高中数学圆的标准方程教案

第四章 圆与方程

4.1.1 圆的标准方程

三维目标：

知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。

2、会用待定系数法求圆的标准方程。

过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程

解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。

情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。

教学重点：圆的标准方程

教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。 教学过程：

1、情境设置：

在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢什么叫圆在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢如果能，这个方程又有什么特征呢 探索研究：

2、探索研究：

确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件

r = ①

化简可得：222

()()x a y b r -+-= ②

引导学生自己证明222

()()x a y b r -+-=为圆的方程，得出结论。

方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。

3、知识应用与解题研究

例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这

个圆上。

分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。

探究：点00(,)M x y 与圆2

2

2

()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：

（1）2200()()x a y b -+->2

r ，点在圆外 （2）2

2

00()()x a y b -+-=2

r ，点在圆上 （3）2

2

00()()x a y b -+-<2

r ，点在圆内 例（2）： ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程

师生共同分析：从圆的标准方程2

2

2

()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待

定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决）

例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.

师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和

(2,2)B -,由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在

直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于

CA 或CB 。

（教师板书解题过程。）

总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（2）、

例(3)可得出

ABC 外接圆的标准方程的两种求法：

①、 根据题设条件，列出关于a b r 、、的方程组，解方程组得

到a b r 、、得值，写出圆的标准方程.

根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.

提炼小结：

1、 圆的标准方程。

2、 点与圆的位置关系的判断方法。

3、 根据已知条件求圆的标准方程的方法。

作业：课本130p 习题第2、3、4题 教学反思：

4.1.2圆的一般方程

三维目标：

知识与技能 ： (1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数

特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件．

(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用

待定系数法求圆的方程。

(3):培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。

过程与方法：通过对方程x 2

＋y 2

＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决

问题的实际能力。

情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，

勇于探索。

教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条

件确定方程中的系数，D 、E 、F ．

教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用

教 具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

课题引入：

问题：求过三点A （0，0），B （1，1），C （4，2）的圆的方程。

利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。

探索研究：

请同学们写出圆的标准方程：

(x －a)2＋(y －b)2=r 2，圆心(a ，b)，半径r ．

把圆的标准方程展开，并整理：

x 2

＋y 2

－2ax －2by ＋a 2

＋b 2

－r 2

=0．

取2

2

2

,2,2r b a F b E a D -+=-=-=得

022=++++F Ey Dx y x ①

这个方程是圆的方程．

反过来给出一个形如x 2

＋y 2

＋Dx ＋Ey ＋F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗 把x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0配方得

4

4)2()2(2222F E D E y D x -+=+++ ② (配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆

(1)当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程②表示（1）当0422>-+F E D 时，表示以（-2

D

，

-2

E ）为圆心,F

E D 42

1

22-+为半径的圆；

（2）当0422=-+F E D 时，方程只有实数解2D x -=，2

E

y -=，即只表示一个点（-2

D ，-2

E ）;