幂级数的应用

2!
n!
余和:
rn
1 1 (n 1)! (n 2)!
1 (1 1 ) (n 1)! n 2
(n
1 (1 1)!
1 n
1
(n
1 1)2
)
1 n n!
欲使 rn 105 ,
即 n n! 105 ,
只要 1 105 , n n!
而 8 8! 322560 105 ,
第五节 函数的幂级数展开式 的应用
一、近似计算
二、计算定积分
三、微分方程的幂级数解法
四、小结
一、近似计算
A a1 a2 an , A a1 a2 an , 误差 rn an1 an2 .
两类问题: 1.给定项数,求近似值并估计精度; 2.给出精度,确定项数. 关健:通过估计余项,确定精度或项数.
P( x)与Q( x)可在 R x R内展为x 的幂级数,
那么在 R x R内原方程必有形如
的解.
y an xn n0
作法 设解为 y an xn , n0
将 P( x),Q( x), f ( x) 展开为 x x0 的幂级数， 比较恒等式两端x的同次幂的系数, 确定y.
例5 求方程 y xy y 0的解.
假设所求特解可展开为 x x0的幂级数,
y y0 a1( x x0 ) a2 ( x x0 )2 其中a1 ,a2 ,,an ,为待定的系数.
例4
求 dy dx
x
y2
满足y
|x0
0的特解.
解 x0 0， y0 0,
设 y a1 x a2 x2 a3 x3 an xn ,
y a1 2a2 x1 3a3 x2 nan xn1 ,
将 y, y的幂级数展开式代入原 方程
a1 2a2 x 3a3 x2 4a4 x3 x (a1x a2 x2 a3 x3 a4 x4 )2
x a12 x2 2a1a2 x3 (a22 2a1a3 )x4
n0
an2
an n
, 2
n 0,1,2,
a2
a0 2
,
a3
a1 3
,
a4
a0 8
,
a2k
a0 k! 2k
,
a5
a1 , 15
a2k1
a1 , (2k 1)!!
原方程的通解
k 1,2,3,
y
a0
n0
x2n 2n n!
a1
n0
x (2n
2n1
1)!!
(a0 ,a1是任意常数)
四、小结
e 11 1 1 1
2! 3!
8!
2.71828
例2 利用sin x x x3 计算sin 90的近似值, 3!
并估计误差.
解 sin 90 sin 1 ( )3 ,
2020
1 (0.2)5 120
1 375000
1 300000
105 ,
精确到104.
解 sin x 1 1 x2 1 x4 1 x6 x (,)
x
3! 5! 7!
1 sin x dx 1 1 1 1
0x 第四项
1
3 3! 1
5 5! 7 7! 104 ,
收敛的交错级数
7 7! 3000
取前三项作为积分的近似值,得
1 sin x dx 1 1 1 0.9461
33
3!
3
x3
35 5!
3
x5
,
( x )
将上两式代入
lim
x0
x
arcsin sin3 x
x
,
原式=
lim
x0
x
x
1 33
4
3!
1 2 3
x3 13 3 24
x3 35 3 5!
x5 5
x5
1 x3 o( x3 )
lim x0
6 x3 o( x3 )
1. 6
常用方法:
1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决;
2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成 为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和.
例1 计算e的近似值,使其误差不超过105.
解 e x 1 x 1 x2 1 xn ,
2!
n!
令 x 1, 得 e 1 1 1 1 ,
sin 90 0.157079 0.000646 0.156433
其误差不超过 105 .
二、计算定积分
例如函数 ex2 , sin x , 1 , 原函数不能用初等 x ln x
函数表示, 难以计算其定积分.
解法 被积函数
定积分的近似值
展开成幂级数
逐项积分
例3
计算
1
0
sin x
x
dx
的近似值,
解 设方程的解为 y an xn ,
n0
则 y nan x n1 ,
n0
y n(n 1)an xn2 (n 2)(n 1)an2 xn ,
n1
n0
将 y, y, y 代入 y xy y 0,
(n
2)(n
1)an2
x n
x
nan xn1
an
xn
0,
n0
n0
n0
[(n 2)(n 1)an2 (n 1)an ]xn 0,
练习题
一、利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值:
1、ln 3 (精确到0.0001 )； 2、cos 2 (精确到0.0001 ).
二、利 用 被 积 函 数 的 幂 级 数 展 开 式 求 定 积 分
比较恒等式两端x的同次幂的系数, 得
a1
0,
a2
1, 2
a3
0,
a4
0,
a5
1 , , 20
所求解为 y 1 x2 1 x5 . 2 20
注: 无初始条件求解
可设 y C an xn (C是任意常数)
n1
2、二阶齐次线性方程幂级数求法
定理 如果方程 y P( x) y Q( x) y 0中的系数
0x
3 3! 5 5!
三、微分方程的幂级数解法
例如 dy x2 y2 , dx
解不能用初等函数或其积分式表达.
寻求近似解法: 幂级数解法;
1、 dy f (x, y)特解求法
dx
问题
求 dy dx
f (x, y) 满足
y
x x0
y0 的特解.
其中 f ( x, y) a00 a10( x x0 ) a01( y y0 ) alm ( x x0 )l ( y y0 )m .
１、近似计算,求不可积类函数的定积分， 2、,求不可积类函数的定积分， 3、微分方程的幂级数的解法．
思考题
利用幂级数展开式,
求极限
lim
x0
x
arcsin sin3 x
x
.
思考题解答
arcsin x x 1 x3 1 3 x5 , ( x 1) 2 3 24 5
sin 3
x
1 4