高中数学圆的标准方程教案

第四章 圆与方程4.1.1 圆的标准方程三维目标：知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。

2、会用待定系数法求圆的标准方程。

过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。

情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。

教学重点：圆的标准方程教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。

教学过程：1、情境设置：在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢什么叫圆在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢如果能，这个方程又有什么特征呢 探索研究：2、探索研究：确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。

（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件r = ①化简可得：222()()x a y b r -+-= ②引导学生自己证明222()()x a y b r -+-=为圆的方程，得出结论。

方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。

3、知识应用与解题研究例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。

分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。

探究：点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内 例（2）： ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程师生共同分析：从圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决）例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于CA 或CB 。

（教师板书解题过程。

）总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（2）、例(3)可得出ABC 外接圆的标准方程的两种求法：①、 根据题设条件，列出关于a b r 、、的方程组，解方程组得到a b r 、、得值，写出圆的标准方程.根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.提炼小结：1、 圆的标准方程。

2、 点与圆的位置关系的判断方法。

3、 根据已知条件求圆的标准方程的方法。

作业：课本130p 习题第2、3、4题 教学反思：4.1.2圆的一般方程三维目标：知识与技能 ： (1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件．(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。

(3):培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。

过程与方法：通过对方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。

情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。

教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D 、E 、F ．教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：课题引入：问题：求过三点A （0，0），B （1，1），C （4，2）的圆的方程。

利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。

探索研究：请同学们写出圆的标准方程：(x －a)2＋(y －b)2=r 2，圆心(a ，b)，半径r ．把圆的标准方程展开，并整理：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2=0．取222,2,2r b a F b E a D -+=-=-=得022=++++F Ey Dx y x ①这个方程是圆的方程．反过来给出一个形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗 把x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0配方得44)2()2(2222F E D E y D x -+=+++ ② (配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆(1)当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程②表示（1）当0422>-+F E D 时，表示以（-2D，-2E ）为圆心,FE D 42122-+为半径的圆；（2）当0422=-+F E D 时，方程只有实数解2D x -=，2Ey -=，即只表示一个点（-2D ，-2E ）;（3）当0422<-+F E D 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形综上所述，方程022=++++F Ey Dx y x 表示的曲线不一定是圆只有当0422>-+F E D 时，它表示的曲线才是圆，我们把形如022=++++F Ey Dx y x 的表示圆的方程称为圆的一般方程()2214x y ++=我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳) (1)①x 2和y 2的系数相同，不等于0． ②没有xy 这样的二次项．(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。

知识应用与解题研究：例1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程如果是，请求出圆的圆心及半径。

学生自己分析探求解决途径：①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。

②、运用圆的一般方程的判断方法求解。

但是，要注意对于()2214441290x y x y +-++=来说，这里的91,3,4D E F =-==而不是D=-4,E=12,F=9.例2：求过三点A （0，0），B （1，1），C （4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。

分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程解：设所求的圆的方程为：022=++++F Ey Dx y x∵(0,0),(11A B ，）,C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于F E D ,,的三元一次方程组，即⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=02024020F E D F E D F 解此方程组，可得：0,6,8==-=F E D∴所求圆的方程为：06822=+-+y x y x542122=-+=F E D r ；32,42-=-=-FD得圆心坐标为（4，-3）.或将06822=+-+y x y x 左边配方化为圆的标准方程，25)3()4(22=++-y x ,从而求出圆的半径5=r ，圆心坐标为(4,-3)学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤： ①、 根据提议，选择标准方程或一般方程；②、 根据条件列出关于a 、b 、r 或D 、E 、F 的方程组； ③、 解出a 、b 、r 或D 、E 、F ，代入标准方程或一般方程。

例3、已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆上()2214x y ++=运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。

分析：如图点A 运动引起点M 运动，而点A 在已知圆上运动，点A 的坐标满足方程()2214x y ++=。

建立点M 与点A 坐标之间的关系，就可以建立点M 的坐标满足的条件，求出点M 的轨迹方程。

解：设点M的坐标是（x,y ）,点A的坐标是()()00,.B 43M AB x y 由于点的坐标是，且是线段的重点，所以000043,,2224,23x y x y x x y y ++===-=-于是有 ① 因为点A 在圆()2214x y ++=上运动，所以点A 的坐标满足方程()2214x y ++=,即()220014x y ++=()220014x y ++= ②把①代入②，得课堂练习：课堂练习130p 第1、2、3题小结 ：1．对方程022=++++F Ey Dx y x 的讨论(什么时候可以表示圆)2．与标准方程的互化3．用待定系数法求圆的方程4．求与圆有关的点的轨迹。

课后作业：130p 习题第2、3、6题 教学反思：4.2.1 直线与圆的位置关系一、教学目标 1、知识与技能（1）理解直线与圆的位置的种类；（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离； （3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系． 2、过程与方法设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2,2(ED --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当r d >时，直线l 与圆C 相离； （2）当r d =时，直线l 与圆C 相切； （3）当r d <时，直线l 与圆C 相交； 3、情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想． 二、教学重点、难点：重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法． 难点：用坐标法判直线与圆的位置关系． 三、教学设想教学反思：4.2.2 圆与圆的位置关系一、教学目标1、知识与技能（1）理解圆与圆的位置的种类；（2）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；（3）会用连心线长判断两圆的位置关系．2、过程与方法设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离； （2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切；（3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交； （4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 内切； （5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C 内含； 3、情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想． 二、教学重点、难点：重点与难点：用坐标法判断圆与圆的位置关系． 三、教学设想教学反思：4.2.3 直线与圆的方程的应用一、教学目标1、知识与技能（1）理解直线与圆的位置关系的几何性质；（2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；（3）会用“数形结合”的数学思想解决问题．2、过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．3、情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力．二、教学重点、难点：重点与难点：直线与圆的方程的应用．三、教学设想教学反思：。