同济大学第1章概率论与数理统计习题课

(6) (加法公式)
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
P(A1A3)-P(A2A3)+P(A1A2A3)
P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1A2)-
等可能概பைடு நூலகம்(古典概型)
1.定义： 设E是试验，S是E的样本空间，若 (1) 试验的样本空间的元素只有有限个； (2) 试验中每个基本事件发生的可能性相同.
主要内容
事件间的关系与事件的运算
(一)事件间的关系 1. 事件的包含(子事件)：AB;
2.事件的和：A∪B
3.事件的积: AB;
4. 差事件: A-B=A-AB=AB
5. 互斥事件(互不相容事件):AB=
6. 互逆事件: AB= 且A∪B=S
•
事件的运算法则
1. 交换律：A∪B=B∪A, A∩B=B∩A ． 2. 结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C; A∩(B∩C)=(A∩B)∩C ． 3. 分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) ;
答案:B 解析:由题设知:ABC,且P(AB) ≤P(C) 又由P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) ≤1,知 P(AB)=P(A)+P(B)-P(A∪B) ≥P(A)+P(B)-1

j 1
独立性
定义1 设A,B是两事件,如果具有等式 P(AB)=P(A)P(B)， 则称事件A,B为相互独立的随机事件.
定义2 设A1,A2...An是n个事件，如果对于任意的1≤i<j≤n,
P(AiAj)=P(Ai)P(Aj) 则称这n个事件两两相互独立.
定义3 如果对于任意的k(k≤n),及任意的2≤i1<i2<...<ik≤n,
概率定义 设E ---随机试验，S-----样本空间.
事件A P(A), 称为事件A的概率,
如果P(• )满足下列条件: 1 °非负性： 对于每一个事件A，有 P(A)≥0 ； 2 ° 规范性: 对于必然事件S , 有P(S)=1； 3 °可列可加性: 设A1，A2，… 是两两互不相容
j , A A , i , j 1 , 2 , ,则 的事件，即对于 i i j
答案：D
解析：直接利用概率性质（3）
4. 假设事件A和B满足P(B|A)=1,则( (A) 事件A是必然事件 (B)P(A/B)=0 (B)(C) A B
答案:D
A (D)B
)
解析:由于P(A|B)=P(AB)/P(A)=1,可知P(AB)=P(A).从而 有A B.
5.设当事件A与B同时发生时,事件C必发生, 则下列 结果正确的是( ). (A) P(C)P(A)+P(B)-1; (B) P(C)P(A)+P(B)-1; (C) P(C)=P(AB); (D) P(C)= P(AB).
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) ．
4. 德.摩根律(对偶原则) ： 设Ai(i=1,2,…,n) 表示事件．
n n
n n
则
A i= A i ;
i1 i1
Ai
i1
=
A． i
i1
5. 对必然事件的运算法则：A∪S=S, A∩S=A
6.对不可能事件的运算法则：A∪Φ =A,A∩Φ =Φ ．
这种试验称为等可能概型或古典概型．
2.古典概型中事件A的概率的计算公式
k A 包含的基本事件数 P(A ) n S中基本事件的总数
几个重要公式
1.条件概率
P ( AB ) P ( B A ) , P ( A ) 0 P ( A )
2.乘法公式 3.全概率公式
P(AB)=P(B|A)P(A) (P(A)>0)，
2．对于任意两事件A和B,有 P(A-B)= ( ). (A) P(A)-P(B); (B) P(A)-P(B)+P(AB) ; (C) P(A)-P(AB); (D) P(A)+P(B)- P(AB).
答案：C 解析：直接利用概率性质（3）
3．对于任意两事件A和B,若有 P(AB)=0,则下列命 题正确的是 ( ). (A) A与B互斥 ; (B) A与B独立; (C) P(A)=0,或P(B)=0; (D) P(A-B)= P(A) .
P ( A ) P ( A B ) P ( B ) P ( A B ) P ( B ) 1 1 2 2 P ( A B ) P ( B ) n n
4.贝叶斯公式.
P ( A B P ( B P ( B ) i) i) iA P ( B ) n ,i 1 , 2 , ,n iA P ( A ) P ( A B P ( B j) j)
P ( A ) 0 , P ( B ) 0 , 则A、B互斥与A、B相互独立不能
2. 若事件A和B相互独立,则下列各对事件也相互独立:
同时存在.
n
( ij ) 4. 若事件A和 B 独立, 且 B ( i 1 , 2 , , n ) iB j i
5. 则事件A和 Bi
i1
则称这n个事件相互独立.
P ( A A A ) P ( A ) P ( A ) P ( A ) i i i i 1 2 i k 1 i 2 k
独立的性质:
1. 设A和B是两个事件,且P(A) ＞0.若A和B相互独立,则
2.
3. 3. 4.
P(B/A)=P(B).反之亦然.
A与B, A与B, A与B
独立.
典型习题
1. 从大批产品中取产品检验，设事件Ak表示“第k次取到 合格产品”(k=1,2,3)，用A1,A2,A3表达下列各事件. (1) A表示“仅第一次取到合格产品”. (2) B表示“第一次取到不合格产品,第二、三次至少有一次 取到合格产品”. 解：(1) (2)
A1 A2 A3
A ( A A ) 1 2 3
P(A1∪A2 ∪ …)=P( A1)+P(A2 )+
…
•性质 (1) P(φ )=0 ． (2)(有限可加性) 若A1，A2，… An 两两不相容，
P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+ … +P(An) (3) 若A B，则有 P(B– A)=P(B) – P(A) ;
一般有 P(B – A)=P(B) –P(AB) (4) 对于任一事件A，有P(A)≤1 (5) 对于任一事件A，有P(A )=1 –P(A)，