工程流体力学第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动讲解

式的连续性方程

x
vx


y
v y

z
vz



t
0
或
(v) 0
t
连续性方程表示了单位时间内控制体内流体质量的增量等于流体在控
制体表面上的净通量。它适用于理想流体和粘性流体、定常流动和非定常
流动。
在定常流动中，由于 0 t
x

0
对于不可压缩流体 vr 1 v vz vr 0
r r z r
式中 r 为极径； 为极角
球坐标系中的表示式为:
1 (vrr 2 ) 1 (v sin ) 1 v 0
t r 2 r
r sin
r sin
在某流场O点邻近的任意点A上的速度可以分成三个部分： 分别为与O点相同的平移速度（平移运动）；绕O点转动在A点 引起的速度（旋转运动）；由于变形（包括线变形和角变形） 在A点引起的速度（变形运动）。
第三节 有旋流动和无旋流动
根据流体微团在流动中是否旋转，可将流体的流动分为两 类：有旋流动和无旋流动。

vx y





2 x

2 y


2 z
前面在流体微团的分析中，已给出E点的速度为 :
vxE

vx

vx x
dx

vx y
dy

vx z
dz

v yE

vy

vy x
dx
vy y
dy

vy z
dz

vzE

vz

vz x
dx

vz y
数学条件：
当


1

V

0
2
无旋流动
当


1

V

0
有旋流动
通常以
V
2
是否等于零作为判别流动是否有旋或无旋
的判别条件。
在笛卡儿坐标系中：
V


vz y

v y z
i


vx z

vz x

j


v y x

vx y
在角变形运动和旋转运动同时发生的情况下，将会有以下关系式：



1 2






1 2



于是沿z轴流体微团的旋转角速度分量：
z


dt

1 2

dt


dt


1 2

vy x
f (x, y) 0
vz 4(x y)z
第二节 流体微团的运动分析
流体与刚体的主要不同在于它具有流动性，极易变形。 因此，流体微团在运动过程中不但象刚体那样可以有移动和转 动，而且还会发生变形运动。一般情况下，流体微团的运动可 以分解为移动，转动和变形运动。
具体分析如下：
vy
vy x
方向的速度分量vz 。
【解】对不可压缩流体连续性方程为：
vx vy vz 0
x y z
将已知条件代入上式，有
vz 4x 4 y z
4x 4 y vz 0 z
vz 4(x y)z f (x, y)
又由已知条件对任何 x ， y ，当 z 0 时，vz 0 。故有
( v y x

vx y
)dx
1 2
( vz y

vy z
)dz

1 2
( v y x

vx y
)dx
vzE

vz

vz z
z

1 2
( vx z

vz x
)dx

1 2
( vz y

vy z
)dy

1 2
( vx z

vz x
)dx

1 2
dy

vz z
dz

如果在上式的第一式右端加入两组等于零的项：
vxE

vx

vx x
dx
vx y
dy

vx z
dz
1 vz dz 1 vz dz 2 x 2 x 1 vy dy 1 vy dy
2 x 2 x
其值不变。经过简单组合，可将该式写成 ：
第一节 流体流动的连续性方程
t

CV
dV


CS
vndA

0
(3-22)
首先推导在笛卡儿坐标系中微分形式的连续性方程
vz
在 x 方向上，单位时间通过EFGH面流入的流体质量为
vx

x
vxdx 2Fra bibliotekdydz
（a）
单位时间通过ABCD面流出的流体质量

v
k
即当流场速度同时满足：
vz vy y z
vx vz z x
vy vx x y
时流动无旋。
需要指出的是，有旋流动和无旋流动仅由流体微团本身是
否发生旋转来决定，而与流体微团本身的运动轨迹无关。
如图（a），流体微团的运动为旋转的圆周运动，其微团自 身不旋转，流场为无旋流动；图（b）流体微团的运动尽管为 直线运动，但流体微团在运动过程中自身在旋转，所以，该流 动为有旋流动。
( vz y

vy z
)dy
将旋转角速度分量，角变形速度之半代入以上三式，便可将式写
成
：
vxE
vx

vx x
dx x
( z
dy 2
y
dz 2
)

(
y
dz 2
z
dy ) 2
v yE
vy

v y y
dy 2
( x
dz 2
z
dx 2
)

(
z
dx 2
x
（a）
（b）
x a 【例7-2】 某一流动速度场为 vx ay ，vy vz 0，其中 是
不为零的常数，流线是平行于 轴的直线。试判别该流动是有 旋流动还是无旋流动。
【解】
由于
x

1 2

vz y
vy z
0
y

1 vx 2 z
x

vz x
p p dx x 2
f
x
fz
fx, fy, fz
微元体在质量力和表面力的作用下产生的加速度 a ，根
据牛顿第二定律 ：
Fx

m dvx dt
f
x
dxdydz

(
p

p x
dx )dydz 2

(
p

p x
dx )dydz 2

dxdydz
dvx dt
两端同除以微元体的质量 dxdydz ,并整理有：
x

x
vx

dx 2
dydz
（b）
则在 x 方向单位时间内通过微元体表面的净通量为（b）-（a），即
x
v
x
dx
dydz
（c1）
z 同理可得y 和 方向单位时间通过微元体表面的净通量分别为
y
v
y
dxdydz
（c2）
z
vz
dxdydz
（c3）
因此，单位时间流过微元体控制面的总净通量为
第七章 理想不可压缩流体的有 旋流动和无旋流动
本章内容：在许多工程实际问题中，流动参数 不仅在流动方向上发生变化，而且在垂直于流 动方向的横截面上也要发生变化。要研究此类 问题，就要用多维流的分析方法。本章主要讨 论理想流体多维流动的基本规律，为解决工程 实际中类似的问题提供理论依据，也为进一步 研究粘性流体多维流动奠定必要的基础。
dz ) 2
vzE
vz
vz z
dz 2
( y
dx 2
x
dy 2
)

(
x
dy 2
y
dx ) 2
上式表明：各速度分量的第一项是平移速度分量，第二、 三、四项分别是由线变形运动、角变形运动和旋转运动所引起 的线速度分量。此关系也称为海姆霍兹(Helmholtz)速度分解 定理，该定理可简述为：
vr 1 v 1 v 2vr v cot 0
r r r sin r
r
式中 r 为径矩；为纬度； 为径度。
【例7-1】已知不可压缩流体运动速度 v 在 x ，y 两个轴方向的分量
为 vx 2x2 y ，vy 2y2 z 。且在 z 0 处，有 vz 0 。试求 z 轴
CS
vn dA



x
vx


y
v y

z
vz
dxdydz

（c）
微元六面体内由于密度随时间的变化而引起的质量的变化率为：
t

CV
dV

t

CV
dxdydz


t
dxdydz
（d）
将式（c），（d）代入式（3-22），同除以dxdydz ，则可得到微分形
y 2
2 y
当
vx vy y x
矩形ABCD只发生角变形运动，如图所示。
当 vx vy
矩形ABCD只发生旋转运动，形状不变。
y x
在一般情况下
vx

v y
y x
亦就是矩形ABCD在发生旋转运动
的同时，还会发生角变形运动。如图(e)所示。

fy

1

p y

vy t
vx
vy y
vx


y
v
y


z
vz


0
对于不可压缩流体（ =常数）
vx v y vz 0
或
x y z
v 0
在其它正交坐标系中流场中任一点的连续性方程和柱坐标系中的表示式为 ：

t

1 r
r
(rvr
)

1 r


(v
)

z
(vz )

x


1 2

v z y

v y z

y


1 vx 2 z

v z x




z

1 2

v y x

v x y





2 x


2 y


2 z
流体微团沿z轴的角变形速度分量：
z


dt

1

vx y

同理，沿x，y轴流体微团的旋转角速度分量分别为:
x

1 2

v z y

v y z

y

1 vx 2 z

v z x

流体微团的旋转角速度定义为:



xi


y
j

zk

1 2

V
其中，流体微团的旋转角速度分量及模量为：
fx

1

p x

dv x dt

fy

1

p y

dv y dt

fz

1

p z

dv z dt


写成矢量式：
f 1 gradp d v

dt
将加速度的表达式代入有：
fx

1

p x

vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z


0
z

1 2

v y x

vx y


1a 2

0
所以该流动是有旋运动。
第四节 理想流体运动微分方程式 欧拉积分和伯努利积分
一、运动微分方程
理想流体运动微分方程式是研究流体运动学的重要理论基 础。可以用牛顿第二定律加以推导。
p p dx x 2
y
A(x,y,z)
dx 2
vy y
dy 2
D
vx

vx x
dx 2

vx y
dy 2
dy
vy
vy x
dx vy 2 y
dy 2
C
vx

vx x
dx 2

vx y
dy 2
vy

vy x
dx 2
vy y
dy 2
y
A
vx

vx x
dx 2

vx y
dy 2
x B
dx
vy

vy x
dx 2
vy y
dy 2
vx

vx x
dx vx 2 y
dy 2
图 7-3 流体微团的平面运动速度分量
（导致1）矩平形移AB运CD动平：移如△图x 所= 示vx，dt矩, 形△AyBC=D各v角yd点t,具其有A相BC同D的的形速状度不v变x ,。v y 。
（2）线变形运动：如图所示，线变形运动取决于速度分量在它所在方向 上的变化率（即线变形速率 vx 和 vy ），导致矩形ABCD的变形量：
2 dt


dt


1 2

vy x

vx y

同理，可有流体微团角变形速度之半分量及其模量为：
x

1 2

vz y

vy z

y

1 vx 2 z

vz x



z

1 2

vy x
x y
y
x 2 vx dx dt x 2
y 2 vy dy dt y 2
（3）角变形运动和旋转运动：如图7-4（c）、（d）所示，当
tan vy dx dt ( dx) vy dt
x 2
2 x
tan vx dy dt ( dy ) vx dt
vxE

vx

vx x
dx

1 2
( v y x

vx y
)dy

1 2
( vx z

vz x
)dz

1 2
( v y x

vx y
)dy

1 2
( vx z