算法设计与分析基础课后习题答案(中文版)54551

Program算法设计与分析基础中文版答案
习题1.1
5..证明等式gcd(m,n)=gcd(n,m mod n)对每一对正整数m,n都成立.
Hint:
根据除法的定义不难证明:
●如果d整除u和v, 那么d一定能整除u±v;
●如果d整除u,那么d也能够整除u的任何整数倍ku.
对于任意一对正整数m,n,若d能整除m和n,那么d一定能整除n和r=m mod n=m-qn；显然，若d能整除n和r，也一定能整除m=r+qn和n。

数对(m,n)和(n,r)具有相同的公约数的有限非空集，其中也包括了最大公约数。

故gcd(m,n)=gcd(n,r)
6.对于第一个数小于第二个数的一对数字,欧几里得算法将会如何处理?该算法在处理这种输入的过程中,上述情况最多会发生几次?
Hint:
对于任何形如0<=m<n的一对数字,Euclid算法在第一次叠代时交换m和n, 即
gcd(m,n)=gcd(n,m)
并且这种交换处理只发生一次.
7.a.对于所有1≤m,n≤10的输入, Euclid算法最少要做几次除法?(1次)
b. 对于所有1≤m,n≤10的输入, Euclid算法最多要做几次除法?(5次)
gcd(5,8)
习题1.2
1.(农夫过河)
P—农夫W—狼G—山羊C—白菜
2.(过桥问题)
1,2,5,10---分别代表4个人, f—手电筒
4. 对于任意实系数a,b,c, 某个算法能求方程ax^2+bx+c=0的实根,写出上述算法的伪代码(可以假设sqrt(x)是求平方根的函数)
算法Quadratic(a,b,c)
//求方程ax^2+bx+c=0的实根的算法
//输入:实系数a,b,c
//输出:实根或者无解信息
. D←b*b-4*a*c
If D>0
temp←2*a
x1←(-b+sqrt(D))/temp
x2←(-b-sqrt(D))/temp
return x1,x2
else if D=0 return –b/(2*a)
else return “no real roots”
else //a=0
if b≠0 return –c/b
else //a=b=0
if c=0 return “no real numbers”
else return “no real roots”
5.描述将十进制整数表达为二进制整数的标准算法
a.用文字描述
b.用伪代码描述
解答：
a.将十进制整数转换为二进制整数的算法
输入：一个正整数n
输出：正整数n相应的二进制数
第一步：用n除以2，余数赋给Ki(i=0,1,2...)，商赋给n
第二步：如果n=0，则到第三步，否则重复第一步
第三步：将Ki按照i从高到低的顺序输出
b.伪代码
算法DectoBin(n)
//将十进制整数n转换为二进制整数的算法
//输入：正整数n
//输出：该正整数相应的二进制数，该数存放于数组Bin[1...n]中
i=1
while n!=0 do {
Bin[i]=n%2;
n=(int)n/2;
i++;
}
while i!=0 do{
print Bin[i];
i--;
}
9.考虑下面这个算法,它求的是数组中大小相差最小的两个元素的差.(算法略)
对这个算法做尽可能多的改进.
算法MinDistance(A[0..n-1])
//输入:数组A[0..n-1]
//输出:the smallest distance d between two of its elements
习题1.3
1.考虑这样一个排序算法,该算法对于待排序的数组中的每一个元素,计算比它小的元素个数,然后利
用这个信息,将各个元素放到有序数组的相应位置上去.
a.应用该算法对列表”60,35,81,98,14,47”排序
b.该算法稳定吗?
c.该算法在位吗?
解:
a. 该算法对列表”60,35,81,98,14,47”排序的过程如下所示:
b.该算法不稳定.比如对列表”2,2*”排序
c.该算法不在位.额外空间for S and Count[]
4.(古老的七桥问题)
习题1.4
1.请分别描述一下应该如何实现下列对数组的操作,使得操作时间不依赖数组的长度. a.删除数组的第i 个元素(1<=i<=n)
b.删除有序数组的第i 个元素(依然有序) hints:
a. Replace the i th element with the last element and decrease the array size of 1
b. Replace the ith element with a special symbol that cannot be a value of the array ’s element(e.g., 0 for an array of positive numbers ) to mark the i th position is empty. (“lazy deletion ”)
第2章 习题2.1
7.对下列断言进行证明:(如果是错误的,请举例) a. 如果t(n )∈O(g(n),则g(n)∈Ω(t(n)) b.α>0时,Θ(αg(n))= Θ(g(n)) 解:
a. 这个断言是正确的。

它指出如果t(n)的增长率小于或等于g(n)的增长率，那么 g(n)的增长率大于或等于t(n)的增长率
由 t(n )≤c ·g(n) for all n ≥n0, where c>0
则：)()()1
(n g n t c ≤ for all n ≥n0
b. 这个断言是正确的。

只需证明))(())(()),(())((n g n g n g n g ααΘ⊆ΘΘ⊆Θ。

设f(n)∈Θ(αg(n)),则有：
)()(n g c n f α≤ for all n>=n0, c>0 )()(1n g c n f ≤ for all n>=n0, c1=c α>0
即：f(n)∈Θ(g(n))
又设f(n)∈Θ(g(n)),则有：)()(n cg n f ≤ for all n>=n0,c>0
)()()(1n g c n g c
n f ααα
=≤
for all n>=n0,c1=c/α>0
即：f(n)∈Θ(αg(n))
8．证明本节定理对于下列符号也成立： a.Ω符号 b.Θ符号 证明：
a 。

we need to proof that if t 1(n)∈Ω(g 1(n)) and t 2(n)∈Ω(g 2(n)), then t 1(n)+ t 2(n)∈Ω(max{g 1(n), g 2(n)})。

由 t 1(n)∈Ω(g 1(n))，
t 1(n)≥c 1g 1(n) for all n>=n1, where c1>0 由 t 2(n)∈Ω(g 2(n))，
T 2(n)≥c 2g 2(n) for all n>=n2, where c2>0 那么，取c>=min{c1,c2},当n>=max{n1,n2}时： t 1(n)+ t 2(n)≥c 1g 1(n)+ c 2g 2(n) ≥c g 1(n)+c g 2(n)≥c[g 1(n)+ g 2(n)] ≥cmax{ g 1(n), g 2(n)} 所以以命题成立。

b. t 1(n)+t 2(n) ∈Θ()))(2),(1max(n g n g
证明：由大Ⓗ的定义知，必须确定常数c1、c2和n0，使得对于所有n>=n0，有：
))(2),(1max()(2)(1))(2),(1max((1n g n g n t n t n g n g c ≤+≤
由t 1(n)∈Θ(g1(n))知，存在非负整数a1,a2和n1使： a1*g1(n)<=t 1(n)<=a2*g1(n)-----(1)
由t 2(n)∈Θ(g2(n))知，存在非负整数b1,b2和n2使： b1*g2(n)<=t 2(n)<=b2*g2(n)-----(2) (1)+(2):
a1*g1(n)+ b1*g2(n)<=t1(n)+t2(n) <= a2*g1(n)+ b2*g2(n) 令c1=min(a1,b1),c2=max(a2,b2)，则
C1*(g1+g2)<= t 1(n)+t 2(n) <=c2(g1+g2)-----(3) 不失一般性假设max(g1(n),g2(n))=g1(n).
显然，g1(n)+g2(n)<2g1(n)，即g1+g2<2max(g1,g2)
又g2(n)>0，g1(n)+g2(n)>g1(n),即g1+g2>max(g1,g2)。

则（3）式转换为：
C1*max(g1,g2) <= t 1(n)+t 2(n) <=c2*2max(g1,g2) 所以当c1＝min(a1,b1),c2＝2c2=2max(c1,c2)，n0＝max(n1,n2)时，当n>=n0时上述不等式成立。

证毕。

习题2.4
1. 解下列递推关系 （做a,b ） a.
⎩⎨
⎧=+-=0)1(5)1()(x n x n x 当n>1时
.
解：
b.
解：
2.对于计算n!
的递归算法F(n)，建立其递归调用次数的递推关系并求解。

解：
3.考虑下列递归算法，该算法用来计算前n个立方的和：S(n)=13+23+…+n3。

算法S(n)
//输入：正整数n
//输出：前n个立方的和
if n=1 return 1
else return S(n-1)+n*n*n
a. 建立该算法的基本操作次数的递推关系并求解
b. 如果将这个算法和直截了当的非递归算法比，你做何评价？
⎩
⎨
⎧
=
-
=
4
)1(
)1
(
3
)
(
x
n
x
n
x当n>1时
. 解：
a.
7. a. 请基于公式2n=2n-1+2n-1，设计一个递归算法。

当n是任意非负整数的时候，该算法能够计算2n 的值。

b. 建立该算法所做的加法运算次数的递推关系并求解
c. 为该算法构造一棵递归调用树，然后计算它所做的递归调用次数。

d. 对于该问题的求解来说，这是一个好的算法吗？
解:
a.算法power(n)
//基于公式2n=2n-1+2n-1,计算2n
//输入:非负整数n
//输出: 2n的值
If n=0 return 1
Else return power(n-1)+ power(n-1)
c.
∑
=
+-
=
=
n
i
n
i
n
C
11
2
2
)
(
8.考虑下面的算法
算法 Min1(A[0..n-1])
//输入:包含n个实数的数组A[0..n-1]
If n=1 return A[0]
Else temp←Min1(A[0..n-2])
If temp≤A[n-1] return temp
Else return A[n-1]
a.该算法计算的是什么?
b.建立该算法所做的基本操作次数的递推关系并求解
解:
a.计算的给定数组的最小值
b.
⎩
⎨
⎧+
-
=
1
)1
(
)
(
n
C
n
C
9.考虑用于解决第8题问题的另一个算法,该算法递归地将数组分成两半.我们将它称为Min2(A[0..n-1])
算法 Min(A[r..l])
If l=r return A[l]
Else temp1←Min2(A[l..(l+r)/2])
Temp2←Min2(A[l..(l+r)/2]+1..r)
If temp1≤temp2 return temp1
Else return temp2
a.建立该算法所做的的操作次数的递推关系并求解
b.算法Min1和Min2哪个更快?有其他更好的算法吗?
解:
a.
for all n>1
n=1
习题2.6
1.考虑下面的排序算法,其中插入了一个计数器来对关键比较次数进行计数.
算法SortAnalysis(A[0..n-1])
//input:包含n个可排序元素的一个数组A[0..n-1]
//output:所做的关键比较的总次数
count←0
for i←1 to n-1 do
v←A[i]
j←i-1
while j>0 and A[j]>v do
count←count+1
A[j+1]←A[j]
j←j+1
A[j+1]←v
return count
比较计数器是否插在了正确的位置?如果不对,请改正.
解:应改为:
算法SortAnalysis(A[0..n-1])
//input:包含n个可排序元素的一个数组A[0..n-1]
//output:所做的关键比较的总次数
count←0
for i←1 to n-1 do
v←A[i]
j←i-1
while j>0 and A[j]>v do
count←count+1
A[j+1]←A[j]
j←j+1
if j>=0 count=count+1
A[j+1]←v
return count。