆）设U={0，1，2，3}，A={x∈U|x2+mx=0}，若∁U A={1，2}，则实数m=．13．（5分）（2010•重庆）某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为．14．（5分）（2010•重庆）已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为．15．（5分）（2010•重庆）已知函数f（x）满足：，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x ﹣y）（x，y∈R），则f（2010）=．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（13分）（2010•重庆）设函数f（x）=cos（x+π）+2cos2，x∈R．（1）求f（x）的值域；（2）记△ABC内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若f（B）=1，b=1，c=，求a 的值．17．（13分）（2010•重庆）在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起．若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，…，6），求：（Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率；（Ⅱ）甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率．18．（13分）（2010•重庆）已知函数，其中实数a≠1．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若f（x）在x=1处取得极值，试讨论f（x）的单调性．19．（12分）（2010•重庆）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=，点E是棱PB的中点．（1）求直线AD与平面PBC的距离；（2）若AD=，求二面角A﹣EC﹣D的平面角的余弦值．20．（12分）（2010•重庆）已知以原点O为中心，为右焦点的双曲线C的离心率．（1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；（2）如图，已知过点M（x1，y1）的直线l1：x1x+4y1y=4与过点N（x2，y2）（其中x2≠x1）的直线l2：x2x+4y2y=4的交点E在双曲线C上，直线MN与两条渐近线分别交与G、H两点，求△OGH的面积．21．（12分）（2010•重庆）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=ca n+c n+1（2n+1）（n∈N*），其中实数c≠0．（1）求{a n}的通项公式；（2）若对一切k∈N*有a2k＞a zk﹣1，求c的取值范围．。

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2010年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学试题卷(理工农医类)数学试题卷（理工农医类）共4页．满分150分．考试时间l 20分钟．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中．只有一项是符合题目要求的．1.在等比数列{}n a 中，201020078a a =，则公比q 的值为（） A 2 B 3 C.4 D 82.已知向量a ,b 满足a ·b ＝0，|a |=1，|b |=2，则|2a －b |＝（） A. 0B.2C. 4D. 83. 224142lim x x x →⎛⎫-⎪--⎝⎭＝（） A.－1 B.－14C.14D.14.设变量x ,y 满足约束条件01030y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则z ＝2x ＋y 的最大值为（）A .－2 B.4 C.6 D.85.函数41()2xx f x +=的图象（）A .关于原点对称 B.关于直线y ＝x 对称 C.关于x 轴对称 D.关于y 轴对称6.已知函数sin(),(0,||)2y x πωϕωϕ=+><的部分图象如图所示，则（）A.1,6πωϕ== B 1,6πωϕ==-C.2,6πωϕ==D.2,6πωϕ==-7.已知0x >，0y >，228x y xy ++=，则2x y +的最小值是A.3B.4C.92D.1128.直线3y x =+D 的圆,([0,2))1x y θθπθ⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩交于A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为（）题 6 图A.76π B.54π C.43π D.53π9.某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（） A.504种 B.960种C.1008种D.1108种10.到两互相垂直的异面的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 A.直线B.椭圆C.抛物线D.双曲线二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11.已知复数1z i =+，则2z z -=____________．12.设{0,1,2,3}U =，2{|0}A x U x m x =∈+=，若C{1,2}UA =，则实数m =________．13.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至少命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为____________．14. 已知以F 为焦点的抛物线24y x =上的两点A 、B 满足3AF FB =，则弦AB 的中点到准线的距离为____________． 15.已知函数()f x 满足：1(1)4f =，4()()()(),(,)f x f y f x y f x y x y R =++-∈，则(2010)f =____________．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.(本小题满分13分，(Ⅰ)小问7分，(Ⅱ)小问6分．)设函数22()cos()2cos,32x f x x x π=++∈Ｒ．(Ⅰ) 求()f x 的值域；(Ⅱ) 记△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，若()1f B =，1b =，c =求a 的值．17. (本小题满分13分，(Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问8分．)在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读传讲”赛出活动中，每个单位的节目集中安排在一起．若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，…，6），求：(Ⅰ) 甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；(Ⅱ) 甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望．18.(本小题满分13分，(Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问8分．)已知函数1()ln(1)x f x x x a-=+++，其中实数1a ≠-(Ⅰ) 若2a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (Ⅱ) 若()f x 在1x =处取得极值，试讨论()f x 的单调性．19.(本小题满分12分，(Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分．)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB，点E 是棱PB 的中点．(Ⅰ) 求直线AD 与平面PBC 的距离；(Ⅱ) 若AD求二面角A －EC －D 的平面角的余弦值．20. (本小题满分12分，(Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分．)已知以原点O为中心，0)F 为右焦点的双曲线C的离心率2e =APEBC题19图（Ⅰ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；（Ⅱ）如图，已知过点11(,)M x y 的直线1l ：1144x x y y +=与过点22(,)N x y （其中21x x ≠）的直线2l ：2244x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与双曲线的两条渐近线分别交于G 、H 两点，求△OGH 的面积．21. (本小题满分12分，(Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分．)在数列{}n a 中，11a =，1*1(21),()n n n a ca c n n N ++=++∈其中实数0c ≠．(Ⅰ) 求{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 若对一切*k N ∈有221k k a a ->，求c 的取值范围．绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题（理工农医类）答案一．选择题：每小题5分，满分 50分. 1.A2.B3.B4.C5.D6.D7.B8.C9.C10.D二．填空题：每小题5分，满分25分. 11.i 2-12.3-13.53 14.38 15.21三．解答题：满分75分. 16.（本题13分）解:（Ⅰ）1cos 32sinsin 32coscos )(++-=x x x x f ππ1cos sin 23cos 21++--=x x x1sin 23cos 21+-=x x1)65sin(++=πx ，因此)(x f 的值域为]2,0[.（Ⅱ）由1)(=B f 得11)65sin(=++πB ，即0)65sin(=+πB ，又因π<<B 0，故6π=B .解法一：由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=，得0232=+-a a ，解得1=a 或2.解法二：由正弦定理Cc Bb sin sin =，得3,23sin π==C C 或32π.当3π=C 时，2π=A ，从而222=+=c b a ；当32π=C 时，6π=A ，又6π=B ，从而1==b a .故a 的值为1或2.17.（本题13分）解：只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数.（Ⅰ）设A 表示“甲、乙的演出序号至少一个为奇数”，则A 表示“甲、乙的序号为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得545111)(1)(2623=-=-=-=C C A P A P .（Ⅱ）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，且513)2(,1544)1(,315)0(262662=========C P C P C P ξξξ，1511)4(,1522)3(2626======CP CP ξξ.从而知ξ有分布列 ξ1234P31 15451 152151所以，34151415235121541310=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE .18.（本题13分）解：（Ⅰ）11)(111)()1()(22/++++=+++--+=x a x a x a x x a x x f .当1=a 时，47101)20(12)0(2/=++++=f ，而21)0(-=f ，因此曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程为)0(47)21(-=--x y 即0247=--y x .（Ⅱ）1-≠a ，由（Ⅰ）知2111111)1(1)(2/++=++++=a a a x f ，即02111=++a ，解得3-=a .此时)1ln(31)(++--=x x x x f ，其定义域为),3()3,1(+∞- ，且)1()3()7)(1(11)3(2)(22/+---=++--=x x x x x x x f ，由0)(/=x f 得7,121==x x .当11<<-x 或7>x 时，0)(/>x f ；当71<<x 且3≠x 时，0)(/<x f .由以上讨论知，)(x f 在区间),7[],1,1(+∞-上是增函数，在区间]7,3(),3,1[上是减函数.19.（本题12分）解法一：（Ⅰ）如图1 ，在矩形ABCD 中，//AD 平面PBC ，故直线AD 与平面PBC 的距离为点A 到平面PBC 的距离.因⊥PA 底面ABCD ，故由AB PA =知PAB ∆为等腰三角形，又点E 是棱PB 中点，故PB AE ⊥.又在矩形ABCD 中，AB BC ⊥，而AB 是PB 在底面ABCD 内的射影，由三垂线定理得PB BC ⊥，从而⊥BC 平面PAB ，故AE BC ⊥.从而⊥AE 平面PBC ，故AE 之长即为直线AD 与平面PBC 的距离.（Ⅱ）过点D 作CE DF ⊥，交CE 于F ，过点F 作CE FG ⊥，交AC 于G ，则DFG∠为所求的二面角的平面角.由（Ⅰ）知⊥BC 平面PAB ，又BC AD //，得⊥AD 平面PAB ，故AE AD ⊥，从而622=+=ADAEDE . 在CBE Rt ∆中，622=+=BCBECE .由6=CD ，所以CDE ∆为等边三角形，故F 为CE 的中点，且2233sin=⋅=πCD DF .因为⊥AE 平面PBC ，故CE AE ⊥，又CE FG ⊥，知AE FG 21//，从而23=FG ，且G 点为AC 的中点.连接DG ，则在ADC Rt ∆中，23212122=+==CDADAC DG .所以362cos 222=⋅⋅-+=FGDF DGFGDFDFG .解法二：（Ⅰ）如图2，以A 为坐标原点，射线AB 、AD 、AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴正半轴，建立空间直角坐标系xyz A -.设)0,,0(a D ，则)0,,6(),0,0,6(a C B ，)26,0,26(),6,0,0(E P .因此)6,0,6(),0,,0(26,0,26(-===PC a BC AE 则0,0=⋅=⋅PC AE BC AE ，所以⊥AE 平面PBC. 又由BC AD //知//AD 平面PBC ，故直线AD 与平面 PBC 的距离为点A 到平面PBC 的距离，即为3||=AE .（Ⅱ）因为3||=AD ，则)0,3,6(),0,3,0(C D .设平面AEC 的法向量),,(1111z y x n =，则0,011=⋅=⋅AE n AC n . 又26,0,26(),0,3,6(==AE AC ，故⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,02626,0361111z x y x 所以1111,2x z x y -=-=. 可取21-=z ，则)2,2,2(-=n . 设平面DEC 的法向量),,(2222z y x n =，则0,022=⋅=⋅DE n DC n . 又)26,3,26(),0,0,6(-==DE DC ，故所以2222,0y z x ==. 可取12=y ，则)2,1,0(2=n .故36,cos 212121=⋅>=<n n n n .所以二面角D EC A --的平面角的余弦值为36.20.（本题12分）解：（Ⅰ）设C 的标准方程为)0,0(12222>>=-b a by ax ，则由题意25,5===ac e c ，因此1,222=-==ac b a ，C 的标准方程为1422=-yx.C 的渐近线方程为x y 21±=，即 02=-y x 和02=+y x .（Ⅱ）解法一：如图，由题意点),(E E y x E 在直线44:111=+y y x x l 和44:222=+y y x x l 上，因此有4411=+E E y y x x ，4422=+E E y y x x ，故点M 、N 均在直线44=+y y x x E E 上，因此直线MN 的方程为44=+y y x x E E . 设G 、H 分别是直线MN 与渐近线02=-y x 及02=+y x 的交点，由方程组⎩⎨⎧=-=+02,44y x y y x x E E 及⎩⎨⎧=+=+,02,44y x y y x x E E解得EE H EE G y x y y x y 22,22--=+=.设MN 与x 轴的交点为Q ，则在直线44=+y y x x E E 中，令0=y 得EQ x x 4=（易知)0≠E x . 注意到4422=-EE y x ，得2|4|||2||4|2121|||4||||2122=-⋅=-++⋅=-⋅⋅=∆E E E E EE EE E H G OGH y x x x y x y x x y y OQ S .解法二：设),(E E y x E ，由方程组⎩⎨⎧=+=+,44,442211y y x x y y x x 解得122121122112,)(4y x y x x x y y x y x y y x E E --=--=，因12x x ≠，则直线MN 的斜率EE y x x x y y k 41212-=--=.故直线MN 的方程为)(411x x y x y y EE --=-，注意到4411=+E E y y x x ，因此直线MN 的方程为44=+y y x x E E .下同解法一. 21.(本题12分）（Ⅰ）解法一：由c c c c c ca a a +-=+=⋅+==2222121)12(33,1，23233323)13(85c c cc c ca a +-=+=⋅+=，34234434)14(157c c cc c ca a +-=+=⋅+=，猜测*-∈+-=N n c c n a n n n ,)1(12. 下用数学归纳法证明. 当1=n 时，等式成立；假设当k n =时，等式成立，即12)1(-+-=k k k c c k a ，则当1+=k n 时，)12(])1[()12(1121`1+++-=++=+-++k ccc kc k cca a k k k k k kkk kk c ck cc k k+-+=++=++1212]1)1[()2(，综上， 12)1(-+-=n n n c c n a 对任何*∈N n 都成立.解法二：由原式得)12(11++=++n ca ca nn n n .令nn n ca b =，则)12(,111++==+n b b cb n n ，因此对2≥n 有112211)()()(b b b b b b b b n n n n n +-++-+-=---cn n 13)32()12(+++-+-=cn 112+-=，因此12)1(-+-=n n n c c n a ，2≥n .又当1=n 时上式成立.因此*-∈+-=N n c c n a n n n ,)1(12.（Ⅱ）解法一：由122->k k a a ，得221221222]1)12[(]1)2[(---+-->+-k k k kcck cck ，因022>-k c ，所以01)144()14(222>-----c k k c k .解此不等式得：对一切*∈N k ，有k c c >或/k c c <，其中)14(2)14(4)144()144(22222--+--+--=kkk kk kc k ，)14(2)14(4)144()144(22222/--+-----=k kk kk kc k .易知1lim =∞→k k c ，又由144)14(4)14()14(4)144(2222222+=+-+-<-+--kkkkk k，知12848)14(214)144(22222<--=-++--<kk kkk k kc k ，因此由k c c >对一切*∈N k 成立得1≥c .又0)14(4)144()144(22222/<-+--+---=kk kk kc k ，易知/k c 单调递增，故/1/c c k ≥对一切*∈Nk 成立，因此由/kc c <对一切*∈N k 成立得6131/1+-=<c c .从而c 的取值范围为),1[)6131,(+∞+--∞ .解法二：由122->k k a a ，得221221222]1)12[(]1)2[(---+-->+-k k k kcck cck ，因022>-k c，所以014)(4222>-+-+-c c ck kc c 对*∈N k 恒成立.记14)(4)(222-+-+-=c c cx x c c x f ，下分三种情况讨论.（ⅰ）当02=-c c 即0=c 或1=c 时，代入验证可知只有1=c 满足要求.（ⅱ）当02<-c c 时，抛物线)(x f y =开口向下，因此当正整数k 充分大时，0)(<x f不符合题意，此时无解.（ⅲ）当02>-c c 即0<c 或1>c 时，抛物线)(x f y =开口向上，其对称轴)1(21c x -=必在直线1=x 的左边. 因此，)(x f 在),1[+∞上是增函数.所以要使0)(>k f 对*∈N k 恒成立，只需0)1(>f 即可.由013)1(2>-+=c c f 解得6131--<c 或6131+->c .结合0<c 或1>c 得6131+-<c 或1>c .综合以上三种情况，c 的取值范围为),1[)6131,(+∞+--∞ 。

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